Условия квазиконформной продолжимости аналитических функций и их применение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСЮЮ ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи

ЧУЕВ Василий Петрович

УСЛОВИЯ КВАЗИКОНФОРМНОЙ ПРОДОЛЖИМОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1992

Диссертация выполнена на кафедре математического анализа Казанского ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственного университета имени Е И. Ульянова-Ленина.

Научный руководитель - доктор фтико-математических наук

профессор Л. А. Аксентьев Научный консультант - кандидат физико-математических наук

доцент Е Л. Шабалин Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Ф. Г. Авхадиев

кандидат физико-математических наук доцент К К Куравлев Ведущая организация - Саратовский государственный университет им. Е Г. Чернышевского

Защита состоится " 28 " мая 1992 г.

в 14 часов на заседании специализированного Совета по математ: ке N К 053.29. Об Казанского государственного университета им ни К И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г.Казань, ул. Ленин; 18, корпус 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета (г. Казань, ул. Ленина, 18)

Автореферат разослан " 27 " апреля 1992 г.

Ученый секретарь специализированного Совета доцент

Б.Е Шапуков

' ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

• Актуальность. Интерес к достаточным условиям одколистнос-

и аналитических функций диктуется как соображениями теорети-

.еского характера, так и их значением в исследованиях одно-

2)

истной разрешимости обратных краевых задач ( ОКЗ ) ' в изу-ении пространств Тейхмюллера Важное значение имеют условия, беспечивавдие однолистность рассматриваемой функции в замкну-ой области, в частности условия ее квазиконформной продолли-

эсти на всю плоскость. С результатами в этом направлении мож-

3)

э ознакомиться в '

Цель работы - построение достаточных условий однолистнос-а и квазиконформной продолжимости функций, аналитических и зкально однолистных в различных классах областей, применение злученных результатов к исследованию однолистной разрешимости <3.

Методика исследования. Основными методами исследования 1ЛЯЮГСЯ методы геометрической теории функций комплексного пененного и метод квазиконформного продолжения Альфорса ^ .

Тумашев Г. Г. , Нужин М. Т. Обратные краевые задачи и их при-жения. - Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1965. - 333 с. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. - М1: Наука, 1977. - 640 с. Авхадиев Ф. Г., Аксентьев Л. А., Елизаров А. М. Достаточные ловия конёчнолистности аналитических функций и их прило-ния // Итоги науки и техн. ЕШИТИ.- 1987.- Т. 25.-С. 3-121. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. - П.: р, 1969. - 132 с.

Научная новизна. Подучены новые достаточные условия однолистности и квазиконформной продолжимости аналитических функций. Областями вадания функций являются различные квазикруги. Ряд результатов усиливает или дает в частных случаях известные условия однолистности.

Теоретическое значение и практическая ценность. Результаты и методы данной работы могут применяться при изучении геометрических свойств аналитических функций, при исследовании однолистной разрешимости основных обратных краевых задач.

Апробация работа По мере получения результаты диссертации докладывались на семинаре по геометрической теории функций комплексного переменного в Казанском университете ( руководитель - профессор Л. А. Аксентьев ), на итоговых научных конференциях КГУ в 1987 - 1991 гг., на V Саратовской зимней школе по теории функций и приближений ( 1990 г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано три работы, список которых приведен в конце автореферата

Структура и обьем работа Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Работа изложена на 8; страницах машинописного текста. Список литературы насчитываем 55'названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор литературы по исследуемо теме, изложено содержание работы. В конце введения приведе перечень основных результатов, выносимых на защиту.

В первой главе рассматриваются функции, аналитические

локально однолистные в различных классах областей. Если точ-' ка - о° принадлежит замкнутой области О- , то дополнительно предполагается существование при , отличного от О . Класс таких функций обозначается через А (Ст~) • Достаточные условия однолистности и квазиконформной продолжимости таких функций формулируются в виде ограничений на нормы дифференциальных операторов 5^(2) = ' и СЪ)- ^"(2)/{■'&) ' которые определяются следующим образом:

||Т(.Нй.= ьир р--"(гМТ;С20|;

2 Ст

рс_СЗ) - коэффициент гиперболической метрики области Gc .

В § 1 рассматриваются односвязные области Gs С (£ , X. - 2 Gr > границы которых проходят через бесконечно удаленную точку и являются локально спрямляемыми кривыми Иордана, причем выполняется условие дуги и хорды

sup {сгигг)/\ъл-2г\=С. (1)

Здесь под ¿(£4^2) понимается длина дуги 2^22 из , соединяющей точки 2 ^ и Н 2. • Класс таких областей обозначается через TRCC ) • Получена такая постоянная т(С). что справедлива

Теорема 1.1. Если область Gr из класса ?/<(С J ,

и выполняется условие

II Т^ 6 т(С), (2)

то функция однолистна в области 0-

В следующем §2 рассматривается подкласс класса 7П(С) Для односвявйой области 6г С (С и ее дополнения Сг = С \ & предполагается, что (^--ЧЧЮ и

