Решение плоских смешанных задач для квазилинейных параболических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Абдусаламов, Халимбек Абдусаламович АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Махачкала МЕСТО ЗАЩИТЫ
2000 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.02 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «Решение плоских смешанных задач для квазилинейных параболических систем»
 
 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Абдусаламов, Халимбек Абдусаламович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА И СВЯЗАННЫЕ С НЕЮ ПОСТРОЕНИЯ.

§ 1. Постановка общей проблемы.

§ 2. Матрица Грина вспомогательной спектральной задачи.

§ 3. Оценки функции Грина, полюсы.

§4. Леммы об основных интегралах, связанных с матрицей Грина.

§5. Интегральное представление и разложения в ряды непрерывной вектор-функции.

ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ И ЕЕ ОЦЕНКИ.

§ 1. Представление решения через функцию Грина.

§2. Разложения в ряды.;.

§3. Оценки решения линейной смешанной задачи.

§4. Оценка производной решения линейной задачи.

§5. Леммы о дифференцируемое™ специальных интегралов.

ГЛАВА III. СВЕДЕНИЕ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ И ЕЕ РАЗРЕШИМОСТЬ.

§ 1. Интегро-дифференциальное уравнение задачи (1)-(3).

§2. Система интегральных уравнений.

§3. Заключительные теоремы.

 
Введение диссертация по математике, на тему "Решение плоских смешанных задач для квазилинейных параболических систем"

Изучение смешанных задач для параболических уравнений относится к классическим проблемам уравнений математической физики. Разные аспекты этой проблемы не покидают поле деятельности многих математиков. Так укажем работы [15], [16], [25], [28], [32] относящиеся к случаю линейных задач. В последние годы наметилась интенсивность в изучении задачи для нелинейных параболических уравнений. Это вызвано в частности их многочисленными приложениями: в вопросах моделирования процессов диффузии и химических превращениях, при моделировании биологических процессов, процессов теплообмена и других областях, см. [6], [33]-[36].

Известны ряд методов решения смешанных задач, хорошо отражающие и развитие математической науки, метод интегральных преобразований, операторные методы, метод Галеркина, метод конечных разностей, метод Фурье и другие, см. [7]-[9], [14], [15], [25], [32]. Отметим важные фундаментальные исследования О.А.Ладыженской, В.А.Солонникова, Н.Н.Уральцевой и их учеников, [19]-[21] по квазилинейным параболическим уравнениям общего вида методом априорных оценок. Особое место принадлежит также методу Фурье, связанному с большим математическим аппаратом и являющимся удобным и мощным инструментом исследования задач математической физики. Исчерпывающие результаты по обоснованию метода Фурье для линейных задач с разделяющимися переменными получены В.А.Ильиным [16].

В работах С.Н.Бернштейна, З.И.Халилова, Ю.Ф.Коробейника и их последователей [9], [13], [18], [22], [29], [30], разработан обобщенный метод Фурье, сводящий решение как линейных так и нелинейных задач к решению бесконечной системы интегральных уравнений.

Разрешимость этих уравнений исследуется в определенных банаховых пространствах. Необходимым условием реализации этого метода является «самосопряженность главной пространственной части задачи».

Отметим, что в работах предыдущих авторов, относящихся к обобщенному методу Фурье для нелинейных задач, случай задачи для параболических систем вообще не рассматривался ввиду несамосопряженности ее пространственного оператора.

В данной диссертации перенесен на случай плоских параболических систем метод решения, предложенный А.И.Вагабовым, [10]-[12]. Этот метод является дальнейшим развитием обобщенного метода Фурье предыдущих работ и действует в комбинировании с методом интегральных преобразований типа Лапласа. Существенным отличием диссертации является также то, что в ней удалось построить решение линейной части задачи в виде суммы простого ряда экспонент. Это обстоятельство определяет конструктивный характер всех последующих построений и теорем, в отличие, скажем, от работ относящихся к методу априорных оценок. Квазилинейная задача сведена нами к системе двух матричных интегральных уравнений (а не к бесконечной, как в традиционном обобщенном методе Фурье), решаемой по алгоритму последовательных приближений. Простота построенной системы, вместе с полученными оценками решений в линейном случае, позволила, при минимальных требованиях на нелинейные слагаемые (не предполагающих априорных ограничений роста доказать в нашем случае теорему существования и единственности и явно указать простые выражения временных границ в этой теореме.

В ходе решения задачи разработан новый значительный аналитический аппарат, представляющий самостоятельный интерес.

