Краевые задачи для уравнения Гельмгольца в плоских областях с разрезами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

КОЛЫБАСОВА Валентина Викторовна

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПЛОСКИХ ОБЛАСТЯХ С РАЗРЕЗАМИ

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 2006

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Крутицкий Павел Александрович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Захаров Евгений Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор Сетуха Алексей Викторович.

Ведущая организация:

Институт вычислительной математики РАН.

Защита состоится года в •^(?4=час. на заседании

диссертационного совета К 212.157.01 при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу: 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 13, в аудитории

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МЭИ (ТУ) по адресу: Москва, Красноказарменная ул., д. 13.

Отзывы (в двух экземплярах, заверенные печатью) на автореферат просьба присылать по адресу: 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 14, Учёный совет МЭИ (ТУ).

Автореферат разослан "^"сре^рсм^ 2006 года.

Учёный секретарь диссертационного совет! кандидат физ.-мат. наук, доцент

Григорьев В. П.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая работа посвящена исследованию краевых задач в плоских областях с разрезами для уравнения Гельмгольца. Краевые задачи в плоских областях, содержащих разомкнутые кривые (разрезы), имеют много приложений в физике и механике, так как разрезы моделируют трещины в твёрдых телах, крылья и экраны в жидкостях и газах, электроды в полупроводниках и т.д.

Из краевых задач для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости в настоящее время достаточно подробно изучены задача Дирихле и задача Неймана ввиду их большой практической значимости в акустике, электродинамике и т.д. Как теоретическим, так и численным аспектам решения этих задач посвящено много исследований. Смешанные краевые задачи для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости с заданием условия Дирихле на одной стороне разрезов и условия Неймана (либо условия с косой производной) на другой изучались Крутицким и Прозоровым (2004, 2005). Задачи Дирихле и Неймана (внутренние и внешние) для диссипативного уравнения Гельмгольца в областях, ограниченных замкнутыми и разомкнутыми кривыми, изучены Крутицким (1998) методом интегральных уравнений. Внешняя задача Неймана для уравнения Лапласа в таких же областях изучена Вайникко, Лифановым и Полтавским (2001) методом гиперсингулярных уравнений.

Целью работы является решение ряда краевых задач для уравнения Гельмгольца в плоских областях с разрезами. Рассматриваются смешанные задачи в областях с разрезами, когда на разрезах задано условие Дирихле, а на замкнутых кривых — условие Неймана, или наоборот. Кроме того, рассматриваются краевые задачи вне разрезов на плоскости со сложными граничными условиями, а именно, изучат ется обобщение задачи Неймана вне разрезов на плоскости, а также изучается смешанная задача вне разрезов на плоскости, когда на одной стороне разрезов задано з'словие Дирихле, а на другой — условие третьего рода.

Цель работы состоит не только в доказательстве теорем существования и единственности классического решения рассматриваемых краевых задач, но и в получении интегрального представления для решения, а также в сведении каждой задачи к однозначно разрешимому интегральному уравнению Фредгольма второго рода в подходящем банаховом пространстве.

Методы исследования. Основным о]

ВНБЛНОТЕКА | СПетфбиг /л/,

оэ т^ист 11/(:

и—■>—Ш

ничных интегральных уравнений, основанный на методе потенциалов. Эти методы позволяют не только доказать классическую разрешимость задачи, но и получить интегральное представление для её решения, а также свести краевую задачу к интегральному уравнению на границе области. Для исследования получающихся граничных интегральных уравнений используется теория сингулярных интегральных уравнений и применяются методы функционального анализа.

Научная новизна. Новыми являются результаты, связанные с краевыми задачами, ранее не изучавшимися. Впервые изучены краевые задачи для диссипативяого уравнения Гельмгольца в плоских областях с разрезами, когда на замкнутых кривых задано условие Дирихле, а на разрезах — условие Неймана, или наоборот. Изучено обобщение задачи Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. Кроме перечисленных задач, исследована краевая задача для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости, когда на одной стороне каждого разреза задано условие Дирихле, а на другой — условие третьего рода.

Для каждой задачи доказаны теоремы существования и единственности классического решения. Все задачи сведены к однозначно разрешимым интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. Получены интегральные представления для решений этих задач в виде потенциалов. Получены оценки градиента решения на концах разрезов.

Практическая ценность. Полученные результаты представляют как прикладной, так и математический интерес. Они могут быть применены, например, для решения задач рассеяния акустических, поверхностных, упругих и температурных волн на тонких и толстых цилиндрических препятствиях. Полученные результаты также могут быть использованы при решении задач диффузии и задач о колебаниях мембраны. В работе развиты и применены новые методы, позволяющие исследовать широкий круг смешанных краевых задач, которые раньше не изучались.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре "Дифференциальные уравнения" (руководители Амосов А. А. и Дубинский Ю. А.), на семинаре "Интегральные уравнения и их приложения" факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ (руководители Захаров Е. В. и Лифанов И. К.), на семинаре кафедры математики физического факультета МГУ (руководитель Бутузов В.Ф.), на всероссийской школе-семинаре "Физика и применение микроволн" (Звенигород, 2005), на международном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачах математичес-

кой физики" (Херсон, 2005), а также на международных конференциях молодых учёных механико-математического (2005) и физического (2003, 2005) факультетов МГУ. Кроме того, результаты диссертации были представлены на всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (Абрау-Дюрсо, 2004).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-12].

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, приложения, заключения и содержит 120 страниц текста. Список цитируемой литературы включает 114 работ.

Содержание работы

Во введении дан обзор литературы по теме диссертации, изложены основные результаты диссертации.

Обратимся к систематическому изложению результатов, полученных в диссертации. Были решены четыре задачи математической физики. В постановке и методе решения есть общие моменты. Остановимся на них.

Будем рассматривать уравнение Г'ельмгольца Аи + к2 и = 0, где к ф 0, 0 < arg к < п. Если Im/c — 0, то уравнение Гельмгольца будем называть волновым, а если Im к > 0, то диссипативным (среда с поглощением).

В первых двух главах диссертации решаются краевые задачи для уравнения Гельмгольца в плоских областях с разрезами. В декартовых координатах на плоскости х = (Х\:Х2) € R2 рассмотрим многосвязную область, ограниченную простыми разомкнутыми кривыми Г}...., Г]^ класса С2,л. A G (0,1], и простыми замкнутыми кривыми Г2,..., Гдг2 класса С2'0 так, что кривые не имеют общих точек, в том числе и концов. Будем рассматривать как случай внешней,

так и случай внутренней области, когда кривая Г2 охватывает все

Ni N¡

остальные. Положим Г1 = U Г*, Г2 = [J Гп, Г — Г1 U Г2. Связ-

71=1 П=1

ную область, ограниченную Г2 и содержащую Г1 , будем называть Т>, так что dV = Г2; Г1 С V. Пусть каждая кривая Г* параметризована и в качестве параметра выступает дуговая абсцисса (длина дуги) s: Г* = {х: х = а:(а) = (x^s),^)), se[a£,bj¡]}, n = 1,..., JVfc, к = 1,2, так, что а\ < b\ < ... < a}Nl < Ь1^ < а\ < bf < ... < < и область V остаётся справа при возрастании параметра s на Г2. Вектор касательной к Г в точке обозначим тх = (cosa(s),sina(s)), где cosa(s) = x\(s), sina(s) = x'2(s). Вектор нормали, совпадающий с вектором касательной при повороте на угол 7г/2 против часовой

стрелки, обозначим nx = (sin a(s), - cos a(s)). Так что nT — внутренняя нормаль к Р на Г2.

Совокупности отрезков оси Оз, отвечающих Г1, Г2 и Г, будем также обозначать Г1, Г2 и Г соответственно.

Будем говорить, что функция T(s), определённая на Г1, принадлежит банахову пространству С" (Г1). w 6 (0,1], q € [0,1), если

T0{s) = T{s) П \s - аЦ9 \s - ЪЦ" e (Г1). Норма в пространст-

П=1

ве (Г1) определяется формулой И-Т^Цс^г1) = l!^o(s)|!cc^(r1)-

Если &i (Г1), 02 (Г2) — банаховы пространства функций, заданных на Г1 и Г2, то для функций, заданных на Г, введём банахово пространство Bi (Г1) П В2 (Г2) с нормой || • ||в,(г1)пе2(г2) = |¡ • Цв^П) + II • ¡1в,(г*)-

Предположим, что плоскость R2 разрезана вдоль Г1. Через (Гх)+ обозначим ту сторону Г1, которая остаётся слева при возрастании параметра s, а через (Г1) — противоположную сторону. Через X обозначим множество точек плоскости, состоящее из концов Г1:

Х= Ü К) U я (6*)).

Первая глава посвящена задаче Дирихле-Неймана в плоских областях с разрезами для диссипативного уравнения Гельмгольца.

Будем говорить, что функция и(х), определённая в V \ Г1, принадлежит классу гладкости Ki, если

1) и G С0 (V \ Г1) Л С2 (Т> \ Г1), то есть, в частности, и(х) непрерывна в V \ Г1, непрерывно продолжима на разрезы Г1 слева и справа во всех внутренних точках, а также непрерывно продолжима на концы разрезов

Г1;

2) Vw <£ С0 (Т> \ Г1 \ Г2 \ X), где X — множество концов Г1;

3) на концах разрезов Г1 функция |Vu| может иметь интегрируемые особенности, то есть при х x(d) £ X для некоторых констант С > 0, € > — 1 справедлива оценка

|Vu| <C\x-x(d)\e, (1)

где d — а* либо d = , п — 1,..., N\\

4) существует равномерный по всем x(s) е Г2 предел (nx, V¿u (я)) при стремлении х 6 V \ Г1 к х € Г2 по нормали п^.

Задача Ui. Найти функцию и(х) из класса К1( удовлетворяющую в РУГ1 уравнению Гельмгольца

Аи + к2и = 0, к — const, Im к > 0

и граничным условиям

Если V — внешняя область, добавим условие на бесконечности и = о (|аг|-1^2), | Vu(®)| = о (И"1/2).

Под ди/дпх на Г2 мы понимаем предел, указанный в п. 4) определения класса гладкости Ki.

С помощью метода энергетических тождеств доказывается теорема единственности.

Решение задачи строится в предположении, что

F+(s), F"(s) е С» (Г1) , A G (0,1], F(s) € С0 (Г2) ;

F+(a1n) = F~(al), F+ = F~ (%) , n = l,...,N1; (3)

где С°(Г2) = П С°(Г2), (П) = W-): Н») € С0 [<&£],

Nk tâ

Далее под /г*. ■. ds будем понимать У* / " ... ds.

n=iJa»

Пусть 'H^(z) — функция Ханкеля первого рода нулевого порядка, которая является сингулярным решением уравнения Гельмгольца.

Решения краевых задач в диссертации строятся с помощью теории потенциала. Решение задачи Ui разыскивается в виде

u[v,n){x) = wi[v](x) + w\jj](x), (4)

где w\p)(x) = Vi\pi\{x) + ю^Цх). Здесь

vM(x) = -А VWP (к\х - у(а)|) da, (5)

г1

w2[n](x) = -j (к\х - у(а)\) da (6)

г2

— потенциалы простого слоя для уравнения Гельмгольца и

Wi[v}(x)=l-fi'(<T)V(x,a)da (7)

Ч

— угловой потенциал для уравнения Гельмгольца, введённый С. А. Габовым. Плотность ¡x{s) разыскивается в пространстве

(Г1) П С0 (Г2), и £ (0,1], q Е [0,1), а плотность v(s) — в пространстве с°-л (Г1).

