Задачи сопряжения решений уравнения Гельмгольца в координатных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Преобразование Фурье и аналитические функции. Абстрактная приближенная схема.'.

§1. Распределения и преобразование Фурье

§2. Задача Коши для уравнения Гельмгольца в полуплоскости и в полуполосе

§3. Абстрактная приближенная схема

Глава 2. Задачи дифракции электромагнитных волн на металлических лентах и на ступенчатой неоднородности

§4. Задача дифракции на металлической ленте.—

§5. Задача дифракции на периодической решетке

§6. Метод усечения БСЛАУ, I.

§7, Задача дифракции на стыке волноводов. Метод интегральных уравнений

§8. Задача дифракции на стыке волноводов. Метод сумматорных уравнений

§9. Метод усечения БСЛАУ, II.

Глава 3. Сопряжение открытых диэлектрических полноводных структур

§10. Задача Коши для уравнения Гельмгольца в четверти плоскости

§11. Задача Коши для уравнения Гельмгольца в четверти плоскости (продолжение)

§12. Задача Коши для уравнения Гельмгольца в полуплоскости, составленной из двух квадрантов

§13. Задача дифракции на стыке двух квадрантов

§14. Стык планарных диэлектрических волноводов

з —

В диссертации рассмотрен ряд вопросов, связанных с применением и обоснованием метода интегрального преобразования Фурье при решении граничных задач для двумерного уравнения Гельмгольца. Исследования ориентированы на дальнейшее развитие математического аппарата метода частичных областей, широко применяемого при исследовании задач волноводной электродинамики.

Многие задачи электродинамики могут быть сформулированы как краевые задачи для системы уравнений Максвелла [43], [67]. Для однородной изотропной среды в скалярном случае, когда искомое поле не зависит от одной из пространственных переменных, любое решение системы уравнений Максвелла может быть выражено через две потенциальные функции, каждая из которых является решением уравнения Гельмгольца. В общем случае потенциальные функции удовлетворяют системе двух уравнений с частными производными 2-го порядка. Таким образом, исходные краевые задачи для системы Максвелла сводятся к краевым задачам для двух скалярных или векторного потенциального уравнения.

Пусть нужно найти электромагнитное поле в сложной области, разделенной на простые подобласти, заполненные однородной и изотропной средой с заданными свойствами. На границах раздела сред должны быть непрерывны касательные составляющие электрического и магнитного вектора. Если некоторые участки границ подобластей являются металлическими (бесконечно тонкими и идеально проводящими), то на них должны обращаться в нуль касательные составляющие электрического вектора.

Метод частичных областей (МЧО) или, как принято говорить, метод сшивания, состоит в следующем. Пусть в каждой подобласти сложной области искомое решение системы Максвелла или, что чаще используется, решение потенциального уравнения (уравнения Гельмгольца) можно представить в виде ряда с неизвестными коэффициентами или в виде интеграла с неизвестной плотностью. Тогда из условий сопряжения поля легко получить сумматорные или интегральные уравнения, определенные на всех участках границ подобластей. Эти функциональные уравнения можно заменить на бесконечные системы линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ), если спроектировать их на подходящие системы функций.

Аналитические решения задач сопряжения решений уравнений с частными производными удается получить лишь для относительно простых координатных структур. Задачу принято называть координатной, если границы частичных областей являются координатными линиями или поверхностями. Многие ключевые граничные задачи электродинамики, решения которых можно получить в явном виде, рассмотрены в известных монографиях [44], [40]. В этих книгах использованы три строгих метода: метод Винера-Хопфа (Винера-Хопфа-Фока), метод Джонса и метод вычетов. Метод Винера-Хопфа в задачах электродинамики состоит в следующем: исходная граничная задача приводится к интегральному уравнению типа свертки (как правило, методом функции Грина), которое с помощью интегрального преобразования Фурье переводится в функциональное уравнение. При решении функционального уравнения используется метод факторизации. В методе Джонса [44], §2.2, [40], гл.З, §7 интегральное преобразование применяется непосредственно к исходному уравнению с частными производными, в результате получается точно такое же функциональное уравнение Винера-Хопфа. Метод вычетов [40] позволяет найти явные решения некоторых БСЛАУ с помощью вспомогательных функций комплексного переменного.

