Нелинейные эффекты в динамике микромеханических гироскопов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ
|
Воробьев, Владимир Алексеевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата технических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2006
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Воробьев Владимир Алексеевич
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ДИНАМИКЕ МИКРОМЕХАНИЧЕСКИХ
ГИРОСКОПОВ
специальность 01.02.01 - теоретическая механика
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук
Москва - 2006
Работа выполнена в Московском энергетическом институте (техническом университете) на кафедре теоретической механики и мехатроники.
Научный руководитель:
доктор технических наук, профессор Подалков Валерий Владимирович
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор
Кугушев Евгений Иванович;
доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Грушевский Алексей Васильевич
Ведущая организация:
ФГП Московское опытно -- конструкторское бюро «Марс»
Защита диссертации состоится 2 июня 2006 г. в 1500 в аудитории Б-407 на заседании диссертационного совета Д 212.157.11 при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу: 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 17.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетического института (технического университета).
Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просим направлять по адресу: 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 14, Ученый совет МЭИ (ТУ).
Автореферат разослан «_» апреля 2006 г.
Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор
О.В. Трифонов
аоовл
740G 3
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность проблемы. В последние годы одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений является микросистемная техника. Устройства, входящие в этот обширный класс, изначально создавались для применения в военной технике, но в последние годы нашли широкое применение в изделиях гражданского назначения. Одним из направлений микросистемной техники является создание миниатюрных гироскопических приборов, к которым относятся микромеханические и волновые твердотельные гироскопы. Основными причинами, вызвавшими столь интенсивное развитие данных устройств, являются их сверхмалая масса и габариты, низкая себестоимость, малое энергопотребление, достаточно высокая точность, высокая устойчивость к механическим и тепловым воздействиям.
Среди возможных областей применения микромеханических (ММГ) и волновых твердотельных (ВТГ) гироскопов в качестве датчиков параметров движения можно выделить следующие: автомобильная промышленность, робототехника, военная техника, медицина, товары народного потребления.
Несмотря на уже достаточно большой мировой опыт проектирования микромеханических устройств на данный момент при их разработке существует обширный ряд проблем, которые условно можно разделить на проблемы технологического характера и проблемы научно-исследовательского плана.
К технологическим проблемам относятся, прежде всего, неточности выполнения подвижной части гироскопа, неравножесткость упругих элементов, обеспечение высокого коэффициента добротности, а также его стабильности.
Проблемы технологического плана ставят задачи, решение которых требует широких теоретических исследований. Так, погрешности выполнения геометрических размеров, приводят к необходимости подбора частоты внешнего возбуждения и выравнивания собственных частот чувствительного элемента. Миниатюризация ММГ и ВТГ влечет за собой также появление новых эффектов, затрудняющих распространение на них законов и отношений, справедливых для макроэлементов, и требует ухода от исследования линейных моделей и, как следствие, применения аппарата нелинейной теории упругости.
Части из перечисленных выше проблем и посвящена данная работа, как весьма
актуальным и интересным с научной и практической точ а
ИОНАЛЬНАН' ЛИОТЕКЛ ь
II» Ж I ^
Цель диссертации состоит в определении влияния упругой и геометрической нелинейности микромеханического гироскопа и элементов подвеса на его динамику, в повышении точности измерения угловой скорости ММГ за счет снижения отношения сигнал-шум, посредством подбора частоты внешнего возбуждения.
Методы исследования определялись спецификой изучаемого объекта и его математических моделей. В работе использовались методы классической механики, математическая теория устойчивости, асимптотические методы нелинейной механики и теории упругости в форме общей схемы усреднения, методы компьютерной алгебры в задачах механики.
Научная новизна результатов, полученных в диссертационной работе, заключается в следующем:
• показана возможность применения микромеханического гироскопа Я-Я типа в качестве датчика угла поворота объекта вращающегося с переменной угловой скоростью при наличии диссипации в материале;
• получен способ задания частоты внешнего возбуждения вынужденных колебаний, обеспечивающий максимальные значения амплитуд первичных и вторичных колебаний. Данный способ может быть использован как для ММГ Я-И. типа, так и для вибрационного кольцевого гироскопа, а с небольшими поправками, и для любого другого гироскопа, относящегося к данному классу;
• разработана методика определения угловой скорости объекта, посредством кольцевого вибрационного и микромеханического гироскопа БШ тала, обеспечивающая высокую точность измерения, в основе которой лежит условие обеспечения максимальных величин амплитуд первичных и вторичных колебаний;
• исследовано влияние нелинейности упругих элементов подвеса на динамику микромеханического гироскопа Я-Я типа;
• изучено влияние нелинейной упругости материала кольцевого вибрационного гироскопа на его динамические характеристики;
• исследовано влияние геометрической нелинейности и диссипативных сил на динамику оболочки вращения произвольной формы.
Все вышеперечисленные вопросы выносятся на защиту.
Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается корректным применением методов теоретической механики, теории упругости и
теории дифференциальных уравнений, а также сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными и результатами, полученными другими авторами.
Практическая ценность работы заключается в возможности повышения точностных характеристик существующих на данный момент приборов, и лучшем понимании происходящих в них нелинейных процессов. Полученные в работе результаты могут быть использованы в дальнейшем при разработке новых гироскопических устройств, а также при доработке уже существующих гироскопов.
Апробация работы и публикации. Результаты работы докладывались и обсуждались на:
• международной конференции «Информационные средства и технологии» (Москва, МЭИ, 2004 г.);
• международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, ТулГу, 2005 г.);
• заседаниях научного семинара кафедры теоретической механики и мехатроники МЭИ (Москва, 2004 - 2006 г.г.);
• заседании научного семинара кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством чл.-корр. РАН, проф. Белецкого В.В., проф. Голубева Ю.Ф., доц. Якимова К.Е. и доц. Меркуловой Е.В. (Москва, 2006 г.).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, сводки основных результатов и списка используемой литературы. Общий объем работы ! 19 стр., включая 28 рисунков, 7 стр. списка литературы, насчитывающего 61 наименование и 5 страниц приложения.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении дана общая характеристика рассматриваемой проблемы и обоснована ее актуальность. Отмечены основные достоинства, а также области применения микромеханических и волновых твердотельных гироскопов. Приведен краткий обзор имеющихся работ по данным устройствам.
В первой главе приведены основные конструктивные схемы и описан принцип работы микромеханических гироскопов рамочного типа. Подробно рассмотрен микромеханический гироскоп Я-Я типа с внешним карданным подвесом (рис. 1), установленный на объекте, вращающемся с медленно меняющейся во времени
угловой скоростью £1(7).
2
3
4
а)
б)
Рис I. Конструктивная схема ММГ с наружным карданным подвесам, а - датчик угловой скорости; б - датчик угла поворота 1 - подложка; 2 - наружная рамка; 3 -упругие торсионы; 4 - приводные эчектроды, 5 - емкостные датчики; б - внутренняя рамка; 7 - инерционное тело; 8 - дополнительная масса; 9- ножка. В начале решается задача в линейной постановке, и при помощи методики Лагранжа получены следующие дифференциальные уравнения:
а й)0 - частота внешнего момента, Мо — его амплитуда; А, - коэффициенты демпфирования; Q - добротность материала торсионов; , Зу Д - моменты инерции ротора ММГ относительно соответствующих осей; С, - коэффициенты крутильной жесткости торсионов, (О - частота собственных колебаний гироскопа.
Рассматривается два режима работы прибора - в режиме свободных колебаний и в режиме вынужденных колебаний.
