Решение плоских смешанных задач для квазилинейных параболических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА И СВЯЗАННЫЕ С НЕЮ ПОСТРОЕНИЯ.

§ 1. Постановка общей проблемы.

§ 2. Матрица Грина вспомогательной спектральной задачи.

§ 3. Оценки функции Грина, полюсы.

§4. Леммы об основных интегралах, связанных с матрицей Грина.

§5. Интегральное представление и разложения в ряды непрерывной вектор-функции.

ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ И ЕЕ ОЦЕНКИ.

§ 1. Представление решения через функцию Грина.

§2. Разложения в ряды.;.

§3. Оценки решения линейной смешанной задачи.

§4. Оценка производной решения линейной задачи.

§5. Леммы о дифференцируемое™ специальных интегралов.

ГЛАВА III. СВЕДЕНИЕ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ И ЕЕ РАЗРЕШИМОСТЬ.

§ 1. Интегро-дифференциальное уравнение задачи (1)-(3).

§2. Система интегральных уравнений.

§3. Заключительные теоремы.

Изучение смешанных задач для параболических уравнений относится к классическим проблемам уравнений математической физики. Разные аспекты этой проблемы не покидают поле деятельности многих математиков. Так укажем работы [15], [16], [25], [28], [32] относящиеся к случаю линейных задач. В последние годы наметилась интенсивность в изучении задачи для нелинейных параболических уравнений. Это вызвано в частности их многочисленными приложениями: в вопросах моделирования процессов диффузии и химических превращениях, при моделировании биологических процессов, процессов теплообмена и других областях, см. [6], [33]-[36].

Известны ряд методов решения смешанных задач, хорошо отражающие и развитие математической науки, метод интегральных преобразований, операторные методы, метод Галеркина, метод конечных разностей, метод Фурье и другие, см. [7]-[9], [14], [15], [25], [32]. Отметим важные фундаментальные исследования О.А.Ладыженской, В.А.Солонникова, Н.Н.Уральцевой и их учеников, [19]-[21] по квазилинейным параболическим уравнениям общего вида методом априорных оценок. Особое место принадлежит также методу Фурье, связанному с большим математическим аппаратом и являющимся удобным и мощным инструментом исследования задач математической физики. Исчерпывающие результаты по обоснованию метода Фурье для линейных задач с разделяющимися переменными получены В.А.Ильиным [16].

В работах С.Н.Бернштейна, З.И.Халилова, Ю.Ф.Коробейника и их последователей [9], [13], [18], [22], [29], [30], разработан обобщенный метод Фурье, сводящий решение как линейных так и нелинейных задач к решению бесконечной системы интегральных уравнений.

Разрешимость этих уравнений исследуется в определенных банаховых пространствах. Необходимым условием реализации этого метода является «самосопряженность главной пространственной части задачи».

Отметим, что в работах предыдущих авторов, относящихся к обобщенному методу Фурье для нелинейных задач, случай задачи для параболических систем вообще не рассматривался ввиду несамосопряженности ее пространственного оператора.

В данной диссертации перенесен на случай плоских параболических систем метод решения, предложенный А.И.Вагабовым, [10]-[12]. Этот метод является дальнейшим развитием обобщенного метода Фурье предыдущих работ и действует в комбинировании с методом интегральных преобразований типа Лапласа. Существенным отличием диссертации является также то, что в ней удалось построить решение линейной части задачи в виде суммы простого ряда экспонент. Это обстоятельство определяет конструктивный характер всех последующих построений и теорем, в отличие, скажем, от работ относящихся к методу априорных оценок. Квазилинейная задача сведена нами к системе двух матричных интегральных уравнений (а не к бесконечной, как в традиционном обобщенном методе Фурье), решаемой по алгоритму последовательных приближений. Простота построенной системы, вместе с полученными оценками решений в линейном случае, позволила, при минимальных требованиях на нелинейные слагаемые (не предполагающих априорных ограничений роста доказать в нашем случае теорему существования и единственности и явно указать простые выражения временных границ в этой теореме.

В ходе решения задачи разработан новый значительный аналитический аппарат, представляющий самостоятельный интерес.

Дадим краткое изложение содержания работы и ее существенных сторон, изложенных в трех главах.

