Динамика микромеханического гироскопа с резонатором в виде упругих пластин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

СБЫТОВА ЕКАТЕРИНА СЕРГЕЕВНА

ДИНАМИКА МИКРОМЕХАНИЧЕСКОГО ГИРОСКОПА С РЕЗОНАТОРОМ В ВИДЕ УПРУГИХ ПЛАСТИН

Специальность 01.02.01 - Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 ФЕВ 2214

Москва-2014 г.

005544833

005544833

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Подалков Валерий Владимирович,

доктор технических наук, профессор, профессор кафедры теоретической механики и мехатроники ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский университет «МЭИ» Басараб Михаил Алексеевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры ИУ8 «Информационная безопасность», ФГБОУ ВПО «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет техники и технологий)»

Каленова Наталья Валерьевна,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Физика», ФГБОУ ВПО «МАТИ - Российский государственный технологический университет имени К.Э. Циолковского»

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН (ИПМех РАН)

Защита состоится 25 марта 2014 г., в 1300 часов на заседании диссертационного совета Д 002.024.01, созданного на базе Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН по адресу: 125047, г. Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН.

Автореферат разослан « $$ » 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Г

доктор физ.-мат. наук —Полилова Т.А.

Актуальность проблемы. Микросистемная техника - перспективное направление современного приборостроения. Благодаря новым технологиям изготовления на базе кремниевых структур, удается создать датчики инерциальной информации, имеющие малые габаритные размеры, малый вес и

низкое энергопотребление.

В настоящее время все большее развитие получают микромеханические гироскопы (ММГ) - одноосные вибрационные гироскопы, эксплуатационным преимуществом которых является отсутствие вращающихся частей.

ММГ находят применение в различных областях техники: в медицине в качестве приборов для позиционирования микроинструментов, в интеллектуальных системах протезирования, в автомобилестроении, в оборонной промышленности в системах управления боеприпасами и боевыми роботами и др. При этом проблема повышения точности этих датчиков является актуальной для прецизионного приборостроения. Решение ее заключается в применении новых технологических методов, в создании точных математических моделей движения чувствительного элемента, а также алгоритмов аналитической компенсации погрешностей.

В настоящей работе объектом исследования является новый микромеханический гироскоп с резонатором в виде четырех упругих пластин. Особенность его конструкции позволяет решить ряд перечисленных выше проблем. При этом предложенные алгоритмы повышения точности могут быть применены для других гироскопов класса обобщенный маятник Фуко .

Целью работы является разработка динамической модели нового микромеханического гироскопа с резонатором в виде упругих пластин в различных режимах работы с учетом нелинейных эффектов, связанных с геометрией его чувствительного элемента.

Для достижения поставленной цели решаются следующие основные задачи:

- разработка математической модели колебаний чувствительного элемента осцилляторного вибрационного гироскопа;

- исследование влияния медленно меняющихся условий функционирования на динамику прибора в различных режимах работы;

- анализ влияния геометрической нелинейности на точностные характеристики микромеханического гироскопа.

Цели диссертации соответствуют «Приоритетным направлениям развития науки, технологий и техники в Российской Федерации» по направлению «Транспортные и космические системы»; работа направлена на развитие технологий, входящих в «Перечень критических технологий Российской Федерации» по направлениям «Технологии информационных, управляющих, навигационных систем» и «Технологии наноустройств и микросистемной техники». Работа выполнена при поддержке Российского фонда

1 Журавлев В.Ф. Управляемый маятник Фуко как модель одного класса свободных гироскопов // Изв. РАН. МТТ. 1997. №6. С. 27-35.

фундаментальных исследований (проекты 09-01-00756-а, 09-08-01184-а 12-01-00939 -а, 12-08-01255-а), а также Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере (программа «Участник молодежного научно-инновационного конкурса», 2011-2012 гг.).

Методы исследования определялись спецификой изучаемого объекта и его математической модели. В работе использовались методы теоретической механики, многих масштабов, аналитических вычислений и математического моделирования, теория дифференциальных уравнений и специальных функций.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением методов теоретической механики, теории дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр, теории специальных функций, а также сопоставлением полученных результатов с результатами, полученными другими исследователями.

Научная новизна результатов, полученных в диссертационной работе, заключается в следующем:

• получена математическая модель нового микромеханического осцилляторного вибрационного гироскопа с резонатором в виде упругих пластин;

• установлено влияние медленно меняющихся параметров математической модели, таких как частота собственных колебаний, угловая скорость основания, амплитуда и частоты вынуждающей силы на динамику и точность гироскопа в режимах свободных и вынужденных колебаний;

• получены аналитические формулы для угла прецессии гироскопа с учетом нелинейных эффектов и даны оценки точности;

• исследовано влияние нелинейности на устойчивость стационарных режимов и вид амплитудно-частотных характеристик.

Практическая значимость результатов работы заключается в разработке новой конструктивной схемы микромеханического гироскопа с резонатором в виде упругих пластин, в оценке влияния нелинейных эффектов и медленно меняющихся параметров системы на динамические и точностные характеристики прибора. Модели, алгоритмы и обобщения, содержащиеся в диссертации, могут быть полезны для проектирования новых датчиков инерциальной информации и улучшения характеристик уже существующих приборов.

Апробация работы и публикации. Результаты работы докладывались и обсуждались на

- международной научно-технической конференции "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика" (Москва, МЭИ, 2010-2013 гг.);

- I всероссийской научно-практической конференции молодых ученых «Инновационные подходы к развитию вооружения, военной специальной техники» (Москва, Академия Генерального Штаба Вооруженных Сил России, 2010 г.);

- международной конференции "Седьмые Окуневские чтения" (Санкт-Петербург, БГТУ, 2011 г.);

- академических чтениях по космонавтике «Актуальные проблемы российской космонавтики» (Москва, МГТУ им. Баумана, 2011, 2013 гг.);

- международной молодежной научно-практической конференции «Мобильные роботы и мехатронные системы» (Москва, НИИ Механики МГУ, 2011);

- XIII конференции молодых ученых «Навигация и управление движением» (Санкт-Петербург, 2011 г.);

- конкурсе «Участник молодежного научно-инновационного конкурса (У.М.Н.И.К.)» (2011-2012 гг.);

- XII всероссийской выставке научно-технического творчества молодежи НТТМ-2012 (Москва, 2012 г.);

- XIX Санкт-Петербургской международной конференции по интегрированным навигационным системам (Санкт-Петербург, 2012 г.);

- 695-ом заседании семинара «Механика систем» имени академика А.Ю. Ишлинского при Научном совете РАН по механике систем под руководством акад. В.Ф. Журавлева и акад. Д.М. Климова (Москва, ИПМех РАН, 2013 г.).

