Исследование краевых задач в областях типа резонатора Гельшгольца тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А.СТЕКЛОВА (Санкт-Петербургское отделение)

ГАДЫЛЬПИН РУСТЕ» РАПИТОВНЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ ТИПА РЕЗОНАТОРА ГЕЛЬМГОЛЬЦА

(01.01.02 — дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ диссертация на соискание ученой степени доктора фиэико-натематических наук

На правах рукописи

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

1994

Работа выполнена в Институте Математики с БД У<*чмского Научного Центра Российской Академии Наук.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Ы.М.ПОПОВ доктор <Тизико-математических наук, профессор С.А.НАЗАРОВ доктор физико-математических наук профессор В.В.КУЧЕРЕНКО

Ведущая организация - Институт Математиси и механики Уральского отделения РАН (г.Екатеринбург)

Защита состоится "_"_199_г. в__

часов на заседании специализированного совета Д 002.28.04 при Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова РАН (С.-Петербург, н.р. Фонтанки, 27).

С диссетацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А.Стеклова РАН.

Автореферат разослан "_"_199_г.

Ученый секретарь

Специализированного совета, п

¿.П. Осколков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Сингулярно возмущенные уравнения и краевые задачи издавна привлекают внимание широкого круга специалистов в области дифференциальных уравнений • и математической физики. Наиболее эффективными в исследовании такого рода задач являются асимптотические методы, развитые в работах Н.Н.Боголюбова и D-А.Иитропольского, А.Н.Тихонова и

A.Б.Васильевой, Л.С.Понтрягина, Е.Ф.Мищенко и Н.Х.Розова. О.А.Олейник, М.И.Вишика и Л.А.Люстерника, О. а'. Ладыженской,

B.П.Маслова, В.Ы.Бабича, B.C. Булдырева, A.U.Ильина, М.В.Федорюка, В.Г.Мазьи, С.А.Назарова и Б.А.Пламеневского и др.

Одними из наиболее обсуждаемых в последнее время задач являются краевые задачи для эллиптических уравнений в. сингулярно возмущенных областях. Типичными задачами, относящимися к этому классу, являются краевые задачи в областях с малыми отверстиям или со сменой типа граничного условие на малой части границы, задачи во внешности тонкого тела или, наобооот, в областях с узкими отростками и каналами связи, краевые задачи в перфорированных областях и т.п.

Старейшей из подобного типа задач является задача рассеяния на резонаторе Гельмгольца, изучение которой восходит к работам Рэлея. Дальнейшее развитие эта тематика получила в работах А.А Арсеньева, 1я.Т. Била, С.В. Петраса, Е. Санчес Паленсии, Н. Фернандеса, П.Д. Хислопа и А. Мартинеца, B.C. Павлова и Ы.Д. Фаддеева и других.

Однако, для классического резонатора Гельмгольца (: идеально тонкими стенками и граничны л условиями Неймана на них) строгие математические результаты до последнего времени отсутствовали. Также оставчлар открытым вопрос (в тт числе и для резонаторов СО стоиками конечной, толщины) о точной асимптотики решений соответствующих краевых задач. С другой стороны, сравнительно

недавние результаты Ы.Ш. Бирмана и М.З. Соломяка по проблемам входящих ребер в краевых задачах для системы уравнений Максвелла открывает возможность исследования полного электромагнитного аналога классического резонатора Гельмгольца. Все эти вопросы и являются предметом исследования настоящей диссертации.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. 1'. Изучить вопросы разрешимости краевых задач, соответствующих классическому резонатору Гельмгольца и его

г

аналогам.

2) Рассмотреть возможность аналитического продолжения решений указанных краевых задач по спектральному параметру на всю комплексную плоскость С.

3) Исследовать представление решений возмущенных краевых задач в окрестности собственной частоты закрытого резонатора.

4) Построить полные асимптотики по малому параметру (размеру отверстия резонатора) полюсов аналитического продолжения решения, имеющих малые мнимые части.

5) Получить главные члены асимптотик решений возмущенных краевых задач в окрестности собственных частот ' закрытого резонатора.

НЕ ОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Исследования, проводимые в диссертации, основаны на использовании результатов теории эллиптических псевдодифференциальных операторов, функционального анализа и метода согласования асимптотических разложений.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты диссертации являются новыми для сингулярно возмущенных краевых за^дч типа резонатора Гельмгольца и его аналогов.

НАУЧНАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ. Научная и практическая ценность работы определяется широкой применимостью теоретических результатов*1 при исследовании рассеяния на объектах ; >вушечного типа. Разработанные в диссертации метоци даст возможность изучать поведение решений краевых задач для большего

класса сингулярно возмущенных областей.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на совместных заседаниях Московского математического общества и семинара им. И.Г. Петровского (1991,1993,1994) на семинарах В-.М. Бабича, O.A. Ладыженской и 11. Ш. Бирмана в ПОНИ РАН, Б. Р. Вайнберга в МГУ, Института математики УНЦ РАН, Башкирского госуниверситета и др.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в

9

работах [1]-127].

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Список литературы содержит 132 наименований. . Объем диссертации - 257 с.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении содержится общая характеристика работы и приводится обзор результатов, полученных в этом направлении.