Показано, что в режиме свободных колебаний ММГ может быть использован как датчик угла поворота, т.е. как интегрирующий гироскоп. Для этого осуществляется переход от обобщенных координат (а,¡3) к квазикоординатам (х.0,у.0), определяющим положение точки О (рис. 16) в системе координат Ох,у.г. связанной
а - Р + &хо)а + а1 а = Мяте»/, Р +£2(/у2а + 0?е>Р + агР = О,
0)
где: 3.=:
с основанием ММГ:
X, — Iß, y.=la. Уравнения (1) принимают следующий вид:
[х, + Q(/)J2 у. + Q'xwx. + а1 х, = О,
[у. -Q(/)J,x + ff1 coy. + со2у. = 0, (2)
а их решение, определяющее закон движения т. D в системе координат связанной с основанием гироскопа представлено формулами:
«pQ"'t I~j~ jj j ' а>СГ\ It j '
x,=e 2 sin ' 2 |iJ(r)^r cos Ü)/, y.-e 2 y0 cos^ ' 2 jfi(r)</rcosüJ/. (3)
В плоскости переменных этой траекторией является отрезок прямой,
поворачивающийся вокруг оси z на некоторый угол:
(4)
^ 1 о который и определяет угол поворота ММГ.
Далее рассмотрен режим работы гироскопа в качестве датчика угловой скорости. Для этого возбуждаются вынужденные колебания по оси х, и возникающие при вращении гироскопа силы инерции вызывают вторичные колебания по оси у,, амплитуда которых является мерой угловой скорости. Для повышения точности амплитуда вторичных колебаний должна быть как можно больше, что возможно только в случае настройки системы на резонанс. В настоящий момент для этого широко распространен способ, когда частота внешнего возбуждения выбирается равной частоте собственных колебаний ММГ. Угловая скорость при этом определяется по формуле1:
ß"'®, (5)
J2Ä
где А, В - амплитуды первичных и вторичных колебаний соответственно.
В работе показано, что данный способ настройки частоты и определения угловой скорости может применяться только в случае малых угловых скоростей объекта(Q < 1 "/сек) так как, при увеличении угловой скорости происходит резкое
1 Боксенборн Б. Пленарный инерциальный датчик. Патент США № 4,598,585. Июль 8,1986. Внутренний индекс: С01Р 015/02. (на англ. языке)
падение амплитуд вынужденных колебаний, вызванное смещением собственных частот системы.
В случае относительно больших измеряемых угловых скоростей ( Q>1 °/сек) предложено для компенсации смещения собственной частоты подстраивать частоту внешнего возбуждения следующим образом:
а)0 = со +део, ш « со, (6)
где д<у - частотная расстройка, задаваемая формулой:
Jj, J,Q(t)2 - О 2со2
1 2 у>—--, О = (1 + Ю)"/сек,
= ^ ' 2. w, Q>10 /сек. 2
(7)
Угловая скорость при этом определяется так:
= + 4(дю)2 . (8)
О
При этом, как показано в работе, амплитуды вынужденных колебаний достигают своих максимальных значений и имеют вид:
А в =- ** Ё Г9)
На основе соотношений (9) предложен способ определения угловой скорости объекта. Он заключается в том, что измеряя амплитуды первичных и вторичных коле-
А Щ
баний, необходимо добиться выполнения условия — = — , вытекающего из (9), и зная
В \
частоты со и й)0, угловую скорость следует определять исходя из формулы (7), т.е.:
(10)
Далее решена задача о влиянии нелинейности упругих элементов подвеса, на динамику ММГ.
Для этого в уравнения Лагранжа вводятся нелинейные слагаемые ¿7, а3, (¡2 03, где (1 — коэффициенты нелинейной силы упругости подвеса чувствительного элемента, которые предполагаются известными.
Решая задачу методом усреднения Крылова - Боголюбова были получены следующие уравнения для медленных амплитуд и фаз колебаний чувствительного элемента:
СИ)
■л А В Т Г Ч 1 ■
А = - —у + — и у сов((/ - <р) - — вт <р,
Ф--Х + — V—-ф)-— ЕА* ——сое ю, 2 Л 8 2 А *
В = соэ(у/ - р),
цг = - 2 + -<р)-\%Въ.
¿о о
Исследуя стационарные колебания системы (11) была выявлена характерная особенность, обусловленная нелинейными слагаемыми, которая заключается в появлении множества решений данной системы. Так, при малом демпфировании в колебательной системе (11) имеется до восьми стационарных решений (рис. 2 - 3).
Рис. 2. Зависимость амплитуды колебаний А от частотной расстройки X.
Ч,
к
Рис. 3. Зависимость амплитуды колебаний В от частотной расстройки
Проведен анализ устойчивости стационарных колебаний, который показал, что во всем диапазоне частотных расстроек существуют устойчивые решения (на рис. 2-3 отмечены сплошными линиями).
Полученные стационарные колебательные режимы имеют существенное значение для объяснения явлений срыва колебаний и скачков амплитуд, наблюдаемых при экспериментальных исследованиях ММГ. Результаты численного анализа стационарных колебаний чувствительного элемента ММГ, представленные на рис. 2 - 3, показывают, что избежать явлений срыва колебаний и скачков амплитуд можно путем регулирования частоты гармонического входного воздействия.
Во второй главе исследуется микромеханический вибрационный кольцевой гироскоп, относящийся к микромеханической реализации волнового твердотельного гироскопа, работающий в режиме вынужденных колебаний.
Рис. 4 Схема вибрационного гироскопа.
1 - кольцо; 2-упругие торсионы; 3- емкостные датчики; 4 - электроды возбуждения Описан принцип его работы, технология изготовления, а также основные погрешности и методы их устранения.
Считается, что гироскоп сбалансирован, т.е. центр масс кольца совпадает с осью поддерживающей ножки в точке начала системы координат Охуг, связанной с основанием гироскопа. Также предполагается, что разнотолщинность и другие геометрические дефекты, а также анизотропия материала отсутствуют. Прибор установлен на основание, вращающееся с переменной угловой скоростью £7(/) вокруг ОСИ 2.
и
В рамках модели нерастяжимого кольцевого резонатора получена функция Лагранжа:
где: р - плотность материала кольца; 5 - площадь сечения кольца; Ъ - толщина кольца; к - ширина кольца; Я-радиус кольца; - перемещения по касательной и по нормали срединной линии кольца соответственно; Е - модуль упругости кольца; ./ - момент инерции поперечного сечения кольца; с - коэффициент, характеризующий жесткость поддерживающих пружин; <?(?,<?>) - удельная плотность электростатических сил.
Диссипативная функция Релея по своей структуре аналогична потенциальной энергии и имеет вид:
Ф=1 2
Е,1 / . „ .,\2 ЕЛ , . ч2 -¿г(У"V) +—(уЧ*)
+ (13)
где: Е. - вязко-упругий модуль кольца; с. - вязко-упругая жесткость торсионов. В формулах (12), (13) и далее точкой обозначено дифференцирование по времени, а штрихом по координате <р.
С использованием процедуры Лагранжа получено дифференциальное уравнение движения кольцевого резонатора:
и>"-й- 40м/ + Г]2 (>/' + 2м>'¥ + и>") + е.г]1 + + IV') +
1 (14) +кг}2м>" + кт}2е.ы" =--сое ю0(/ сое 2(р,
где: ; <У2 =—^т; = -~ = кт}2е.; ~ = е.
рЯЯ*' рД2' рЖ ' рЖ ' £
Решение уравнения (14) находится в следующей форме:
= /(¿)со$2(р + ¿(!)ж12<р, (15)
после чего дифференциальные уравнения, описывающие динамику кольца, принимают вид:
[/ + ю2/ + а'о> / + = ч со&о)0П 1 (16)
где: П, # = а ю2 =-^[9 + £]?/2 - частота собственных колебаний
кольца;
Видно, что система (16) совпадает с уравнениями, полученными в первой главе для микромеханического гироскопа Я-Я типа(1) с точностью до обозначений О., ц, со1.
Далее решается задача об определении частоты внешнего возбуждения, обеспечивающей максимальные значения амплитуд вынужденных колебаний.
