Нелинейные задачи динамики вибрационных микромеханических гироскопов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Лестев Михаил Александрович

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ВИБРАЦИОННЫХ МИКРОМЕХАНИЧЕСКИХ ГИРОСКОПОВ

Специальность 01 02 01 - Теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□03 164520

Санкт-Петербург 2007

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

профессор Тихонов Алексей Александрович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук профессор Мельников Геннадий Иванович,

доктор физико-математических наук профессор Иванова Елена Александровна

Ведущая организация Балтийский технический университет им Д Ф Устинова («Военмех»), г Санкт-Петербург

Защита состоится ««2( 2003'в _/б1 ч _<3?_ мин на заседании диссертационного

совета Д 212 232 30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский проспект, д 28, математико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М Горького Санкт-

Петербургского государственного университета по адресу Санкт-Петербург, Университетская набережная, д 7/9

Автореферат разослан «_____2008

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук, профессор /¡ЮМЗ&р? Зегжда С А

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации Микромеханические гироскопы (ММГ) -перспективные приборы современной микросистемной техники, интенсивно и динамично развивающегося научно-технического направления Создание ММГ ознаменовало революционный процесс в современной инерциальной технологии Микромеханические гироскопы характеризуются уникально малыми массой и габаритами, низким потреблением электроэнергии, возможностью функционирования в жестких условиях эксплуатации и на несколько порядков меньшей стоимостью, чем их традиционные аналоги Область применения ММГ чрезвычайно широка Применение ММГ позволяет решать проблему кардинального совершенствования существующих и создание принципиально новых систем стабилизации, ориентации, навигации и управления объектами различного назначения, обеспечивает существенное улучшение их технических характеристик Использование ММГ позволяет создавать малогабаритные системы ориентации и навигации невысокой стоимости для судов, летательных аппаратов различного назначения, мобильных роботов, автомобилей

Исследования и разработки ММГ проводятся многими зарубежными фирмами и российскими научными центрами, предприятиями и университетами Создание промышленных образцов ММГ основывается на решении многих теоретических, схемотехнических и конструкторско-технологических проблем К настоящему времени решены основные вопросы принципов построения ММГ, созданы экспериментальные образцы ММГ, освоен серийный выпуск ММГ рядом зарубежных фирм и на первый план выступает проблема повышения точности ММГ и создание приборов навигационного класса точности Решение указанной проблемы наряду с реализацией мероприятий конструкторско—технологического и схемотехнического характера связано с проведением исследований динамики и погрешностей ММГ, основанных на строгом учете возмущений и факторов, оказывающих влияние на движение чувствительных элементов приборов Строгие постановки задач исследования динамики и оценки точности ММГ, всесторонний учет обстоятельств механической природы при их решении приводят к нелинейным дифференциальным уравнениям движения чувствительных элементов ММГ, содержащим разрывные и аналитические нелинейности Разрывные нелинейности в дифференциальных уравнениях движения объясняются содержащимися в системах автогенерации колебаний чувствительных элементов ММГ нелинейными звеньями Аналитические нелинейности объясняются нелинейной зависимостью сил упругости подвесов чувствительных элементов и электростатических сил от перемещений чувствительных элементов, особенностями динамики чувствительных элементов на упругих подвесах Вместе с тем, известные по публикациям теоретические результаты по исследованию динамики и погрешностей ММГ получены на основании линеаризованных дифференциальных уравнений движения чувствительных элементов приборов При экспериментальных исследованиях ММГ обнаруживаются явления, характерные для нелинейных динамических систем неустойчивые ветви резонансных кривых, срывы и скачки амплитуд и частот колебаний чувствительных элементов

Выявление влияния нелинейностей на динамику чувствительных элементов и точность ММГ, установление особенностей динамики нелинейных систем в условиях функционирования на подвижных объектах - актуальная фундаментальная проблема механики гироскопических систем, имеющая важное значение для современного гироскопического приборостроения На этом основании тема диссертации, посвященной исследованию влияния нелинейных факторов на динамику и точность микромеханических вибрационных гироскопов, выявлению особенностей динамики и исследованию погрешностей микромеханических гироскопов при функционировании в условиях вибраций и вращений объектов является важной и актуальной.

Цель работы заключается в исследовании нелинейных явлений в динамике чувствительных элементов ММГ на подвижном основании, анализе влияния на динамику и точность ММГ нелинейных факторов - нелинейностей звеньев систем автогенерации колебаний чувствительных элементов, нелинейностей характеристик сил упругости подвесов и электростатических сил, нелинейностей, обусловленных особенностями динамики чувствительных элементов ММГ на упругих подвесах, и выработке рекомендаций по устранению нежелательных явлений в динамике чувствительных элементов ММГ

Основные результаты диссертации Полученные в диссертации результаты являются новыми На защиту выносятся следующие основные положения

1 Результаты исследований систем автогенерации колебаний чувствительных элементов ММГ с управлением по обобщенной скорости и обобщенной координате при вращении основания ММГ Диаграммы характера особых точек осредненных уравнений, исследование типов стационарных движений чувствительных элементов ММГ и условия их устойчивости, анализ резонансных кривых и явлений, происходящих при изменении параметров прибора и при динамической настройке ММГ, выполняемой изменением электростатической компоненты жесткости - скачков амплитуд и частот колебаний чувствительных элементов ММГ, явлений затягивания по частоте

2 Анализ влияния вибраций основания на режимы системы автогенерации колебаний чувствительных элементов ММГ, установление условий захватывания (принудительной синхронизации) колебаний чувствительных элементов ММГ и доказательство существования предельного цикла, соответствующего бигармоническому движению чувствительного элемента ММГ

3 Результаты исследований влияния нелинейностей характеристик сил упругости подвесов чувствительных элементов и электростатических сил контура подстройки частот на динамику и точность ММГ Анализ появления неустойчивых ветвей резонансных кривых, срывов и скачков амплитуд колебаний чувствительных элементов ММГ, выявление влияния нелинейности характеристики сил упругости подвеса и электростатической компоненты жесткости на выходные характеристики прибора

4 Анализ погрешностей ММГ, обусловленных нелинейными слагаемыми в дифференциальных уравнениях движения чувствительных элементов ММГ, объясняющимися особенностями динамики чувствительных элементов на упругом подвесе Уравнения резонансных кривых и условия устойчивости стационарных движений, оценки погрешностей приборов

5 Результаты исследований изменений положения равновесия чувствительных элементов ММГ при вибрационных воздействиях, вызванных колебаниями основания, -вибрационных смещений положения равновесия чувствительных элементов Оценки вибрационных смещений и рекомендации по выбору параметров конструкции ММГ

6 Результаты исследования динамики чувствительных элементов ММГ при узкополосных случайных воздействиях, вызванных вибрациями основания Объяснение явлений срыва колебаний и скачков амплитуд колебаний чувствительных элементов в условиях узкополосных случайных воздействий

7 Анализ резонансных явлений в динамике чувствительных элементов ММГ Уравнения амплитудных кривых стационарных движений чувствительных элементов ММГ и условия устойчивости стационарных движений в условиях основного резонанса Результаты исследования влияния нелинейных факторов на динамику чувствительных элементов при прохождении через резонанс на вибрирующем основании Анализ -амплитудных кривых прохождения через резонанс при увеличении и уменьшении частоты вибрационного воздействия Анализ динамики чувствительных элементов ММГ в условиях нелинейного (демультипликационного) резонанса

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением к решению поставленных задач методов аналитической механики, теории нелинейных колебаний, компьютерного моделирования, сопоставимостью полученных результатов с явлениями, наблюдаемыми при экспериментальной отработке опытных образцов ММГ.

Теоретическое и практическое значение. Теоретическое значение результатов диссертации заключается в установлении нелинейных явлений и эффектов в динамике чувствительных элементов ММГ - неустойчивых ветвей резонансных кривых, скачков амплитуд и частот колебаний чувствительных элементов, затягивания по частоте, захватывания (принудительной синхронизации) и вибрационного смещения положения равновесия чувствительного элемента при функционировании ММГ на вибрирующем основании Практическая значимость работы определяется полученными результатами о влиянии нелинейных факторов на точность ММГ, рекомендациями по повышению точности приборов и устранению нежелательных явлений в динамике чувствительных элементов ММГ Полученные результаты могут использоваться при проектировании конструкций ММГ

Отдельные результаты диссертации использовались при выполнении научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ ЗАО «ГИРООПТИКА» по созданию микромеханических инерциальных датчиков параметров движения и бесплатформенных инерциальных навигационных систем на их основе и при выполнении Проекта РНП 21 2 2997 Федерального агентства образования

Апиобапия работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях V (2003 г), VI (2004 г), УП (2005 г ), VIII (2006 г ) и ЗХ (2007 г) конференциях молодых ученых «Навигация и управление движением» в ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», С -Петербург, международных конференциях «Четвертые Окуневские чтения» (2004 г) и пятые «Окуневские чтения» (2006 г), С -Петербург, Международной конференции «Поляховские чтения» (2006 г ), С -Петербург, Третьем международном симпозиуме «Аэрокосмические приборные технологии» (2004 г), С -Петербург, VI (2003 г), VII (2004 г), VIII (2005 г) научных сессиях аспирантов ГУАП, Юбилейной Научной сессии ГУАП (2006 г ), С -Петербург, XIV С -Пб Международной конференции по интегрированным навигационным системам, ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор» (2007 г), Санкт-Петербург, Международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ - 2007», С -Петербург, на семинаре кафедры теоретической и прикладной механики СПбГУ

Публикации. По теме диссертации опубликованы 22 работы Работа [21] опубликована в журнале, рекомендованном ВАК (Перечень Бюллетень ВАК, 2007, №1, с 3-39) Работы [1, 3, 8, 12, 14, 18] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК (Перечень Бюллетень ВАК, 2005, №4, с 1-23)

В работах [6, 8, 9], опубликованных в соавторстве с А П Карелиным, диссертанту принадлежат результаты аналитического исследования влияния электростатических сил на динамику и погрешности микромеханических гироскопов, соавтору, А П Карелину -результаты математического моделирования динамики чувствительных элементов ММГ с помощью вычислительной системы MATLAB/Sunuhnk В работах [17, 20] автору диссертации принадлежат результаты аналитических исследований и компьютерного моделирования, соавторам, А М Лестеву и А А Тихонову - постановки задач о влиянии нелинейных факторов на динамику и точность ММГ В публикации [7] автору диссертации принадлежат результаты математического моделирования динамики ММГ, соавторам - результаты использования ММГ в авиакосмических навигационных системах При подготовке заявки на получение патента на полезную модель [22] диссертантом выполнены расчеты параметров и проведено определение технических характеристик ММГ

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит введение, четыре раздела, заключение и список литературы. Работа изложена на 182 страницах и включает 29 рисунков. Список литературы содержит 146 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приведен обзор современного состояния практических разработок и теоретических исследований ММГ, сформулирована цель диссертационной работы, приведены положения, выносимые на защиту.

В первом разделе диссертации, состоящем из четырех подразделов, дается общая характеристика конструкций ММГ, отмечаются особенности конструкций приборов этого типа, представляющих собой неразделимый комплекс, состоящий из чувствительного элемента и функциональной электроники, обеспечивающей требуемые условия работы чувствительного элемента и формирующей информационный выходной сигнал. Приводятся основные конструктивные схемы ММГ: с поступательными движениями чувствительных элементов (1Х-ММГ, рис.1), с вращательными движениями чувствительных элементов (ЬЖ-ММГ, рис.2) и с комбинацией поступательных и вращательного движений - камертонный ММГ (ЬК-ММГ, рис.3). Приводятся дифференциальные уравнения движения чувствительных элементов рассматриваемых конструкций ММГ на подвижном основании. С основанием связывается система координат ; движение основания задается проекциями скорости Ко полюса О на оси и проекциями угловой скорости со основания на эти же оси. Отмечаются допущения, принимаемые при составлении дифференциальных уравнений движения чувствительных элементов ММГ. Конфигурация (положение) колебательной системы ММГ с поступательными движениями чувствительного элемента, конструктивная схема которого приведена на рис.1,а, определяется обобщенными координатами £ и г) -перемещениями чувствительного элемента относительно основания в направлении осей £ и г/, отсчитываемыми от положения статического равновесия.