Ядро углового потенциала V(x, а) определяется формулой V(x,a) = a G [о*,^], n=l,...,Nu где

У = 1/(0 = МО.ЫО), \х - 1/(0I - V(*i-i/i(0)2 + fo-№(0)2-

Ниже будем полагать, что плотность углового потенциала удовлетворяет дополнительным условиям

I и(а) da = 0, n = 1,..., ЛГг, (8)

гь

которые гарантируют принадлежность углового потенциала классу Ki. Интегрируя гиц^](х) по частям и используя (8), выразим угловой потенциал через потенциал двойного слоя

ичИМ = - 1/Wl) d<7>

р(а) = /1/(0 * € [ai, ti], n = l,...,Ni. (9)

<

Показано, что функция (4) удовлетворяет всем условиям задачи Ui, за исключением граничных условий.

Чтобы удовлетворить граничным условиям, мы подставляем (4) в (2) и получаем интегральные уравнения для плотностей /¿(.s), г/(з)

+ ll "("Ж (*(*),") da + j J fi{a)/H^>(k\x(s) - y(a)|) da + r1 r1

+ fi(a)n^{k\x(s)-y(a)\)da = F±(s), s € Г1, (10) г®

i / ^¿К^Иd<7 + í / ^¿^(ФОО - 1/Wl) ^ -

-^ + y^(^n^(k\x(s)-y(a)\)da^F(s), s 6 Г2. (11)

Уравнение (10) получено при x —> a;(s) € (Г1^ и содержит два интегральных уравнения. Верхний знак соответствует интегральному уравнению на (Г1) , а нижний — на (Г1) . В добавление к уравнениям (10) мы имеем условия (8). Вычитая уравнения (10) одно из другого и используя (9), получаем p(s) = (F+(s) - F~(s)) Е C1,Á (Г1),

«/(в) = (F» - F'~(s)) € (Г1), F*(,) ^ ±F=(s). (12)

Заметим, что v(s) определена окончательно и удовлетворяет всем необходимым условиям, в частности (8).

Введём функции fi(s) на Г1 и f2(s) на Г2

Ш = {F+(s) + F-(s))/2-yv(eT)v(x(s),a)da> а€Г\

г1

f2(s) = F(s)-t-fv(a)v{x(s),a)da, s G Г2, (13)

г1

где и (s) задаётся выражением (12).

Складывая интегральные уравнения (10) и учитывая (11), получим интегральные уравнения для n(s) на Г1 и Г2

(*(«)) = 7 /nWiï' - У Wl) da = Ш, s G Г1, (14)

г

_ + ifrt<r)JLniV(k\x(8) - y{a)|) da = f2(s), s G Г2, (15)

где fi(s) и /2(5) определены в (13). Таким образом, если /i(s) — решение уравнений (14), (15) из пространства (Г1) ПС0 (Г2), и> G (0,1], q G [0,1), то потенциал (4) удовлетворяет всем требованиям задачи.

Ядро в интеграле в (15) непрерывно, а (14) — уравнение с логарифмическим ядром. Дифференцируя уравнение (14), можно показать, что оно эквивалентно сингулярному интегральному уравнению Копта на Г1 с дополнительными условиями.

Далее мы производим регуляризацию сингулярного интегрального уравнения Коши и с учётом уравнения (15) и упомянутых выше дополнительных условий получаем векторное интегральное уравнение второго рода, доказываем, что оно фредгольмово, показываем, что однородное уравнение имеет только тривиальное решение, поэтому неоднородное уравнение однозначно разрешимо. Таким образом мы доказываем теорему существования решения краевой задачи, получаем интегральное представление для решения и сводим задачу к однозначно разрешимому уравнению Фредгольма второго рода. Справедлива

Теорема. Пусть Г1 G С2'А, Г2 G С2,0 и выполнены условия (3). Тогда решение задачи Ui существует, единственно и даётся формулой (4), где v(s) определяется в (12). a ¡j,(s) определяется при решении уравнения Фредгольма второго рода, которое однозначно разрешимо.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что решение задачи удовлетворяет условию (1) с е — —1/2.

Вторая глава посвящена краевой задаче для диссипативного уравнения Гельмгольца в плоских областях с разрезами, при этом на разрезах задано условие Неймана, а на замкнутых кривых — условие Дирихле. В гл.2 замкнутые кривые Г2 принадлежат классу С2,А.

Будем говорить, что функция и(х), определённая вР\Г1, принадлежит классу гладкости Кг, если

1) и 6 С0 (V \ Г1) ПС2 (V \ Г1), то есть, в частности, и (ж ) непрерывна в V \ Г1, непрерывно продолжима на разрезы Г1 слева и справа во всех внутренних точках, а также непрерывно продолжима на концы разрезов Г1;

2) Vtt6C°(2?\r1\X);

3) при х —>- x(d) G X для некоторых констант С > 0, е > — 1 справедлива оценка

\Vu\ < С\х - x(d)|£, (16)

где d = а\ либо d=b\, п = 1,...,

Задача U2. Найти функцию и(х) из класса Кг, удовлетворяющую в V \ Г1 в классическом смысле уравнению Гельмгольца

Аи + к2и = 0, к = const, ImA:>0 (17)

и граничным условиям ди(х)

дпх

= F+(S), 9и{х)

дп.

x(s)e(ri)~

ФЫГ'У

= F{s). (18)

Если V — внешняя область, добавим условия на бесконечности u = o(|x|-1/2), |Vu(*)| = о{\х\-1!2).

С помощью метода энергетических тождеств доказывается теорема единственности.

Чтобы доказать разрешимость задачи U2, наложим требования гладкости на функции из граничных условий (18):

m^We^^r1), F(s) € С1'* (Г2), А€(0,1], (19)

гдеС^Г2) = \JC»Ç*), С'-* (П) = i?(s): T(s) е C^[a2n,b2n], m = 0,1}.

Решение задачи U2 можно получить с помощью теории потенциала для уравнения (17). Ищем решение задачи U2 в виде

и[и, ц] (х) = 1)1 [v\ (ж) 4- Wi [fi] (х) -f W2 [д] (x) , (20)

где

иъШ*) = ^¿^(ф - уИ|) <1° (21)

— потенциал двойного слоя для уравнения Гельмгольца. Потенциалы г>1 и и)\ даются формулами (5), (7). Плотность ^{з) ищем в пространстве СX (г1) П С^ (Г2), ш 6 (0,1], ? € [0,1), а плотность и(а) — в пространстве С0^^1). Помимо этого, плотность /л(в) должна удовлетворять условиям (8), то есть у(з) — ц(в) в (8).

Показано, что функция (20) удовлетворяет всем условиям задачи Иг, кроме граничных. Чтобы удовлетворить граничным условиям, мы подставляем (20) в (18) и получаем интегральные уравнения для плотностей

|/(я) г а

+

2 4Г{ v 'дпх

Г1 1 v ' и Г1

+ i /^¿ST^I'W - da = F*is)> s e r1' (22)

2 / v(cr№1] (k\x(s) - г/И!) da + U ß(a)v(x{8),a) da + ^ +

Г1 Г1

+ J /^¿^(Цф) - v(*)l) der = * 6 Г2, (23)

где Vo(x,cr) = J — y(£)|) ae^.b»], n = l,...,Nu

h(z)=-HgHz)-* lng). (24)

Через у) обозначен угол между направлением нормали пх в точке а; £ Г1 и вектором с началом в а: и концом в у. Угол <ро(х,у) считается положительным, если отсчитывается от вектора пх против часовой стрелки, и отрицательным, если он отсчитывается от п£ по часовой стрелке.

Кроме интегральных уравнений, записанных выше, у нас есть дополнительные условия (8). Вычитая интегральные уравнения (22) одно из другого, получим

i,(.S) = (F+(S)-F-(S))eC0'A(r1). (25)

Заметим, что и(з) определена окончательно и удовлетворяет всем необходимым условиям.

Введём функции /1(5) на Г1 и /2 (я) на Г2

/г(а) = (^И+ *--(*))/2-

" I / ~ УИ1) ^ - е Г1,

Ь{а) = Е{8)--1у{о)Ч$\к\х{8)-у{а)\)<1о, веТ\ (26) г1

где и(з) задаётся выражением (25).

Складывая интегральные уравнения (22) и учитывая (23), получим интегральные уравнения для [¿(в) на Г1 и Г2

2' \х{з) - у{(т)\ 4//4 'дпх "V )

+ I { ~ У{и){) 60 = 5 6 Г1' (2?)

Г*

+ \ - уИ!) <ь = /а(в), * е г2, (28)

где /1 (я) и /2 (в) определены в (26).

Первый член в (27) — сингулярный интеграл Коши.

Далее мы производим регуляризацию уравнения (27) и с учётом уравнения (28) и условий (8) получаем интегральное уравнение второго рода, доказываем, что оно фредгольмово, показываем, что однородное уравнение имеет только тривиальное решение, тогда неоднородное уравнение однозначно разрешимо. Таким образом мы доказываем теорему существования решения краевой задачи, получаем интегральное представление для решения и сводим задачу к однозначно разрешимому интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Справедлива

Теорема. Пусть Г1, Г2 € С2'А и выполнены условия (19). Тогда решение задачи и 2 существует, единственно и даётся формулой (20), где плотность 1/(в) определяется в (25), а плотность /х(в) определяется при решении интегрального уравнения Фредгольма второю рода, которое однозначно разрешимо.

Градиент решения задачи ХЗг может быть неограниченным в окрестности концов Г1 так, что неравенство (16) выполняется с 6 = -1/2.

В гл. 3 и 4 рассматриваются краевые задачи вне разрезов на плоскости. В декартовых координатах на плоскости х = (х1,х2) € В? рассмотрим совокупность простых разомкнутых кривых Гх,..., Гдг класса С2'А, А 6 (0,1], не имеющих общих точек, в том числе и концов. Эту совокупность кривых будем называть контуром Г. Пусть контур Г параметризован и в качестве параметра выступает длина дуги з: Г„ = {х\ х = ж(я) = (ж1(5),Я2(в)), зб[а„,г>„]}, п = 1,..., N. Параметризацию выберем так, чтобы для различных п отрезки [ап,Ьп] на оси Оз не имели общих точек, в том числе и концов. Введём векторы касательной и нормали, как в первых двух главах.

Совокупность отрезков оси Ов, отвечающих контуру Г, будем также обозначать Г.

Будем говорить, что функция ^"(в), определённая на Г, принадлежит банахову пространству С^(Г), ш £ (0,1], q 6 [0,1), если N

= П ¡5-а„|^з-6п|? 6 С°'Ш(Г). Норма в пространстве С^Г)

п=1

определяется формулой ||.Р(8)||с»(г) = ||Л)(в)||с"."(г)-

Предположим, что плоскость Д2 разрезана вдоль контура Г. Через Г+ обозначим ту сторону контура Г, которая остаётся слева при возрастании параметра з, а через Г~ — противоположную сторону. Через X обозначим множество точек плоскости, состоящее из концов

контура Г: X = 0 (х(ап) и х(Ьп)).

Будем говорить, что функция и(х), определённая в В? \ Г, принадлежит классу гладкости Кз, если

1) и € С0 (Д2 \ Г) Г)С2 (Я2 \ Г), то есть, в частности, и(х) непрерывна в Я2 \ Г, непрерывно продолжима на разрезы Г слева и справа во всех внутренних точках, а также непрерывно продолжима на концы разрезов Г;

2) УиеС°(Ж\Г\Х):

3) при х —» х(в) е X для некоторых констант С > 0, е > -1 справедлива оценка

|У«| < С\х — х(с1)\е, (29)

где ¿ = ап либо с1 = Ь„, п = 1,..., ЛГ.

Далее под ,/г... <1в будем понимать ^ I ... ¿в.

п=1

Пусть

VH(x) = У и{а)-Н^(к\х - у (а) |) da, (30)

4г

T\M}(x)=l-fß(a)U(x,a)da, (31)

U(x, *)=] (к\х - 2/(Oi) de, <т 6 [an, bn], n = l,...,N. Пред-

полагается, что ß(s) и u(s) принадлежат Г), u> € (0,1], q e [0,1). Ниже будем полагать, что плотность углового потенциала удовлетворяет дополнительным условиям

J ц(о) der = 0, п = 1,..., N, (32)

которые гарантируют принадлежность углового потенциала классу К3.

