Нелинейные эффекты в динамике волнового твердотельного и микромеханического гироскопов в условиях медленно меняющихся параметров тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Астахов Сергей Владимирович

Нелинейные эффекты в динамике волнового твердотельного и микромеханического гироскопов в условиях медленно меняющихся параметров

(01.02.06 - динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры)

Автореферат

диссертации на соискание степени кандидата технических наук

1 0 и + п т

п

Москва 2012 г.

005042707

Работа в ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский университет

«МЭИ» на кафедре теоретическая механика и мехатроники.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Подалков Валерий Владимирович Официальные оппоненты: доктор технических наук,

старший научный сотрудник Институт машиноведения им. А.А.Благонравова РАН Банах Людмила Яковлевна

доктор физико-математических наук, профессор МГТУ им. Баумана, кафедра Теоретической информатики и компьютерной техники Басараб Михаил Алексеевич Ведущая организация: ЗАО «Инерциальные технологии

«Технокомплекса» (г. Раменское) Защита состоится 24 мая 2012 года в 13-00 в аудитории Б-112 на заседании диссертационного совета Д 212.157.11 при ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский университет «МЭИ» по адресу 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 17.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке «Национального исследовательского университета «МЭИ».

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенных печатью организации, просим направлять по адресу 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 14, Ученый совет НИУ «МЭИ». Автореферат разослан апреля 2012 г. Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.157.11 к.т.н., доцент

Актуальность проблемы. В последние десятилетия наиболее интенсивно и динамично развивающимся направлением была признана микросистемная техника, в состав которой входят миниатюрные датчики инерциаль-ной и внешней информации, микродвигатели и преобразователи. Применение новых технологий позволило уменьшить массово - габаритные показатели, энергопотребление, а также стоимость приборов, что в свою очередь расширило области применения данных датчиков в различных областях и сферах жизни человека. Из них особо стоит выделить микромеханические гироскопы (ММГ), волновые твердотельные гироскопы (ВТГ) и акселерометры, как наиболее перспективные датчики инерциальной информации.

Исследования ВТГ ведутся уже более тридцати лет, интересом к нему послужило сочетание ряда его уникальных свойств: небольшие габаритные размеры и энергопотребление, практически неограниченный технический ресурс, простота конструкции и изготовления, высокая потенциальная точность, малое энергопотребление, малые требования к обслуживанию вследствие отсутствия вращающихся частей и т.д..

Другим перспективным датчиком является ММГ, разработка этих датчиков ведется уже более четверти века, когда были начаты интенсивные поиски путей создания недорогих, миниатюрных и пригодных для выпуска крупными сериями гироскопов. Данный прибор выпускается крупными сериями. В настоящее время лидерами в серийном производстве являются компании AnalogDevices, InvenSense, Kionix, Panasonic, RobertBoschGmbH, SeikoEpson, STMicroelectronics и другие.

Проблема повышения точности ММГ и ВТГ является актуальной для прецизионного электронного приборостроения, которая может быть решена за счет применения новых технических решений, использования новых технологий, создания новых математических моделей, описывающих динамику датчиков. Проблема достижения высоких точностей ВТГ и ММГ ставит перед исследователями целый ряд новых задач: при миниатюризации датчиков требуется уход от исследования линейных моделей к нелинейным; влияние

инструментальных погрешностей изготовления чувствительного элемента, а также медленно изменяющихся параметров функционирования прибора на его динамику; учет конечных деформаций материала прибора и изменяющейся среды функционирования гироскопа.

Части из перечисленных выше проблем и посвящена данная работа, как весьма актуальным и интересным с научной и практической точки зрения. Цель диссертации состоят в

•определении влияния упругой и геометрической нелинейности на динамику волнового твердотельного и микромеханического гироскопов,

•исследовании влияния медленно изменяющихся условий функционирования приборов, температуры и неравномерной толщины резонатора на динамику прибора,

•разработке новых математических моделей колебаний чувствительных элементов ММГ и ВТГ в разных режимах работы приборов.

Цели диссертационной работы соответствуют «Приоритетным направлениям развития науки, технологий и техники Российской Федерации», работа направлена на развитие технологий, входящих в «Перечень критических технологий Российской Федерации» по паправлению «Технологии нано-устройств и микросистемной техники».

Методы исследования определялись спецификой изучаемых объектов и их математических моделей. В работе были использованы методы классической механики, теории упругости, математическая теория устойчивости, асимптотические методы нелинейной механики, теория дифференциальных уравнений, методы математического моделирования и аналитических вычислений, методы малых параметров и возмущений.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением методов теоретической механики, теории упругости, методов малого параметра и теории дифференциальных уравнений, а также сравнением полученных результатов с экспериментальными данными и результатами, полученными другими исследователями.

Научная новизна результатов, полученных в диссертационной работе, заключается в следующем:

•решен комплекс фундаментальных задач, определяющих динамические свойства ММГ и ВТГ, получены новые математические модели, описывающие динамику приборов в условиях медленно изменяющихся параметров функционирования приборов (медленное изменение скорости вращения основания, на которое установлен прибор, амплитуды и частоты вынуждающей силы, также собственной частоты колебания резонатора),

•исследовано влияние медленного равномерного роста температуры среды, в которой функционирует прибор, влияние нелинейных упругих свойств и неравномерной толщины резонатора ВТГ на его динамику и точность; изучено влияние нелинейных эффектов на динамику ММГ стержневого типа, в условиях медленно меняющихся параметров,

•изучено влияние скорости изменения частотной настройки прибора в режиме вынужденных колебаний на амплитудно-частотные характеристики.