Электростатический ви^ропривод

Упругие элементы

Инерционная масса

Электростатический вибропривод Ill Рамка

I

Ш Iflii^ ¡¡¡j";ji

вмнв

Упругие элементы

Рис. 1. Конструктивные схемы ЬЬ-ММГ

' ^ Инерционная масса

б)

ротор

упругие

Инерционная масса

Упругие элементы

Рамка

электростатический / \

вибропривод ^ 2 Корпус ММГ

а) 6)

Рис. 2. Конструктивные схемы Ш1-ММГ

Упругие элементы

Рамка

Инерционные массы

Электростатический вибропривод

Рис. 3 Конструктивная схема камертонного ММГ (LR-ММГ)

Положение инерционной массы ММГ с дополнительной рамкой (рис. 1,6) определяется обобщенными координатами £ и rj: £ - перемещение рамки относительно основания в направлении оси £, rj - перемещение инерционной массы относительно рамки в направлении оси 77. Положение чувствительного элемента роторного ММГ (рис.2,а) определяется углами а поворота ротора относительно основания вокруг оси ¿"(г) и ¡3 -поворота ротора относительно оси у. Предполагается, что центробежные моменты инерции ротора отличны от нуля, центр масс ротора вследствие технологических погрешностей изготовления смещен от точки пересечения осей подвеса в направлении оси подвеса z, перпендикулярной плоскости ротора. Положение колебательной системы ММГ с кардановым подвесом чувствительного элемента (рис.2,б) определяется углами а поворота рамки относительно основания вокруг оси £(х) и /? - поворота инерционной массы относительно рамки. Как и в предыдущем случае, учитывается, что центробежные моменты инерции чувствительного элемента отличны от нуля, центр масс чувствительного элемента смещен в направлении оси z, перпендикулярной плоскости чувствительного элемента. Наконец, конфигурация колебательной системы камертонного ММГ определяется углом а поворота рамки относительно основания вокруг оси £(z) и перемещениями х, и х2 инерционных масс относительно рамки, отсчитываемыми от положения статического равновесия инерционных масс. Предполагается, что центры инерции чувствительных масс смещены в направлениях осей у, и у2, перпендикулярных плоскости чувствительных масс. Составление дифференциальных уравнений движения колебательных систем рассматриваемых конструкций ММГ производится на основе уравнений Лагранжа второго рода с использованием системы символьных вычислений Maple. При составлении дифференциальных уравнений движения чувствительных

элементов ММГ учтены особенности нелинейных задач, решаемых в последующих разделах диссертации

Во втором разделе диссертации, содержащем три подраздела, приведены результаты исследований динамики систем автогенерации колебаний чувствительных элементов ММГ с управлением по обобщенной скорости и управлением по обобщенной координате В первой из систем управляющее электрическое напряжение подается на электроды электростатического вибропривода в виде импульсов, переключение знака которых осуществляется в моменты времени, когда обобщенная скорость равна нулю Во второй системе управляющее напряжение подается на электроды вибропривода в моменты времени, когда равна нулю обобщенная координата Схема, реализующая алгоритм функционирования системы автогенерации с управлением по обобщенной скорости содержит дифференцирующее звено и нелинейный элемент "sign", на вход которого подается сигнал, пропорциональный обобщенной скорости Система автогенерации с управлением по обобщенной координате содержит элемент ("Hit crossing"), срабатывающий в моменты времени, когда равна нулю обобщенная координата

Исследование динамики системы автогенерации колебаний с управлением по обобщенной скорости проводится применительно к ММГ с поступательными движениями чувствительного элемента (рис 1,6) в режиме измерения угловой скорости Д объекта Дифференциальные уравнения движения чувствительного элемента ММГ при i2*0,Q = const на основании уравнений, полученных в первом разделе диссертации,

записываются в виде

•• • « •

тх+ цх х- 2 mQy+ Gx(x) = F(x),

(m + щ)у+ ¡лх 2mQх+ Gy(у) = Е(А + у) - Е(А -у), (1)

e0eSU2 ч e.eSU1

Е(А + у) = -у) = -гг,

2(А + уУ 2(Д - у)

где х - перемещение рамки вместе с инерционным элементом относительно основания, у -перемещение инерционного элемента относительно рамки, т - масса инерционного

элемента, т, - масса рамки, Gx (х) = сх + к'хх3, G>,(_y) = с + к'ууъ, ~ сипы упругости

• •

подвеса (сх,су,к[,к'у — const),F(x) — F0Signx-сила, создаваемая электростатическим виброприводом системы автогенерации колебаний ММГ, Е(А ± у) - силы, создаваемые электростатическими датчиками силы контура подстройки частот, а остальные обозначения в уравнениях (1) соответствуют общепринятым

Функции Е(А ± у),(/д < О разлагаются в степенные ряды, вводятся обозначения

b-Afil, 2ft, = —, 2/г, = ~ , /с, = 20,

2 т т + т,{ A J т m + mi

т s Fo Ki 1 f / „

-> /о =7ГГ~> К* =^ГГ~> ку = .,"/ :-7 КУ —ГГ 1= 33 малый параметр

2 т + т/ Jo Щт' ' 2Л,/»' > 2А,(м + ж,)1 2 И,

принимается ju = —-,(ju «1) и уравнения (1) переписываются в виде

_ и,

х+ у+ п2хх = ¡тх(-лг+ кхх3),

•• • /г •

у+ к2х+ пггу = /#?,( у-куъ) /г,

Решение системы уравнений (2) находится методом медленно меняющихся коэффициентов в виде

х = авт^ + Д) + Ь$т(к^ + /32),у = + Д ) + Л^Ьт^к^ + Д,), (3)

где и > Л, являются корнями уравнения

£4 - (и,2 + и2 +кхк2)к2 Ч-«!2«2 =0, Я, и Я2 - коэффициенты распределения (Я, >0,<0), а переменные а,Ь,Р\ и /?2 удовлетворяют системе уравнений, правые части которых получены усреднением за

2я 2 л периоды —, —

йи

Л

■ /лА

Е\ — \-аи и

<М и

ли-

V ) \ и

Щ^-Ри

V V и

(4)

при М > V,

й?М _ и Л" ~ V

ЧМ^Ж"1^

Л Л

(5)

, и< V

Осредненные уравнения, определяющие Д и рг, вследствие ограниченного объема автореферата не приводятся

В уравнениях (4) и (5) и = акх,у~Ькг,

А =

4/0 «Л*г:

яг Л,(£,2-£2)

= >0,

я-2 ^(к^-к?) .2

8/о1 ; 8/Д А,*,

£(£), - полные эллиптические интегралы первого и второго рода

Система уравнений (4), (5) на плоскости т создает непрерывное поле направлений Анализ уравнений (4), (5) показывает, что число и характер особых точек системы -

состояний равновесия, определяется отношением — При 0 < — < — система (4), (5)

Р Р 2

имеет два состояния равновесия — устойчивое на оси и с координатами

и. = —~ = -—.V, =0 (особая точка типа устойчивый узел) и неустойчивое на оси V -а 2а

особая точка типа седло Состоянию равновесия на оси и соответствуют гармонические колебания чувствительного элемента ММГ с частотой, близкой к к, Бели параметры

ММГ удовлетворяют неравенствам 2 < ^ < оо, система (4), (5) имеет два состояния

равновесия на осях: устойчивое на оси V с координатами и2

= о, v, = —— = — (особая

Р 2/?

точка типа устойчивый узел) и неустойчивое на оси и - особая точка типа седло. В этом случае чувствительный элемент ММГ совершает колебания с частотой, близкой к к2. При

1 « о

— < — < 2 система имеет три состояния равновесия - два устойчивых на осях и и V

(устойчивые узлы) и неустойчивые вне осей и и V (седло). Особая точка типа седло, расположенная вне осей и и V, отвечает неустойчивому бигармоническому движению и представляет физический интерес в связи с сепаратрисами, которые определяют на плоскости «V области устойчивости в большом периодических движений, близких к гармоническим. В диссертации приведены картины интегральных кривых для указанных случаев.

Далее рассмотрены явления, происходящие при динамической настройке колебательной системы ММГ, осуществляемой изменением частоты п2 электростатическим способом. В качестве параметра, характеризующего изменение

п1 /

частоты п2, принимается отношение £ = у г- На рис.4 представлены кривые

/ п\

зависимости амплитуд колебаний чувствительного элемента ММГ а и Ь и частот к, и к2 от £. Части кривых, соответствующие устойчивым режимам, выделены жирными линиями. Стрелками на рисунках показаны перескоки с одной амплитуды частот колебаний на другую при прямом и обратном изменении £ . Рис.4 иллюстрирует явление затягивания по частоте. При < £ < в зависимости от начальных условий могут устанавливаться устойчивые колебания чувствительного элемента с частотой, близкой к кх или к2.

иЛ,.*

а) б)

Рис. 4 Зависимости амплитуд (а) и частот (б) колебаний чувствительного элемента

ММГ от £

Аналогичные результаты получены при исследовании динамики системы автогенерации колебаний чувствительного элемента ММГ с управлением по обобщенной координате. Исследование выполнено применительно к ММГ с кардановым подвесом чувствительного элемента (рис.2,б). Принимается, что чувствительный элемент

относительно оси вращения рамки каждый раз, проходя положение равновесия, получает

• • •

ударный импульс, определяемый выражением Ь(а,а) = Ба 3(а), где - величина импульса ударной силы, 3(а) - дельта-функция Дирака. Как и в предыдущем случае,

обнаружены скачки амплитуд и частот колебаний чувствительного элемента ММГ и яьление затягивания по частоте.

Далее в разделе 2 диссертации приведены результаты исследований влияния вибраций основания на динамику системы автогенерации колебаний чувствительного элемента ММГ с управлением по обобщенной скорости. Дифференциальное уравнение движения чувствительного элемента ММГ

тх+ /лх х+ Схх + к'ххг - F0signx- тУ0( (?),

(6)

2 К

п]шводится к уравнению с малым параметром I ц = —-,2й, =— «1 [ и применяется

V т )

мзтод медленно меняющихся коэффициентов. Получены уравнения резонансных кривых и границ области устойчивости состояний равновесия осредненной системы дифференциальных уравнений. Выяснен тип особых точек осредненной системы. На рис.5 представлены резонансные кривые и диаграммы особых точек осредненной системы дифференциальных уравнений, соответствующих периодическим движениям чувствительного элемента с частотой V . На плоскости (а - амплитуда колебаний, £ -расстройка частот) кривая ц = О определяет область неустойчивых состояний равновесия (с едел). При д < О особые точки осредненной системы являются особыми точками типа седло, состояния равновесия неустойчивы. При д>0,р>0 состояния равновесия устойчивы, при д > 0,р < 0 - неустойчивы. Если при этом 3 > 0, состояния равновесия -узлы, при 8 < 0 - фокусы. Выражения для р,д и 8 через параметры ММГ приводятся в диссертации.