Первая глава посвящена исследовании пластического резонатора Гельмгольца, представляющему собой поверхность Гс-Го'\0Р, получающуюся из границы Г0 ограниченной области Í1 в R3 вырезанием малого отверстия и , имьллего диаметр 0(с), 0<с<<1, и

с

соединявшего внешность П"*-Я3\П и внутренность Qln-Q резонатора. Соответствующая краевая задача имеет вид

(Д-к2)и - О, х*С1 . du /av - р f, х«Г , (1)

с со с с

и - 0(г"1), au /аг - lku - oír"1), г—»», (2)

к с в

где (1 И?3\Г , .;-(5с ,х ,х ), r-|x|, v - внешняя нормаль л П, kiR,

с с 12 3 11

£вС*(Го), рс - сужение из Г^. Решения задачи (1),(2) рассматриваются' в -классе функций из Я^ ■

Поверхность Г^ понимается как друхстфюнияя. ' " ■"

Здесь и всиду далее C"(Q) - мнсаество бесконечно' ди4>феринцируеких функций, L^(Q) и H*(Q) - пространства CofkfJitta'a

с нормами l-«L и |,||„"(0) соответственно. Если X - символ

какого-либо банахова пространства, то

Xloo(D) - lu: ueX(Df|S(R)) V В), где S(R) - открытый шар радиуса R с центром в начале координат. Под сходимостью в X,oc(D) понимаете сходимость в X(Df|S(R)) для любого (всех) R.

В акустике к решению (1),(2) сводится задача отыскания поля с потенциальной скоростью v -Vu , возникающего в однородной и

с с

. изотропной жидкой или газообразной среде при дифракции внешнего поля vout-\7uout на идеально жесткой поверхности Г^. В этом случае f—fluout/0i». Если f - произвольно, то (1),(2) естественно рассматривать как задачу излучения.

Основные идеи доказательства разрешимости краевой задачи (1), (2), существования у ее функции Грина аналитического, продолжения в нижнюю комплексную полуплоскость и исследования ее зависимости от малого параметра с заключаются в следующем.

Пусть E(k;r)-(4nr)-1exp{ikrJ, kcC, ¿«СИ(Г0). Известно, что в этом случае нормальная производная потенциала двойного слоя

u(x,k) - [г(к)ф](х) ■ - ( «(у) — E(k;|x-y|)ds

1 av *

Го у

непрерывна на »* , а сам потенциал удовлетворяет однородному уравнению Гель», гольца вне Г0 и граничному условию eu/Bv-f на Го, где для f справедливо равенство

в . в'

(Ао(к)0](х) В -- I «(у) - E(k;|x-y|)ds - f(x) (3)

Ov > , Ov y

ж Г^ * у

При keß функция и удовлетворяет условию излучения (2), а для к из верхней полуплоскости и экспоненциально ^убывает на бесконечности.-Если, к тому же, ^€С*(Гс) (где C°(Q) - множество финитных бесконечно дифференцируемых функций, носитель которых

содержится в Q), то и является решением (1), аналитически зависящим от к и удовлетворяющим (2).

Таким образом, разрешимость краевой задачи (1), (2) и существование аналитического продолжения ее решения

u (x,k) - [J£(k)0 ](х)

с с

свелись к вопросу существования "достаточно гладкого" решения уравнения

А (к)ф - f (4)

С С С

на Г , где f -р f, А (к)»р А (к), и оценке обратного оператора в

с с с с с О

подходящей норме.

Пусть -«<з<со, Нв(Го) - пространстг.ч Соболева-Слободецного.

о

Обозначим через Н^Г^) подпространство функций из Нв(Го) с носителями из Г^, а через H^tr^) обозначим пространство обобщенных функций в Г^, допускающих продолжение на Го, принадлежащее Н^СГ^). Норма в Н^СГ^) определяется по формуле

tun - inf ni US

в,Г с ■.г

с о

где И•И^ г - норма в Ня(Го). а нижняя грань берется по всем

' о

продолжениям 1 и«Н (Г ).

с в О

о

При любом кеС оператор А (к) отображает Н (Г ) в Н (Г ).

О s О «-1 О

А, с другой сторгчы, потенциал двойного слоя с плотностью из

о

Н1/-2(Гс) принадлежит искомому классу функций. Поэтому Ас(к)

о

рассматривается как оператор, отображающий Н (Г ) в Н (Г ).

1/2 в "1/2 с

Ключевую роль в исследовании зависимости решения (1),(2) от с играет следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 1.2.1. (а) Уравнение А (i)<W однозначно разрешимо » _,

в Н (Г ) при любом í«H (Г ), а оператор A (i) равномерно

1/2 с —\/л е с

ограничен по е; ;. ;

(б) для любого ГсН ,/а(г0) при с—Ю uuseT место сходимость

* Н,/2<Го):

А-'Шр Г - А-'ШГ

с с О

Это утверждение позволяет использовать А~1(1) как регуляризатор для А (к).

с

Обозначим Вв(к) - А~1(1)Ав(к). По определению Вв(к) есть * <» °

ограниченная на Н. (Г } ( Н „(Г )-Н (Г ) ) голоморфная

.. 1/2 Л 1/2 О 1/2 О

оператор-функция, для которой справедливо следующее представление Вл(к) - 1а + Тв(Ю.

где I - единичный оператор, а

- Ал'(1)рА(Ап(к) - А (1))

в о « и О

О

. является компактным оператором в ^^(Г^), равномерно ограниченным по А и ксК; К произвольный компакт в С. Бели

О •<

£вН (Г ) и € —»Г при с—>0, то в силу определения Т.(к) имеет

о I /2 в С О о

место сходимость Т (кИ —»Т (к>Г в Н „ (Г ). Последняя играет

с СО О 1/2 О ■

роль аналогичную той, которая принадлежит слабой сходимости в теории регулярных возмущений.