Практическая значимость результатов работы заключается в разработке методики экспериментальных испытаний ММГ с кольцевым резонатором в целях повышения точностных характеристик и определения влияния нелинейных слагаемых, медленно изменяющихся параметров системы, температуры, неравномерной толщины резонатора на динамику прибора. Полученные результаты могут быть использованы в разработке новых моделей, методов, алгоритмов и программных средств, позволяющих решать задачи проектирования новых типов датчиков инерциальной информации, а также доработке уже существующих приборов в ЗАО «Инерциальные технологии Технокомплекса» (г. Раменское, Моск. обл.).

Апробация работы и публикации. Результаты работы докладывались и обсуждались на:

•заседаниях научного семинара кафедры теоретической механики и ме-хатроники МЭИ (Москва, 2009 - 2012 г.г.),

•заседании научного семинара кафедры теоретической механики и ме-хатроники МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством чл. - корр. РАН, проф. Белецкого В.В., проф. Голубева Ю.Ф. (Москва, 2010 г.),

•XXXIV и ХХХУ1академических чтений по космонавтике «Актуальные проблемы российской космонавтики» (Москва, 2010г.и2012 г.),

•XVI и XVШмeждyнapoднoй научно-технической конференции «Радиотехника, электроника и энергетика» (Москва, 2010 г. и 2012 г.),

•международной молодежной научно-практической конференции МГУ им. Ломоносова (Москва, 2011 г.).

Публикации. По результатам работы опубликовано 8 работ, в том числе 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАКом Минобрнауки РФ и 5 тезисов докладов. Личный вклад автора в совместных публикациях заключается в разработке новых математических моделей движения чувствительных элементов, постановке натурных экспериментов и проведении расчетов.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, включающего 136 наименований. Общий объем работы составляет 157 страниц и содержит 71 иллюстрацию.

Содержание работы Во введении дана общая характеристика рассматриваемой проблемы и обоснована ее актуальность. Сформулирована цель диссертации и дан обзор предшествующих исследований. Приведен краткий обзор работ, посвященных разработке и исследованию ММГ и ВТГ.

В первой главе исследовано влияние медленно изменяющейся скорости вращения основания прибора, изменения температуры среды прибора, влияние неравномерной толщины резонатора волнового твердотельного гироскопа в виде топкой оболочки вращения (рис. 1) на его динамику и точность в нелинейной постановке задачи.

Вектор перемещений и, вызванный упругими деформациями, искали в следующей форме:

и = Ши[1}(в,ср) + дк(Ы?(в,<р1 (1.1)

где к -номер формы колебаний, /й(0 и — искомые функции, (у = 1,2) — собственные формы свободных колебаний оболочки, которые соответствуют частоте колебаний сок резонатора постоянной толщины.

Для нахождения собственных форм колебаний и ¡/асимметричной оболочки воспользовались следующими формулами

и^ = ||ufe(0) cos к<р vk(0) sin kip-wk(d) cos k<p\\T, uf> = \\—uk(6) sin k(p vk(Q} cosk<p wk(0) sin k(p\\T. (1.2) При составлении выражения для потенциальной энергии упругой деформации резонатора были учтены нелинейные слагаемые, возникающие из-за нелинейной упругости материала резонатора. Используя формализм Jla-гранжа, были получены нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие в одномодовом приближении колебания упругой оболочки вращения на подвижном основании. Для описания внутреннего трения была применена модель Кельвина — Фохта.

fk ~ 28kílgk - 6kÜgk + (а>2к - a*n2)fk - bk(f2 + g2k)fk + цка>fc/fc = О, 9к + 28kSlfk + SkÜfk + (ы2к - cc2kQ.2)gk - bk(f2 + g2)gk + цкшкдк = 0,

(1.3)

где

сок - характерная частота колебаний резонатора, 8к— коэффициент Брайана, тк — приведенная масса резонатора, цк — безразмерный малый коэффициент внутренних потерь при колебаниях, с1к и с2к — приведенные жесткости резонатора для линейных и нелинейных компонент выражения потенциальной энергии соответственно.

В § 1.2 были получены основные формулы для расчета параметров системы для полусферического резонатора.

В § 1.3 рассмотрена динамика резонатора, вращающегося с постоянной скоростью при наличии силы диссипации в нелинейной постановке задачи. Решение системы искали в виде (1.3):

/о = А(т) cosCcUit + а(т)) + В(т) cos(wzt + /?(т)),

д0 = А( т) sin (wxt + а (г)) + В(т) sin + Р(т)), (1.4)

Щ = (-iy+1Ja)Z + (SZ-a*)i22 - SkQ, (i = 1,2),

здесь А(г), В(т), а(т), /?(т) - медленно изменяющиеся переменные амплитуда - фаза были найдены из уравнений первого приближения.

Применяя метод многих масштабов, были получены аналитические выражения для амплитуд и фаз первичных и вторичных колебаний. Далее в орбитальных координатах была рассмотрена эволюция медленных переменных:

г = А +В, q= А-В, S 11

e = -jClt + e„ в, = —(а + Ю, X = ¿(.а - ю. О-5)

где 0, — дополнительная медленная прецессия волновой картины, характеризующая уход прибора, х -фаза колебаний.

Рассмотрен резонатор, изготовленный из плавленого кварца, постоянной толщины h = 1мм , плотностью р = 2210 кг/м3, модуль упругости Е -7,36 • Ю10 Па, коэффициент Пуассона v = 0.17, радиус резонатора R =

20 мм, коэффициент демпфирования ц2 = 10_6, коэффициент нелинейной упругости материала s2 = 1.Числовые параметры резонатора в этом случае принимают значения:

h2 1 ш2 = 3211 Гц, Ь = 3,4991 ■s2-ra)l = 8,90197 ■ Ю9-^—^.

R* mz ■ cz

Скорость вращения основания считали постоянной: Я = 50с-1.

