Влияние геометрической неоднородности и упругой анизотропии материала на точностные характеристики волнового твердотельного гироскопа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ДОННИК Александр Сергеевич

ВЛИЯНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ И УПРУГОЙ АНИЗОТРОПИИ МАТЕРИАЛА НА ТОЧНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВОЛНОВОГО ТВЕРДОТЕЛЬНОГО ГИРОСКОПА

Специальность: 01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2006

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и мехатроники Московского энергетического института (технического университета). Научный руководитель доктор технических наук, профессор

Подалков Валерий Владимирович Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор Голубев Юрий Филиппович; кандидат технических наук, заместитель главного конструктора направления Бровкин Александр Григорьевич Ведущая организация ФНПЦ ОАО «Раменское Приборостроительное Конструкторское Бюро»

Защита диссертации состоится «02» июня 2006 г. в аудитории Б-407 на заседании диссертационного совета Д-212.157.11 при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу: 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 17.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетического института (технического университета).

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просим направлять по адресу: 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 14, Ученый совет МЭИ (ТУ).

Автореферат разослан «_»_2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор

Трифонов О.В.

ЪК 3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность проблемы. Волновой твердотельный гироскоп (ВТГ) является одним из наиболее перспективных приборов, предназначенных для определения угла поворота и угловой скорости вращения объекта, с точки зрения потребительского соотношения цены к точности получаемой инерциальной информации. Помимо отмеченного соотношения основными преимуществами волновых твердотельных гироскопов по сравнению с другими типами гироскопических приборов являются: работоспособность в условиях относительно высоких перегрузок, малые требования к обслуживанию прибора вследствие отсутствия вращающихся частей, малое энергопотребление, компактность и небольшой вес, малое время готовности, высокий ресурс.

В условиях возрастающей конкуренции со стороны высокоточных систем спутниковой навигации по отношению к автономным средствам навигации в настоящее время внимание производителей волновых твердотельных гироскопов сосредотачивается на таких новых областях их применения как нефтегазовая промышленность (определение параметров траектории бурения скважин), дорожное и железнодорожное строительство (система контроля уровня полотна, деформации рельс). Для дальнейшей успешной конкуренции таких приборов гражданского назначения в условиях рыночной экономики необходимо еще более снижать стоимость изделий при одновременном повышении гарантированной точности измерений и других важных параметров таких, как, например, работоспособность в условиях вибрационных воздействий (виброустойчивость) Подобное снижение стоимости возможно при уменьшении издержек производителей за счет серийного производства, которое эффективно, когда выполнение процедуры калибровки каждого изделия в отдельности облегчается, благодаря заранее известным, рассчитанным требованиям к чувствительному элеменгу (точности обработки его поверхности, физическим свойствам материала') Эти задачи на сегодняшний день являются актуальными. Целью работы является анализ влияния геометрической неоднородности резонатора и анизотропии материала на тотгоотныо ха^тстс^истики ВТГ, опре-

БИБЛПОТЕКА I С. Петербург &(?//•

ОЭ ^»ПС/У-

деление требований к технологии изготовления резонатора, выбор параметров системы «полусферический резонатор - ножка» с целью повышения ее виброустойчивости.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обусловлена применением современной теории тонких упругих оболочек, строго обоснованных математических методов и согласованностью новых результатов с ранее полученными другими авторами.

Методы исследования определялись спецификой изучаемого объекта и базируются на теоремах классической механики и механики сплошных сред. В работе использовалась техническая теория оболочек. Рассматривались только из-гибные колебания оболочек вращения, срединная поверхность которых предполагалась нерастяжимой. При рассмотрении анизотропного материала исследовался случай симметрии гексагонального кристалла (трансверсалъно-изотропный материал), который соответствует наиболее распрос граненному материалу, применяемому при изготовлении резонаторов ВТГ, - плавленому кварцу.

Научная новизна результатов, полученных в диссертации, заключается в следующем:

• получены формулы для расчета собственных частот колебаний и масштабных коэффициентов с учетом закона изменения толщины;

• выполнен анализ влияния толщины резонатора, изменяющейся по окружной и черидианальной координатам, на точность измерений ВТГ;

• исследовано влияние геометрической неоднородности по окружной координате на виброустойчивость цилиндрического и полусферического резонаторов;

• выполнен анализ влияния анизотропии материала и технологии изготовления резонатора на величину собственной частоты колебаний и погрешность измерений гироскопа;

• найден спектр частот системы «стержень - полусферическая оболочка» для набора краевых условий закрепления стержня, проведено исследова-

ние виброустойчивости такой системы при наличии поперечных вынужденных колебаний основания Практическая ценность работы заключается в разработке методик определения:

• требований к разнотолщинности резонатора и соосности оси симметрии резонатора и оси симметрии анизотропного материала типа гексагонального кристалла на примере цилиндрической и полусферической оболочек, представляющих собой необходимое условие соответствия серийно выпущенного изделия заявленной точности прибора;

• отношения длины цилиндрической оболочки к ее радиусу, при котором влияние геометрической неоднородности по окружной координате на уход гироскопа минимизируется;

• положения на стержне полусферической оболочки, при котором минимизируется амплитуда колебаний ее рабочего края при воздействии поперечных вибраций основания.

Перечисленные выше результаты выносятся на защиту. Работа выполнялась при поддержке научной школы акад. РАН Д.Е. Охоцим-ского и проф. Ю.Г. Мартыненко (код проекта НШ-1835.2003.1), Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 03-01-00637). Апробация работы. Результаты работы докладывались на:

- международной конференции «Информационные средства и технологии» (Москва, октябрь 2003 г.):

- XXIV конференции памяти H.H. Острякова (Санкт-Петербург, октябрь 2004 г.);

- международной конференции «Информационные средства и технологии» (Москва, октябрь 2004 г.);

- ХП Санкт-Петербургской международной конференции по интегрированным навигационным системам (Санкт-Петербург, май 2005 г.);

- научном семинаре в МГУ «Динамика относительного движения» под руководством чл.-корр. РАН проф В.В. Белецкого, проф. Ю.Ф. Голубева, доц. К.Е. Якимова, доц. Е В Мелкуновой (Москва, февраль 2006 г);

- научных семинарах кафедры теоретической механики и мехатроники МЭИ (Москва, 2003-2006 г.г.).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 7 печатных работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Список литературы содержит 67 наименований Общий объем диссертации составляет 131 страницу. Работа содержит 25 рисунков и 7 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дан обзор теоретических работ, которые наиболее близко примыкают к задачам, рассмотренным в диссертации, формулируется цель проведенных исследований и кратко изложено содержание работы

В первой главе изучается влияние переменной толщины резонатора на динамические характеристики ВТГ. При этом толщина резонатора может быть функцией как меридианальной, так и окружной координат.

Вначале рассмотрена динамика резонатора, имеющего форму произвольной оболочки вращения, толщина которой является функцией меридианальной координаты.

А = й0[1+ /(£?)] (1)

В результате решения динамических уравнений моментной теории изгиба оболочки, толщина которой изменяется в меридианальном направлении, получены соотношения для определения собственных частог и масштабных коэффициентов резонатора. Масштабным коэффициентом1 является коэффициент пропорциональности скорости прецессии стоячей волны к проекции угловой скорости вращения основания на ось симметрии резонатора.

1 Журавлев В Ф, Климов ДМ Волновой твердотельный гироскоп М Наука - 1985 - 126 с

Полученные общие соотношения были применены к цилиндрическому и полусферическому резонаторам В случае цилиндрического резонатора имеем:

а;

=^Г/К"2+- * - ^^+Л*1 - ОЧ2 - - + Л тк в0

+2(1-у)(*2 -^У;2+*2(а2 -1)^ -2>*2(*2 -^ч»;}»,

як В}гП:

(2)

4^(1+ /(*))#

-й--,

(3)

где

= хЯ2рк0][%2 + к2 (к2 + Щ2\\ + ДвШ

(4)

Здесь штрихом обозначена производная по координате 9, со^ - частота ¿-ой формы колебаний оболочки, 5[ - масштабный коэффициент, Д> - цилиндрическая жесткость, О\(0) - функция, отражающая изменение цилиндрической жесткости оболочки из-за ее разнотолщинности, р - плотность материала, V - коэффициент Пуассона. Параметр в\ = ///?, где / - длина оболочки, Л - ее радиус Функция является к-ой собственной формой колебаний цилиндрической оболочки постоянной толщины Ъо. Определению конкретного вида Ч^ для набора краевых условий в работе отведен отдельный параграф.