Третья глава посвящена обобщению задачи Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. В качестве граничных условий на разрезах задаются скачок нормальной производной искомой функции и линейная комбинация скачка искомой функции и её нормальной производной на одной стороне разрезов.

Задача U3. Найти функцию и(х) из класса Кз, удовлетворяющую в R2 \ Г в классическом смысле уравнению Гельмгольца

Аи + к2и = 0, к = const /0, 0 < arg к < ж,

граничным условиям

ди öü

+ ß(s) («(^)|х(й)ег+ - Ф)|;ф)ег-) = /i(«), (33)

Ф)ег+

= /2(в), (34)

х(в)€Г-

du j ди

дп|;ф)6г+ дп

и условиям на бесконечности. Если arg к = 0, то есть к = Re к > 0, то на бесконечности потребуем выполнение условий излучения Зом-

du I х J

мерфельда и(х) = 0(|г|-1^2), . - гки(х) - о(|х|_1'/2). Если

0 < arg А,' < 7г, то есть Imfc > 0, то на бесконечности потребуем выполнение условий и(х) = о(|х|-1/2), ¡Vu| = о(|х|-1^2). Считаем, что fi(a). /2(5), /3(s) — известные функции, причём ß(s) £ С°(Г) удовлетворяет одному из дополнительных условий:

1) Если к = Re к, то Im ß(s) < 0 для любого s € Г.

2) Если Refc = 0 и Imfc > 0, то ß(s) — Reß(s) > 0 для любого s £ Г.

3) Если Re к ф О, ImA; > О, то (Re А:) • (lmp(s)) < 0 для любого s € Г.

С помощью метода энергетических тождеств и леммы Релиха доказана теорема единственности.

Теорема существования решения доказывается в предположении, что

P(s). fi(s), f2(a) € С°'А(Г), A € (0,1]. (35)

Ищем решение задачи U3 в виде

иШх)=Т[ф)4.у\М(х). (36)

Потенциалы Г и V даются формулами (30), (31). Функция /г(в) задана в граничных условиях (34). Плотность ц(з) ищем в пространстве (Г), и) € (0,1], q £ [0,1). Помимо этого плотность fj,(s) должна удовлетворять условиям (32).

Показано, что функция (36) удовлетворяет всем условиям задачи U3, кроме граничного условия (33). Чтобы удовлетворить граничному условию (33), мы подставляем (36) в (33) и получаем интегральное уравнение для плотности fx(s)

+*+ + 0(e)pM(a) = /(*), «€Г, (37)

где

S

pM(s) = / /»С«7) do, s е [ап, bn], n = l,...,N, (38)

г+

и0{х,о) = 1^к(к\х-у{0\)<1£, аб[ап,Ьп], п = 1.....ЛГ, (39)

функция к(г) определена в (24), угол (х,у) определён, как в гл.2.

Функция /(я) задана вьфажением /(в) = /1(5) — -^[/2]

Первый интеграл в (37) — сингулярный интеграл Коши. Производя регуляризацию сингулярного интегрального уравнения (37) с учётом условий (32), приходим к интегральному уравнению второго рода и доказываем, что это уравнение фредгольмово. Показываем, что однородное уравнение имеет только тривиальное решение, следовательно неоднородное уравнение однозначно разрешимо. Таким образом мы доказываем теорему существования решения краевой задачи, получаем интегральное представление для решения и сводим задачу к однозначно разрешимому интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Справедлива

Теорема. Пусть Г € С2,л и выполнены условия (35). Тогда решение задачи U3 существует, единственно и даётся формулой (36), где плотность ji(s) определяется в результате решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода, которое однозначно разрешимо.

Градиент решения задачи U3 может быть неограниченным в окрестности концов контура Г так, что неравенство (29) выполнятся с е = -1/2.

Четвёртая глава посвящена краевой задаче для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. При этом на одной стороне каждого разреза задаётся условие Дирихле, а на другой — условие третьего рода.

Задача U4. Найти функцию и(х) из класса К3, удовлетворяющую в R2 \ Г в классическом смысле уравнению Гельмгольца

Au + k2u = 0, k = const ^ 0, 0 < arg k < ж, граничным условиям

и(х)\ф)еГ+= f+(s), (40)

~ди{х)

дпх

= /(«) (41)

х(я)ег-

и условиям на бесконечности. Если ащк = 0, то есть к = Пек > 0, то на бесконечности потребуем выполнение условий излучения Зом-

Лл/ / л» 1

мерфельда и(х) = 0(\х\~х12), --гки(х) = о (|ж|-1'2). Если

0 < аг§ к < тт. то есть 1т к > 0. то на бесконечности потребуем выполнение условий и(х) — о (¡а?!-1/2), |Ум| = о (¡ж!-1/2). Считаем, что /+(я), /(в), (3(з) — известные функции, причём /?(в) € С°(Г) удовлетворяет одному из дополнительных условий:

1) Если к = Р„е к, то 1т 3(я) < 0 для любого ? £ Г.

2) Если Ее к = 0 и 1т к > 0, то /?(в) = Ъе/3(з) > 0 для любого 5 £ Г.

3) Если Ие к ф 0, 1т ¿с > 0, то (Ие к) ■ (1т ¡3(з)) < 0 для любого в е Г. Замечание. С учётом (40) условие (41) можно заменить эквивалентным условием

ди(х)

дпх

где

+ ß(s) [«(®)|а(#)€Г+ - u(®)|iW6r_l = r(s), (42)

1(ч)бГ- J

Г{8)=№+0(8)Г(В). (43)

С помощью метода энергетических тождеств и леммы Релиха доказана теорема единственности.

Чтобы доказать разрешимость задачи U4, наложим дополнительные требования гладкости на функции из граничных условий (40), (41):

f+(s)€C1'X(Г), f(s),0(s) € С0 А(Г), А € (0,1]. (44)

Из (43) следует, что f~(s) £ СаЛ(Г).

Вместо граничного условия (40) запишем эквивалентное

= (Г)' (-), (/+)' W = ^ € С°-А(Г), (45)

и(х(ап)) = f+(an), п = 1,... ,N. (46)

В условии (45) учтено, что при выбранной параметризации в/дтх — d/ds в любой точке x(s) £ Г. Ищем решение задачи U4 в виде

u[v,p\{x)=V[v]{x)+T\ii]{x)- (47)

Потенциалы V и Т даются формулами (30), (31). Плотности ц(в). и(з) ищем в пространстве С^(Г), и £ (0,1], q € [0,1). Помимо этого, плотность ju(s) должна удовлетворять условиям (32).

Показано, что функция (47) удовлетворяет всем условиям задачи U4, кроме граничных. Чтобы удовлетворить граничным условиям, мы подставляем (47) в (42), (45) и получаем интегральные уравнения для плотностей fi(s), u(s)

Ы +i / - *>о *+

= (f')+(s), s £ Г, (48)

+ - VM1) * - ¿/M^-tff' * +

+ lJ»(a)J^U0(x(s),cr)da + P(s)plfi}(s) = f-(s), * £ Г, (49)

где p[/j]{s) определяется в (38) и использованы формулы (33), (39), угол (¿>о (х:у) определён выше. Первый член в (48) и четвёртый член в (49) — сингулярные интегралы Коши.

Подставляя функцию (47) в условия (46), получим дополнительные уравнения для ¿¿(«), и(з)

У[и](х(а„)) + ТМ(х(ап)) =/+{ап), п = 1,...,ЛГ. (50)

Тем самым, мы получили систему интегральных уравнений (32), (48)-(50) относительно функций /х(в), у (в).

Далее мы производим замену неизвестных функций ^(в), после которой характеристическая часть каждого из двух сингулярных уравнений содержит только одну неизвестную функцию. Регуляризи-руя полученную систему с учётом условий (32), (50), приходим к векторному интегральному уравнению второго рода и доказываем, что это уравнение фредгольмово, показываем, что однородное уравнение имеет только тривиальное решение, значит неоднородное уравнение однозначно разрешимо. Таким образом мы доказываем теорему существования решения краевой задачи, получаем интегральное представление для решения и сводим задачу к однозначно разрешимому векторному интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Справедлива

Теорема. Пусть Г £ С2 А и выполнены условия (44). Тогда решение задачи Ц"4 существует, единственно и даётся формулой (47), где плотности {¿(я), г/(я) определяются в результате решения векторного уравнения Фредгольма второго рода, которое однозначно разрешимо.

Градиент решения задачи 114 может быть неограниченным в окрестности концов контура Г так, что неравенство (29) выполнятся с с = -3/4.

В приложении даются доказательства вспомогательных утверждений, приведены асимптотики потенциалов на бесконечности.

В заключении диссертации перечислены основные результаты работы.

Основные выводы и результаты работы

В диссертации представлены результаты исследования четырёх краевых задач. Рассмотрены краевые задачи для уравнения Гельм-гольца в плоских областях с разрезами произвольной формы с различными граничными условиями. Перечислим кратко основные новые результаты.

1) Изучена задача Дирихле-Неймана для диссипативного уравнения Гельмгольца в плоской области, ограниченной замкнутыми кривыми и содержащей разрезы. На разрезах задано условие Дирихле, на замкнутых кривых — условие Неймана. Доказано, что классическое решение задачи существует и единственно. Задача сведена к векторному интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Доказана

однозначная разрешимость этого уравнения. Получено интегральное представление для решения задачи.

2) Изучена задача Дирихле-Неймана для диссипативного уравнения Гельмгольца в плоской области, ограниченной замкнутыми кривыми и содержащей разрезы. На разрезах задано условие Неймана, на замкнутых кривых — условие Дирихле. Доказано, что классическое решение задачи существует и единственно. Теорема существования решения доказана с помощью теории потенциала. Задача сведена к однозначно разрешимому интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Получено интегральное представление для решения задачи.

3) Изучено обобщение задачи Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. Доказано, что классическое решение задачи существует и единственно. Задача сведена к однозначно разрешимому интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Получено интегральное представление для решения задачи. Получена оценка для градиента решения на концах разрезов.

4) Изучена краевая задача для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости, когда на одной стороне каждого разреза задано условие Дирихле, а на другой — условие третьего рода. Доказано, что классическое решение задачи существует и единственно. С помощью теории потенциала задача сведена к векторному интегральному уравнению Фредгольма второго рода, которое является однозначно разрешимым. Получено интегральное представление для решения задачи. Получена оценка для градиента решения на концах разрезов.

Список работ автора по теме диссертации

1. Крутицкий П. А., Колыбасова В. В. Обобщение задачи Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости // Дифф. уравнения. — 2005. — Т. 41, № 9. — С. 1155-1165.

2. Крутицкий П. А., Колыбасова В. В. О диссипативном уравнении Гельмгольца в области с разрезами с граничными условиями Дирихле-Неймана // Journal KSIAM. — 2005. — Т. 9, № 1. — С. 63-77. — На англ. яз.

3. Крутицкий П. А., Колыбасова В. В. О смешанной задаче для уравнения Гельмгольца в плоской области с разрезами // Успехи математических наук. — 2005. — Т. 60, № 5. — С. 167-168.

4. Крутицкий П. А., Колыбасова В. В. О смешанной задаче для диссипативного уравнения Гельмгольца в двумерной области с разрезами с условием Дирихле на разрезах // Вестник Моск. унта. Серия 3. Физика. Астрономия. — 2005. — Na 4. — С. 25-28.

*"25 04

5. Колыбасова В. В., Крутицкий П. А. Уравнение Гельмгольца на плоскости с заданием разных условий на разных сторонах разрезов // Препринт ИПМ РАН. — 2005. — № 86. — 21 с.

6. Колыбасова В. В. Смешанная задача для диссипативного уравнения установившихся волн в плоской многосвязной области с экранами // Труды школы-семинара "Волны-2005". Секция 2. — М., 2005. — С. 8-10.