Дополнительные погрешность гироскопа 0», которая для постоянной угловой скорости вращения основания составила 0.05 угл. сек. на интервале времени наблюдения 1 мин, что является существенной погрешностью для гироскопа такого класса. Изменение фазы % за минуту наблюдения составило 120 угл. сек., что соответствует изменению частоты изгибпых колебаний резонатора на З-Ю^Гц. Отметим, что нелинейная упругость материала оказывает существенное влияние на прецессию волновой картины колебаний резонатора, установленного на основание, вращающееся даже с постоянной скоростью.

§ 1.4 посвящен изучению динамики резонатора, вращающегося с медленно меняющейся во времени скоростью, при наличии силы диссипации. Угловая скорость основания является медленной функцией времени П = £2(т). Используя метод многих масштабов, для амплитуд и фаз, входящих в (1.4), получены решения:

t

о

t

Ш = fioi + (-1)' —-/(2В2 - в}) dt, (1.6)

0 о

где В2 = В2 + В|; Boi, ¡}oi- некоторые постоянные, которые найдены из начальных условий (/=1,2), со0 = Jcoj~ + - а£)С12.

Анализ решения (1.6) в орбитальных координатах для данных прошлого примера при il — 100cosmic-1 позволяет сделать вывод, что медленное

изменение угловой скорости основания приводит к дополнительным погрешностям при нахождении угла прецессии. Таким образом, наибольшее влияние нелинейная упругость материала оказывает на прецессию волновой картины колебаний резонатора.

В § 1.5 изучена динамика резонатора, на подвижном основании в случае медленного роста температуры среды. Модуль упругости изменяется по следующему закону:

Е = Е0(1-аЕЛТХ (1.7)

где Е0 - модуль упругости при номинальной температуре, аЕ - температурный коэффициент модуля упругости, ЛТ = Т — Т0, Т0- номинальная температура. Проведен анализ полученной системы уравнений и найдено ее решение в переменных амплитуда — фаза.

Анализ полученных зависимостей позволяет сделать вывод, что равномерно изменяющаяся температура не влияет на точность прибора, а оказывает влияние лишь на фазу колебаний. Рассмотрены данные прошлого примера, при этом принято изменение температуры по закону: Т(т) = Т0 + 0.05Тогда дополнительное (из-за температуры) изменение (рост) фазы хза минуту наблюдения составило 2 угл. сек., что соответствует незначительному изменению частоты изгибных колебаний резонатора на 0.05 ■ 10"6 Гц.

В § 1.6 рассмотрено влияние неравномерной толщины резонатора на динамику волнового твердотельного гироскопа в одномодовом приближении. Рассмотрены собственные колебания резонатора ВТГ, установленного на подвижное основание, скорость которого медленно изменяется во времени. Изменение толщины резонатора А по окружной координате в задано в следующем виде:

к = /10(1 + £ИЪ(0)5И1П0), (1.8)

где Л0 - толщина однородного материала резонатора, е - малый параметр.

Было получено решение в переменных для амплитуды и фазы, с последующим численным анализом в орбитальных координатах.

Неоднородная толщина резонатора приводит к дополнительным погрешностям в работе прибора, а также изменениям фазы колебаний. При геометрической неоднородности материала резонатора происходит расщепление частот изгибпых колебаний по заданной форме на две близких, разность между которыми пропорциональна малому параметру, характеризующему неоднородность материала. В нелинейной задаче уход гироскопа 0»из-за нелинейных упругих свойств материала, а также ненулевых значений квадратурной волны колебаний составил 0.022 угл. сек., что является существенной погрешностью для гироскопа такого класса.

Во второй главе рассмотрены вынужденные колебания волнового твердотельного гироскопа с резонатором в виде осесимметричной оболочки.

§ 2.1 посвящен выводу уравнений динамики в режиме вынужденных колебаний в нелинейной постановке задачи. В режиме вынужденных колебаний с помощью электродов управления создается переменное во времени силовое поле, неизменно ориентированное относительно основания прибора. Разность потенциалов U = U(t, <р) в выражении для плотности электростатических сил q(t, <р)будем задавать следующим образом:

V-Uo(T)sin^cos^, (2.1)

где U0(г) - медленно изменяющееся опорное напряжение, ¿¡5(т)-медленно изменяющаяся частота гармонического возбужденияА:-ой моды колебания резонатора.

Также сделано предположение, что частота собственных колебаний медленно меняется во времени, что обусловлено медленным изменением модуля упругости во времени из-за влияния температуры (1.7).

Тогда принимая во внимание (2.1) получена система дифференциальных уравнений, описывающих динамику резонатора в режиме вынужденных колебаний в нелинейной постановке задачи с учетом влияния силы диссипации. Она представляет собой систему (1.3), но в правой части первого уравнения стоит слагаемое ак(т) cos у^(т):

1.0F—- '-2Ш02

(2.2)

где ак - безразмерный параметр, £0 = 8.854 ■ Ю-12 Кл/(Н • м2) - электростатическая постоянная, /-высота электродов, с/0 - зазор между недеформи-руемым резонатором и электродами, тк - приведенная масса оболочки.

§ 2.2 посвящен динамике волнового твердотельного гироскопа в режиме вынужденных колебаний в линейной постановке задачи. Отбрасывая нелинейные слагаемые в системе (1.3), уравнения имеют вид:

Вдали от резонанса. Анализируя полученные решения системы (2.3) можно сделать следующие замечания: в режиме вынужденных колебаний в случае, когда работа прибора происходит на нерезонансных частотах, гироскоп является интегрирующим, при этом медленно изменяющаяся частота свободных колебаний не оказывает влияния на точность прибора.