Рис. 5 Диаграммы характера особых точек и резонансные кривые колебательной системы ММГ при линейной (а) и нелинейной (б) зависимости сил упругости от перемещения

чувствительного элемента Установлены условия захватывания (принудительной синхронизации) колебаний чувствительного элемента ММГ. Если условия захватывания не выполнены, осуществляется режим биений чувствительного элемента ММГ - движение с двумя частотами, одна из которых - частота вибрации основания, а другая - частота, близкая к частоте автоколебаний системы. Дано доказательство существования и единственности предельного цикла, соответствующего бигармоническому движению (биениям) чувствительного элемента ММГ, методом кривой контактов с использованием теоремы Пуанкаре-Дюляка.

В третьем разделе диссертации приведены результаты исследования влияния на динамику и точность ММГ нелинейных факторов - нелинейности характеристик сил

упругости элементов конструкции подвесов чувствительных элементов, электростатических сил и нелинейностей, обусловленных особенностями динамики чувствительных элементов на упругих подвесах В подразделах 3 1 и 3 2 рассматривается влияние нелинейной зависимости сил упругости подвеса и электростатических сил контура подстройки частот колебательной системы ММГ с поступательными движениями чувствительного элемента (рис 1) Предполагается, что корпус ММГ установлен на основании, совершающем вращение с постоянной угловой скоростью = Q относительно измерительной оси Характеристики сил упругости подвеса аппроксимируются полиномами Gx(x) = схх + к'хх2 ,Gy(y) = суу + к'уу3

Дифференциальные уравнения движения чувствительных элементов ММГ приводятся к системе дифференциальных уравнений с малым параметром, содержащих слагаемые с кубической нелинейностью позиционных сил Применяется метод медленно меняющихся коэффициентов Получены уравнения резонансных кривых и на основе теоремы Гурвица - условия устойчивости стационарных движений чувствительных элементов ММГ Обнаружены неустойчивые ветви резонансных кривых, явления скачков амплитуд и срывов колебаний чувствительных элементов ММГ, нелинейность характеристики выходного сигнала прибора - зависимость масштабного коэффициента прибора от измеряемой угловой скорости

Далее в разделе 3 диссертации исследуется динамика и погрешности роторных ММГ (рис 2), обусловленные нелинейными слагаемыми в дифференциальных уравнениях движения чувствительных элементов на упругих подвесах Исследование выполняется с учетом нелинейной зависимости сил упругости подвеса от перемещений чувствительного элемента Дифференциальные уравнения ротора записываются в виде

Са+ ца а+ (са -(В- Л)П2)а + (С + В~ A) Q 0 = L0 sin©? +

+ {С- А)(а/32 +2а'/3¡})-к'ааъ, (7)

2

Вр+ц0'р+(с11-{С-А)€12)/3-{С + В-А)О,а--{С-А)а где А, В, С - моменты инерции ротора относительно связанных с ротором осей xyz, Lq sin est - момент, создаваемый виброприводом возбуждения колебаний ротора, са, Ср, к'а, к'р - коэффициенты линейной и нелинейной составляющих жесткости упругого подвеса ротора, Q (Q = const) - измеряемая угловая скорость

Уравнения (7) приводятся к системе уравнений с малым параметром

(/г = ^sLt 2ha =i-2-) и применяется метод медленно меняющихся коэффициентов ю С

Получены уравнения резонансных кривых и на основании теоремы Гурвица - условия устойчивости стационарных движений ротора ММГ Установлена возможность возбуждения устойчивых стационарных колебаний ротора ММГ на неподвижном основании, обусловленных нелинейными слагаемыми в дифференциальных уравнениях движения Колебания ротора относительно оси измерения - вторичные колебания, преобразуются системой съема информации в выходной сигнал, представляющий собой ошибку прибора Установлено также, что обнаруженный режим стационарных колебаний ротора может возбуждаться в конструкциях ММГ, содержащих систему стабилизации параметров колебаний входного канала ММГ При проектировании ММГ следует учитывать возможность развития обнаруженных нелинейных явлений и производить выбор параметров прибора так, чтобы аномальные режимы колебаний чувствительного элемента не возбуждались

Аналогичные результаты о влиянии нелинейностей, обусловленных особенностями динамики чувствительного элемента на упругом подвесе, получены для камертонного ММГ (LR-ММГ) и приведены в подразделе 3 4 диссертации

В подразделе 3 5 диссертации исследуется динамика чувствительных элементов ММГ при полигармонических вибрациях основания и определяются вибрационные смещения положений равновесия чувствительных элементов Исследование проводится применительно к ММГ с вращательными движениями чувствительного элемента На основании дифференциальных уравнений движения чувствительных элементов ММГ, приведенных в первом разделе диссертации, получены уравнения первого и второго приближений Вибрационные смещения чувствительного элемента ММГ определяются из уравнений второго приближения усреднением правых частей этих уравнений на решениях уравнений первого приближения Приводятся рекомендации по выбору параметров приборов, обеспечивающих нормальный режим функционирования приборов при вибрационных воздействиях

В заключительном подразделе третьего раздела рассматривается динамика чувствительных элементов ММГ при узкополосных случайных воздействиях, вызванных вибрациями основания Предполагается, что ММГ с поступательными движениями чувствительного элемента функционирует в режиме стабилизации параметров колебаний входного канала В дифференциальных уравнениях движения чувствительного элемента ММГ учитываются слагаемые, обусловленные нелинейной зависимостью сил упругости подвеса и электростатических сил контура подстройки частот от перемещений чувствительного элемента Рассматривается динамика чувствительного элемента ММГ при поступательных вибрациях основания (П = 0) и при вращении основания относительно измерительной оси (Q^O,Cl = const), сопровождающемся линейными вибрациями Предполагается, что ускорение основания является узкополосным случайным процессом Wy(t) - A{t)sm(vt + (p{t)), где A(t) и <p(t) - медленно меняющиеся случайные процессы - амплитуда и фаза процесса Wy (t), v - средняя частота процесса W(t) В первом случае (0 = 0) решение уравнения движения чувствительного элемента ММГ находится с использованием квазистатического метода Получены уравнения резонансных кривых, выявлены неустойчивые ветви резонансных кривых и скачки амплитуд колебаний чувствительного элемента ММГ. Во втором случае (£2 Ф 0) применяется метод гармонической линеаризации Установлено, что при вращении основания ММГ относительно измерительной оси, сопровождающемся узкополосной случайной вибрацией в направлении оси измерения параметров колебаний чувствительного элемента, при условии медленной изменяемости параметров случайной вибрации осуществляется вибрационное сглаживание нелинейности, обусловленной нелинейной зависимостью сил упругости подвеса и электростатических сил от перемещений чувствительного элемента, - вибрационная линеаризация для случайного воздействия В условиях рассмотренного случайного воздействия нелинейная зависимость сил упругости и электростатических сил от перемещений чувствительного элемента ММГ не приводит к скачкам амплитуд колебаний чувствительного элемента

В четвертом разделе диссертации, включающем три подраздела, исследуются резонансные явления в динамике чувствительных элементов ММГ В подразделе 4 1 рассматривается динамика чувствительных элементов ММГ в условиях основного резонанса с учетом нелинейной зависимости сил упругости подвеса и электростатических сил контура подстройки частот от перемещений чувствительных элементов Предполагается, что корпус прибора установлен на основании, совершающем вращение с угловой скоростью О = const относительно измерительной оси Возбуждение колебаний чувствительного элемента осуществляется от внешнего генератора гармонических колебаний Дифференциальные уравнения движения чувствительных элементов ММГ приводятся к системе двух дифференциальных уравнений второго порядка с кубическими

нелинейностями с малым параметром и применяется метод медленно меняющихся коэффициентов. На основании исследования характера особых точек осредненной системы дифференциальных уравнений установлено, что при совпадении частоты вибровозбуждения с одной из главных частот (первой или второй) возбуждаются устойчивые гармонические колебания чувствительного элемента с этой частотой. Колебания с частотой, равной главной частоте, отличающейся от частоты вибровозбуждения, не возбуждаются.

При функционировании ММГ на подвижных объектах и при вибрационных испытаниях приборов чувствительные элементы подвергаются вибрационным воздействиям с переменной частотой, проходящей через резонансную зону. Динамика чувствительных элементов ММГ при прохождении частоты вибрационного воздействия через резонанс рассматривается в подразделе 4.2. Решение задачи производится в нелинейной постановке. Предполагается, что возбуждение колебаний чувствительного элемента ММГ осуществляется автогенераторной системой с управлением по обобщенной скорости, содержащей нелинейный элемент "sign". Кроме того, в дифференциальных уравнениях движения чувствительных элементов ММГ учитываются слагаемые, обусловленные нелинейной зависимостью сил упругости подвеса и электростатических сил от перемещений чувствительных элементов. Применяется асимптотический метод Боголюбова-Митропольского. Амплитудные кривые прохождения через резонанс при переменной частоте вибрационного воздействия v(r) = v0 + yz получены численным интегрированием осредненных уравнений с использованием программы Maple. На рис.6 представлены стационарные резонансные кривые и кривые прохождения через резонанс в прямом (у > 0, частота возрастает со временем) и обратном (у < 0, частота при увеличении времени убывает) направлениях при значениях параметров ММГ, близких к реальным. Анализ результатов расчетов показывает, что при медленном изменении частоты колебания основания ММГ амплитудная кривая прохождения через резонанс близка к стационарной резонансной кривой. Увеличение скорости прохождения через резонанс приводит к снижению максимальных отклонений чувствительного элемента ММГ.

6е-5 а, м стационарная резонансная

г=мо-5 кривая

КС 'A J ' ^ , у mWmtttMt—„^

Зе-5 Г = 1'Ю л

1е-5 1 / С V

° 0.8 1 1.2

а) б)

Рис. 6 Стационарная резонансная кривая и амплитудные кривые колебаний чувствительного элемента ММГ при прохождении через резонанс.

В линейной системе кривые прохождения через резонанс в прямом и обратном направлениях симметричны. Нелинейные факторы нарушают указанную симметричность. Причем, чем медленнее прохождение через резонанс, тем существеннее влияние нелинейных факторов. Уменьшение добротности колебательной системы ММГ приводит

стационарная резонансная

-Ы0"5 -5-10"' -МО"4

У=

к снижению максимальных отклонений чувствительного элемента ММГ при прохождении через резонанс

В заключительном подразделе раздела 4 диссертации исследуются нелинейные резонансные колебания чувствительного элемента, возникающие при вибрациях основания ММГ Рассматривается конструкция ММГ (Ю*.-ММГ) с вращательными движениями чувствительного элемента Предполагается, что корпус ММГ установлен на основании, совершающем высокочастотные гармонические вибрации Колебания чувствительного элемента ММГ исследуются в условиях демультипликационного резонанса, когда частота вибрационного воздействия равна удвоенной одной из собственных частот колебательной системы ММГ Применяется метод медленно меняющихся коэффициентов Получены уравнения для определения параметров стационарного движения чувствительного элемента ММГ в условиях рассматриваемого резонанса Исследование устойчивости стационарного движения производится на основе теоремы Гурвица

Показано, что условия возбуждения демультипликационного резонанса сохраняются в конструкциях ЯЯ-ММГ, содержащих системы стабилизации параметров канала возбуждения колебаний - первичных колебаний, чувствительных элементов

В заключении диссертации приведены результаты выполненных исследований

Список работ опубликованных по теме диссертации:

1 Лестев, М А Влияние нелинейностей упругих элементов подвеса на динамику и точность микромеханических гироскопов / М А Лестев Гироскопия и навигация, 2003, №4 (43), с 109-110

2 Лестев, МАК динамике микромеханического гироскопа / М А Лестев VI научная сессия аспирантов и соискателей ГУАП Сб докладов Т 1 Технич науки С -Пб , ГУАП, 2003, с 50-54