Приближенные методы решения строгих уравнений, возникающих в задачах электродинамики основаны чаще всего на сведении этих уравнений к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений. При разработке численных алгоритмов наиболее естественно использовать метод усечения (метод редукции) [32], гл.1, §2, [31], гл.XIV, §3, оставляя в алгебраической системе конечное число уравнений и конечное число неизвестных. Отметим, что к конечным СЛАУ приводят и другие приближенные методы решения задач электродинамики, например, квадратурные методы решения интегральных уравнений.

С 50-х годов прошлого века метод частичных областей систематически используется при исследовании задач дифракции электромагнитных волн в сложных структурах. Относительная простота метода позволила получить ряд результатов, важных как в теоретическом, так и в практическом отношении. Но было установлено, что необоснованное применение метода усечения БСЛАУ может привести к неверным решениям. При этом ряд условий, предложенных для проверки истинности численного решения, оказался малоэффективным [72], с.60 (было установлено, что эти условия являются необходимыми, но не достаточными). Известно, например, явление относительной сходимости, впервые описанное в работе [85] (см. также [40]), когда при разных способах усечения БСЛАУ могут быть получены различные ее решения.

Следует отметить, что полное обоснование метода усечения БСЛАУ задач вол-новодной электродинамики провести достаточно сложно. На сегодняшний день это сделано только для очень ограниченного круга задач.

Многочисленные исследования показали, что бесконечные системы уравнений, возникающие при прямом проектировании функциональных уравнений на системы базисных функций, как правило, являются нерегулярными. Можно выделить два подхода, позволяющих решить эту проблему: или разрабатывать методы преобразования БСЛАУ (исходных функциональных уравнений) к виду, допускающему усечение, или искать другие методы решения задач электродинамики, приводящие к регулярным БСЛАУ. Метод полуобращения (или метод задачи Римана-Гильберта), развитый в работах В.П.Шестопалова, Л.Н.Литвиненко, С.А.Масалова, В.Г.Сологуба, А.А.Кириленко и ряда других авторов [70], [71], [72], относится к первому направлению. Второй подход сформировался, например, в работах А.С.Ильинского, Е.Ю.Фоменко (Шичаниной) [24], [25], [26], [27], К.Г.Асланиди и В.П.Моденова [4], [5]. Более подробный анализ публикаций в данном направлении дан в начале глав 2 и 3

Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Исследованы методом интегрального преобразования Фурье задачи Коши для уравнения Гельмгольца в канонических областях. Получены интегральные и сум-маторные представления решений уравнения Гельмгольца, а также интегральные и сумматорные равенства, связывающие граничные функции в переопределенных задачах Коши.

2. Разработаны методы вывода и регуляризации интегральных и сумматорных уравнений задач электродинамики, а также эквивалентных им БСЛАУ, основанные на интегральных и сумматорных тождествах, полученных при решении вспомогательных задач Коши для уравнения Гельмгольца. .

3. Рассмотрены конкретные ключевые задачи сопряжения решений уравнения Гельмгольца, к которым приводятся: задача дифракции электромагнитной волны на бесконечной периодической решетке из металлических лент; задача дифракции собственной волны на ступенчатой неоднородности в плоском волноводе с металлическими стенками; задача дифракции электромагнитной волны на диэлектрических клиньях и задача сопряжения планарных диэлектрических волноводов.

4. Проведено обоснование метода усечения БСЛАУ для ряда задач дифракции электромагнитных волн с помощью абстрактной приближенной схемы (доказано существование решения усеченных систем, исследована сходимость последовательностей приближенных решений к точному, получена оценка погрешности приближенного решения).

Перечислим также некоторые особенности используемых в диссертационной работе методов исследования.

Рассмотрен наиболее сложный случай, когда коэффициент в уравнении Гельмгольца является вещественным (вещественной кусочно-постоянной функцией), что соответствует задачам распространения и дифракции электромагнитных волн в средах без потерь. Используется метод интегрального преобразования Фурье в классах распределений (обобщенных функций) медленного роста на бесконечности.

