Оценки первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с краевыми условиями третьего типа и интегральным условием на потенциал тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Карулина Елена Сергеевна

Оценки первого собственного значения

задачи Штурма — Лиувилля

с краевыми условиями третьего типа и интегральным условием на потенциал

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

- 8 ЛЕИ 2011

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород - 2011

005003922

Работа выполнена на кафедре высшей математики федерального государственного бюджетного образовательного .учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)».

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Асташова Ирина Викторовна

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Шкаликов Андрей Андреевич

доктор физико-математических наук, доцент Брусенцеп Александр Григорьевич

Ведущая организация:

Институт проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН

Защита диссертации состоится 26 декабря 2011 года в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 в Белгородском государственном национальном исследовательском университете по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, БелГУ, корпус 1, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного национального исследовательского университета.

Автореферат разослан 25 ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.015.08 при БелГУ кандидат физико-математических наук, доцент

В.Л. Прядиев

Общая характеристика работы

Представленная работа является исследованием в области качественной теории фферснцнальных уравнений и спектрального анализа. Актуальность темы.

В диссертации рассматривается задача, основой которой принято считать1 задачу агранжа: найти наиболее прочную колонну, которая является телом вращения плоской ивой вокруг некоторой прямой, расположенной в ее плоскости.

Задача об оптимальной форме эластичной колонны фиксированного объема с арнирным оннранием на обоих концах была поставлена Ж.-Л. Лагранжем2 в 1773 на основе работ Л. Эйлера и Д. Берн.улли: найти форму упругого тела вращения, аксимизируклцую сс прочность. Решая эту задачу, Ж.-Л. Лагранж пришел к ¡воду, что оптимальное решение задачи — колонна постоянного сечения (цилиндр), шибка Л агранжа была исправлена почти сто лет спустя член-корреспондентом С.-етербургской Академии паук Томасом Клаузеном3. В XX веке интерес к этой задаче вновь возник после появления работ Дж.Б. Келлера И. Таджбахша4. Они нашли оптимальную форму колонны для граничных условий жесткая заделка — шарнир», «жесткая заделка — свободный конец».

В 1977 году датские исследователи Н. Ольхофф и С. Расмуссен5 обнаружили, что ешение, приведенное в работе Дж.Б. Келлера и И. Таджбахша для случая жесткой

■ делки с обоих концов, неверно и численно нашли оптимальное решение с двумя инейно независимыми формами потери устойчивости (бимодальное решение). Позже X результаты были подтверждены А.П. Сейраияном07 и Е. Мейз.уром8, которые спользовапи различные численные методы.

В работе Ю.В. Егорова и В. А. Кондратьева1 предложено альтернативное оказательство теоремы Келлера — Таджбахша, не зависящее от кратности собственного начения задачи. Из результатов, полученных в этой работе, следует, что форма колонны, айденная в их работе, оптимальна, также как и значение критической нагрузки.

Задача о наивыгоднейшем очертании колонны привлекала внимание ученых на ротяжении более 200 лет и продолжает вызывать интерес исследователей многих

'Егоров Ю.В., Кондратьев В.А. OG оценках первого собственного значения в некоторых задачах Штурыа-Лиувилли / УМН. - IMG. ' T.51, вып. 3 (309). - С. 73-144. 2Lagrange J.-L. Sur U figure des colonnes // In: Ouvres do Lagrange (Publ. de M- J.-A.: Seiret). - Taris: Gauthier - Villars. 1868. -V. 2.-P. 125-170.

3Clausen T. Uber die form architektonischer Säulen // Bull. ci. physico-math. Aca<t. St.-Pctcrsbourg. - 1851. - T. IX. -

■ ЗП-380.

4Tadjbaklish I., Keller J.B. Strongest columns and ¡soperiuietric inequalities for eigenvalues // Trans. ASME. J. Appl. MecU. 1962. - V. 29. - N 1. - P. 159-1G4.

501hoff N., Rasmussen S.H. On single and bimodal optimum buckling loads of clumped columns // Internat. .1. Solids Struct. 977. - V. 13. - N 7. - P. G05-C14. "Сейранян А.П. Об одном ретепин задачи Лаграпжа // Доклады АН СССР. - 1983. - Т. 271. - N 2. - С. 337-340. 7Сейраняп A.n. Об одной задаче Лагранжа /'/ Из». АН СССР. Механика твердо™ тела. - 1984. - N 2. - С. 101-111. «Masur E.F. Optimal structural design under multiple eigenvalues constraints // Internat. .1. Solids Struct. - 1984. - V. 20. N 3. -P, 211-231.

стран мира (см., например, работы A.C. Братуся и А.П. Сейраннна910, С.Дж. Кок и М.Л. Овертона11, Ю.В. Егорова и С. Караа1213, А. Рамма14). Ю.В. Егоров15 своих недавних работах предложил новый подход к доказательству существовал! оптимальной формы колонны и новый алгоритм для поиска оптимальной форм: который может служить математической базой для результатов, полученных числеш Н. Ольхоффом и С. Расмуссеном, А.П. Ссйраняном и Е. Мейзуром.

Приведем постановку задачи Лагранжа, рассматриваемую в работе Дж.Б. Келлера И. Таджбахига4 и связанной с ней вариационной задачи (см. также работы10'15).

Пусть А — величина нагрузки вдоль оси и и - смещение колонны в ортогональном оси направлении. Потенциальная энергия колонны равна

Т = ß Е1(х)и"{х)Чх - А } и'(х)Чх,

о

где 1{х) — момент инерции плоского сечения колонны и Е — модуль Юнга. Критическс нагрузкой Ai называется максимальное значение А, при котором infT = 0. Таки

образом, Ах = inf F\v\, где и(х)еЩ( од) 1 J'

F[u] = ü EIW{*?dx ti u'(x)2dx

Уравнение Эйлера — Лаграижа для функционала F имеет вид

(Q(x)y"(:г))" + А у"(х) = О,

где функция у{х) удовлетворяет еле/дующим условиям

2/(0) = у'( 0) = j/(l) = у>(1) = 0,

Q(x) = kS2(x), где S(x) — площадь сечения колонны при 0 < х < 1 (к = const > О При этом объем колонны фиксирован, т.е.

ti \j/Q{x)dx = 1.

,.„JBP^b A;iï Бимодщп>выв Решеиня в зад»'«« оптимизации собственного значения // Приел, мат»

Mt.x. - J.. 47. - С. 4о1-457.

10Сей]Жнян А.П. Задача Лагранжа о наивыгод.шйтем очертании колонны // Институт механики МГУ им. Ломоносов.

- Препринт N C0-200Ü. - 04 с.

Р ИМО*' °VertüU М' Ь' Шв "PtÍmal <I(;SÍS" OÍ со,шши iiSiiinst buckiuS // SIAM Л. Math. Anal. - 1992. - V. 23.

Pari?sr'l.Y- mi-'-V 319°- pni793-79Se ***** РГ°РГе de 1'01,ет"еиг de Swm> ~ LiouviUe // C.R. Acad. SC Vldems propteS Btt,emales tia,ls problèmes de Sturm - Ltouville // C.R. Acad. Sei. Paris. Ser. I. - 1995 - V 321

"Ramm A. Topics scattering and spectral theory. Queries // Notices Amer. Math. Soc. - 19S2. - V. 29 - P 327-329

"Egorov Yu V-. On the Lagrange problem about, the strongest column // Abstract and Applied Analysis, World Sei. Publishing jijv^r i\ij. ** 2Q()4i — P. 65"04<

В действительности можно рассматривать колонну с сечением произвольной формы, ли всс сечения подобны одному из них. Если колонна неоднородна., то есть составлена из оев с различными упругими свойствами, и сечения ие являются подобными, то условие функцию Q{:х) можно заменить условием

/о Q"{x)dx — 1, Q{x) > О,

и некотором a € [0,1].