Публикации. По результатам исследований, проведенных в рамках диссертации, опубликовано 15 работ, в том числе 2 статьи в издании, рекомендованном ВАК Минобрнауки РФ, 2 реферата и 10 тезисов докладов на конференциях, получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Личный вклад автора заключается в разработке математической модели движения чувствительного элемента осцилляторного вибрационного гироскопа, проведении аналитических преобразований, а также в реализации численных экспериментов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 108 наименований. Общий объем работы составляет 128 страниц и содержит 22 иллюстрации.

Содержание работы

Во введении сформулирована общая характеристика круга задач, отраженных в диссертации, и обоснована их актуальность. Поставлена цель диссертационной работы и дан обзор предшествующих исследований в области микромеханических устройств. Приведено краткое описание результатов работ, посвященных моделированию и проектированию микромеханических и волновых твердотельных гироскопов.

В первой главе в §1.1 разработана динамическая модель микромеханического осцилляторного вибрационного гироскопа (рис. 1), чувствительный элемент которого - четыре одинаковые упругие пластины 1, закрепленные в рамке 2, соединенной упругими торсионами 3 с основанием гироскопа. Геометрические размеры прямоугольных пластин обозначены через аиЬ.

Под действием электростатической системы управленйя резонатор совершает периодическое движение, измерение которого позволяет определить вращение основания гироскопа в инерциальном пространстве.

С подвижной рамкой связана система координат при этом ось £ является осью чувствительности гироскопа. Предполагается, что основание вращается вокруг оси \ с угловой скоростью £1, малой по сравнению с характерной частотой собстбенных колебаний чувствительного элемента и, в общем случае, являющейся некоторой функцией времени.

Для описания колебаний чувствительного элемента введены функция прогиба поверхности тонкой упругой пластины и» = м/ (г, х, у), зависящая от времени I и координат х и у, связанных с пластиной, и малый угол р поворота рамки относительно основания гироскопа.

После применения вариационного принципа Гамильтона-Остроградского, были получены интегро-дифференциальные уравнения, описывающие динамику гироскопа

р/и» + О.У4* + + р/гу(й + р) - р/г(П + р)2 += О,

;(П + р) + кр + с0р + 4р/1 ||[2^(и'+^(п+р)+ ^

+ Ь)(п + р) + ун-]с*5 = О,

Ек3

где р - плотность материала пластины, к - ее толщина £> = —;- -

цилиндрическая жесткость пластины, Е - модуль Юнга, у0 - коэффициент Пуассона, с0 - жесткость упругих торсионов рамки, ] = /0 + 4р/шЬ3/3 -

обобщенный момент инерции системы, Jo - момент инерции рамки

д4 д4 д4 относительно оси V*= ^^ +2 gx2gyz бигармонический оператор.

В (1) учтено внутреннее трение по модели Кельвина-Фойгта и введены Я»Л3

обозначения D. = —т-—~ коэффициент внутренних потерь при колебаниях

12^1—V0)

пластин, Е, - вязкоупругий модуль материала пластин, характеризующий внутреннее трение в материале, к - коэффициент вязкого трения торсионов.

Функция прогиба w задается в виде

w = a(t)W(x,y), (2)

где а(0 - искомая функция формы колебаний, а2 « 1; W(x, у) определяется видом граничных условий для пластин. В работе рассматривались три типа граничных условий: заделка по четырем сторонам, шарнирное опирание по четырем сторонам и консольное закрепление пластин.

После применения процедуры Бубнова-Галеркина получены дифференциальные уравнения для обобщенных координат а, ß ix + = —d,a + 2btnß + b±ß2 + aß2,

ß + <a£ß = -K.ß - 2b2üä - 2b2ctß - 2b2aß - ^a2ß - 2^a<xß. (3)

bi h

В (3) введены следующие обозначения: go2, ü)2 = с0/f - квадраты собственных частот колебаний резонатора на неподвижном основании; d„Kt = к// - коэффициенты демпфирования; blt Ь2 - коэффициенты при гироскопических слагаемых в математической модели движения.

В работе показано, что с точки зрения практической реализации наиболее приемлемым оказывается консольное закрепление пластин. Для квадратных пластин размером а-Ь- 10 мм и толщиной h = 1 мм, изготовленных из плавленого кварца (р = 2201 кг/м3, £= 7.3-Ю10 Па, v0 = 0.17), и обобщенного момента инерции J = 6 ■ 10~8 кг-м2 с учетом совмещения частот собственных колебаний имеем с0 = 206.5 Н-м, о^ = w2 = (о = 59317 рад/с (9441 Гц), Ъх = 1.566, й2 = 0.147.

В §1.2 установлено, что даже без учета нелинейных слагаемых в математической модели (3) на неподвижном основании при неточном совмещении собственных частот, а именно при = ш, ш2 = ш + Д, где Д « ш, возникает прецессия гироскопа, что приводит к дополнительным погрешностям в измерении угла поворота основания в режиме свободных колебаний. Вязкое трение при этом не влияет на прецессию гироскопа, а приводит к медленному изменению амплитуд колебаний.

В §1.3 получена одночастотная система линейных нестационарных уравнений, описывающая собственные колебания чувствительного элемента гироскопа

а + а>2(т)сс = —2уа + гЬ^СОр, ¡3 + со2(т)р = — 2уР - 2Ь2П(т)а. Здесь собственная частота со = со(т) и угловая скорость вращения основания Q = О(т) являются функциями медленного времени т = zt, где е«1 -малый положительный параметр; у « ш - коэффициент вязкого трения. Решение системы (4) в первом приближении имеет вид а = Pi(T) sin^CO + Qi(x) cos ti(t) , P = р2(т) sinт|(т) + q2(x) costi(t) ,

где r| = ы(т).