Для полусферы радиуса Я получены аналогичные формулы:

\2 к

2 _ 4як2(к2 -1)2(1 - у)

а; =

Кгтк

(5)

Я

)[tg^\ sin30(l + /(é?))rf0

Sl = 2--^^-, (6)

] [2 sin2 в+ (k + eos в)2 ](l + f(6))$w.ed6

где

Я

тк = nph0 ¡2 sin 2 (9 + (A: + eos 0)2 Jl + f(6))de. (7)

Функция /#), входящая в формулы (1) - (7), может быть конечной величиной, когда переменность толщины реализована производителем намеренно, и может быть малой величиной \f(@) «1, характеризующей погрешность при изготовлении резонатора.

Были найдены собственные частоты и масштабные коэффициенты на второй рабочей форме колебаний для цилиндрического и полусферического резонаторов, изготовленных из плавленого кварца при следующих геометрических параметрах: радиусы цилиндра и полусферы равны между собой, ho = 1 мм, длина цилиндра равна его радиусу / = R = 40 мм. Результаты расчетов представлены в Таблице 1.

Таблица 1.

Цилиндрический резонатор Полусферический резонатор

Закон изменения толщины <0к,Гц К Закон изменения толщины а>ь Гц К

m=w2 1855,6 0,337 т=е2 4571,2 0,286

т=2(1-¿о2 2381,5 0,316 1414,5 0,271

ho=hcp- 1.33 мм 1652,7 0,327 ho = hcp = 1.83 мм 1773,5 0,277

Незначительные изменения масштабного коэффициента при конечном изменении толщины оболочки объясняются тем, что этот параметр зависит от геомет-

рии резонатора. Что же касается значительного изменения частоты колебаний в зависимости от закона изменения толщины, то это можно объяснить тем, что в колебаниях участвует в основном зона около свободного края резонатора.

Далее в работе была найдена зависимость масштабного коэффициента и рабочей собственной частоты колебаний цилиндрического резонатора постоянной толщины от отношения его длины к радиусу при различных краевых условиях. Расчеты показали, что масштабный коэффициент и собственная частота колебаний оболочки, представляющей собой удлиненный цилиндр, стремятся к соответствующим значениям, полученным другими авторами1 для кольца.

Затем в этой главе было изучено влияние продольной и поперечной вибраций основания на динамику резонатора, выполненного в виде произвольной оболочки вращения, толщина которой имела следующую зависимость от окружной координаты:

h = h0(l + scoskq>), е« 1. (8)

Установлено, что на динамику резонатора, который совершает колебания по рабочей форме, при наличии продольных вибраций основания влияет вторая гармоника в формуле (8), а при поперечных - первая и третья. При этом амплитуда колебаний свободной кромки резонатора тем меньше, чем выше качество обработки его поверхности; прямо пропорциональна добротности материала, перегрузке, в условиях которой работает прибор, и обратно пропорциональна рабочей собственной частоте колебаний оболочки. В настоящее время рядом изготовителей (РГ1КБ, Медикон, Northrop Grumman) достигнуты значения добротности материала Q порядка 107 и освоен высокий технологический уровень обработки поверхности, позволяющий добиться разнотолщинности оболочки порядка ±10 нм. Была рассмотрена цилиндрическая оболочка / = R = 40 мм, h = 1 мм ± 10 нм, изготовленная из плавленного кварца с добротностью Q = 107, функционирующая в условиях поперечных вибрации с перегрузкой 10g. В этом случае амплитуда колебаний свободного края на резонансной час' Журавлев В ф, Климов ДМ Волновой твердотельный гироскоп М Наука - 1985 -126 с

Егармин Н К Свободные и вынужденные колебания вращающегося вязкоупругого кольца Н Изв АН СССР MTT -1986, №2 - С 150-154

тоте составила 25 мкм. С учетом того, что амплитуда «полезных» колебаний стоячей волны имеет порядок 30 50 мкм, ясно, что в этом случае работоспособность прибора нарушается. Однако, как показано в диссертации, для понижения амплитуды на два порядка достаточно отстроиться от резонансной частоты всего на десятые доли процента.

Ан&тогичные расчеты были проведены для полусферической оболочки с параметрами, подобными цилиндрическому резонатору. Следует отметить существенно большую (в 3.7 раза) чувствительность полусферического резонатора к вибрационным воздействиям по сравнению с цилиндрической оболочкой.

Затем в этой главе была получена формула для ухода гироскопа с резонатором переменой толщины, которая изменяется по закону й = й0(1 + есо$к<р), е « 1. Показано, что в этом случае стоячая волна для резонатора, находящегося на неподвижном основании, прецессирует относительно основания с угловой скоростью:

где С] ь С22 - параметры, зависящие от упругих и геометрических характеристик резонатора, а коэффициент в зависимости от формы оболочки определяется формулой (4) или (7). Численные расчеты проводились для цилиндрической и полусферической оболочек, изготовленных из плавленого кварца, радиусом 20 мм. толщиной 1 мм и разнотолщинностью по второй гармонике ± 20 нм. Для полусферического резонатора уход гироскопа составил 0.09 °/ч. Для подобного цилиндрического резонатора, у которого длина равна радиусу, один конец жестко заделан, а другой свободен, величина ухода равна 0 017 °/ч, что свидетельствует о том, что полусферический резонатор предъявляет существенно (в 4-5 раз) более высокие требования к таким дефектам изготовления как разнотол-щинность по окружной координате На рис 1 приведены графики зависимости ухода цилиндрического резонатора от параметра в\ = 1/Я при различных краевых условиях Из рисунка следует, что существует такое отношение длины

3 2 ^11 — ^22

4 т2<ог

(9)

и

оболочки к ее радиусу, при котором влияние разнотолщинности по второй гармонике на уход гироскопа минимизируется.

1 - «заделка - свободный край», 2 - «заделка - шарнир», 3 - «заделка - заделка» Рис. 1. Уход ВТГ с цилиндрическим резонатором в зависимости от отношения длины оболочки к ее радиусу при различных краевых условиях.

Во второй главе изучается динамика резонатора ВТГ, изготовленного из анизотропного материала, на неподвижном основании. Рассматривается анизотропия типа гексагонального кристалла (трансверсально-изогропный материал). Оси координат xyz (рис. 2) являются главными осями анизотропии, при этом ось Oz является осью симметрии материала, а Ох и Оу произвольным образом расположены в плоскости изотропии. Ось симметрии материала на практике, вообще говоря, не совпадает с осью симметрии самого резонатора z , что приводит к возникновению прецессии стоячей волны, возбужденной в резонаторе, в том числе и при неподвижном основании, характеризуя тем самым дрейф ВТГ В идеальном случае, когда ось симметрии материала и резона-

тора совпадают (г = 0), была получена формула для определения собственных частот колебаний произвольной оболочки вращения, изготовленной из

Рис. 2. Упругая анизотропная оболочка, у которой главная ось анизотропии г отклонена от оси симметрии резонатора г на малый угол е.

анизотропного материала типа гексагонального кристалла:

К][на1 + "Ли + 2Н2х1кхгк + 'ФьЧ + ^ 2Н,ХгкУМА2М

т2--Л________

\l7cp\p\ + У,; +

Здесь параметры (? = 1, ..., 6) зависят от упругих постоянных материала и направляющих косинусов оси симметрии материала относительно трехгранника ф/С к(, - постоянная толщина оболочки, р - ее плотность, А\, А2~ параметры Ламе, х\к, /2к и гк - кривизны нерастяжимой срединной поверхности оболочки, £4, ^к - собственные формы колебаний резонатора.