Задача Лагранжа послужила источником для различных постановок экстремальных дач на собственные значения, в том числе для уравнений второго порядка с тегральным условием на потенциал. Эти задачи похожи по постановке, но серьезно личаются по методам исследования и полученным результатам благодаря разным эрмам уравнения, значениям параметров краевых условий и формам интегрального ловия. При этом самостоятельный интерес представляют как оценки собственных ачений, так и изучение свойств функций, на которых эти оценки могут достигаться. Приведем некоторые постановки таких задач.

1. Начало исследованиям положила задача, рассмотренная Ю.В. Егоровым и .А. Кондратьевым1017. Приведем полностью ее постановку п основные полученные .зультаты. Авторами рассматривалась задача

у"(х) + Xq(x)y(x) = 0, 2/(0) = у(1) = о,

е q(x) — неотрицательная ограниченная суммируемая на (0,1) функция, овлетворяющая условию

/ q"{x)dx = 1, /3^0.

J о

Из вариационного принципа следует, что первое собственное значение Аг может быть йдено следующим образом:

}y'\x)dx Aj = inf -•

у{х)енц ОД) 1

Jq(x)y2(x)dx о

ценивались значения тп« - inf Аь Мц = sup Аь где Щ — множество

чцественнозначных ограниченных суммируемых на (0,1) функций q с положительными учениями и таких, что if(x)dx = 1, /3 ф 0.

lfiEgorov Yu.V., Kondraticv V.A. On Spectral theory of elliptic operators in Operator theory: Advances and Applications, rklxniser. - 1996. - V. 89. - P. 1-325.

"Егоров Ю.В., Кондратьев B.A. Of> оценках первого собственного '.шачашя в некоторых задачах Штурма^Лиувшшя УМН. - 1090. - Т. 51, вьш. 3 (309). - С. 73-144.

Были получены оценки минимального собственного значения Хг этой задачи п] различных значениях ß.

Основным результатом является следующая теорема:

Теорема 0.1. (Ю.В. Егоров, В.А. Кондратьев) Если ß > 1, то тр = gщ^рВ2 I - , Mß = оо, где В - бета-функция Эйлер,

ха (1 -х)ь 1dx. Существуют такие функции и(х) 6 0,1) и q(x) € R что inf L(q, у) = L(q, и) = тц.

Если ß — 1, то mi = 4, Mi = оо.

Если 0 < /3 < 1, то Mß = (i, ^,mß = 0. Существуют такие функщ

и{х) е Щ (0,1) и q{x) е R,ь чт.о inf L(g. у) = L(q, и) = Мв.

Если ß < 0, то Mß = -Ц^В2 (j, | - тд = 0. Существуют такие функщ и(х) € Но1 (0,1) u Q(:r) е Rß, что inf L{q, у) = L{q, и) = М3.

Еслм | < ß < 1, то mß- 0, Afy = оо.

2. В работах1819 рассматривалась задала Штурма. — Лиувилля с краевыми условиям третьего типа:

где р(х) - функция из класса Аа, где Аа при а > 0 — множество неотрицательны

ограниченных функций (при а < 0 Аа — множество положительных ограниченны

1

функций), удовлетворяющих условию /p"(x)d,x = 1, а ^ 0.

о

3. В.А. Винокуровым и В.А. Садовничмм20 рассматривалась задача

у"(х) + (А - q(x))y(x) = 0, у{0) - у(/) = 0,

где д(х) — вещественнозначная суммируемая по Лебегу на (0,1) функция.

Исследовался вопрос: насколько сильно можно изменить (увеличить или уменьшит собственное значение, если q(x) меняется в пределах некоторого подмножеств Q = Up[t\ = {q 6 Lp{0, l), \\q\\iv < t} есть замкнутый шар радиуса t > 0 с центром в нул банахова пространства Lp{Q,l), р е [1,+оо]. В работе получены оценки снизу и сверх минимального собственного значения дайной задачи при р > 1, доказана достижимост оценок при р > 1. Достижимость оценок при р- 1 доказана в работе21.

'"Мурышкипа О.В. Об оценках минимального собственного значения задачи Штурма.Лиувилля с несимметричным краевыми условиями //Диффкренц. уравнения. - 2001. - Т. 37. - N «. - С. 854.

"Мурыгпкина О.В. Об оценках минимально™ собственного значения задачи Штурма-Лиуьилля с симметричным краевыми условиями // Вестник молодых ученых. - У2005. Серия: Прикладная математика и механика. - 1-2005. С. 36-52.

г0Винокуров В.А., Садовничий В.А. О границах изменения собственного значения при изменении потенциала / Доклады Академии наук. - 2003. - Т. 392. - N Б. - С. 532-597.

4. В работах2122 получены оценки минимального собственного значения задачи

у"(х) + oQ{x)y{x) + Ху{х) = О, 2/(0) = 2/(1) = 0,

де а = ±1, Q(x) — неотрицательная ограниченная на [0,1] функция, удовлетворяющая i

словию: [Qa(x)dx = 1, а ф 0. ó

В диссертации рассматривается задача более общего вида, объединяющая уравнение "(x)—q{x)y(x)+\y{x) = 0 с краевыми условиями | + — о' и интегРальным

словием на потенциал J^(p(x)dx — 1, что существенно усложняет исследования и ребует новых подходов.

Цель работы. Исследовать минимальное собственное значение задачи Штурма — 1иувилля с интегральным условием на потенциал и краевыми условиями третьего ипа, получить для него оценки сверху и снизу при различных значениях параметра нтегралыюго условия и параметров краевых условий, доказать достижимость оценок.

Общая методика исследования. В диссертации используются методы ачественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального лализа и спектральной теории дифференциальных операторов, в частности, ариациоиный метод нахождения первого собственного значения краевой задачи.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми, сновные результаты состоят в следующем:

1. Получены оценки сверху и снизу минимального собственного значения для задачи 1турма — Лиувилля с краевыми условиями третьего типа и интегральным условием на отенциал при всех значениях параметра интегрального условия и параметров краевых словий.

2. Доказана достижимость оценок минимального собственного значения.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический арактер и может представлять интерес для специалистов в области качественной еории обыкновенных дифференциальных уравнений и спектральной теории ифференцнальных операторов.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных еми нарах:

21Ежак С.С. Об оценках минимального собственного значения задачи Штурма - Лиушилм с интегральным условием // овременная математика и ее приложения. - 2005. - Т. Sfi. - С. Пб'-íi'J.

22Ежак С.С. Об оценках минимального собственного гзиачення одной задачи Штурма-Лиуашиш // Дифферепц. равнения. - 2005. - Т. 41. - N 11. - С. 1OT7-157S.

• семинар по качественной теории дифференциальных уравнений кафедры дифф ренциальных уравнений механико-математического факультета МГУ им.М.В.Ло моносова иод руководством проф. В.А. Кондратьева, проф. Н.Х. Розова (2010 г.);

• семинар по теории операторов кафедры теории функций и функционально!' анализа механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова по, руководством проф. A.A. Шпаликова (2011 г.);

• семинар по качественной теории дифференциальных уравнений кафедр! высшей математики МЭСИ под руководством проф. PI.В. Асташовой, прос} A.B. Фшшновского, проф. В.А. Нпкишкииа (2004 - 2011 гг., неоднократно).

Результаты докладывались также на следующих конференциях:

. Ме ждупародная конференция студентов, аспирантов и молодых учены. "Ломоносов". Москва, МГУ пм.М.В.Ломопосова, 2008.