3 Лестев, М А Нелинейный параметрический резонанс в динамике микромеханического гироскопа / М А Лестев Изв вузов Приборостроение, 2004, №2, с. 36-42

4 Лестев, М А Динамика системы автогенерации колебаний микромеханического гироскопа / М А Лестев Международная конф "Четвертые Окуневские чтения" Тезисы докладов С-Пб, 2004, с 37

5 Лестев, МАК динамике микромеханических гироскопов при случайных воздействиях / М А Лестев Седьмая научная сессия аспирантов ГУАП Сб докладов Т 1 Технич науки С -Пб , ГУАП, 2004, с 40 - 43

6 Карелин, А П Влияние электростатической составляющей жесткости на динамику и погрешности микромеханического гироскопа / А П Карелин, М А Лестев Третий международный симпозиум Аэрокосмические приборные технологии Сб материалов С-Пб, 2004, с 285-287

7 Попова, И В Отечественные микромеханические гироскопы и акселерометры в авиакосмическом применении /ИВ Попова, А М Лестев, А П Карелин, М А. Лестев и др III конф "Микротехнологии в авиации и космонавтике" Тезисы выступлений, С -Пб , 2004, с 22-23

8 Карелин, А П Влияние электростатических сил на динамику и погрешности IX -микромеханических гироскопов / А П Карелин, М А Лестев Гироскопия и навигация, №1 (48), 2005, с 92

9 Карелин, А П Влияние электростатической составляющей жесткости на динамику и погрешности микромеханического гироскопа / А П Карелин, М А Лестев Навигация и управление движением Материалы докладов VI конф молодых ученых "Навигация и управление движением" / Под общ ред В Г Пешехонова - С -Пб ГНЦ РФ ЦНИИ "Электроприбор", 2005, с 149-153

10 Лестев, М А Динамика системы автогенерации колебаний микромеханического гироскопа / М А Лестев Международная конф "Четвертые Окуневские чтения" Материалы докладов Т1 Теоретическая и прикладная механика Балт гос технич университет С-Пб , 2005, с 77-84

11 Лестев, МАК динамике системы автогенерации колебаний микромеханического гироскопа / М А Лестев Восьмая научная сессия аспирантов ГУАП Сб докладов Т 1 Технические науки С -Пб , ГУАП, 2005, с 70-72

12 Лестев, М А Влияние нелинейностей подвеса и вибраций основания на динамику системы автогенерации колебаний микромеханических гироскопов / М А Лестев Гироскопия и навигация, №3 (50), 2005, с 78

13 Лестев, М А Влияние нелинейностей подвеса и вибраций основания на динамику системы автогенерации колебаний микромеханических гироскопов / М А Лестев. Материалы докладов VII конф молодых ученых "Навигация и управление движением" / Под общ ред В Г Пешехонова - С -Пб, ГНЦ РФ ЦНИИ "Электроприбор", 2006, с 150 -157

14 Лестев, М А Погрешности роторных микромеханических гироскопов, обусловленные нелинейными факторами / М А Лестев Гироскопия и навигация, 2006, №2 (53), с 91

15 Лестев, МАК теории резонанса в динамике микромеханических гироскопов / М А Лестев Сб докладов юбилейной научно - технической конференции ГУАП, С -Пб, ГУАП, 2006, с 44-46

16 Лестев, М А Динамика чувствительных элементов микромеханических гироскопов при прохождении через резонанс / М А Лестев Сб докладов международной конф , посвященной 100 - летию со дня рождения Н Н Поляхова С -Пб , 2006, с 139145

17 Лестев, А М Нелинейные проблемы динамики микромеханических гироскопов / Лестев А М , Лестев М А Сб докладов Научной сессии ГУАП С -Пб , ГУАП, 2006, с 46-49

18 Лестев, М А Вибрационное смещение положения равновесия чувствительного элемента микромеханического гироскопа // М А Лестев Гироскопия и навигация, 2007, №2 (57), с 98

19 Лестев, М А Влияние нелинейных факторов на динамику и точность микромеханических гироскопов // М А Лестев XIV С -Пб международная конф по интегр навигац системам С -Пб ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2007, с 22-23

20 Лестев, А М Нелинейные явления в динамике вибрационных микромеханических гироскопов // А М Лестев, А А Тихонов, М А Лестев Международный конгресс «Нелинейный динамический анализ - 2007» Тезисы докладов С -Пб, С-Пб ГУ, 2007, с 45

21 Лестев, М А Динамика микромеханических гироскопов при прохождении через резонанс//М А Лестев Вестник С-Петербург ун-та, 2007, сер 1,вып 4, с 138-143

22 Микромеханический гироскоп Патент на полезную модель 1Ш 30972 й01 С 19/56, приоритет от 04 02 2003 г / В А Бурцев, П Б Дергачев, А П Карелин, М А Лестев и др Бюл 19, опубл 10 07 2003

Подписано в печать 25 12 2007 Объем 1,0 печ л Тираж 100 экз Заказ № 114 Отпечатано в типографии ООО «КОПИ-Р», СПб, пер Гривцова 6 Б Лицензия ПЛД № 69-338 от 12 02 99г

Введение.

1. Конструктивные схемы и дифференциальные уравнения движения чувствительных элементов микромеханических гироскопов.

1.1. Общая характеристика конструкций микромеханических гироскопов.

1.2. Микромеханические гироскопы с поступательными движениями чувствительных элементов.

1.3. Микромеханические гироскопы с вращательными движениями чувствительных элементов.

1.4. Камертонный микромеханический гироскоп.

2. Динамика систем автогенерации колебаний чувствительных элементов микромеханических гироскопов.

2.1. Системы автогенерации колебаний чувствительного элемента ММГ с управлением по обобщенной скорости.

2.2. Система автогенерации с управлением по обобщенной координате.

2.3. Динамика системы автогенерации колебаний чувствительных элементов ММГ при вибрациях основания.

3. Влияние нелинейных факторов на динамику и точность микромеханических гироскопов.

3.1. Влияние нелинейностей упругих подвесов чувствительных элементов на динамику и выходные характеристики микромеханических гироскопов.

3.2. Влияние электростатических сил на динамику и точность гироскопов.

Актуальность темы. Микромеханические гироскопы (ММГ) -перспективные приборы современной микросистемной техники, интенсивно и динамично развивающегося научно-технического направления [5, 6, 13, 33, 41, 62, 63, 75, 76, 102, 103, 111, 112, 114-119, 125, 126]. Создание ММГ ознаменовано революционный процесс в современной инерциальной технологии [33]. Микромеханические гироскопы характеризуются уникально малыми массой и габаритами, низким потреблениям электроэнергии, возможностью функционирования в жестких условиях эксплуатации и на несколько порядков меньшей стоимостью, чем их традиционные аналоги. Область применения ММГ чрезвычайно широка. Применение ММГ позволяет решать проблему кардинального совершенствования существующих и создание принципиально новых систем стабилизации, ориентации, навигации и управления объектов различного назначения, обеспечивает существенное повышение их тактико-технических характеристик. Использование ММГ позволяет создавать малогабаритные системы ориентации и навигации невысокой стоимости для судов, летательных аппаратов различного назначения, мобильных роботов, автомобилей.

Исследования и разработки ММГ проводятся многими зарубежными фирмами и российскими научными центрами, предприятиями и университетами. Создание промышленных образцов ММГ основывается на решении многих теоретических, схемотехнических и конструкторско-технологических проблем. К настоящему времени решены основные вопросы принципов построения ММГ, созданы экспериментальные образцы ММГ [111, 112, 119, 126], освоен серийный выпуск ММГ рядом зарубежных фирм [6, 41, 141-146] и на первый план выступает проблема повышения точности ММГ и создание приборов навигационного класса точности [114-118]. Решение указанной проблемы наряду с реализацией мероприятий конструкторско-технологического и схемотехнического характера связано с проведением исследований динамики и погрешностей ММГ, основанных на строгом учете возмущений и факторов, оказывающих влияние на движение чувствительных элементов приборов. Строгие постановки задач исследования динамики и оценки точности ММГ, всесторонний учет обстоятельств механической природы при их решении приводят к нелинейным дифференциальным управлениям движения чувствительных элементов ММГ, содержащим разрывные и аналитические нелинейности. Разрывные нелинейности в дифференциальных уравнениях движения объясняются содержащимися в системах автогенерации колебаний чувствительных элементов ММГ нелинейными звеньями. Аналитические нелинейности объясняются нелинейной зависимостью сил упругости подвесов чувствительных элементов и электростатических сил от перемещений чувствительных элементов на упругих подвесах. Вместе с тем, основные теоретические результаты по исследованию динамики и погрешностей ММГ получены на основании линеаризованных дифференциальных управлений движения чувствительных элементов приборов [41, 75]. При экспериментальных исследованиях ММГ обнаруживаются явления, характеристик для нелинейных динамических систем: неустойчивые ветви резонансных кривых, срывы колебаний, скачки амплитуд и частот колебаний чувствительных элементов.

Выявление влияния нелинейностей на динамику чувствительных элементов и точность ММГ, установление особенностей динамики нелинейных систем в условиях функционирования на подвижных объектах - актуальная фундаментальная проблема механики гироскопических систем, имеющая важное значение для современного гироскопического приборостроения. На этом основании тема диссертации, посвященной исследованию влияния нелинейных факторов на динамику и точность микромеханических вибрационных гироскопов, выявлению особенностей динамики и исследованию погрешностей микромеханических гироскопов при функционировании в условиях вибраций и вращений объектов является важной и актуальной.

Состояние практических разработок и теоретических исследований микромеханических гироскопов. Теоретические исследования, практические разработки и производство микромеханических инерциальных датчиков параметров движения, к которым относятся ММГ, осуществляют российские научные центры, университеты и предприятия -НИИ проблем механики РАН [50, 51, 62, 63], НИИ прикладной механики им. акад. В. И. Кузнецова [38, 39, 102, 103], Раменское приборостроительное конструкторское бюро [16], ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор» [41-48, 64, 65, 71-74, 114-119], ЗАО «ГИРООПТИКА» совместно с Санкт-Петербургским государственным политехническим университетом [54, 58-60, 107, 125-127], НИИ физических измерений [66, 111, 112], Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана [67-69], Московский энергетический институт (технический университет) [105, 106], Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения [123, 132-134], Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет [96, 97, 99], Институт проблем точной механики и управления РАН [34-36], Тульский государственный университет [128, 129] и другие. Из зарубежный фирм лидирующее положение по разработкам и производству микромеханических датчиков занимают Draper Laboratory, Analog Devices, BEI Systran Donner, BAE Systems, Murata, Sagem, HSG-IMIT, LITIF [6, 33, 141-146] и другие.

Создание промышленных образцов ММГ основывается на решении большого круга теоретических, схемотехнических и конструкторско-технологических проблем. К настоящему времени опубликовано большое число работ, посвященных решению указанных проблем. Обзоры современного состояния теории, практических разработок и перспектив развития ММГ приводятся в публикациях [6, 41, 75, 76, 96, 125, 126, 134, 138, 140, 141-143]. Разработаны принципы функционирования ММГ, предложены конструктивные схемы и конструкции приборов этого типа, разработаны технологические процессы изготовления конструкций ММГ и произведена экспериментальная отработка технологических операций изготовления ММГ на основе современных групповых технологий твердотельной микроэлектроники, адаптированных к изделиям микромеханики, создана электроника систем генерации и стабилизации параметров колебаний чувствительных элементов, съема и преобразования выходной информации приборов.