Получены следующие результаты:
• в случае угловых скоростей порядка VI сек частоту внешнего возбуждения следует выбирать равной частоте собственных колебаний, а угловую скорость определять по формуле2:
а =^б-1<о; (17)
А,
• когда угловые скорости превышают 1 "I сек, частоту внешнего возбуждения следует корректировать при помощи частотной расстройки (6), определяемой следующим образом:
л/п^-сг1©2
*-, П = (1+10)'/сек,
2 (18)
ьсо = —, П>107сек. 2
Угловая скорость объекта в данном случае находится по формуле, аналогичной (8).
Характерной особенностью данного режима работы прибора является то, что волновая картина представляет собой суперпозицию стоячей волны с малой амплитудой, которая в дальнейшем не учитывается и бегущей волны с амплитудой, равной максимальным значениям амплитуд первичных и вторичных колебаний:
(19)
а„
На основании формул (18 - 19) предложен способ определения угловой скорости основания, когда путем подстройки частоты внешнего возбуждения необходимо добиться совпадения амплитуд первичных и вторичных колебаний, после чего измерение угловой скорости производить исходя из формул (18).
~Аят Ф, Наджафи К Кремниевый вибрационный кольцевой гироскоп. // Журнал микроэлестромеханических систем. - 2001.- Выпуск 10, №2.-стр. 169- 178. (наангл. языке)
Рассмотрено влияние нелинейной упругости материала гироскопа на его динамику. Нелинейный закон упругости в данном случае определялся выражением:
сг = £[е-а3е3]. (20)
После применения процедуры Лагранжа и учета условия нерастяжимости срединой поверхности, получено дифференциальное уравнение, определяющее динамику кольцевого гироскопа:
v" - V + 4Qv' + rf [у + 2v'v + V*] - 6T}2a2 {г[(у' + v")(v' + virf
+[(v' + V")2 (v" + xv)]' + (v' + V-)2 (v' + v-) j + krfv" + e.kT]4" +
+e,if [v" + 2vlv + v"l = —qa cos coJsm2(p. pS
(21)
(22)
Принимая во внимание, что решение (21) берется в виде (15) и применяя процедуру Бубнова - Галеркина получены следующие уравнения малых колебаний:
i/ + / = *|>(/2 + g2)f-yf-'Vg + cosMr];
| g + g = e[%{f+g2)g~rg + vf~\,
Используя метод усреднения Крылова - Боголюбова были найдены уравнения для амплитуд и фаз колебаний кольцевого гироскопа:
А = cos+ — A32sin2(v -ф)- — Вcos(^- <р)--уА^,
ф = -е\Л +
1 3 1 Г 1
--sirup-¥-ЬА2 т—ЪВ2 \ 1 + —cos2(iif -<р\
2А 8 4 I 2 V
В = е{ --ВА1 sin2{у/ -<р) + —Acos(y/ -<р)~ —уВ!>, 8 2 2 J
(23)
цг = -е\Х + -ЬВ2 +-ЬА2
l + -icos2 (у/-<р)
¿.В j
Численное решение системы (23), относительно медленных амплитуд первичных и вторичных колебаний представлено на рис. 5-6.
Видно, что как и в случае ММГ Я-Я типа, наличие в системе упругой нелинейности приводит к появлению множества стационарных решений, часть их которых является устойчивыми. На рис. 5-6 сплошными линиями изображены устойчивые режимы, а пунктиром соответственно неустойчивые.
Рис. 5 Зависимость амплитуды колебаний А от частотной расстройки X в случае подвижного основания.
Рис б Зависимость амплитуды колебаний В от частотной расстройки X в случае подвижного основания. В третьей главе исследуется влияние нелинейных деформаций и вязкого трения на динамику резонатора волнового твердотельного гироскопа в виде тонкой, гибкой оболочки вращения, установленной на подвижном основании (рис. 7).
Для описания деформаций оболочки введена ортогональная система координат, связанная с меридианами и параллелями ее срединной поверхности (рис. 8). В качестве криволинейных координат принята длина образующей я (0< 5/ < 5 < х^) и угол в окружном направлении Р (0 <р< 2 ж).
Предполагается, что оболочка как целое вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью С2, которую считаем достаточно малой и постоянной по величине.
Рис. 7. Осесимметричная оболочка, Рис. 8. Расчетная схема осесимметричной
установленная на основании. оболочки вращения.
В данной главе с использованием формализма Лагранжа выведены уравнения движения оболочки. Задача исследования низкочастотных изгибных колебаний релеевского типа решена в одномодовом приближении. Вектор перемещения и=м* представлен в следующем виде:
Щ = u<¡\s,P)m + tfXs,P)gk{t), (24)
где к - номер формы колебаний; , - искомые функции времени;
и[у>, (у = 1,2)- собственные формы колебаний, имеющие для осесимметричной оболочки вращения следующий вид:
= \ик(з)соьк{3, Ук(фтк0, - ИГк(*)со*к/3(, ^
и[2) ^¡-и^тк/З, Ук^)соьк0, Wk(s)smkpf. где функции ик($), И^О) получены с использованием модели оболочки с нерастяжимой срединной поверхностью. С помощью этой модели, ранее в работах3'4 были рассчитаны в линейной постановке значения масштабных коэффициентов в выражениях для скорости прецессии стоячей волны и собственные частоты резонаторов, которые хорошо совпадают с опытными данными.
При вычислении потенциальной энергии деформации резонатора в рамках модели нерастяжимой срединной поверхности использованы нелинейные компоненты кривизн срединной поверхности резонатора:
3 Егармин Н.Е О прецессии стоячих воли колебаний вращающейся осесимметричной оболочки // Изв. АН СССР. МТТ. - 1986. №1. - С. 142-148;
4 Журавлев В.Ф., Климов ДМ. Волновой твердотельный гироскоп. - М.: Наука, 1985. - 125 с.
= к = 1 ду* I 1 8В у -i¿- у = +
& 2Д,' 22 3 а/? Л 55 1 2Я2' 1 ад Л,'
1
12 в
/ , л (26)
' д2ъ дв I ди В ду) \дм> V
дздр св7г Д др Э5У
V ----+ .
2 Вдр Я2
здесь Л/, - главные радиусы кривизны срединной поверхности.
Используя известные выражения для кинетической и потенциальной энергии оболочки и применяя систему символьных вычислений, получена функция Лагранжа:
- (Л2 + Ук + )21>
Коэффициенты Зк,1]1,^к,Ьк,Ьк,(рк из за своей громоздкости в автореферате не приводятся.
Система дифференциальных уравнений, описывающая динамику резонатора ВТГ приведена к стандартному виду возмущенной одночастотной системы:
/ + /—2 еЬ(/2+Ш2)/, # + £ = -2 еЪ(/2+82)8,
где: г = а>л, Ь = —5= И/, gk =у/ёhg, а точкой обозначено дифференциал
рование по безразмерному времени г
Применяя метод усреднения Боголюбова - Митропольского получены уравнения движения в медленных переменных:
Чх = + Ч\ + Р\ + Рг )Р\ ~ + Р1Р2)Рг].
Чг +Р1)Рг ~2{Ч\Ь + ЛЛ)^].
А =£\\}{чг1 + Чг + Р\ +Р1)Ч1 -2Ыг + РхРгМг ]. Ъ\
(29)
41Л = + + Р\ + Р\)4г ~ + Р\Рг)Ч\]•
С использованием методики усреднения функции Лагранжа5 и скобок Пуассона найдены три первых интеграла системы (29):
5 Журавлев В. Ф, Климов ДМ Волновой твердотельный гироскоп- - М: Наука, 1985 -125 с
Я = ~ТбЬ^' + + Р* + Р> У ~ + РхРг^ '
£=<?!+ ч\ + р\ + р1, о=цд2 + рхрг,
что позволило найти точное аналитическое решение нелинейной системы (29):
= -с, соб(цг + с3) - сг сон(игт + с4), р1 = -С; + с3) + с2 зш(и2г + с4), <72 = с, соз(цг + с3) - с2 со&(и2т + с4), р2 = с, 8т(о,г + съ) + с2 Б1п({;2г + с4),
А, = ±щ , ^ = ±г'о2, ц 2 = ± ЗЬ£],
где с, - произвольные постоянные интегрирования.