• Международная конференция "Дифференциальные уравнения и топология" посвященная 100-летию со дня рождения Л.С.Понтряпша. Москва. МГ. им. М.В.Ломоносова, 2008.

• 14-я и 15-я Саратовская зимняя школа "Современные проблемы теории функций i их приложения", 2008, 2010.

• Международная конференция «Качественная теория дифференциальных уравненш и приложения». Москва, МЭСИ, 2008 - 2011.

• Международная конференция по дифференциальным уравнениям н динамически системам. Суздаль, 2008. 2010.

• Воронежская весенняя математическая школа '''Современные методы качественно* теории краевых,задач" — "Понтрягинские чтения - XIX", "Понтрягинские чтенн -XXII". Воронеж, ВГУ, 2008, 2011.

• 4-я международная конференция "Математические идеи П.Л.Чебышева и и приложение к современным проблемам естествознания". Обнинск, 2008.

• Международная конференция "КРОМШ 2008", "КРОМШ 2011" - XIX п XXI Крымская осенняя математическая школа-симпозиум. Украина, 2008, 2011.

• Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и и приложения", посвященная 70-летаю ректора МГУ академика В.А.Садовничего Москва, МГУ им. М.В.Ломоносова, 2009.

• Международный Росснйеко—Абхазский симпозиум "Уравнения смешанного типа i родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик — Эльбрус, 2009.

• Международная конференция "NPDE 2009 — Nonlinear PDE and applications". Университет Катании, Италия, 2009.

• СамДиф-2009: конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". СГУ, Самара, 2009.

• "Equadiff 12" — Международная конференция по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Брно, Чехия, 2009.

• Международная научно-практическая конференция "Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика". ПГУ им. М.В. Ломоносова, Архангельск, 2010.

• II Международная школа-семинар «Нелинейный анализ и экстремальные задачи». Институт динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН. Иркутск, 2010.

• Международный конгресс математиков. Индия, Хайдарабад, 2010.

• Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная выдающемуся математику И.Г.Петровскому. Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2011.

• Международная конференция «Painlove Equations and related topics». Международный математический институт Эйлера, Санкт-Петербург, 2011.

• Международная конференция по дифференциальным и разностным уравнениям и их приложениям. Азорский университет, Понта-Дельгада, Португалия, 2011.

• Международная конференция «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях п теории чисел», Белгород, 2011.

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 30 работах sTopa, 2 из которых опубликованы н изданиях, рекомендованных ВАК. Работ в авторстве нет.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав списка литературы из 82 наименований, включая работы автора. Объем диссертации ставляет 96 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность проблемы, дается краткий обзор ■ бот, связанных с темой диссертации, приводятся свойства собственных значений и бственных функций иссле;(уемой задачи, формулируется цель исследования.

В первой и второй главах рассматривается задача. Штурма — Лиувилля следующей постановке:

W)-?(®)»(®) + Ay(®) = 0, (1

у'{0) - 0) = 0, ?/(!) + fc2j/(l) = 0, ^

где q(x) — неотрицательная ограниченная суммируемая на [0,1] функцт удовлетворяющая условию:

/ q1(x)dx = 1,7^0. (3

Jo

Множество таких функций q(x) обозначим Ау.

Под решением задачи (1)-(2) при заданном А понимается такая функция у{х определенная на отрезке [0,1], что у'(х) абсолютно непрерывна, уравнение (1 выполняется почти всюду на интервале (0,1) и у(х) удовлетворяет условиям (2).

Получены оценки минимального собственного значения Ai задачи (1)-(2)-(3) ир различных значениях параметров 7 и к и доказана их достижимость.

Согласно вариационному принципу, А \(п) — inf Ría, w), где

»еЯ,(0Д)\{0}

f y'2(x)dx + f q(x)y2(x)dx + к2 (у2(0) + у\ 1))

Пусть

R(q, У)=°- х

fy2(x)dx о

М-! = sup A^g), m7 = inf Ai (q). q{:i)eAy íMe-'l-,

В перво11 главе получены оценки для М7 при различных значениях параметров 7 и / Доказаны следующие результаты.

Теорема 1.

1. Если 7 6 (-оо, 0) и (0,1), то М1 — +сс.

2. Если 7 = 1, то М1 — £», где — решение уравнения

к2 £ - 1

причем существуют такие функции у^(х) £ Я!(0,1) и € А~и нтп

Мх =

3. Если 7 <Е (1,+оо), то 1 < М7 < тш (1 + 2А:2,7Г2 + 2), и существуют таки функции и(х) € //¡(0,1) и д,(х) 6 А1г что Л(ч„и) = М.,, причел!.

при к — 0 имеем Му = 1 = Л(1, с), где с — произвольная константа.

При доказательстве теоремы 1 использовались различные методы. Приведем екоторые из них.

1. При 7 € (~оо,0) и 7 S (0,1) для доказательства оценки М7 = +со построены такие последовательности функций qe, что R(q¿, у) —> оо при £ ч 0 для всех у{х) € #i(0,l).

2. Для 7 = 1, к ф 0 построена функция

cos sfcx + sin х £ [0, г),

У£.(х) - ^ cos + sin V&T, X e[r, 1 - т),

cos vC( 1 - z) + sin ^(1 - x), X 6 [1 - r, 1], которая является первой собственной функцией задачи (1)—(2)—(3), где

[ 0, 0<кт, 1 к2

(¡Ф) = < т < х < 1 - г, г = arctg

ДО, 1 - г < i < 1, и доказано, что Mi = = R{q*,yt.)-

3. При 7 е (1,+оо) используется неравенство

Я(9.1/) < G(y),

где

1 /1

/ у'2(х)сгх + / + к2 (у2(0) + у2«) СЫ = о-V«-—2-, (4)

/ у2[х)йх о

р = > 2, и доказываемая в диссертации лемма.

Лемма 1.1.1. Пусть ■у > 1 и т — М СЫ). Тогда существу ет такая

г/еЯ,(ол)\1о}

функция и(х) € Ях(0,1), что тп = С(и), причем и(х) > 0 на [0,1], удовлетворяет уравнению и"{х) - ир~г(х) + ти(х) — 0, где р = и условиям

í u'ÍO) - k2u(0) = О, ¡\,Mdx-

Изучены свойства (функции и(а;), которая реализует минимум функционала (4). доказаны ее выпуклость и симметричность относительно середины отрезка.

Далее установлено, что если 7 > 1, то

= sup inf R(q,y) = ,u) = G{u) = т. qeAy yeHi(o,i)\{o}

Во второй главе получены оценки для т7 при различных значениях параметров и к.

Доказаны следующие результаты. Теорема 2.

1. Если 7 е (0, +оо), то тг2 > m-, >тг2-~- + 0 при к со. При этом

• если 7 6 (1,+со), тс; т7 = Л'/, где Aj - первое собственное значение задач у" + Ai/ = 0 с условиями (2):

• если 7 = 1, то та! 6 [1/4; 7г2] ври есег к, пц € [1/4; 1) при А; = 0;

• если 7 6 (0,1). то т7 е [1/4; тг2] при всех к, m7 S [1/4; 1] при к = 0.

£ Ясли 7 € (-1,0), то т7 > 1/4 при всех к, т7 6 [1/4; 1] при к = 0.

3. Если 7 G (-со, -1], то т7 > 1/4, « существуют такие функции и(х) е Я^О, 1) t <b(x), удовлетворяющая условию (3), что R(q»,u) = т7.