Численные расчеты для полусферической (/) и цилиндрической оболочек (Р) радиуса 20 мм и толщины 1 мм для анизотропного и изотропного (индекс и) случаев позволяют свести данные в Таблицу 2, из которой следует, чго полусферический резонатор обладает меньшей жесткостью по сравнению с

подобным ему цилиндрическим. Учет анизотропии материала при вычислении собственной частоты колебаний полусферического резонатора имеет еще более существенное значение, чем для цилиндрической оболочки. При этом численное значение частоты, полученное в изотропном случае, может оказаться как больше, так и меньше соответствующего значения, вычисленного с учетом анизотропии, что, вообще говоря, определяется свойствами самого материала.

Таблица 2.

Материал /Гц Л, Гц \г-м,% Р, Гц Гц

Цинк 2006.6 2534.4 20,8 2130.7 2622.3 187

Кварц 3314.1 3727.8 12,5 3604.4 3972.4 93

Магний 2725.8 2629.0 3,6 2890.0 2828.2 2.1

Титан 1334.0 1158.3 13,2 1428.0 1281.2 10.3

Далее были рассмотрены цилиндрический и полусферический резонаторы, имеющие малую (порядка е « 1) несоосность осей симметрии материала и оболочки Получены дифференциальные уравнения, описывающие динамику резонатора. В этом случае показано, что возникает раздвоение частот, которое приводит к прецессии стоячей волны колебаний оболочки, находящейся на неподвижном основании. При этом величина дрейфа гироскопа описывается формулой:

%т2

Здесь г4Д и г4Д - параметры, зависящие от упругих модулей, отвечающих за

анизотропные свойства материала.

Уход был найден как в одномодовом приближении, так и с учетом нескольких мод колебаний. Показано, что одномодовое приближение может быть успешно использовано для нахождения дрейфа ВТГ, вызванного несоосностью осей симметрии материала и резонатора. Соотношение (10) позволяет рассчитать необходимую точность совпадения оси симметрии кристалла с осью симметрии резонатора. Пример такого расчета приведен в Таблице 3.

Из Таблицы 3 следует, что для полусферического резонатора требования по соосности оси симметрии материала с осью симметрии резонатора в среднем Таблица 3. Требование к дрейфу ВТГ - меньше 0.1 °/ч.

Материал | Цинк Кварц Магний Титан

Цилиндрический резонатор 47' 45' 26' 44'

Полусферический резонатор 19' 19' 15' 20'

в два раза жестче, чем для цилиндрической оболочки. Отметим тот факт, что существуют материалы, например, магний, для которых учет анизотропии в вычислениях собственной частоты колебаний дает меньший эффект (Таблица 2), чем для других материалов, вместе с тем требование к соосности осей симметрии материала и резонатора является более жестким.

На рис. 3 представлена зависимость изменения ухода гироскопа от параметра в\, характеризующего отношение длины цилиндрической оболочки к

Ф А °/ч

0,6 0,5 0,4 0,3 -0.2 -0,1 0

1

1,5

2,5

Рис. 3. Уход ВТГ с цилиндрическим резонатором, имеющего несоосность оси симметрии материала и оси симметрии оболочки равную 1°

ее радиусу, для наиболее часто встречающегося на практике краевого условия «заделка - свободный край». В данном случае имеется определенное значение длины цилиндрической оболочки, при котором уход гироскопа минимален.

В третьей главе рассматривается волновой твердотельный гироскоп, выполненный в виде оболочки вращения, полюс которой закреплен на упругой ножке. В качестве ножки рассматривается стержень при различных условиях его закрепления. Первая частота колебаний такой системы в целом может оказаться близкой или даже равной рабочей частоте колебаний резонатора, что приводит к возникновению резонанса для всей системы в целом.

В данной главе изучена динамика системы «ножка-резонатор», получены описывающие ее дифференциальные уравнения. Показано, что в динамике упругий стержень и закрепленный на нем резонатор взаимодействуют лишь по первой форме колебаний. В результате применения способа преобразований [6] найдено следующее частотное уравнение, позволяющее определить собственную частоту колебаний системы Г2 при любом числе мод М

* и П2 " и П2

«=112 -ап «=112 -со„

Здесь 5 = £(/„£) - собственная форма колебаний стержня, 8п=5(Я„11), Б'п = 5"(ЛЯ/,), /1 - координата закрепления полюса полусферы на стержне, ц„ -отношение массы полусферы к обобщенной массе стержня, соответствующей л-ой собственной форме колебаний стержня, соп - собственная частота колебаний стержня, т]пи г)'п - коэффициенты, зависящие от геометрических и массовых характеристик системы.

Соотношение (11) было использовано для определения частот колебаний системы в случае различных краевых условий для стержня, на котором закреплен полусферический резонатор.

Далее были рассмотрены вопросы динамики системы «ножка-резонатор» при наличии поперечных вынужденных колебаний основания. Интерес представляет амплигуда колебаний точки на краю полусферической оболочки, где

расположены датчики съема информации о движении стоячей волны При рассмотрении поперечных колебаний, для определенности вдоль оси х, была получена формула, выражающая амплитуду колебаний свободного края полусферического резонатора:

где с, Ни - коэффициенты, зависящие от геометрических и массовых характеристик стержня, 0, - добротность материала стержня, а - Х()ф2, Х0 и т - амплитуда и частота вынужденных колебаний, со\ - частота собственных колебаний ножки резонатора.

Численный расчет проводился для системы, состоящей из полусферической оболочки радиуса Я = 20 мм, постоянной толщины й0 = 0.5 мм, изготовленной из плавленого кварца, и трубчатого стержня, имеющего длину /=60 мм, радиус 5 мм и толщину стенки 0.5 мм, также изготовленного из плавленого кварца, оба края которого жестко заделаны. Если прибор работает в условиях перегрузки а = а добротность материала стержня составляет Q= 105, при закреплении резонатора на середине стрежня максимальная амплитуда колебаний равна 2 7 мм, что в действительности приведет к ударам края оболочки об электроды. При этом зависимость амплитуды колебаний точки «обода» оболочки от частоты вынужденных колебаний имеет форму ярко выраженного резонансного пика. Если частота вынужденных колебаний больше собственной частоты колебаний стержня на 0.05%, тогда амплитуда колебаний равна 10 мкм. Если же частота вынужденных колебаний отличается от собственной частоты колебаний стержня на 0.5%, то амплитуда колебаний соответственно уменьшается еще на один порядок и составляет неопасную величину 1 мкм.

Зависимость максимальной амплитуды колебаний обода оболочки от ее положения на стержне представлена на рис. 4. Из него следует, что в случае расположения резонатора выше середины стержня система становится менее восприимчивой к воздействию вынужденных колебаний и существует такое

А =

Нхда

положение оболочки на стержне, при котором амплитуда колебаний ее свободного края ввиду вибрационных воздействий минимальна.

Арвз. м

А

0 0070 006 0 005' 0004 0003 0 0020 001 0

V

001 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06

1,,м

Рис. 4. Зависимость амплитуды колебаний обода оболочки от ее положения на стержне в случае резонанса

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Основные результаты, полученные в настоящей работе, приведены в заключении и могут быть сформулированы следующим образом

1. Получены формулы для расчета собственных частот колебаний и масштабных коэффициентов с учетом закона изменения толщины по меридиану оболочки вращения Найдена относительная погрешность определения масштабного коэффициента.

2. Исследовано влияние геометрической неоднородности по окружной координате на виброустойчивость цилиндрического и полусферического резонаторов. Установлено, что вторая гармоника в разложении геометрической неоднородности по окружной координате вызывает существенный дрейф нуля гироскопа.

3 Проанализировано влияние анизотропии материала на величину собственной частоты колебаний и погрешность измерений гироскопа. Установлено, что существует такое соотношение между длиной цилиндрической оболочки и ее радиусом, при котором влияние второй гармоники в разложении геометрической неоднородности по окружной координате и несовпадение оси симметрии анизотропного материала типа гексагонального кристалла и оси симметрии резонатора на уход гироскопа минимизируется.