Проблемой диссертации является исследование квазилинейной параболической системы А дг ~ дх1 / г,х, у, V ду дх

1)

0<х<1, с граничными и начальными условиями. = 0<х<1,

2) (3) где А-пхп - вещественная постоянная матрица с различными характеристическими числами 0., г = 1,п, вещественные части которых положительны; V, /, ср - п -мерные столбцы, ф(х) е С1 [0,1], р(0) - (р(1) = 0, f(t, х, v, м>) - непрерывно дифференцируема в области

Б:0<1<Т, 0<х<1, ||у-ф(^х)||<£, уу

ЭФ дх , ||у(/,х)|| = тах|у(/,х)| , х,г

Ф - решение задачи (1)-(3) при / = 0.

В §2 гл. I. для вспомогательной краевой задачи с параметром X: У х)-Х2Ау = 0, 0<х<1 у(0) = у{1) = 0 получено представление ее матрицы, (функции) Грина в виде

4) е

-Цх-^Ш

2\4А е тШ^-е^) (б)

Точный вид формулы (6) весьма существенен, так как все последующие построения связаны с функцией Грина.

В §3 установлена

Лемма 1. Для любой непрерывной функции / от матрицы А \Г(А)\ = тах\/^1)\. г

В теореме 2 установлена экспоненциальность убывания нормы матрицы Грина при X —> оо вне 8 -окрестности ее полюсов /, к Е. 2, = 3=1,п.

В §4 установлены важные для всего изложения леммы об основных интегралах связанных с матрицей Грина. В них фигурирует контур

Ь} = {А,, Щ = 1, \cirg < а0},

Ь2 = {к,Щ> 1, arg'k = ±a0}, тс 1(а0=- +

--maxarg\\f к

4 2^4 к

В лемме 2 доказаны формулы

А2 dr л/t

А2

7)

1 2 dtk f/2 } к = 0,1,2,., t>0, А - квадратная матрица. Лемма 4 доказывает, что интегралы вида

J} (t, jVAx, ,

2ni l te[t0,T], \/t() > 0, 0 <x<l VseZ, qeC[0,l] сходятся абсолютно и равномерно, причем lim J0(t,x) = ф(х). t->0

Лемма 5. Интегралы вида l о & сходятся абсолютно и равномерно по t, х, te.\t0,T'\, 0<х<1, \ft0>0, seZ, фeC[0,l]. lim J°s (t,x) = 0, равномерно на Via^l, a>0. t->0

Лемма 6. Интеграл

1 1 ' 4 jG(x, \)dl J/( т, Qe^^dx

7ii представим в виде 1

X I

Пт г^ О

2га

Гдг, N = 1,2,., - последовательность замкнутых расширяющихся контуров, расположенных вне некоторой 5-окрестности полюсов функции Грина, расстояния которых от 0 стремятся к со при Ы—>оо, / -непрерывная функция.

В леммах 7 и 8 устанавливается, что интегралы видов ь о

1 -\{х+%)4А I 2

I о

И5 2 ь о о сходятся абсолютно и равномерно на [б>,г]х [0,7] для любой непрерывной функции / и принадлежат классам Гельдера Ну, 0 < У < ~ по г.

Опираясь на доказанные леммы доказываются теоремы 3, 4. Для любой непрерывной вектор-функции ф(х) справедлива формула предельного интегрального представления , 1

Ф(х) = Нт— [ке '^Х Д , (8)

1->0 ш ^ а так же формула суммируемости ее разложения в ряд Фурье по собственным функциям задачи (4)-(5), 1 2

Ф(х)=Нт Нт- [ке11^

->•0 м-*» 2%г „

9)

Сходимость в (8) и (9) равномерна на \/[а, |3] с (0,1). Далее в заключении главы 1 установлена важная теорема об экспоненциальном разложении.

Теорема 5. Для любой функцииф(х)е С\о,1\ справедлива формула, представляющая ее как предел при 1-^0 интеграла от экспоненциального ряда: ф (х)= Нтл — [•

4е г 00 Л 2 к=1 У

- е

41

Е 2 к2 А к(х + 1)А к=1

10)

1. Абдусаламов Х.А., Вагабов А.И. Смешанная задача для плоских параболических нелинейных систем. //Сборник тезисов международной конференции, г. Стерлитамак, 1998. - С. 133-135.