Применив метод двух масштабов, для р\, q\, р2, q% были получены дифференциальные уравнения, решение которых имеет вид:

<h(t) = V">(0)/oú(t) e~yt(Jb¡q10 cos 8 - -Jb[q2Q sin Q)/-Jb¡,

рх(т) = Vш(0)/ш(т) e yt(Jb¡Pio eos 6 - -JhVzo sin 8)/Jb¡, q2(x) = Vш(0)/ш(т) e~yt(-Jblq2o cos 8 + -Jb^q10 sin

(6)

20 cos 8 + -Jblp-Lo sine )/Jb¡. Здесь pi0=p¡(0), g¡o - g¡ (0) (/= 1, 2) - начальные условия для медленных переменных, 8 = —yJb1b2ü(x).

В работе показано, что для определения угла прецессии гироскопа 0 из (6) можно записать дробно-рациональное выражение из полученных медленных переменных pt, q\, р2, q2. Таким образом, в режиме свободных колебаний гироскоп является интегрирующим.

§1.4 посвящен вынужденным колебаниям резонатора при гармоническом возбуждении колебаний пластин. Получена следующая система линейных нестационарных дифференциальных уравнений

а + <о2(т)а = -2уа + 2ЬхП(т)Р 4- Л(т) sin <т(т), Р + ш2(т)р = —2уР - 2Ь2П(т)а, ( '

где Л(т) - амплитуда внешнего воздействия, Л(т) « [ш(т)]2; о(т) -настраиваемая фаза внешнего воздействия. В режиме мягкого резонансного возбуждения частота внешнего воздействия шв(т) = а близка к собственной частоте колебаний гироскопа.

^ Решение системы (7) в первом приближении имеет вид а = р1 (т) sin <j(t) + qx (т) cos с(т), Р = Рг СО sin ст(т) + q2 (т) cos ст(т). '

Применив метод двух масштабов, для медленных переменных р\, q\, р2, qi были получены дифференциальные уравнения, решение которых представимо в аналитическом виде. При П = 25 рад/с и постоянных собственной частоте колебаний и амплитуде внешнего воздействия, в случае когда частота вынуждающей силы меняется по закону ю5= со (0.979+а0 í), где o0=2.4'10'6 1/с, амплитудно-частотные характеристики имеют вид, представленный на рис. 2

(тонкая сплошная линия - стационарный режим, полужирная линия - при сод = со (0.979+(То 0).

А В

а) б)

Рис. 2. Амплитудно-частотные характеристики: а - по первой обобщенной координате; б - по второй обобщенной координате

Из численного эксперимента видно, что наличие угловой скорости основания приводит к раздвоению кратной собственной частоты на две близкие частоты. На стационарной кривой для амплитуды первичных колебаний А отчетливо видны два пика, в то время как амплитуда вторичных колебаний В оказывается менее чувствительной к раздвоению частот. Для амплитуды А наблюдается увеличение первого максимума на 1.5 % и уменьшение второго на 6.6 % («движение» по графику справа налево). Для амплитуды В наблюдается увеличение максимума амплитуды на 4.4 %. Максимумы амплитуд на обоих графиках смещены относительно максимумов стационарной кривой. До первого максимума и после прохождения второго максимума наблюдаются биения амплитуд. Было установлено, что при медленно меняющейся частоте вынуждающей силы имеют место существенные ошибки измерения угловой скорости основания.

Во второй главе исследуется нелинейная модель колебаний резонатора микромеханического гироскопа без учета демпфирования

а + а = + + а|32,

Р + Р = -2Ь2щ - 2Ь2а$ - 2Ь2ар - ^а2р - 2 ^ асф, (9)

Ох Ь-1

где ц = ПДо - нормализованная угловая скорость основания; точкой обозначена производная по безразмерному времени.

В §2.1 решение системы дифференциальных уравнений (9) описывалось в переменных Ван-дер-Поля ри дьр2, Чь При этом начальные условия заданы в виде р10 = г0, <710 = 0, р20 = 0, с?20 = -к0, где к0 > 0,г0> 0, к0 « г0 (г0= г (0),

к0= к (0)). Далее осуществлен переход к новым переменным2 х,, х2, уи Уг по формулам

1 1 Ух = 7 (PÍo + íio + Pfo + <?1о). Уг = о (Р1Р2 + qiíz).

4 1

*1 = 2

*2=i

arcsin

arcsin-

qi + Qz УУ1 + У2 4i + 4z

+ arcsln

2

<h - <h

: — arcsin

2д/У1 ~ Уг Ч1-Ч2

2jyT+y¡

Получена система дифференциальных уравнений для новых переменных

2л/У1 - Уг

Ух = 0, ¿i = v

У1

z sin(2x2) - jyi sin2(2x2),

х2 = -v

У2 з/ /1 \

2 2 sin(2x2) + —у2 I - - cos(4x2) ),

'1 — Уг

(10)

Уг = - yl cos(2x2) + Ц(у1 - yf) sin(4xz)

с начальными условиями

У1(0) = (г02 + &о)/4»У2(0) = 0,^(0) = 0,х2(0) = -лга;т(к0/^ + к^.

Здесь введены обозначения У = Ь2/Ь1; V = -у/ Ь2 р.. В §2.2 решена система (10) в линейной постановке исходной задачи. В §2.3 изучено влияние нелинейных эффектов на прецессию гироскопа, установленного на неподвижном основании (V = 0). В этом случае показано, что тангенс угла прецессии имеет аналитическое представление вида

ал/3

sn

tg29 =

W'b)

SV2

S2™ (y/2 '£j

(И)

где для констант а и В при к0 « г0 справедливо соотношение 2 < Ъ и в соответствии с начальными условиями й2 = Згд/сд/4, В2 = 3(г02 — к^)2/32.