4. Установлено, что полусферическая оболочка обладает меньшей виброустойчивостью при воздействии продольных и поперечных вибраций основания, а также предъявляет более высокие требования по обеспечению соосности оси симметрии анизотропного материала и оси симметрии самого резонатора, по сравнению с цилиндрической оболочкой.

5 Решена спектральная задача для системы «стержень - полусферическая оболочка» при различных краевых условиях закрепления стержня Проведено исследование виброустойчивости такой системы при наличии поперечных вынужденных колебаний основания Найдено соотношение между частотой вибраций и первой собственной частотой колебаний стержня, которое соответствует резонансу маятниковых колебаний совокупной системы «стержень - полусферическая оболочка».

6 Определено положение полусферической оболочки на стержне, при котором минимизируется восприимчивость системы к действию поперечных вибраций основания.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Подапков В.В., Александров A.M., Дойник A.C. Собственные колебания упругого двухзвенного робота-манипулятора // Вестник МЭИ. - 2002. - №1. - С. 12-15.

2. Донник А С Собственные колебания полусферической оболочки волнового твердотельного гироскопа // Труды межд. конф. «Информационные средства и технологии». 14-16 окт. 2003 г., в 3-х т., т 2. -М.: Янус-К, 2003. - С. 60-63.

3. Воробьев В.А, Донник A.C., Меркурьев И.В. Динамика волнового твердо-

тельного гироскопа при учете переменной толщины резонатора // Материалы XXIV конференции памяти H.H. Острякова. Гироскопия и навигация. -2004.-№4(47).-С. 91.

4. Дойник A.C., Подалков В.В. О прецессии стоячих волн колебаний осесим-метричной вращающейся оболочки переменной толщины // Труды межд конф. «Информационные средства и технологии». 12-14 окт. 2004 г., в 3-х т., т.1. - М.: Янус-К, 2004. - С. 65-68.

5. Донник A.C., Меркурьев И.В. Динамика волнового твердотельного гироскопа с полусферическим анизотропным резонатором // Вестник МЭИ. - 2005. -J64.-C.5-10.

6. Донник A.C., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Влияние анизотропии полусферического резонатора на динамику и точность волнового твердотельного гироскопа // Материалы ХП Санкт-Петербургской международной конференции по интегрированным навигационным системам. Гироскопия и навигация. - 2005. - №4 (51). - С. 95.

7. Донник A.C., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Влияние анизотропии полусферического резонатора на динамику и точность волнового твердотельного гироскопа // Материалы ХП Санкт-Петербургской международной конференции по интегрированным навигационным системам, 2005. - Санкт-Петербург, 2005. - С. 198-201. (На англ. яз.)

Подписано в печать*/; СИ* CG зак. fjjj Тир. ЮС П.л. Полиграфический центр МЭИ (ТУ) Красноказарменная ул., д. 13

¡s- 73 4 8

*

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ДИНАМИКА ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ

ОБОЛОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ.

§ 1.1. Определение масштабного коэффициента и собственных частот колебаний оболочки вращения при изменении толщины в меридианальном направлении. Получение общих соотношений.

§ 1.2. Нахождение собственных форм колебаний цилиндрического резонатора постоянной толщины.

§ 1.3. Влияние изменения толщины в меридианальном направлении на динамику цилиндрического резонатора.

§ 1.4. Динамика полусферического резонатора переменной толщины

§ 1.5. Влияние поступательной вибрации основания на динамику оболочки вращения, толщина которой переменна в окружном направлении. Получение общих соотношений.

§ 1.6. Влияние поступательной вибрации основания на динамику цилиндрического и полусферического резонаторов, толщина которых переменна в окружном направлении.

§ 1.7. Влияние погрешностей изготовления резонаторов волнового Ф твердотельного гироскопа на его уходы.

Глава 2. ДИНАМИКА АНИЗОТРОПНОГО РЕЗОНАТОРА ВОЛНОВОГО ТВЕРДОТЕЛЬНОГО ГИРОСКОПА.

§ 2.1. Собственные частоты анизотропной оболочки вращения. Вывод вспомогательных соотношений.

§ 2.2. Динамика анизотропных цилиндрического и полусферического резонаторов, изготовленных без технологических погрешностей.

§ 2.3. Уходы волнового твердотельного гироскопа с неидеальными цилиндрическим и полусферическим резонаторами.

Глава 3. ДИНАМИКА ВОЛНОВОГО ТВЕРДОТЕЛЬНОГО ГИРОСКОПА С РЕЗОНАТОРОМ, ЗАКРЕПЛЕННОМ НА НОЖКЕ.

§ 3.1. Колебания ножки волнового твердотельного гироскопа, выполненной в виде стержня.

§ 3.2. Колебания системы, состоящей из оболочки вращения, закрепленной на ножке.

§ 3.3. Частоты колебаний системы в случае различных краевых условий для стержня.

§ 3.4. Динамика волнового твердотельного гироскопа при наличии вынужденных колебаний, действующих на основание прибора.

Волновой твердотельный гироскоп является инструментом, используемым для измерения угла поворота и угловой скорости вращения объектов. В основе его функционирования лежат инертные свойства упругих волн в твердом теле.

Явление прецессии стоячих волн в тонкой упругой цилиндрической оболочке, вращающейся с постоянной угловой скоростью со относительно инерци-ального пространства было впервые исследовано Брайаном в 1890 г [54]. Он показал, что ось стоячей волны упругих поперечных колебаний оболочки вращается с постоянной угловой скоростью Q. относительно основания, причем имеет место соотношение: о и2"1 Q = —;-СО, п +1 где п - номер формы колебаний.

Эффект, описанный Брайаном, был использован исследователями из General Motors при разработке гироскопа с резонатором в виде тонкой полусферической оболочки в 60-х годах прошлого века [56, 59]. Был зарегистрирован ряд патентов, описывающих множество усовершенствований оригинальной идеи. Первоначальные патенты охватывали действие прибора как датчика угловой скорости. Более поздние патенты Лопера и Линча [62, 63] описывают его действие как интегрирующего датчика скорости. При этом колеблющаяся волна свободно прецессирует по всей окружности резонатора, и прибор может использоваться в качестве датчика угла поворота. Кроме того, такое функционирование имеет уникальное преимущество в том смысле, что прибор будет продолжать интегрировать угол поворота во время короткого прерывания электропитания.

Конструктивное исполнение волнового твердотельного гироскопа (ВТГ) с одной чувствительной осью, представленное в [57], приведено на рис. 1. Прибор состоит из полусферического резонатора 1, кожухов 2 и 3, платформы с ва

Рис. 1. Конструкция волнового твердотельного гироскопа, разработанного ФНПЦ ОАО «Раменское приборостроительное конструкторское бюро».

1 - полусферический резонатор, 2 - внешний кожух, 3 - внутренний кожух, 4 - платформа, 5,6- уплотнения, 7 - корпус, 8 - насос. куумно соединенным блоком 4, в котором смонтированы коаксиальное 6 и одиночное 4 уплотнения, корпуса 7 и встроенного геттерного насоса 8, предназначенного для поддержания вакуума в полости прибора. На кожухе 2 расположены силовые электроды, на кожухе 3 находятся электроды для считывания информации. Металлические электроды также наносятся на внешнюю и внутреннюю поверхность резонатора вблизи от его края. Они, совместно с электродами, нанесенными на кожухи, образуют конденсаторы. Соответственно силовые конденсаторы вместе с кольцевым электродом, располагающимся на внешнем кожухе, и электронными схемами образуют систему возбуждения и поддержания постоянной амплитуды [22, 26] колебаний на частоте, совпадающей с собственной частотой колебаний оболочки. С помощью такой системы в резонаторе устанавливается рабочая вторая форма поперечных колебаний. Оболочка изготавливается из плавленого кварца, сапфира или другого материала, обладающего малым коэффициентом внутренних потерь. В настоящее время рядом компаний [34, 44, 57] достигнуты высокие значения добротности материала вплоть до 107.

