О некоторых краевых задачах для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В. ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

На правах рукописи

Прозоров Константин Витальевич

О НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА ВНЕ РАЗРЕЗОВ НА ПЛОСКОСТИ

Специальность 01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им. Ломоносова.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Крутицкий Павел Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Захаров Евгений Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор Матвеев Александр Федорович

Ведущая организация: Московский государственный институт стали и сплавов (технологический университет)

Защита состоится на заседании

диссертационного совета Д 002.024.02 при Институте прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН

Автореферат разослан

«Ж» Га 2005 года

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук

Г.В.Устюгова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Настоящая работа посвящена исследованию некоторых краевых задач вне разрезов на плоскости для уравнения Гельмгольца, описывающего как волновые, так и неволновые процессы.

Краевые задачи вне разомкнутых кривых (разрезов) на плоскости имеют много приложений в физике, механике, т.к. разрезы моделируют трещины в твердых телах, крылья и экраны в жидкостях и газах, электроды в полупроводниках. Кроме того, задачи вне разрезов на плоскости возникают в химической кинетике и биофизике, где разрезы моделируют пластинчатые катализаторы, мембраны и т.д.

Из краевых задач для уравнения Гельмгольца вне разрезов произвольной формы на плоскости в настоящее время достаточно подробно изучены задача Дирихле и задача Неймана ввиду их большой практической значимости в акустике, электродинамике и т.д. Как теоретическим. так и численным аспектам решения этих задач посвящено много псследований.

Цель работы. Решить ряд краевых задач для уравнения Гельм-гольца вне разрезов на плоскости со сложными краевыми условиями, которые ранее не изучались строгими математическими методами. К таким задачам относится задача с косой производной вне разрезов на плоскости, а также смешанные задачи, когда на разных сторонах разрезов задаются граничные условия разных типов.

Целью работы является не просто доказательство теорем существования и единственности решения в рассматриваемых краевых задачах, но и получение интегрального представления для решения, сведение каждой задачи к однозначно разрешимому интегральному уравнению Фредгольма П-го рода в подходящем банаховом пространстве, получение оценки для градиента решения на концах разрезов.

Методы исследования. Основным методом исследования краевых задач избран метод граничных интегральных уравнений, основанный на методе потенциалов. Этот метод позволяет не просто доказать разрешимость задачи, но и получить интегральное представление для ее решения. Для исследования получающихся граничных интегральных уравнений используется теория сингулярных интегральных уравнений и методы функционального анализа.

Научная новизна. Новыми являются результаты, связанные с краевыми задачами, ранее не изучавшимися. Впервые изучена краевая задача с косой производной для неволнового уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. Исследована задача Дирихле-Неймана для вол-

нового уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости, когда условие Дирихле и условие Неймана заданы на разных сторонах разрезов.

Изучена обобщенная задача о скачке для волнового уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости, которая является обобщением задачи Дирихле Неймана.

Кроме перечисленных задач исследована краевая задача для неволнового уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости, когда на одной стороне каждого разреза задано условие с косой производной, а на другой условие Дирихле.

В каждой задаче доказаны теоремы о существовании и единственности решения, получено интегральное представление для решения. Каждая задача сведена к однозначно разрешимому интегральному уравнению Фредгольма П-го рода. Получены оценки градиента решения на концах разрезов.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные результаты представляют собой как прикладной, так и математический ин-тepec. Они могут быть применены, например, для решения задач рассеяния акустических и поверхностных волн на тонких цилиндрических препятствиях, имеющих разные свойства с разных сторон. Полученные результаты также могут быть использованы при решении задач диффузии и теории приливов. Кроме того, возможно применение полученных результатов для решения трехмерной задачи о распределении стационарного температурного поля в цилиндрических областях и т.д.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Конференциях молодых ученых мехмата (2003, 2004) и физфака МГУ (2003). на семинаре кафедры математики физфака МГУ под руководством профессора В.Ф. Бутузова. Результаты также были представлены на международной конференции "Колмогоров и современная математика" (Москва, 2003), на Всероссийской конференции "Теоретические основы конструирования численных алгоритмов для решения задач ма-гематической физики с приложением к многопроцессорным системам" (Дюрсо. 2004). на Всероссийской школе-семинаре "Аналитические метлы в оптимизации процессов в механике жидкости и газа" (Дюрсо. 2001).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [9].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех пав, разбитых на 15 параграфов, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 92 страницы текста. Список литературы включает 89 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении выделен круг вопросов, охваченных диссертацией, дан обзор литературы по теме диссертации. Кратко излагается основное содержание диссертации.

Во всех главах диссертации решаются краевые задачи для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. Во введении приводятся общие моменты в постановках задач. Перейдем к изложению этих общих моментов.

В декартовых координатах на плоскости х — (sj, Х2) € Л2 рассмотрим совокупность простых разомкнутых кривых Г1!,..., Tjv класса С2"\ А € (0,1], не имеющих общих точек, в том числе и концов. Эту совокупность кривых будем называть контуром Г. Пусть контур Г параметризован и в качестве параметра выступает дуговая абсцисса (длина

Параметризацию выберем так, чтобы для различных п отрезки [ап,Ь„] на оси не имели общих точек, в том числе и концов. Вектор касательной к контуру Г в точке обозначим

Вектор нормали, совпадающий с вектором касательной при повороте на угол 7г/2 против часовой стрелки, обозначим Пх = {sina(s), — COSa(s)}.

Совокупность отрезков оси отвечающих контуру Г, будем также обозначать Г.

Будем говорить, что функция T(s), определённая на Г, принадлежит банахову пространству если

Норма в пространстве С^ (Г) определяется формулой

Предположим, что плоскость R2 разрезана вдоль контура Г. Через Г+ обозначим ту сторону контура Г, которая остается слева при возрастании параметра S, а через Г" — противоположную сторону. Через X обозначим множество точек плоскости, состоящее из концов контура Г:

Будем говорить, что функция определенная в

принадлежит классу гладкости если

1. и{х) (Е С'°(Л2 \ Г), Т.е. и(х) непрерывна вне разрезов Г, непрерывно продолжима на разрезы Г слева и справа во всех точках, а также непрерывно продолжима на концы разрезов Г;

2. и,,.Их, £ С°(В? \ Г \ X), где X — множество концов контура Г;

3. на концах разрезов Г функции иХ1,иХ} могут иметь интегрируемые особенности, т.е. при х —> х(<1) 6 X, для некоторых констант

справедлива оценка

Пусть Т(с) — сингулярное решение для уравнения Гельмгольца:

^ | А0(г) для неволнового уравнения Гельмгольца ,

для волнового уравнения Гельмгольца.

Здесь Л"о(~) — функция Макдональда нулевого порядка, которая является сингулярным решением неволнового уравнения Гельмгольца. Через обозначена функция Ханкеля I рода нулевого порядка, которая является сингулярным решением волнового уравнения Гельмголь-ца.

Далее под /г ...¿в будем понимать Е„=11а" ■ ■■

Решения краевых задач в диссертации строятся с помощью теории потенциала. Пусть

потенциал простого слоя для уравнения Гельмгольца и (2)

(3)

угловой потенциал для уравнения Гельмгольца, введенный С.А. Га-бовым и получивший дальнейшее развитие в работах П.А. Крутицкого. Предполагается, что С1 (' Сг(принадлежат С^(Г), и> £ (0,1], <? 6 [ОД). Ядро а) определено на каждой д г (в =ф1р . р Щ у л о й

Ниже будем полагать, что плотность углового потенциала удовлетворяет дополнительным условиям

(4)

ПШ = 4 /гс2(<т)Щх,а)<1сг

[Ь" (2(0')^ = 0, п = 1,...Л,

которые гарантируют принадлежность углового потенциала классу в. Интегрируя Т[(2](.е) по частям и используя (4), выразим угловой потенциал через потенциал двойного слоя

где

Известно, что если плотности потенциалов принадлежат

<Т'~(Г). € (0.1], Ч 6 [0,1) и выполнены условия (4), то эти потенциалы принадлежат классу О. В частности неравенство (1) выполняется с

В первой главе рассматривается краевая задача с косой производной вне разрезов на плоскости для уравнения Гельмгольца, решения которого удовлетворяют принципу максимума.

Задача V]. Найти вещественную функцию и(х) ИЗ класса в, удовлетворяющую в Д2 \ Г в классическом смысле уравнению Гельмгольца

граничным условиям

+ =/*(*)' в = const

(5)

и условиям на '

И*)| = 0(|.гГ1/2), |v«| - о (М~1/2).

С помощью метода энергетических тождеств доказывается теорема единственности.

Решение задачи строится в предположении, что f+(s), f~(s) € С°,А(Г), А € (0.1]. Решение задачи разыскивается в виде

1де потенциалы V и Т даются формулами (2), (3), в которых Y(с) = Ао(г)' Плотность /i(s) разыскивается в пространстве С^(Г), о.' £ (0.1], q Ç [0.1), а плотность v(s) в пространстве С0,и,(Г). Кроме того функция Î2(s) — m(s') + l3v(b) должна удовлетворять условиям (4).

Показано, что функция (б) удовлетворяет всем условиям задачи Vp за исключением граничных условий.

Чтобы удовлетворить граничным условиям, мы подставляем (6) в (5) и получаем интегральные уравнения для плотностей

1 + /32 / , .sinpo(*(«), »(*))

2тг

И*) - у(°) I

da+

Через уо(х,у) обозначен угол между направлением нормали пх в точке .г € Г и вектором с началом в X И КОНЦОМ в у. Угол щ(х,у) считается положительным, если отсчитывается от вектора пх против часовой стрелки, и отрицательным, если он отсчитывается от пх по часовой стрелке. Кроме того, функция У) непрерывна по обеим переменным X, у 6 Г, если х ф у.

Первый член в (7) — сингулярный интеграл Коши. Уравнение (7) получено при X —> £ Г± и содержит 2 интегральных уравнения. Верхний знак соответствует интегральному уравнению на Г+, а нижний — на Г". В добавление к уравнениям (7) мы имеем условия (4). Вычитая из первого уравнения второе, получаем

Заметим, что определена окончательно и принадлежит С0'"*(Г). Введем функцию

где задается выражением (10).

Складывая интегральные уравнения (7), получим сингулярное интегральное уравнение для ц.($) на Г:

Функции С ц(а', сг) и Н{г) введены в (7) и 1]{х,а) — ядро углового по-тенцисгла. Можно показать, что У(в,<7) 6 С<,,Ро(Г X Г), щ = А, если для любого малого Вслед-

ствие (10). условия (4) принимают форму

Таким образом, если — решение уравнений (12), (13) из пространства то потенциал (б) удовлетворяет всем требованиям задачи.