Изучена волновая картина движения резонатора в режиме колебаний стоячей волны. Найдена функция нормального прогиба:
показывающая, что имеют место следующие нелинейные динамические эффекты при движении резонатора на неподвижном основании:
• Колебания резонатора происходят с зависящей от квадрата амплитуды частотой, а волновая картина является суперпозицией стоячей волны с конечной амплитудой и бегущей волны с малой амплитудой Ас.
• Движение оболочки на неподвижном основании при строгом выполнении соотношения Ас =0 представляют собой стоячую волну.
• В общем случае, при Ас волновая картина прецессирует относительно резонатора с угловой скоростью:
Полученные общие результаты применены к расчету колебаний полусферического купола радиуса Я с граничным углом а, (0<а < к/2).
Материал оболочки - плавленый кварц с плотностью ро = 2210 кг/м3 (пр и 20 °С), модуль упругости £=7,36-Ю10 Па, коэффициент Пуассона V = 0.17, радиус резонатора Я = 1-10"2 м, толщина /г=Ы0"3 м. Числовые параметры резонатора в этом случае принимают значения: ©2= 3166 Гц, Ь= 8,98-10"4 м.
Амплитуда нормального прогиба резонатора при а = я/2 равна ¿¡И, в этом
и», = 2^еЬс1¥к(.$2)со&[кр + еЬсАсо)кф т[йу(1 + ЗеЬс2)] + + у/1ЬАсЖк(52)зт[к/3 - г - ЗеЬс2т],
(31)
/} = --ЬсАс.
(32)
случае с =1/4. При Ас = 0.01с и е= 10"4, имеем угловую скорость прецессии:
¿Я
dt
= 0.11 град/час,
что свидетельствует о существенном влиянии нелинейности модели резонатора на его погрешности.
Далее в этой главе изучено влияние диссипации в материале на нелинейную динамику резонатора ВТГ. Для описания диссипативных сил введена функция Релея, определяемая моделью Кельвина - Фохта:
д, 2
Е,Иг
где: Д =-
Ф = у[(*"п +¿22? -2(1-VX^22 -4)], - цилиндрическая жесткость резонатора.
(33)
12(1 -у2)
С использованием процедуры Лагранжа получены уравнения движения, описывающие нелинейные вязкоупругие колебания резонатора ВТГ:
I++к2 - +шп+&2)/,+=о,
ёк + б'Чя* + К2 - Г)кп2 )8к + 2Ък (/2 + 82к - {кп/к =0-
После применения метода усреднения Боголюбова - Митропольского и замены переменных:
(34)
I
1
! 1 -еут —eyt ~£}т -йлт
,д2=Яге ,Рх=Це2 . Р2=р2е ■
1 _ 1 О£0 = -——<-
d©
еу еу' dr система (34) представлена в гамильтоновой форме: дН л, дН ¿, дН
8Р,
дР.;
за
дН
дбг
(35)
а ее гамильтониан совпадает с (30).
Получено аналитическое решение нелинейной системы (34), определяющее динамику гибкой осесимметричной оболочки на подвижном основании при наличии диссипативных сил в материале и функция нормального прогиба:
=JeWk(s)e ^{ICsin
' h 1 Г л
3-С2 (l - е'"" ) + cot cos! kfi - 3-СДс( 1 - e"*")
. У ' . L У v .
+ Acsrn
+3^(1-«*■") +«в* J.
Показано, что волновая картина в резонаторе представляет собой суперпозицию стоячей волны с конечной амплитудой 2с4е№к($)е 2'г°" и бегущей волны с малой
амплитудой 2 , а колебания резонатора происходят с зависящей от
амплитуды частотой. Влияние диссипации на динамику стоячей волны заключается в медленном затухании ее амплитуды и скорости прецессии:
= . (37)
СВОДКА ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
1. Показана возможность использования микромеханического гироскопа Я-Я типа в качестве датчика угла поворота объекта вращающегося с переменной угловой скоростью при наличии диссипации в материале;
2. Получен способ задания частоты внешнего возбуждения вынужденных колебаний, обеспечивающий максимальные значения амплитуд первичных и вторичных колебаний. Данный способ может быть использован как для ММГ Я-Я типа, так и для вибрационного кольцевого гироскопа, а с небольшими поправками, и для любого другого гироскопа, относящегося к данному классу;
3. Разработан способ определения угловой скорости объекта, посредством кольцевого вибрационного и микромеханического гироскопа Я-Я типа, обеспечивающий высокую точность измерения, в основе которого лежит условие обеспечения максимальных величин амплитуд первичных и вторичных колебаний;
4. Изучено влияние нелинейной упругости материала чувствительного элемента и его торсионов на динамику ММГ Я-Я типа и кольцевого вибрационного гироскопа. Показано, что характерной особенностью данного режима колебаний является появление множества стационарных решений системы, часть из которых является неустойчивыми;
5. Исследовано влияние геометрической нелинейности и диссипативных сил на динамику осесиметричного резонатора произвольной формы. Основной нелинейный эффект, состоит в том, что при измерении угловой скорости объекта нелинейные слагаемые вносят погрешность в показания прибора. Ншшчие диссипативных сил приводит к затуханию этой погрешности, однако скорость ее затухания ввиду большой добротности материала весьма мала
20 т 7 А Л Я'
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТА^И ' 1 0"
1. Воробьев В. А., Донник A.C., Меркурьев И.В. Динамика волнового твердотельного гироскопа при учете переменной толщины резонатора // Материалы XXIV конференции памяти Н.Н.Острякова, Гироскопия и навигация. - 2004. - №4 (47). - С. 90.
2. Воробьев В.А., Меркурьев ИЛ. Оценка дрейфа микромеханического гироскопа, вызванного нелинейными деформациями кольцевого резонатора // Труды межд. конф. "Информац. средства и технол.". 12-14 окт. 2004 г., в 3-х т., т.1,- М.: Янус-К, 2004. - С. 73-76.
3. Воробьев В.А., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Погрешности волнового твердотельного пироскопа при учете нелинейных колебаний резонатора // Гироскопия и навигация. - 2005. -№1(48).- С. 15-21.
4. Воробьев В.А., Меркурьев И.В. Исследование стационарных режимов колебаний чувствительного элемента микромеханического гироскопа // Современные проблемы математики, механики и информатики: тезисы докладов Международной научной конференции. - Тула.: Изд.-во ТулГУ. -2005. - С. 232.
5. Воробьев В.А., Меркурьев И.В. Физические нелинейные эффекты в динамике микромеханического гироскопа // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. - 2006. - №3.- С. 30-34.