В общем случае резонатор ВТГ представляет собой оболочку вращения. В литературе большинство работ посвящено рассмотрению кольцевых, цилиндрических и полусферических резонаторов. На практике в настоящее время большинство приборов имеют чувствительный элемент, выполненный в виде полусферической оболочки, находящейся на круглом стержне. Причем такой резонатор может быть полностью изготовлен из одного монокристалла или представлять собой составное изделие [34], соединение элементов которого (полусферической оболочки и ножки) осуществляется с помощью, например, клея.

Источником инерциальной информации является стоячая волна упругих колебаний. При этом измерения производятся в режиме свободных колебаний резонатора. Вращение основания, на котором установлен резонатор, вызывает поворот волны на меньший, но известный угол, то есть упругая волна, как целое, прецессирует. Таким образом, волновые твердотельные гироскопы могут использоваться в качестве датчиков угла поворота объекта. Коэффициент пропорциональности скорости прецессии стоячей волны к проекции угловой скорости вращения основания на ось симметрии резонатора [5] - «масштабный коэффициент» - наряду с собственной частотой колебаний резонатора входит в число наиболее важных для изготовителя параметров системы.

Волновой твердотельный гироскоп (ВТГ) является одним из наиболее перспективных приборов, предназначенных для определения угловой скорости вращения объекта, с точки зрения потребительского соотношения цены к точности получаемой инерциальной информации. В основном, организации, занимающиеся активным исследованием волновых твердотельных гироскопов, сосредоточены в США (Northrop Grumman Corporation1, научный консультант -Dr. D.D. Lynch2; Delco Systems Operations; Litton Guidance & Control System), Франции (Sagem) и России (ЦНИИ «Электроприбор»; ЗАО НЛП «Медикон»; ФНПЦ ОАО «Раменское Приборостроительное Конструкторское Бюро»).

Волновой твердотельный гироскоп относится к гироскопам высоких и средних точностей - уходы 5-Ю"4—10"1 °/час [35]. Основными преимуществами волновых твердотельных гироскопов по сравнению с другими типами гироскопических приборов являются: хорошее соотношение цена/точность прибора. работоспособность в условиях относительно высоких перегрузок; малые требования к обслуживанию прибора вследствие отсутствия вращающихся частей; малое энергопотребление; компактность и небольшой вес; низкое время готовности; высокий ресурс.

1 http://www.nsd.es.northropgrumman.com/Automated/products/HRG.html

2 http://www.irconnect.com/noc/press/pages/newsreleases.mhtml7ds54590

В настоящее время в качестве относительно недорогих приборов (порядка 2000 USD) компанией Медикон предлагаются устройства гражданского навигационного назначения1 (рис. 2) со следующими характеристиками:

- случайная составляющая дрейфа.0,005 °/ч;

- систематический дрейф.2,5 °/ч;

- максимальная измеряемая скорость.300 °/с;

- потребляемая мощность, включая электронный блок.1,5 Вт;

- вес механической части датчика.97 г.

А ФНПЦ ОАО «РПКБ» выпустило волновой твердотельный гироскоп л

ТВГ-3-1 (рис. 3) с такими параметрами :

- случайный дрейф. 0.005-0.01 °/час;

- систематический дрейф.3 °/час;

- потребляемая мощность.1.5 Вт;

- масса.350 г.

При этом, например, указанный прибор компании Медикон работоспособен в интервале температур от —40 до +40°С, обладает вибрационной прочностью 10g в диапазоне частот 3 - 200 Гц, время готовности составляет 5 с, а наработка на отказ - не менее 100000 часов.

Ввиду возрастающей конкуренции со стороны высокоточных систем спутниковой навигации по отношению к автономным средствам навигации вообще [30], и к системам на основе волновых твердотельных гироскопов в частности, в настоящее время внимание производителей сосредотачивается на таких новых областях применений как нефтегазовая промышленность (измерение траектории бурения скважин) и железнодорожная промышленность (система контроля деформации рельс).

Вычисление траектории бурения необходимо ввиду того, что процесс бурения достаточно длителен во времени, по ходу его следует учитывать вращение Земли. Без такого учета бур может отклониться от вертикальной оси. При

1 http://medicon.best-business.biz/index.html?page=2084343348

2 http://www.airshow.ru/expo/309/prod748r.htm

Рис. 3. Волновой твердотельный гироскоп ТВГ-3-1 производства ФНПЦ ОАО «РГЖБ» менение гироскопа позволяет осуществлять непрерывный контроль траектории бурения без извлечения буровой колонны. Требования, вызвавшие к жизни применение именно волнового твердотельного гироскопа в составе инклинометра [2] состоят в том, что датчик должен работать в условиях относительно высоких перегрузок, температур и сильных вибраций. В отличие от магнитных датчиков, использовавшихся в этой сфере, волновой твердотельный гироскоп не чувствителен к влиянию магнитного поля Земли. Кроме того, существенными являются требования к габаритным размерам готового изделия, которое должно, например, помещаться в трубу диаметром 40 мм. Волновые твердотельные гироскопы могут удовлетворить всем этим требованиям.

Система контроля деформации рельс ставит своей целью определение угла деформации рельс и относительного положения стрелы прогиба каждой рельсовой нити. Система безопасности, призванная предотвращать аварии на железной дороге, также может быть основана на GPS1, устанавливаемой на локомотивах. Однако в данном случае система GPS не конкурирует с ВТГ, а дополняет его. Точность расчетов комбинации систем выше, чем точность измерений каждой из них по отдельности. Кроме того, волновой твердотельный гироскоп является единственным в системе источником информации о нахождении в зонах, где теряется сигнал слежения GPS.

В подавляющем большинстве применений основным преимуществом волнового твердотельного гироскопа в условиях рыночной экономики является средний класс точности по относительно низкой цене. Для дальнейшей успешной конкуренции таких приборов гражданского назначения необходимо еще более снижать стоимость изделий при одновременном повышении гарантированной точности измерений и других важных параметров таких, как, например, виброустойчивость. Подобное снижение стоимости возможно при уменьшении издержек производителей за счет серийного производства, которое эффективно, когда выполнение процедуры калибровки каждого изделия в отдельности об

1 GPS - Global Positioning System, глобальная система определения местоположения. легчается, благодаря заранее известным, рассчитанным требованиям к чувствительному элементу (точности обработки его поверхности, физическим свойствам материала). Решению таких вопросов посвящена данная работа. Цель работы состоит в:

- анализе влияния геометрической неоднородности резонатора на точностные характеристики ВТГ;

- анализе влияния анизотропии материала на дрейф нуля гироскопа и определении требований к технологии изготовления резонатора;

- создании подходов к выбору параметров системы «полусферический резонатор - ножка» с целью повышения ее виброустойчивости. Методы исследования определялись спецификой изучаемого объекта и базируются на теоремах классической механики и механики сплошных сред. В работе использовалась техническая теория оболочек. Рассматривались только изгибные колебания оболочек вращения, срединная поверхность которых предполагалась нерастяжимой. При рассмотрении анизотропного материала исследовался случай симметрии гексагонального кристалла (трансверсально-изотропный материал), который соответствует наиболее распространенному материалу, применяемому при изготовлении резонаторов ВТГ, - плавленому кварцу.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обусловлена применением современной теории тонких упругих оболочек, строго обоснованных математических методов и согласованностью новых результатов с ранее полученными другими авторами. Несмотря на то, что теория оболочек не позволяет найти абсолютное значение собственной частоты колебаний или масштабного коэффициента с точностью лучше 1.5-2%, при этом с той же точностью определяются требования к нахождению этих величин и их зависимости от различных параметров.

Активные работы по изготовлению волновых твердотельных гироскопов начались в 70-х годах прошлого столетия. Конструкция прибора, использующая тонкостенный стальной цилиндр, один край которого жестко закреплен, а другой свободен, с дискретным пьезокерамическим возбуждением и чувствительными элементами была разработана фирмой Marconi (позднее GEC-Marconi Avionics) [60]. Первоначально эта конструкция была востребована военными приложениями. Надежность прибора была подтверждена в тестах с перегрузкой до 25g. Уникальные свойства ВТГ открыли дорогу для коммерческих приложений и этот гироскоп был использован в 1987 году в системе активной подвески команды Lotus для гоночных машин из класса формула 1. В наше время такой гироскоп используется в качестве датчика скорости поворота вокруг вертикальной оси в системе VDCS (система контроля динамики транспортных средств), серийно производимой компанией Robert Bosch GmbH [66].