Далее мы производим регуляризацию уравнения (12) и с учетом условий (13) получаем интегральное уравнение II рода, доказываем, что оно фредгольмово. Показываем, что однородное уравнение имеет только тривиальное решение, тогда неоднородное уравнение однозначно разрешимо. Таким образом мы доказываем теорему существования решения краевой задачи, получаем интегральное представление для решения и сводим задачу к однозначно разрешимому уравнению Фредгольма II рода. Справедлива

Теорема. Пусть Г € С2'\ /±(з) 6 С'0'А(Г), А 6 (0,1]. Тогда решение задачи Ух существует, единственно и даётся формулой (б), где определяется в определяется при

решении уравнения Фредгольма II рода.

Что касается поведения градиента решения задачи на концах кон-тypa. го непосредственной проверкой можно убедиться, что решение задачи удовлетворяет условию

Во второй главе изучается краевая задача для волнового уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости, при этом на одной стороне каждого разреза задано условие Дирихле, а на другой — условие Неймана.

Задача Уз- Найти функцию и(х) ИЗ класса С, удовлетворяющую в в классическом смысле уравнению Гельмгольца

граничным условиям

■Ф)ег+ -

(15)

и условиям на бесконечности. Если arg к = О, Т.е. к = Re к > 0, то на бесконечности потребуем выполнение условий излучения Зоммер-фельда:

Если то на бесконечности потребуем

выполнение следующих условий:

С помощью метода энергетических тождеств и леммы Реллиха доказывается 1еорема единственности.

Чтобы доказать разрешимость задачи V2, наложим дополнительные фебования гладкости на функции из граничных условий (15), (16):

Вместо граничного условия (15) запишем эквивалентное

(17)

(18)

Решение задачи V2 можно получить с помощью теории потенциала для уравнения (14). Ищем решение задачи V2 в виде

Потенциалы I и Т даются формулами (2), (3), где T(z) = уДд'^г). Плотности //(ь), v{s) ищем в пространстве С^(Г), uJ 6 (0,1], q G [0,1). Помимо этого, плотность v[s) должна удовлетворять условиям (4), т.е.

Показано что функция (19) удовлетворяет всем условиям задачи V2, кроме граничных. Чтобы удовлетворить граничным условиям, мы подставляем (19) в (17), (16) и получаем интегральные уравнения для плотностей

Первый член в (20) и четвёртый член в (21) — сингулярные интегралы Коши. Угол <рй(х,у) определен выше.

Подставляя функцию (19) в условия (18), получим дополнительные уравнения для

Г[р](.г(ая)) + ТМ^Ы) = /+(а„), п = 1,...,ЛГ.

(24)

Тем самым мы получили систему интегральных уравнений (20), (21), (24). (4) относительно функций ^(в),

Далее мы производим замену неизвестных функций !/(«), ^(з), после которой характеристическая часть каждого из двух сингулярных уравнений содержит только одну неизвестную функцию. Производя регуляризацию полученной системы с учетом условий (24), (4), приходим к системе интегральных уравнений второго рода и доказываем, что -на система фредгольмова. Показываем, что однородная система имеет только тривиальное решение, следовательно неоднородная система однозначно разрешима. Таким образом мы доказываем теорему существования решения краевой задачи, получаем интегральное представление ция решения и сводим задачу к однозначно разрешимой системе инте-тральных уравнений Фредгольма второго рода. Справедлива

Теорема. Пусть Г € С2'\ /+(«) € С1А(Г), /"(«) € С°'Л(Г), А € (ОД]. Тогда решение задачи существует, единственно и даётся формулой (19). где плотности г/(в) определяются в результате решения си-

темы интегральных уравнений Фредгольма второго рода.

Градиент решения задачи может быть неограниченным в окрестности концов контура Г, так что неравенство (1) выполняется с

В третьей главе изучается обобщенная задача о скачке для волнового уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. В качестве граничных условий на разрезах задается скачок предельного значения искомой функции и скачок ее нормальной производной. Скачки содержат определенную весовую функцию, которая отражает вклад в граничные условия предельных значений на левом и правом берегах разрезов.

Задача У3. Найти функцию и(х) из класса С, удовлетворяющую в в классическом смысле уравнению Гельмгольца

Ди + к2и = 0, 0 < arg к < п,

1раничным условиям

(25)

(26)

и условиям на бесконечности. Если arg к = 0, Т.е. к = Re к > 0, то на бесконечности потребуем выполнение условий излучения Зоммер-фельда:

оо.

Если то на бесконечности потребуем

выполнение следующих условий:

Считаем, что p(s), /](s), fi{s) — известные функции, причем g(s) — вещественная, т.е. Re^(s) = g(s) и g(s) Ç С°(Г). Индексами + И — обозначаются предельные значения функций на Г+ и Г-.

С помощью метода энергетических тождеств и леммы Реллиха доказана георема единственности.

Теорема существования решения доказывается в предположении, что функция g{s) кусочно-постоянна, так что g(s) — константа на Г„ :

(27)

</„ - заданные вещественные константы. Кроме того, разрешимость задачи изучается в предположении, что

/i(a) 6 С1'Л(Г), /,(в) G С'°-А(Г), Л G (0,1].

(28)

Вместо граничного условия (25) запишем эквивалентное

Ищем решение задачи V3 В виде (19). Потенциалы V и Г даются формулами (2). (3), где Т(г) = jffg^(z). Плотности ¡i(s), ¡/(s) ищем в пространстве С*^(Г), ш € (0,1], q £ [0,1). Помимо этого, плотность i/(s) должна удовлетворять условиям (4), где (2(e) — v{s).

Показано, что функция (19) удовлетворяет всем условиям задачи V3, кроме граничных. Чтобы удовлетворить граничным условиям, мы подставляем (19) в (29), (26) и получаем интегральные уравнения для плотностей ^(s), v(s)\

где использованы формулы (22), (23), угол ipo(x,y) определен выше.

Первый интеграл в (31) и третий интеграл в (32) — сингулярные интегралы Коши.

Подставляя функцию (19) в условия (30), получим дополнительные уравнения для

1Мл-(пв))+ТИ(г(в„)) = /1(а„)/(1-Л,), п = 1.....N. (33)

Тем самым мы получили систему интегральных уравнений (31) — (33), (4) относительно функций v(s), fi(s).

Затем мы делаем замену неизвестных функций u(s), fl(s), после которой характеристическая часть каждого из двух сингулярных уравнений содержит только одну неизвестную функцию. Производя регуляризацию сингулярных интегральных уравнений с учетом условий

(33). (4), приходим к векторному интегральному уравнению второго рода и доказываем, что это уравнение фредгольмово. Показываем, что однородное уравнение имеет только тривиальное решение, следовательно неоднородное уравнение однозначно разрешимо. Таким образом мы доказываем теорему существования решения краевой задачи, получаем интегральное представление для решения и сводим задачу к однозначно разрешимому интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Справедлива

Теорема. Пусть Г £ С2'* и выполнены условия (28), (27). Тогда решение задачи Уз существует, единственно и даётся формулой (19), где плотности определяются в результате решения векторного

уравнения Фредгольма II рода.

Градиент решения задачи Уз может быть неограниченным в окрестности концов контура Г. Найден показатель 6 в неравенстве (1). При <7=0 решение задачи Уз переходит в решение задачи Заметим, что векторное уравнение Фредгольма II рода, к которому сводится задача из главы 3. значительно более сложное, чем уравнение, возникающее в главе 2.

В четвертой главе изучается краевая задача для неволнового уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. При этом на одной стороне каждого разреза задается условие Дирихле, а на другой — условие с косой производной. Эта задача обобщает смешанную задачу Дирихле-Неймана.

Задача У}. Найти вещественную функцию м(х) из класса С, удовлетворяющую в в классическом смысле уравнению Гельмгольца

к\ = 0, к = Ие к > 0,

Ди-

грраничным УСЛОВИЯМ

(34)

(35)

и условиям ня бесконечности

1 =0 (д)' =

Считаем, что /+(-?),- известные вещественные функции и ¡5 — вещественная константа.

С помощью метода энергетических тождеств доказана теорема единственности.

Чтобы доказать разрешимость задачи \Г4, наложим дополнительные требования гладкости на функции из граничных условий (34), (35):

Вместо граничного условия (34) запишем эквивалентное

(36)

(37)

(38)

В условии (37) учтено, что при выбранной параметризации д/дтх — д/дз в любой точке х(в) £ Г.

Ищем решение задачи в виде (19). Потенциалы V и Т даются формулами (2), (3), в которых Т(г) = Плотности г/(«) ищем

В пространстве С^(Г), ш £ (0,1], ? £ [0,1). Помимо этого, плотность должна удовлетворять условиям (4), где СгМ —

Показано что функция (19) удовлетворяет всем условиям задачи кроме граничных. Чтобы удовлетворить граничным условиям, мы подставляем (19) в (37), (35) и получаем интегральные уравнения для плотностей

где использованы формулы (8), (9), угол <рц(х,у) определен выше.

Первый член в (39) и пятый член в (40) — сингулярные интегралы Коши.

Подставляя функцию (19) в условия (38), получим дополнительные уравнения для

Тем самым мы получили систему интегральных уравнений (39) — (41), (4) (относительно функций ¡/(в),

Далее мы производим замену неизвестных функций по-

сле которой характеристическая часть каждого из двух сингулярных уравнений содержит только одну неизвестную функцию. Регуляризи-руя полученную систему с учетом условий (41), (4), приходим к векторному интегральному уравнению второго рода и доказываем, что это уравнение фредгольмово. Показываем, что однородное уравнение имеет только тривиальное решение, значит неоднородное уравнение однозначно разрешимо. Таким образом мы доказываем теорему существования решения краевой задачи, получаем интегральное представление для решения и сводим задачу к однозначно разрешимому интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Справедлива

Теорема. Пусть Г £ С'2'* и выполнены условия (36). Тогда решение задачи существует, единственно и даётся формулой (19), где плотности определяются в результате решения векторного уравнения Фредгольма II рода.

Градиент решения задачи может быть неограниченным в окрестности концов контура Г. Найден показатель 5 в неравенстве (1).

В заключении диссертации перечислены основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

I. Изучена краевая задача с косой производной для неволнового уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. Доказано, что решение задачи существует и единственно. Задача сведена к однозначно разрешимому интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Получено интегральное представление для решения задачи. Получена оценка для градиента решения на концах разрезов.

II. Изучена задача Дирихле-Неймана для волнового уравнения Гель-мгольца вне разрезов на плоскости, когда условие Дирихле и условие Неймана заданы на разных сторонах разрезов. Доказано, что решение задачи существует и единственно. Теорема существования решения доказана с помощью теории потенциала. Задача сведена к системе интегральных уравнений второго рода. Показано, что эта система фредгольмова и имеет единственное решение. Получено интегральное

представление для решения задачи. Получена оценка для градиента решения на концах разрезов.