При доказательстве существования оценки снизу минимального собствешюг значения Ai при 7 € (-00,-1] рассматривается функционал (4), где р = ^ 6 [1,2) причем G {у) < R(q,y), и доказывается лемма 2.1.1, аналогичная лемме 1.1.1 в главе 1:

Лемма 2.1.1. Пусть 7 < -1 и m - inf G (у). Тогда существует така

2/effj(0,i)\{0}

функция и{х) 6 Я^О. 1), что m = G (и), причем и(х) > 0 на [0,1]. удовлетворясп уравнению и"{х) - иг,~](:г) + ти{х) = 0, где, р = и условиям

Г и'{0) - k2u(0) = 0. Г1 в, . ,

Далее установлено, что если 7 £ (—00, —1], то

m7 == inf inf R{q,y) = R(u^, и) = G (и) - т.

чел,уашто)

Наряду с методами доказательства, используемыми в главе 1, при доказательств теоремы 2 использовались, в частности, следующие методы.

1. При 7 > 1 построена такая последовательность функций qe, чтота7 < R(qe, yt) A при £ -> 0, где yi(x) — первая собственная функция, а А° — первое собственное значение задачи у" + Ху - 0 с условиями (2). Заметим, что тщ > А? при всех 7.

2. Для случая 7 = 1, к — 0 доказано, что оценка сверху первого собственного значени не может совпадать с оценкой снизу, следовательно, mt < Мг. Заметим, что из п.' теоремы 1 следует, что ML = 1 при к — 0.

МИЙ!

Рис. 1: Случай < 0.

Рис. 2: Случай 7 6 (0; 1).

>•

-1,1 м'|.____ -----

/

М;= 1 '/А......■.....,' РЧ

у к"

Рис.. 3: Случай 7 = 1.

Рис. 4: Случай -у > 1.

, В третьей главе дается графическая и табличная интерпретация полученных езультатов для симметричных краевых условий.

На рисунках 1-4 изображены графики зависимости пи и М, от к2 в случае точных ценок и области изменения пи, и М7 для разных значений 7.

Здесь функция А{{[к2) — первое собственное значение задачи у" + \у = 0 с условиями I), функция А}(А;2) — первое собственное значение задачи у" - у + Ху = 0 с условиями Й.

< = ,т£ вир А'^д),

^е А^) — первое собственное значение задачи Дирихле для уравнения (1). Оценки для Ц и М^ при всех 7 получены в работе23.

| Для построения указанных графиков и областей используются результаты из первой I второй глав, а также доказанные в третьей главе дополнительные свойства всех зображаемых функций.

2,Ежак С.С. Об оценках минимального собственного значения задачи Штурма—Лпувялля с: интегральным условием Современная математика и ее приложения. - 2005. - Т. 36. - с. 56-69.

В четвертой главе рассматривается задача Штурма — Лиувилля несимметричными краевыми условиями

у"(х) - q{x)y{x) + \у(х) = 0, (1

2/40) - Цу{0) = о,

г/'(1) + ^г/(1) = о, 10

и интегральным условием (3).

Решение этой задачи понимается в том же смысле, что и в первой главе. Будем считат1 что ki > 0,к2> 0.

Получены оценки минимального собственного значения Ai задачи (1), (5) пр различных значениях параметров 7, kj, к2 и доказана их достижимость.

В этом случае Ai(fl) = inf R(q, у), где

f y'\x)dx + f q(x)y2(x)dx 4- kjy2( 0) + k¡y2(l) .

R{q, y) = inf ----;-•

jy2(x)dx o

В глаие 4 доказаны следующие результаты.

Теорема 3. Пусть кг ф к>, тогда для М7 верны следующие утверждения.

1. Если 7 G (-ос, 0) U (0,1), то М7 = +оо.

2. Если 7=1, то

• 1 < Mi < min (l + к\ + к?2,7г2 + 2) при всех к\, к2;

• при ki = 0, kj ф 0, где i ф j, имеем М\ — где — решение уравнения

Щ с -1 arctgVf = ~7Г

причем существуют, такие функции У(,(х) £ #i(0,1) и q*(x) £ Л7, чт

3. Если-у € (1,+оо), то 1 < Му < min (l + k'f + k2, 7г2 + 2), и существуют такх функции и(х) S #i(0,1) и q*(x) е А7, что R(q„ и) = М7.

Теорема 4. Пусть к\ ф к2, тогда для т7 верны следующие утверждения. 1. Если 7 £ (0, +оо), то

• гп7 £ [1/4; 7Г2] при всех к\, к2, причем rrif —» tí2 при ki —> 00, к2 —> со,

т.7 —> 7Г2/4 при k¿ —» 0, kj —> 00, где i ф j;

• ту € [1/4;7г2/4] при ki = 0, kj ф 0, где г Ф j, причем ту -> 7г2/4 при ki — О, kj —>• оо, где г j;

• при этом, если у 6 (1, +оо), то ту — AJ, где А, — первое собственное значение задачи у" 4- Ху = О с уыовиями (5).

2. Если 7 € (-1,0), то ту > 1/4.

7 S (—со, —1], то тпу > 1/4, и существуют такие функции и(х) € Я] (0,1) и qt(x), удовлетворяющая условию (3), что R(q,,u) = m7.

Теоремы 3 и 4 доказаны методами, аналогичными тем, которые непользуются при оказательстве теорем 1 н 2. Результаты теорем 3 и 4 is диссертации представлены в виде аблицы.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, октору физико-математических наук, профессору Ирине Викторовне Астанговой за остановку задачи, руководство и постоянное внимание к работе.

убликации автора по теме диссертации

здания из списка ВАК.

[1] Карулина, Е.С. Некоторые оценки первого собственного значения задачи Штурма— Лиувнлля с интегральными условиями на потенциал и симметричными краевыми условиями // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46. - N 6. - С. 901.

[2] Карулина Е.С. Об оценках минимального собственного значения задачи Штурма — Лиувилля с интегральным условием на потенциал и краевыми условиями третьего типа // Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика, Физика. ~ Белгород, 2011.

- N 24 (119), вып. 25. - С. 10-22.

Статьи.

[3] Карулина Е.С. Некоторые оценки первого собственного значения задачи Штурма — Лиувилля с краевыми условиями третьего типа // Международный научный журнал "Спектральные и эволюционные задачи". - Симферополь: ТНУ, 2008. - Т. 18. - С.82-87.

[4] Карулина Е.С. О некоторых оценках первого собственного значения задачи Штурма—Лиувилля с интегральными условиями на потенциал // Дни студенческой науки. Весна - 2008. Институт компьютерных технологий. Сборник научных трудов.

- М.: МЭСИ, 2008. - С. 252-259.

5j E.S. Karulina: Some Estimâtes for the First Eigenvalne of the Stnrm — Liouville . Problem with Symmetric Boundary Conditions // Сб. трудов Международной

миниконференции "Качественная теория дифференциальных уравнений i приложения". - М.: МЭСИ, 2009. - С. 94-104. (ISBN 978-5-7764-0563-1)

[6| Карулина Е.С. О некоторых оценках минимального собственного значения краевое задачи с интегральными условиями на потенциал // Международный научны( журнал "Спектральные и эволюционные задачи". - Симферополь: ТНУ, 2009. -Т. 19. - С. С8-73.

[7] Karulina E.S. Some Estimates for the Minimal Eigenvalue of the Sturm —Liouvilk Problem with Symmetric Boundary Conditions // Сб. трудов Международно миниконференции "Качественная теория дифференциальных уравнений i приложения". - М.: МЭСИ, 2010. - С. 116-123. (ISBN 978-5-7764-0007-2)

[8] Карулина Е.С. О некоторых оценках первого собственного значения одной задач! Штурма—Лиувилля с. интегральным условием на потенциал и краевыми условиям! третьего типа / / Сборник трудов Международной миниконференции " Качественна теория дифференциальных уравнений и приложения". - М.: МЭСИ, 2011. - С. 18-25 (ISBN 978-5-7764-0637-9)

[9] Elena Karulina: On some estimates of the minimal eigenvalue for the Sturm —Liouvill problem with third-type boundary conditions and integral condition ././ «Painlevé Equa tions and related topics». Proceedings of the International Conference. Euler Internationa Mathematical Institute, 2011. - EIMI, St .-Petersburg, 2011. - P. 85-88.