Вблизи резонанса. Решение системы (2.3) в резонансном случае ищем в виде:

fk = Pi sin ук + <7i cos yk + uv gk = p2 sin yk + Ч2 cos yk + u2,

Получены решения в переменных щ2, р2 в резонансном режиме. Введеначастотная настройка Д = шк — шк, А « а>к. Далее, для полусферического резонатора была построена серия амплитудно-частотных характеристик (высота электродов/^ 60 мкм, й0 — 1.4 мкм - зазор между недеформи-руемым резонатором и электродами, и0 = 4.5 мВ).

Случай 1. Заданы следующие законы изменения параметров. Д(0 =

= 1.05 - 5 • 10~2t;, n(t) = 100 + 25 sin(nt/60), а2 (t) = 0.5 + 10-3t, Д - относительная частотная настройка, отнесенная к угловой скорости основания.

fk + <»lfk = 2SkÜu>0gk - pkco0fk + ak cos fk, 9k + o>lgk = -2Skña)0fk - pkü)0gk, O = íí/o)0.

(2.3)

(2.4)

Рис. 2. Амплитудно — частотная характеристика Л(Д)и В(Д) (черная линия стационарный случай, светлая - случай 1)

Случай 2. Заданы следующие законы изменения параметров. Д(0 =

Рис. 3. Амплитудно - частотная характеристика А(Д)и В (А) (черная линия стационарный случай, светлая - случай 2)

Анализируя представленные зависимости, можно сделаны следующие выводы о поведении прибора в условиях медленно изменяющихся частотной настройки и амплитуды вынуждающей силы:

1.При увеличении скорости изменения частотной настройки максимум амплитуды снижается, а также острота первого максимума резонансной кривой становится меньше остроты стационарной резонансной кривой, и при этом тем меньше, чем выше скорость прохождения через резонанс.

2. После достижения первого максимума наблюдается биение амплитуд, чем выше скорость прохождения через резонанс, тем меньше выражены после первого максимума максимумы меньшей величины.

3. Более симметричные резонансные кривые наблюдаются при более быстром прохождении через резонанс. Максимум амплитуды имеет место не

~ 14в момент совпадения частоты возбуждающей силы с частотой собственных колебаний, а позже.

§ 2.3 посвящен динамике волнового твердотельного гироскопа в режиме вынужденных колебаний в нелинейной постановке задачи. Решение ищем в виде (2.4). Получена система уравнений, описывающая динамику прибора в режиме вынужденных колебаний в резонансном случае в нелинейной постановке. Далее построены амплитудно-частотные характеристики для разных случаев (на стационарном графике черная линия — неустойчивые решения, серая - устойчивые).

Случай 1.Заданы следующие законы изменения параметров. A(t) = -3 + 5 ■ 10~2t, П(0 = 120 + 30sin(Tit/60), a2(t) = 0.5 + 10~3t.

Случай 2.3аданы следующие законы изменения параметров. Д(t) = 1.05 - 5 ■ 10~2t, fi(t) = 120 + 30 sinCrtt/60), a2(t) = 0.5 + 10~3t.

Рис. 4. Амплитудно - частотная характеристика Л(Д)и В (А) (черная и серая линии - стационарный случай)

После анализа полученных графиков, было отмечено:

1. Отсутствует симметрия резонансных кривых, наблюдаемая в линейных системах, при увеличении частотной настройки графики значительно отличается от тех, которые получаются при прохождении в обратную сторону.

2. При прохождении через резонанс наблюдаются резкие изменения амплитуд, после достижения первого максимума происходят биения амплитуд.

3. При проходе «вправо» наблюдается снижение максимума амплитуды, которое зависит от скорости прохода.

4. Вид зависимостей существенно зависит от скорости изменения частотной настройки, и чем она выше, тем график более прижимается к стационарному графику. При низких скоростях изменения частотной настройки после прохода через резонанс наблюдаются биения с большей амплитудой, чем при более высоких скоростях изменения частотной настройки.

§ 2.4 Экспериментальная часть. При проведении опыта в состав лабораторного оборудования входили: четырехканальный осциллограф, двухка-нальный генератор сигнала, технологическая плата, используемая для соединения резонатора гироскопа с устройствами. На основании опыта и одновременного решения модельной задачи для различных входных напряжений показаны амплитудно-частотные характеристики.

Анализ полученных зависимостей показывает, что параметры могут быть определены по результатам стендовых испытаний, причем относительная погрешность, с которой проводится идентификация параметров математического моделирования, составляет порядка Ю-7. Систематическая же погрешность вызванная несбалансированностью упругой системы резонатор -торсионы может быть скомпенсирована с помощью технологической процедуры балансировки.

Для входного напряжения и = б В была получена амплитудно - частотная характеристика, показывающая нелинейную природу поведения резонатора.

Рис. 5. Амплитудно-частотная характеристикадля результатов измерений (линии с точками) и расчетных зависимостей (сплошная линия)для входного напряжения и = 6 В

Полученная характеристика показывает, что существуют срывы колебаний и скачки амплитуд при работе гироскопа, что объясняется нелинейной упругостью резонатора.

В третьей главе рассмотрены свободные колебания микромеханического гироскопа стержневого типа с учетом влияния геометрической нелинейности.

V У

а)

б)

Рис. 6. Кварцевый вибрационный гироскоп Quapason™ фирмы Sagem (Франция) а) и расчетная схема гироскопа б)

Уравнения, описывающие динамику прибора (рис. 6) имеют вид: f-Ùg- 2 Çîg + (wz - + ywf + 0,204 w2f{f2 + gz) = 0, g + ùf + 2а/ + (ш2 - а2)д + усод + 0,204 o>2g(f2 + g2) = 0, (3.1) где ш2 - квадрат характерной собственной частоты колебаний упругого стержня, у = шЕ*/Е- безразмерный малый коэффициент внутренних потерь при колебаниях, который может быть определен экспериментально.