III. Изучена обобщенная задача о скачке для волнового уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. Доказано, что решение задачи существует и единственно. Задача сведена к векторному интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Доказана однозначная разрешимость этого уравнения. Получено интегральное представление для решения задачи. Получена оценка для градиента решения на концах разрезов.

Изучена краевая задача для неволнового уравнения Гельмголь-ца вне разрезов на плоскости, когда на одной стороне каждого разреза задано условие с косой производной, а на другой — условие Дирихле. Доказано, что решение задачи существует и единственно. С помощью 1еории потенциала задача сведена к векторному интегральному уравнению Фредгольма второго рода, которое является однозначно разрешимым. Получено интегральное представление для решения задачи. По.пчена оценка для градиента решения на концах разрезов.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. К. В. Прозоров, П.А. Крутицкий. О задаче с косой производной вне разрезов на плоскости для уравнения Гельмгольца. // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. — 2003. № 4. --С. 15-18.

2. П.А. Крутицкий, К.В. Прозоров. Задача Дирихле-Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. // Докл. Акад. Наук 2004. Т. 398, № 5. - С. 602-606.

3. П. А. Крутицкий, К.В. Прозоров. Обобщенная задача о скачке для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. // Дифференциальные уравнения. — 2004. Т. 40, № 9. — С. 1176-1189.

4. П.А. Крутицкий, К.В. Прозоров. Об уравнении Гельмгольца на плоскости с разрезами, когда условие Дирихле и условие с косой производной заданы на разных сторонах разрезов. // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. — 2005. .V 2.

5. К.В. Прозоров. Задача с наклонной производной для уравнения Гельмгольца на плоскости с разрезами. // Тезисы докладов международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным паукам "Ломоносов - 2003." Секция "Физика" — М.: МГУ им М.В. Ломоносова. 2003. - С.60-61.

6. P.A. KruMsbi, K. V. Prozorov. To the problem for the Helmholtz

equation outside cuts in a plane with oblique derivative boundary condition. // Тезисы докладов международной конференции "Колмогоров и современная математика" — М.: МГУ им. М.В. Ломоносова. 2003. —С. 190-191.

7. К.В. Прозоров. Об уравнении Гельмгольца на плоскости с разрезами, когда условие Дирихле и условие Неймана заданы на разных сторонах разрезов. // Тезисы докладов 26-й конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова — М.: МГУ им. М.В. Ломоносова. 2004. — С. 97.

8. П.А. Крутицкий, К.В. Прозоров. Дифракция акустических волн на юнких экранах, которые имеют различные характеристики на разных сторонах. // Тезисы докладов XX Всероссийской школы-семинара "Аналитические методы в оптимизации процессов в механике жидкости и газа" (САМГОП - 2004) — Новосибирск 2004.

С. 4G.

9. П.А. Крутицкий, К.В. Прозоров. Краевая задача для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости с заданием условия Дирихле и условия с косой производной на разных сторонах разрезов. // Тезисы докладов XV Всероссийской конференции "Теоретические основы конструирования численных алгоритмов для решения задач магематической физики с приложением к многопроцессорным системам" — Дюрсо 2004. — С. 40-42.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Задача с косой производной вне разрезов на плоскости для уравнения Гельмгольца.

1. Постановка задачи.

2. Интегральные уравнения на границе.

3. Уравнение Фредгольма и решение задачи.

ГЛАВА 2. Задача Дирихле-Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости.

1. Постановка задачи.

2. Сведение задачи к интегральным уравнениям.

3. Существование решения.

4. Поведение градиента решения на концах контура.

ГЛАВА 3. Обобщенная задача о скачке для уравнения

Гельмгольца вне разрезов на плоскости.

1. Постановка задачи.

2. Сведение задачи к интегральным уравнениям.

3. Существование решения.

4. Поведение градиента решения на концах контура.

ГЛАВА 4. Уравнение Гельмгольца на плоскости с разрезами, когда условие Дирихле и условие с косой производной заданы на разных сторонах разрезов.

1. Постановка задачи.бб

2. Сведение задачи к интегральным уравнениям.

3. Существование решения.

4. Поведение градиента решения на концах контура.

Настоящая работа посвящена исследованию краевых задач вне разрезов на плоскости для уравнения Гельмгольца, описывающего как волновые, так и неволновые процессы.

Краевые задачи вне разомкнутых кривых (разрезов) на плоскости имеют много приложений в физике, механике, т.к. разрезы моделируют трещины в твердых телах, крылья и экраны в жидкостях и газах, электроды в полупроводниках. Аналогично можно решать задачи химической кинетики и биофизики, где разрезы моделируют пластинчатые катализаторы, мембраны и так далее.

В последнее время, в связи с бурным развитием математического моделирования, в теории внешних краевых задач появилось большое количество новых результатов. В частности, значительный прогресс достигнут в строгом исследовании краевых задач вне криволинейных разрезов и их систем. Метод граничных интегральных уравнений, основанный на методе потенциалов, является одним из наиболее конструктивных при решении таких задач, т.к. позволяет получить интегральное представление для решения. Этот метод находит широкое применение для доказательства однозначной разрешимости краевых задач, а также служит теоретической основой разработки алгоритмов их численного решения. Особенно эффективным этот метод оказывается в случае внешних краевых задач для неограниченных областей, позволяя перейти от исходной двумерной задачи к одномерному интегральному уравнению на разрезах.

Перейдем к краткому обзору работ, посвященных исследованию дифракции электромагнитных волн на одном криволинейном экране.

В обзоре работ мы будем употреблять термины Е— и Я— поляризация, первой соответствует задача Дирихле, а второй — задача Неймана (это справедливо для двумерного случая).

Решение задачи дифракции ^-поляризованной электромагнитной волны на параболическом цилиндре получено в [1] Г.А. Гринбергом с коллегами. В.Н.Тарасов [2] получил асимптотические формулы для поля, отраженного от параболического цилиндра, кроме того, им был проведен численный анализ диаграмм направленности по этим формулам.

Задача Неймана для уравнения Гельмгольца вне одного разреза произвольной формы была сведена Е.В. Захаровым к интегродифференциальному уравнению в [3, 4] при помощи потенциала двойного слоя. Было доказано, что если однородное интегродифференциальное уравнение имеет только тривиальное решение, то неоднородное уравнение однозначно разрешимо.

М. Durand [5] искал решение задачи Неймана вне одного разреза произвольной формы для уравнения Гельмгольца в виде потенциала двойного слоя. М. Durand свел задачу к гииерсингулярному интегральному уравнению I рода и доказал разрешимость этого уравнения.

Численное решение ряда задач дифракции в канонических областях было получено В.П. Шестопаловым и его коллегами методом задачи Римана-Гильберта [6]. Метод задачи Римана-Гильберта позволяет сводить краевые задачи дифракции в канонических областях, содержащих прямолинейные разрезы либо разрезы вдоль дуг окружности, к таким бесконечномерным алгебраическим системам, которые легко решаются численно. При этом решение краевой задачи разыскивается в виде ряда, содержащего неизвестные коэффициенты Фурье и учитывающего геометрию области. После подстановки ряда в граничное условие, получается система уравнений относительно неизвестных коэффициентов. В этой системе выделяется старший оператор, который допускает обращение в явном виде с помощью явного решения задачи Римана-Гильберта для аналитических функций в соответствующей канонической области. После обращения старшего оператора, исходная система уравнений относительно коэффициентов Фурье сводится к бесконечномерной алгебраической системе, которая легко решается численно, так как имеет старшие коэффициенты на главной диагонали. Решение задачи дифракции .Е'-волны на круговом цилиндре с щелью методом задачи Римана-Гильберта было получено В.Н. Кошпаренком и В.П. Шестопаловым [7]. В частности, было получено длинноволновое приближение и проведен анализ численных результатов для разной ширины щели. Эта же задача в случае iJ-поляризованных волн решена в [8], проведены эксперименты, показано, что численные результаты хорошо совпадают с экспериментом. Возбуждение кругового цилиндра с продольной щелью осевым электрическим диполем аналогичным подходом исследовалось Е.В. Шепилко [9], были получены аналитические формулы для случая узкой щели, проведены численные расчеты для диаграммы направленности. Дальнейшее развитие метод задачи Римана-Гильберта применительно к круговому экрану получил в исследованиях [10, 11, 12, 13, 14], где обнаружен и изучен численно и аналитически ряд интересных резонансных эффектов при рассеянии плоской #-волны на цилиндре с узкой щелью. При возбуждении цилиндра с щелью сосредоточенным источником электромагнитного поля, кроме резонансных явлений, появляются и антирезонансные, для которых характерны не только захват поля открытым резонатором, но и резкое падение излучательной способности структуры. Э.И. Велиев с коллегами исследовал это явление в [15] с помощью метода задачи Римана-Гильберта. Он рассматривал возбуждение цилиндра токовой нитью, расположенной вблизи щели, получил аналитическое выражение для диаграммы направленности и условие антирезонанса.

В работе Ю. А. Тучкина [16] задача Неймана вне одного разреза произвольной формы сводится к бесконечномерной алгебраической системе. Доказана разрешимость этой системы.

Я.Н. Фельд в работах [17,18,19] предложил метод сведения задач дифракции скалярных и векторных волн на незамкнутом криволинейном экране в трехмерном пространстве к интегральным уравнениям второго рода для токов на поверхности или для поля на дополняющей поверхности. Таким методом изучались краевые задачи Дирихле, Неймана и третьего рода. Этим подходом Я.Н. Фельд получил численное решение задачи дифракции £7-волны на части кругового цилиндра [20] и параболического двумерного зеркала [21].

Существенный вклад в исследование задачи рассеяния .Е7-волны на экране произвольной формы вносят работы, связанные с использованием метода саморегуляризации. В.И. Дмитриев и Е.В. Захаров в [22] рассмотрели уравнение Фредгольма I рода с ядром, имеющим логарифмическую особенность, и, предполагая единственность решения, доказали существование решения в некотором классе гладкости. Уравнение Фредгольма I рода было преобразовано в уравнение Фредгольма II рода. Также в этой работе были предложены численные методы решения интегрального уравнения первого рода с логарифмической особенностью. Сделав априорные утверждения о гладкости плотности в потенциале, авторы сводили задачу к системе алгебраических уравнений. В случае цилиндрической .Е-поляризованной волны, дифрагируемой на уголковом отражателе, таким методом решение получено Е.В. Захаровым и Ю.В. Пименовым [23]. В работах [24, 25] были рассмотрены задачи дифракции ^-поляризованного электромагнитного поля на идеально проводящем параболическом экране с конечным раскрывом и приведены результаты расчетов электромагнитных нолей в ближней и дальней зонах. Рассматривались случаи как излучателя с заданной диаграммой направленности, так и наклонного падения плоской электромагнитной волны. Исследование было проведено на основе численного решения уравнения Фредгольма I рода методом саморегуляризации.