Микромеханические гироскопы серийно выпускаются упомянутыми ранее зарубежными фирмами. Лаборатория им. Ч. Дрейпера (Draper Laboratory) производит исследования и разработки микромеханических инерциальных датчиков параметров движения с начала восьмидесятых годов прошлого столетия [6, 141-146]. К 1994 году В Лаборатории им. Ч. if

Дрейпера были созданы ММГ класса точности 300 гРау [141, 142]. В Ч(ЛС статье [143] приводятся сведения о разработках ММГ, характеризующихся стабильностью систематического дрейфа на уровне 0.5 гРад/с без термостатирования и на уровне 1 гра%ас с системой термостатирования.

Фирма BEI Systron Donner серийно выпускает микромеханические датчики угловой скорости QRS 11 класса точности ~ 10 гра/^ас ■ Фирма Murata выпускает две модификации пьезоэлектрических вибрационных гироскопов ENV- 05А и ENC - 05Е. Гироскопический датчик ENV- 05А характеризуется нестабильностью масштабного коэффициента ~ 0.5 % и относится к приборам класса точности 0.1 гРау . Микромеханический гироскоп университета Yamagata (Япония) имеет погрешность ~ ^гра/{ас- Фирма Analog Devices серийно выпускает две модификации

ММГ ADXRS 150 и ADXRS 300 с диапазонами измерений 150 град/ и С

300 гра^/; нестабильность масштабных коэффициентов приборов ~ 0.5 случайная составляющая нулевого сигнала ~ 0.2гра^/. Фирмой SAGEM разработана конструкция гироскопа Quapason™ со стабильностью дрейфа на уровне 0.06град/с [41]. Фирмами Bosch и HSG-IMIT (Германия) разработаны роторные ММГ. Микромеханический гироскоп MARS-RR фирмы HSG-IMIT характеризуется стабильностью дрейфа порядка

65град/ /час

В России экспериментальные образцы ММГ созданы ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор» совместно с французской фирмой TPONICS [119] и ЗАО «ГИРООПТИКА» совместно с Лабораторией микротехнологий Центра наукоемкого инжиниринга Санкт-Петербургского политехнического университета [126]. Конструкции ММГ разработаны в НИИ Прикладной механики им. акад. В. И. Кузнецова [39], Раменском приборостроительном конструкторском бюро [16]. В НИИ физических измерений изготовлены экспериментальные образцы гироэлементов, содержащих колебательные системы и модули аналоговой электроники, подготовлено производство для выполнения опытных образцов [66, 111, 112]. Экспериментальные образцы ММГ, разработанные ФГУП РФ ЦНИИ «Электроприбор» характеризуются следующими показаниями точности

0.18 град/ /

119]: случайная составляющая нулевого сигнала 'у^т, нестабильность нулевого сигнала 68 грау нестабильность масштабного

J /час' коэффициента 0.1 %. Опытные образцы ММГ ЗАО «ГИРООПТИКА» характеризуются [126] случайной составляющей нулевого сигнала ~ град/ /

И неста^ильностью масштабного коэффициента 0.5 %.

Приведенные технические характеристики позволяют отнести ММГ к приборам низкого класса точности и показывает, что, как отмечалось в статье [117], конечная цель разработок приборов этого типа - обеспечение навигационной точности, пока не достигнута. Вместе с тем, разработки ММГ уже достигли точностных характеристик, обеспечивающих решение многих задач управления движением, и по мере повышения точности, ММГ будут обеспечивать решения задач навигации [117, 118].

Таким образом, в современных условиях, когда решены основные вопросы принципов построения, конструирования и технологии изготовления ММГ, на первый план выступает проблема повышения точности ММГ и создание приборов навигационного класса точности. Решение указанной проблемы в значительной степени использует методы традиционно применяемые при разработках новых типов гироскопических приборов. Вместе с тем, учет факторов масштабирования, использование планарных конструкций и групповых микроэлектронных технологий изготовления чувствительных элементов, расширение областей применения микромеханических систем выдвигают новые проблемы теоретического и конструкторско-технологического характера. К ним относятся: выбор расчетных схем и расчетных моделей, наиболее полно учитывающих факторы, влияющие на технические характеристики приборов; оптимизация параметров конструкций, обеспечивающих требуемые динамические характеристики чувствительных элементов; выбор материалов с необходимыми физико-механическими характеристиками; поиск способов уменьшения влияния напряженно-деформированного состояния конструкций, технологических, температурных и иных факторов на точность и стабильность характеристик ММГ; выбор электронных элементов с минимальным уровнем собственных шумов.

Проблемы расчета и проектирования ММГ рассматривались в работах [44-47, 67-69, 71, 73, 75, 76, 119, 126]. Приведены аналитические соотношения и результаты конечно-элементного анализа для оценки параметров конструкции ММГ. Показана взаимосвязь проблем проектирования с микроэлектронными технологиями, используемыми при изготовлении конструкций ММГ. Специфические особенности технологии изготовления ММГ по сравнению с технологиями изготовления микроэлектронных изделий отмечены в статьях [1, 66, 96, 97, 121, 127]. Особенности технологии ММГ обусловлены тем, что конструкции ММГ являются трехмерными структурами, содержащими подвижные элементы. Кроме того, в конструкциях ММГ применяются разнородные конструкционные материалы - монокристаллический кремний, ситаллы, металлы, полимеры.

Вопросы проектирования сервисной электроники ММГ рассматривались в статьях [102, 134]. Электроника ММГ решает две основные задачи: возбуждение и стабилизация параметров колебаний чувствительных элементов и измерение, и преобразование выходной информации. Схемы систем возбуждения и стабилизации параметров колебаний чувствительных элементов ММГ анализировались в работах [64, 65, 73, 123, 134]. Съем информации в наиболее распространенных конструкциях ММГ, выполненных по кремниевой технологии, осуществляется с помощью емкостных датчиков перемещений, включенных по дифференциальной схеме [128, 129, 134].

Остановимся на результатах теоретических исследований динамики и погрешностей вибрационных ММГ. Теоретические основы вибрационных гироскопов изложены в книгах [14, 49, 113]. В статье [15] дан исторический обзор развития вибрационных гироскопов различных типов. Погрешности ММГ исследовались в работах [7, 30, 32, 34-36, 42-48, 58-60, 79-93, 105, 106, 120, 134]. В статьях [50, 51] определена принципиальная погрешность, обусловленная нелинейными слагаемыми в дифференциальных уравнениях движения гироскопов, присущая гироскопам, реализующим идею маятника Фуко, в том числе микромеханическим гироскопам. Погрешности ММГ, вызванные технологическими факторами и температурными воздействиями, анализировались в публикациях [7, 30, 32, 34-36]. В статьях [34-36] выявлены технологические и температурные факторы, оказывающие влияние на точность ММГ, даны оценки технологических погрешностей приборов этого типа, разработаны математические модели технологического и температурного дрейфов ММГ. Модели включают системы дифференциальных уравнений движения чувствительных элементов ММГ, формулы для составляющих угловой скорости дрейфа. Получены количественные оценки параметров дрейфа. Вопросы снижения температурных погрешностей ММГ анализировались в статьях [7, 34-36]. В публикации [7] рассматривались системы термостатирования ММГ, как наиболее радикального метода снижения температурных погрешностей приборов этого типа. Влияние вибрационных воздействий, вызванных колебаниями основания, на динамику и погрешности ММГ рассматривалось в статьях [42, 48]. О важности учета электростатических сил в микросистемной технике отмечается в работе [31]. В статье [139] установлено, что электростатические силы, возникающие на электродах виброприводов чувствительных элементов ММГ, изменяют значения коэффициентов в матрице суммарной (механической и электростатической) жесткости упругого подвеса чувствительного элемента и дана оценка влияния электростатических сил на параметры ММГ.

Как отмечалось ранее, основные теоретические результаты по исследования динамики и точности ММГ получены на основании линейных дифференциальных уравнений движения чувствительных элементов приборов. Строгие постановки задач приводят к нелинейным дифференциальным уравнениям движения чувствительных элементов ММГ, содержащим разрывные и аналитические нелинейности. Нелинейные задачи динамики и оценки точности ММГ рассматривались в ограниченном числе публикаций [40, 51, 105, 106, 123] и работах автора диссертации [58-60, 78-94].

Проблемам динамики традиционных гироскопических приборов и теории нелинейных колебаний динамических систем посвящено большое число монографий и статей, обзоры которых приведены в публикациях [21-24]. Основополагающие результаты по динамике гироскопических систем с разрывными нелинейностями принадлежат А. Н. Крылову, Е. J1. Николаи, А. Ю. Ишлинскому, Я. Н. Ройтенбергу, Н. В. Бутенину, Д. М. Климову, В. Ф. Журавлеву [20, 53, 55, 130]. Динамика и погрешности гироскопически^ систем с аналитическими нелинейностями рассматривались в работах Д. С. Пельпора, Я. JI. Лунца, И. В. Новожилова, С. А. Харламова, К. Магнуса и других отечественных и зарубежных ученых [21-24]. Исследованию внешних воздействий на динамические системы и вопросам синхронизации динамических систем посвящены монографии [9, 10]. Резонансные явления в динамике колебательных систем изучались В. О. Кононенко, Р. Ф. Ганиевым, К. В. Фроловым [2729]. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний рассматривались в монографиях [37, 98, 131]. Полученные результаты основаны на использовании методов аналитической механики, теории нелинейных колебаний и устойчивости движения, разработанных А. М. Ляпуновым, А. Пуанкаре, А. А. Андроновым, Н. М. Крыловым, Н. Н.

Боголюбовым, Ю.А. Митропольским и другими отечественными и зарубежными учеными [2, 3, 8, 12, 17, 53, 61, 95, 100, 108-110, 135].

В данной диссертационной работе методы аналитической механики и теории нелинейных колебаний применяются для решения нелинейных задач динамики, исследовании' погрешностей и оценкЬ точности вибрационных микромеханических гироскопов.

Цель работы заключается в исследовании нелинейных явлений в динамике чувствительных элементов ММГ на подвижном основании, анализе влияния на динамику и точность ММГ нелинейных факторов -нелинейностей звеньев систем автогенерации колебаний чувствительных элементов, нелинейностей характеристик сил упругости подвеса и электростатических сил, нелинейностей, обусловленных особенностями динамики чувствительных элементов ММГ на упругих подвесах, выработке рекомендаций по устранению нежелательных явлений в динамике чувствительных элементов ММГ.

Основные результаты диссертации. На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Результаты исследований систем автогенерации колебаний чувствительных элементов ММГ с управлением по обобщенной скорости и обобщенной координате при вращении основания ММГ. Диаграммы характера особых точек осредненных уравнений, исследование типов стационарных движений чувствительных элементов ММГ и условия их устойчивости, анализ резонансных кривых и явлений, происходящих при изменении параметров прибора и при динамической настройке ММГ, выполняемой изменением электростатической компоненты жесткости -скачков амплитуд и частот колебаний чувствительных элементов ММГ, явлений затягивания по частоте.

2. Анализ влияния вибраций основания на режимы системы автогенерации колебаний чувствительных элементов ММГ, установление условий захватывания (принудительной синхронизации) колебаний чувствительных элементов ММГ и доказательство существования предельного цикла, соответствующего бигармоническому движению чувствительного элемента ММГ.

3. Результаты исследований влияния нелинейностей характеристик сил упругости подвеса чувствительных элементов и электростатических сил контура подстройки частот на динамику и точность ММГ. Анализ появления неустойчивых ветвей резонансных кривых, срывов и скачков амплитуд колебаний чувствительных элементов ММГ, выявление влияния нелинейности характеристики сил упругости подвеса и электростатической компоненты жесткости на выходные характеристики прибора.

4. Анализ погрешностей ММГ, обусловленных нелинейными слагаемыми в дифференциальных уравнениях движения чувствительных элементов ММГ, объясняющихся особенностями динамики чувствительных элементов на упругом подвесе. Уравнения резонансных кривых и условия устойчивости стационарных движений, оценки погрешностей приборов.