7. Колыбасова В. В., Крутицкий П. А. Об одном обобщении задачи Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости // Труды XII международного симпоз. "Методы дискретных особенностей в задачах мат. физики". — Харьков-Херсон, 2005. — С. 177-180.

I

8. Крутицкий П. А., Колыбасова В. В. О задаче Дирихле-Неймана для уравнения Гельмгольца в плоской области с разрезами, когда условие Дирихле задано на разрезах // Труды XII Международного симпозиума "Методы дискретных особенностей в задачах мат. физики". — Харьков-Херсон, 2005. — С. 181-184.

9. Колыбасова В. В. О явном решении характеристического сингулярного интегрального уравнения на отрезках вещественной оси // Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2003". Секция "Физика": Тез. докл. — М., 2003. — С. 46-47.

10. Крутицкий П. А., Колыбасова В. В. Смешанная краевая задача для диссипативного уравнения Гельмгольца в плоской области с трещинами при задании на трещинах условия Дирихле //И Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики": Тез. докл. — Екатеринбург, 2004. — С. 58-60.

11. Колыбасова В. В. Задача Дирихле-Неймана для диссипативного уравнения Гельмгольца в двумерной области с трещинами с условием Неймана на трещинах // 27-я конференция молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова: Тез. докл. — М., 2005. — С. 18-19.

12. Колыбасова В. В. Об одной смешанной задаче для уравнения Гельмгольца // Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных по фундаментальным наукам "Ломоносов-2005". Секция "Физика": Тез. докл. — М., 2005. — Т.1. — С. 98-99.

Подписано в печать &ОЛ. ОСг. зак. ¿/$ Тир. 400 П.л.

Полиграфический центр МЭИ (ТУ)

Красноказарменная ул., д. 13

Введение

1 Смешанная задача для уравнения Гельмгольца в двумерной области с разрезами с условием Дирихле на разрезах

1.1 Постановка задачи

1.2 Интегральные уравнения на границе.

1.3 Интегральное уравнение Фредгольма и решение задачи

1.4 Обоснование дифференцирования под знаком интеграла в (13а)

2 Задача Дирихле—Неймана для уравнения Гельмгольца в двумерной области с разрезами с условием Неймана на разрезах

2.1 Постановка задачи

2.2 Интегральные уравнения на границе.

2.3 Интегральное уравнение Фредгольма и решение задачи

2.4 Анализ уравнения (20).

2.5 Свойства гладкости потенциала двойного слоя.

2.6 Гладкость прямого значения потенциала двойного слоя

3 Обобщение задачи Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости

3.1 Постановка задачи

3.2 Сведение задачи к сингулярному уравнению

3.3 Регуляризация сингулярного интегрального уравнения. Теорема существования.

4 Уравнение Гельмгольца вне разрезов на плоскости с заданием условия Дирихле и условия третьего рода на разных сторонах разрезов

4.1 Постановка задачи

4.2 Сведение задачи к интегральным уравнениям.

4.3 Существование решения.

Настоящая работа посвящена исследованию краевых задач в плоских областях с разрезами для уравнения Гельмгольца. Краевые задачи в плоских областях, содержащих разомкнутые кривые (разрезы), имеют много приложений в физике и механике, так как разрезы моделируют трещины в твёрдых телах, крылья и экраны в жидкостях и газах, электроды в полупроводниках и т. д.

В последнее время, в связи с бурным развитием математического моделирования, в теории краевых задач появилось большое количество новых результатов. В частности, значительный прогресс достигнут в строгом исследовании краевых задач вне криволинейных разрезов и их систем. Метод граничных интегральных уравнений, основанный на методе потенциалов, является одним из наиболее конструктивных при решении краевых задач в областях с разрезами, так как позволяет получить интегральное представление для решения. Этот метод находит широкое применение в доказательстве однозначной разрешимости краевых задач, а также служит теоретической основой разработки алгоритмов их численного решения. Особенно эффективным этот метод оказывается в случае внешних краевых задач для неограниченных областей, позволяя перейти от исходной двумерной задачи к одномерному интегральному уравнению.

• Перейдём к краткому обзору работ, посвященных исследованию краевых задач для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости и вне незамкнутых поверхностей в пространстве.

Задача Дирихле для разреза в виде прямолинейного "уголка" численно решена в [1, 2].

Численное решение ряда задач дифракции в канонических областях было получено В. П. Шестопаловым и его коллегами методом задачи Римана-Гильберта. Метод задачи Римана-Гильберта позволяет сводить краевые задачи дифракции в канонических областях, содержащих прямолинейные разрезы либо разрезы вдоль дуг окружностей, к таким бесконечномерным алгебраическим системам, которые легко решаются численно. При этом решение краевой задачи разыскивается в виде ряда, содержащего неизвестные коэффициенты Фурье и учитывающего геометрию области. После подстановки ряда в граничное условие получается система уравнений относительно неизвестных коэффициентов. В этой системе выделяется старший оператор, который допускает обращение в явном виде с помощью точного решения задачи Римана-Гильберта для аналитических функций в соответствующей канонической области. После обращения старшего оператора исходная система уравнений относительно коэффициентов Фурье сводится к бесконечномерной алгебраической системе, которая легко решается численно, так как имеет старшие коэффициенты на главной диагонали. Задача Дирихле для плоской волны, нормально падающей на ленточную решётку (бесконечная периодическая система прямолинейных разрезов, лежащих на одной прямой), численно решена в [3]. Задача Дирихле для двойной ленточной решётки численно решена в [4]. В [5] численно решаются задачи Дирихле и Неймана дифракции плоских волн на ленточных решётках, в том числе многоэлементных и многослойных. Существование и единственность решения задачи Дирихле дифракции плоской волны на ленточной и ножевой (бесконечная периодическая система параллельных прямолинейных разрезов) решётках доказаны в [6]-[8]. Для задачи Неймана на ножевой решётке в среде с поглощением это доказано в [9, 10]. В [11] численно решена задача Неймана для конечной системы прямолинейных разрезов, лежащих на прямой. Существование и единственность решения этой задачи для случая падения плоской волны доказаны в [12]. В [5] численно решены задачи Дирихле и Неймана дифракции плоской волны на дуге окружности. В [13] численно решены задачи Дирихле и Неймана дифракции плоской волны на окружности с двумя щелями. В [14] доказаны существование и единственность решения задач Дирихле и Неймана для дуги окружности, задачи дифракции плоской волны (условия Дирихле или Неймана) на двух дугах разных окружностей. В [15] доказаны существование и единственность решения задачи дифракции плоской волны на решётке из дуг окружностей (задача Неймана), а в [14] — то же для задачи Дирихле (падение плоской или цилиндрической волны). В [14], [16]—[19] доказаны существование и единственность решения задач Дирихле и Неймана для конечного числа дуг окружностей, расположенных произвольно. Задача Дирихле дифракции плоской волны, а также задача Неймана дифракции сферической волны на сфере с круговым отверстием численно решены в [14]. Существование решения осесимметрической задачи Дирихле для бесконечно тонкого сферического сегмента с концентрическим шаровым включением доказано в [14]. Там же численно решены осесимметричные задачи Дирихле и Неймана для двух сфер с круговыми отверстиями и задача Неймана для бочкообразного сферического экрана. Численное решение задачи Неймана рассеяния плоской волны на системе из диска и сферы с круговым отверстием получено в [17].

JI. Н. Литвиненко и его коллеги свели задачи Дирихле и Неймана для прямолинейного экрана к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с помощью полуобращения в [20]. Уравнение решается численно. Задачи Неймана для ленточной и ножевой решёток, а также для ограниченной ножевой решётки численно решены с помощью обращения статической части оператора рассеяния (соответствующей случаю к = 0 в уравнении Гельмгольца

Аи + к2и = 0, то есть уравнению Лапласа) в [20, 21]. Задача дифракции плоской волны и гауссова пучка на двойной ленточной решётке (условие Дирихле или Неймана) решается численно с помощью операторных рядов, учитывающих многократное отражение от одной решётки. Аналогично решается задача Неймана для двух прямолинейных экранов, расположенных параллельно.

Существенный вклад в исследование задач рассеяния волн на экране произвольной формы вносят работы, связанные с использованием метода саморегуляризации для численного решения интегральных уравнений, выполненные Е. В. Захаровым и его коллегами. В [22, 23] доказано существование решения двумерной задачи Дирихле для гладкого разреза произвольной формы. Она численно решена методом саморегуляризации в [24, 25]. Задача Неймана для прямолинейного разреза на плоскости сведена к интегральному уравнению первого рода с логарифмической особенностью в ядре, которое также предлагается решать методом саморегуляризации. Для разреза, совпадающего с частью сечения координатной поверхности, двумерная задача Неймана сводится к интегральному уравнению первого рода с логарифмической особенностью в ядре, если известны два линейно независимых решения некоторого однородного обыкновенного дифференциального уравнения [26]-[29]. Алгоритм применён к разрезу в форме дуги окружности в [30]. Кроме того, если частично обратить дифференциальный оператор в ОДУ, то задача Неймана сводится к системе двух интегральных уравнений первого рода с логарифмической особенностью в ядре. Подобная система получена другим способом в [31, 32]. Уравнение первого рода с логарифмической особенностью в ядре получено и методом интегрирования граничных условий в [26], а также в [33]. В [34, 35] двумерная задача Неймана для разреза, совпадающего с частью сечения координатной поверхности, сведена к интегро-дифференциальному уравнению. Оно решено численно для разреза в форме дуги окружности в [36]. Для разреза произвольной формы задача Неймана сведена к системе интегродифференциальных уравнений, одно из которых содержит сингулярный интегральный оператор. Система решается численно. Разрешимость интегральных уравнений первого рода с логарифмической особенностью в ядре изучена в [37]. Разрешимость интегродифференциально-го уравнения задачи Неймана для произвольного разреза доказана в [23], если соответствующее однородное уравнение имеет только тривиальное решение. Там же сведена к интегральному уравнению первого рода с логарифмической особенностью в ядре осесимметричная трёхмерная задача Дирихле. В [38] доказано существование решения задачи Неймана для разреза произвольной формы на плоскости.

Несколько иной подход к численному решению интегральных уравнений двумерных задач дифракции волн на криволинейных экранах предложен

3. Т. Назарчуком и его коллегами. В [39, 40] задача Дирихле для конечного числа произвольных ляпуновских разрезов на плоскости сведена к сингулярным интегральным уравнениям, а задача Неймана — к интегродифференци-альным уравнениям с сингулярными интегральными операторами. Разрешимость уравнений не изучалась. Отдельно рассмотрены случаи циклического и периодического расположения экранов. Эти уравнения решаются численно в [41]. В [40] двумерная задача Дирихле для конечного числа ляпуновских экранов, которые могут пересекаться и касаться, сведена к системе интегральных уравнений первого рода с логарифмической особенностью в ядре, а задача Неймана сведена к системе гиперсингулярных уравнений с дополнительными условиями. Даны алгоритмы их численного решения. Также рассмотрены более сложные двусторонние граничные условия.

Обоснование сходимости алгоритмов численного решения одномерных и двумерных сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений дано И. К. Лифановым в [42] методом дискретных вихрей. В [42] рассматриваются сингулярные, гиперсингулярные и интегродифференциальные уравнения, возникающие при решении задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельм-гольца вне криволинейных разрезов на плоскости и вне разомкнутых поверхностей в пространстве. Обсуждаются численные методы решения этих задач. Кроме того, в [42] задачи Дирихле и Неймана для нормального падения плоской волны на многоэлементную ленточную решётку сведены к сингулярным, гиперсингулярным и интегродифференциальным уравнениям, которые решаются численно.

Задачи Дирихле и Неймана для прямолинейного разреза решаются явно методом разделения переменных в эллиптических координатах в [1], [43]—[46], другим способом — в [47].

Задача дифракции плоской волны, нормально падающей на ленточную решётку с половинным заполнением (условие Дирихле или Неймана), решена явно методом задачи Римана-Гильберта в [9], а методом факторизации — в [48, 49]. Задача Неймана также решена в [50]. В случае наклонного падения волны задача Дирихле решена явно методом Винера-Хопфа-Фока (факторизации) в [16]. В [51, 52] решены задачи Дирихле и Неймана для этого случая.