[10] E. Karulina: Some estimates for the minimal eigenvalue of the Sturm—Liouvillc problen with third-type boundary conditions // Mathematiea Bohémica, - Praha, Czech Republic 2011. - V. 13G. - N 4. - P. 377-384.

Тезисы докладов.

[11] Карулина Е.С. О некоторых оценках минимального собственного значения задач! Штурма—Лиувилля с краевыми условиями третьего типа // Современны проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 14-й Саратовско1 зимней школы. - Саратов: СГУ, 2008. - С. 83-84.

[12] Карулина Е.С. О некоторых оценках минимального собственного значения задач Штурма—Лиувилля с симметричными краевыми условиями /'/ Современны методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математическо школы "Понтрягинские чтения - XIX". - Воронеж: ВГУ, 2008. - С. 108-109.

[13] Карулина Е.С. Некоторые оценки минимального собственного значения краево задачи с интегральными условиями на потенциал // Тезисы докладов 4 й международной конференции "Математические идеи П.Л.Чебышева и и приложение к соврем, проблемам естествознания". - Обнинск, 2008. - С.36-37.

14] Карулина Е.С. О некоторых оценках первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с краевыми условиями третьего типа // Дифференциальные уравнения и топология: Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина: Тезисы докладов. - М: ВМиК МГУ, 2008. - С. 138.

15] E.S. Karulina: On Some Estimates for the First Eigenvalue of the Sturm - Liouville Problem with Symmetric Boundary Conditions // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов -Владимир, 2008. - С. 301-302.

16] Карулина Е.С. О некоторых оценках первого собственного значения задачи Штурма—Лиувилля с симметричными краевыми условиями ,// Современные проблемы математики, механики и их приложения. Материалы международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А.Садовничего. -М.: "Университетская книга", 2009. - С. 156.

7] Карулина Е.С. О некоторых оценках минимального собственного значения задачи Штурма —Лиувилля с интегральными условиями на потенциал // Материалы Международного Российско-Абхазского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родств. проблемы анализа и информатики". - Нальчик - Эльбрус, 2009. - С. 124.

8] E.S. Karulina: Some Estimates for the Minimal Eigenvalue of the Sturm-Liouville Problem with Symmetric Boundary Conditions // International conference "NPDE 2009 -Nonlinear PDE and applications". Lectures and Short Communications. - University of Catania, Italy, 2009. - P. 46 - 47/

9] Карулина Е.С. О некоторых оценках минимального собственного значения задачи Штурма —Лиувилля с интегральными условиями на потенциал.// СамДиф-2009: конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". Тезисы докладов. - Самара: "Универс групп", 2009. - С. 31-32.

0] E.S. Karulina: On Some Estimates for the Minimal Eigenvalue of the Sturm-Liouville Problem with Third-type Boundary Conditions // "Equadiff 12" - Conference on Differential Equations and Their Applications. Abstracts. - Academy of Sciences of the Czech Republic, Masaryk University, Brno University of Technology, Brno, 2009. - P. 94.

1] Карулина Е.С. Некоторые оценки первого собственного значения задачи Штурма — Лиувилля с симметричными краевыми условиями // Современные проблемы теории функций и их приложения. Материалы 15-й Саратовской зимней школы. - Саратов' СГУ, 2010. - С; 85-86.

] Карулина Е.С. Некоторые оценки минимального собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с симметричными краевыми условиями и интегральным условием на потенциал // Современные достижения в науке и образовании:

математика и информатика. Материалы Международной научно-практическо! конференции, Архангельск, ПГУ им. М.В. Ломоносова. - Архангельск: КИРА, 2010 - С. 150-151.

[23] Карулина Е.С. Некоторые оценки минимального собственного значения одно задачи Штурма—Лиувилля с интегральным условием на потенциал и краевым; условиями третьего типа // II Международная школа-семинар «Нелинейный анали и экстремальные задачи». Тезисы. - Иркутск, 2010. - С. 37.

|24| Karuliiia E.S. On Some Estimates for the First Eigenvalue of the Sturm — Liouville Prol lerri with Third-type Boundary Conditions and Integral Condition // Международна конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системаь Суздаль. Тезисы докладов. - М: МИ АН. 2010. - С. 214-215.

|25| Elena Karulma. On коше Estimates for the First Eigenvalue of the Sturm—Liouvill Problem with Third-type Boundary Conditions // International Congress of Mathemat ciaus. Hyderabad, 2010. Abstracts. - India, HBA. 2010. - P. 302-303.

|26j Карулина Е.С. Некоторые оценки первого собственного значения одной задач ' Штурма—Лиувилля с интегральным условием на потенциал и краевыми условиям третьего типа // Современные методы теории краевых задач: материал Воронежской весенней математической школы " Понтрягинские чтения - XXII". Воронеж: ВГУ, 2011. - С. 85.

[27] Karulma, E.S. Some estimates of the first eigenvalue for the Sturm —Liouville proble with third-type boundary, conditions and integral condition // Международна конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», пос И.Г.Петровскому. Тезисы докладов. - М: МГУ, 2011. - С. 57-58.

[28] Elena Karulina. Он some estimates of the first eigenvalue for the Sturm-Liouville pro lem with symmetric boundary conditions and integral condition // International Co ference on Differential and Difference Equations and Applications. Abstracts. - Azor University, Ponta Delgada, Portugal, 2011. - P. 83.

[29] Карулина Е.С. О некоторых оценках минимального собственного значеш одной задачи Штурма—Лиувилля с интегральным условием на потенциал симметричными краевыми условиями // КРОМШ 2011. Тезисы докладов. Симферополь: КНЦ НАНУ, 2011. - С. 26-27.

[30] Карулина Е.С. Некоторые оценки минимального собственного значения зада' Штурма—Лиувилля с симметричными краевыми условиями и интегральнь условием на потенциал // Комплексный анализ и его приложения дифференциальных уравнениях и теории чисел: сб. материалов Международн конференции - Белгород: ИПК НИУ «БелГУ», 2011. - С. 63.

Подписано к печати 24.11.11

Формат издания 60x84/16 Бум. офсетная №1 Печать офсетная Печ.л. 1,1 Уч.-юд. л. 1 Тираж 100 экз,

Заказ № 9303

Типография издательства МЭСИ. 119501, Москва, Нежинская ул., 7

Введение

1. Оценки сверху минимального собственного значения для случая симметричных краевых условий

2. Оценки снизу минимального собственного значения для случая симметричных краевых условий

3. Графическая интерпретация полученных результатов для симметричных краевых условий

4. Оценки сверху и снизу минимального собственного значения для случая несимметричных краевых условий

Представленная работа является исследованием в области качественной теории дифференциальных уравнений и спектрального анализа.

В диссертации рассматривается задача, основой которой принято считать задачу Лагранжа (см. [8]): найти наиболее прочную колонну, которая является телом вращения плоской кривой вокруг некоторой прямой, расположенной в ее плоскости.

Физическая постановка задачи Лагранжа и исторический обзор результатов ее исследования.