При исследовании задач сопряжения в качестве вспомогательных граничных задач используются переопределенные задачи Коши для уравнения Гельмгольца в канонических областях. Необходимые и достаточные условия разрешимости граничных задач, а также новые формы условий излучения (условий на бесконечности) в случае неограниченных областей даны на языке образов Фурье граничных функций (следов распределений). Эти условия применяются как при сведении исходных граничных задач к интегральным и сумматорным уравнениям, так и при регуляризации таких уравнений. Фундаментальные решения уравнения Гельмголь-ца, функции Грина и потенциалы простого или двойного слоя непосредственно не используются.

Особое внимание уделено обоснованию метода усечения БСЛАУ с помощью абстрактной приближенной схемы в тех случаях, когда обсуждаются численные методы решения исходных задач сопряжения. При определенных условиях этот метод позволяет также доказать существование решения исходных граничных задач.

В главе 1 содержатся в основном вспомогательные результаты. В §1 приведены краткие сведения из теории распределений (обобщенных функций) и перечислены используемые в дальнейшем свойства преобразования Фурье в пространствах распределений медленного роста на бесконечности. В §2 методом преобразования Фурье построены решения задач Коши для уравнения Гельмгольца в полуплоскости и в полуполосе с однородными условиями Дирихле или Неймана на бесконечных участках границы. Эти задачи являются вспомогательными граничными задачами при реализации МЧО в следующей главе. Получены интегральные и сумматорные тождества, которые связывают граничные функции в переопределенных задачах. В §3 изложены основные положения абстрактной приближенной схемы Н.Б.Плещинского, адаптированной к обоснованию метода усечения БСЛАУ, и получены вспомогательные неравенства, которые используются в дальнейшем при оценках норм.

Глава 2 посвящена граничным задачам для уравнения Гельмгольца, возникающим в скалярных координатных задачах дифракции электромагнитных волн. Рассмотрены две ключевые задачи дифракции: на металлических лентах в пространстве и на ступенчатой неоднородности в плоском волноводе с металлическими стенками. В этих задачах сшивание полей производится вдоль одной координатной прямой. В §4 рассмотрена задача дифракции электромагнитной волны на металлической ленте. С помощью формул, полученных в §2 при решении вспомогательной задачи Коши для уравнения Гельмгольца в полуплоскости, показано, что эта задача дифракции сводится к интегральным уравнениям различных типов. В §5 таким же способом получены интегральные уравнения и БСЛАУ задачи дифракции плоской электромагнитной волны на бесконечной периодической решетке из металлических лент. Обоснование метода усечения для БСЛАУ задачи дифракции на периодической решетке с помощью абстрактной приближенной схемы (§3) дано в §6.

Задача дифракции электромагнитной волны на стыке двух плоских волноводов разной толщины с металлическими стенками (задача о ступенчатой неоднородности) рассмотрена в §7-§9. В §7 получены и исследованы интегральные уравнения задачи дифракции электромагнитной волны на ступенчатой неоднородности в плоском волноводе. С помощью сумматорных тождеств, полученных в §2 при решении вспомогательных задач типа Коши для уравнения Гельмгольца в полуполосе, эта же задача дифракции сведена к БСЛАУ в §8. В следующем параграфе проведено обоснование метода усечения для БСЛАУ.

В главе 3 исследован ряд граничных задач и задач сопряжения решений для уравнения Гельмгольца, которые соответствуют задачам распространения и дифракции электромагнитных волн в открытых волноводных диэлектрических структурах. Здесь сопряжение решений уравнения Гельмгольца проводится на прямых, принадлежащих разным координатным семействам.

В §10 получено представление решений уравнения Гельмгольца с вещественным коэффициентом в четверти плоскости (первом квадранте) методом интегрального преобразования Фурье. Получены необходимые и достаточные условия на граничные функции в переопределенной задаче Коши. Условия на бесконечности сформулированы на языке образов Фурье граничных функций. В §11 эти результаты перенесены на случай четвертого квадранта плоскости. Проведено дополнительное исследование свойств решения задачи Коши. В §12 рассмотрена задача Коши для уравнения Гельмгольца в полуплоскости, составленной из двух квадрантов. Использованы представления решений уравнения Гельмгольца в отдельных квадрантах и условия на граничные функции. Предложены два способа исключения вспомогательных граничных функций из полной системы необходимых и достаточных условий разрешимости.