Таким образом разрешимость уравнений (3),(4> свелась к разрешимости уравнения Фредголъма второго рода

(I. + Т.<к»*в - . (5)

в »»/а«1".1-где г«-С(Шс-

Уравнение (5) однозначно разрешимо в указанном классе

функций при всех к за исключением множества нулей собственных

значений *в(к) оператора В^(к), которое совпадает со множеством

полюсов аналитического продолжения функции Грина (1), (2) при

в-е>0 и с объединением- множества полюсов аналитического

продолжения функции Гринач предельной внешней задачи (задачи

Неймана для уравнения Гельмгольца в 0*") и множества собственных

частот 21п предельной внутренней задачи (задачи Неймана в П,п) при .3-0. Напомним, что пос. эднее множество совпадает со множеством полисов соответствующей функции Грина. Учитывая вышеупомянутые свойства Т (к), удается показать, что X (к)—>А (к)

Л с о

при с—>0 равномерно по к, принадлежащим -чбому компакту в С. Отсюда в силу теоремы Руше следует сходимость полюсов возмущенной задачи к полюсам предельных задач.

В результате исследование аналитического продолжения решения задачи (1),(2) сводится к исследованию представления

и (х.к) - [/(к)В",(к)А"1(х)р Л(х). -(6/

с с с с

анагяз которого приводит к следующим результатам.

ТЕОРЕМА 1.2.3. Пусть К - произвольный компакт в С такой, что Е0Г)К-о. Тогда Е^К-а для любого достаточно малого с.

ТЕОРЕМА 1.2.4. Пусть К - произвольный компакт в С такой, что Ео(-|К-в. Тогда для любого достаточно малого с аналитическое продолжение и^ задачи (1),(2) является голоморфной функциеЛ из ЕТ* 1ос(Пс) при кехпЬК, равномерно ограничена по с и при е—*0 сходится к решениям предельных задач в И1(01П)«И1 (О*")

2 2,1оо

равномерно по ксК.

ТЕОРЕМА 1.2.5. Если к «Г, то существует г с£ , сходящийся к

о о с с

<0 при с—*0.

ТЕОРЕМА 1.2.6. Пусть ков£'п, ко«0, 0 - соответствующая, нормированная в Ь^СП) собственная функция предельной внутренней задачи. Тогда при к, близких к ко,

(а) для функции Грина в^х.у.к) справедливо представление

»с(х)«е(х) в (х,у,к) - —-— + в (х,у,к),

-дв в (х.у.к) голоморфная в окрестности функция, г «Е

с О * с с

:ходится к ко при с-»-+0. а, обобщенная собственная функция

сходится к ф в W1(o"')eWÍ (Q°x),

a 2,loe

(б) для аналитического продолжения решения (1),С2) справедливо представление

*.(х)

и (х;Ю----— Í {« И ds + U (х.к), (7)

г2 - К2 I •

с Г

о

где при с—>0 функция U^ сходится к регулярной части решения * предельной внутренней задачи в W*(Qln) и к решению предельной внешней задачи в W1 . (Q®*) равномерно по к,

. 2floo

• и I . ♦ Ш I . * С «р f« „„ „

о 1 ,„, —, с „1,„, R с -1/3,Г

w (s(R)sm " <«>> С

з а

равномерно по к и с, а скачок } —► iji в HJ/2(rQ).

В формулировке последней теоремы £|п означает множество корней из простых собственных значений предельной внутренней задачи. Заметим также, что # является решением (1/ при к-тс и f-О и экспоненциально растет при г—к» для фиксированного с.

Указанный подход для решения задачи Неймана переносится на пространство любой размерности. Единственным отличием нечетномерных пространств от четномерныг является то, что для последних решения аналитически продолжаются на бесконечнолистную риманову поверхность, соответствующую фундаментальному решению. Аналогичный подход применяется и к задаче Дирихле

(Д+ка)и - 0, х«0 , и - р f, хвГ ,

в с о с с*

(8>

и - 0(г"1), ви /аг - iku - oír"1), г—*»

с с с

Решение (в) и его аналитическое продолжение представляются в виде

u -[4(k)Á"l(k)p f], „

С Св ' V

где 4(.к) потенциал простого слоя на Г , AQ(k) - его прямое значение на Г , а А (к)-р А (к) - оператор, отображающий

О С СО

Н , (Г ) 8 н, (Г ). -г/я с 1/2 с

Однако, функциональные методы имеет свои ограничения. Например, в квазистационарном случп (ко-0) для (1),(2) ситуация несколько иная. Дело в том, что функция Грина предельной внутренней задачи в окрестности простого собственного значения имеет вид

с"Чх,у,к) - (к"-кг)-10(хЖу) + г1п(х,к),

где ф - соответствующая, нормированная в I, (11)* собственная функция, а функция б п(х,к) аналитична по к. Так как к "О является полюсом второго порядка, то, вообще говоря, у возмущенной задачи может существовать либо один полюс второго порядка, сходящийся к нулю, либо два полюса первого порядка. Функциональные методы не дают ответ на вопрос какая именно ситуация реализуется. Аналогичная картина имеет место и з окрестности кратного собственного частота (корня из кратного

собственного значения) предельной задачи.

\

5 ч

Кром^ этого, даже для случая простого ко»0 формула (7) не очень конструктивна для приложений, так как она не позволяет, например, оценить вклад резонансного члена (первого слагаемого в правой части (7)) в Пвх в силу того, что —Ю в этой области.