Дадим краткое изложение содержания работы и ее существенных сторон, изложенных в трех главах.

Проблемой диссертации является исследование квазилинейной параболической системы А дг ~ дх1 / г,х, у, V ду дх

1)

0<х<1, с граничными и начальными условиями. = 0<х<1,

2) (3) где А-пхп - вещественная постоянная матрица с различными характеристическими числами 0., г = 1,п, вещественные части которых положительны; V, /, ср - п -мерные столбцы, ф(х) е С1 [0,1], р(0) - (р(1) = 0, f(t, х, v, м>) - непрерывно дифференцируема в области

Б:0<1<Т, 0<х<1, ||у-ф(^х)||<£, уу

ЭФ дх , ||у(/,х)|| = тах|у(/,х)| , х,г

Ф - решение задачи (1)-(3) при / = 0.

В §2 гл. I. для вспомогательной краевой задачи с параметром X: У х)-Х2Ау = 0, 0<х<1 у(0) = у{1) = 0 получено представление ее матрицы, (функции) Грина в виде

4) е

-Цх-^Ш

2\4А е тШ^-е^) (б)

Точный вид формулы (6) весьма существенен, так как все последующие построения связаны с функцией Грина.

В §3 установлена

Лемма 1. Для любой непрерывной функции / от матрицы А \Г(А)\ = тах\/^1)\. г

В теореме 2 установлена экспоненциальность убывания нормы матрицы Грина при X —> оо вне 8 -окрестности ее полюсов /, к Е. 2, = 3=1,п.

В §4 установлены важные для всего изложения леммы об основных интегралах связанных с матрицей Грина. В них фигурирует контур

Ь} = {А,, Щ = 1, \cirg < а0},

Ь2 = {к,Щ> 1, arg'k = ±a0}, тс 1(а0=- +

--maxarg\\f к

4 2^4 к

В лемме 2 доказаны формулы

А2 dr л/t

А2

7)

1 2 dtk f/2 } к = 0,1,2,., t>0, А - квадратная матрица. Лемма 4 доказывает, что интегралы вида

J} (t, jVAx, ,

2ni l te[t0,T], \/t() > 0, 0 <x<l VseZ, qeC[0,l] сходятся абсолютно и равномерно, причем lim J0(t,x) = ф(х). t->0

Лемма 5. Интегралы вида l о & сходятся абсолютно и равномерно по t, х, te.\t0,T'\, 0<х<1, \ft0>0, seZ, фeC[0,l]. lim J°s (t,x) = 0, равномерно на Via^l, a>0. t->0

Лемма 6. Интеграл

1 1 ' 4 jG(x, \)dl J/( т, Qe^^dx

7ii представим в виде 1

X I

Пт г^ О

2га

Гдг, N = 1,2,., - последовательность замкнутых расширяющихся контуров, расположенных вне некоторой 5-окрестности полюсов функции Грина, расстояния которых от 0 стремятся к со при Ы—>оо, / -непрерывная функция.

В леммах 7 и 8 устанавливается, что интегралы видов ь о

1 -\{х+%)4А I 2

I о

И5 2 ь о о сходятся абсолютно и равномерно на [б>,г]х [0,7] для любой непрерывной функции / и принадлежат классам Гельдера Ну, 0 < У < ~ по г.

Опираясь на доказанные леммы доказываются теоремы 3, 4. Для любой непрерывной вектор-функции ф(х) справедлива формула предельного интегрального представления , 1

Ф(х) = Нт— [ке '^Х Д , (8)

1->0 ш ^ а так же формула суммируемости ее разложения в ряд Фурье по собственным функциям задачи (4)-(5), 1 2

Ф(х)=Нт Нт- [ке11^

->•0 м-*» 2%г „

9)

Сходимость в (8) и (9) равномерна на \/[а, |3] с (0,1). Далее в заключении главы 1 установлена важная теорема об экспоненциальном разложении.

Теорема 5. Для любой функцииф(х)е С\о,1\ справедлива формула, представляющая ее как предел при 1-^0 интеграла от экспоненциального ряда: ф (х)= Нтл — [•

4е г 00 Л 2 к=1 У

- е

41

Е 2 к2 А к(х + 1)А к=1

10)

 
Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Абдусаламов, Халимбек Абдусаламович, Махачкала

1. Абдусаламов Х.А., Вагабов А.И. Смешанная задача для плоских параболических нелинейных систем. //Сборник тезисов международной конференции, г. Стерлитамак, 1998. - С. 133-135.