1 Задача дифракции электромагнитной волны на стыке двух квадрантов сведена в §13 к системе сингулярных интегральных уравнений. При этом использованы представления решений уравнения Гельмгольца (вместе с условиями излучения) в полуплоскости (§2) ив полуплоскости, составленной из двух квадрантов (§12). В §14 рассмотрены различные подходы к решению задачи дифракции электромагнитных волн на стыке планарных диэлектрических волноводов.

Результаты диссертации докладывались на Научной конференции студентов вузов Республики Татарстан (Казань, 1995), на Международном семинаре "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, 1996), на Международной научной конференции "Краевые задачи, спецфункции и дробное исчисление", поев. 90-летию со дня рожд. акад. Ф.Д.Гахова, (Минск, Беларусь, 1996), на Школе-конференции "Алгебра и анализ", поев. ЮОлетию со дня рожд. Б.М.Гагаева (Казань, 1997). на Международной конференции "Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. MMET*98" (Харьков, Украина, 1998), на Всероссийской школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы, поев. 130-летию со дня рожд. Д.Ф.Егорова (Казань, 1999), на Международной научной конференции "Аналити 8 — ческие методы анализа и дифф. уравнений (AMADE), (Минск, Беларусь, 1999), на Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Итерационные методы решения линейных и нелинейных сеточных задач", (Казань, 1999), на Международной конференции "Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. MMET 2000" (Харьков, Украина, 2000), на Молодежной научной школе-конференции "Задачи дифракции и сопряжение электромагнитных полей в волноводных' структурах" (Казань, 2000), на Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач" (Казань, 2001), на Итоговых конференциях Казанского государственного университета, на семинаре по прикладной электродинамике Нижегородского технического университета (рук. - проф. С.Б.Раевский) (Нижний Новгород, 1999) и на научном семинаре кафедры прикладной математики Казанского государственного университета (рук. - проф. Н. Б. П лещинский).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [56], [57], [79], [47], [58], [91], [92], [102], [48], [49], [93], [59], [60]. Из совместных публикаций [79], [47] в диссертации использована принадлежащая автору ча£ть результатов по исследованию задачи о стыках диэлектрических волноводов. Результаты совместных с научным руководителем работ [91], [92], [48], [49], [93] принадлежат их авторам в равных долях.

В совместных с О.А.Раскиной публикациях [52], [53], [94] при решении задачи о разветвлении волноводов с металлическими стенками использованы методы, изложенные в главе 2 диссертации. Эти результаты в диссертацию не вошли.

В §1 использованы фрагменты рукописи Н.Б.Плещинского "Метод преобразования Фурье в задачах сопряжения электромагнитных полей". Результаты §2,§3 и §4 опубликованы в [49], в этой работе использованы идеи статьи [90]. §5 и §6 написаны по работам [48], [49], [93], а §§7-9 - по работам [49], [93], [59]. Основные результаты §§10-12 опубликованы в [91], [92], а §14 написан по работам [57], [58], [102].

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Н.Б.Плещинскому за постановку задач и помощь при проведении исследований.

1. Агранович З.С., Марченко В.А., Шестопалов В.П. Дифракция электромагнитных волн на плоских металлических решетках // Журн. техн. физ. - 1962. -32, Вып. 4. - С.381-398.

2. Адаме М. Введение в теорию оптических волноводов. М.: Мир, 1984.

3. Александрова А.А., Хижняк Н.А. Дифракция электромагнитных волн на диэлектрическом клине // ЖТФ. 1974. - Т.44,вып. И. - С.2241-2249.

4. Асланиди К.Г., Моденов В.П. Проекционный метод сшивания в задаче о сочленении волноводов // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1992 - 32, №2. - С.277-284.

5. Асланиди К.Г., Моденов В.П. К обоснованию проекционного метода сшивания // Вестник МГУ. Сер.15. 1993. - №4. - С.24-30.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 600 с.

7. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. М.: Наука, 1985. - 256 с.

8. Богданов Ф.Г., Кеванишвили Г.Ш. Дифракция волны Hw на диэлектрической ступеньке // Изв. вузов. Радиофизика. 1976. - 23, №2. - С.213-218.