Для выяснения указанных выше вопросов во второй главе строятся г -¡имптотики гс> малому параметру с полюса ти соответствующей ему обобщенной собственной функции ^. Построение атих величин проводится методом согласования асимптотических раэложнний. И хотя идеи этого метода были высказаны 1остаточно давно, а сам метод получил ' ирокое распространение в мехенико, однако, строгие математические обоснования асимптотик решений дифференциальных уравнений с частными производными метолрм соглассвпния исимггтвтичееких разложений появились сравнительно недавьо в работах В.II. Бабича, А М. Ильина и их учеников,- 8.Г./.

Казьи, С.А. Назарова, Б.А. Пламеневского, М.В. Федорюка и других.

Основные идеи метода согласования, применительно к

рассматриваемой выше задаче для случая простого собственного

значения выглядят следующим образом. Пусть в окрестности

начала координат область Г совпадет с полупространством *3>0, а

отверстие имеет форму и -(х:хс"1си), где <4 - односвязная область в

на плоскости хз-0 с бесконечно дифференцируемой границей. Обозначим через ) дифференциальные многочлены ,)-го

порядка по переменным У, .Уа с постоянными коэффициентами (У~(У1.У2.У3)) и положим

с»

/"'••"(х.ю - У с^к2-к3Ж1п,",,(0 )0,п"К>(х.0.к),

в / о 3 У

J-o

где С1п(х,у.Ю и 0'х(.х,у,к) - функции Грина (и их аналитические

продг чтения) предельных внутренней и внешней задач

соответственно. По определению каждый член ряда ^"'"'(х.к)

удовлетворяет уравнению Гельмгольца в и однородному

граничному условию Неймана на Го\[0]. К тому же, на формальном

уровне »'"(х,к)-»н'>(0)Лх), 0"х(х,к)-Ю при к-*к . с-+0. с о с о

Поэтому, если ^(0)«0, то вне окрестности отверстия асимптотику функции *с(х) (с точностью до умножения на скалярный множитель) естественно искать в виде ^"'"'(х.т ),. где коэффициенты

V с

многочленов '°х'), кгк и коэффициенты асимптотического разложения полюса, которое ищется в виде

х - к + V е'г,, (9)

с о / . .1

вообще говоря, - произвольны.

Однако, так как в начале координат коэффициенты ряда (х.т^) имеют особенности, то в окрестности отверстия функция 4 (х) не может имет^ такие асимптотики. Поэтому в

с

окрестности начала координат для 4 строится другое разложение

по степеням с с коэффициентами, зависящими от переменной «¿-хс"1, соответствующей размеру отверс! ;я. Оно ищется в виде

(10)

1 '

¡-о

Краевые задачи для коэффициенте! (10) получаются стандартным для метода согласования способом. В (1) вместо к и подставляем соответственно ряды (9) и (10) и переходим в (1) к переменной Затем выписываем отдельно равенства при

одинаковых степенях с и переходим к формальному пределу при с—Ю. В итоге получаем следующую рекуррентную' систему краевых задач:

' .1-2

* "О"1-2

¿.V. - - - £ с « КЭ\Г.

" € в Г, (11)

где X. - коэффициенты ряда Л т2-к2, а Г - внешность о на

1 с с о

плоскости С3-0-

С другой стороны, если в 01п<*к>(х,г ) коэффициенты

с с

заменить на их асимптотики в нуле, а затем перейти ,к переменной С. то получим формальный ряд

оа

- £ еУ"'"»^, сз »0 (£3 * 0).

коэффициенты которого также являются асимптотическими рядами степенного роста ОС I^ на бесконечности, удовлетворяют граничному условию вУ|п,,*'/вС -О при £ -О, £»0 и являются при р-|£|—м асимптотическими решениями уравнений из (11), гдо

Задача согласования рядов (»'"'•"'(х.г ) и V (£) сводится к

с ее

доказательству существования решений краевых задач (11),

кмеющих при р—м» асимптотики, совпадающие при (€3*0) с

эядами у) В, этом случае данные ряды в пограничном ■' ■

области (где х - мало, а 5 - велико), грубо говоря, будут переходить в друг друга. Достигается же указанное совпадение выбором коэффициентов к^п<*к> к х^.

Главные члены асимптотик * -к , 1шт и обобщенней

со с

собственной зависят от некоторых вполне определенных констант и функций, определяемых ниже. Пусть ХеН* (ос(5?3) - гармоническая вне ¡3 функция, удовлетворяющая граничному условию Х-1 на и и убывающая на бесконечности. Существование такой функции хорошо известно. Она имеет асимптотику

Х(С) - сирт1+ О(р"а)

при р-н». Постоянная сы>0 есть емкость диска и. Положим

1 . 1 . хо(0 - 1 - - Х(0, С3*0, ХоСО - - Х(€). €3*0

и обозначим

ап - Ии | |а*х(х.0,ко)|2й8

1",<" ЗвСг!

Положительную постоянную <гп в приложениях обычно называют поперечником рассеяния.

Для рассматриваемого случая простой ненулевой собственной частоты ко согласование асимптотических разложений приводит к следующему результату.

ТЕОРЕМА 11.1.1. Асимптотики полоса г «£ , сходящегося к к ,

с • О

и соответствующей обобщенной собственной функции ыывюг вид

■о 1-1

г1 - я*ос./С2ко)' 1ш та - - (п*оси)2<Г</2' (12)

* (х) - *(х)(1+о(1)), х«0,в\3(с"г)

С

* (х) - 1> X (х/с)(1+о(1)), ХбБСгс1'2), с о о

« (х) - с 2пф с С"(х,0,к )(1+о(1)), хсП'-ЧБСс^2)

с Ос» О

в , (П ).