Ю.В. Пименов и Е.В. Захаров в [26] рассматривали плоские задачи дифракции на незамкнутых проводящих цилиндрических поверхностях. Был изучен случай как ^-поляризованного поля (для экрана произвольной формы), так и Я-иоляризации (для экрана, совпадающего с частью какой-либо координатной плоскости). Эти задачи были сведены к интегральным уравнениям Фредгольма I рода, для которых предложены алгоритмы численных решений, основанные на идеях, изложенных в [22]. На основе численного решения интегральных уравнений проведен расчет диаграмм направленности для синфазной токовой нити, расположенной вблизи конкретных цилиндрических поверхностей.

Для случая обоих поляризаций Ю.В. Пименовым, Е.В. Захаровым [27, 28] разработана методика сведения задач дифракции к интегральному уравнению Фредгольма первого рода со слабой особенностью в ядре. В случае Н-иоляризации задача сначала сводится к интегродифференциальному уравнению, которое затем сводится к интегральному уравнению Фредгольма I рода, если известны два линейно независимых решения дифференциального уравнения для скалярного потенциала на контуре экрана. Для широкого класса контуров (например, отрезок прямой, часть окружности, эллипса, параболы, угла) такое построение возможно и может быть эффективно проведено. Был предложен и реализован алгоритм численного решения полученных интегральных уравнений. Приведены численные результаты для цилиндрических поверхностей различной формы.

Ю.В. Пименовым и Е.В. Захаровым в [29] численно решалась задача дифракции Я- и Е- поля на незамкнутом круговом цилиндре. Задача сводилась к уравнению .Фредгольма первого рода, которое решалось методом саморегуляризации; произведен расчет и дан анализ дифрагированного поля в дальней зоне. С целью улучшения численного метода Е.В. Захаров и Ю.В. Пименов [30] предложили сводить задачу к системе из двух интегральных уравнений относительно скалярного потенциала и плотности тока на экране. Этот подход был использован в [31], где проведено детальное численное исследование дифрагированного Я-поля при наличии ограниченного параболического экрана. В работе А.Г. Давыдова, Е.В. Захарова и Ю.В. Пименова [32] предложен подход, практически не зависящий от формы экрана и позволяющий свести задачу дифракции Я-ноля на двумерном экране к одному уравнению Фредгольма I рода относительно плотности тока на экране. Этими же авторами предложен метод решения непосредственно интегродифференциального уравнения задачи [33, 34]. В этих работах искомая плотность тока ищется в виде разложения по базисным функциям. В итоге получается конечномерная алгебраическая система для коэффициентов разложения. Были построены численные решения для тестовых примеров. Численное исследование данного метода выполнено А.Г. Давыдовым [35].

Несколько иной подход к решению интегральных уравнений задачи дифракции Я-волны на криволинейном экране предложен З.Т. Назарчуком и его коллегами в [36, 37, 38]. Решение искалось в виде потенциала двойного слоя. Для плотности потенциала получалось гиперсингулярное уравнение. Далее рассматривалось разложение плотности по базисным функциям. Для коэффициентов разложения авторы получили бесконечномерную алгебраическую систему. Приведены численные результаты. В [39,40] З.Т. Назарчук с коллегами рассматривал задачу дифракции Е- и Я-поляризованной волны на цилиндрическом экране с сечением в виде кусочно-гладкой кривой. Для плотности потенциала была получена система интегральных уравнений первого рода, решение которой приближенно находилось из конечномерной алгебраической системы. Было получено численное решение задачи.

Теперь перейдем к обзору работ, посвященных изучению дифракции электромагнитных волн на совокупности экранов.

Трудности математического и вычислительного характера обусловили тот факт, что исследования взаимодействия электромагнитного поля с совокупностью криволинейных экранов с учетом их взаимного влияния начали развиваться лишь в 70-е годы XX века. Так, P. Wolfe исследовал разрешимость задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца на плоскости вне нескольких разомкнутых дуг произвольной формы [41]. Эта задача в [41] была сведена к интегральному уравнению I рода с логарифмическим ядром. С помощью дифференцирования это уравнение было сведено к сингулярному интегральному I рода. Выписав сингулярное интегральное уравнение, P. Wolfe изучил его свойства, основываясь на теоремах Нёттер, и доказал разрешимость исходной задачи. При этом P. Wolfe не сводил задачу к однозначно разрешимому уравнению Фредгольма II рода, т.е. не проводил регуляризацию сингулярного уравнения I рода.

Методом задачи Римана-Гильберта структура типа "беличья клетка" исследовалась В.П. Шестопаловым и коллегами в [42]. Возбуждение структуры производилось зарядом, движущимся по окружности. Для одного частного случая и для дальней зоны были получены аналитические выражения, были проделаны численные эксперименты.

Возбуждение нитью тока двух зеркально расположенных круговых экранов аналогичным подходом исследовано в [43]. Проведен приближенный аналитический анализ резонансных свойств системы. Также были проведены численные расчеты резонансных свойств и исследована зависимость полного сечения рассеивания структуры от частоты для плоской #-волны. Оказалось, что в окрестности резонансных частот происходит резкое изменение диаграммы излучения рассматриваемой структуры. Аналогичное явление наблюдалось В.Н. Кошпаренком [44] при исследовании двух соосных круговых цилиндров малых волновых размеров. Задача также решалась методом задачи Римана-Гильберта. Получено аналитически характеристическое уравнение в длинноволновой области. В связи с широким распространением двузеркальных антенн в радиоастрономии, системах космической и спутниковой связи [45], задача дифракции Е- и //"-поляризованных волн на двух параболических экранах рассмотрена методом интегральных уравнений в [46].

Новая резонансная антенная система — круговая решетка, составленная из конечного числа круговых цилиндров с продольными щелями, периодически расположенных но окружности и возбуждаемых магнитным полем, исследовалась Э.И. Велиевым, В.П. Шестопаловым [47, 48]. Полученное решение удовлетворяет уравнению Гельмгольца, граничному условию Неймана на поверхности цилиндров, условию периодичности, условию излучения и условию конечности энергии в ограниченном участке пространства. Модификацией метода Римана-Гильберта задача сведена к бесконечной системе алгебраических уравнений относительно коэффициентов Фурье плотности поверхностного тока на одном из цилиндров. Получено аналитическое выражение для поля в дальней зоне, найдены диаграммы излучения и добротности резонатора. В этих работах установлена сильная зависимость добротности резонаторов от соотношения между диаметрами одного цилиндра и решетки, а также дано физическое объяснение полученных результатов.

Метод приближенного решения задачи рассеяния плоской Я-иоляризованной волны на конечной решетке незамкнутых цилиндров предложили Э.И. Велиев, В.В. Веремей, В.П. Шестопалов в [49]. Они использовали известное решение для бесконечной решетки и таким образом значительно снизили порядок алгебраической системы для нахождения коэффициентов Фурье * » плотности поверхностного тока. Этими же авторами решена задача дифракции электромагнитных волн на конечном числе произвольно расположенных незамкнутых круговых цилиндрических экранов [50, 51]. В [51] доказана теорема существования для краевой задачи Неймана.

В.Н. Кошпаренок и коллеги в [52] построили и проанализировали решение задачи возбуждения электромагнитных колебаний в структуре, образованной произвольным числом параллельных незамкнутых круговых цилиндров с продольными щелями. Граничные условия были заданы в виде абстрактного функционального уравнения. Были численно решены тестовые задачи. В частности, было исследовано рассеяное поле многослойных соосных цилиндров и круговых экранов, расположенных по параболе.

В статье Ю. А. Тучкина [53] изучается задача Дирихле вне системы разрезов произвольной формы. Задача сводится к бесконечномерной алгебраической системе. Была доказана разрешимость этой системы.

Задача дифракции для нескольких криволинейных экранов в случае В- и Н- поляризации падающей волны, изучалась В.В. Панасюком, М.П. Савру-ком, З.Т. Назарчуком [54, 55] с помощью численного моделирования. Решение краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца разыскивалось в виде системы интегральных уравнений первого рода. Для краевой задачи Неймана была получена система гиперсингуляррных уравнений. Эти системы решались прямыми численными методами. Получены асимптотические формулы для диаграмм направленности. Сделаны расчеты для тестовых случаев. З.Т. На-зарчук с коллегами в книгах [38, 40] при решении краевой задачи Дирихле, Неймана и смешанной задачи (на одних разрезах одно условие, на других — другое ) получали систему интегральных уравнений первого рода.

В книгах И.К. Лифанова с коллегами [56, 57] задача Неймана для нескольких разрезов произвольной формы сводится к гиперсингулярному интегральному уравнению. Доказана однозначная разрешимость уравнения. Обоснованы численные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений.

В статьях П.А. Крутицкого [58, 59] решены задачи Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. С помощью потенциала простого слоя и неклассического углового потенциала задачи сводились к сингулярному интегральному уравнению с дополнительными условиями. В результате регуляризации исходные задачи сводились к уравнению Фредгольма второго рода. Доказывались теоремы существования решений. Также исследовалось поведение решения на концах разрезов. Аналогичным методом в работах [60, 61] решена смешанная краевая задача Дирихле-Неймана для уравнения Гельмгольца, когда на одной совокупности разрезов задано условие Дирихле, а на другой совокупности разрезов — условие Неймана.

Заметим, что в упомянутых выше работах, в основном изучались краевые задачи Дирихле и Неймана. K.-D. Ih и D.-J. Lee в [62] решали численно краевую задачу для уравнения Гельмгольца с граничным условием третьего рода вне разреза.

В диссертации представлены результаты исследования краевых задач вне разрезов на плоскости для уравнения Гельмгольца, описывающего как волновые, так и неволновые процессы. Сделаем краткий обзор физических задач, в которых возникает неволновое уравнение Гельмгольца.

При диффузии некоторых газов (например, радона) происходит реакция распада молекул диффундирующего газа. Также, мы можем наблюдать поглощение газа средой. Скорость подобных процессов (поглощения, распада) обычно принимают пропорциональной концентрации газа. При написании уравнения диффузии это эквивалентно наличию отрицательных источников газа. В случае стационарного процесса диффузии мы приходим к уравнению [63]

Аи-к2и = 0, к = Кек > 0. (1)

В [63] приведены также постановки задач о диффузии газа и стационарном распределении тепла в равномерно движущейся среде. Эти задачи также сводятся к уравнению (1).

Рассмотрим краевую задачу для трехмерного уравнения Лапласа в цилиндрической области. Пусть плоскостями z = 0 и z = 7г задан слой. Обозначим через 7 пересечение этого слоя с разомкнутой цилиндрической поверхностью, направляющие которой параллельны оси 0z. В сечении плоскостью 2 = const эта поверхность представляет собой разомкнутую кривую (разрез) Г. То есть 7 = {(я,У, г) : ^ € (-00,00), (х,у) G Г}, где Г — разомкнутая кривая на плоскости 0ху.