9. Богданов Ф.Г., Кеванишвили Г.Ш. Ближнее поле дифракции волны Н\о на диэлектрической ступеньке // Радиотехника и электроника. 1983. - 28, №7. - С.1432-1434.

10. Боровиков В.А. Дифракция на многоугольниках и многогранниках. М.: Наука, 1966.

11. Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. М.: Мир, 1968. - 276 с.

12. Брычков Ю.А., Маричев О.И., Прудников А.П. Таблицы неопределенных интегралов. М.: Наука, 1986. - 192 с.

13. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977. - 288 с.

14. Вайнштейн JI.A. Дифракция электромагнитных волн на решетках из параллельных проводящих полос // Журн. техн. физ. 1955. - 25, Вып 5. - С.847-852.

15. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Наука, 1964. - 268 с.

16. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. - 512 с.

17. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1980. - 232 с.

18. Гандель Ю.В. О парных интегральных уравнениях,, приводящих к сингулярному интегральному уравнению на системе отрезков // Теория функций, функц. анализ и их прил. 1983. - Вып. 40. - С.33-36.

19. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. - 640 с.

20. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М,: Наука, 1978. - 296 с.

21. Гестрина Г.Н. Дифракция плоской электромагнитной волны на металлической решетке // Радиотехника (Изд-во Харьк. ун-та). 1969. - Вып. 10.

22. Детинко В.Н. Прохождение электромагнитных волн через решетку // Изв. вузов. Физика. 1957. - 1. - С.181-191.

23. Егоров Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа. М.: Наука, 1984. - 360 с.

24. Ильинский А.С. Прямой метод расчета периодических структур // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1973. - Т.13, №1. - С.119-126.

25. Ильинский А.С. Метод исследования задач дифракции волн на периодической структуре //Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1974. - Т.14, №4. - С.1063-1067.

26. Ильинский А.С., Шичанина Е.Ю. Исследование проекционного метода сшивания для задачи рассеяния в круглом волноводе со скачкообразным изменением поперечного слоя // Вестник МГУ. Сер.15. 1986. - №1. - С.16-23.

27. Ильинский А.С., Фоменко Е.Ю. Исследование бесконечномерных систем линейных алгебраических уравнений II рода в волноводных задачах дифракции Ц Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1991. - 31, №3. - С.339-352.

28. Ильинский А.С., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах (Псевдодифференциальные операторы в задачах дифракции). М.: ИПРЖР, 1996. - 176 с.

29. Интегральная оптика / Под ред. Т.Тамира. М.: Мир, 1978. - 344 с.

30. Какичев В.А. Методы решения некоторых краевых задач для аналитических функций двух комплексных переменных. Тюмень: Изд-во Тюменск. ун-та, 1978. - 124 с.

31. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ.- М.: Наука, 1984. -752 с.

32. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. 696 с.

33. Карпенко В. А. Дифракция поверхностных волн на стыке двух тонкопленочных волноводов // Докл. АН БССР. 1977. - 21, №8. - С.687-690.

34. Кисунько Г.В. К теории распространения электромагнитных волн в трубах со скачкообразно меняющимся сечением // Докл. АН СССР. 1947. - 58, №8. -С.1653-1656.

35. Курилко В.И. Рассеяние электромагнитных волн прямоугольным диэлектрическим клином // Изв. вузов. РФ. 1966. - Т.9, №5. - С.980-986.

36. Лебедев В.И., Агошков В.И. Операторы Пуанкаре-Стеклова и их приложения в анализе. М.: Отдел вычисл. математики АН СССР, 1983. - 184 с.

37. Малин В.В. К теории ленточных решеток конечного периода // Радиотехника и электроника. 1963. - 8, №2. - С.211-220.

38. Махер А., Плещинский Н.Б. Задача о скачке для уравнения Гельмгольца в плоскослоистой среде и ее приложения // Изв. вузов. Матем. 2002. - №1. -С.45-56.

39. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир, 1974.- 328 с.

40. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Том II. М.: ИЛ, I960.- 886 с.

41. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.- 512 с.

42. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1978. - 544 с.

43. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. М.: ИЛ, 1962. - 280 с.