Вместо прикрепления пьезокерамических элементов к стальному цилиндру можно изготовить из пьезокерамического материала весь цилиндр. Техническое обоснование использования такого прибора было проведено Бурдессом [55]. Компания BASE (British Aerospace Systems & Equipment) разработала и выпустила вибрационный гироскоп (Vibrating Structure Gyroscope), основанный на таком резонаторе [61].

В работах В.Ф. Журавлева [19, 21] приведены основные математические модели гироскопа и рассмотрены методы их анализа. Построена теория принципиального функционирования идеального гироскопа. Изучены способы возбуждения незатухающих колебаний резонатора с учетом различных инструментальных погрешностей прибора. Найдено влияние некоторых погрешностей на точность снимаемой с прибора инерциальной информации. Рассмотрены способы обработки информации, а также нелинейные явления, связанные с распространением волн вдоль резонатора. В работе [21] сделан вывод о том, что резонатор ВТГ можно рассматривать как тонкое упругое кольцо, имеющее возможность совершать изгибные колебания в своей плоскости. Это связано с тем, что поведение полусферической оболочки в краевой области весьма близко к поведению кольца. Поэтому для многих задач, связанных с изучением динамики такой оболочки, решение было выполнено с использованием в качестве модели упругого кольца.

В работе Н.Е. Егармина [16] была получена общая формула, определяющая скорость прецессии стоячей волны колебаний произвольной идеальной осесимметричной оболочки, установленной на вращающемся основании. Полученная формула применялась к вращению сферического купола, сферического сегмента на «ножке», к цилиндрической оболочке при различных граничных условиях. Статья [10] посвящена определению скорости прецессии в оболочках, имеющих форму поверхностей второго порядка положительной кривизны (эллипсоид, двухполостный гиперболоид, эллиптический параболоид), и в оболочках, меридианы которых представляют собой параболы произвольной степени. В работе А.А. Киреенкова [25] была предпринята попытка анализа частотного спектра сложной упругой системы, представляющей собой комбинацию идеальной упругой полусферической оболочки и упругого стержня.

В реальных резонаторах механические и геометрические характеристики не являются постоянными вдоль рабочей поверхности. Это приводит [21] к зависимости поведения стоячей волны от ее ориентации в резонаторе. Этот эффект, называемый динамической неоднородностью резонатора, влечет распад стоячей волны на бегущие волны, что обуславливает рост погрешности прибора. Н.Е. Егармин в работе [18] показал, что основной вклад в формирование динамической неоднородности вносит четвертая гармоника разложения механической или геометрической неоднородности параметра резонатора в ряд Фурье по окружному углу. Тем не менее в данной диссертации показано, что и низшие гармоники также имеют существенное влияние на динамику ВТГ. Влияние отклонений от идеальной схемы, обусловленных неравномерной плотностью материала, зависящей от окружного угла, на динамику осесимметричного упругого тела анализировалось в работах [21], [28]. В них были получены соотношения, описывающие поправки к частотам собственных колебаний идеальных оболочек.

Достижение высоких точностей измерений с помощью волновых твердотельных гироскопов ограничивается прежде всего наличием динамической неоднородности резонатора. Для ее устранения используются два пути. Первый -это статическая балансировка резонатора, позволяющая уменьшить его динамическую неоднородность до заданного предела. Для этой цели необходимо знать зависимость динамической неоднородности от различных технологических погрешностей изготовления резонатора, что исследовалось в работах [1, 18, 26]. Способ выполнения балансировки обсуждался в работе [3], [67], устройство для автоматической балансировки резонаторов ВТГ лучом лазера защищено патентом [7].

Второй способ - это динамическая балансировка резонатора. В работе [21] показано, что в динамически неоднородном резонаторе существуют два направления, называемые осями нормальных колебаний, при ориентации вдоль которых стоячая волна не распадается. Если в начальный момент стоячая волна ориентирована вдоль одного из этих направлений, то при отсутствии вращения основания она будет сохранять свою ориентацию, но, как только основание придет во вращение, стоячая волна начнет прецессировать и отстроится от оси нормальных колебаний, что в конечном счете приведет к распаду волновой картины. Однако, можно специальной системой управляющих электродов воздействовать на резонатор таким образом, чтобы изменить ориентацию осей нормальных колебаний, повернув их вслед за волной.

Вообще же, изучение влияния различных технологических погрешностей изготовления ВТГ на его точность является одной из ключевых задач. Этой проблеме на примере кольца уделяется внимание в работах [1, 6, 23], на примере полусферической оболочки - в работе [42], ряд задач решен Н.Е. Егарминым [15-18]. Влияние асимметрии демпфирования и параметрического возбуждения на работу прибора рассматривалось в [24].

При выборе материала для изготовления чувствительного элемента ВТГ существенным критерием является добротность. Помимо широко используемого плавленого кварца, распространение получили искусственно созданные материалы [44] типа лейко-сапфиров, обладающие довольно высокой добротностью. Однако такие материалы, равно как и плавленый кварц, обладают анизотропными свойствами. Вследствие этого немаловажное значение имеет изучение вопросов, посвященных влиянию анизотропии материала на динамику чувствительных элементов ВТГ. Задачи о погрешностях резонатора, изготовленного из анизотропного материала и вязкоупругого анизотропного материала на примере кольца были рассмотрены в работах [37, 39, 40]. Влияние анизотропии на собственные частоты кольца, изготовленного из кристаллического кремния изучалось в работе [65], где было установлено, что при малом отклонении фактической плоскости среза кольца от главной плоскости кристалла кремния, имеющего кубическую структуру, возникает раздвоение частот колебаний и стоячая волна начинает прецессировать при неподвижном основании прибора, вызывая тем самым дрейф нуля гироскопа. Аналогичные выводы сделаны в работе А.А. Унтилова [48].

Применение кольцевого электрода, создающего пульсирующую нагрузку специального вида с целью компенсации потерь энергии вследствие вязкого трения в материале, анализировалось в статье [29]. В первом приближении использованного метода усреднения было получено, что подобная специального вида нагрузка при выполнении поставленной задачи не повлияет на прецессию волны.

Ряд работ посвящен изучению влияния вибрации на динамику волнового твердотельного гироскопа. В статье [27] на примере кольцевого резонатора качественно показано, что вибрация может существенным образом менять волновую картину чувствительного элемента ВТГ, обуславливая необходимость создания специальных систем защиты гироскопа от вибраций. В работах [4, 31, 33, 43, 45] исследовалась динамика ВТГ с неидеальным полусферическим резонатором при наличии вибраций основания. Неидеальность оболочки моделировалась путем введения возмущений дифференциального оператора. В качестве основных выводов приводится необходимость балансировки дефектов резонатора и разработки системы виброзащиты прибора.

Вопросы, связанные с технологическими аспектами изготовления резонаторов, рассматривались в работах [34, 51, 52]. В работе [52] аналитически исследуется проблема влияния внутренних напряжений, появляющихся в резонаторах вибрационных гироскопов из-за напряжений структуры материала в процессе производства, на динамику ВТГ. На основе анализа нелинейной геометрии полусферы в выражение энергии деформации резонатора вводятся члены, ответственные за внутренние начальные напряжения, и задача решается в линейном приближении. Рассматривается пример важного случая распределения локальных напряжений. Исследуется особый случай влияния центробежных сил на динамику вращающегося гироскопа. В работах В.В. Подалкова решены задачи о влиянии геометрической нелинейности на работу ВТГ [36] и о погрешностях ВТГ, вызванных нелинейными деформациями резонатора [37]. Влиянию нелинейных факторов на динамику оболочек вращения уделено внимание в [32]. В работе [34] представлены результаты разработки дешевого составного резонатора для волнового твердотельного гироскопа. При выборе конструктивных и технологических параметров резонатора учитывались в основном добротность и качество поверхности ножки и полусферы. Приведены расчетная зависимость уровня поверхностных потерь от размера неоднородности и профилограмма неровностей поверхности изготовленной полусферы. В статье [51] представлены характеристики первой партии коммерческих вариантов ВТГ с металлическим цилиндрическим резонатором, разработанных и освоенных в производстве в Украинском технологическом центре оптического приборостроения. Анализ основных параметров первой партии приборов показал, что они несколько уступают по габаритам, массе, и уровню случайного шума гироскопам аналогичного класса (включая волоконно-оптические и микромеханические) ведущих в этой области стран мира, однако по дрейфу нуля, температурной чувствительности, стабильности и нелинейности масштабного коэффициента не уступают им.