5. Результаты исследований изменения положения равновесия чувствительных элементов ММГ при вибрационных воздействиях, вызванных колебаниями основания - вибрационных смещений положения равновесия чувствительных элементов. Оценки вибрационных смещений и рекомендации по выбору параметров конструкции ММГ.

6. Результаты исследования динамики чувствительных элементов ММГ при узкополосных случайных воздействиях, вызванных вибрациями основания. Объяснение явлений срыва колебаний и скачков амплитуд колебаний чувствительных элементов в условиях узкополосных случайных воздействий.

7. Анализ резонансных явлений в динамике чувствительных элементов ММГ. Уравнения амплитудных кривых стационарных движений чувствительных элементов ММГ и условия устойчивости стационарных движений в условиях основного резонанса. Результаты исследования влияния нелинейных факторов на динамику чувствительных элементов при прохождении через резонанс на вибрирующем основании. Анализ амплитудных кривых прохождения через резонанс при увеличении и уменьшении частоты вибрационного воздействия. Анализ динамики чувствительных элементов ММГ в условиях нелинейного (демультипликационного) резонанса.

Диссертация содержит четыре раздела, заключение и библиографический список. В первом разделе диссертации дается общая характеристика вибрационных микромеханических гироскопов (ММГ), отмечаются особенности конструкций ММГ, представляющих собой неразделимый комплекс, состоящий из чувствительного элемента и функциональной электроники, обеспечивающей требуемые условия работы чувствительного элемента и формирующей информационный выходной сигнал. Приводятся дифференциальные уравнения движения на подвижном основании чувствительных элементов ММГ с поступательными движениями чувствительных масс (LL-ММГ), с вращательными движениями чувствительных масс (RR-ММГ) и с комбинацией поступательного и вращательного движений (LR-ММГ). При составлении дифференциальных уравнений движения чувствительных элементов ММГ учитываются особенности задач, решаемых в последующих разделах диссертации.

Во втором разделе диссертации приведены результаты исследований динамики системы автогенерации колебаний чувствительных элементов ММГ с управлением по обобщенной скорости и обобщенной координате. В первой из систем управляющее электрическое напряжение подается на электроды электростатического вибропривода в виде импульсов, переключение знака которых осуществляется в моменты времени, когда обобщенная скорость равна нулю. Во второй системе управляющее напряжение подается на электроды вибропривода в моменты времени, когда равна нулю обобщенная координата. Схема, реализующая алгоритм функционирования системы автогенерации с управлением по обобщенной скорости содержит дифференцирующее звено и нелинейный элемент "sign", на вход которого подается сигнал, пропорциональный обобщенной скорости. Система автогенерации с управлением по обобщенной координате содержит элемент ("Hit crossing"), срабатывающий в моменты времени, когда равна нулю обобщенная координата. Длительность импульса определяется содержащимся в схеме преобразователем. Определены стационарные движения чувствительных элементов ММГ и исследована их устойчивость при вращении и вибрациях основания. Рассмотрены явления, происходящие при динамической настройке ММГ, выполняемой изменением электростатической компоненты жесткости. Выявлены скачки амплитуд и частот колебаний чувствительных элементов ММГ и явления затягивания по частоте. Рассмотрено влияние вибраций основания на режимы функционирования системы автогенерации колебаний. Установлены условия принудительной синхронизации (захватывания) и выявлен механизм захватывания при колебаниях основания ММГ. Установлены условия существования предельного цикла, соответствующего бигармоническому движению чувствительного элемента ММГ.

В третьем разделе диссертации приведены результаты исследования влияния на динамику и точность ММГ нелинейных факторов -нелинейности характеристик сил упругости элементов конструкции подвесов чувствительных элементов, электростатических сил и нелинейностями обусловленных особенностями динамики чувствительных элементов на упругих подвесах. Получены уравнения резонансных кривых и условия устойчивости стационарных движений чувствительных элементов ММГ, выявлены неустойчивые ветви резонансных кривых, срывы и скачки амплитуд колебаний чувствительных элементов, даны оценки влияния нелинейностей упругого подвеса и электростатических сил контура подстройки частот колебательной системы ММГ на выходные характеристики прибора. Исследованы погрешности ММГ, обусловленные нелинейными слагаемыми в дифференциальных уравнениях движения чувствительных элементов ММГ, получены уравнения резонансных кривых и условия устойчивости стационарных движения чувствительных элементов, приведены оценки, погрешностей приборов. Исследовано влияние вибраций основания на динамику чувствительных элементов ММГ и определены вибрационные смещения положений равновесия чувствительных элементов. Рассмотрена динамика чувствительных элементов ММГ при узкополосных случайных воздействиях вызванных колебаниями основания.

В четвертом разделе диссертации приведены результаты исследований \{ резонансных явлений в динамике чувствительных элементов ММГ. Рассмотрена динамика чувствительных элементов ММГ в условиях основного резонанса с учетом нелинейных слагаемых в дифференциальных уравнениях движения чувствительных элементов. Определены стационарные движения чувствительных элементов ММГ и условия устойчивости стационарных движений в условиях основного резонанса. Исследована динамика чувствительных элементов ММГ при вибрационных воздействиях, вызванных колебаниями основания с переменной частотой, проходящей в процессе изменения через частоту основного резонанса. Определены резонансные кривые при прямом и обратном прохождении через резонанс, отмечены особенности влияния нелинейностей характеристик сил упругости подвеса и электростатических сил контура подстройки частот на амплитудные кривые прохождения через резонанс. В заключительном подразделе этого раздела диссертации анализируется динамика чувствительного элемента ММГ в условиях нелинейного (демультипликационного) резонанса на вибрирующем основании. Приводятся условия устойчивости стационарного движения чувствительного элемента в условиях рассматриваемого резонанса.

Результаты диссертации отражены в публикациях автора [58-60, 78-94].

Работы [80-94] опубликованы без соавторов, приведенные в них результаты принадлежат автору диссертации. В публикациях [58, 59, 60] диссертанту принадлежат результаты аналитического исследования влияния электростатических сил на динамику и погрешности микромеханических гироскопов, соавтору, А. П. Карелину - результаты математического моделирования динамики чувствительных элементов ММГ с помощью вычислительной системы MATLAB/Simulink. В работах [78, 79] автору диссертации принадлежат результаты аналитических исследований и компьютерного моделирования, соавторам, А. М. Лестеву и А. А. Тихонову - постановки задач о влиянии нелинейных факторов на динамику и точность ММГ. В публикации [125] автору диссертации принадлежат результаты математического моделирования динамики ММГ, соавторам - результаты использования ММГ в авиакосмических навигационных системах. При подготовке заявки на получение патента на полезную модель [107] диссертантом выполнены расчеты параметров и проведено определение технических характеристик ММГ. Работы [60, 80, 82, 87, 89, 92] опубликованы в журналах рекомендованных ВАК (Перечень. Бюллетень ВАК 2005, №4, с. 1-23). Работа [94] опубликована в журнале, рекомендованном ВАК (Перечень. Бюллетень ВАК 2007, №1, с. 3-39).

Заключение

В заключение перечислим выполненные исследования и приведем основные результаты:

1. Получены нелинейные дифференциальные уравнения движения на подвижном основании чувствительных элементов ММГ с поступательными движениями чувствительных масс (LL-ММГ), с вращательными движениями чувствительных масс (RR-ММГ) и комбинацией поступательного и вращательного движений (LR-ММГ). В дифференциальных уравнениях движения чувствительных элементов сохранены слагаемые, обусловленные нелинейной зависимостью сил упругости подвеса и электростатических сил от перемещений чувствительных элементов, и слагаемые, объясняющиеся особенностями динамики чувствительных элементов на упругих подвесах.

2. Исследованы системы автогенерации колебаний чувствительных элементов ММГ с управлением по обобщенной скорости и с управлением по обобщенной координате. Определены стационарные движения чувствительных элементов ММГ при вращении и вибрациях основания прибора и исследована устойчивость стационарных движений. Рассмотрены явления, происходящие при динамической настройке ММГ, выполняемой изменением электростатической компоненты жесткости. Выявлены скачки амплитуд и частот колебаний чувствительных элементов ММГ и явления затягивания по частоте. Рассмотрено влияние вибраций основания на режимы системы автогенерации колебаний. Установлены условия принудительной синхронизации (захватывания) и выявлен механизм захватывания при колебаниях основания ММГ. Установлены условия существования предельного цикла, соответствующего бигармоническому движению чувствительного элемента ММГ.

3. Исследовано влияние нелинейностей характеристик сил упругости подвесов чувствительных элементов и электростатических сил контура подстройки частот на динамику и точность ММГ. Выявлены неустойчивые ветви резонансных кривых, срывы и скачки амплитуд колебаний чувствительных элементов ММГ, исследовано влияние нелинейностей характеристик сил упругости подвесов чувствительных элементов и электростатической компоненты жесткости на выходные характеристики прибора.

4. Выполнен анализ погрешностей ММГ, обусловленных нелинейными слагаемыми в дифференциальных уравнениях движения чувствительных элементов ММГ, объясняющихся особенностями динамики чувствительных элементов на упругих подвесах. Получены уравнения резонансных кривых и условия устойчивости стационарных движений, даны оценки ошибок приборов.

5. Выполнены исследования смещений положений равновесия чувствительных элементов ММГ при вибрационных воздействиях, вызванных колебаниями основания - вибрационных смещений положений равновесия чувствительных элементов, даны оценки вибрационных смещений и рекомендации по выбору параметров конструкций приборов.

6. Исследована динамика чувствительных элементов ММГ при узкополосных случайных воздействиях, вызванных вибрациями основания. Объяснены явления срыва колебаний и скачков амплитуд колебаний чувствительных элементов в условиях узкополосных случайных воздействий.

7. Выполнен анализ резонансных явлений в динамике чувствительных элементов ММГ. Получены уравнения амплитудных кривых стационарных движений чувствительных элементов ММГ и условия устойчивости стационарных движений в условиях основного резонанса. Исследована динамика чувствительных элементов ММГ при вибрационных воздействиях, вызванных колебаниями основания с переменной частотой, проходящей в процессе изменения через частоту основного резонанса. Определены резонансные кривые при прямом и обратном прохождении через резонанс, выявлены особенности влияния нелинейностей характеристик сил упругости подвеса чувствительного элемента и электростатических сил контура из подстройки частот колебательной системы ММГ на амплитудные кривые прохождения через резонанс.

8. Выполнен анализ динамики чувствительного элемента роторного ММГ в условиях нелинейного (демультипликационного) резонанса при функционировании прибора на вибрирующем основании. Получены условия устойчивости стационарного движения чувствительного элемента ММГ в условиях рассматриваемого резонанса.

1. Алферов, Ж. И. Наноматериалы и нанотехнологии / Ж. И. Алферов, A. JI. Асеев, С. В. Галопов, П. С. Коньев и др. Микросистемная техника, 2003, №8, с 3-13.

2. Андронов, А. А. Собрание трудов / А. А. Андронов. М.: Изд. АНСССР, 1956.-540 с.

3. Андронов, А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. М.: Наука, 1981. 568 с.

4. Ачилъдиев, В. М. Комбинированный микромеханический гироскоп-акселерометр для инерцальных измерительных систем / В. М. Ачилъдиев, В. Н. Дрофа. Космонавтика и ракетостроение, 1995, №5, с. 79-83.

5. Ачилъдиев, В. М. Микромеханический вибрационный гироскоп-акселерометр / В. М. Ачильдиев, В. Н. Дрофа, В. М. Рублев. Микросистемная техника, 2001, №5, с. 8 — 10.