44. Ногин Н.В. К решению интегральных уравнений первого рода с логарифмическим ядром // Мат. физ. (Киев). 1982. - №31. - С.53-57.

45. Плещинская И.Е., Плещинский Н.Б. К решению задачи дифракции электромагнитных волн на периодической решетке методом интегральных уравнений // Исслед. по прикладной матем. 1984. - Вып. 11, ч.2. - С.61-78.

46. Плещинский Н.Б., Тумаков Д.Н. Метод частичных областей для скалярных координатных задач дифракции электромагнитных волн в классах обобщенных функций // Препринт 2000-1. Казанское матем. об-во. Казань, 2000. -50 с.

47. Плещинский Н.Б. К абстрактной теории приближенных методов решения линейных операторных уравнений // Изв. вузов. Матем. 2000. - №3. - С.39-47.

48. Скурлов В.М., Шестопалов В.П. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода в задаче дифракции плоской волны на щели // Дифференц. уравнения. 1969. - 5, №12. - С.2173.

49. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. - 496 с.

50. Тумаков Д.Н. Дифракция на стыке двух планарных многослойных диэлектрических волноводов // Тезисы докл. научной конф. студентов вузов Республики Татарстан. Секция "Физ.-мат. науки". Казань, апрель 1995 г. - Казань, 1995. -С.31.

51. Тумаков Д.Н. Интегральные уравнения задачи о стыке многослойных планарных диэлектрических волноводов // Дифференц. уравнения и их приложения. Тезисы докл. междунар. семинара. Самара, 25-29 июня 1996 г. Самара, Сам-ГУ, 1996, ч.2. - С.45.

52. Федорюк М.В. Интегральные преобразования // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. напрваления / ВИНИТИ. 1986. - 13. - С.211-253.

53. Фельд Я.Н. Падение электромагнитных волн на двойные бесконечные решетки // Докл. АН СССР. 1956. - 107, №1. - С.71-74.

54. Фельд Я.Н. Дифракция электромагнитной волны на полубесконечной решетке // Радиотехника и электроника. 1958. - 3, №7. - С.882-889.

55. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2.- М.: Наука, 1970. 800 с.

56. Хаскинд М.Д., Вайнштейн Л.А. Дифракция плоских волн на щели и ленте // Радиотехника и электроника. 1964. - 9, №10. - С.1800.

57. Хведелидзе Б.В. Метод интегралов типа Коши в разрывных граничных задачах теории голоморфных функций одной комплексной переменной // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. / ВИНИТИ. 1975. - 7. - С.5-162.

58. Хёнл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964. - 428 с.

59. Хроменко Т. Г. Дифракция электромагнитных волн на полу бесконечных симметричных препятствиях в прямоугольном волноводе // Радиотехника. Респ. межвед. науч.-техн. сб. 1969. - вып. 10.

60. Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций. -Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1977. 304 с.

61. Шестопалов В.П. Метод задачи Римана-Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1971.- 400 с.

62. Шестопалов В.П., Литвиненко Л.Н., Масалов С.А., Сологуб В.Г. Дифракция волн на решетках. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1973. - 287 с.

63. Шестопалов В.П., Кириленко А.А., Масалов С.А. Матричные уравнения типа свертки в теории дифракции. Киев: Наукова думка, 1984. - 296 с.

64. Ямпольский В.Г. Дифракция плоской элекромагнитной волны на системе металлических полос // Радиотехника и электроника. 1963. - 8, №4. - С.564-576.

65. Baldwin G.L., Heins А.Е. On the diffraction of a plane wave by an infinite plane grating // Math. Scand. 1954. - 2, 1. - P. 103.

66. Brooke G.H., Kharadly M.M.Z. Scattering by abrupt discontinuites on planar dielectric waveguides // IEEE Trans. Microwave Theory and Techn. 1982. - 30, №5. - P.760-770.

67. Brooke G.H., Kharadly M.M.Z. Step discontinuites on dielectric waveguides // Electron. Lett. 1976. - 12, №18. - P.473-475.

68. Davies J.B. A least-squares boundary residual method for the numerical solution of scattering problems // IEEE Trans. Microwave Theory and Techn. 1973. - 21, №2. - P.99-104.