Ряд работ посвящен анализу электрической части прибора, системам управления силовыми электродами и обработке снимаемой информации. В статье [22] изучается влияние электрических процессов в резонаторе и электродах управления, съема информации и возбуждения на эволюцию стоячих волн в гироскопе. При этом электрические и механические колебания рассматриваются во взаимосвязанной форме. Алгоритмы управления квадратурой в ВТГ путем регулирования электростатических сил, прикладываемых к резонатору, и электростатической компоненты жесткости обсуждаются в работе В.Ф. Журавлева [20]. Устойчивость колебаний ВТГ анализировалась в статье В.Е. Юрина [53]. При этом была сформулирована задача управления колебаниями ВТГ, имеющая своей целью поддержание колебаний в виде стоячей волны, показано, что требуемый режим работы прибора обладает необходимыми свойствами устойчивости. В работе [64] был выполнен анализ влияния обратной связи по деформации и скорости на динамику цилиндрического резонатора ВТГ. Были рассмотрены вопросы подбора параметров контура управления с целью минимизации вредного влияния дефектов изготовления резонатора.

Из приведенного обзора следует, что к настоящему времени фундаментальные вопросы функционирования ВТГ, в основном, можно считать решенными. Однако такие вопросы, как влияние геометрической неоднородности в виде разнотолщинности как по окружной, так и по меридианальной координате на динамику осесимметричных резонаторов ВТГ, в частности, цилиндрического и полусферического, исследованы недостаточно. Кроме того, не исследовано влияние анизотропии материала, из которого изготовлен резонатор, на точностные характеристики прибора. Не достаточно полно освещены вопросы динамики системы «стержень - полусферическая оболочка», в частности, такие аспекты, как спектральные характеристики системы и ее виброустойчивость.

В работе получены следующие результаты:

- выполнен анализ влияния толщины резонатора, изменяющейся по окружной и меридианальной координатам, на точность измерений ВТГ; получены формулы для расчета собственной частоты колебаний и масштабного коэффициента с учетом закона изменения толщины;

- исследовано влияние геометрической неоднородности по окружной координате на виброустойчивость цилиндрического и полусферического резонаторов;

- выполнен анализ влияния анизотропии материала и технологии изготовления резонатора на величину собственной частоты колебаний и погрешность измерений гироскопа;

- найден спектр частот системы «стержень - полусферическая оболочка» для набора краевых условий закрепления стержня; проведено исследование виброустойчивости такой системы при наличии поперечных вынужденных колебаний основания.

Практическая ценность работы заключается в разработке методики определения:

- требований к разнотолщинности резонатора и соосности оси симметрии резонатора и оси симметрии траснверсально-изотропного материала на примере цилиндрической и полусферической оболочек, представляющих собой необходимое условие соответствия серийно выпущенного изделия заявленной точности прибора;

- отношения длины цилиндрической оболочки к ее радиусу, при котором влияние геометрической неоднородности по окружной координате на уход гироскопа минимизируется;

- положения на стержне полусферической оболочки, при котором минимизируется амплитуда колебаний ее свободного края при воздействии поперечных вибраций основания.

Полученные результаты выносятся на защиту. Результаты работы докладывались и обсуждались на:

- международной конференции «Информационные средства и технологии» (Москва, октябрь 2003 г.);

- XXIV конференции памяти Н.Н. Острякова (Санкт-Петербург, октябрь 2004 г.);

- международной конференции «Информационные средства и технологии» (Москва, октябрь 2004 г.);

- XII Санкт-Петербургской международной конференции по интегрированным навигационным системам (Санкт-Петербург, май 2005 г.);

- международной конференции «Информационные средства и технологии» (Москва, октябрь 2005 г.);

- научном семинаре в МГУ «Динамика относительного движения» под руководством чл.-корр. РАН проф. В.В. Белецкого, проф. Ю.Ф. Голубева, доц. К.Е. Якимова, доц. Е.В. Мелкуновой (Москва, февраль 2006 г.);

- научных семинарах кафедры теоретической механики и мехатроники МЭИ (Москва, 2003-2006 г.г.).

Основные результаты опубликованы в [8,11 -14,38,58]. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем работы 131 стр., включая 19 страниц с рисунками, 7 стр. списка литературы, насчитывающего 67 наименований, и 4 стр. приложения.

Основные результаты, полученные в настоящей работе, заключаются в следующем.

Получены формулы для расчета собственной частоты колебаний и масштабного коэффициента с учетом закона изменения толщины по меридиану оболочки вращения. Найдена относительная погрешность определения масштабного коэффициента, которая позволяет устанавливать связь между технологическим уровнем обработки поверхности оболочки, ее толщиной, максимальной измеряемой угловой скоростью и заявленным дрейфом прибора. Это дает возможность выявить необходимость определения опытным путем значения масштабного коэффициента для каждого резонатора в изготовленной партии вместо использования одного значения для всей партии, как необходимого условия обеспечения заявленного дрейфа прибора.

Исследовано влияние геометрической неоднородности по окружной координате на виброустойчивость цилиндрического и полусферического резонаторов. Показано, что для современных резонаторов достаточно обеспечить отстройку от резонансной частоты на десятые доли процента с тем, чтобы обеспечить существенное (на один-два порядка) уменьшение амплитуды «паразитных» колебаний. Кроме того, даже в случае полного совпадения частоты вибраций и рабочей собственной частоты колебаний резонатора можно обеспечить работоспособность прибора, увеличивая жесткость его чувствительного элемента и применяя в изготовлении оболочки менее добротные материалы.

Установлено, что не только четвертая, но и вторая гармоника в разложении геометрической неоднородности по окружной координате обуславливает наличие существенного дрейфа нуля гироскопа.

Проанализировано влияние анизотропии материала на величину собственной частоты колебаний и погрешность измерений гироскопа.

Установлено, что существует такое соотношение между длиной цилиндрической оболочки и ее радиусом, при котором влияние второй гармоники в разложении геометрической неоднородности по окружной координате и несовпадение оси симметрии анизотропного материала типа гексагонального кристалла с осью симметрии резонатора на уход гироскопа существенно минимизируется (в три и более раз).

Установлено, что полусферическая оболочка более чувствительна к воздействию как продольных, так и поперечных вибраций основания, а также предъявляет более высокие требования по обеспечению соосности оси симметрии анизотропного материала и оси симметрии самого резонатора по сравнению с цилиндрической оболочкой.

Решена спектральная задача для системы «стержень - полусферическая оболочка» при различных краевых условиях закрепления стержня. Проведено исследование виброустойчивости такой системы при наличии поперечных вынужденных колебаний основания. Найдено соотношение между частотой вибраций и первой собственной частотой колебаний стержня, которое соответствует резонансу маятниковых колебаний совокупной системы «стержень — полусферическая оболочка».

Определено положение полусферической оболочки на стержне, при котором минимизируется восприимчивость системы к действию поперечных вибраций основания.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Будкин В.Я., Виноградов Г.М., Белкин А.А., Ларин В.П., Липатников В.И., Назаров В.И. Балансировка полусферического резонатора твердотельного волнового гироскопа // Материалы XXII конференции памяти Н.Н. Ост-рякова. 2000. - С. 50.