Для начальных условий г0 = 3 ■ 10~3, к0~3- 10~б на интервале наблюдения 1 минута уход гироскопа составляет 3.94 угл. мин., что оказывает существенное влияние на точность гироскопа.

В §2.4 изучено влияние нелинейных эффектов на прецессию гироскопа, установленного на подвижном основании. Введя новую переменную f ~ л/Ух - У г 5т(2х2), осуществлен переход к новой системе уравнений для переменных/ у%

2 Журавлев В.Ф. Исследование нелинейных колебаний составного маяника // Изв. РАН.

МТТ. 1996. №3. С. 160-166.

/ = -¿у^У* -У2-Р'

с начальными условиями (0) = (г02 + /с^)/4,у2(0) = 0,/(0) = -г0к0/2.

Решение данной системы сводится к вычислению эллиптического интеграла. При этом вид преобразований зависит от величины у/]. Возможны случаи

1°. v/; Е (0, (г02 - ¿:02)/(8%/2) - г0к0/4). Тогда

»„о« л зпСб^ЛО

=-^1"-ТЕ- (13)

2°. V/} 6 ((г02 - АГо)/(8л/2) - г0к0/4, 3(г0 - к0)2/3г). Тогда

_5п(52С,/с2)_

* 2(1-/с225п2(В2£Д2))1/2 Сп(В2С,к2)' (14)

3°. V/> 3(г0 - к0)2/32. Тогда

С1-/Сз25П2(В3е,кз))1/25п(5зС,к3)

- - . , -. (15)

сп(б3 к3)

В (13)-(15) константы Л,, В1 и модули эллиптического интеграла кх (/ = 1,2, 3) определяются начальными условиями г0, к0 и величиной V/;'.

Для начальных условий г0=3-Ю"3, к0=3-Ю~б приведенные выше интервалы для v/;' соответствуют интервалам для угловой скорости основания П £ (0, 0.0102) рад/с, П £ (0.0102, 0.0109) рад/с, П > 0.0109 рад/с.

Например, при угловой скорости основания 3.5 рад/с, что соответствует случаю 3 , абсолютная погрешность измерения угла прецессии за минуту наблюдений составляет 1.45°, относительная погрешность - 0.025 %.

Третья глава посвящена вынужденным колебаниям микромеханического гироскопа в нелинейной постановке задачи. Рассматривается система дифференциальных уравнений

а + а>2а = -2у0«а + 2^Пр + Ь^2 + сф2 + Аш2 бш Р + ш2р = —2у0со(3 - 2Ь2Па - 2Ь2сф - 2Ь2а$ - ^а2р - 2^шх|3. (16)

О!

Здесь у0 « 1 - коэффициент вязкого трения; А, а>в - амплитуда и частота внешнего воздействия.

В §3.1 при П = 0 получены выражения для стационарных значений амплитуд колебаний по первой и второй обобщенной координате.

Для параметров Л = е, у0 = 0.05е, где е= 10"5 - малый положительный параметр, соответствующий максимальному прогибу пластин 16 мкм, проведено исследование асимптотической устойчивости стационарных режимов. Результаты исследования представлены на рис. 3. Разные типы линий

обозначают соответствующие стационарные режимы. Темным фоном выделены асимптотически устойчивые стационарные режимы. Введено обозначение Дм = шв/ш — 1, Дсо « 1.

Рис. 3. Амплитудно-частотные характеристики при = 0: а - по первой

обобщенной координате; б - по второй обобщенной координате В §3.2 проведено численное исследование асимптотической устойчивости стационарных режимов на подвижном основании. На рис. 4 приведены амплитудно-частотные характеристики: при угловой скорости основания 0.6 рад/с, на рис. 5 - при угловой скорости основания б рад/с.

Рис. 4. Амплитудно-частотные характеристики при £2 = 0.6 рад/с А В

Рис. 5. Амплитудно-частотные характеристики при £1 = 6 рад/с

Из приведенных графиков можно сделать вывод, что в системе существуют как асимптотически устойчивые (выделены серым цветом), так и неустойчивые стационарные режимы. При этом наблюдаются явления срыва колебаний и скачков амплитуд. Наличие угловой скорости основания приводит к раздвоению кратной собственной частоты на две близкие частоты.

В четвертой главе исследуются свободные колебания микромеханического гироскопа на подвижном основании, вращающемся с достаточно большой постоянной угловой скоростью. Рассматриваются следующие динамические уравнения движения чувствительного элемента в новых переменных

Ь Ь

а0 + 2л1Ь1Ь2{1а1 + ш2а0 = -2у0ша0 ---а0а? — 2-^-а0а1а1,

(17)

(19)

% — 2^ЬгЬ2О.а0 + ш2«! = -гуоша! +-^-а.оа.1. Здесь а = аг, а0 = Л///(0.249р/гаЬ3) р.

В §4.1 система (17) приведена к «нормальным» координатам. Для этого введены новые переменные

а2 = ¿о + 2 А/Ь1Ь2Па1, а3 = ах (18)

с соответствующей им новой системой дифференциальных уравнений 7 йа2

0 +~!Г=®0'

(ш2 + 4Ь1Ь2П2)а1 - 27м!Па2 + ^ =

с1а0 ,-

-~^--2^Ь1Ь2Па1 + а2 = О,

йат

где <20, есть правые части системы (17) с учетом (18).

Переход от исходных переменных ссо,^ а2,а3 к «нормальным» координатам иь и2, V2 осуществляется по формулам3

ос0 = [V! + 172]Д/2а^, ах = -[щ + и2]Д/2ш0,

ш2 г 1 11 1 г п (20)

«2 = -7== + , а3 = -== [Л^! + А2У2].

В (20) введены обозначения ш0 - д/со2 + Ь^П2, Хх = ^/Ь^й - ш0, Х2 = ,/М2П + оо0.

3 Митропольский Ю.А. Нестационарные процессы в нелинейных колебательных системах. Под ред. академика H.H. Боголюбова - Издательство Академии Наук Украинской ССР, Киев, 1955.-284 с.