Задача с заданными на разрезе или незамкнутой поверхности произвольной формы скачками неизвестной функции и её нормальной производной (задача о скачке) решается явно с помощью третьей формулы Грина в [53]. Там же задача Неймана для произвольного разреза сведена к парным интегральным уравнениям для преобразования Фурье плотности потенциала двойного слоя, описаны вариационные методы численного решения краевых задач.

Точное решение задач Дирихле и Неймана дифракции плоской и цилиндрической волн на диске получено в виде ряда по сфероидальным функциям в [53, 44].

Задача Дирихле дифракции плоской волны на двух соосных дисках численно решена Е. А. Ивановым в [46].

Я. Н. Фельд и И. В. Сухаревский в [54] свели задачи Дирихле, Неймана и задачу с граничным условием третьего рода для произвольной незамкнутой поверхности к интегральным уравнениям второго рода. Однако разрешимость уравнений не изучалась. В [55] это сделано в двумерном случае. Разрешимость уравнений также не исследовалась. В [56] решение задач Дирихле и Неймана для незамкнутой поверхности получено в виде сходящегося ряда по системе вспомогательных функций, определяемых формой поверхности.

P. Wolfe исследовал разрешимость задачи Дирихле для уравнения Гельм-гольца на плоскости вне нескольких разомкнутых дуг произвольной формы [57]. Эта задача в [57] была сведена к интегральному уравнению первого рода с логарифмическим ядром. С помощью дифференцирования это уравнение было сведено к сингулярному интегральному уравнению первого рода. Выписав сингулярное интегральное уравнение, P. Wolfe изучил его свойства и доказал разрешимость исходной задачи. При этом P. Wolfe не сводил задачу к однозначно разрешимому уравнению Фредгольма второго рода, то есть не проводил регуляризацию сингулярного уравнения первого рода.

Ю.А. Тучкин в [58] свёл задачу Неймана вне произвольной гладкой дуги на плоскости к операторному уравнению Фредгольма второго рода путём дополнения дуги до замкнутой кривой и регуляризации бесконечной алгебраической системы для коэффициентов Фурье плотности потенциала двойного слоя. Для задачи Дирихле вне нескольких разомкнутых кривых на плоскости это сделано в [59] с помощью потенциала простого слоя.

М. Durand [60] искал решение двумерной задачи Неймана вне одного разреза произвольной формы для уравнения Гельмгольца в виде потенциала двойного слоя. М. Durand свёл задачу к гиперсингулярному интегральному уравнению первого рода и доказал разрешимость этого уравнения.

K.-D. Ih и D.-J. Lee в [61] решали численно краевую задачу для уравнения Гельмгольца с граничным условием третьего рода вне разреза на плоскости.

С. А. Назаров и Б. А. Пламеневский в [62] доказали абстрактные теоремы существования и единственности обобщённого решения эллиптических краевых задач в областях с границей, содержащей конические точки и рёбра, но разрезы там не рассматриваются. В. Г. Мазья и его коллеги в [63] рассмотрели внутреннюю область, содержащую прямолинейный экран конечной толщины, и получили асимптотики решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона при стремлении толщины к нулю.

Задачи с разрезами в многомерных соболевских пространствах рассматриваются B.-W. Schulze в [64].

В работах П. А. Крутицкого существование и единственность решения краевых задач в областях с разрезами доказываются путём сведения задачи к уравнению Фредгольма второго рода. Задача с косой производной для одного разреза произвольной формы рассмотрена в [65], для нескольких разрезов — в [66]. Задача Дирихле для нескольких двусторонних разрезов (разные граничные условия на разных сторонах разрезов) исследована в [67], задача Неймана — в [68]. Задача о скачке изучалась в [69], обобщение задачи о скачке — в [70].

Разрешимость смешанных задач в областях с разрезами начала изучаться только недавно, поскольку, если пользоваться теорией потенциалов, то на разных участках границы получаются интегральные уравнения с разными типами особенностей в ядре. Изучение таких систем представляет собой сложную задачу.

Существование и единственность решения смешанной задачи для системы разрезов произвольной формы, когда на части разрезов задано условие Дирихле, а на другой части — условие Неймана, доказаны П. А. Крутицким для односторонних разрезов в [71], для двусторонних разрезов — в [72]. Аналогичным методом в [73, 74] для двусторонних разрезов исследована смешанная задача, когда на одной стороне разрезов задано условие Дирихле, а на другой — условие Неймана или условие с косой производной. Кроме того, в [75] изучена обобщённая задача о скачке вне разрезов на плоскости.

Разрешимость краевых задачи в областях, ограниченных замкнутыми кривыми и содержащих разрезы, также не изучалась до недавнего времени. Это связано с тем, что с помощью теории потенциалов на замкнутых кривых обычно получаются интегральные уравнения второго рода, а на разрезах — первого рода. Это усложняет анализ системы.

И. К. Лифанов и его коллеги в [76] изучали двумерную задачу Неймана для уравнения Лапласа во внешней области, ограниченной замкнутыми и разомкнутыми кривыми, с помощью гиперсингулярных интегральных уравнений. Доказана теорема существования и единственности обобщённого решения. Аналогично исследована трёхмерная задача Неймана для уравнения Лапласа во внешней области, ограниченной замкнутыми и разомкнутыми поверхностями.

Существование и единственность решений двумерных задач Дирихле и Неймана для диссипативного уравнения Гельмгольца в области, ограниченной замкнутыми и разомкнутыми кривыми, доказаны в работах П. А. Крутицкого [77, 78].

В настоящей работе изучаются задачи для уравнения Гельмгольца в плоских областях с двусторонними разрезами. В первых двух главах рассматриваются смешанные задачи в областях, ограниченных замкнутыми кривыми и содержащих разрезы, области могут быть как внутренними, так и внешними. В гл. 1 на разрезах задаётся условие Дирихле, а на замкнутых кривых — условие Неймана, в гл. 2 — наоборот. В гл. 3 и 4 рассматриваются задачи вне разрезов на плоскости. В гл. 3 изучено обобщение задачи Неймана, в гл.4 — смешанная задача, когда на одной стороне разрезов задано условие Дирихле, а на другой — условие третьего рода. Для всех задач получены интегральные представления в виде суммы потенциалов, один из которых является неклассическим угловым потенциалом. Угловой потенциал для уравнения Лапласа впервые был введён С. А. Габовым в [79]. В [80] он был введён и изучен для уравнения Гельмгольца в случае замкнутых и разомкнутых кривых, но к решению краевых задач с разрезами для уравнения Гельмгольца он не применялся. В случае уравнения Гельмгольца с постоянным коэффициентом угловой потенциал подробно изучен в [67] и применён к решению задач Дирихле и Неймана вне разрезов на плоскости в [67, 68]. Угловой потенциал представляет собой проинтегрированный по частям потенциал двойного слоя. Главное достоинство углового потенциала заключается в том, что на кривой он имеет особенность в ядре того же порядка, что и потенциал простого слоя, в то время как потенциал двойного слоя имеет более сильную особенность. При переходе через кривую угловой потенциал имеет скачок, как и потенциал двойного слоя. Использование углового потенциала в настоящей диссертации позволяет решать задачи со сложными граничными условиями и сводить их к сингулярным интегральным уравнениям с дополнительными условиями. Путём регуляризации сингулярных уравнений удаётся получить операторное уравнение Фредгольма второго рода в подходящем банаховом пространстве. Для этого уравнения доказывается однозначная разрешимость, откуда вытекает разрешимость исходной краевой задачи, а также получается интегральное представление для её решения. В случае других краевых задач для уравнения Гельмгольца в плоских областях с разрезами этот метод развит в [65]—[75], [77, 78].

В диссертации представлены результаты исследования краевых задач в плоских областях с разрезами для уравнения Гельмгольца. Скалярные двумерные задачи возникают при исследовании физических явлений, в которых протяжённость препятствия вдоль одного направления не сказывается на исследуемых характеристиках поля, поэтому её можно считать бесконечной. Сделаем краткий обзор физических задач, изучение которых приводит к исследованию математических задач, рассмотренных в диссертации.

Уравнение колебаний utt = а2(ихх + иуу) сводится к уравнению Гельмгольца, если искать решение в виде установившихся колебаний и(х, у, t) = й(х, у) exp(-iut).

Уравнение колебаний на плоскости описывает малые колебания мембраны, колебания поверхности воды в бассейне, плоские деформации упругого тела, плоское распространение звука в газе и жидкости [81, 82]. В последнем случае уравнению колебаний удовлетворяют плотность р, давление р, потенциал смещений Ф, связанный с вектором смещений частиц газа или жидкости с помощью соотношения u = grac^, и потенциал скоростей U, через который скорость выражается как v — grad U. Если в среде происходит затухание звука, то показатель к2 в уравнении Гельмгольца комплексный. Если поверхность 7 представляет собой твёрдую непроницаемую стенку, то нормальная составляющая скорости равна нулю, что приводит к условиям О, =0, =0, ^ = 0. Если 7 — абсолютно мягкий экран, дп 7 у ' оп\у ' on |<у то р\7 = ро, р|7 = Ро, U\7=0, где ро и ро — равновесные значения плотности и давления. В случае более общего акустического препятствия ставится условие третьего рода + = 0? гДе ^ определяется акустическим импедансом препятствия [83]. Условия такого же вида выполняются для р и р [82]. При изучении задачи дифракции плоской волны на поверхности 7 приведённые выше однородные граничные условия для полного поля можно записать в виде неоднородных граничных условий для искомого рассеянного поля. Условия Дирихле, Неймана и третьего рода рассматриваются в гл. 1, 2 и 4 диссертации. В случае, когда рассматриваются колебания мембраны, уравнение колебаний выполняется для поперечного смещения точек мембраны. При этом условие Дирихле соответствует заданному режиму движения конца мембраны, условие Неймана — заданной силе, приложенной к концу мембраны, условие третьего рода — упругому закреплению конца мембраны [81].

Как показано в [84], процесс стационарного распространения гармонических температурных волн, описываемых временным множителем ехр(—iut) и не зависящих от координаты z, в однородной изотропной среде без источников и стоков тепла, описывается уравнением Аи(х,у) + к2и(х,у) = 0, где и(х, у) = U(x, у) — ипад(х, у), U(ж, у) — комплексная амплитуда температуры полного поля, ипал(х,у) — падающая волна, к2 = icu/a2, а2 — коэффициент температуропроводности. Пусть в среде помещена тонкая термопроницаемая цилиндрическая прослойка 7 толщины 5 с малым коэффициентом теплопроводности е. Образующая прослойки параллельна оси Oz. Контакт между средой и прослойкой считаем идеальным. Тогда прослойку можно заменить бесконечно тонким экраном, на котором должны выполняться два условия сопряжения [84, 85]

1) Kl{u+-u-) = K2(™y, К1 и-) = К2 , где верхними индексами + и — обозначены предельные значения функций на 7 с разных сторон, а нормаль п направлена от стороны, соответствующей знаку —, к стороне, соответствующей знаку +, к\ = е/5 — коэффициент теплопроницаемости прослойки, «2 — коэффициент теплопроводности тела.

Условия сопряжения (1) можно трактовать как условия неидеального контакта. Контактирующие тела на поверхности контакта имеют различную температуру, скачок которой пропорционален тепловому потоку.

Для неизвестной функции и(х,у) получим неоднородные условия (1) в правой части которых стоит известная функция. Если вычесть условия (2) одно из другого, получим — = 0. Задача с граничными условиями, возникающими в данной модели, рассматривается в гл. 3 диссертации.

Если некоторая замкнутая или разомкнутая поверхность 7 поддерживается при определённом распределении температуры, то на ней задаётся условие Дирихле, если на 7 задано распределение плотности теплового потока (в частности, она может быть теплоизолирована) — условие Неймана [81]. Такие условия рассматриваются в гл. 1 и 2 диссертации.