2 , 1 ос с

В вырожденном случае (когда |>(0)-0) эрмулы (12) теряют :вою конструктивность. Однако и в этом случае удается построить полные асимптотические разложения по степеням с и дать явные выражения в терминах предельных задач для главных членов асимптотик основных величин, к которым относятся г -к , 1гат и

с О , с

V . Показано, что вырожденность существенно влияет на порядю о

зингулярности решения.

В этой главе построены также асимптотики полюсов, годящихся к нулю и к корню двукратного собственного значения тредельной внутренней задачи. Эти построения, в частности, юказывают, что в обоих случаях у возмущенной задачи существуют ю два несовпадающих полюса первого порядка.

Для системы двух вложенных резонаторов приведен анализ (ависимости основных характеристик от того к чьей собственной 1астоте сходится полюс. В частности, показано, что при 1ещественных к максимальные значения решения будут наблюдаться в :лучаа, когда к2 является собственным значением "внутреннего" скрытого резонатора и не является собственным значением внешнего" закрытого резонатора типа шарового слоя, причем эти начения на порядки выше, чем в случае, одного резонатора.

В( последнем разделе главы приведены асимптотики аналогичных :олюсов для задачи Дирихле и краевых задач на плоскости.

Заметим, что идея искать решение вне окрестности отверстия именно для резонаторе Гельмгольца) в виде функций Грина, как несшей, так и внутренней предельных задач (с коэффициентами, ависящин от некоторого параметра расширения к4) была предложена

в работе B.C. Павлова и М.Д. Фаддеева (О рассеянии на полом резонаторе с малым отверстием. Зап. науч. семинаров ЛОМИ. Л., 1983, т. 126, с. 159-169) при описании модели щели нулевой ширины в теории расширений. Вопрос же об оГэснованном выборе параметр'э расширения, по-существу, сводится к сравнению с решениями реальных задач, изучение которых и проводится во второй главе.

Третья глава посвящена исследованию резонатора flc со стенками конечной толщины и граничными условиями Неймана" на них. Аналогом малого отверстия для такого резонатор? служит узкий цилиндрический канал связи кс, соединяюдий внутренность Í1 и

1 п

внешность резонатора °вк' Заметим, что первые строгие математические доказательства существования полюсов с малой мнимой частью для областей ловушечного типа были даны именно для таких резонаторов (в случае гладкой границы). И, если задача Тирихле достаточно интенсивно исследовалась A.A. /рсеньевым (Об особенностях аналитического продолжения и резонансных свойствах решения задачи рассеяния для уравнения Гельмгольца, Курн. вычисл. математики и мат. физики. 1971, т.12, вып.1, с.112-хЗв), C.B. Петрасом (О расщеплении серий резонансов на "нефизическом" листе, Функцио! анализ и его прил.. 197S. т.9, вып.2, с.89-90), К. Фернандесом (Fernandez С. Resonances in scattering by a resonator, Indiana Univ. Math. J., 1985, v.34, Ho 1. p.115-125), П.Д. Хислопом и А. Картинецом (Híslop P.D., Martinez A. Scattering resonances of Helmholtz resonator, Indiana Univ. Hath. J., 1991, v.40, No 2, p.767-788). то для краелй задачи Неймана до последнего времени никаких nf ¡движений (в плане исследования зависимости решений от малого параметра) после работы Дж.Т. Била (Beale J.Т. Scattering frequencies of resonators. Comm. Pure and Applied Hath., 1973, v.26,® No 4 p.549-564) не было.

В первых двух разделах главы доказано, что. если £ch-(±nra/h}">1, где h»- длина какала связи <cc-uc*(0,-h). то .к

любому некулевому koe(2:|n\î:ch)U(£<!h\£l,,) сходится единственной полюс первого порядка возмущенной задачи, а к нулю стремятся два полюса первого порядка (симметрична относительно мнимой оси).

В остальных разделах главы для всех таких полюсов строятся полные асимптотические разложения.

Пусть S°*(R) - шар радиуса R с центром в xo-(0,0,-h),

а - lira f |G"'(x,xo,ko)|2ds, B"œ dscm

Г" ™ х (-«.0]j U й', й' - (Ç: Ç3>0),

Обозначим через Y(Ç) - гармоническую в Г" функцию из С°°(ГЛ,)п"1 . (Г"), удовлетворяющую однородному граничному условию

* ' 2 , 1 о с

Неймана на аг" (вне ребер) .1 имеющую на при р—х» асимптотики

Y(Ç) - О(р"1), Ç,*0, Y(Ç) - » q^ + о(1), Ç^O

(существование такой функции доказьхвгется).

Основные утверждения третьей главы имеют следующий вид. ТЕОРЕМА II 1.3.1. Асимптоти1;и полоса х , сходящегосп к

с

ко«Г|"\£сЛ, и соответствующей обобщенной собственной функции имеют вид

00

J-2 1 ,

т - - 02(О) ctg(k ¿ОН , Ira г - О, 2

Id та - - - |ko#(0) sin"'(koh)|u|ja <т. 9 (х) - 0(х)'+ о(1), х«0 \S(e,/a).

С 1П

*с(х) - *(0)(1 + 0(1)), x«S(2e1'2). 1

- 0(O)43in"1(koh)aln(ko(x3+h;)(l + о(1)).

16 -

х«к1\(3*"(с,/г)из(с,'г))

?с(х) - - с ко«К0)зхп"1(коЬ)|у((х-хо)/с) + о(1))|.