Система дифференциальных уравнений для «нормальных» координат имеет вид

«1 + = —7= йо, й2 + Х2у2 = -== Оо, 72шо л/2а)о

1 . 1 _

(21)

т/2ыо ' лДа)0

Здесь <20, получены из <50, <31 подстановкой в них замены (20).

В §4.2 решение системы (21) в первом приближении представлено в виде щ = Л(т) эЦЛ^ + ф(т)), и2 = В(т) 5т(А2£ + ф(т)) ^ V! = -Л(т) С0б(Х11 + ф(т)) , VI = —В(т) соз(Я21 + ф(т)).

Используя метод двух масштабов, получены аналитические выражения для амплитуд Л(т), В(т) и фаз <р(т), ф(т) и угла прецессии гироскопа.

Для численного анализа были выбраны значения параметров системы и начальные условия: £2= 10 рад/с, у0=Ю"5 1/с, а (0) = З-Ю"3, (3 (0) = 3-10"6. Установлено, что за 10 минут наблюдений уход гироскопа составляет 0.19°.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации изложены научно-обоснованные решения, имеющие существенное значение для проектирования осцилляторных вибрационных гироскопов, а также для повышения уровня технических характеристик систем на их основе.

Основные результаты данной работы:

1. Получена новая математическая модель, описывающая динамику микромеханического гироскопа с резонатором в виде упругих пластин, учитывающая нелинейные эффекты.

2. В рамках принятой модели установлено, что на неподвижном основании при неточном совмещении частот колебаний по двум обобщенным координатам возникает прецессия волновой картины колебаний гироскопа, приводящая к дополнительным погрешностям в измерении угла поворота основания.

3. Показано, что медленное изменение собственной частоты колебаний чувствительных элементов в линейной постановке задачи приводит к медленному изменению амплитуд и фаз колебаний резонатора и не влияет на угол прецессии гироскопа.

4. Установлено, что нелинейные эффекты оказывают существенное влияние на уход гироскопа. Показано, что их аналитическое представление определяется величиной угловой скорости основания и начальными условиями.

5. Численным моделированием показано, что в режиме вынужденных колебаний микромеханического гироскопа в нелинейной постановке задачи при определенных частотах внешнего воздействия существуют несколько асимптотически устойчивых стационарных режимов. Увеличение угловой скорости основания, на которое помещен прибор, приводит к изменению вида

амплитудно-частотной характеристики, при этом наблюдается срыв колебаний и скачки амплитуд.

6. Получено выражение для угла прецессии гироскопа с учетом влияния угловой скорости основания на частоты собственных колебаний нелинейной системы. Установлено, что погрешность из-за нелинейных эффектов носит систематический характер.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Меркурьев И.В., Подалков В.В., СбытоваЕ.С. Динамика микромеханического вибрационного гироскопа с резонатором в виде упругих пластин // Вестник МЭИ. 2013. №1. С. 5-8.

2. Меркурьев И.В., Панкратьева Г.В., Подалков В.В., СбытоваЕ.С. Нелинейные колебания микромеханического гироскопа с резонатором в виде упругих пластин // Вестник МЭИ. 2013. №4. С. 13-18.

3. Идентификация параметров математической модели вибрационного микромеханического гироскопа (iMMG): а. с. программы для ЭВМ 2011615862 Рос. Федерация / Гавриленко А.Б., Меркурьев И.В., СбытоваЕ.С.; заявитель и правообладатель: ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский университет «МЭИ». - № 2011614031; заявл. 02 06 2011-опубл. 27.07.2011.

4. Меркурьев И.В., Михайлов Д.В., Сбытова Е.С. Влияние инструментальных погрешностей изготовления на точность микромеханического гироскопа // Международная конференция "Седьмые Окуневские чтения": Материалы докладов / Балт. гос. техн. ун-т. - СПб 2011 С. 110-111.

5. Меркурьев И.В., Михайлов Д.В., СбытоваЕ.С. Разработка микромеханической интегрированной системы ориентации и навигации автономного транспортного средства // Сборник расширенных тезисов Международной научно-практической конференции «Мобильные роботы и мехатронные системы», посвященной 300-летию со дня рождения М.В. Ломоносова и 90-летаю со дня рождения акад. Д.Е. Охоцимского - М.: Изд-во Московского университета, 2011. С. 105-106.

6. Меркурьев И.В., Подалков В.В., СбытоваЕ.С. Вынужденные колебания микромеханического гироскопа с резонатором в виде упругих пластин // РАДИОЭЛЕКТРОНИКА, ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭНЕРГЕТИКА: XIX Междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов: Тез. докл. В 4 т. Т.4. М.: Издательский дом МЭИ 2013. С. 232.

7. Меркурьев И.В., Подалков В.В., Сбытова Е.С. Динамика микромеханического гироскопа с монокристаллическим дисковым резонатором // XIX Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам. Сборник материалов. 28-30 мая 2012 г. С. 27-28.

8. Меркурьев И.В., Подалков В.В., СбытоваЕ.С. Исследование вынужденных нелинейных колебаний микромеханического гироскопа с резонатором в виде упругих пластин // Актуальные проблемы российской космонавтики: Труды XXXVII Академических чтений по космонавтике.

Москва, январь - февраль 2013 г./ Под общей редакцией А.К. Медведевой. М.: Комиссия РАН по разработке научного наследия пионеров освоения космического пространства, 2013. С. 638-639.

9. Меркурьев И.В., Подал ков В.В., Сбытова Е.С. Исследование динамики микромеханического гироскопа с резонатором в виде упругих пластин // РАДИОЭЛЕКТРОНИКА, ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭНЕРГЕТИКА: XVIII Междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов: Тез. докл. В 4 т. Т.4. М.: Издательский дом МЭИ, 2012. С. 324.

10. Меркурьев И.В., Родионова H.A., Сбытова Е.С. Разработка методики динамических испытаний и алгоритмов компенсации инструментальных погрешностей изготовления кольцевого микромеханического гироскопа // Сборник докладов I всероссийской научно-практической конференции молодых ученых «Инновационные подходы к развитию вооружения, военной специальной техники» (Москва, Академия Генерального Штаба ВС РФ, 2010 г.). С.197-200.