¿POSA
74 CG
Подписано в печать^ I,Clf. OCf, Зак. ¡$Ь Тир JC0 Пл. Полиграфический центр МЭИ (ТУ) Красноказарменная ул., д. 13
)
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ МИКРОМЕХАНИЧЕСКОГО ВИБРАЦИОННОГО ГИРОСКОПА С УГЛОВЫМ ДВИЖЕНИЕМ ПО ДВУМ КООРДИНАТАМ
1.1. Конструктивные схемы микромеханических гироскопов
1.2. Уравнения движения микромеханического гироскопа
1.3. Нелинейные эффекты в динамике микромеханического гироскопа II - Я типа
1.4. Исследование устойчивости стационарных колебаний нелинейной системы
Выводы к главе
Глава 2. ДИНАМИКА КОЛЬЦЕВОГО ВИБРАЦИОННОГО
ГИРОСКОПА
2.1. Конструкция микромеханического кольцевого вибрационного гироскопа
2.2. Уравнения движения кольцевого гироскопа
2.3. Влияние нелинейной упругости материала кольца на динамику вибрационного гироскопа
2.4. Исследование устойчивости стационарных колебаний нелинейной системы
Выводы к главе
Глава 3. ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ И ВЯЗКОГО
ТРЕНИЯ НА ДИНАМИКУ ОБОЛОЧКИ
ВРАЩЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
3.1. Динамика оболочки вращения произвольной формы при отсутствии диссипации
3.2. Динамика оболочки вращения произвольной формы при наличии диссипативных сил
Выводы к главе
Актуальность проблемы. В последние годы одним из наиболее интенсивно и динамично развивающихся направлений является микросистемная техника. Устройства, входящие в этот обширный класс, изначально создавались для применения в военной технике, но в последние годы нашли широкое применение и изделиях гражданского назначения. Одним из направлений микросистемной техники является создание миниатюрных гироскопических приборов, к которым относятся микромеханические и волновые твердотельные гироскопы.
Микромеханические и волновые твердотельные гироскопы относятся к области средних и низких точностей (скорость ухода 10"3 -10~2 °!час для волновых твердотельных гироскопов и Ю-1 -1 7час для микромеханических гироскопов) [45]. Поэтому гироскопы данных типов предназначены, прежде всего, для применения в тех устройствах, где интервалы автономной работы гироскопа достаточно малы, т.е. коррекция производится достаточно часто и непрерывно. Угловые скорости, измеряемые ММГ и ВТГ также достаточно невелики (0,1-3507сек). Однако в последнее время в печати все больше появляются сообщения о достижении скоростей ухода порядка Ю-4 7час для ММГ и Ю-2 °1час для ВТГ [43] и измеряемых угловых скоростей достигающих 1000 7 сек [45].
Тем не менее, несмотря на меньшую в сравнении с прочими гироскопами точность и измеряемую угловую скорость, микромеханические и волновые твердотельные гироскопы обладают целым рядом уникальных достоинств, что делает их незаменимыми для многих применений.
Основными достоинствами ММГ являются:
• сверхмалая масса (доли граммов) и габариты (единицы миллиметров);
• низкая себестоимость;
• малое энергопотребление (5-10 В);
• высокая устойчивость к механическим (до 105 §) и тепловым воздействиям (от -40 до +85 0 С );
• достаточная точность.
Среди возможных областей применения микромеханических (ММГ) и волновых твердотельных (ВТГ) гироскопов в качестве датчиков параметров движения можно выделить следующие:
• Автомобильная промышленность. Индустрия автомобильной промышленности является основным «двигателем» развития ММГ. По данным [48] с 1990 года по 2005 доля таких устройств в автомобильной технике увеличилась почти в 3 раза, и в дальнейшем также имеет тенденцию к увеличению. В современных автомобилях используются 50 - 85 датчиков для создания различных систем безопасности, управления и навигации, таких как подушки безопасности, тормозная антиблокировочная система, навигационная и другие;
• Робототехника. Среди возможных применений - задачи навигации мобильных роботов, управление манипуляторами различного назначения, автоматизация заводского станочного оборудования;
• Военная техника. Высокая надежность и малые габариты послужили основными причинами широкого применения ММГ и ВТГ в системах вооружения и военной технике. Они могут успешно применяться для стабилизации спутниковых антенн, управления беспилотными летательными аппаратами и другой аппаратуры подвижных объектов;
• Медицина. Микрогироскопы могут быть использованы для стабилизации микроинструментов, в медицинской электронике и диагностической аппаратуре;
• Товары народного потребления. Широко применяются в видео и фото камерах для стабилизации изображения, для создания индивидуальной навигации, а также в новых разработках компьютерной техники.
Несмотря на разнообразие конструктивных схем, микромеханические чувствительные элементы имеют общие отличительные признаки, объединяющие их в единый класс устройств.
Одной из основных особенностей микрогироскопов является использование при их производстве материалов и технологий современной твердотельной электроники. Электромеханические узлы формируются из неметаллических материалов (монокристаллический кремний, плавленый кварц, карбид кремния) методами фотолитографии, изотропного и анизотропного травления, диффузионной сварки.
Отличительным признаком является интеграция механических и электрических компонентов, изготавливаемых одновременно и с использованием однообразных технологических процессов. Механическая часть датчиков изготавливается совместно с элементами электроники возбуждения, датчиками съема и преобразования полезного сигнала и позволяет создавать законченные электромеханические узлы.
Следующим отличительным признаком является групповой метод изготовления ММГ. Используемая технология микроэлектроники характеризуется коротким циклом группового изготовления, высокой повторяемостью параметров от образца к образцу и обеспечивает массовое производство, что влечет за собой уникально низкую стоимость и высокие темпы развития данных устройств.
Несмотря уже на достаточно большой мировой опыт проектирования микромеханических устройств на данный момент существует обширный ряд проблем, которые условно можно разделить на проблемы технологического характера и проблемы научно-исследовательского плана. Все эти проблемы требуют решения весьма разнообразных задач механики, электроники, конструирования, метрологии, технологии и материаловедения и в основном направлены на увеличение точности гироскопов и снижению их себестоимости.
К технологическим проблемам относятся, прежде всего, неточности выполнения подвижной части гироскопа, такие как статический и динамический дисбаланс подвижной части, неравножесткость упругих элементов. Все это вызвано сложностью обеспечения высокой точности геометрических размеров упругой системы ММГ ввиду ее малых габаритов. К технологическим проблемам можно отнести и требуемый высокий коэффициент добротности, величина и стабильность которого зависит от многих причин. Реализация высокой добротности возможна только при вакуумировании объема чувствительного элемента, что требует решения сложных конструкторских задач.
Технологические погрешности и неточности геометрических размеров влекут за собой и проблемы иного характера, такие как проблемы подбора частоты внешнего возбуждения колебаний. В данном случае неправильный подбор соотношения между собственными частотами системы и частотой внешнего возбуждения влечет за собой уменьшение амплитуд вынужденных колебаний, что приводит к сниженияю точности показаний гироскопа.
Однако не только проблемы технологического плана стоят перед разработчиками микромеханических устройств. При миниатюризации ММГ отношение поверхности к объему подвижных компонентов много больше, чем в макрообласти. Как следствие, поверхностные эффекты могут стать доминирующими факторами, определяющими характеристики ММГ. Микрометровые размеры датчиков вызывают новые эффекты, затрудняющие распространение на компоненты ММГ законов и отношений, справедливых для макроэлементов. Требуется уход от исследования линейных моделей и как следствие применения аппарата нелинейной теории упругости. Данный факт подтверждается также и экспериментальными исследованиями, показывающими присутствие в динамике ММГ эффектов, характерных для нелинейных динамических систем: неустойчивые ветви резонансных кривых, срывы колебаний и скачки амплитуд чувствительных элементов [36], [59].