12,36 El

ы

2 _

pFl4

Полученную систему исследовали методом многих масштабов в переменных орбиты для следующих данных длины I = 25 мм, квадратного поперечного сечения толщиной /г = 2мм, изготовленного из плавленого кварца с плотностью р = 2210 кг/м3 и модулем Юнга Е = 74 ГПа. С учетом числовых данных, получена номинальная частота изгибных колебаний стержня со — 1,88 ■ 104с_1 (3 кГц). Принята добротность колебательного контура в

условиях вакуума равной = 105. Заданы начальные условия для медленных переменных г(0) = го,Л(0) = 0,(0) = *(0) = 0.В начальный момент времени возбуждены колебания резонатора вдоль оси х с начальной амплитудой г0 = 0,01 (0,25 мм), тогда имеем малую поправку к частоте колебаний меньшую 0,1 Гц.

Рис. 7. Зависимость погрешности гироскопа в„ от начального значения амплитуды колебаний г0 и угловой скорости основания П(с-1)

Анализ полученной зависимости на рис. 7 показывает, что погрешность гироскопа пропорционально нарастает с увеличением угловой скорости основания и увеличивается пропорционально квадрату начальной амплитуды колебаний. Приведенные числовые данные свидетельствуют о существенном влиянии нелинейных амплитуд колебаний резонатора на динамику и точность гироскопа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертации изложены научно-обоснованные решения, имеющие существенное значение для проектирования и создания новых типов датчиков инерциальной информации, а также повышении технических и эксплуатационных характеристик систем на их основе.

Основные результаты, полученные в работе, заключаются в следующем: 1. Получены новые математические модели описывающие влияние нелинейных упругих свойств резонатора на динамику ВТГ, было показано, что нелинейная упругость материала оказывает существенное влияние на прецессию волновой картины колебаний резонатора, установленного на основание, вращающееся даже с постоянной скоростью.

2. Медленное изменение угловой скорости вращения основания приводит к дополнительным погрешностям в измерении угла прецессии при-бора.Медленный равномерный рост температуры среды не оказывает влияние на точность прибора, а приводит только к изменению фазы колебаний, с ростом температуры она увеличивается, с уменьшением температуры она снижается.

3. Неравномерная толщина резонатора сильно влияет на масштабный коэффициент, а также частоты собственных колебаний резонатора и приводит к дополнительным погрешностям в измерение угла прецессии прибора и увеличении фазы колебаний даже в линейной задачи. При геометрической неоднородности материала резонатора происходит расщепление частот изгибных колебаний по заданной форме на две близких, разность между которыми пропорциональна малому параметру, характеризующему неоднородность материала.

4. В режиме вынужденных колебаний вблизи резонанса скорость изменения частотной настройки существенно влияют на амплитудно-частотную характеристику, как в линейной, так и нелинейной постановках задачи. Было показано, что для линейной задачи максимум амплитуды имеет место не в момент совпадения частоты возбуждающей силы с частотой собственных колебаний, а позже; после достижения первого максимума наблюдается биение амплитуд, чем выше скорость прохождения через резонанс, тем меньше выражены после первого максимума максимумы меньшей величины; при увеличении скорости изменения частотной настройки максимум амплитуды снижается, а также острота первого максимума резонансной кривой становится меньше остроты стационарной резонансной кривой, и при этом тем меньше, чем выше скорость прохождения через резонанс. В нелинейной задаче, наоборот, отсутствует симметрия резонансных кривых, наблюдаемая в линейных системах, при увеличении частотной настройки графики значительно отличается от тех, которые получаются при прохождении в обратную сторону, не наблюдается явление максимума амплитуды не в мо-

мент совпадения частоты вынуждающей силы с собственной частотой, а позже. При этом в нелинейной задаче, как и линейной. Вид зависимостей существенно зависит от скорости изменения частотной настройки, и чем она выше, тем график более прижимается к стационарному графику.

5. Полученная в ходе эксперимента характеристика (амплитудно-частотная) показывает, что существуют срывы колебаний и скачки амплитуд при работе гироскопа, что объясняется нелинейными эффектами динамики гироскопа.

6. Было показано, что при геометрической нелинейности погрешность гироскопа пропорционально нарастает с увеличением угловой скорости основания и увеличивается пропорционально квадрату начальной амплитуды колебаний. Приведетшге числовые данные свидетельствуют о существенном влиянии нелинейных амплитуд колебаний резонатора на динамику и точность гироскопа. В нелинейном случае колебания вдоль большой и малой полуосей эллипса имеют разные полупериоды. И невозможно существование траектории средней точки стержня в виде эллипса, неизменно ориентированного в инерциальном пространстве.

7. В работе было показано, что нелинейность существенно влияет на динамику приборов и вносит дополнительную погрешность в измерениях.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Астахов C.B., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Влияние конечных деформаций резонатора на динамику и точность микромеханического гироскопа камертонного типа // Вестник МЭИ. 2010. №4. С.148-154

2. Астахов C.B., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Погрешности волнового твердотельного гироскопа при учете нелинейных упругих свойств материала резонатора // Вестник МЭИ. 2011. №4. С.5-11

3. Астахов C.B., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Влияние нелинейных упругих свойств резонатора на динамику волнового твердотельного гироскопа // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. №4 (2). С.47-49

//

4. Астахов C.B., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Влияние конечных деформаций упругой стержневой системы на точность микромеханического гироскопа камертонного типа // ХУТмежд. науч.-техн. конф. «Радиотехника, электроника и энергетика»: Тез. Докл. В 3-х т. М: МЭИ. 2010. Т.З. С. 325-326