11. Меркурьев И.В., Родионова H.A., Сбытова Е.С. Разработка методики стендовых калибровочных испытаний микромеханического гироскопа // РАДИОЭЛЕКТРОНИКА, ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭНЕРГЕТИКА: XVI Междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов: Тез. докл. В 3 т. Т.З. М.: Издательский дом МЭИ, 2010. С. 332-333.

12. Меркурьев И.В., Сбытова Е.С., Соловьев В.М., Соломатин А.К. Влияние инструментальных погрешностей изготовления на погрешности измерений микромеханического гироскопа - акселерометра // Актуальные проблемы российской космонавтики: Труды XXXV Академических чтений по космонавтике. Москва, январь 2011 г. - М.: Комиссия РАН по разработке научного наследия пионеров освоения космического пространства, 2011. С. 143.

13. Меркурьев И.В., Сбытова Е.С., Устинов В.Ф. Влияние неравножесткости упругого подвеса кольцевого резонатора на точность микромеханического гироскопа // РАДИОЭЛЕКТРОНИКА, ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭНЕРГЕТИКА: XVII Междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов: Тез. докл. В 3 т. Т.З. М.: Издательский дом МЭИ, 2011. С. 300-301.

14. Михайлов Д.В., Сбытова Е.С. Разработка алгоритмического и программного комплекса для стендовых испытаний микромеханического гироскопа // Гироскопия и навигация. Материалы Х1П конференции молодых ученых «Навигация и управление движением». 2011. №2 (73). С. 78-122.

15. Сбытова Е.С., Устинов В.Ф. Влияние средства сборки на динамику компенсационного маятникового микроакселерометра // РАДИОЭЛЕКТРОНИКА, ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭНЕРГЕТИКА: XVI Междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов: Тез. докл. В 3 т. Т.З. М.: Издательский дом МЭИ, 2010. С. 333-334.

Подписано в печать Зак. A4- Тир. WO П.л. 4,0

Полиграфический центр МЭИ, Красноказарменная ул., д.13

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»

На правах рукописи

04201456416

СБЫТОВА ЕКАТЕРИНА СЕРГЕЕВНА

ДИНАМИКА МИКРОМЕХАНИЧЕСКОГО ГИРОСКОПА С РЕЗОНАТОРОМ В ВИДЕ УПРУГИХ ПЛАСТИН

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

01.02.01 - Теоретическая механика

Научный руководитель: доктор технических наук профессор Подалков В.В.

Москва - 2014

Содержание

ВВЕДЕНИЕ..........................................................................................................4

ГЛАВА 1. ДИНАМИКА МИКРОМЕХАНИЧЕСКОГО ГИРОСКОПА С РЕЗОНАТОРОМ В ВИДЕ УПРУГИХ ПЛАСТИН В ЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧИ..................................................................................21

§1.1. Уравнения движения чувствительного элемента микромеханического гироскопа............................................................................................................21

§1.2. Влияние разно частотности на угловую скорость прецессии гироскопа, установленного на неподвижном основании....................................................28

§1.3. Режим свободных малых колебаний чувствительного элемента микромеханического гироскопа в случае медленно меняющихся условий функционирования.............................................................................................31

§1.4. Решение дифференциальных уравнений движения, описывающих вынужденные колебания чувствительного элемента в случае медленно меняющихся условий функционирования........................................................39

ГЛАВА 2. ДИНАМИКА МИКРОМЕХАНИЧЕСКОГО ГИРОСКОПА В НЕЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧИ ПРИ ПОСТОЯННОЙ, МАЛОЙ ПО СРАВНЕНИЮ С СОБСТВЕННОЙ ЧАСТОТОЙ КОЛЕБАНИЙ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ОСНОВАНИЯ...........................................................51

§2.1. Уравнения движения микромеханического гироскопа с учетом нелинейных эффектов........................................................................................51

§2.2. Решение системы в новых переменных при линейной постановке исходной задачи.................................................................................................56

§2.3. Влияние нелинейности на прецессию гироскопа, установленного на неподвижном основании....................................................................................57

§2.4. Влияние нелинейности на прецессию гироскопа, установленного на подвижном основании.......................................................................................61

ГЛАВА 3. ВЫНУЖДЕННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МИКРОМЕХАНИЧЕСКОГО ГИРОСКОПА С РЕЗОНАТОРОМ В ВИДЕ УПРУГИХ ПЛАСТИН.......................................................................................83

§3.1. Исследование устойчивости стационарных режимов на неподвижном основании...........................................................................................................86

§3.2. Исследование устойчивости стационарных режимов на подвижном основании...........................................................................................................91

ГЛАВА 4. ДИНАМИКА МИКРОМЕХАНИЧЕСКОГО ГИРОСКОПА В НЕЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧИ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПОСТОЯННОЙ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ОСНОВАНИЯ...............................97

§4.1. Приведение системы дифференциальных уравнений к «нормальным» координатам.......................................................................................................99

§4.2. Построение решения системы уравнений в «нормальных» координатах ...........................................................................................................................104

§4.3. Уход гироскопа в условиях немалой угловой скорости основания.....112

ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................................................................114

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

116

Введение

Перед человечеством всегда стояла проблема определения направления в пространстве. Издавна главным ориентиром мореплавателей и путешественников были небесные тела - Солнце и звезды. Первыми навигационными приборами можно считать астролябию, конструкция которой была описана еще в IV в. н.э., и компас, появившийся в Китае в XI веке.

В 1817 г. немецким ученым Иоганном Боненбергером было опубликовано «Описание машины для объяснения законов вращения Земли вокруг своей оси и изменения направления последней». Главной частью этой «машины» был вращающийся массивный шар в кардановом подвесе. Именно это устройство можно назвать первым гироскопом, хотя сам термин гироскоп был предложен позднее Леоном Фуко, французским физиком, астрономом и механиком, в 1852 г. усовершенствовавшим это устройство и использовавшим его как прибор, демонстрирующий вращение Земли вокруг своей оси.