* (х) - - с2 к й(0)а1п"1 (к Ь) 1о| (в"К(х,х ,к ) + о(1)],

с О О 1 1 ^ О О ]

в Ь (К )■

2 , 1 оо

ТЕОРЕМА 111.4.1. Существует ровно мва полоса первогс порядка, сходящиеся к нулю и связанные равенством '

Асимптотики полоса х -х'1' и соответствующей обобщенно}

Б С

собственной функции имеют вид

т

Г

х1 - (1} |01п| Н-1Г1/а. 1т та - 1т тз - О, 1т г--1 оЬ~а 10 Г1 |ь»|а,

4 2 1 I п1 11

® (х) - |П, |-,/г + о(1), хсП \в(с1'а).

С * 1 П ' 1 П

* (х) - |0 |-1/а(1 + о(1)), хввсгс1'2),

в ■ I о 1

* (х) - - с Ь"1 т I"1'* У(х*"/с)<1 + о(1)), х«5",(2с1/г).

« 1 1 п 1

* (х) - |0 |-,/а (1,- Ь"'х )(1+о(1)),

С 3

х«кв\(3""(с,/а>и8(с"а».

*с(х) - сг (К|о|)"* |П|п|-1/2[0"'(х,х0.0) + о(1)|,

ха£1 \г» (е )

в Ь , (Пс).

2 | 1оо

ТЕОРЕМА 111.5.1. Асимптотики полюса х , сходящегося к

х«0 \5*К(с )

• X

к - (rnn/h) « Zcn\i:,n,

О

соответствующей обобщенной собственной функции имеют вид

со

т - У cJr., г - 2q к /h. 1шт--k2h~l lui2<т.

с J 1 и О 2 О ' 1

J-1

Ф (х) - - с к (2ЪГ1\и\)1/г Gln(x,0,k ), хеП \S(c"2,>,

с О 1 1 О t п

Фс(х) . kQ| - h|<j|j-'Y(x/c). xcS(2с1'2), <Mx) - с"1 ( 1 h|o| J "13in(k£)x3),

xe«cc\(S,"'(cI/:!)US(c,/2>). Фс(х) , (-1)"*1 ~ h|o|J"1YC(x-x(>)/c) , x«S°*(2c1/2) ,

S (x) . E(-l)"k(2h",|u|)1'2G"(x1* ,k ), хеП \S"(c,/2)

« 0 1 ' О О ex

L , (0е).

2, loo

В четвертой главе рассмотрена краевая задача для системы равнений Ыаксвелла с граничными условиями на Г^, ютветствующими идеальной проводимости.

На паре трехмерных векторов U-[ut.u2) определим (фференцнальные операторы Ыаксвелла:

HU - (i rotu2, -i rotUj}, divaU - (divUj, divu.,;

Краевая задача, соответствующая полному электромагнитному

:алогу резонатора Гельмгольца, имеет вид

t

BU - kU + F, divaU - 0, x«Q , r u -О. х«Г , (13) •

' С VI в

U2xxr"' - Ut - 0(r"1), UjXXr"1 + U3 - o(r"1). Г—МО (14)

le x-(xj,x2,x3), kíR, F-(Pl,Pa), Fj - квадратично интегрируемые, >леноидальные функции (divP^-О) с финитными носителячи, г^и -

касательная составляющая вектора *. Решения задачи (13), (14) рассматриваются в 5* (О )-F* (П )«Fj (О ), где

loe с loo с loo с

F1 (Q) - lu с L2(Q): div и с Í^ÍQ), rot u с Ц«})}

- гильбертово пространство относительно скалярного произведения, определяемого нормо*

2 2 2 2

lúa i - irot ui + idiv ua ,,+ tun

r <0> La<0) La«0) " La<0)'-

Хотя данная модель представляет собой полный электромагнитный аналог резонатора Г<" чьмгольца, но техника доказательства разрешимости задачи (13), (14), существования у ее решений аналитических продолжений и исследования сходимости полюсов по малому параметру заметно отличается от техники, применяемой в первой главе в задаче о классическом резонаторе.

Для доказательства разрешимости (13),(14) и существования у

ее решений аналитического продолжения применяется подход

основанный на идеях, использование Б. Санчес Паленсией

(Неоднородные среды и теория колебаний. U.: Кир, 1984., 472 с.)

при доказательстве существования аналитического продолжения в,

к залос бы, существенно отличающихся скалярных внешних задачах

для уравнения Гельмгольца вне области с достаточно гладкой

границей. Однако относительно недавние результаты Ы.Ш. Бирмана и

U.3. Соломяка (Операторы Максвелла в областях с негладкой

границей, Сиб. мат. «урн., 1987, т.27, с.23-36, Главные

особенности элг гтрической составляющей электромагнитного поля в

областях с экранами, Алгебру и анализ, 1993, т. 5, выл.1,

с.143-159) по проблемам входящих ребер в краевых задачах для

системы уравнений Максвелла позволяют реализовать упомянутый

. ■ ■ ? подход и для (13), (14). *

Основные идеи доказательства следующие. На восьмимерных вектор-функциях U-(ii ,u ,11 ,u ) - где u. - векторные

It 1(2 2 J

(трехмерные), a Uj - скалярные компоненты, определим дифференциальный оператор Я:

Л П - li(rotu2 + vua), -i div u2, - i(rotu + vUj), i divUj)

Вместо задачи (13), (14) предлагается рассмотреть следующую краевую задачу:

(л - k)U - У, xeflc, jv - О. х«Гс> (15)

где У - функция из L2(R3) с финитным носителем, Tll»(rxui ,»i>u2 ,иг), а т^и - нормальная составляющая вектора w. Решения рассматриваются в классе функций из » (П ), где

1 ос с

¿(D) - f'(D) о w'(D) в F'(D) в h'(D)

При к таких, что lmk*0, для всех декартовых компонент Vj вектора И предполага тся выполнение условия излучени т Зоммерфельда

v} - 0(r"'), av^ar - ikVj - о(г"2). г —» в (16)

Связь задач (13), (14) и (15),(16) достаточно простая и заключается з следующем. Если tMU^ ,ut ,U2,u2) - решение (15),(16) при ^«{Fj,0,Р2,0}, divFj-O, то U-lUj,U2+ik"1Vuj) является решением (13), (14) при F-ÍF^f^J. И, наоборот, если U-(u ,и ) является решением (13), (14) и на Г^, то U-tUj ,0,u2,0;

яв. лется решением (".5), tl6).