2. Абдусаламов Х.А. Суммируемость по Абелю обобщенного ряда Фурье непрерывной вектор-функции. //Вестник Дагестанского государственного университета. Махачкала, 1998. Выпуск 4. Естественные науки. С.41-44.

3. Абдусаламов Х.А. Теорема существования решения нелинейной смешанной задачи для параболической системы. //Сборник работ региональной конференции памяти Х.Ш.Мухтарова. Махачкала, 1999. С.5-7.

4. Абдусаламов Х.А., Вагабов А.И. Смешанная задача для квазилинейной параболической системы. // Зарегистрирована ВНТЦ 24 января 2000, №70200000010.

5. Абдусаламов Х.А. Леммы о специальных контурных интегралах. // Международная научная конференция, посвященная 275-летию РАН и 50-летию ДНЦ РАН 21-25 мая 1999 г. С.360-363.

6. Акрамов Т.А., Вишневский М.П. Некоторые качественные свойства системы реакция-диффузия. //Сибирский математический журнал. 1995. Т.36. №1. С.3-19.

7. Алиханова Р.И. Решение смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами методом Галеркина и применения. //Функциональный анализ. Баку ЭЛМ, 1971. - С.52-60.

8. Белоносов B.C. Оценки решений нелинейных параболических систем в Гельдеровских классах с весом и некоторые приложения. //Мат. сб. 1979. Т.110. №2. С.163-188.

9. Вагабов А.И. Начально-краевая задача для нелинейного уравнения теплопроводности в п -мерной прямоугольной области. //Дифференциальные уравнения. 1998. Т.34. №6. С.1-782-788.

10. Загорский Т.Я. Смешанные задачи для систем дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа. Львов. 1961. 213 с.

11. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений. //УМН. 1960. Т.15. №2. С.97-154.

12. Канель Я.И. Разрешимость в целом системы уравнений реакция-диффузия с балансным условием. //Дифференциальные уравнения. 1990. Т.26. №3. С.448-458.

13. Коробейник Ю.Ф. Бесконечные системы линейных дифференциальных уравнений: Диссертация кандидата физико-математических наук. Ростов-на-Дону, 1958. - 204 с.

14. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

15. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. -М.: ГИФМЛ. 1973.-407 с.

16. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Обзор результатов по разрешимости краевых задач для равномерно эллиптических и параболических квазилинейных уравнений второго порядка, имеющих неограниченные особенности. //УМН. 1986. Т.41. Вып.5. С.59-83.

17. Максудов Ф.Г., Худавердиев Ф.К. Исследование многомерной смешанной задачи для одного класса нелинейных гиперболических уравнений //ДАН СССР. 1990. Т.310. №3. -С.539-542.

18. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969. - 526 с.

19. Расулов М.Л. Применения метода контурного интеграла. М.: Наука. 1975.-255 с.

20. Соболевский П.Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве. //Труды Московского математического общества. 1961. С.297-350.

21. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. -Минск: Наука и техника. 1987. - 688 с.

22. Солонников В.А.Ж, Хачатрян А.Г. Оценки решений параболических начально-краевых задач в весовых гельдеровских нормах. //Труды математического института им. В.А.Стеклова. 1980. Т. 147. С.147-155.

23. Тихонов А.Н. Об уравнениях теплопроводности для нескольких переменных. //Бюлл. МГУ. Секция А. 1938. Т.1. Выпуск 9.

24. Хамраев К. Применение обобщенного метода Фурье и теории операторно-дифференциальных уравнений к решению некоторых смешанных задач для уравнений с частными производными. //Диссертация кандидата физико-математических наук. Баку. 1979. - 115 с.

25. Халилов З.И. Решение задачи колебания конечной струны в среде с переменным коэффициентом сопротивления. //ДАН АзССР. 1952. Т.8. №7. - С.333-337.

26. Шварц JI. Анализ. М.: Мир. 1972.- 811 с.

27. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука. 1964. -443 с.ЗЗ.Атапп Н. Dynamic theory of guasilinear parabolic equations II reaction diffusion system. //Differential Integral Equations. 1990. V.3. №1. - P.13-75.71

28. Giaqninta M., Struwe M. On the partial regularity of weak solutions of nonlinear parabolic systems. //Math. Z. 1982. Bd. 179, №4. -S.437-451.

29. Croger K. Asymptotic behavior of solutions to a class of diffusions -reaction equations. //Math. Nachr, 1983. Bd.112. - S. 19-23.

30. Struwe M.A. Counterexample in regularity theory for parabolic systems. //Gzchoclowsk Math. J. 1984. V.34. №2. P.183-188.