Задача об оптимальной форме эластичной колонны фиксированного объема с шарнирным опиранием на обоих концах была поставлена Ж.-Л. Лагранжем [43] в 1773 г. на основе работ Л. Эйлера и Д. Бернулли [28]: найти форму упругого тела вращения, максимизирующую ее прочность. Решая эту задачу, Ж.-Л. Лагранж пришел к выводу, что оптимальное решение задачи — колонна постоянного сечения (цилиндр). Ошибка Лагранжа была исправлена почти сто лет спустя член-корреспондентом С.-Петербургской Академии наук Томасом Клаузеном [29]. Задача Лагранжа может быть сформулирована и следующим образом: при заданной критической силе найти колонну минимального объема. Т. Клаузеном было получено решение этой задачи для граничных условий «жесткая заделка — свободный конец».

Ошибка Лагранжа и решение Клаузена описано в работе известного петербургского механика Е.Л. Николаи [22], опубликованной в 1907 году. Он обобщил решение Клаузена, введя дополнительное ограничение на минимально допустимую толщину колонны. Из отечественных исследований 30-х годов можно отметить статью Н.Г. Ченцова [27], рассмотревшего различные формы поперечного сечения стержня, и дипломную работу А.Ю. Ишлинского (1935г.).

В XX веке интерес к этой задаче вновь возник после появления работ Дж.Б. Келлера [41] и Дж.Б. Келлера, И. Таджбахша [50]. Они нашли оптимальную форму колонны для граничных условий «жесткая заделка — шарнир», «жесткая заделка — свободный конец». Н.В. Баничук [1] рассмотрел случай «свободный конец — упругая заделка».

В 1977 году датские исследователи Н. Ольхофф и С. Расмуссен [46] обнаружили, что решение, приведенное в [50] для случая жесткой заделки с обоих концов, неверно и численно нашли оптимальное решение с двумя линейно независимыми формами потери устойчивости (бимодальное решение). Позже их результаты были подтверждены А.П. Сейраняном [23, 24]) и Е. Мейзуром [44], которые использовали различные численные методы. Задача с условиями «жесткая заделка на обоих концах» так и не была решена. На эту тему было много работ (см. [44], [23], [24], [25], [30], [31]), но существование оптимальной формы не доказано до сих пор. С.Дж. Кокс и МЛ. Овертон доказали в [31] теорему существования с некоторыми дополнительными условиями (П.Г. Кримсер и К.-К. Ху в [42] нашли ошибки в работе [31]).

Попытки исправить доказательство Келлера — Таджбахша привели к потоку статей на тему о необходимых условиях оптимальности собственного значения оператора в том случае, когда оно кратно (см. работы A.C. Братуся [3], A.C. Братуся и А.П. Сейраняна [4], Накамуры [45], Кокса и Овертона [31], Овертона [47], А.П. Сейраняна [24] и другие).

В работе Ю.В. Егорова и В.А. Кондратьева [34] предложено альтернативное доказательство теоремы Келлера — Таджбахша, не зависящее от кратности собственного значения задачи. Из результатов, полученных в этой работе, следует, что форма колонны, найденная в их работе, оптимальна, также как и значение критической нагрузки.

Ю.В. Егоров в своих недавних работах (см. [35] - [39]) предложил новый подход к доказательству существования оптимальной формы колонны и новый алгоритм для поиска оптимальной формы, который может служить математической базой для результатов, полученных численно Н. Ольхоффом и С. Расмуссеном, А.П. Сейраняном и Е. Мейзуром.

Математическая формулировка задачи Лагранжа.

Приведем постановку задачи Лагранжа, рассматриваемую в работе Дж.Б. Келлера и И. Таджбахша [50] и связанной с ней вариационной задачи (см. также работы [25], [38]).

Пусть Л — величина нагрузки вдоль оси и и — смещение колонны в ортогональном к оси направлении. Потенциальная энергия колонны равна

Т = /о1 Е1{х)и"{х)Чх - А / u'(x)2dx, о где 1{х) — момент инерции плоского сечения колонны и Е — модуль Юнга. Критической нагрузкой Ai называется максимальное значение Л, при котором infT = 0. Таким образом, и

Ai = inf Flu], где и{х)еЩ{0,1)

F[u) = Jo EI{x)u"(x)2dx fo u'{x)2dx

Уравнение Эйлера — Лагранжа для функционала F имеет вид

Q(x)y"(x)Y + А у"{х) = 0, где функция у(х) удовлетворяет следующим условиям

7/(0) = 2/(0) = у( 1) = у'( 1) = 0,

Q{x) = kS2{x), где S(x) — площадь сечения колонны при 0 < х < 1 {к = const > 0). При этом объем колонны фиксирован, т.е. о1 = 1.

В действительности можно рассматривать колонну с сечением произвольной формы, если все сечения подобны одному из них. Если колонна неоднородна, то есть составлена из слоев с различными упругими свойствами, и сечения не являются подобными, то условие на функцию Q(x) можно заменить условием

Jo Qa{%)dx = 1, Q{x) > 0, при некотором а € [0,1].

Экстремальные спектральные задачи с интегральным условием на потенциал

Задача Лагранжа послужила источником для различных постановок экстремальных задач на собственные значения, в том числе -для уравнений второго порядка с интегральным условием на потенциал. Эти задачи похожи по постановке, но серьезно отличаются по методам исследования и полученным результатам благодаря разным формам уравнения, значениям параметров краевых условий и формам интегрального условия. При этом самостоятельный интерес представляют как оценки собственных значений, так и изучение свойств функций, на которых эти оценки могут достигаться.

Приведем некоторые постановки таких задач.

Задача Дирихле для уравнения у" + Хд(х)у = 0.

Начало исследованиям положила задача, рассмотренная Ю.В. Егоровым и В.А. Кондратьевым в [34] и [8]. Приведем полностью ее постановку и основные полученные результаты.

Авторами рассматривалась задача у"{х) + м{х)у{х) = 0, у( 0) = у{ 1) = 0, где — неотрицательная ограниченная суммируемая на (0,1) функция, удовлетворяющая условию qP{x)dx = 1, $ ф 0. J о

Из вариационного принципа следует, что первое собственное значение Ai может быть найдено следующим образом: 1 f y'2(x)dx Ai = inf -. y(x)ell¿(0,1) J

J q(x)yz(x)dx о

Оценивались значения mp = inf Ai, Mp — sup Ai, где Rp множество вещественнозначных ограниченных суммируемых на (0,1) функций q с положительными значениями и таких, что /МО.

Были получены оценки минимального собственного значения Ai этой задачи при различных значениях ¡3.

Основным результатом является следующая теорема:

Теорема 0.1. (Ю.В. Егоров, В.А. Кондратьев) Если (3 > 1, то

11 1

2'2 тп.Р =

V ~ ( - -

5(2/5 - I)1//?"

2/3, Мй = оо, где В — бета-функция Эйлера: В(а,Ь) = ха *(1 — х)ъ~1йх. Существуют такие функции и{х) £ #¿(0,1) и е Яр, что у(х)еЩ( 0,1)

Если (3 = 1, тот\ = 4, М\ = оо. Дели 0 <Р<\,тоМр = т^ = 0.

Существуют такие функции и{х) е Яд (0,1) и д(х) е что у(®)еЯ0х(0,1)

Если (3<0,тоМ/з = £ - тр = 0.

Существуют такие функции и(х) Е #¿(0,1) и £ Яр, что у{х)ещ(р,1)

Если \ < (3 < 1, то тр = 0, Мр = оо.

Задача Дирихле для уравнения у" + \Р{х)у — 0 с весовым интегральным условием.

В работе [14] рассматривалась задача у"{х) + Л Р{х)у{х) = 0, 2,(0) = у{ 1) = 0, где Р{х) — измеримая неотрицательная функция, удовлетворяющая условию или

Jх(1 — х)Р{х)<1х < оо 0 1 где 7 е Я, 7 ф 0, а е Я, (3 е Я.