С другой стороны, задача (15), (16) более удобна для анализа по следующим причинам.

Во-первых, ейли в задаче (15), (16) "отрезать" бесконечность сферой с граничным условием »U-0 на ней, то для полученной таким образом краевой задами в ограниченной области с экраном Г^ применимы рвзул>таты цитируемых аьпиа работ И.Ш. Випмаца и М.Т Соломяка. Откуда, а частности, следует, что спектр такой задаче; дискретен при любом фиксированном с.

- 22 -

Во-вторых, решение уравнения (Л-к)У-9 в Н3 (без экрана) его аналитическое продолжение явно выписываются в виде объем) потенциалов.

Последние два результата позволяют перенести технш примененную Е. Саьчес Ппенсией и на анализ задачи (15), (16).

Суть этого подхода состоит в следующем. Решение задачи ( (16) и его аналитическое продолжение ищутся в виде суперпозш; решения уравнения (Л-к)Г-Э в Я3 с некоторой неизвестной праЕ частью 5 и решения краевой задачи в ограниченной области (в ша с экраном1), правая часть уравнения которой и граничное условие сфере, в свою очередь, определяются через 5. В результате вопрс разрешимости задачи (15), (16) и существования у ее решен аналитического продолжения сводятся к разрешимости для фредгольмова уравнения второго рода с компактным операторо аналитически зависящим от к.

Для анализа сходимости решений (15),(16) по параметру ключевую роль играет "равномерная" по с компактность в Ьа(3(Б ограниченных функций И^ из Ю(3(й)\Гк}, удовлетворяй« однородному граничному условию -О на а8(Юиг , что позволя

с с

применить стандартную технику.

Основным результатом первой ("функциональной") части гла] является

ТЕОРЕМА IV.3.7. Пусть ко - простое собственное значенI предельной внутренней задачи Максвелла, не являющееся собствент частотой предельных внутренних задач Неймана и Дирихле, Л соответствующая собственная вектор-функция, нормирование., в 1.^(1 и продолженная нулей в О".

Тогда в окрестности точки кд решение задачи (13), (14) и е; ' аналитическое продолжение имеет вид

к

и (к,к) - (к -к)"*Л (х) {Г,Л ) „ ♦ 0 (х,к)

с ее с цЗ с

где 1С «Е(П ) - полос, сходящийся к к . J -(J .J 1

С С О с «1 С2

соответствующая обобщенная собственная функция, сходящаяся к J в L (Я3), функция U голоморфна в окрестности точки к и

2 , I о с С О

сходится к решению предельной внешней задачи в L (С1"х) и

2 t loc

регулярной части предельной внутренней эадг. т в L (П).

Посредством (•,•в формулировке теоремы • обозначено скалярное произведение в La(Q).

Вторая часть главы посвящена построении асимптотики полюса. Коэффициенты главных членов асимптотики к зависят от некоторых

с

вполне определенных постоянных.

Пусть Xj, j-1,2,3, гармонические в Р3\Г функции из

И1 (R3\T), имеющие на бесконечности асимптотики 2 , 1 о с

х,(0 - ci * Cj^jp"1 * 0<р-3). ±е3*о' (ei-e,. cf-o)

и удовлетворяющие на Г граничным условиям вХ^/д(з~0, т-1,2, и Х3-0. Существование таких функг-'й известно, константы 2с->0 являются компонентами матрицы поляризации, а -2с3>0 - аналог средней виртуальной массы для диска и. ' Обозначим через С диагональную матрицу с компонентами Cj.

Пусть G®* - компоненты матрицы-функции Грина предельной внешней завдачи для (15),(16),

вв* _ я"» -ik"1^®*

1(2,31, Е ö13(8,6> вЭ(5,в>'

g*K - g" +ik~'VG**

1( 2 , 3 ) , H ÖS3(S,6> 43(0,4»*

где g**"{G*x,G*K ,G" ). Обозначим e-te, ,)3 , ,,

nn п в (n♦1>a (n*2)» fl IJ l , Jm1

e33 - 1 ira J |g"E(x.O,k0)|2 da,

B"*° as<B)

0 -G - lin la f <g*"„(x.O,k ),g!" (x.O.k )> ds,

и3 За j », H О Э, H О

0 - lin Re Г <ge" (х,0,к ) ^"„(х.О.к )> ds, m,n-l,2,

R->0) J ■ t H v 1> , H о

SsiB)

где <•,•> означает скалярное произведение в С3. Заметим, чтс

матрица 0О - симметричная, а ее собственные значения

*

положительны.