Части из перечисленных выше проблем и посвящена данная работа, как весьма актуальным и интересным с научной и практической точки зрения. ф Следует также отметить, что объединение весьма разных по принципу своей работы приборов, таких как ММГ и ВТГ, в один класс гироскопических приборов оправдано в том смысле, что в последнее время наблюдается тенденция к уменьшению массогабаритных показателей ВТГ и их приближение к размерам микромеханических гироскопов. Также, в данном классе устройств наблюдаются и схожие процессы при рассмотрении нелинейных моделей, что позволяет проводить их исследование, используя схожий математический аппарат. ф Цель работы состоит в:
- поиске новых возможностей применения микромеханического гироскопа с угловым движением по двум координатам;
- определении частоты внешнего возбуждения вынужденных колебаний микромеханических гироскопов, обеспечивающей максимальные значении амплитуд первичных и вторичных колебаний во всем диапазоне измеряемых угловых скоростей;
- разработке новых способов обработки данных микромеханических гироскопов, в основе которых лежит условие обеспечения максимальных значений амплитуд вынужденных колебаний;
- исследовании влияния нелинейной упругости материала чувствительных # элементов и резонатора на динамику микромеханических гироскопов;
- определении влияния геометрической нелинейности и диссипативных сил на динамику оболочки вращения произвольной формы;
Методы исследования определялись спецификой изучаемого объекта и его математических моделей. В работе использовались методы классической механики, математическая теория устойчивости, асимптотические методы нелинейной механики и теории упругости в форме общей схемы усреднения, методы компьютерной алгебры в задачах механики.
Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением методов теоретической механики, теории упругости, теории дифференциальных уравнений в частных производных, а также использованием современных экспериментальных данных в процессе численного решения и анализа полученных результатов.
Обзор литературы. История развития микросистемной техники относительно коротка, но весьма динамична и теме вибрационных, волновых твердотельных и микромеханических гироскопов посвящено достаточно большое количество литературы.
В книге Л.И. Брозгуля, Е.А. Смирнова [6] систематизировано излагаются вопросы теории и некоторые технические приложения вибрационных гироскопов. Рассмотрены различные схемы построения таких гироскопов, влияние инструментальных погрешностей изготовления, линейного ускорения и потерь за счет внешнего трения и рассеяния энергии внутри материала. Показаны возможности практического использования вибрационного гироскопа в качестве датчика угловой скорости, а также гироскопа -акселерометра.
В книге М.А. Павловского [41], в большей степени посвященной элементарной теории механических гироскопов, затронуты вибрационные и динамически настраиваемые гироскопы. Рассмотрены основные их погрешности, такие как погрешности из-за угловой скорости вибрации основания, погрешности, порождаемые статическим дисбалансом и вызванные неравножесткостью подвеса. Кратко описано влияние нелинейностей на амплитуды колебаний динамически настраиваемого гироскопа.
В учебном пособии В.Я. Распопова [45] приведены сведения об основных технологических процессах изготовления микромеханических структур, рассмотрены особенности конструкции, теория и расчет динамических характеристик акселерометров, датчиков давления и микромеханических гироскопов.
Книга A.C. Неаполитанского и Б.В. Хромова [39], написанная по результатам работ НПК «Вектор», содержит материал по выбору наиболее рациональной конструктивной схемы ММГ, позволяющей повысить чувствительность прибора. Рассматривается рамочный гироскоп, работающий в режиме вынужденных колебаний как датчик угловой скорости, дается описание его основных погрешностей. Также показано, что в случае свободных колебаний существует возможность использования ММГ в качестве датчика угла поворота объекта вращающегося с постоянной угловой скоростью при отсутствии демпфирования.
В монографии В.Ф. Журавлева, Д.М. Климова [23] приведены основные математические модели волнового твердотельного гироскопа. Построена теория принципиального функционирования идеального гироскопа. Рассмотрены различные способы возбуждения вынужденных колебаний в резонаторе кольцевого типа с учетом разнообразных инструментальных погрешностей, и показано влияние этих погрешностей на точность снимаемой с прибора инерциальной информации. Также рассмотрены некоторые нелинейные эффекты.
В работах В.Г.Вильке [7] и Н.Е. Егармина [17], [18], [19] показаны нелинейные эффекты, возникающие в динамике вращающегося кольца. В обеих работах свойства материала кольца являются линейными, а исследуемые нелинейности обусловлены чисто геометрическими обстоятельствами. Установлен ряд нелинейных эффектов, проявляющихся в эволюции волновой картины колебаний. Основной из них заключается в том, что общем случае волновая картина прецессирует относительно резонатора даже при отсутствии вращения основания, что является погрешностью прибора.
Следует отметить работы Л.Д. Акуленко, C.B. Нестерова [1], [2], [3], посвященные изучению вынужденных нелинейных колебаний струны при наличии, а также при отсутствии диссипации. Теоретическое исследование проводится в квазилинейной постановке методами малого параметра и усреднения Крылова - Боголюбова. Подробно изучены условия существования стационарных колебаний и их устойчивость.
Нельзя не отметить работы В.Ф. Журавлева [20], [21], [22] посвященные исследованию нелинейных эффектов, имеющих место в маятнике Фуко. Показаны основные нелинейные эффекты, заключающиеся в зависимости частоты от амплитуды вынужденных колебаний и наличии погрешности определения угловой скорости Земли, в случае использования маятника Фуко как измерителя угловой скорости. Важным является тот факт, что эта погрешность присуща всем без исключения гироскопическим приборам, реализующим идею маятника Фуко, таким как кольцевой гироскоп, а также волновой твердотельный гироскоп.
Отдельно отметим работу М.А. Лестева [36] в которой рассмотрено влияние нелинейностей упругих элементов подвеса на динамику и точность микромеханических гироскопов. В данной работе, рассмотрена не геометрическая нелинейность резонатора, а так называемая физическая нелинейность, вызванная нелинейными упругими свойствами материала. Объясняется явление срыва колебаний, обусловленное нелинейностью, скачки амплитуд колебаний чувствительного элемента, появление неустойчивых ветвей резонансных кривых.
Интересной представляется работа A.B. Збруцкого [26] в которой показано явление зависимости собственных частот микромеханического гироскопа от переносной угловой скорости объекта. Также в ней рассмотрено влияние поступательных ускорений и вибраций на динамику чувствительного элемента.
Из работ, отражающих современное состояние разработок, необходимо выделить публикации М.И. Евстифеева [15], A.M. Лестева, И.В. Поповой [33], [34], О.И. Пешехонова [43] в которых рассмотрены основные типы микромеханических, вибрационных и волновых твердотельных гироскопов, описаны способы их изготовления, основные погрешности и пути дальнейшего развития.
В публикации М.И. Евстифеева [16] исследуется поведение чувствительного элемента ММГ на вибрирующем основании. Показано, что наибольшую опасность представляет вибрация, действующая на половинной частоте вторичных колебаний и на частоте разности первичных и вторичных колебаний. Также показаны меры, позволяющие избавиться от срывов колебаний, обусловленных касанием чувствительного элемента о подложку ММГ.
В работе В.М. Ачильдиева [4] рассмотрен микромеханический гироскоп -акселерометр, разработанный HI III «Регуста». Описан принцип его работы, технология изготовления а также принцип формирования выходного сигнала.
В публикации Э. Гая [13] рассмотрена возможность практического применения микромеханических инерциальных датчиков в самонаводящихся снарядах. Показана возможность совместного применения микромеханических гироскопов совместно с приемником GPS, что позволяет повысить точность наведения снарядов, а также существенно снизить их стоимость.
Нелинейная модель гироскопа с упругим подвесом рассмотрена в работе A.B. Збруцкого и др. [27]. В ней авторы отмечают, что существует необходимость исследовать динамику гироскопа с целью выявления особенностей нелинейных колебаний, чтобы оценить работоспособность и выбрать наиболее приемлемую схему упругого подвеса для обеспечения требуемой точности измерений.
В статьях Ю.В. Шадрина [51] и М.А. Лестева [35] рассмотрены вынужденные колебания микромеханического гироскопа, а также проведена оценка его резонансных частот при наличии дополнительных электрических связей. В работе [35] задача решается в нелинейной постановке.
Нельзя обойти вниманием работы В.И. Казакова [30], С.Ф. Петренко [42], А.И. Погалова [44], JI.A. Северова [47] и С.П. Тимошенкова [50] в которых описаны технологические аспекты создания структур ММГ и резонаторов ВТГ. Описаны процессы прецизионного травления и технологии скрытых масок, а также пути дальнейшего развития методов изготовлений микромеханических устройств.