5. Астахов C.B., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Влияние нелинейных упругих свойств конструкционного материала на динамику и уходы волнового твердотельного гироскопа // Материалы ХХХГУакадемических чтений по космонавтике «Актуальные проблемы российской космонавтики»: Труды. М.: Комиссия РАН по разработке научного наследия пионеров освоения космического пространства. 2010. С. 609-610

6. Астахов C.B., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Исследование динамики волнового твердотельного гироскопа в условиях медленно изменяющихся условиях функционирования // межд. молодеж. науч.-практ. конф.: Тез. Докл. М.: Изд. МГУ. 2011. С.35-36

7. Астахов C.B. Поведение волнового твердотельного гироскопа с учетом нелинейной упругости материала резонатора в режиме вынужденных колебаний// ХУШмежд. науч.-техн. конф. «Радиотехника, электроника и энергетика»Тез. Докл. В 4-х т. М: МЭИ. 2012. Т.4. С. 314-315

8. Астахов C.B. Динамика волнового твердотельного гироскопа в режимах свободных и вынужденных колебаний при условии медленно изменяющихся параметрах функционирования // Материалы XXXVI академических чтений по космонавтике «Актуальные проблемы российской космонавтики»: Труды. М.: Комиссия РАН по разработке научного наследия пионеров освоения космического пространства. 2012. С. 614-615

Подписано в печать ОН' Г. зак. Ш Тир. Ю0 п.л. Полиграфический центр МЭИ Красноказарменная ул., д. 13

61 12-5/2376

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

Астахов Сергей Владимирович

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ДИНАМИКЕ ВОЛНОВОГО ТВЕРДОТЕЛЬНОГО И МИКРОМЕХАНИЧЕСКОГО ГИРОСКОПОВ В УСЛОВИЯХ МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ ПАРАМЕТРОВ

(01.02.06 -динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры)

ДИССЕРТАЦИЯ На соискание степени кандидата технических наук

Научный руководитель д.т.н., профессор В.В. Подалков

Москва 2012 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение.......................................................................................4

Глава 1. Динамика волнового твердотельного гироскопа в режиме свободных

колебаний в нелинейной постановке задачи.........................................25

§ 1.1. Уравнения малых колебаний резонатора в виде тонкой оболочки вращения.........................................................................................26

§ 1.2. Полусферический резонатор.....................................................37

§ 1.3. Динамика резонатора, вращающегося с постоянной скоростью при наличии силы диссипации...................................................................41

§ 1.4. Динамика резонатора, вращающегося с медленно меняющейся во времени скоростью при наличии силы диссипации....................................52

§ 1.5. Динамика резонатора, на подвижном основании в случае медленного

роста температуры среды................................................................60

§ 1.6. Влияние неравномерной толщины резонатора на динамику волнового

твердотельного гироскопа в одномодовом приближении........................69

Глава 2. Динамика волнового твердотельного гироскопа в режиме вынужденных колебаний в нелинейной постановке задачи..............................82

§2.1. Вывод уравнений динамики в режиме вынужденных колебаний в нелинейной постановке задачи...............................................................82

§ 2.2. Динамика волнового твердотельного гироскопа в режиме вынужденных колебаний в линейной постановке задачи......................................85

§ 2.3. Динамика волнового твердотельного гироскопа в режиме вынужденных колебаний в нелинейной постановке задачи..................................103

§ 2.4. Экспериментальная часть.......................................................117

Глава 3. Влияние конечных деформаций резонатора на динамику и точность

микромеханического гироскопа стержневого типа...............................122

§3.1. Вывод уравнений движения....................................................122

§ 3.2. Решение линейной нестационарной системы...............................128

§3.3. Влияние геометрической нелинейности на измерения гироскопа......132

Заключение Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Первое известное описание прибора подобного гироскопу было опубликовано в 1817 г. германским ученым Йоханом Боненбергером, главной частью этого устройства была массивная сфера в кардановом подвесе. Позже, в 1832 г. американец Р. Джонсон разработал похожее устройство, основанное на вращающемся диске. Французский математик Пьер-Симон Лаплас, работавший в парижской Политехнической школе, рекомендовал данные устройства для использования в качестве учебного пособия, и таким образом этим привлек внимание французского учёного Леона Фуко [116]. В 1852 г. Фуко усовершенствовал устройство и впервые использовал его как прибор, показывающий изменение направления (в данном случае — Земли), через год после изобретения маятника Фуко, как и Боненбергер, использовал карданов подвес. Именно Фуко придумал название «гироскоп». В настоящее время известны сотни разнообразных конструкторских схем гироскопов и технических решений, которые позволяют определить угловое движение подвижного объекта.

В последние десятилетия наиболее интенсивно и динамично развивающимся направлением была признана микросистемная техника, в состав которой входят миниатюрные датчики инерциальной и внешней информации, микродвигатели и преобразователи. Из них особо стоит выделить микромеханические гироскопы (ММГ), волновые твердотельные гироскопы (ВТГ) и акселерометры, как наиболее перспективные датчики инерциальной информации.