функции и однолистны в Н и Н~ . с001

ветственно, причем

Бир^иМоН = ЬиИ^иН^Н ^иМ,

¿¿ил = ¿1т = <» , =

Описанный класс областей обозначается ( Л1 ) • Д рассматриваемого класса имеет место следующее включени» Как усиление теоремы 1.1. доказана Теорема 2.1. Бели выполнятся предположения теоремы 1. с ваменой (2) на условие

то функция £(.2:) однолистна в области Сг 92 См ) . По аналогии с классом (/И) вводятся клас 7? 0 (/Ч) и Ю. °°(Л1) , которые включают в себя, соотве ственно, ограниченные и неограниченные области. Как части

- ?-

злучаи, этим классам принадлежат единичный круг Е = я его внешность Е~ , Е- = С \ Е . Получены достаточные условия однолистности, которые имеют вид ограничений на выра-кение Tj> ("2:)| • При М - А эти условия переходят в хорошо известные неулучшаемые условия Беккера для областей

Е и Е~ •

В третьем,параграфе обоснованы оценки снизу на аналог внутреннего радиуса однолистности

= SUP [ а: 1\'Т; II^ Sа -р- однолистная в Q-]

л другие постоянные, зависящие от рассматриваемой . области 6г • Эти оценки включают в себя функцию, конформно отобра-капцую каноническую область Е или И на область Q- . Доказана

Теорема 3.1. Цусть 5Э=Е или Q- И , £/4(0) , = Тогда

4 - Sup ЪЧ'Съ).

Если область ( Н) представляет собой угловой сектор заствора У5Г , 0 < К ^ 2. , то теорема 3.1 дает результат JL А. Аксентьева и П. JL Шабалина.

В § 4 рассматриваются как односвязные, так и двусвяэные збласти G-^ . ограниченные с/. - звездообразными кри-зкми. Уточняются результаты Л.А.Аксентьева и ЕЛ.Шебалина, IЫ. Зиновьева, обобщается один результат 3. Левандозского.

Доказана, например,

Теорема 4.1. Если для аналитической и локально однолист ной в области функции £ выполняется условие

!1 £ ^ (р/2 ) } р. = {Л -<А )$Г/2 ,

то £ (?-) однолистна в Сг^ .

Вгорая глава посвящена применению полученных в перЕС главе результатов к исследованию сильной проблемы однолистнс разрешимости внутренних и внешних ОКЗ .

В §5 даются сведения о внутренней ОКЗ , получен ря вспомогательных утверждений.

Рассматривается следующая задача. Пусть дана ограниченна односвязная область О- С С и функция Ц (. ) , гармош ческая в С* и непрерывная в О- . Предполагается, чч для всех-Ь ^ Х'^О* выполняется неравенство

Задача. Какие ограничения на постоянные \Ъ и V позволят утверждать, что для всех <£. Ск имеет мес^

неравенство

1<И 'Ш2?)\ < ГЪ С

Доказывается ряд вспомогательных утверждений, приводят] к такому результату.

- 9-

Лемма 5.4. Решением задачи будут требования:

если Сг - ,

У £(0,-0, В - В (У),

в случае, когда Ст-Сг° ( Сг° ~ вьшуклая область из (С ).

В параграфе шестом получены условия однолистной разрешимости внутренней ОКЗ. .Доказана, например,

Теорема 6.1. Если для некоторого ^ £ (0^/2 )

1)

а'($)Ц($>) 11(5.)

иЧЯП^ ' тГЬ) а

^ а

г) 1 (!и(и'г(5) + г/'г«))1

то внутрешш ОКЗ с условием , О $ V ,

на искомом контуре ¿С-?, однолистно разрешима.

В заключительном седьмом параграфе аналогичные утверждения доказываются по отношению к внешним ОКЗ .

Из изложенного материала выделю,! следующее основные результата-

- 10- получены достаточные условия однолистности функций, аналитических в областях, для границ которых выполняется условие дуги и хорды; - доказаны обобщения известных условий однолистности в областях с ограниченным искажением; -даны оценки снизу на аналог внутреннего радиуса однолистности и другие постоянные, зависящие от рассматриваемой области От ; эти оценки включают в себя функцию, конформно отображающую каноническую область Е или И на область Сг

В заключение автор выражает глубокую признательность научному руководителю профессору Л А Аксентьеву, научному консультанту кандидату физико-математических наук П. Л. Шабалину за полезные советы и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

. 1. Майер Ф. Ф., Чуев К П. Условия однолистности симметричны функций в некоторых классах областей // Труды семинара п краевым задачам. - Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1990. Вып. 25. - С. 190-201.

2. Чуев К П., Шабалина С. Е- Достаточные условия однолистност функций, аналитических в областях с границами, для кото рых отношение дуги к хорде конечно // Изв. вузов. Матема тика. - 1990. , - N 4. - С. 79-81.

3. Чуев К П.. Шабалина С. Б. Достаточные условия однолистност

функций, аналитических в. неограниченных областях с границами, для которых отношение длины дуги к хорде конечно // Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Изд-во Ка-занск. ун-та, 1991.- Вып. 27. - С. 134-140.

Сдано в набор 21.04.92 г. Подписано Форм.бум. 60 х 84 1/16. Печ.л.0,75.

в печать 15.04.92 г1. Тиран 100.Заказ 242.

Лаборатория оперативной полиграфии КГУ 420008 Казань, Ленина, 4/5