Рассмотрим в этом трехмерном слое с трехмерным разрезом 7 задачу о распределении стационарного температурного поля. Пусть U(х, у, z) — температура. Стационарное распределение температуры в трехмерном слое вне трехмерного разреза 7 описывается трехмерным уравнением Лапласа: ихх + Uyy + игг = 0.

Пусть на плоскостях z = 0 и 2 = тт задано условие непротекания тепла: 4^ = 0. Пусть 7 — нагревательный элемент, на котором задано граничное условие N[U] = f(x,y)cosmz, где N — некоторый линейный оператор по переменным х и у, m — целое число. (Этим граничным условием может быть условие Дирихле, Неймана или смешанное условие.) Задача может быть усложнена. Мы можем рассматривать конечное число цилиндрических поверхностей, часть из которых — нагреватели, часть экраны. Также мы можем рассматривать искажение, вносимое в температурное поле рядом экранов.

Если искать решение этой задачи в виде U{x,y,z) = и(х,у) cosmz, то для функции и(х,у) получается краевая задача для двумерного уравнения Гельм-гольца вне разреза Г на плоскости: ихх + иуу — m2u = 0.

Причем функция и(х,у) должна удовлетворять граничному условию на Г: N[u] = f(x,y).

Укажем еще на один случай возникновения неволнового уравнения Гельм-гольца.

Задачи нелинейной теплопроводности сводятся к уравнению вида = c2Au + f(u).

Похожее уравнение имеется также в системе Навье-Стокса. Оно возникает в CFD кодах (т.е. при численном решении задач гидродинамики и теплопроводности).

В работе [64] предлагается метод численного решения такого уравнения. Проводится дискретизация по времени, т.е. это уравнение заменяется следующим уравнением на временных слоях t и t + г, где г = At — малый шаг по времени: u(t + г) - u{t))/r = c2(Au)(t + т) + f(u(t)).

Здесь член Аи берется на временном слое t + т чтобы разностная схема была неявной, что обычно обеспечивает безусловную устойчивость и сходимость разностного метода. Предполагается, что на временном слое t задача решена и решение известно, а на слое t + т задачу надо рещить. В итоге на слое t + т надо решать следующее уравнение:

Лu)(t + т)~ (c-2/r)u(t + г) = -с-2(/М0) + u(t)/r). (2)

Правая часть этого уравнения — функция от переменных (ж, у), известная либо из решения уравнения на предыдущем слое, либо из начальных условий.

Таким образом, на каждом временном слое решается краевая задача для неоднородного неволнового уравнения Гельмгольца. В силу линейности уравнения (2), его решение иредставимо в виде суммы объемного потенциала Ньютона и решения соответствующей краевой задачи для однородного уравнения (2) [63]. Краевые задачи для однородного уравнения (2) рассматриваются в диссертации.

В настоящей работе изучаются задачи для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости со сложными граничными условиями, а именно, рассматриваются условие с косой производной, смешанное граничное условие Дирихле-Неймана (на одной стороне разрезов задается условие Дирихле, на другой условие Неймана), обобщенное условие скачка (обобщает условие Дирихле-Неймана), смешанное граничное условие, когда на одной стороне разрезов задается условие с косой производной, на другой — условие Дирихле. Для всех задач получено интегральное представление в виде потенциала простого слоя и углового потенциала. Угловой потенциал для уравнения Гельмгольца был введен и изучен в [65], а в случае уравнения Гельмгольца с постоянным коэффициентом подробно изучен в [58]. Угловой потенциал для уравнения Лапласа был введен и изучен С.А. Габовым в [66]. Угловой потенциал представляет собой проинтегрированный по частям потенциал двойного слоя. Главное достоинство углового потенциала заключается в том, что на кривой он имеет тот же порядок в ядре, что и потенциал простого слоя, в то время как потенциал двойного слоя имеет особенность на единицу больше. Использование углового потенциала в настоящей диссертации позволяет решать задачи со сложными граничными условиями и сводить их к сингулярным интегральным уравнениям с дополнительными условиями. Путем регуляризации сингулярных уравнений удается получить векторное уравнение Фредгольма II рода в подходящем Банаховом пространстве. Для этого уравнения доказывается однозначная разрешимость, откуда вытекает однозначная разрешимость исходной краевой задачи, а также получается интегральное представление для ее решения. В случае задач Дирихле и Неймана вне разрезов на плоскости этот метод развит в [58, 59, 60, 61].

Обратимся к систематическому изложению результатов, полученных в диссертации. Были решены 4 задачи математической физики. В постановке и методе решения есть общие моменты. Остановимся на них.

Во всех главах диссертации решаются краевые задачи для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. В декартовых координатах на плоскости х = (xi, Х2) 6 R2 рассмотрим совокупность простых разомкнутых кривых Гь., Tjv класса С2,А, Л G (0,1], не имеющих общих точек, в том числе и концов. Эту совокупность кривых будем называть контуром Г. Пусть контур Г параметризован и в качестве параметра выступает дуговая абсцисса (длина дуги) s : Гп = {я : х = x(s) = (x1(s)1x2(s))1 s G K,6J}, n = 1,., N. Параметризацию выберем так, чтобы для различных п отрезки [ап,6„] на оси Os не имели общих точек, в том числе и концов. Вектор касательной к контуру Г в точке x(s) обозначим тх = {cosa(s), sina(s)}, где s'i(s) = cosa(s), x'2(s) = sina(s).

Вектор нормали, совпадающий с вектором касательной при повороте на угол 7г/2 против часовой стрелки, обозначим n* = {sina(s), — cosa(s)}.

Совокупность отрезков оси Os, отвечающих контуру Г, будем также обозначать Г.

Будем говорить, что функция ^(s), определённая на Г, принадлежит банахову пространству С^(Г), ш £ (0,1], q Е [0,1), если п*) П \1(8 - ап)(з - &п)]»| е С°'-(Г).

П=1

Норма в пространстве С^(Г) определяется формулой Предположим, что плоскость

R2 разрезана вдоль контура Г. Через Г+ обозначим ту сторону контура Г, которая остается слева при возрастании параметра s, а через Г~ — противоположную сторону. Через X обозначим множество точек плоскости, состоящее из концов контура Г: n х= и МО и *(&„))•

П=1

Будем говорить, что функция и(х) = и(х 1,^2), определенная в Л2 \ Г, принадлежит классу гладкости G, если

1. и(х) G С°(Л2\Г), т.е. и(х) непрерывна вне разрезов Г, непрерывно про-должима на разрезы Г слева и справа во всех точках, а также непрерывно продолжима на концы разрезов Г;

2. uXl,uX2 € C°(R2 \ Г \ X), где X — множество концов контура Г;

3. на концах разрезов Г функции иХ1,иХ2 могут иметь интегрируемые особенности, т.е. при х —¥ x{d) 6 X, для некоторых констант 5 > — 1, А > О справедлива оценка ej(s)|<A|s-s(d)|', j = 1,2, (3) где d = ап либо d = bn, п = 1,., N.

Пусть Y(z) — сингулярное решение для уравнения Гельмгольца:

J Kq(z) для неволнового уравнения Гельмгольца , \ для волнового уравнения Гельмгольца.

Здесь I\q(z) — функция Макдональда нулевого порядка [67], которая является сингулярным решением неволнового уравнения Гельмгольца. Через Hq1\z) обозначена функция Ханкеля I рода нулевого порядка, которая является сингулярным решением волнового уравнения Гельмгольца. Далее под /г . ds будем понимать . ds.

Решения краевых задач в диссертации строятся с помощью теории потенциала. Пусть v[Ci](«) = ^ jJ.OWT(fc|® - ymd* (4) потенциал простого слоя для уравнения Гельмгольца и т[С>К*) = ^/г ШиМ^ (5) угловой потенциал для уравнения Гельмгольца [66, 58]. Предполагается, что Ci(s), f2(e) принадлежат Су(Г), ш € (0,1], q G [0,1).

Ядро U(x,cr) определено на каждой дуге Г„ (n = 1,.N) формулой д

U(x,a)= Г—Г(к\х-у(£)\Н, ае{ап,Ъп], Jan сп7» где у = = Ы0,у2(0), к - у(01 = >/(*!-У1(0)2 + (*2-У2«))2. Ниже будем полагать, что плотность углового потенциала удовлетворяет дополнительным условиям [58, 59]

Ьп b(a)da = 0, n = l,.,iV, (6)

Jan которые гарантируют принадлежность углового потенциала классу G. Интегрируя Т[С2] (я) по частям и используя (6), выразим угловой потенциал через потенциал двойного слоя

ВДМ = - »м i)^. где р(<т) = Г)<£> с € [а„, Ь„], п = 1,., N.

J Qn

В [58] показано, что если плотности потенциалов (s), принадлежат

С^(Г), ш G (0,1], q Е [0,1) и выполнены условия (б), то эти потенциалы принадлежат классу G. В частности неравенство (1) выполняется с S = — q, если Q € (0,1).

В первой главе рассматривается краевая задача с косой производной вне разрезов на плоскости для уравнения Гельмгольца, решения которого удовлетворяют принципу максимума.

Задача Vi. Найти вещественную функцию и(х) из класса G, удовлетворяющую вЛ2\Гв классическом смысле уравнению Гельмгольца

Аи - к2 и = 0, к = Re к > О, граничным условиям

Ли \ s), (3 = Re (3 = const (7) ди . ди (3ег± дтх, и условиям на бесконечности ф)| = о (|*Г1/2), |Vw| = о (И""1/2).

С помощью метода энергетических тождеств доказывается теорема единственности.

Решение задачи строится в предположении, что /+(s), f~(s) G С0,А(Г), Л £ (0,1]. Решение задачи Vi разыскивается в виде и[ц, v](x) = V[v - Рр](х) + Т\р + pv](x), (8) где потенциалы У и Г даются формулами (7), (8), в которых Т(z) = Kq(z). Плотность //(s) разыскивается в пространстве и G (0,1], q Е [0,1), а плотность v(s) в пространстве C0,w(r). Кроме того функция C2(s) = должна удовлетворять условиям (6).

Показано, что функция (8) удовлетворяет всем условиям задачи Vi, за исключением граничных условий.

Чтобы удовлетворить граничным условиям, мы подставляем (8) в (7), используем предельные формулы для углового потенциала из [58] и получаем интегральные уравнения для плотностей fj,(s),v(s): i(l + /?>(*) + i- Jr(v(v) - M*))^K0(k\x(s) - y(cr)\)da+

Ir^ - М^ЧкШ - = /*(«), s E Г, (9)

12 где h{z) = K0{z) + \n{z/k), г<7 д

U^x{s),a) = ja ——h(k\x - y(Z)\)d£, a E [an,6n],

10) n = 1,. .,iV. (11)

Через cpo(x,y) обозначен угол между направлением нормали n* в точке х 6 Г и вектором с началом вхи концом в у. Угол <ро(х,у) считается положительным, если отсчитывается от вектора п* против часовой стрелки, и отрицательным, если он отсчитывается от пх по часовой стрелке. Кроме того, функция <ро(х,у) непрерывна по обеим переменным я, у G Г, если хфу.