Исследования ВТГ ведутся уже более тридцати лет, интересом к нему послужило сочетание ряда его уникальных свойств, а именно: небольшие габаритные размеры и энергопотребление, практически неограниченный технический ресурс, простота конструкции и изготовления, а также высокая потенциальная точность, малое энергопотребление, малые требования к обслуживанию вследствие отсутствия вращающихся частей и т.д.. Стоит отметить,

что уже много лет существуют экспериментальные образцы ВТГ, однако стадия их исследования слишком затянулась и не завершена до настоящего времени. Отметим также, что в США компания Litton, входящая в состав Northrop Grumman Corporation начала промышленный выпуск, который

Рис. 1 Гироскоп G - 2000 компании Litton Corp

а) б)

Рис. 2 Резонатор а) и ВТГ HRG 130Р компании Northrop Grumman

Corporation

нашел применение в авиа и космической аппаратуре, а также в инклинометрах. Гироскоп HRG 130Рмногократно использовался в миссиях HACA, в ча-

стности при полетах к Сатурну и Меркурию, проработав при этом 12 млн. часов в космосе. Волновой твердотельный гироскоп относится к приборам высокой и средней точности - уходы 5-10"4 - 10"1 °/ч. В последнее время происходит миниатюризация ВТГ и их приближение к размерам микромеханических гироскопов, уже увидели свет новые сверхкомпактные приборы (рис. 3), точность этих приборов пока невелика, но прогнозируется ее рост. В России активное исследование и разработку ведут ЦНИИ

Рис. 3 Волновой твердотельный гироскоп с кольцевым резонатором

«Электроприбор», ЗАО НЛП «Медикон», ФНПЦ ОАО «Раменское Приборостроительное конструкторское Бюро».

Другим перспективным датчиком является ММГ, разработка этих датчиков ведется уже более четверти века, когда были начаты интенсивные поиски путей создания недорогих, миниатюрных и пригодных для выпуска крупными сериями гироскопов. Во Франции компания Sagem разработала гироскоп, представляющий собой четыре вибрирующих стержня, сделанных из кварца. Данный прибор выпускается крупными сериями. В настоящее время лидерами в серийном производстве являются компании Analog Devices, InvenSense, Kionix, Panasonic, Robert Bosch GmbH, Seiko Epson, STMicroelectronics и другие. Класс точности выпускаемых ими приборами составляет 0,05 - 0,1 °/ч. Лидером в разработке ММГ является Лаборатория

им. Ч. Дрейпеа, которая занимается созданием микромеханических датчиков с конца прошлого века. Отметим, что данная лаборатория развила также и другое направление - микромеханические вибрационные гироскопы, которые уже сейчас выпускаются миллионами штук. Группа норвежских ученых разработала ММГ 8АК-500, который построен по схеме «бабочка» из двух идентичных вибрационных систем. Заявленные характеристики гироскопа: стабильность нуля в пуске 0,04 °/ч при диапазоне измеряемых угловых скоростей ± 500 °/с. Это достижение позволяет рассчитывать, что ММГ потеснят низкоточные механические и оптические волновые гироскопы.

а) б)

Рис. 4 Современный ММГ ADXRS649 компании Analog Devices в корпусе а) и на плате б)

Основными достоинствами ММГ являются:

• малые габариты (единицы миллиметров и микрометров) и сверхмалая масса (доли граммов);

• низкая себестоимость производства;

• малое энергопотребление;

• высокая устойчивость к механическим нагрузкам и тепловым воздействиям;

• прогнозируемая высокая точность.

Для освоения промышленного выпуска ММГ и ВТГ необходимо решить следующие задачи:

о

• создать и поддерживать непрерывно вакуум не хуже 10 мм рт. ст. в объеме, где будет расположена микромеханическая часть;

• освоить технологию изготовления микромеханической части гироскопа с характерными размера менее 10 мкм, зазорами в конструкции порядка 2 мкм, соотношением размеров 1:100, точностью изготовления 0,1 мкм и шероховатостью поверхности менее 0,02 мкм;

• обеспечить измерение емкости между вибраторами и основанием величиной порядка 1 пФ с погрешностью измерения не более 10"4 пФ;

• спроектировать и изготовить специальную интегральную микросхему, размещаемую в корпусе объемом менее 1 см" вместе с микромеханической частью.

а) б)

Рис. 5 Современный ММГ 182-1315 компании 1пуеп8епзе в корпусе а) и на плате б) (выделено)

Области применения волновых твердотельных (ВТГ) и микромеханических (ММГ) гироскопов в качестве датчиков параметров движения обширны: •Авиация и судоходство. Приборы широко используются в навигации и ориентации в качестве компаса, датчиков поворота и направления, автопилота, указателя горизонта, тахометра и др.

•Автомобильная промышленность. Гироскопические датчики используются в системах безопасности, управления и навигации, примером их служат тормозная антиблокировочная система, подушки безопасности, системы автомобильной навигации и др.

• Бытовая техника и электроника. Современные гироскопы широко применяются для стабилизации в новейших образцах фото и видеотехники, для создания индивидуальной навигации, практически все флагманские

Рис. 6 ММГ L3G3200D компании STMicroelectronics, используемые в современной электронике

модели мобильных телефонов оснащены датчиками перемещения в пространстве, позволяющие значительно поднять чувствительность телефона в распознавании жестов владельца телефона; примером использования гироскопов в потребительской технике служат контролеры управления игровыми консолями, таких как: Sixaxis для Sony PlayStation 3 и Wii Motion Plus для Nintendo Wii; гироскопы широко используются при создании тренажеров и игрушек.

•Военная техника. Приборы успешно применяются в стабилизации спутниковых антенн и дул орудий, управлении беспилотных летательных аппаратов и других подвижных объектов, наведении ракет и орудий на цель и др.

•Медицина. Микрогироскопы можно использовать для стабилизации и управления микроинструментами во время проведения операций и лечения пациентов, в том числе и на больших расстояниях, а также в медицинской технике и диагностической аппаратуре.

•Нефтегазовая промышленность и добыча полезных ископаемых. Приборы используются для измерения траектории бурения скважин, в качестве инклинометров, применение в этой сфере объясняется необходимость непрерывного контроля траектории бурения, из-за длительности процесса бурения, а также вращения Земли есть вероятность отклонения бура от вертикальной оси.

•Робототехника. Устройства используются в навигации и управлении роботами, манипуляторами различного назначения, автоматизации промышленного производства и заводского станочного оборудования.