Были получены оценки наименьшего собственного значения Ai этой задачи при различных предположениях относительно Р(х) и значений а, ¡3 и 7.

Задача для уравнения у" + Хр(х) у = 0 с краевыми условиями третьего типа.

О.В. Мурышкиной в [20] и [21] рассматривалась задача Штурма

Лиувилля с краевыми условиями третьего типа: у"(х) + А р(х)у(х) = 0,

Г ?/(0) - к\у{0) = 0, 1 ¡/(I) + к\у( 1) = 0, где р(х) — функция из класса Ла, где Аа при сх > 0 множество неотрицательных ограниченных функций (при а < 0 Аа — множество положительных ограниченных функций), удовлетворяющих условию 1

JfWX = 1, о

Исследовалась зависимость минимального собственного значения Ai этой задачи от потенциала р(х) при различных значениях а, к\ и к2-Первое собственное значение Ai может быть найдено следующим образом:

Jy'2{x)dx + k21y2(0) + kly\l)

Ai = inf ----. f p(x)y2(x)dx 0

Оценивались значения ma = inf Ai, Ma = sup Ai. p{x)&Aa p{x)€Aa

В работе [20] рассматривался случай к\ ф а в работе [21] — случай к\ — к\ — к2.

В [6] рассматривалась задача y"{x) + Xq(x)y(x) -0,

I у'(0) - к1у(0) = 0, I 2/(1) + М1) = 0, где 1

7 (ж) >0, J д{х)в,х = 1. о

Исследовалась зависимость минимального собственного значения А1 этой задачи от значений параметров ^ и

Оценивались значения Ш1 = т£ Ль М\ = вир Ль где А\ — множество функций, удовлетворяющих интегральному условию.

Задача для уравнения у" + М(х)у = 0 со смешанным граничным условием.

В работе [5] рассматривалась задача Штурма — Лиувилля у"{х) + \д{х)у{х) = 0,

Г 2/(0) - 0, у'(1) + ку(1) = 0, где д(х) > 0 — суммируемая на [0,1] функция такая, что 1

J др{х)(1х = 1, 0^0. о

Исследовалась зависимость минимального собственного значения Лх этой задачи от к при различных /?.

Задача Дирихле для уравнения у" + д(х)у + Лу = 0. В.А. Винокуровым и В.А. Садовничим в [7] рассматривалась задача у"{х) + (Л - д{х))у{х) = 0, у{0) = 2/(0 = 0, где д{х) — вещественнозначная суммируемая по Лебегу на (0, /) функция.

Исследовался вопрос: насколько сильно можно изменить (увеличить или уменьшить) собственное значение, если д(х) меняется в пределах некоторого подмножества

Q = Up[t} = {q 6 LP(0,0, IMk < t}, t > 0, p e [1,+оо]. в работе получены оценки снизу и сверху минимального собственного значения данной задачи при р > 1, доказана достижимость оценок при р > 1. Достижимость оценок при р — 1 доказана в работе [11].

С.С. Ежак в [И] и [12] рассматривалась следующая задача Штурма — Лиувилля:

У"{х) + aQ{x)y{x) + \у{х) = 0,

1/(0) = 2/(1) = 0, где а = ±1, £?(#) — неотрицательная ограниченная на [0,1] функция, удовлетворяющая условию: 1 jQa(x)dx = 1, а т^О. о

Исследовалась зависимость минимального собственного значения Ai этой задачи от потенциала при различных значениях а. Рассматривался функционал

1 1 / y'2{x)dx — erf Q{x)y2{x)dx

ЩЯ, У) = -- ° f y2(x)dx 0

Согласно вариационному принципу

Ai= inf Д[д,2/]. 2,(Ж)е//с}(0,1)

Оценивались значения rna = inf Ai, Ма = sup Ai, где Аа — множество неотрицательных ограниченных на [0,1] i функций таких, что / Qa{x)dx — 1.

Приведем основные результаты работы [11].

Теорема 0.2. Пусть о = — 1. Если а > 1, то та = 7Г2, Л/а = const < оо, причем существуют такие функции и(х) € #¿(0,1) и Q{x) е Аа, что inf R[Q,y] = R[Q,u] = Ma. у(*)€Я01(0,1)

Если а = 1, то ni\ = 7Г2, М\ — у + 1 + §л/тг2 + 4, причем существуют такие функции и{х) £ Hq(0, 1) и Q(x) G Аа, что inf R[Q,y] = R[Q,u] = M1. у(х)еЩ(0,1)

Если 0 < а < I, то гпа = 7Г2, Ма = оо.

Если а < 0, то та = const > и2, Ма = оо, причем существуют такие функции и(х) G #¿(0,1) и Q(x) € Ла, что inf R{Q, у] = R[Q, и) = та. у(х)еЩ{0,1)

В работе [12] были получены оценки для та и Ма при <7 = 1.

Задача, рассматриваемая в диссертации.

В диссертации рассматривается следующая задача Штурма — Лиувилля: у"{х) - q{x)y{x) 4- \у{х) = 0, (1)

Г 2/(0) - fc2y(0) = 0, \ г/(1) + А&(1) = 0, где q(x) принадлежит множеству Л7 (7 Ф 0) неотрицательных ограниченных суммируемых функций на [0,1], для которых выполняется условие 1

J q1{x)dx = 1, 7^0. (3) о

Будем считать, что к\ > 0, к% > 0.

Оценивается минимальное собственное значение Ai этой задачи при различных значениях 7 и к^

Собственным значением задачи (1), (2) называется значение параметра А, при котором эта задача имеет нетривиальное решение.

Это решение называется собственной функцией данной задачи, соответствующей данному собственному значению.

Собственные значения и собственные функции задачи (1), (2) обладают следующими свойствами ( см., напр., [34], [13], [15], [19]).

1. Все собственные значения задачи (1), (2) действительны.

2. Собственные функции задачи (1), (2), соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

3. Собственные функции задачи (1), (2), соответствующие одному собственному значению, линейно зависимы.

4. Существует неограниченно возрастающая последовательность собственных значений Ао, Ль-., Хп, ■ ■ ■ задачи (1), (2), причем До > 0. При этом собственная функция у(х,\п), соответствующая собственному значению Ап, имеет ровно п нулей в интервале 0 < х < 1.

Согласно вариационному принципу,

1 1 у'2{х)(1х + / д(х)у2(х)г!х + Щу2{0) + Щу2{1) ш = и* ^-^—:-. уеЯ1(0,1)\{0}

Jy2(x)dx о

Положим т1 = inf Ai (q), М7 = sup Ai (q). q{x)£A7 q(x)€A7

В первой и второй главах рассматривается задача Штурма — Лиувилля для уравнения (1) с симметричными краевыми условиями

I у'(0) - к2у(0) = 0, ш

I У'{ 1) + к2у( 1) = 0, l4j

В первой главе получены оценки для М7 при различных значениях параметров 7 и к.

Доказаны следующие результаты. Теорема 1.

1. Если 7 е (—оо, 0) U (0,1), то М1 = +оо.

2. Если 7 = 1, то М\ = где — решение уравнения к2 «е-1 arcts7T vT' причем существуют такие функции у^(х) ^ //i(0,1) и q*{x) е Ау> что Мг = R(q„,y^).

3. Если 7 е (1,+оо), то 1 < М7 < min (l + 2k2, тт2 + 2), и существуют такие функции и{х) G Н\{0,1) и q*(x) 6 А1; что R(q*,u) = М7, причем при к = О имеем М1 — 1 = i?(l, с), где с — произвольная константа.

Во второй главе получены оценки для т7 при различных значениях параметров 7 и к.

Доказаны следующие результаты.