При диффузии некоторых неустойчивых газов (например, радона) происходит реакция распада молекул диффундирующего газа. Также мы можем наблюдать поглощение газа средой. Скорость подобных процессов (поглощения, распада) обычно считают пропорциональной концентрации газа. При написании уравнения диффузии это эквивалентно наличию отрицательных источников газа. В случае стационарного процесса диффузии мы приходим к уравнению [81]

Ли - к2и = 0, к = Re к > 0.

Если имеется перегородка, непроницаемая для рассматриваемых частиц, то на ней ставится условие Неймана = 0. Если на поверхности 7 поддерживается заданная концентрация, то на ней ставится условие Дирихле. Условия Дирихле и Неймана рассматриваются в диссертации в гл. 1 и 2. Если имеется тонкая пористая перегородка, оказывающая прохождению частиц некоторое сопротивление, то на ней ставятся условия D = D* (и+ — и~), где D — коэффициент диффузии, D* — проницаемость перегородки [ср. (1)] [86]. Индексами + и — обозначены предельные значения функций на 7 с разных сторон. Теперь предположим, что имеются объёмные источники или поглотители частиц, плотность которых f(x,y) не зависит от концентрации и. Тогда концентрация и удовлетворяет неоднородному уравнению Гельмголь-ца А и — к2и = f и однородным граничным условиям. Будем искать решение задачи в виде суммы объёмного потенциала и неизвестной функции v. Тогда v удовлетворяет соответствующему однородному уравнению Гельмгольца и неоднородным граничным условиям. Для случая пористых перегородок такая задача рассмотрена в гл. 3.

При решении задачи дифракции в неограниченной области для обеспечения единственности рассматриваемой задачи необходимо ввести некоторые дополнительные ограничения, определяющие поведение полей на бесконечности. Если однородное пространство заполнено поглощающей средой (Im к > 0 в уравнении Гельмгольца А и + к2и = 0), то в двумерном случае при г —>• оо будем ставить условия и = о (г-1/2), |Vu| = о (г-1/2), где г — расстояние от начала координат до точки наблюдения. Данное условие означает, что вся излучаемая энергия поглощается в среде, а не уходит на бесконечность.

Если среда является изотропной и непоглощающей (к — действительное число в уравнении Гельмгольца Аи+к2и = 0), то для однозначности решения необходимо потребовать выполнение условия излучения Зоммерфельда (1912 г.) [81]: |f — iku = о (г-1/2). Из него с учётом уравнения Гельмгольца следует, что и = О (г-1/2) [83]. Условие Зоммерфельда означает, что вся излучаемая энергия должна уходить в бесконечность (среда без потерь).

Вместо приведённых условий на бесконечности могут ставиться другие, например, условие Рейхарда [16], парциальные условия излучения, принцип предельного поглощения, принцип предельной амплитуды [81, 87].

Пусть Г — сечение незамкнутой цилиндрической поверхности 7 плоскостью, ортогональной образующей 7. Из-за наличия у незамкнутой цилиндрической поверхности 7 краёв (им соответствуют концы Г), для обеспечения единственности решения надо поставить дополнительные условия. Например, условие ограниченности и на концах Г [53] и условие Мейкснера (1948 г.): |Vw| = о(р-1), где р —> 0 — расстояние до конца Г [39]. Условия на концах необходимы для того, чтобы энергия излучалась только заданными источниками и не было дополнительного "излучения" от концов [53]. В [53] показано, что в задачах Дирихле и Неймана |V-u| ~ р~1/2.

Обратимся к систематическому изложению результатов, полученных в диссертации. Были решены четыре задачи математической физики. В постановке и методе решения есть общие моменты. Остановимся на них.

Будем рассматривать уравнение Гельмгольца А и + к2 и = 0, где к ф 0, 0 < arg к < тт. Если Im к = 0, то уравнение Гельмгольца будем называть волновым, а если Imk > 0, то диссипативным (среда с поглощением).

В первых двух главах диссертации решаются краевые задачи для уравнения Гельмгольца в плоских областях с разрезами. В декартовых координатах на плоскости х = (^1,^2) £ R2 рассмотрим многосвязную область, ограниченную простыми разомкнутыми кривыми Г|,., Г^ класса <72'А, Л (Е (0,1], и простыми замкнутыми кривыми Г2,., класса С2,0 так, что кривые не имеют общих точек, в том числе и концов. Будем рассматривать как случай внешней, так и случай внутренней области, когда кривая Г2 охватывает все остальные. Положим iVi N2 г1 = и ri, г2 = и Г*, г = г1 и г2. п=1 п=1

Связную область, ограниченную Г2 и содержащую Г1, будем называть Т>, так что дТ> = Г2; Г1 С V. Пусть каждая кривая Г^ параметризована и в качестве параметра выступает дуговая абсцисса (длина дуги) s: Г* = \х: х = x(s) = (®i(s),®2(e)), s в [а*,Ь*]}, n = l,.,iVfc, fe = 1,2, так, что a\ < b\ < . < alNi < blNl < a\ < b\ < . < a%2 < b%2 и область V остаётся справа при возрастании параметра s на Г2. Вектор касательной к Г в точке обозначим тх = ^cosa(s),sino;(s)^, где cosai(s) = ic'i(s), sino;(s) = x'2(s). Вектор нормали, совпадающий с вектором касательной при повороте на угол 7г/2 против часовой стрелки, обозначим nx = ^sina(s), — cosa(s)^. Так что пх — внутренняя нормаль к V на Г2.

Совокупности отрезков оси Os, отвечающих Г1, Г2 и Г, будем также обозначать Г1, Г2 и Г соответственно.

Будем говорить, что функция определённая на Г1, принадлежит банахову пространству (Г1), uj G (0,1], q £ [0,1), если N м*) = m п - «ir Is - Щ9 е c0,a; (rl) • п=1

Норма в пространстве (Г1) определяется формулой

II^MII^r1) = ll^oWllcTo^(ri)

Если В\ (Г1), #2 (Г2) — банаховы пространства функций, заданных на Г1 и Г2, то для функций, заданных на Г, введём банахово пространство Bi (Г1) П В2 (Г2) с нормой || • ||в1(г1)пВ2(г2) = II • 1к(гч + II • 1к(г2)

Предположим, что плоскость R разрезана вдоль Г1. Через (Гх) + обозначим ту сторону Г1, которая остаётся слева при возрастании параметра s, а через (Г1) — противоположную сторону. Через X обозначим множество точек плоскости, состоящее из концов Г1: N

Х= и (*(aj) и *(*£)).

П=1

В первой главе рассматривается задача Дирихле-Неймана в плоских областях с разрезами для диссипативного уравнения Гельмгольца.

Будем говорить, что функция и(х), определённая в Т> \ Г1, принадлежит классу гладкости Ki, если

1) и € С0 (V \ Г1) П С2 (РУГ1), то есть, в частности, и(х) непрерывна в Dyr1, непрерывно продолжима на разрезы Г1 слева и справа во всех внутренних точках, а также непрерывно продолжима на концы разрезов Г1;

2) Vu е С0 (РХГ1 \ Г2 \ X), где X — множество концов Г1;

3) на концах разрезов Г1 функция |Vw| может иметь интегрируемые особенности, то есть при х x(d) £ X для некоторых констант С > О, б > — 1 справедлива оценка

3) \Vu\<C\x-x(d)\e, где d = а\ либо d = Ь*, п = 1,., iVi;

4) существует равномерный по всем х(5) £ Г2 предел V^u (х)^ при стремлении х € V \ Г1 к х Е Г2 по нормали п^.

Задача Ui. Найти функцию и(х) из класса Ki, удовлетворяющую в Р\Г! уравнению Гельмгольца

Аи + к2и = 0, к = const, Im к > 0 и граничным условиям ди

4)«(*M)U+ = *». 4*M)U-= an. г2

Если T> — внешняя область, добавим условие на бесконечности и — о (Iх\-1/2), |Vfi(®)| = о (Iх\-1/2) .

Под ди/дпх на Г2 мы понимаем предел, указанный в п. 4) определения класса гладкости Ki.

С помощью метода энергетических тождеств доказывается теорема единственности.

Решение задачи строится в предположении, что (5) F+W.rWeC^fr1), л €(0,1], F(5)GC°(r2); F+ (ai) = F~ (aj), F+ = F~ (bj) , n = 1,., Nu где

Г2) = П С" (I?), (Г») = {?(,): П') € [4, Ь1], Т (al) = Г (б2)}. п=1

Далее под /г*. ds будем понимать nk *} • • • ds. п=1а*

Пусть TIq^(z) — функция Ханкеля первого рода нулевого порядка, которая является сингулярным решением уравнения Гельмгольца.

Решения краевых задач в диссертации строятся с помощью теории потенциала. Решение задачи Ui разыскивается в виде

6) и[ь>,ц](х) = wi[v]{x) -f 4/i](z), где w[jj](x) = vi[fji](x) + w2[fj](x).

Здесь

7) vM{x) =l-f fi(a)n^{k\x - da, r1

8) w2[fj](x) = -! ^a)T^\k\x - 2/H|) da r2 потенциалы простого слоя для уравнения Гельмгольца и

9) w\[v]{x) = jf v{a)V(x, a) da г1 угловой потенциал для уравнения Гельмгольца [67, 79]. Плотность fi(s) разыскивается в пространстве су (г1) П с0 (г2), ш G (0,1], q G [0,1), а плотность v(s) — в пространстве ^(Г1).

Ядро углового потенциала V{x, а) определяется формулой а

V(x,a) = J—HP(k\x-y(0\)dZ, ае [a^], n = l,.,Nu аЬ У п i 2 2 где у = у(£) = (2/1Ю12/2К))» I® - 2/(01 = у ~ 2/1 (£)) + (х2 ~ 2/2®) •

Ниже будем полагать, что плотность углового потенциала удовлетворяет дополнительным условиям [67, 68]

10) Jv(a)da = 0, n = l,.,iVb П которые гарантируют принадлежность углового потенциала классу Ki. Интегрируя w\[v]{x) по частям и используя (10), выразим угловой потенциал через потенциал двойного слоя тП(х) = -Ц р(а)-^на\к\х - „(<г)|) da, где а

И) р(а) = 1aelalbl}, n = 1,.,^.

Показано, что функция (6) удовлетворяет всем условиям задачи Ui, за исключением граничных условий.

Чтобы удовлетворить граничным условиям, мы подставляем (6) в (4), используем предельные формулы для углового потенциала из [67] и получаем интегральные уравнения для плотностей /i(s), v(s)

12) ± ^ + 1 / v(a)v(x(s),a) da + jf ^a)U^(k\x{s) - y(a)|) da +

Г1 Г1 J I fi(a)n{^ (k\x(s) - y(a)\) da = F^s), s E Г1,

Г2 +i / f Wfl^'^kM - vn\) = m, «e r2

Уравнение (12) получено при x —> x(s) £ (Г1)* и содержит два интегральных уравнения. Верхний знак соответствует интегральному уравнению на (Гх)+, а нижний — на (Г1) . В добавление к уравнениям (12) мы имеем условия (10). Вычитая уравнения (12) одно из другого и используя (11), получаем p(s) = (F+(s) - F-(s)) £ С"'Л (Г1) ,

14) u(s) = (F'+(S) - F'-(s)) 6 С°-л (Г1), F'±(s) = ±F±(,).

Заметим, что v(s) определена окончательно и удовлетворяет всем необходимым условиям, в частности (10).

Введём функции fi(s) на Г1 и /2(5) на г2

15) ЛМ = F+{s) + F~{s) -if V(a)v(x(s),a)da, s 6 Г1, г1 f2(s) = F(s)-jfv(a)v(x(s),a)da, s G Г2, г1 где v(s) задаётся выражением (14). Согласно [67]: fi(s) принадлежит С1*0 (Г1), где ро = А, если 0<Л<1,иро = 1 — ео для любого малого £о, если Л = 1. Очевидно, что /2(5) принадлежит С0 (Г2).