На данный момент известно множество конструкций гироскопов, в основу которых положены различные явления и физические принципы [50]: поплавковые гироскопы [23, 71], динамически настраиваемые [74] и волоконно-оптические [89], волновые твердотельные гироскопы (ВТГ) [38, 56], основанные на эффекте инертности упругих волн, и вибрационные (ВГ) [16], основанные на свойстве камертона сохранить плоскость колебаний своих ножек.

Предложенный в 1851 г. Л. Фуко прибор для доказательства вращения Земли, представляющий собой сферический маятник {маятник Фуко), можно считать одним из прототипов вибрационного гироскопа. Простейшими типами ВГ являются гироскопы балочного и камертонного типа [3, 77, 81].

ВГ можно разделить на два класса: роторные и осцилляторные (ОВГ) [16]. В свою очередь ОВГ делятся на ОВГ с сосредоточенными параметрами [17, 106] и на ОВГ с распределенными параметрами (это, например, уже упомянутые гироскопы балочного и камертонного типа и их конструктивное обобщение - ОВГ пластиночного типа [9]).

В настоящее время развитие получают микромеханические гироскопы (ММГ) - одноосные вибрационные гироскопы, изготовленные на базе кремниевых технологий. Они являются одной из составных частей МЭМС -микроэлектромеханических систем, объединяющих в себе механические и электрические электронные компоненты [77, 91].

По виду движения инерционной массы (ИМ) различают микрогироскопы LL-типа (linear-linear) - в них ИМ совершает поступательные перемещения, гироскопы ЛЯ-типа {rotate-rotate) - в них ИМ совершает вращательные перемещения, и LR (RL)-типа - в них имеют место различные комбинации поступательных и вращательных перемещений ИМ.

Несомненными преимуществами микромеханических гироскопов являются простота конструкции, малые габаритные размеры, малый вес и низкое энергопотребление, а также отсутствие вращающихся частей, что улучшает их эксплуатационные характеристики и уменьшает требования к обслуживанию.

Микромеханические гироскопы находят применение в различных областях: в медицине в качестве приборов для прецизионного позиционирования микроинструментов в хирургии, в интеллектуальных системах протезирования; в автомобилестроении для создания систем навигации в комплексе с другими источниками информации; в оборонной промышленности в системах управления боеприпасами и боевыми роботами, в беспилотных летательных аппаратах; в бытовой технике в мобильных телефонах, игровых консолях и различных тренажерах и др. [18, 77].

Разработка МЭМС ведется такими зарубежными компаниями как Bosch (http://www.bosch-sensortec.com/). Analog Devices (http://www.analog.com/). STMicroelectronics (http://www.st.com/), Northrop Grumman Corporation (http://www.northropgrumman.com/), Silicon Sensing Systems

(http://www.sssj.co.jp/), Charles Stark Draper Laboratory (http : //www. draper. com/) и др. [21, 22, 92] (рис. 1, 2).

Рис. 1. Трехосный датчик угловой скорости BMG 160 фирмы Bosch

Рис. 2. Динамически настраиваемый гироскоп G-2000 фирмы Northrop

Grumman Corporation Как показано в [28], разработка отечественных микромеханических приборов постепенно выходит на мировой уровень. К числу предприятий, занятых теоретическими работами в этом направлении, относятся ОАО «Раменское приборостроительное конструкторское бюро» (Раменское, Московская обл.), НИИ Прикладной Механики

им. академика В.И. Кузнецова (Москва), ЗАО «Гирооптика» (Санкт-

Петербург), ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор» (Санкт-Петербург) (рис. 3). В настоящее время ключевым моментом стала техническая реализация достигнутых теоретических результатов.

Рис. 3. Микромеханический гироскоп ММГ-2 производства ЦНИИ «Электроприбор»

К сожалению, как отмечается в [80], российский высокотехнологический сектор не готов к полномасштабному внедрению инноваций. Поэтому крайне необходимо создавать точные математические модели микромеханических приборов, с тем чтобы на этапе конструирования и непосредственного воплощения в виде МЭМС-систем на основе аналитических зависимостей повысить точность гироскопических датчиков и навигационных систем на их основе и улучшить, как следствие, их технические характеристики, и, тем самым, осуществить переход к «МЭМС высокого уровня» [2].

В связи с этим, в работе ставятся следующие задачи:

1. Разработка новой математической модели движения чувствительного элемента микромеханического гироскопа в виде четырех упругих пластин, учитывающей геометрию конструкции и различные виды граничных условий.

2. Исследование влияния медленно меняющихся условий функционирования на динамику прибора в режиме свободных и вынужденных колебаний.

3. Разработка методики компенсации уходов гироскопа, вызванных нелинейными эффектами из-за конструктивных особенностей чувствительного элемента микромеханического гироскопа.

Цели диссертационной работы соответствуют «Приоритетным направлениям развития науки, технологий и техники в Российской Федерации» по направлению «Транспортные и космические системы»; работа направлена на развитие технологий, входящих в «Перечень критических технологий Российской Федерации» по направлениям «Технологии информационных, управляющих, навигационных систем» и «Технологии наноустройств и микросистемной техники».

Методы исследования определялись спецификой изучаемого микромеханического гироскопа. В работе использовались методы теоретической механики, методы малого параметра, многих масштабов, теория дифференциальных уравнений и специальных функций, методы аналитических вычислений и математического моделирования с использованием системы символьных вычислений Mathematica.

Достоверность результатов исследования обеспечивается корректным применением соответствующих методов, а также подтверждается источниками, на которых базируются выводы данной работы.

Обзор предшествующих исследований. Существенный вклад в теорию инерциальной навигации, чье интенсивное развитие пришлось на вторую половину прошлого столетия, внесли такие ученые, как

A.Ю. Ишлинский, В.Ф. Журавлев, Д-М. Климов, Е.А. Девянин, И.В. Новожилов, В. А. Матвеев, В.Э Джашитов, В.М. Панкратов и др.

Теоретические основы вибрационных гироскопов были изложены в работах таких авторов, как Л.И. Брозгуль, А.Ю. Ишлинский, Д.С. Пельпор,

B.А. Матвеев, М.А. Павловский, A.B. Збруцкий, В.Я. Распопов, A.C. Неаполитанский, Б.В. Хромов и др. [16, 43, 70, 73, 74, 75, 77].