69. Gelin Ph., Petenzi M., Citerne J. New rigorous analysis of the step discontinuity in a slab dielectric waveguide // Electron. Lett. 1979. - 15, №12. - P.355-356.

70. Karp S.N., Russek A. Diffraction by a wide slit // J. Appl. Phys. 1956. - 27. -P.886-894.

71. Kraut E.A., Lehman G.W. Diffraction of electromagnetic waves by a right-angle dielectric wedge //J. Math. Phys. 1969. - V.10. - P.1340-1348.

72. Lewin L. On the resolution of a class of waveguide discontinuity problems by the use of singular integral equations // IRE Trans, on Microwave Theory and Techn.- 1961. 9, July. - P.321-332.

73. Liineburg E. Field matching and singular integral equations // Radio Science. -1981, Nov.-Dec. 16, №6. - P.979-981.

74. Meister E., Latz N. Ein System singularer Integralgleichungen aus der Theorie der Beugung elektromagnetischer Wellen an dielektrischen Keilen // ZAMM. 1964. -44, Sonderheft. - S.47-49.

75. Mittra R. Relative convergence of the solution of a double-infinite set of equations // J. Res. Natl. Bur. Std. 1963. - 67 D, №2. - P.245-254.

76. Montgomery J.P., Lewin L. Note on an E-plane waveguide step with simultaneous change of media // IEEE Trans. Microwave Theory and Techn. 1972. - 20, №11.- P.763-764.

77. Pascher W., Pregla R. Analysis of rectangular waveguide discontinuities by the metod of lines // IEEE Trans. Microwave Theory and Techn. 1995. - 43, №2. -P.416-420.

78. Pascher W., Pregla R. Analysis of rectangular waveguide junctions by the metod of lines // IEEE Trans. Microwave Theory and Techn. 1995. - 43, №12. - P.2649-2653.

79. Pleshchinskaya I.E., Pleshchinskii N.B. The Cauchy problem and potentials for elliptic partial differential equations and some of their applications // Advances in Equations and Inequalities (ed. J.M.Rassias). Hadronic Press, 1999. - P. 127146.

80. Raskina O.A., Tumakov D.N. Electromagnetic wave diffraction on an N-branching of a plane waveguide // Proc. Int. Conf. Mathematical Methods in Electromagnetic Theory MMET 2000. Kharkov, Ukraine, Sept. 12-15, 2000. Vol.2. P.400-402.

81. Royer E.G., Mittra R. The diffraction of electromagnetic waves by dielectric steps in waveguides // IEEE Trans. Microwave Theory and Techn. 1972. - 20, №4. -P.273-279.

82. Rozzi Т.Е. Field and network analysis of interacting step discontinuites in planar dielectric waveguides // IEEE Trans. Microwave Theory and Techn. 1979. - 27, №4. - P.303-309.127 —

83. Rozzi Т.Е. Rigorous analysis of the step discontinuity in a planar dielectric waveguide // IEEE Trans. Microwave Theory and Techn. 1978. - 26, №10. -P. 738-746.

84. Rudolph H. Millimeter-wave mode conversions at dielectric waveguide steps // Applied Physics. 1980. - 23. - P.381-385.

85. Someda C.G., Giusti A., Rocchi 0., Vezzoni E. Radiation loss caused by geometrical discontinuites in dielectric waveguides // Alta freq. 1977. - 46, №2. - P.91-102.

86. Stockel H. Die exakte, geschlossene Losung fur die Beugung einer ebenen, elektro-magnetischen Welle am Spalt // Ann. Phys. 1962. - 9, 5-6. - S.242.

87. Stockel H. Beugung am Spalt // Ann. Phys. 1965. - 16, 5-6. - S.209.

88. Wexler A. Solution of waveguide discontinuities by modal analysis // IEEE Trans. Microwave Theory and Techn. 1967. - 15, №9. - P.508-517.

89. Yajima H. Coupled mode analysis of dielectric planar branching waveguides // IEEE Journal of Quantum Electronics. 1978. - 14, №10. - P.749-755.

90. Yoneyama Т., Nishida S. Approximation solution for step discontinuity in dielectric slab waveguide // Electron. Lett. 1981. - 17, №4. - P.151-153.