Складывая интегральные уравнения (12) и учитывая (13), получим интегральные уравнения для fi(s) на Г1 и Г2

16) М//](ф)) =~j (k\x(s) - у(<г)|) da = /x(S), e € Г1, г

17) -^ + \1^)~П^{к\х(в)-у(а)\)аа = Нз), s е Г2, где fi(s) и /2(5) определены в (15). Таким образом, если /i(s) — решение уравнений (16), (17) из пространства С» (Г1) П С0 (Г2), ш е (0,1], q € [0,1), то потенциал (6) удовлетворяет всем требованиям задачи.

Ядро в интеграле в (17) непрерывно [67], а (16) — уравнение с логарифмическим ядром.

Дифференцируя уравнение (16) согласно [88], можно показать, что оно эквивалентно сингулярному интегральному уравнению Коши на Г1 с дополнительными условиями.

Далее мы производим регуляризацию сингулярного интегрального уравнения Коши и с учётом уравнения (17) и упомянутых выше дополнительных условий получаем векторное интегральное уравнение второго рода, доказываем, что оно фредгольмово, показываем, что однородное уравнение имеет только тривиальное решение, поэтому неоднородное уравнение однозначно разрешимо. Таким образом мы доказываем теорему существования решения краевой задачи, получаем интегральное представление для решения и сводим задачу к однозначно разрешимому уравнению Фредгольма второго рода. Справедлива

Теорема. Пусть Г1 G С2,х, Г2 € С2,0 и выполнены условия (5). Тогда решение задачи Ui существует, единственно и даётся формулой (6), где v(s) определяется в (14), а /j,(s) определяется при решении уравнения Фредгольма второго рода, которое однозначно разрешимо.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что решение задачи удовлетворяет условию (3) с б = —1/2.

Во второй главе изучается краевая задача для диссипативного уравнения Гельмгольца в плоских областях с разрезами, при этом на разрезах задано условие Неймана, а на замкнутых кривых — условие Дирихле.

В гл. 2 замкнутые кривые Г2 принадлежат классу С2'А.

Будем говорить, что функция и{х), определённая в Т> \ Г1, принадлежит классу гладкости К2, если

1) и 6 С0 (V \ Г1) Г) С2 (Т>\ Г1), то есть, в частности, и(х) непрерывна в Т> \ Г1, непрерывно продолжима на разрезы Г1 слева и справа во всех внутренних точках, а также непрерывно продолжима на концы разрезов Г1;

2) VweC°(^TT\X);

3) при х x(d) € X для некоторых констант С > 0, е > — 1 справедлива оценка

18) \Vu\ <C\x-x(d)\e, где d = либо d = п = 1,., N\.

Задача U2. Найти функцию и(х) из класса К2, удовлетворяющую в Х>\Г1 в классическом смысле уравнению Гельмгольца

19) Аи + к2и = 0, к = const, Im к > 0 и граничным условиям F+(s), ^ = F-M,

20) 9U{X) дп3 x(s)e(riy x(s)e(riy u(x)\x(s)er* = F(s). Если T> — внешняя область, добавим условия на бесконечности и = о (N"1/2), |V«(®)| = о (|х\"1/2).

С помощью метода энергетических тождеств доказывается теорема единственности.

Чтобы доказать разрешимость задачи U2, наложим требования гладкости на функции из граничных условий (20):

21) F+H^-He^fr1), F(s) е СХ'А (г2), Ае(о,1], где С1' (Г2) = U ^tli), С1,А(Гп) = Н») е C^[albl

J*»> (а2) = J*»> (£), m = 0, l}.

Решение задачи U2 можно получить с помощью теории потенциала для уравнения (19). Ищем решение задачи U2 в виде

22) u[v,n](x) = vi[i/](x) + wi[/j](x) + w2[ij](x), где

23) wM(x) = У (k\x - 2/И1) da

4/2 dnr потенциал двойного слоя для уравнения Гельмгольца. Потенциалы v\ и wi даются формулами (7), (9). Плотность /z(s) ищем в пространстве

Cq (Г1) П С1*4 (Г2) , о; е (0,1], qe [0,1), плотность v{s) — в пространстве С°'А (Г1). Помимо этого, плотность fl(s) должна удовлетворять условиям (10), то есть v(s) = fi(s) в (10).

Показано, что функция (22) удовлетворяет всем условиям задачи U2, кроме граничных. Чтобы удовлетворить граничным условиям, мы подставляем (22) в (20), используем предельные формулы для углового потенциала из [67] и получаем интегральные уравнения для плотностей fi(s), v(s)

24) 4

2 ' 4/(*!«(«) - »(ff)l)da ~

1 sin <p0(x(s),y(a)) i f 9 , .

- 2d Ka) |*(«)-»WI d<T + Ц ^д^Ч*^' vda + \ / fW^wy'CW'' ~yW|)da=F±{s)' s € r1'

25) JI v(a)M(0l) (k\x(s) - da+l-j n(a)v(x(s),a) da +

Г1 Г1 2/ - y(«r)|) da = F(s), где

ЦГ'-'дп a д

Mf) 2

SET2,

Vo(x,a) = J Q^h{k\x - y(0|) dH, a G [aiX n = l,.,Ni,

26) h{z) = П{о] (z) - - In

2 i

7г

Через ^0(^5 2/) обозначен угол между направлением нормали пх в точке х G Г1 и вектором с началом в х и концом в у. Угол 2/) считается положительным, если отсчитывается от вектора пх против часовой стрелки, и отрицательным, если он отсчитывается от п^ по часовой стрелке.

Кроме интегральных уравнений, записанных выше, у нас есть дополнительные условия (10). Вычитая интегральные уравнения (24) одно из другого, получим

27) v(s) = (F+(s) - F~(s)) G С°'Л (Г1).

Заметим, что v(s) определена окончательно и удовлетворяет всем необходимым условиям.

Введём функции fi(s) на Г1 и /2(5) на г2

28) h («) =

F+(s)+F-(s) г г . д

2 8£Г', h(s) = F(s) -'-J v(a)V.\? [k\x{s) - и(ст)|) da, .в e Г2,

4P где v(s) задаётся выражением (27). Согласно [68]: fi{s) принадлежит C°'A (Г1). Очевидно, что f2(s) принадлежит С1,х (Г2).

Складывая интегральные уравнения (24) и учитывая (25), получим интегральные уравнения для fi(s) на Г1 и Г2

1 Г , sin2/(о-)) i г , ч д / , N \ ,

29) - S/^ |*М-УМ| *+4 /^ (ф)>da+

30) y^(*)v(x(s),*)d* + ^ + У »(<т)^-ЯР(к\х(з) - у(а)|) Ат = /2(*), s G Г2, где fi(s) и /2(5) определены в (28).

Первый член в (29) — сингулярный интеграл Коши [88].

Далее мы производим регуляризацию уравнения (29) и с учётом уравнения (30) и условий (10) получаем интегральное уравнение второго рода, доказываем, что оно фредгольмово, показываем, что однородное уравнение имеет только тривиальное решение, тогда неоднородное уравнение однозначно разрешимо. Таким образом мы доказываем теорему существования решения краевой задачи, получаем интегральное представление для решения и сводим задачу к однозначно разрешимому интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Справедлива

Теорема. Пусть Г1, Г2 € С2'А и выполнены условия (21). Тогда решение задачи U2 существует, единственно и даётся формулой (22), где плотность z/(s) определяется в (27), а плотность fi(s) определяется при решении интегрального уравнения Фредгольма второго рода, которое однозначно разрешимо.

Градиент решения задачи U2 может быть неограниченным в окрестности концов Г1 так, что неравенство (18) выполняется с е = —1/2.

В гл. 3 и 4 рассматриваются краевые задачи вне разрезов на плоскости. В декартовых координатах на плоскости х = (ж^жг) Е R2 рассмотрим совокупность простых разомкнутых кривых Гх,., Гдг класса С2,А, Л Е (0,1], не имеющих общих точек, в том числе и концов. Эту совокупность кривых будем называть контуром Г. Пусть контур Г параметризован и в качестве параметра выступает длина дуги s: Гп = |ж: х = x(s) = s € [an,bn] j, n = 1,., N. Параметризацию выберем так, чтобы для различных п отрезки [ап, Ьп] на оси Os не имели общих точек, в том числе и концов. Введём векторы касательной и нормали, как в первых двух главах.

Совокупность отрезков оси Os, отвечающих контуру Г, будем также обозначать Г.

Будем говорить, что функция T{s), определённая на Г, принадлежит банахову пространству С^(Г), и Е (0,1], q Е [0,1), если

7Ь(«) = Hs) П \s ~ an\q\s - bn\q E C°'w(r). n=1

Норма в пространстве Г) определяется формулой

11^М11с-(Г) = Н-^оМИсмг).

Предположим, что плоскость R2 разрезана вдоль контура Г. Через Г+ обозначим ту сторону контура Г, которая остаётся слева при возрастании параметра 5, а через Г~ — противоположную сторону. Через X обозначим множество точек плоскости, состоящее из концов контура Г: n х= и (х{ап)их(Ьп)). п=1 4 7

Будем говорить, что функция и(х), определённая в R2 \ Г, принадлежит классу гладкости Кз, если

1) и Е С0 (R2 \ Г] П С2 (R2 \Г), то есть, в частности, и(х) непрерывна в R2 \ Г, непрерывно продолжима на разрезы Г слева и справа во всех внутренних точках, а также непрерывно продолжима на концы разрезов Г;

2) VueC°(W\T\xy,

3) при х —> x(d) Е X для некоторых констант С > 0, е > — 1 справедлива оценка

31) |Vu| <C\x-x(d)\e, где d = ап либо d = bn, п = 1,., N.

Далее под fr. ds будем понимать n • • • ds. п=1ап

Пусть

32) VH(x) =l-Jи(а)П^{к\х - 2/(сх)|) da, г

33) Т[ц}(х) = г~/ [j,(a)U(x, a) da,

U(x,a)= f fo-'HP (k\x - у(£)\) d£, ae[an,bn], n = l,.,N. an у

Предполагается, что fi(s) и v(s) принадлежат С^(Г), со € (0,1], q Е [0,1).

Ниже будем полагать, что плотность углового потенциала удовлетворяет дополнительным условиям [67, 68]

34) J fi(a) da = 0, n = l,.,N, г„ которые гарантируют принадлежность углового потенциала классу К3.

В третьей главе изучается обобщение задачи Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. В качестве граничных условий на разрезах задаются скачок нормальной производной искомой функции и линейная комбинация скачка искомой функции и её нормальной производной на одной стороне разрезов.

Задача U3. Найти функцию и(х) из класса К3, удовлетворяющую вй2\Г в классическом смысле уравнению Гельмгольца

А и + к2и = 0, к = const ф 0, 0 < arg к < 7Г, граничным условиям <*> £ /?(s) (м(ж)|х(в)€Г+ - «Mister-) = /1(5), z(s)er+

36) au ди x(s)er+ дп h(s), x(s)e гдп и условиям на бесконечности. Если arg к = 0, то есть к = Re к > 0, то на бесконечности потребуем выполнение условий излучения Зоммерфельда и(х) = О (-7= ) , ^я^) ~~ iku(x) = о

Если 0 < argfc < 7г, то есть 1т к > 0, то на бесконечности потребуем выполнение условий и(х) = о (И~1/2) , I Vu| = о (И-1'2) •

Считаем, что /i(s), /2(5), /3(s) — известные функции, причём /3(s) G С°(Г) удовлетворяет одному из дополнительных условий:

1) Если к = Re к, то Im/?(s) < 0 для любого s G Г.

2) Если Пек = 0 и 1тк > 0, то fi(s) = Re/?(s) > 0 для любого s Е Г.

3) Если Re к ф 0, Imfc > 0, то (Re к) • (Im/?(s)) < 0 для любого s G Г.