Первый член в (9) — сингулярный интеграл Коши. Уравнение (9) получено при х —> x(s) е Г* и содержит 2 интегральных уравнения. Верхний знак соответствует интегральному уравнению на Г+, а нижний — на Г-. В добавление к уравнениям (9) мы имеем условия (6). Вычитая из первого уравнения второе, получаем w = rr^(/+(s)~r(s))- (12)

Заметим, что z/(s) определена окончательно и принадлежит С°'А(Г).

Введем функцию /(s) на Г где v(s) задается выражением (12). Согласно [58, 59], f(s) принадлежит С0,Ро(Г), где pq = Л, если 0<А<1иро = 1 — £о Для любого малого £о > 0, если

Складывая интегральные уравнения (9), получим сингулярное интегральное уравнение для fi(s) на Г:

А = 1. где f(s) определена в (13) и

Функции Uo(x,a) и h(z) введены в (9) и U(x,a) — ядро углового потенциала. Из работ [58, 59] следует, что Y(s,<r) G С°'Ро(Г х Г), р0 = Л, если 0 < А < 1 и ро = 1 — ео для любого малого во > 0, если Л = 1. Вследствие (12), условия (6) принимают форму n = l,.,N. (15)

Таким образом, если ц(з) — решение уравнений (14), (15) из пространства Сд(Г), из G (0,1], q G [0,1), то потенциал (8) удовлетворяет всем требованиям задачи.

Далее мы производим регуляризацию уравнения (14) и с учетом условий (15) получаем интегральное уравнение II рода, доказываем, что оно фредгольмово. Показываем, что однородное уравнение имеет только тривиальное решение, тогда неоднородное уравнение однозначно разрешимо. Таким образом мы доказываем теорему существования решения краевой задачи, получаем интегральное представление для решения и сводим задачу к однозначно разрешимому уравнению Фредгольма II рода. Справедлива

Теорема. Пусть Г G С2-А, /*(«) G С0,А(Г), A G (0,1]. Тогда решение задачи Vi существует, единственно и даётся формулой (8), где u(s) G С°'А(Г) определяется в (12), а fi(s) G Cg(Г) — определяется при решении уравнения Фредгольма II рода.

Что касается поведения градиента решения задачи на концах контура, то непосредственной проверкой можно убедиться, что решение задачи удовлетворяет условию (1) с <5 = —1/2.

Во второй главе изучается краевая задача для волнового уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости, при этом на одной стороне каждого разреза задано условие Дирихле, а на другой — условие Неймана.

Задача V2. Найти функцию и(х) из класса G, удовлетворяющую в R2 \ Г в классическом смысле уравнению Гельмгольца

Лu + к2и = 0, 0 < arg к < тг, (16) граничным условиям

Ф)Ц.)€Г+=/+М, (17) du dnx и условиям на бесконечности. Если arg к = 0, т.е. к = Re к > 0, то на бесконеч ности потребуем выполнение условий излучения Зоммерфельда: и{х)\ = О (М~1/2), du{x)/d\x\ - iku{x) = о (Н"1/2) • f~(s) (18) a:(s)er

Если 0 < arg к < 7Г, т.е. Im к > О, то на бесконечности потребуем выполнение следующих условий:

1Ф)1 = о(М~1/2), |Vw| = o(|^|-1/2).

С помощью метода энергетических тождеств и леммы Релиха доказывается теорема единственности.

Чтобы доказать разрешимость задачи V2, наложим дополнительные требования гладкости на функции из граничных условий (17), (18): f+(s) Е С1,А(Г), f-(s)eC°'X( Г), AG (0,1].

Вместо граничного условия (17) запишем эквивалентное ди дтх x(s)er+ ds

19) u(x{an)) = f+{an), n = 1,. ,iV. (20)

Решение задачи V2 можно получить с помощью теории потенциала для уравнения (16). Ищем решение задачи V2 в виде u[ft,v](x)=V[/i]{x)+T[p](x). (21)

Потенциалы V и Т даются формулами (7), (8), где Y(z) = Плотности /^(s), v(s) ищем в пространстве С^(Г), и Е (0,1], q G [0,1). Помимо этого, плотность u(s) должна удовлетворять условиям (б), т.е. Сг(5) = v{s) в (6).

Показано, что функция (21) удовлетворяет всем условиям задачи V2, кроме граничных. Чтобы удовлетворить граничным условиям, мы подставляем (21) в (19), (18), используем предельные формулы для углового потенциала из [58] и получаем интегральные уравнения для плотностей fi(s),u(s):

1 г . чsui(po(x(s),y(a)) . ir , J,/H , , / мч » v(s)

2^/r'W 1 ф) - у(а)\ da + iJrMoiWW ~ + 2 +

1 г . . cos(po(x(s),y(a)) , ir . , д TT . . ч ч , г/+/ ч „ Si !'^ + -Jr^)rUo(X(sU)da = /<+(S), . € Г,

22)

V>(s) 1 г / \cos(po(x(s),y(<7)) i if / ч д . . ч" / 4.4 , 2^ Ir "W Ж-У)! + 4 /г "W^W'W - 'WD4'

1 /• , . sino0(x(s),w(cr)) , i r , \ д tt / , \ \ 1 е-/ \ тл iS - „Д|- da + = $ is), s 6 Г,

23) в„,ьп], n = l,., iv, (24)

Л(*) = я£>(*) - f 1„£. (25)

Первый член в (22) и четвёртый член в (23) — сингулярные интегралы Коши [69]. Угол щ(х,у) определен выше.

Подставляя функцию (21) в условия (20), получим дополнительные уравнения для n(s)

У[ф(ап)) + T[v](x(an)) = /+(ап), п = 1,. ,ЛГ. (26)

Тем самым мы получили систему интегральных уравнений (22), (23), (26), (б) относительно функций v(s), /i{s).

Далее мы производим замену неизвестных функций f(s), //(s), после которой характеристическая часть каждого из двух сингулярных уравнений содержит только одну неизвестную функцию. Производя регуляризацию полученной системы с учетом условий (26), (6), приходим к системе интегральных уравнений второго рода и доказываем, что эта система фредгольмова. Показываем, что однородная система имеет только тривиальное решение, следовательно неоднородная система однозначно разрешима. Таким образом мы доказываем теорему существования решения краевой задачи, получаем интегральное представление для решения и сводим задачу к однозначно разрешимой системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Справедлива

Теорема. Пусть Г G С2'\ f+(s) б С1,А(Г), f~(s) е С°'А(Г), Л 6 (0,1]. Тогда решение задачи V2 существует, единственно и даётся формулой (21), где плотности fi(s), v(s) определяются в результате решения системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода.

Градиент решения задачи V2 может быть неограниченным в окрестности концов контура Г, так что неравенство (1) выполняется с 6 = —3/4.

В третьей главе изучается обобщенная задача о скачке для волнового уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. В качестве граничных условий на разрезах задается скачок предельного значения искомой функции и скачок ее нормальной производной. Скачки содержат определенную весовую функцию, которая отражает вклад в граничные условия предельных значений на левом и правом берегах разрезов.

Задача V3. Найти функцию и(х) из класса G, удовлетворяющую в R2 \ Г в классическом смысле уравнению Гельмгольца

Аи + к2и = 0, 0 < arg& < 7Г, граничным условиям u+(x)-g(s)u-(x))\ =h(s), (27) /2W (28) x(s)ev и условиям на бесконечности. Если arg к = О, т.е. к = Re к > 0, то на бесконечности потребуем выполнение условий излучения Зоммерфельда:

Если 0 < arg к < 7Г, т.е. Im к > 0, то на бесконечности потребуем выполнение следующих условий:

М*)1 = 0 (^щ) » lVwl = 0 (^щ) > W = у/х1 + Х1 сосчитаем, что g(s), /i(s), /2(5) — известные функции, причем g(s) — вещественная, т.е. Keg(s) = g(s) и g(s) £ С0 (Г). Индексами -Ьи - обозначаются предельные значения функций на Г+ и Г~

С помощью метода энергетических тождеств и леммы Релиха доказана теорема единственности.

Теорема существования решения доказывается в предположении, что функция g(s) кусочно-постоянна, так что g(s) — константа на Г„ : д(а) = дпф1, se[an,bn], п = 1,2,. ,iV, (29) где дп — заданные вещественные константы. Случай g(s) = 1 изучен в [60]. Кроме того, разрешимость задачи изучается в предположени, что fi{s) € С1,А(Г), f2(s) б С°'А(Г), А е (0,1]. (30)

Вместо граничного условия (27) запишем эквивалентное лм, т=€ с°>л(г), (31) x(s)er

1 - дп)и(х(ап)) = Мап), n = l,.,N. (32)

Ищем решение задачи V3 в виде (21). Потенциалы V и Т даются формулами (7), (8), где Y(z) = уЯо^(г). Плотности n(s), v(s) ищем в пространстве Cj'(r), и € (0,1], q G [0,1). Помимо этого, плотность u(s) должна удовлетворять условиям (6), где £2(s) =

Показано, что функция (21) удовлетворяет всем условиям задачи V3, кроме граничных. Чтобы удовлетворить граничным условиям, мы подставляем (21) в (31), (28), используем предельные формулы для углового потенциала из [58] и получаем интегральные уравнения для плотностей fi(s), v(s):

1 - jW) i г , .cos(po(x(s),y(a)) , ir . , д гт . , ч ч f %7Г h |ф) - уД I d° + Л'М, «е Г, (33) - - ЛМ, ^ G Г, (34) где использованы формулы (24), (25), угол <Ро(х,у) определен выше.

Первый интеграл в (33) и третий интеграл в (34) — сингулярные интегралы Коши [69].

Подставляя функцию (21) в условия (32), получим дополнительные уравнения для v(s), /i(s)

V[fi](x(an)) + T[v](x(an)) = /i(e„)/(l - p„), n = 1,., N. (35)

Тем самым мы получили систему интегральных уравнений (33) — (35), (6) относительно функций v(s), fi(s).

Затем мы делаем замену неизвестных функций /x(s), после которой характеристическая часть каждого из двух сингулярных уравнений содержит только одну неизвестную функцию. Производя регуляризацию сингулярных интегральных уравнений с учетом условий (35), (б), приходим к векторному интегральному уравнению второго рода и доказываем, что это уравнение фредгольмово. Показываем, что однородное уравнение имеет только тривиальное решение, следовательно неоднородное уравнение однозначно разрешимо. Таким образом мы доказываем теорему существования решения краевой задачи, получаем интегральное представление для решения и сводим задачу к однозначно разрешимому интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Справедлива

Теорема. Пусть Г G С2,А и выполнены условия (30), (29). Тогда решение задачи V3 существует, единственно и даётся формулой (21), где плотности (J>(s), v(s) определяются в результате решения векторного уравнения Фредгольма II рода.