6. Бабур, Н. Направления развития инерциальных датчиков / Н. Бабур, Дж. Шмидт. Гироскопия и навигация, 2000, №1 (28), с. 3 -15.

7. Барулина, М'. А. Математические модели систем терморегулирования микромеханических гироскопов / М. А. Барулина, В. Э. Джашитов, В. М. Панкратов. Гироскопия и навигация, 2002, №3 (38), с. 48 -59.

8. Баутин, Н. Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович. М.: Наука, 1976. -496 с.

9. Блехман, И. И. Синхронизация динамических систем / И. И. Блехман. М.: Наука, 1971. 896 с.

10. Блехман, И. И. Вибрационная механика / И. И. Блехман. М.: Физматгиз, 1994. 400 с.

11. Болотин, В. В. Параметрические резонансы в автоколебательных системах / В. В. Болотин. Изв. АНСССР, Мех. тв. тела, 1984, №5, с. 3 -10.

12. Боголюбов, Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. М.: Наука, 1974. 504 с.

13. Бочаров, Л. Ю. Состояние и перспективы развития микроэлектромеханических систем за рубежом / JI. Ю. Бочаров, П. П. Мальцев. Микросистемная техника, 1999, №1, с. 41 46.

14. Брозгулъ, Л. И. Вибрационные гироскопы / JI. И. Брозгуль, Е. JL Смирнов. М.: Машиностроение, 1970. 216 с.

15. Брозгулъ, Л. И. Вибрационные гироскопы. В кн.: История механики гироскопических систем / Л. И. Брозгуль, Е. Л. Смирнов. М.: Наука, 1975, с. 43 - 60.

16. Будкин, В. Л. Разработка кремневых датчиков первичной информации для систем навигации и управления / В. Л. Будкин, В. А. Паршин, С. А. Прозоров, А. К. Саломотин, В. М. Соловьев. Гироскопия и навигация, 1998, №3 (22), с. 149-153.

17. Булгаков, Б. В. Колебания / Б. В. Булгаков. М.: Гос. изд. технико теор. лит., 1954. - 892 с.

18. Бутенин, Н. В. К теории вынужденных колебаний в нелинейной механической системе с двумя степенями свободы / Н. В. Бутенин. Прикладная математика и механика, 1949, т. 13, вып. 4, с. 337 348.

19. Бутенин, Н. В. К теории "резонанса" в механической автоколебательной системе с гироскопическими членами / Н. В.

20. Бутенин. Прикладная математика и механика, 1950, т. 14, вып. 1, с. 45-56.

21. Бутенин, Н. В. Элементы теории нелинейных колебаний / Н. В. Бутенин. JL: Судпромгиз, 1962. 196 с.

22. Бутенин, Н. В. Нелинейные задачи динамики гироскопических систем / Н. В. Бутенин, Д. М. Климов, Я. Л. Лунц, Н. П. Степаненко. В кн.: Развитие механики гироскопических и инерциальных систем. М.: Наука, 1973, с. 379 -401.

23. Бутенин, Н. В. Успехи механики гироскопических и инерциальных систем в СССР / Н. В. Бутенин, Д. М. Климов. Изв. вузов. Приборостроение, 1977, т. 20, №10, с. 69 96.

24. Бутенин, Н. В. Динамика нелинейных гироскопических систем при полигармонических и случайных колебаниях основания / Н. В. Бутенин, А. М. Лестев. Изв. вузов. Прибостроение, 1982, т. 24, №8, с. 59 64.

25. Бутенин, Н. В. Некоторые итоги исследований нелинейных задач прикладной теории гироскопов за 50 лет / Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц. Изв. вузов. Приборостроение, 1967, т. 10, №10> с. 79 -91.

26. Бутенин, Н. В. Введение в теорию нелинейных колебаний / Н. В. Бутенин, Ю. И. Неймарк, Н. А. Фуфаев. М.: Наука, 1987, с. 384.

27. Вибрации в технике: Справочник. Т.2. Колебания нелинейных механических систем / Под ред. И. И. Блехмана. М.: Машиностроение, 1979.-351 с.

28. Ганиев, Р. Ф. Колебания твердых тел / Р. Ф. Ганиев, В. О. Кононенко. М.: Наука, 1976. 432 с.

29. Ганиев, Р. Ф. Резонансные колебания гироскопических систем / Р. Ф. Ганиев, В. М. Воробьев, А. Н. Лютый. Киев: Наукова Думка, 1979. 185 с.

30. Ганиев, Р. Ф. Динамика систем твердых и упругих тел / Р. Ф.

31. Ганиев, П. С. Ковальчук. М.: Машиностроение, 1980. 208 с.

32. Глыбин, И. Г. Микромеханический вибрационный гироскоп с малым уровнем полях от возбуждения / И. Г. Глыбин, А. С. Неаполитанский, Б. В. Хромов. Гироскопия и навигация, 2000, №4 (31), с. 150.

33. Градецкий, В. Г. Динамические процессы в многозвенных микросистемах / В. Г. Градецкий, Л. Н. Кравчук, М. М. Пушкин. Микросистемная техника, 2000, №4, с. 10 15.

34. Деист, Дж. Революция в разработке усовершенствованных систем наведения / Дж. Дейст, Дж. Уомбл. Аэрокосмич. техника, 1991, №4, с. 93-97.

35. Джашитов, В. Э. Влияние температурных и технологических факторов на точность микромеханических гироскопов / В. Э. Джашитов, А. М. Лестев, В. М. Панкратов, И. В. Попова. Гироскопия и навигация, 1999, №3, (26). С. 3 16.

36. Джашитов, В. Э. Математические модели теплового дрейфа гироскопических датчиков инерциальных систем / В. Э. Джашитов, В. М. Панкратов. Под ред. В. Г. Пешехонова. С.-Пб.: ГНЦРФ ЦНИИ "Электроприбор", 2001, 150 с.

37. Джашитов, В. Э. Расчет температурных и технологических погрешностей микромеханических гироскопов / В. Э. Джашитов, А. М. Лестев, В. М. Панкратов, И. В. Попова. Микросистемная техника, 2001, Ш, с. 2 -10. .

38. Диментберг, М. Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний / М. Ф. Диментберг. М.: Наука, 1980. -386 с.

39. Доронин, В. П. Основные проблемы создания миниатюрного измерительного прибора на базе микромеханических чувствительных элементов / В. П. Доронин, JI. 3. Новиков, С. А. Харламов. Гироскопия и навигация, 1996, №4 (15), с. 55.

40. Драгунов, В. П. Нелинейная динамическая модель упругого элемента микромеханических систем / В. П. Драгунов. Микросистемная техника, 2004, №10, с. 23 29.

41. Евстифеев, М. И. Погрешности микромеханического гироскопа на вибрирующем основании / М. И. Евстифеев. Гироскопия и навигация, 2002, №2 (37), с. 19 — 25.

42. Евстифеев, М. И. Оценка порога чувствительности микромеханических гироскопов / М. И. Евстифеев. Гироскопия и навигация, 2003, №1 (40), с. 27-33.

43. Евстифеев, М. И. Проблемы расчета и проектирования микромеханических гироскопов / М. И. Евстифеев. Гироскопия и навигация, 2004, №1 (44), с. 27- 39.

44. Евстифеев, М. И. Требования к точности изготовления упругого подвеса микромеханического гироскопа / М. И. Евстифеев, А. А. Унтилов. Гироскопия и навигация, 2003, №3 (43), с. 24-31.

45. Егармин, Н. Е. Введение в теорию вибрационных гироскопов / Н. Е. Егармин, В. Е. Юрин. М.: БИНОМ, 1993. 111 с.

46. Журавлев, В. Ф. Волновой твердотельный гироскоп / В. Ф. Журавлев, Д. М. Климов. М.: Наука, 1985. 125 с.

47. Журавлев, В. Ф. Прикладные методы в теории колебаний / В. Ф. Журавлев, Д. М. Климов. М.: Наука. 1998. 328 с.

48. Ишлинский, А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация / А. Ю. Ишлинский. М.: Наука, 1976. 672 с.

49. Ишлинский, А. Ю. Классическая механика и силы инерции / А. Ю. Ишлинский. М.: Наука, 1987. 320 с.

50. Капица, П. Л. Динамическая устойчивость маятника при колебаниях точки подвеса / П. Л. Капица. Журнал эксперим. и теоретич. физики, 1S51, т. 21, вып. 5, с. 588 597.

51. Пешехонова С.-ГО.: ГНЦ РФ ЦНИИ "Электроприбор", 2005, с. 149- 153.

52. Карелин, А. П. Влияние электростатических сил на динамику и погрешности LL-микромеханических гироскопов / А. П. Карелин, М. А. Лестев. Гироскопия и навигация, №1 (48), 2005, с. 92.

53. Каудерер, Г. Нелинейная механика / Г. Каудерер. М.: Изд. иностр. лит., 1961. 777 с.

54. Климов, Д. М. Механика и новые технологии / Д. М. Климов. Вестник РАН, 1999, т. 69, №12, с. 1069 1080.

55. Климов, Д. М. Перспективы развития микросистемной техники в XXI веке / Д. М. Климов, А. А. Васильев, В. В. Лучинин, П. П. Мальцев. Микросистемная техника, 1999, №1, с. 3 -6.

56. Ковалев, А. С. Исследование схем возбуждения первичных колебаний ротора микромеханического гироскопа в режиме автогенерации / А. С. Ковалев, Ю. В. Шадрин. Материалы V конф. молодых ученых "Навигация и управление движением" /

57. Под общ. ред. В. Г. Пешехонова С.-Пб: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2004, с. 87-92.

58. Козин, С. А. Технология МЭМС в разработках интегральныхдатчиков механическихпараметров / С. А. Козин.

59. Микросистемная техника, 2003, № 11, с. 10-14.

60. Коновалов, С. Ф. Опыт разработки навигационных приборов на базе монокристалла кремния / С. Ф. Коновалов, Т. Н. Лаптев, И. И. Медведева, Г. Н. Новоселов и др. Микросистемная техника, 2001, №4, с. 19-25.

61. Коновалов, С. Ф. Вибрационные датчики угловой скорости / С. Ф. Коновалов, А. В. Кулешов, Н. А. Носов, В. П. Подчезерцев и др. Гироскопия и навигация, 2004, №1 (44), с. 107 118.

62. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1973. 832 с.

63. Кучерков, С. Г. Определение необходимой степени вакуумирования рабочей полости осциллятора микромеханического гироскопа / С. Г. Кучерков. Гироскопия и навигация, 2002, № 1(35), с. 52-56.

64. Кучерков, С. Г. Использование интегрирующих свойств вибрационного микромеханического гироскопа с резонансной настройкой при построении датчика угловой скорости компенсационного типа / С. Г. Кучерков. Гироскопия и навигация, 2002, №2 (36), с. 12 18.

65. Лестев, А. М. Современное состояние теории и практических разработок микромеханических гироскопов / А. М. Лестев, И. В. Попова. Гироскопия и навигация, 1998, №3 (22), с. 81 94.

66. Лестев, А. М. Разработка и исследование микромеханического гироскопа / А. М. Лестев, И. В. Попова, Е. Н. Пятышев, М. С. Лурье, А. А. Семенов, М. И. Евстифеев. Гироскопия и навигация, 1999, №2 (10), с. 3 10.

67. Лестев, А. М. Особенности микромеханических гироскопов / А. М. Лестев, И. В. Попова, М. И. Евстифеев, Е. Н. Пятышев, М. С. Лурье, А. А. Семенов. Микросистемная техника, 2000, №4, с. 16-18.