В статье В.Ф. Журавлева [37] показано, что фактически идея маятника Фуко реализована в таких гироскопах, как кольцевой гироскоп [38], волновой твердотельный гироскоп [56], квапазон ((1иара$оп™) [77] и некоторых других. При этом «все принципиальные вопросы теории подобного датчика инерциальной информации могут рассматриваться в рамках одних и тех же уравнений, аналогичных уравнениям классического маятника Фуко». Именно поэтому весь класс таких приборов назван автором обобщенным маятником Фуко. В данной статье также получено, что принципиальной является погрешность вследствие нелинейности системы, вызывающая дополнительную прецессию. Показано, что работоспособный гироскоп может быть получен только при введении обратных связей, поддерживающих постоянной амплитуду г и равной нулю квадратуру к - это соответственно большая и малая оси эллипса, описываемого маятником в плоскости ху.

В работах [32, 34] того же автора исследуется влияние погрешностей на динамику обобщенного маятника Фуко и ставится задача их идентификации. В [34] рассматриваются свободные колебания маятника при наличии упругой анизотропии и анизотропии демпфирования. Показано, что величина дефекта от упругой анизотропии равна половине разности квадратов собственных частот, при этом главные оси жесткости могут быть определены по траектории маятника. В случае анизотропии демпфирования траектория маятника в пределе представляет собой эллипс, медленно разворачивающийся до совпадения большей полуоси с главной осью наименьшей диссипации. При этом определить положение главных осей жесткости по наблюдению предельного поведения управляемого по амплитуде маятника невозможно. В [32] решена задача компенсации дефектов при наличии тестового гармонического возбуждения. Вычислена погрешность идентификации в случае неточной информации об амплитуде и

частоте возбуждения. Показано, что качество идентификации можно повысить, если стабилизировать частоту возбуждения.

В статье [3] исследуется динамика ММГ камертонного типа, представляющего собой тонкий упругий стержень один край которого жестко закреплен на подвижном основании, а второй свободен. Найдено аналитическое решение нелинейной системы дифференциальных уравнений движения чувствительного элемента гироскопа на вращающемся основании в режиме свободных колебаний.

Статьи [67, 72] посвящены технической реализации балочного пьезогироскопа. Проведена экспериментальная зависимость

чувствительности прибора от разности собственных частот, описаны преимущества и недостатки данной конструкции.

В статье В.Э. Джашитова, В.М. Панкратова, М.А. Барулиной [26] представлен суперминиатюрный микромеханический датчик инерциальной информации, который состоит из чувствительного элемента, прикрепленного к корпусу с помощью одного или двух упругих элементов. Описана математическая модель температурных и технологических погрешностей. Показано, что данный датчик весьма чувствителен к этим видам дефектов.

В работах [24, 25] В.Э. Джашитовым и В.М. Панкратовым продолжено исследование этого микродатчика. В [24] изучено влияние переменных и постоянных поступательных и угловых вибраций. На основе численного эксперимента установлено, что наибольшее влияние оказывают поступательные вибрации по оси вторичных колебаний и угловые вибрации по оси измеряемой угловой скорости. Комбинация вибраций приводит к искажению выходного сигнала, изменению его амплитуды и появлению постоянных смещений во вторичных колебаниях. Постоянные угловые ускорения приводят к уменьшению с течением времени амплитуд первичных и вторичных колебаний. Статья [25] посвящена влиянию тепловых

воздействий. Компьютерный эксперимент проведен для трех тепловых режимов: ступенчатое изменение температуры окружающей среды и основания при отсутствии внутренних источников тепла, тепловыделение микроэлектромеханических структур, гармоническое изменение температуры окружающей среды и основания. Показано, что наличие даже незначительного тепловыделения внутренних источников в экстремальных эксплуатационных условиях может привести к недопустимым перегревам прибора и, как следствие, к его неработоспособности.

В статье В.Э. Джашитова, В.М. Панкратова, A.M. Лестева, И.В. Поповой [27] рассматривается влияние температурных и технологических погрешностей на дрейф ММГ камертонного типа со следующими конструкциями чувствительного элемента: две чувствительные массы, колеблющиеся в упругом подвесе; ММГ с кардановым подвесом чувствительного элемента; ММГ с дополнительной рамкой. На основе представленных математических моделей показано, что наибольшее число факторов, вызывающих температурный (или технологический) дрейф, возникает в ММГ камертонного типа.

В работе С.П. Тимошенкова и др. [85] представлены результаты разработки нового варианта конструкции микромеханического гироскопа LL-типа, позволяющей использовать его в системах управления высокодинамичными быстровращающимися объектами. Полученные передаточные функции позволяют провести анализ динамики чувствительного элемента гироскопа и дать оценку чувствительности прибора.

В статье A.M. Лестева и A.B. Ефимовской [46] исследуется влияние нелинейных факторов (нелинейных сил упругости) на динамику ММГ LL-типа. Определены условия устойчивости периодических движений инерционной массы. Показано, что конструкция ММГ, содержащая две

инерционные массы, обладает большей стабильностью технических характеристик, чем конструкция с одной инерционной массой.

В работах И.Е. Лысенко, A.B. Лысенко [48, 49] описана конструкция и принцип функционирования одномассового микромеханического гироскопа-акселерометра LR-тшю. с двумя осями чувствительности. Получены уравнения движения его чувствительных элементов. Предложена методика выделения сигналов, несущих информацию исключительно о колебаниях чувствительных элементов под действием сил инерции Кориолиса.

Основные вопросы теории создания волновых твердотельных гироскопов нашли отражение в работах [19, 31, 36, 38, 56].

В монографии В.Ф. Журавлева и Д.М. Климова [38] приведен вывод уравнений кольцевого резонатора и исследуются динамические свойства упругого нерастяжимого и растяжимого кольца. Показано, что во вращающемся нерастяжимом кольце возбужденная форма колебаний поворачивается относительно инерциального прост