2. Василенко Н.В., Сарапулов С.А., Павловский A.M. О погрешностях твердотельных волновых гироскопов при поступательной вибрации основания // Докл. АН УССР. Сер. А. 1990. №11. - С. 25-28.

3. Вильке В.Г. Об инерциальных свойствах собственных форм осесиммет-ричного упругого тела // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. -1986. №2.-С. 66-72.

4. Вильке В.Г. Нелинейные колебания упругого растяжимого вращающегося кольца // Вестник МГУ. Математика, механика. 1988. №5. - С. 31-35.

5. Виноградов Г.М., Липатников В.И., Шариков Е.Т. и др. Устройство для автоматической балансировки резонаторов твердотельного волнового гироскопа лучом лазера // Патент 2079107 (Россия).

6. Воробьев В.А., Донник А.С., Меркурьев И.В. Динамика волнового твердотельного гироскопа при учете переменной толщины резонатора // Материалы XXIV конференции памяти Н.Н. Острякова. Гироскопия и навигация. 2004. №4(47). - С. 91.

7. Гольденвейзер A.JI. Теория тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1976. -512 с.

8. Донник А. С., Меркурьев ИВ. Динамика волнового твердотельного гироскопа с полусферическим анизотропным резонатором // Вестник МЭИ. -2005. №4. С.5-10.

9. Егармин Н.Е. Влияние упругих деформаций на тензор инерции твердого тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. №6. - С. 43-48.1 в.Егармин Н.Е. О прецессии стоячих волн колебаний вращающейся осе-симметричной оболочки // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. №1. - С. 142-148.

10. Егармин Н.Е. Нелинейные эффекты в динамике вращающегося кругового кольца // Изв. АН СССР. МТТ. 1993. №3. - С. 50-59.

11. Егармин Н.Е. Свободные и вынужденные колебания вращающегося вяз-коупругого кольца // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. №2. - С. 150-154.

12. Журавлев В.Ф. Теоретические основы волнового твердотельного гироскопа (ВТГ) // Изв. РАН. МТТ. 1993. №3.

13. Збруцкий А.В., Сарапулов С.А., Кисиленко С.П. Влияние погрешностей изготовления упругого кольцевого резонатора на точность твердотельного волнового гироскопа // Механика гироскоп, систем. 1987. Вып. №6. - С. 18-23.

14. Збруцкий А.В., Сарапулов С.А., Локоть Н.М. О погрешностях твердотельного волнового гироскопа при параметрическом возбуждении резонатора // Докл. АН УССР. Сер. А. 1990. №2. - С. 32-35.

15. Киреенков А.А. Расчет спектра полусферы на ножке // Изв. АН СССР. МТТ. 1998. №4. - С. 23-29.

16. Кубышкин Е.П. Автоколебательный способ возбуждения волн в кольцевых резонаторах // Изв. РАН. МТТ. 1992. №6. - С. 42-47.

17. Кубышкин Е.П., Федотов Н.Б. Особенности влияния вибрации на поведение волновой картины кольцевого резонатора // Изв. РАН. МТТ. — 1995. №5.

18. Марков Ю.Г., Скоробогатых КВ. Определение частот колебаний неоднородного вращающегося осесимметричного тела // Изв. РАН. МТТ. -2002. №6.-С. 83-91.

19. Марков Ю.Г., Скоробогатых И.В. О колебаниях вращающегося вязкоуп-ругого осесимметричного тела под действием поверхностной нагрузки // Изв. РАН. МТТ. 1995. №2. - С. 72-80.

20. ЪО.Мартыненко Ю.Г. Тенденции развития современной гироскопии // Соро-совский образовательный журнал. — 1997. №11. С. 120-127.

21. Ъ\.Павловский A.M. Влияние поступательной вибрации основания на колебания полусферического резонатора // Механика гироскоп, систем. -1990. Вып. №9.-С. 57-61.

22. Ъ2.Павловский A.M., Сарапулов С.А. Влияние нелинейных факторов на динамические характеристики консольных оболочек вращения // I науч.-техн. конф. молодых ученых и специалистов «Фундаментальные и прикладные проблемы космонавтики». К., 1988. - С. 17.

23. ЪЪ.Павловский A.M., Сарапулов С.А. Погрешности твердотельного волнового гироскопа при вибрации основания // Механика гироскоп, систем. 1991. Вып. №10.-С. 37-42.

24. ЪА.Петренко С.Ф., Яценко Ю.А., Вовк В.В., Чиковани В.В. Технологические аспекты создания составных полусферических резонаторов для малогабаритных волновых твердотельных гироскопов // Гироскопия и навигация. -2000. №1.-С. 88-93.

25. Пешехонов В.Г. Ключевые задачи современной автономной навигации // Гироскопия и навигация. 1996. №1(12). - С. 48-54.

26. Подалков В.В. Влияние геометрической нелинейности на работу волнового твердотельного гироскопа // Гироскопия и навигация. 1998.

27. Подалков В.В. Влияние технологии изготовления и эксплуатационных условий на динамические свойства новых типов датчиков систем ориентации подвижных объектов: Дисс. на соиск. уч. ст. докт. техн. наук. М.: МЭИ. 1998.-234 с.

28. Подалков В.В., Александров A.M., Донник А.С. Собственные колебания упругого двухзвенного робота-манипулятора // Вестник МЭИ. 2002. №1.-С. 12-15.

29. Ъ9.Подалков В.В., Александров A.M., Повторайко В.И. Погрешности волнового твердотельного гироскопа с анизотропным резонатором // Известия вузов. Приборостроение. Т. XXXIII. 1990. №8. - С. 33-36.

30. Сарапулов С.А., Кисшенко П.С., Иосифов А.О. Влияние вращения на динамику неидеального полусферического резонатора // Механика гироскоп. систем. 1988. Вып. №7. - С. 59-66.

31. АЪ.Сарапулов С.А., Кисшенко П.С., Павловский A.M. Влияние продольной вибрации на динамические характеристики твердотельного волнового гироскопа // Изв. Вузов СССР. Приборостроение. Т. 33. 1990. №1. - С. 48-53.

32. Сарапулов С.А., Литвинов Л.А. Прототип монокристаллического твердотельного резонаторного гироскопа CRG-1 // Труды XII Санкт-Петербургской международной конференции по интегрированным навигационным системам. 2005.

33. Сарапулов С.А., Павловский A.M. О погрешностях твердотельных волновых гироскопов при угловой вибрации основания // Изв. Вузов СССР. Приборостроение. Т. 34. 1991. №7. - С. 33-36.

34. Сиротин И.Ю., Шасколъская М.П. Основы кристаллофизики. М.: Наука, 1975.-680 с.

35. Стрэтт Дж. В. (Рэлей). Теория звука. Т. 1. — М.: Гостехиздат, 1955. -504 с.

36. Унтилов А.А. Влияние анизотропии монокристаллического кремния на характеристики микромеханического гироскопа // Сборник трудов VI конференции молодых ученых "Навигация и управление движением". -2004.

37. Филин А.П. Элементы теории оболочек. JL: Стройиздат, 1987. - 384 с.

38. Bryan G.H. On the beats in the vibrations of a revolving cylinder or bell // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Vol. 7. 1890. - P. 101-111.

39. Burdess J. S. The dynamics of a thin piezoelectric cylinder gyroscope // Proc. Inst. Mech. Engrs. (London). -1986. Vol. 200(C4). P. 271-280.

40. Denis R.E. UK Patent 1 288 449. 6 Sept. 1972.

41. Fourth Quarter. 1982. - P. 231-249. 61 .Langmaid C. Vibrating structure gyroscopes // Sensor Review. - 1996. Vol.16(1).-P. 14-17. 62XoperEJ., Lynch D.D. US Patent 4 157 041. 5 June, 1979.

42. LoperEJ., Lynch D.D. US Patent 4 951 508. 28 August, 1990.

43. DGON Symposium Gyro Technology. Stuttgart, 1995. 61.Shatalov M.Y. Spatial motion of vibratory gyroscopes and their balancing operations // 7th Saint Petersburg international conference on integrated navigation systems. - S.-P., 2000.