68. Лестев, А. М. Нелинейные проблемы динамики микромеханических гироскопов / А. М. Лестев, М. А. Лестев. Сб. докладов юбилейной научно технической конференции ГУАП, С.-Пб., 2006, с. 46- 4Р.

69. Лестев, А. М. Нелинейные явления в динамике вибрационных микромеханических гироскопов // А. М. Лестев, А.

70. Лестев, М. А. К динамике микромеханического гироскопа / М. А. Лестев. VI научная сессия аспирантов и соискателей ГУАП: Сб. докладов. Т.1. Технич. науки. С.-Пб., ГУАП, 2003, с. 50 54.

71. Лестев, М. А. Нелинейный параметрический резонанс в динамике микромеханического гироскопа / М. А. Лестев. Изв. вузов. Приборостроение, 2004, №2, с. 36 42.

72. Лестев, М. А. Динамика системы автогенерации колебаний микромеханического гироскопа У М. А. Лестев. Международная конф. "Четвертые Окуневские чтения". Тезисы докладов. С.-Пб., 2004, с. 37.

73. Лестев, М. А. К динамике микромеханических гироскопов при случайных воздействиях / М. А. Лестев. Седьмая научная сессия аспирантов ГУАП: Сб. докладов. Т.1. Технич. науки. С.-Пб., ГУАП, 2004, с. 40-43.

74. Лестев, М. А. К динамике системы автогенерации колебаний микромеханического гироскопа / М. А. Лестев. Восьмая научнаясессия аспирантов ГУАП: Сб. докладов. Т. 1.Технические науки. С.-Пб., ГУАП, 2005, с. 70 72.

75. Лестев, М. А. Влияние нелинейностей подвеса и вибраций основания на динамику систем автогенерации колебаний микромеханических гироскопов / М. А. Лестев. Гироскопия и навигация, №3 (50), 2006, с. 78.

76. Лестев, М. А. Погрешности роторных микромеханических гироскопов, обусловленные нелинейными факторами / М. А. Лестев. Гироскопия и навигация, 2006, №2 (53), с. 91.

77. Лестев, М. А. К теории резонанса в динамике микромеханических гироскопов / М. А. Лестев. Сб. докладов юбилейной научно технической конференции ГУАП, С.-Пб., ГУАП, 2006, с. 44-46.

78. Лестев, М. А. Динамика чувствительных элементов микромеханических гироскопов при прохождении через резонанс / М. А. Лестев. Сб. докладов международной конф., посвященной 100 летию со дня рождения Н. Н. Поляхова. С.-Пб., 2006, с. 139145.

79. Лестев, М. А. Вибрационное смещение положения равновесия чувствительного элемента микромеханического гироскопа // М. А. Лестев. Гироскопия и навигация, 2007, №2 (57), с. 98.

80. Лестев, М. А. Влияние нелинейных факторов на динамику и точность микромеханических гироскопов // М. А. Лестев, XIV С.-Пб. Международная конф. по интегрир. навигац. системам. С.-Пб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2007, с. 22-23.

81. Лестев, М. А. Динамика микромеханических гироскопов при прохождении через резонанс // М. А. Лестев. Вестник С.Петербург. ун-та, 2007, сер. 1, вып. 4, с. 138-143.

82. Лурье, А. И. Аналитическая механика / А. И. Лурье. М.: Наука, 1961 824 с.

83. Лучинин, В. В. Микросистемная техника, направления и тенденции развития / В. В. Лучинин. Научное приборостроение, 1999, т. 9, №1, с. 3-18.

84. Лучинин, В. В. Особенности материаловедческого и технологического базиса микросистем / В. В. Лучинин. Микросистемная техника, 1999, №1, с. 7 11.

85. Малахов, А. Н. Флуктуации в автоколебательных системах / А. Н. Малахов. М.: Наука, 1968. 660 с.

86. Малкин, И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний / И. Г. Малкин. М.: Гос. изд. технико теор. лит., 1956, - 492 с.

87. Мандельштам, Н. Д. Папалекси. Журнал эксперим. и теоретич. физики, 1934, Т.4, в.2, с. 117-122.

88. Мезенцев, А. П. Основные проблемы создания измерительных блетсов на базе микромеханических гироскопов и акселерометров / А. П. Мезенцев, В. П. Доронин, JI. 3. Новиков, С. А. Харламов и др. Гироскопия и навигация, 1997, №1 (16), с. 7 15.

89. Мельников, Г. И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем / Г. И. Мельников. Л.: Машиностроение, 1975. 200 с.

90. Меркурьев, И. В. Нелинейные эффекты в динамике микромеханического гироскопа / И. В. Меркурьев, В. В. Подалков. Вестник МЭИ, 2004, №2, с. 5 10.

91. Микромеханический гироскоп. Патент на полезную модель RU 30972 G01 С 19/56, приоритет от 04.02.2003 г. / В. А. Бурцев, П. Б. Дергачев, А. П. Карелин, М. А. Лестев и др. Бюл. 19, опубл. 10.07.2003.

92. Митрополъский, Ю. А. Нестационарные процессы в нелинейных колебательных системах / Ю. А. Митропольский. Киев: Изд. АН УССР, 1955. 284 с.

93. Митропольский, Ю. А. Проблемы-асимптотической теории нестационарных колебаний / Ю. А. Митропольский. М.: Наука, 1964.- 432с.

94. Митрополъский, Ю. А. Исследование нестационарных колебаний в нелинейных системах / Ю. А. Митропольский. Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Т.Ш, Киев, Изд. АН УССР, 1963, с. 241 271.

95. Мокрое, Е. А. НИИ физических измерений. Специализация -космические датчики / Е. А. Мокров. Датчики и системы, 2000, №1, с. 28-30.

96. Мокров, Е. А. Проблемы и перспективы датчиковой аппаратуры / Е. А. Мокров. Микросистемная техника, 2003, №9, с. 11-17.

97. Неаполитанский, А. С. Микромеханические вибрационные гироскопы / А. С. Неаполитанский, Б. В. Хромов. М.: "Когито -центр", 2002, 122 с.

98. Пешехонов, В. Г. Ключевые задачи современной автономной навигации / В. Г. Пешехонов. Гироскопия и навигация, 1996, №1 (12), с. 48 55.

99. Пешехонов, В. Г. Микромеханические гироскопические приборы и задачи навигации / В. Г. Пешехонов. Гироскопия и навигация, 1996, №3 (14), с. 128.

100. Пешехонов, В. Г. Современная автономная навигация. Проблемы и перспективы / В. Г. Пешехонов. Механика и навигация. Материалы научной сессии, посвященной 85 летию А. Ю. Ишлинского. С.-Пб., 1999, с. 13 -22.

101. Пешехонов, В. Г. Проблемы и перспективы современной гироскопии / В. Г. Пешехонов. Изв. вузов. Прибостроение, 2000, т. 43, №1-2, с. 48-55.

102. Пешехонов, В. Г. Гироскопы начала XXI века / В. Г. Пешехонов. Гироскопия и навигация, 2003, №4 (43), с. 5 -18.

103. Плеханов, В. Ц. Анализ путей повышения точности микромеханческих датчиков на основе модели погрешностей одного типа микрогироскопа / В. Ц. Плеханов. Оборонная техника, 1995, №8, с. 11 14.

104. Погалов, А. И. Разработка микрогироскопов на основе многослойных структур кремния и стекла / А. И. Погалов, В. П. Тимошенков, С. П. Тимошенков, Ю. А. Чаплыгин. Микросистемная техника, 1999, №1, с. 36 41.

105. Поляхов, Н. Н. Теоретическая механика / Н. Н. Поляхов, С. А. Зегжда, М. П. Юшков. Под ред. П. Е. Товстика. М.: Высшая школа, 2000. 592 с.

106. Пономарев, В. К. Автогенерация и стабилизация первичных колебаний в микромеханическом гироскопе вибрационного типа / В. К. Пономарев. Третий международный симпозиум: Аэрокосмические приборные технологии. Сб. материалов. С.-Пб., 2004, с. 289 292.

107. Попов, Е. П. Прикладная теория управления в нелинейных системах. / Е. П. Попов. М.: Наука, 1973. 584 с.

108. Пятышев, Е. Н. Специфика технологии микромеханических устройств / Е. Н. Пятышев, М. С. Лурье, И. В. Попова, А. Н. Казакин. Прикладная физика, 2000, №2, с. 133 137; Микросистемная техника, 2001, №6, с. 32 - 34.

109. Распопов, В. Я. Микромеханические приборы: учебное пособие / В. Я. Распопов. Тула: Тульский гос. университет, 2002. -392 с.

110. Распопов, В. Я. Влияние электростатических сил на параметры микромеханических гироскопов / В .Я. Распопов. Изв. вузов. Приборостроение, 2003, №9, с. 29 33.

111. Ройтенберг, Я. Н. Гироскопы / Я. Н. Ройтенберг. М.: Наука, 1975. 592с.

112. Свешников, А. А. Прикладные методы теории случайных функций / А. А. Свешников. М.: Наука, 1968. 464 с.

113. Северов, Л. А. Динамика одномерных микромеханических гироскопов / Л. А. Северов, В. К. Пономарев, А. И. Панферов. Тр. 1-й международной (III Всероссийской) конф. по электромеханотронике. С.-Пб., 1997, с. 314 320.

114. Северов, Л. А. Динамика двумерных микромеханических гироскопов / Л. А. Северов, В. К. Пономарев, А. И. Панферов. Тр. 1-й международной (III Всероссийской) конф. по электромеханотронике. С.-Пб., 1997, с. 321 326.

115. Северов, Л. А. Микромеханические гироскопы: конструкции, характеристики, технологии, пути развития / Л. А. Северов, В. К. Пономарев, А. И. Панферов, С. Г. Кучерков и др. / Изв. вузов. Приборостроение, 1998, т. 41, №1 -2, с. 57-73.

116. Стокер, Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах / Дж. Стокер. М.: Изд. иностр. лит., 1952. -261 с.

117. Харламов, С. А. О движениях микромеханического вибрационного гироскопа / С. А. Харламов. IX С.-Пб. международная конф. по интегрир. навигац. системам, С.-Пб.: ГНЦ РФ ЦНИИ "Электроприбор", 2002, с. 210 212.

118. Чичинадзе, М. В. Проблемы и задачи в области прикладной гироскопии / М. В. Чичинадзе. Гироскопия и навигация, 1998, №1 (20), с. 22 -25.

119. Шалобаев, Е. В. Микросистемная техника и мехатроника: особенности соотношения микро- и макроуровней / Е. В. Шалобаев. Микросистемная техника, 2000, №4, с. 5 9.

120. Шелепин, Н. А. Кремневые преобразователи физических величин и компоненты датчиков. Датчики и микросистемы на их основе / Н. А. Шелепин. Микросистемная техника, 2002,№9, с 210.

121. Barbour, N. Inertial instruments: where to now? / Barbour N., Elwell L, Setterlund R., Schmidt G. // 1 St. Petersburg International conf/ on gyroscopic technology, May 1994, p. 13-24.

122. Barbour, N. Madden P., Scha M. Development of a micromechanical gyro package with GPS for small paining satellites. Гироскопия и навигация, № 2(13), 1996, с. 7-15 (Русск. перевод там же, с. 16-25).

123. Berstein, I. Comb drive micromechanical tuning fork gyro / Bernstein I., Weinberg M. // Пат. 5349855 США. The Charles Stark Draper Laboratory, Inc., Cambridge. Заявл. 07.04.1992. Опубл. 27.09.1994.

124. Connelly, I. Manufacturing micromachined inertial sensor systems / Connelly I., Barbour N., Brand G. // 4-nd St. Petersburg International conf/ on gyroscopic technology and navigation, May1997, p. 362-370.