Градиент решения задачи V3 может быть неограниченным в окрестности концов контура Г. Найден показатель в неравенстве (1). При g = 0 решение задачи V3 переходит в решение задачи V2. Заметим, что векторное уравнение Фредгольма II рода, к которому сводится задача из главы 3, значительно более сложное, чем уравнение, возникающее в главе 2.

В четвертой главе изучается краевая задача для неволнового уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. При этом на одной стороне каждого разреза задается условие Дирихле, а на другой — условие с косой производной. Эта задача обобщает смешанную задачу Дирихле-Неймана.

Задача V4. Найти вещественную функцию и(х) из класса G, удовлетворяющую в Л2 \ Г в классическом смысле уравнению Гельмгольца

Aw - k2u = О, к = Re к > 0, граничным условиям

1хМег+ = /+М> (36) Г

•+/>£) =/-W (37) х) хЫегдт. и условиям на бесконечности

Считаем, что f+(s), f~(s) - известные вещественные функции и (3 — вещественная константа.

С помощью метода энергетических тождеств доказана теорема единственности.

Чтобы доказать разрешимость задачи V4, наложим дополнительные требования гладкости на функции из граничных условий (36), (37): f+(s) G С1,А(Г), /-(*) € С°'А(Г), Л € (о, 1]. (38)

Вместо граничного условия (36) запишем эквивалентное ди дтх /'+(*), f'+(s) ее М € С°-Л(Г), (39) x(s)er+ ds

ФЫ) = 1+Ы, n = l,.,N. (40)

В условии (39) учтено, что при выбранной параметризации д/дтх = d/ds в любой точке rc(s) £ Г.

Ищем решение задачи V4 в виде в виде (21). Потенциалы V и Т даются формулами (7), (8), в которых Т(л) = kq(z). Плотности fi(s), v(s) ищем в пространстве С^(Г), ш € (0,1], q 6 [0,1). Помимо этого, плотность u(s) должна удовлетворять условиям (6), где C2(s) = ^(s).

Показано, что функция (21) удовлетворяет всем условиям задачи V4, кроме граничных. Чтобы удовлетворить граничным условиям, мы подставляем (21) в (39), (37), используем предельные формулы для углового потенциала из [58] и получаем интегральные уравнения для плотностей jn(s),u(s);

1 г , ss'm(po(x(s),y(<j)) . 1 г , , ч / мч , .

-m • er,

41)

--2-+ \x(8)-y(*)\ da+ s e Г, (42) где использованы формулы (10), (11), угол <ро(х,у) определен выше.

Первый член в (41) и пятый член в (42) — сингулярные интегралы Коши [69].

Подставляя функцию (21) в условия (40), получим дополнительные уравнения для i/(s), fi(s)

V[fi](xК)) + ГИОфп)) = /+м, Я = 1,., N. (43)

Тем самым мы получили систему интегральных уравнений (41) — (43), (6) относительно функций is(s), fi(s).

Далее мы производим замену неизвестных функций v(s), /z(s), после которой характеристическая часть каждого из двух сингулярных уравнений содержит только одну неизвестную функцию. Регуляризируя полученную систему с учетом условий (43), (6), приходим к векторному интегральному уравнению второго рода и доказываем, что это уравнение фредгольмово. Показываем, что однородное уравнение имеет только тривиальное решение, значит неоднородное уравнение однозначно разрешимо. Таким образом мы доказываем теорему существования решения краевой задачи, получаем интегральное представление для решения и сводим задачу к однозначно разрешимому интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Справедлива

Теорема. Пусть Г £ С2>х и выполнены условия (38). Тогда решение задачи V4 существует, единственно и даётся формулой (21), где плотности fi(s), v(s) определяются в результате решения векторного уравнения Фредгольма IIрода.

Градиент решения задачи V4 может быть неограниченным в окрестности концов контура Г. Найден показатель 6 в неравенстве (1).

На этом завершим изложение краткого содержания диссертации. Диссертация построена таким образом, что каждую главу можно читать независимо от других глав. Нумерация формул в каждой главе не зависит от нумерации формул в других главах.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [81] - [89]

Заключение

В диссертации представлены результаты исследования 4-х задач математической физики. Рассмотрены краевые задачи для волнового и неволнового уравнения Гельмгольца вне разрезов произвольной формы на плоскости с различными граничными условиями. Перечислим вкратце основные новые результаты.

I. Изучена краевая задача с косой производной для неволнового уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. Доказано, что решение задачи существует и единственно. Задача сведена к однозначно разрешимому интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Получено интегральное представление для решения задачи. Получена оценка для градиента решения на концах разрезов.

II. Изучена задача Дирихле-Неймана для волнового уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости, когда условие Дирихле и условие Неймана заданы на разных сторонах разрезов. Доказано, что решение задачи существует и единственно. Теорема существования решения доказана с помощью теории потенциала. Задача сведена к системе интегральных уравнений второго рода. Показано, что эта система фредгольмова и имеет единственное решение. Получено интегральное представление для решения задачи. Получена оценка для градиента решения на концах разрезов.

III. Изучена обобщенная задача о скачке для волнового уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. Доказано, что решение задачи существует и единственно. Задача сведена к векторному интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Доказана однозначная разрешимость этого уравнения. Получено интегральное представление для решения задачи. Получена оценка для градиента решения на концах разрезов.

IV. Изучена краевая задача для неволнового уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости, когда на одной стороне каждого разреза задано условие с косой производной, а на другой — условие Дирихле. Доказано, что решение задачи существует и единственно. С помощью теории потенциала задача сведена к векторному интегральному уравнению Фредгольма второго рода, которое является однозначно разрешимым. Получено интегральное представление для решения задачи. Получена оценка для градиента решения на концах разрезов.

Результаты диссертации докладывались на Конференциях молодых ученых мехмата (2003, 2004) и физфака МГУ (2003). Результаты также были представлены на международной конференции "Колмогоров и современная математика" (Москва, 2003), на Всероссийской конференции "Теоретические основы конструирования численных алгоритмов для решения задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам" (Дюрсо, 2004), на Всероссийской школе-семинаре "Аналитические методы в оптимизации процессов в механике жидкости и газа" (Дюрсо, 2004).

1. Г. А. Гринберг, Н.Н. Лебедев и др. Волновая задача для параболлического зеркала // Докл. АН СССР. — 1954. Т. 95, № 5. — С. 961-965.

2. В. Н. Тарасов. Численный анализ асимптотических формул для волнового поля, отраженного от цилиндрической поверхности с произвольной максимальной кривизной // Зап. науч. семинаров Ленингр. отд-ния Мат. ин-та АН СССР. — 1978. вып. 78. — С. 211-219.

3. Е.В. Захаров, И.В. Собянина. Об одномерных интегродифференциальных уравнениях задач дифракции на экранах //ЖВМ и МФ. — 1986. Т. 26, № 4. — С. 632-636.

4. Ю.А. Еремин, Е.В. Захаров. О некоторых прямых и обратных задачах теории дифракци // Дополнение к кн.: Д. Колтон, Р. Кресс. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: "Мир", 1987. — С. 290-309.

5. М. Durand. Layer potentials and boundary value problems for the Helmholtz equation in the complevent of a thin obstacle // Math. Meth. Appl. Sci. — 1983. V. 5. — P. 389-421.

6. В.П. Шестопалов. Метод задачи Римана-Гильберта в теории дифракции и распространении электромагнитных волн. — Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1971.

7. В.Н. Кошпаренок, В.П. Шестопалов. Дифракция плоской электромагнитной волны на круговом цилиндре с продольной щелью // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1971. Т. 11, № 3. — С. 719-728.

8. В.Н. Кошпаренок, Г.Г. Половников, В.П. Шестопалов. Резонансное возбуждение плоской волной кругового цилинндра с продольной щелью // Журнал техн. физики. — 1972. Т. 42, № 10. — С. 2039-2049.

9. Е.В. Шепилко. Возбуждение кругового цилиндра с бесконечной продольной щелью осевым диполем // Радиотехника и электрон. — 1975. Т. 20, № 7. — С. 1389-1395.

10. А.И. Носич. О влиянии резонансных режимов на характеристики рассеяния незамкнутого цилиндра // Радиотехника и электрон. — 1978. Т. 23, № 8. — С. 1733-1737.

11. А. И. Носич, В. П. Шестопалов. Электромагнитный аналог резонатора Гельмгольца // Докл. АН СССР. — 1977. Т. 234, № 1. — С. 53-56.

12. А.И. Носич, В.П. Шестопалов. Свободные и вынужденные электромагнитные колебания кругового цилиндра с продольной щелью // Препринт ин-та радиофизики и электрон. АН УССР , 1977, № 78, 51 с.

13. А.И. Носич, В.П. Шестопалов. Подъемная сила плоской Н-поляризованной электромагнитной волны // Письм. в журнал техн. физики. — 1978. Т. 4, № 2. — С. 114-117.

14. А.И. Носич, В.П. Шестопалов. Резонансные пондеромоторные эффекты при рассеянии и излучении электромагнитных волн // Докл. АН СССР.1979. Т. 248, № 2. — С. 340-343.

15. Э.И. Велиев, В, В. Веремей и др. "Ловушечный" эффект в электродинамике // Докл. АН УССР. Сер. А. — 1981. № 3. — С. 47-49.

16. Ю.А. Тучкин. Рассеяние волн незамкнутым цилиндрическим экраном произвольного профиля с граничным условием Неймана. // Докл. АН СССР. — 1987. Т. 293, № 2. — С. 343-345.

17. Я.Н. Фельд, И.В. Сухаревский. О сведении задач дифракции на незамкнутых поверхностях к интегральным уравнениям второго рода // Радиотехника и электрон. — 1966. Т. 11, № 7. — С. 1159-1168.

18. Я.Н. Фельд, И.В. Сухаревский. Об интегральных задач дифракции на незамкнутых экранах // Радиотехника и электрон. — 1967. Т. 12, № 10.1. С. 1713-1720.

19. Я.Н. Фельд. Дифракция электромагнитных волн на незамкнутых экранах // Докл. АН СССР. — 1973. Т. 212, № 1. — С. 79-82.

20. Я.Н. Фельд. Дифракция скалярных волн на незамкнутых поверхностях // Радиотехника и электрон. — 1973. Т. 18, № 9. — С. 1785-1793.

21. Я.Н. Фельд. Дифракция электромагнитных волн на незамкнутых металлических поверхностях // Радиотехника и электрон. — 1975. Т. 20, № 1.1. С. 28-38.