• Транспорт. Гироскопы широко используются в железнодорожной промышленности в составе системы за контролем деформации рельсов, основной целью которой является определение угла деформации рельса и относительного положения стрелы прогиба каждой нити рельсового полотна.

В исследовании [129] предлагается создание переносной подушки безопасности для пожилых людей на основе встроенных ММГ, которые будут входить в систему защиты человека от падения и специального модуля, отслеживающего и распознающего движения человека. С помощью гироскопов планируется анализировать движения человека и защищать его от падений.

Одной из основных особенностей современных микрогироскопов является использование при их производстве материалов и технологий современной твердотельной электроники. С помощью фотолитографии, изотропного

травления, диффузионной сварки и др. методов формируют электромеханические узлы из неметаллических материалов, например плавленого кварца и монокристаллического кремния. Другой особенностью можно считать групповой метод изготовления и интеграцию механических и электрических компонентов гироскопов. Используется технология группового изготовления механической части датчиков совместно с элементами электроники (датчики съема информации, возбуждения и преобразования сигнала) создавая при этом завершенные электромеханические узлы, при этом происходит повторяемость параметров образцов, что обеспечивает массовое производство, а также снижение издержек производства и стоимости продукции.

Однако не стоит забывать про ряд обширных проблем как технологического, так научно-исследовательского плана, которые требуют решения для дальнейшего увеличения точности приборов и снижению их стоимости. В последнее время в датчик инерциальной информации началось внедрение системы повышения точности (алгоритмическая компенсация погрешностей, терморегуляция внутреннего объема, защита от внешних воздействий и т.д.)

Основами для проектирования и дальнейшего увеличения точности современных гироскопов при их минитюаризации являются математические модели движения чувствительных элементов приборов, которые учитывают нелинейные упругие свойства конструкционного материала и медленно изменяющиеся условия функционирования гироскопа. Микрометровые размеры датчиков вызывают новые эффекты и явления, затрудняющие распространение на данные гироскопы законов и соотношений, справедливых для макроэлементов, поэтому требуется применение аппарата нелинейной теории упругости и уход от линейных моделей.

Аналитические зависимости, учитывающие технологические погрешности, неточности геометрических размеров, влияния нелинейных эффектов и внешней среды, получаемые в результате исследований, позволяют выработать требования к точности технологических операций и существенно увели-

чить точность приборов за счет алгоритмической компенсации погрешностей.

Поэтому, актуальной является проблема создания новых математических моделей чувствительных элементов, которые позволять повысить точность гироскопических датчиков и систем управления на их основе, а также разработки новых алгоритмов компенсации погрешностей и программного обеспечения для стендовых испытаний производимых датчиков.

Обзор предшествующих исследований. Во второй половине прошлого столетия теория инерциальной навигации развивалась наиболее интенсивно, среди ученых внесших значительный вклад в развитие теории необходимо особо отметить Андреева В.Д., Девянина Е.А., Журавлева В.Ф., Ишлинского А.Ю., Климова Д.М., Парусникова H.A. и многих других.

В работе[47] В.Ф. Журавлева было показано, что практически все принципиальные вопросы теории датчиков инерциальной информации могут рассматриваться в рамках одних и тех же уравнений, которые аналогичны уравнениям классического маятника Фуко, поэтому весь класс гироскопических приборов назван обобщенным маятником Фуко.

История развития микросистемной техники коротка, но весьма динамична, по теме волновых твердотельных и микромеханических гироскопов можно найти достаточно большое количество литературы. Подробные исследования по вибрационным гироскопам даны в следующих работах.

В работе [73] Ю.Г. Мартыненко описано множество явлений и физических принципов, используемых при решении гироскопических задач. Эффект, описанный Дж. Брайаном [110] в конце XIX века, был использован учеными компании General Motors в 60-х годах прошлого столетия при разработке гироскопа с резонатором в виде тонкой полусферы.

В работе Журавлева В.Ф и Д.М. Климова [43-46], [49] проведено теоретическое описание эффекта инертности волн в упругих осесимметричных системах (кольце, оболочке вращения), который лежит в основе работы ВТГ. Позже в работах Журавлевым В.Ф. и Климовым Д.М. были заложены основы

теории ВТГ [48]. В монографии особое внимание уделено погрешностям и уходам, возникающих при работе прибора, в результате нелинейных эффектов, вызванных нелинейными деформациями резонатора, а также указаны принципиальные источники ошибок гироскопа и способы борьбы с ними. В работе сделан вывод о том, что резонатор ВТГ можно рассматривать как тонкое упругое кольцо, имеющее возможность совершать изгибные колебания в своей плоскости. Это связано с тем, что поведение полусферической оболочки в краевой области очень близко к поведению кольца, поэтому во многих задачах можно использовать модель упругого кольца. В монографии было показано, что погрешности изготовления резонатора вызывают разночастот-ность, иными словами расщепление собственной частоты изгибных колебаний по второй рабочей форме на две близкие частоты. Данный эффект получил название динамической неоднородностью резонатора и приводит при произвольной ориентации стоячей волны к ее распаду на бегущие волны, из-за чего прибор становится неисправным.

В исследовании [134] получена новая аналитическая зависимость для потенциальной энергии торсионов резонатора вибрационного кольцевого гироскопа.

В работе [123] получены нелинейные математические модели приборов, позволяющие производить анализ в медленных переменных орбиты, ошибки в работе микрогироскопов, возникающие из-за нелинейной динамики чувствительного элемента.

Для исследования динамики ВТГ и ММГ применяют методы осреднения и малого параметра подробно описанные в трудах Боголюбова H.H., Митро-польского А.Ю. [28], Найфе А. [81], которые позволяют учесть различный мас