Далее остановимся на ряде публикаций посвященных волновым твердотельным гироскопам.
В публикации В.Ф. Журавлева [25] изучается влияние электрических процессов в резонаторе и электродах управления, съема информации и возбуждения на эволюцию стоячих волн в ВТГ. Показано, что в результате подобной связи стоячие волны в идеальном приборе претерпевают все виды эволюций: разрушение, прецессия, изменение амплитуды и частоты.
В ряде работ рассмотрен вопрос о возникновении дрейфа стоячей волны в ВТГ и причинах его вызывающих. К ним относятся геометрическая нелинейность резонатора, описанная в работах A.B. Збруцкого [29] и JI.A. Шаповалова [52], неоднородность инерционных, геометрических, жесткостных и демпфирующих характеристик, требующая, как показано в работе A.B. Збруцкого [28], подбора соответствующих управляющих воздействий для их устранения.
В работах С.А. Сарапулова [46], A.M. Павловского [40] и Б.С. Лунина [37] рассмотрено влияние погрешностей изготовления полусферического резонатора и его геометрических размеров, нелинейности колебательной системы, вибрации его основания, а также неоднородности диссипации энергии упругих колебаний на возбуждаемые в оболочки стоячие волны при наличии малой угловой скорости вращения резонатора. Показано, что всё вышеперечисленное приводит как к случайному, так и к систематическому дрейфу стоячей волны и требует корректировки с помощью системы управления, а также разработка системы виброзащиты.
В заключении обзора публикаций посвященных ВТГ отметим работы посвященные исследованию устойчивости колебаний ВТГ [54], а также влиянию внутренних напряжений на их динамику [53]. Из них следует, что колебания в виде стоячей волны, возбуждаемые в ВТГ, обладают свойствами устойчивости, асимптотической устойчивости, а также устойчивости при постоянно действующих возмущениях по отношению к требуемой части фазовых переменных.
Далее отметим ряд работ зарубежных авторов.
Так в работах [56], [59], [60], [61] описано явление возникновения параметрического резонанса в микромеханических устройствах, влияние кубической нелинейности в законе упругости и внешней возбуждающей силе на упругие колебания, объяснено явление срыва колебаний.
В работе [58] описывается технологический процесс получения сложных структур, применяемых в микросистемной техники, позволяющий получать структуры с весьма сложной геометрией и высокой точностью.
В заключении отметим работу [55] и патент [57]. В первой из них рассматривается конструкция, технология изготовления и принцип работы вибрационного кольцевого гироскопа, рассмотренного во второй главе данной диссертации, а вторая посвящена микромеханическому гироскопу Я-Я типа, исследуемому в первой главе диссертации.
Из приведенного обзора следует, что в настоящей момент не достаточно полно рассмотрены вопросы, связанные с изучением динамики микромеханических и вибрационных гироскопов, учитывающие нелинейный закон упругости материала чувствительного элемента. Также мало внимания уделяется проблеме выбора частоты внешнего возбуждения ММГ, для обеспечения максимальных значений амплитуд вынужденных колебаний. Недостаточно рассмотрен и вопрос о влиянии геометрической нелинейности и вязкого трения на динамику оболочек вращения произвольной формы.
Научная новизна результатов, полученных в диссертации, заключается в том, что:
• показана возможность применения микромеханического гироскопа Я
Я типа в качестве датчика угла поворота объекта вращающегося с переменной угловой скоростью при наличии диссипации в материале;
• получен способ задания частоты внешнего возбуждения вынужденных колебаний, обеспечивающий максимальные значения амплитуд первичных и вторичных колебаний. Данный способ может быть использован как для ММГ с угловым движением по двум координатам, так и для вибрационного кольцевого гироскопа, а с небольшими поправками, и для любого другого гироскопа, относящегося к данному классу;
• разработана методика определения угловой скорости, посредством кольцевого вибрационного и микромеханического гироскопа Я-Я типа, обеспечивающая высокую точность измерения, в основе которой лежит условие обеспечения максимальных величин амплитуд вторичных колебаний;
• влияние нелинейной упругости материала чувствительного элемента и его торсионов на динамику ММГ Я-Я типа и кольцевого вибрационного гироскопа;
• исследовано влияние геометрической нелинейности и диссипативных сил на динамику оболочки вращения произвольной формы.
Практическая ценность работы заключается в возможности повышения точностных характеристик существующих на данный момент приборов, и лучшем понимании нелинейных процессов, имеющих в них место. Полученные в работе результаты могут быть использованы в дальнейшем при разработке новых гироскопических устройств, а также при доработке уже существующих гироскопов.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на: • международной конференции «Информационные средства и технологии» (Москва, МЭИ, 2004 г.);
• международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, ТулГу, 2005 г.); ф • межотраслевой научно-технической конференции, посвященной памяти
H.H. Острякова (Санкт - Петербург, ЦНИИ «Электроприбор», 2004 г.);
• заседаниях научного семинара кафедры теоретической механики и мехатроники МЭИ (2004 - 2006 г.г.);
• заседании научного семинара кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством чл.-корр. РАН, проф. Белецкого В.В., проф. Голубева Ю.Ф., доц. Якимова К.Е. и доц. Меркуловой Е.В. (Москва, 2006 г.). ф Тезисы 3 докладов опубликованы.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, сводки основных результатов и списка используемой литературы. Общий объем работы 119 стр., включая 28 рисунков, 7 стр. списка литературы, насчитывающего 61 наименование и 5 стр. приложения. Основное содержание работы изложено в трех главах.
Основные результаты можно сформулировать следующим образом:
• показана возможность применения микромеханического гироскопа Я-Я типа в качестве датчика угла поворота объекта вращающегося с переменной угловой скоростью при наличии диссипации в материале;
• получен способ задания внешней частоты возбуждения вынужденных колебаний, обеспечивающий максимальные значения амплитуд первичных и вторичных колебаний. Данный способ может быть использован как для ММГ Я-Я типа, так и для вибрационного кольцевого гироскопа, а с небольшими поправками, и для любого другого гироскопа, относящегося к данному классу;
• разработана методика определения угловой скорости объекта, посредством кольцевого вибрационного и микромеханического гироскопа Я-Я типа, обеспечивающая высокую точность измерения, в основе которой лежит условие обеспечения максимальных величин амплитуд первичных и вторичных колебаний;
• изучено влияние нелинейной упругости материала чувствительного элемента и его торсионов на динамику ММГ Я-Я типа и кольцевого вибрационного гироскопа. Показано, что характерной особенностью данного режима колебаний является появления множества стационарных решений системы часть из которых является неустойчивыми;
• исследовано влияние геометрической нелинейности и диссипативных сил на динамику осесиметричного резонатора произвольной формы. Основной нелинейный эффект, состоит в том, что при измерении угловой скорости объекта нелинейные слагаемые вносят погрешность в показания прибора. Наличие диссипативных сил приводит к затуханию этой погрешности, однако скорость ее затухания ввиду большой добротности весьма мала.
Заключение
1. Акулепко Л.Д., Костин Г.В., Нестеров C.B. Влияние диссипации на пространственные нелинейные колебания струны // МТТ. - 1997. № 1. - С. 19-28.
2. Акулепко Л.Д., Нестеров C.B. Анализ пространственных нелинейных колебаний струны // Прикладная математика и механика. 1996. том 60, вып. 1. - С. 88-101.
3. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B. Вынужденные нелинейные колебания струны // МТТ. 1996. № 1. - С. 17-24.
4. Ачильдиев В.М., Дрофа В.Н., Рублев В.М. Микромеханический вибрационный гироскоп акселерометр // Нано и микросистемная техника. -2001. №5.-С. 8-10.
5. Боголюбов Н.Н, Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 503с.