Основным результатом второй ("асимптотической") части глав: является

ТЕОРЕМА IV.5.2. Асимптотика полюса к^еГ^, сходящегося npt с—>0 к собственному значению kQ, удовлетворяющему условно теорем! IV.3.7, имеет вид

m

к - ) с*к , 1ш к - с" Im »с + 0(с7),

в J с 6

J-3

кз " nVV0)+Jн<0)■C«(Jr(0>+Jк(0))>•

:м к - - (2nk )а <J (0)+J (0),С ОС (J (0)+J (0))> 6 о с н ы a u Е н

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Гадыльшин P.P. Сингулярно возмущенная задача для оператора Гельмгольца. - В кн.. Дифференциальные уравнения с малым параметром, Свердловск: Изд-во УНЦ АН СССР, 1984, с.18-35.

2. Гадыльшин P.P. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной эллиптической задач! с малым параметром в граничном условии. - Дифференц. уравнения, 198и, т.22, No 4, ,

.с.640-652.

3. Гадыльшин P.P. Расщепление кратного собственного значения задачи Дирихле для оператора Лапласа при сингулярном возмущении граничного условия. - Матем. заметки, 1992, т.52, No 4. с.42-55.

4. Гадыльшин P.P. Расщепление кратного собственного значения в

краевой' задаче для мембраны, закрепленной на малом участке'

границы. - Сибирский матем. журнал, 1993, т.33, вып.3, с.43-61.

5. Гадыльшин P.P. Об амплитуда колебаний для резонатора Гельмгольца. - Доклады АН СССР, 1990, т.310, No 5, с. 1094-1097.

I. Гадыльшин P.P. О квазисобственных частотах резонатора Гельмгольца. - В сб. Асимптотические решения задач математической физики, Уфа: Изд-во БНЦ УрО АН СССР, 1990, с.33-49.

. Гадыльшин P.P. О расщеплении полюсов функции Грина для электромагнитного аналога резонатора Гельмгольца. Радиотехника и электроника, 1991, т.36, Ко 10, с.2045-204.7.

. Гадыльшин P.P. Поверхностные потенциалы'и метод сращивания асимптотических разложений в задаче о резонаторе Гельмгольца. - Успехи матен. наук, 1991, т.46, вып.6(282), с.175-176.

. Гадыльшин P.P. Об аналитическом продолжении функции Грина резонатора Гельмгольца. -В сб. Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений, Уфа: Изд-во ' БНЦ УрО АН СССР, 1992, с.18-26.

3. Гадыльшин P.P. Рассеяние Е-поляризованного поля на идеально проводящей цилиндрической поверхности с узкой щегью. -Письма в ЯТФ. 1992, т.18, вып.4, с.10-13.

.. Гадыльшин P.P. Поверхностные потенциалы и метод согласования асимптотических разложений в задаче о резонаторе Гельмгольца. - Алгебра и анализ, 1992, т.4, вып. 2, с.88-115.

. Гадыльшин P.P. Ыетод сращивания асимптотических разложений а задаче об акустическом резонаторе Гельмгольца. - Прикладная математика и механика, 1992, т.56, вып.З, с.412-418.

Гадыльшин P.P. • О слипающихся полюсах акустического

резонатора. - Доклады АН, 1992, т.234, No 4, 773-776.

14. Гадыльшин P.P. Резонатор Гельмгольца с малым отверстием. Иурн. вычисл. математики и мат. физики, 1992, т.32, No 9, с.1446-1457.

15. Гадыльшин P.P. О влиянии выбора места отверстия и его форм на свойства акустического резонатора Гельмгольца,- Теор. матем. физика, 1992, т.93, No 1, с.107-118.

16. Гадыльшин P.P. О системе вложенных резонаторов. - Доклад РАН. 1992, т.326, No 6, с.939-942.

17.. Гадыльшин P.P. 0 квазистацпонарнох. режиме резонаторе Гельмгольца. - Прикладная математика и механика, 1993, т.57 вып.5, с.54-61.

18.. Гадыльшин P.P. 0 полосах акустического резонатора. -Функцион. анализ, и его прилож., 1993, т.27, вып.4, с.3-16.

19 Гадыльшин P.P. Расщепление полюсов резонатора Гельыгольцс - Изв. РАН, сер. матем., 1993, No 5, с.44-74.

. 20. Гадыльшин P.P. Асимптотика второй собственной частоты дJ системы двух тел, соединенных тонкой перемычкой. - Теор. матем. физика, 1993,.т.97, No 1, с.68-77.

21. Гадыльшин P.P. О собственных частотах тел с тонким] отростками. I. Сходимость и оценки. - Матем. заметки, 199: т.54, No 6. с.10-21.

22. Гадыльшин P.P. О собственных частотах тел с тонким; отростками. I. Асимптотики. - Катем. заметки, 1994, т.5 No 1. с.20-34.

23. Гадыльшин P.P. К рассеянию Н-поляризов иного электромагнитного поля на идеально проводящем цилиндре узкой продольной щелью конечной глубины. - Записки научн семинаров ПОНИ РАН, 1994, т.210, с.21-28.

24. Гадыльшин P.P. Двумерны,, аналог резонатора Гельмгольца идеально жесткими стенками. - Днффер;нц. уравнения, 199

T.30, No 2, c.221-229. '>

5. Gadyl'shin R.R. On scattering frequencies of acoustic

resonator. - Preprint, 1992, Bashkirian scientific center of Ural branch of Russian Academy of Sciencies. ■

6. Gadyl'shin R.R. On scattering freqi ncies of acoustic

resonator. - C.R. Acad. Sci., 1993, t. 316, Serie I, p. 959-963.

7. Gadyl'shin R.R. On acoustic Helmholtz resonator and on its

electromagnetic analogue. - J. Math. Phys., 1994, v.35, No 4. p. 3464-3481.

rn «ripHHT» 3aK. N't 80 T«pa>K JOO 9K3.