С помощью метода энергетических тождеств и леммы Релиха доказана теорема единственности.

Теорема существования решения доказывается в предположении, что

37) (3(s),fi(s)J2(s) G С°'А(Г), A G (0,1]. Ищем решение задачи U3 в виде

38) u[p](x)=T[p](x) + V[f2](x).

Потенциалы Т и V даются формулами (32), (33). Функция /2(5) задана в граничных условиях (36). Плотность fi(s) ищем в пространстве Г), ш G (0,1], q G [0,1). Помимо этого плотность fi(s) должна удовлетворять условиям (34).

Показано, что функция (38) удовлетворяет всем условиям задачи U3, кроме граничного условия (35). Чтобы удовлетворить граничному условию (35), мы подставляем (38) в (35), используем предельные формулы для углового потенциала из [67] и получаем интегральное уравнение для плотности /i(s)

1 г , sm<p0(x{s),y(a)) { dUQ(x(s),a)

39) - — / ц(а) , , \-da + - ц(а)-^-da +

V } 2тг / ^ ' \x(s)-y(a)\ 4 / m ; дпх Р(з)р[ф) = f(s), s G Г, где s

40) p[fA(s) = J d(Ti s € K, bn], n = 1,., N, an a д

41) U0{x,a) = J g^-h(k\x - y(£)\) ae[an,bn], n = l,.,iV, an у функция h(z) определена в (26), угол (ро(х,у) определён, как в гл.2. Функция /(s) задана выражением

Я») - «»

Согласно [68] функция f(s) принадлежит С°'Л(Г).

Первый интеграл в (39) — сингулярный интеграл Коши [88].

Производя регуляризацию сингулярного интегрального уравнения (39) с учётом условий (34), приходим к интегральному уравнению второго рода и доказываем, что это уравнение фредгольмово. Показываем, что однородное уравнение имеет только тривиальное решение, следовательно неоднородное уравнение однозначно разрешимо. Таким образом мы доказываем теорему существования решения краевой задачи, получаем интегральное представление для решения и сводим задачу к однозначно разрешимому интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Справедлива

Теорема. Пусть Г G С2,х и выполнены условия (37). Тогда решение задачи U3 существует, единственно и даётся формулой (38), где плотность fi(s) определяется в результате решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода, которое однозначно разрешимо.

Градиент решения задачи U3 может быть неограниченным в окрестности концов контура Г так, что неравенство (31) выполнятся с е = —1/2.

В четвёртой главе изучается краевая задача для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. При этом на одной стороне каждого разреза задаётся условие Дирихле, а на другой — условие третьего рода.

Задача U4. Найти функцию и{х) из класса К3, удовлетворяющую в Л2\Г в классическом смысле уравнению Гельмгольца

Ait -f k2u = 0, k = const ф 0, 0 < arg k < 7г, граничным условиям

42) и(х)\ф]£Г+ = f+(s), ди(х)

43) дпх

- 0(s)u{x) /м x(s)erи условиям на бесконечности. Если arg& = 0, то есть k = Re к > 0, то на бесконечности потребуем выполнение условий излучения Зоммерфельда и(х) = О (-7==f ) 5 ~ iku(x) = о д\х\ - ■

Если 0 < arg к < тт, то есть Im к > 0, то на бесконечности потребуем выполнение условий u{x) = o( М~1/2), \Vu\ = o(\x\-1!2).

Считаем, что f+(s), /(s), (3(s) — известные функции, причём (3{s) G С0(Г) удовлетворяет одному из дополнительных условий

1) Если к = Re к, то Im/?(s) < 0 для любого s G Г.

2) Если Refc = 0 и Imk > О, то /3(s) = Re/3(s) > 0 для любого s Е Г.

3) Если' Re к ф О, Im& > 0, то (Re к) • (Im/?(s)) < 0 для любого s Е Г. Замечание. С учётом (42) условие (43) можно заменить эквивалентным условием

44) ди(х) did х(з)ет /?(s) и(х)\х{з)€Г+ - и(ж)|я(в)ег = / (s), где

45) r(s) = f(s)+(3(s)f+(s).

С помощью метода энергетических тождеств и леммы Релиха доказана теорема единственности.

Чтобы доказать разрешимость задачи U4, наложим дополнительные требования гладкости на функции из граничных условий (42), (43):

46) f+(s) в СХ'А(Г), f(s),P(s) Е С°'А(Г), А Е (0,1].

Из (45) следует, что f~(s) Е С°'А(Г).

Вместо граничного условия (42) запишем эквивалентное

47) ди(х) дтх х(з)ег+ as

48) м(®(ап)) = /+Ы, п = 1,. •, N.

В условии (47) учтено, что при выбранной параметризации д/дтх = d/ds в любой точке x(s) Е Г.

Ищем решение задачи U4 в виде

49) u[v,fj](x) = V[v](x)+T[fi](x).

Потенциалы V и Т даются формулами (32), (33). Плотности /i(s), v{s) ищем в пространстве Г), ш Е (0,1], q Е [0,1). Помимо этого, плотность //(s) должна удовлетворять условиям (34).

Показано, что функция (49) удовлетворяет всем условиям задачи U4, кроме граничных. Чтобы удовлетворить граничным условиям, мы подставляем (49) в (44), (47), используем предельные формулы для углового потенциала из [67] и получаем интегральные уравнения для плотностей /i(s), ^(s)

2тг sinyo(x(s),y(<r)) 1 8 / , чд , ц(з) 1 г , cos ip0(x{s), у(aj) i Q , , (f')+(s), e G Г, iAs) 1 r , cos(p0(x{s),y(a))

51) - —r1 + — / u(a)—r-y^-7—rj—— da + ir M 9 / | M , чл , Iff smcp0(x(s),y(aj) - / z/(ct)t;—/г к ж s — шсг) — / —-/ da -f

4p V 1 ^ ^ ^ 2tt/pw |ф)-у(<т)|

• <л i / ^^^M»*7) + = rw, в e r, где p[/x](s) определяется в (40) и использованы формулы (35), (41), угол сро(х,у) определён выше.

Первый член в (50) и четвёртый член в (51) — сингулярные интегралы Коши [88].

Подставляя функцию (49) в условия (48), получим дополнительные уравнения для v(s)

52) V[v](x(an)) +T\fi](x(anj) = f+{an), n = l,.,N.

Тем самым мы получили систему интегральных уравнений (34), (50)-(52) относительно функций fi(s), v{s).

Далее мы производим замену неизвестных функций //(s), z/(s), после которой характеристическая часть каждого из двух сингулярных уравнений содержит только одну неизвестную функцию. Регуляризируя полученную систему с учётом условий (34), (52), приходим к векторному интегральному уравнению второго рода и доказываем, что это уравнение фредгольмово, показываем, что однородное уравнение имеет только тривиальное решение, значит неоднородное уравнение однозначно разрешимо. Таким образом мы доказываем теорему существования решения краевой задачи, получаем интегральное представление для решения и сводим задачу к однозначно разрешимому векторному интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Справедлива

Теорема. Пусть Г G С2,х и выполнены условия (46). Тогда решение задачи U4 существует, единственно и даётся формулой (49), где плотности fi(s), is(s) определяются в результате решения векторного уравнения Фредгольма второго рода, которое однозначно разрешимо.

Градиент решения задачи U4 может быть неограниченным в окрестности концов контура Г так, что неравенство (31) выполнятся с е = —3/4.

На этом завершим изложение краткого содержания диссертации. Диссертация построена таким образом, что каждую главу можно читать независимо от других глав. Нумерация формул в каждой главе не зависит от нумерации формул в других главах.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [103]-[114].

Заключение

В диссертации представлены результаты исследования четырёх краевых задач. Рассмотрены краевые задачи для уравнения Гельмгольца в плоских областях с разрезами произвольной формы с различными граничными условиями. Перечислим кратко основные новые результаты.

1) Изучена задача Дирихле-Неймана для диссипативного уравнения Гельмгольца в плоской области, ограниченной замкнутыми кривыми и содержащей разрезы. На разрезах задано условие Дирихле, на замкнутых кривых — условие Неймана. Доказано, что классическое решение задачи существует и единственно. Задача сведена к векторному интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Доказана однозначная разрешимость этого уравнения. Получено интегральное представление для решения задачи.

2) Изучена задача Дирихле-Неймана для диссипативного уравнения Гельмгольца в плоской области, ограниченной замкнутыми кривыми и содержащей разрезы. На разрезах задано условие Неймана, на замкнутых кривых — условие Дирихле. Доказано, что классическое решение задачи существует и единственно. Теорема существования решения доказана с помощью теории потенциала. Задача сведена к однозначно разрешимому интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Получено интегральное представление для решения задачи.

3) Изучено обобщение задачи Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. Доказано, что классическое решение задачи существует и единственно. Задача сведена к однозначно разрешимому интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Получено интегральное представление для решения задачи. Получена оценка для градиента решения на концах разрезов.

4) Изучена краевая задача для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости, когда на одной стороне каждого разреза задано условие Дирихле, а на другой — условие третьего рода. Доказано, что классическое решение задачи существует и единственно. С помощью теории потенциала задача сведена к векторному интегральному уравнению Фредгольма второго рода, которое является однозначно разрешимым. Получено интегральное представление для решения задачи. Получена оценка для градиента решения на концах разрезов.

Результаты диссертации докладывались на всероссийской школе-семинаре "Физика и применение микроволн" (Звенигород, 2005), на международном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (Херсон, 2005), а также на международных конференциях молодых учёных мехмата (2005) и физфака МГУ (2003, 2005). Кроме того, результаты диссертации были представлены на всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (Абрау-Дюрсо, 2004).

1. Айзенберг Г. 3., Ямполъский В. Г., Терешин О. Н. Антенны УКВ. — М.: Связь, 1977. — 384 е.: ч. 1; 288 е.: ч. 2.

2. Захаров Е. ВПименов Ю. В. О влиянии уголкового рефлектора на диаграмму направленности линейного излучателя//Изв. вузов. Радиофизика. — 1975. — Т. 18, № 3. — С. 418-424.

3. Агранович 3. С., Марченко В. А., Шестопалов В. П. Дифракция электромагнитных волн на плоских металлических решётках//Журн. техн. физики. — 1962. — Т. 32, № 4. — С. 381-394.

4. Гестрина Г. П., Кобелев В. П., Шестопалов В. П. Об одном методе решения некоторых краевых задач электродинамики//Препринт ИРЭ АН УССР, Харьков, 1973. — 30с.

5. Шестопалов В. П. Метод задачи Римана-Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн. — Харьков: Изд-во ХГУ, 1971. — 400 с.

6. Дифракция волн на решётках/Шестопалов В. П., Литвиненко JI.H. и др. — Харьков: Изд-во ХГУ, 1973. — 287 с.

7. Гестрин Г. Н. Обоснование приближения геометрической оптики в одной задаче теории дифракции//Теория функций, функциональный анализ и их приложения. — 1970. — Вып. 10. — С. 3-14.

8. Гестрин Г. Н. О дифракции плоской электромагнитной волны на гребенчатой структуре//Вестник Харьк. ун-та. Сер. механико-математическая. — 1970. — Вып. 34, № 53. — С. 52-69.

9. Шестопалов В. П., Кириленко А. А., Масалов С. А. Матричные уравнения типа свёртки в теории дифракции. — Киев: Наук, думка, 1984. — 296 с.

10. Масалов С. А., Сологуб В. Г. Строгое решение задачи о дифракции электромагнитных волн на одной ленточной структуре//ЖВМ и МФ. — 1970. — Т. 10, № 3. — С. 693-715.

11. Шестопалов В. П. Дифракционная электроника. — Харьков: Вища школа, 1976. — 232 с.

12. Сологуб В. Г. Про один метод дослщження задач1 дифракцп на об-меженш кшькост1 стр!чок, яю розмпцуються в однш площиш//Доповцц академп наук Украшсько1 РСР. Сер1я А. — 1975. — № 6. — С. 549-552.16