Теорема 2.

1. Если 7 е (0, +оо)7 то 7г2 > т7 > 7г2 — ^ + О при к —>• оо. При этом

• если 7 € (1, +оо), то т7 = А®, где А® — первое собственное значение задачи у" + Ху ~ 0 с условиями (4);

• если 7 = 1, то € [1/4; 7Г2] при всех к, т\ € [1/4; 1) при к = 0;

• ео/ш 7 Е (0,1), то т7 € [1/4; 7г2] при всех к, т1 £ [1/4; 1] при к = 0. Если 7 € (—1,0), то ш7 > 1/4 при всех к, т7 е [1/4; 1] при к = 0.

3. Если 7 6 (—со, — 1], то т7 > 1/4, и существуют такие функции и(х) € #1(0,1) uq*(x), удовлетворяющая условию (3), что R(q*,u) = т1.

В третьей главе дается графическая и табличная интерпретация полученных результатов для симметричных краевых условий.

В четвертой главе рассматривается задача Штурма — Лиувилля (1)-(2)-(3) с несимметричными краевыми условиями. Доказаны следующие результаты.

Теорема 3. Пусть к\ ф къ, тогда для М1 верны следующие утвероюдения.

1. Если 7 е (-оо, 0) и (0,1), то М1 = +оо.

2. Если 7 = 1, то

• 1 < М\ < шт (1 + к\ + 7г2 + 2) при всех к\, кч]

• при кг = 0, к] Ф 0, где г ф у имеем М\ = где — Щ решение уравнения агс^ = —-=-, причем существуют такие функции у^(х) € #1(0,1) и д*(х) € Л7, что Мх =

3. Если 7 € (1,+оо), то 1 < М1 < тт (1 4- к\ 4- Щ, тг2 + 2), и существуют такие функции и(х) Е #1(0,1) и 6 А17 что Я{д*,и) = М1.

Теорема 4. Пусть к\ Ф кч, тогда для т7 верны следующие утвероюдения.

1. Если 7 € (0, +оо), то

• т7 € [1/4; 7г2] при всех к\, к2, причем т7 7г2 при к\ —у оо, —^ сх), т7 -4 7г2/4 при кг —> 0, ^ —> оо; гс?е г ф у,

• т7 £ [1/4; 7г2/4] при ^ = 0, ^ ф 0, где % Ф причем т7 —у 7г2/4 при кг = 0, к$ оо, где г Ф

• при этом, если 7 £ (1,+оо), то т7 = где Л? — первое собственное значение задачи у" + \у = 0 с условиями (2).

2. Если 7 е (—1,0), то т7 > 1/4.

Если 7 £ (—оо, —1], то т7 > 1/4, и существуют такие функции и(х) € #1(0,1) ид*(х), удовлетворяющая условию (3), что 11(д*,и) = т7.

Результаты, полученные для несимметричных краевых условий, представлены также в виде таблицы.

1. Баничук Н.В. Оптимизация устойчивости стержня с упругой заделкой // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1974. -N 4. - С. 150-154.

2. Буттаццо Дж., Джаквинта М., Гильдебрандт С. Одномерные вариационные задачи. Введение // Новосибирск: Научная книга. 2002.

3. Братусь A.C. Кратные собственные значения в задачах оптимизации, спектральные свойства систем с конечным числом степеней свободы // Журн. вычислит, матем. и матем. физ. -1986. Т. 26. - С. 1-7.

4. Братусь A.C., Сейранян А.П. Бимодальные решения в задачах оптимизации собственного значения // Прикл. матем. мех. -1983. Т. 47. - С. 451-457.

5. Браун С.А. Об оценках минимального собственного значения задачи Штурма—Лиувилля со смешанным граничным условием // Дифференциальные уравнения. 2007. - Т. 43. -N 6. - С. 854.

6. Браун С.А. Об оценке собственных значений одной задачи Штурма—Лиувилля // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: Материалы конференции. — Воронеж: Воронежская государственная академия. 2005 - С. 39.

7. Винокуров В.А., Садовничий В.А. О границах изменения собственного значения при изменении потенциала // Доклады Академии наук. 2003. - Т. 392. - N 5. - С. 592-597.

8. Егоров Ю.В., Кондратьев В.А. Об оценках первого собственного значения в некоторых задачах Штурма-Лиувилля // УМН. -1996. Т. 51. - Вып. 3 (309). - С. 73-144.

9. Егоров Ю.В. О задаче Лагранжа об оптимальной форме колонны. // Докл. РАН. 2003. - Т. 392 - N 5. - С. 598-602.

10. Егоров Ю.В. О задаче Лагранжа об оптимальной форме круговых колонн // Современная математика и ее приложения.- 2003. N 10. - С. 57-76.

11. Ежак С.С. Об оценках минимального собственного значения задачи Штурма—Лиувилля с интегральным условием / / Современная математика и ее приложения. 2005. - Т. 36. -С. 56-69.

12. Ежак С.С. Об оценках минимального собственного значения одной задачи Штурма — Лиувилля // Дифференц. уравнения.- 2005. Т. 41. - N И. - С. 1577-1578.

13. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений (самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы) // М: Наука, Главная редакция физико-математической литературы. 1979. - 400 с.

14. Куралбаева К.З. Об оценке первого собственного значения оператора Штурма-Лиувилля / / Дифференциальные уравнения. 1996. - Т. 32. - N 6. - С. 852-853.

15. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1 и 2 // М.: Гостехиздат. 1951.

16. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения // М: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1988. -304 с.

17. Люстериик Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа // М.: Наука. 1965.

18. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных // М.: Наука. 1983.

19. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике // М.: Наука. 1970.

20. Мурышкина О.В. Об оценках минимального собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с несимметричными краевыми условиями // Дифференц. уравнения. 2001. - Т. 37.- N 6. С. 854.

21. Мурышкина O.B. Об оценках минимального собственного значения задачи Штурма—Лиувилля с симметричными краевыми условиями // Вестник молодых ученых. 3'2005. Серия: Прикладная математика и механика. - 1'2005. - С. 36-52.

22. Николаи ЕЛ. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонн // Изв. С.-Петербургского политехи, института. 1907.- T. VIII, вып. 1. С. 255-288.

23. Сейранян А.П. Об одном решении задачи Лагранжа // Доклады АН СССР. 1983. - Т. 271. - N 2. - С. 337-340.

24. Сейранян А.П. Об одной задаче Лагранжа // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1984. - N 2. - С. 101-111.

25. Сейранян А.П. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонны // Институт механики МГУ им. Ломоносова. -Препринт N 60. 2000. - 64 с.

26. Филиновский A.B. Асимптотическое поведение первого собственного значения задачи Робена // Дифференциальные уравнения. 2011. - Т. 47. - N И. - С. 1659.

27. Ченцов Н.Г. Стойки наименьшего веса // Тр. ЦАГИ. 1936. -вып. 265. - 48 с.

28. Эйлер Л. Об упругих кривых. В кн.: Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле // М.-Л.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры. 1934. - С. 447-572.

29. Clausen Т. Uber die form architektonischer Säulen // Bull. cl. physico-math. Acad. St.-Petersbourg. 1851. - T. IX. - P. 371380.

30. Cox S. J. The shape of the ideal column // The Math. Intelligencer.- 1992. V. 14. - N 1. - P. 16-24.

31. Cox S.J., Overton M. L. On the optimal design of columns against bucking // SIAM J. Math. Anal. 1992. - V. 23. - P. 287-325.

32. Egnell H. Extremal properties of the first eigenvalue of a class of elliptic eigenvalue problems // Annal. Sculntern. Series of Numerical Mathematics. 1984. - V. 71. - P. 341-350.33