6. Брозгуль Л.И., Смирнов Е.Л. Вибрационные гироскопы. — М.: Машиностроение, 1970.-213 с.
7. Вильке В.Г. Нелинейные колебания упругого растяжимого вращающегося кольца // Вестник московского университета, серия 1, математика, механика.- 1988. №5.- С. 31-35.
8. Воробьев В. А., Донник A.C., Меркурьев ИВ. Динамика волнового твердотельного гироскопа при учете переменной толщины резонатора // Материалы XXIV конференции памяти Н.Н.Острякова, Гироскопия и навигация. 2004. №4 (47). - С. 90.
9. Воробьев В.А., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Погрешности волнового твердотельного гироскопа при учете нелинейных колебаний резонатора // Гироскопия и навигация. 2005. №1(48). - С. 15-21.
10. Гай Э. Наводящиеся снаряды с инерциальной навигационной системой на микромеханических датчиках, интегрированной с GPS // Гироскопия и навигация. 1998. №3(22). - С. 72-81.
11. А. Добронравов В.В. Основы аналитической механики. Учеб. Пособие для вузов. М: Высшая школа, 1976. - 264 с.
12. Егармин Н.Е. Нелинейные эффекты в динамике вращающегося кругового кольца//МТТ.- 1993. №3.- С. 50-59.-i lois. Егармин H.E. О прецессии стоячих волн колебаний вращающейся осесимметричной оболочки // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. №1. - С. 142148.
13. Егармин Н.Е. Свободные и вынужденные колебания вращающегося вязкоупругого кольца // Изв. АН. МТТ. 1986. №2. - С. 150-154.
14. Журавлев В. Ф. Исследование нелинейных колебаний составного маятника //МТТ.- 1996. № 3. С. 160-166.
15. Журавлев В. Ф. О глобальных эволюциях состояния обобщенного маятника Фуко // Изв. АН. МТТ. 1998. №6. - С. 5-11.
16. Журавлев В.Ф. Управляемый маятник Фуко как модель одного класса свободных гироскопов // МТТ. 1997. № 6. - С. 27-35.
17. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Волновой твердотельный гироскоп. М.: Наука, 1985. - 125 с.
18. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. -М.: Наука, 1988.- 238 с.
19. Журавлев В.Ф., Линч Д.Д. Электрическая модель волнового твердотельного гироскопа // МТТ. 1995. № 5.
20. Збруцкий A.B., Апостолюк В.А. Динамика чувствительного элемента микромеханического гироскопа с дополнительной рамкой // Гироскопия и навигация. 1998. №3(22). - С. 13-23.
21. Збруцкий A.B., Мареил В.Р., Балабанова Т.В. Исследование динамики гироскопов с упругим подвесом // Механика гироскопических систем. — 1991. № 10.-С. 15-18.
22. Збруцкий A.B., Сарапулов С.А., Локоть Н.М. О динамике интегрирующего твердотельного волнового гироскопа с неидеальным резонатором // Механика гироскопических систем. 1990. № 9. - С. 20 - 23.
23. Збруцкий A.B., Сарапулов С.А., Павловский А.М. Влияние геометрической нелинейности на прецессию форм колебаний вращающейся консольнойполусферической оболочки // Механика гироскопических систем. 1988. № 7.-С. 17-20.
24. Казаков В.И., Горнее Е.С., Кальнов В.А., Волосов A.B., Селецкий В.К. Технология изготовления микроакселерометрических датчиков // Нано и микросистемная техника. 2001. № 6. - С. 5-8.
25. Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: Изд.иностр. лит, 1961. 777с.
26. Крюков Б.И. Вынужденные колебания существенно нелинейных систем. — М.: Машиностроение, 1984. 216 с.
27. Лестев A.M., Попова КВ. Современное состояние теории и практических результатов разработки микромеханических гироскопов // Гироскопия и навигация. 1998. №3(22). - С. 81-93.
28. Лестев A.M., Попова И.В., Евстифеев М.И., Пятышев E.H., Лурье М.С., Семенов A.A. Особенности микромеханических гироскопов // Нано и микросистемная техника. 2000. № 4. - С. 16-18.
29. Лестев М. А. Нелинейный параметрический резонанс в динамике микромеханического гироскопа // Известия вузов. Приборостроение. 2004. Т. 47, N 2. - С. 36-42.
30. Лестев М.А. Влияние нелинейностей упругих элементов подвеса на динамику и точность микромеханических гироскопов // Сб. докл. V научн.-технич. конф. молодых ученых «Навигация и управление движением».-Спб.: ГНЦ РФ- ЦНИИ «Электроприбор».- 2003.
31. Лунин B.C. Влияние параметров полусферического резонатора на дрейф волнового твердотельного гироскопа // Изв. вузов, приборостроение. -2004. т. 47, № 2. С. 31 -35.
32. МуштариХ.Ы. Нелинейная теория оболочек.-М.: Наука, 1990. 223 с.
33. Павловский М.А. Теория гироскопов. К.: Вища шк. Головное изд-во, 1986.-303 с.
34. Петренко С.Ф., Яценко Ю.А., Вовк В.В., Чиковани В.В. Технологические аспекты создания полусферических резонаторов для малогабаритных волновых твердотельных гироскопов // Гироскопия и навигация. 2000. №1(28).- С. 88-93.
35. Пешехонов О.И. Ключевые задачи современной автономной навигации // Гироскопия и навигация. 1996. №1(12). - С. 48-54.
36. Погалов А.И., Тгшошенков В.П., Тимошенков С.П., Чаплыгин Ю.А. Разработка микрогироскопов на основе многослойных структур кремния и стекла // Нано и микросистемная техника. 1999. № 1. - С. 36-41.
37. Распопов В.Я. Микромеханические приборы: Учебное пособие. 2-е изд., перераб. и доп. Тула.: Гриф и К, 2004. - 476 с.
38. Сарапулов С.А., Кисилеико С.П., Иосифов А.О. Влияние вращения на динамику неидеального полусферического резонатора // Механика гироскопических систем. 1988. № 7. - С. 59 - 66.
39. Северов Л.А., Пономарев В.К, Панферов А.И. и др. Микромеханические гироскопы: конструкции, характеристики, технологии, пути развития // Изв. вузов, Приборостроение. 1998. Т.41. № 1 - 2. С. 57-73.
40. Степанов Ю.И. Применение технологий МЭМС и МСТ в автомобильной технике // Микросистемная техника. 2003. №12. - С. 23-28.
41. Стретт Дж.В.(лорд Релей) Теория звука.-М.: ГИТТЛ, 1955. т.1 484 с.
42. Шаповалов JI.A. Об одном простейшем варианте уравнений геометрически нелинейной теории тонких оболочек // МТТ. 1968. № 1. - С. 56-62.
43. Шаталов М.Ю., Лунин Б.С. Влияние внутренних напряжений на динамику волновых твердотельных гироскопов // Гироскопия и навигация. 2000. №1(28).- С. 78-87.
44. Юрин В.Е. Устойчивость колебаний волновогго твердотельного гироскопа //МТТ.- 1993. №3.
45. Ayazi F., Najafi К. A HARPSS polysilicon vibrating ring gyroscope // Journal of microelectromechanical systems. 2001. - Vol. 10, № 2. - P. 169 - 178.
46. Baskaran R., Turner K.L. Mechanical domain coupled mode parametric resonance and amplification in a torsional mode micro electro mechanical oscillator // Journal of micromechanics and microengineering. 2003. - JSf® 13. -P. 701 -707.
47. Boxenhorn B. Planar inertial sensor. United States Patent № 4,598,585. July 8, 1986. Intern'l Class: G01P 015/02.
48. Northen M.T., Turner K.L. Single high aspect ratio pillar support structures: multi-scale chip integrated conformal structures // ASME international mechanical engineering congress and exposition. 2004. Anaheim, California USA.