22. В.И. Дмитриев, Е.В. Захаров. О численном решении некоторых интегральных уравнений Фредгольма I рода // Вычисл. методы и программирование. — 1968. вып. 10. — С. 49-55.

23. Е.В. Захаров, Ю.В. Пименов. О влиянии уголкового рефлектора на диаграмму нанраленности линейного излучателя // Изв. вузов. Радиофизика. — 1975. Т. 18, № 3. — С. 418-424.

24. Е.В. Захаров, Ю.В. Пименов и др. Численное решение задачи о возбуждении идеально проводящего параболического цилиндра облучателями разных типов // Численные методы электродинамики. — 1978. выи. 2. — С. 23-39.

25. Е.В. Захаров, Ю.В. Пименов и др. Численное решение задачи дифракции дифракции Е'-поляризованной плоской волны на параболическом цилиндре с конечным раскрывом // Численные методы электродинамики. — 1979. вып. 3. — С. 30-35.

26. В.И. Дмитриев, Е.В. Захаров, Ю.В. Пименов. Методы расчета электромагнитных полей в задачах дифракции на идеально проводящих поверхностях // Вычисл. методы и программирование. — 1973. вып. 20. — С. 106-125.

27. Е.В. Захаров. Об интегро-дифференциальных уравнениях в задачах на экранах // Вычисл. методы и программирование. — 1978. вып. 28. — С. 99-103.

28. Е.В. Захаров, Ю.В. Пименов. О численном решении задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутых цилиндрических поверхностях // Радиотехника и электрон. — 1977. Т. 22, № 5. — С. 620-627.

29. Е.В. Захаров, Ю.В. Пименов. Численный анализ дифракции электромагнитных волн на незамкнутой цилиндрической поверхности // Изв. вузов. Радиофизика. — 1979. Т. 22, № 5. — С. 620-627.

30. Е.В. Захаров, Ю.В. Пименов. О методе численного численного решения задач дифракции /^-поляризованных электромагнитных волн на незамкнутых цилиндрических поверхностях // Радиотехника и электрон. — 1979. Т. 24, № 6. — С. 1011-1016.

31. Е.В. Захаров, Т.М. Мелешкина и др. Алгоритм численного решения плоской задачи дифракции Jf-поляризованной электромагнитной волны на незамкнутой параболической поверхности // Численные методы электродинамики. — 1980. вып. 4. — С. 90-98.

32. А.Г. Давыдов, Е.В. Захаров, Ю.В. Пименов. Об интегральных уравнениях в задачах дифракции электромагнитных волн на незамкнутых цилиндрических поверхностях // Докл. АН СССР. — 1980. Т. 253, № 1. — С. 82-84.

33. А.Г. Давыдов, Е.В. Захаров, Ю.В. Пименов. Метод решения задач дифракции электромагнитных волн на бесконечно тонких цилиндрических экранах // Докл. АН СССР. — 1981. Т. 261, № 2. — С. 338-341.

34. А.Г. Давыдов. О возбуждении незамкнутого кругового цилиндра Н-поляризованной электромагнитной волной // Журнал технической физики. — 1982. Т. 52, № 1. — С. 92-95.

35. З.Т. Назарчук. Идеально проводящий криволинейный экран в поле Н-поляризованной электромагнитной волны // Радиотехника и электрон. — 1981. Т. 26, № 4. — С. 701-708. —

36. М.П. Саврук, З.Т. Назарчук и др. Дифракция электромагнитного поля на криволинейном идеально проводящем экране (^-поляризация) //Теорет. электротехника. — 1980. вып. 28. — С. 60-65.

37. В.В. Панасюк, М.П. Саврук, З.Т. Назарчук. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. — Киев: Наукова думка, 1984.

38. P. Wolfe. An existence theorem for the reduced wave equation // Proc. AMS. — 1969. V. 21. — P. 663-666.

39. C.C. Третьякова, О.А. Третьяков и др. Возбуждение открытой структуры типа "беличья клетка" зарядом, движущимся по окружности // Журнал техн. физики. — 1967. Т. 37, № 10. — С. 1923-1927.

40. В.Н. Кошпаренок, П.Н. Мележик, В. П. Шестопалов. Квазидипольное излучение двух цилиндров с продольными щелями // Письм. в журнал техн. физики. — 1978. Т. 4, № 19. — С. 1145-1149.

41. В.Н. Кошпаренок. Электродинамический резонатор Гельмгольца с оптимизированными характеристиками // Письм. в журнал техн. физики. — 1980. Т. 6, № 9. — С. 527-530.

42. В. Л. Нарбут. О поляризационных характеристиках двузеркальных антенн // Изв. вузов. Радиофизика. — 1979. Т. 22, № 5. — С. 628-638.

43. З.Т Назарчук. Дифракция электромагнитных волн на криволинейных экранах //Теорет. электротехника. —1981. вып. 31. — С.70-75.

44. Э.И. Велиев, В.П. Шестопалов. Эффект аномального излучения круговой решетки из цилиндров с продольными щелями // Журнал техн. физики. — 1979. Т. 49, № 8. — С. 1754-1756.

45. Э.И. Велиев, В.П. Шестопалов. Возбуждение круговой решетки из цилиндров с продольными щелями // Изв. вузов. Радиофизика. — 1980. Т. 23, № 2. — С. 202-212.

46. Э.И. Велиев, В.В. Веремей, В.П. Шестопалов. Решение задачи дифракции волн на конечной решетке из большого числа элементов // Докл. АН УССР. Сер. А. — 1982. № 6. — С. 61-64.

47. Э.И. Велиев, В.В. Веремей, В.П. Шестопалов. Дифракция волн на ограниченном числе незамкнутых цилиндрических экранов // Докл. АН УССР. Сер. А. — 1981. № 5. — С. 60-64.

48. В.Н. Кошпаренок, П.Н. Мележик и др. Строгий метод исследования электромагнитного взаимодействия системы нескольких резонансных рассеи-вателей // Докл. АН СССР. — 1980. Т. 252, № 2. — С. 328-331.

49. Ю.А. Тучкин, В.П. Шестопалов. Рассеяние волн конечной системой цилиндрических экранов произвольного профиля с граничными условиями Дирихле. // Докл. АН СССР. — 1985. Т. 285, № 6. — С. 1107-1109.

50. В.В. Панасюк, М.П. Саврук, З.Т. Назарчук. Плоская задача дифракции электромагнитного поля на системе криволинейных экранов // Докл. АН СССР. — 1980. Т. 252, № 5. — С. 1101-1104.

51. М.П. Саврук, З.Т. Назарчук. Дифракция электромагнитного поля на системе криволинейных экранов // Отбор и передача информации. — 1982. вып. 66. — С. 46-52.

52. И. К. Лифанов. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. — М.: ТОО "Янус", 1995.

53. Г.М. Вайникко, И. К. Лифанов, Л.Н.Полтавский. Численные методы в гинерсингулярных интегральных уравнениях и их пиложениях. — М.: "Янус-К", 2001.

54. П. А. Крутицкий. Задача Дирихле для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1994. Т. 34, № 8—9. — С. 1237-1258.

55. П. А. Крутицкий. Задача Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1994. Т. 34, № И. — С. 1652-1665.

56. П. А. Крутицкий. Смешанная задача для уравнения Гельмгольца в многосвязной области // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1996. Т. 36, № 8. — С. 127-137.

57. П. А. Крутицкий. Смешанная задача для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости // Дифф. уравнения. — 1996. Т. 32, № 9. — С. 1153-1162.

58. K.-D. Ih, D.-J. Lee. Development of the direct boundary element method for thin bodies with general boundary conditions // Journal of Sound and Vibration. — 1997. V.202 (3). — P. 361-373.

59. A.H. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики. — М.: Изд-во МГУ, 1999.

60. С. Canuto. Spectral methods.// in the book: Computational fluid dinamics. — Eds: M. Lesieur et al. Elsevier, Amsterdam, 1996, P. 443 500.

61. П.Н. Вабищевич, С.А. Габов, П.В. Шевцов. Угловой потенциал для оператора А + с(х) // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1994. Т. 34, № 8—9. — С. 1237-1258.

62. С. А. Габов. Угловой потенциал и его некоторые приложения// Матем. сб. — 1977. Т. 103(145), № 4. — С. 490-504.

63. А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров. Специальные функции математической физики. — М.: Наука, 1984.

64. P. A. Krutitskii. The jump problem for the Helmholtz equation and singularities at the edges // Applied Math. Letters. — 2001. V.14, — P.353-358.

65. H. И. Мусхелишвили. Сингулярные интегральные уравнениния. — М.: Наука, 1968.

66. P. A. Krutitskii. The skew derivative problem for the Helmholtz equation outside cuts in a plane // Rendiconti di Matematica (Roma). — 1999. V.19, Serie VII. — p.367-384.

67. B.C. Владимиров. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1981.

68. Ф. Д. Гахов. Краевые задачи. — М.: Физматгиз, 1963.

69. Д. Колтон, Р. Кресс Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. — М.: Мир, 1987.

70. P.A. Krutitskii. An initial-boundary value problem for the pseudo-hyperbolic equation of gravity-gyroscopic waves //Journal of Mathematics of Kyoto University. — 1997. V. 37, № 2. — P. 343-365.

71. Колмогоров A. H., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1989.

72. Крейн С. Г. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1964.

73. Треногин В.А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980.

74. П. А. Крутицкий, А. И. Сгибнев. Особенности градиента решения в обобщенной задаче о скачке для уравнения Лапласа вне разреза на плоскости. // Дифференциальные уравнения. — 2003. Т. 39, № 9. — С. 1165-1175.

75. П. А. Крутицкий, А. И. Сгибнев. Метод интегральных уравнений в обобщенной задаче о скачке для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости/Дифференциальные уравнения. — 2002. т. 38. №9. С. 1199-1213.

76. Я. А. Крутицкий, А. И. Сгибнев. Смешанная задача для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости с заданием условия Дирихле и условия с косой производной на разных сторонах разрезов.// Препринт ИПМ им. Келдыша РАН, 2004, № 8, 28 с.

77. К.В. Прозоров, П.А. Крутицкий. О задаче с косой производной вне разрезов на плоскости для уравнения Гельмгольца. // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. — 2003. № 4. — С. 15-18.

78. П. А. Крутицкий, К. В. Прозоров. Задача Дирихле-Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. // Докл. Акад. Наук — 2004. Т. 398, № 5. — С. 602-606.

79. П.А. Крутицкий, К.В. Прозоров. Обобщенная задача о скачке для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. // Дифференциальные уравнения. — 2004. Т. 40, № 9. — С. 1176-1189.

80. П.А. Крутицкий, К.В. Прозоров. Об уравнении Гельмгольца на плоскости с разрезами, когда условие Дирихле и условие с косой производной заданы на разных сторонах разрезов. // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. — 2005. № 2.