2. Абдусаламов Х.А. Суммируемость по Абелю обобщенного ряда Фурье непрерывной вектор-функции. //Вестник Дагестанского государственного университета. Махачкала, 1998. Выпуск 4. Естественные науки. С.41-44.

3. Абдусаламов Х.А. Теорема существования решения нелинейной смешанной задачи для параболической системы. //Сборник работ региональной конференции памяти Х.Ш.Мухтарова. Махачкала, 1999. С.5-7.

4. Абдусаламов Х.А., Вагабов А.И. Смешанная задача для квазилинейной параболической системы. // Зарегистрирована ВНТЦ 24 января 2000, №70200000010.

5. Абдусаламов Х.А. Леммы о специальных контурных интегралах. // Международная научная конференция, посвященная 275-летию РАН и 50-летию ДНЦ РАН 21-25 мая 1999 г. С.360-363.

6. Акрамов Т.А., Вишневский М.П. Некоторые качественные свойства системы реакция-диффузия. //Сибирский математический журнал. 1995. Т.36. №1. С.3-19.

7. Алиханова Р.И. Решение смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами методом Галеркина и применения. //Функциональный анализ. Баку ЭЛМ, 1971. - С.52-60.

8. Белоносов B.C. Оценки решений нелинейных параболических систем в Гельдеровских классах с весом и некоторые приложения. //Мат. сб. 1979. Т.110. №2. С.163-188.

9. Вагабов А.И. Начально-краевая задача для нелинейного уравнения теплопроводности в п -мерной прямоугольной области. //Дифференциальные уравнения. 1998. Т.34. №6. С.1-782-788.

10. Загорский Т.Я. Смешанные задачи для систем дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа. Львов. 1961. 213 с.

11. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений. //УМН. 1960. Т.15. №2. С.97-154.

12. Канель Я.И. Разрешимость в целом системы уравнений реакция-диффузия с балансным условием. //Дифференциальные уравнения. 1990. Т.26. №3. С.448-458.

13. Коробейник Ю.Ф. Бесконечные системы линейных дифференциальных уравнений: Диссертация кандидата физико-математических наук. Ростов-на-Дону, 1958. - 204 с.

14. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

15. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. -М.: ГИФМЛ. 1973.-407 с.

16. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Обзор результатов по разрешимости краевых задач для равномерно эллиптических и параболических квазилинейных уравнений второго порядка, имеющих неограниченные особенности. //УМН. 1986. Т.41. Вып.5. С.59-83.

17. Максудов Ф.Г., Худавердиев Ф.К. Исследование многомерной смешанной задачи для одного класса нелинейных гиперболических уравнений //ДАН СССР. 1990. Т.310. №3. -С.539-542.

18. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969. - 526 с.

19. Расулов М.Л. Применения метода контурного интеграла. М.: Наука. 1975.-255 с.

20. Соболевский П.Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве. //Труды Московского математического общества. 1961. С.297-350.

21. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. -Минск: Наука и техника. 1987. - 688 с.

22. Солонников В.А.Ж, Хачатрян А.Г. Оценки решений параболических начально-краевых задач в весовых гельдеровских нормах. //Труды математического института им. В.А.Стеклова. 1980. Т. 147. С.147-155.

23. Тихонов А.Н. Об уравнениях теплопроводности для нескольких переменных. //Бюлл. МГУ. Секция А. 1938. Т.1. Выпуск 9.

24. Хамраев К. Применение обобщенного метода Фурье и теории операторно-дифференциальных уравнений к решению некоторых смешанных задач для уравнений с частными производными. //Диссертация кандидата физико-математических наук. Баку. 1979. - 115 с.

25. Халилов З.И. Решение задачи колебания конечной струны в среде с переменным коэффициентом сопротивления. //ДАН АзССР. 1952. Т.8. №7. - С.333-337.

26. Шварц JI. Анализ. М.: Мир. 1972.- 811 с.

27. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука. 1964. -443 с.ЗЗ.Атапп Н. Dynamic theory of guasilinear parabolic equations II reaction diffusion system. //Differential Integral Equations. 1990. V.3. №1. - P.13-75.71

28. Giaqninta M., Struwe M. On the partial regularity of weak solutions of nonlinear parabolic systems. //Math. Z. 1982. Bd. 179, №4. -S.437-451.

29. Croger K. Asymptotic behavior of solutions to a class of diffusions -reaction equations. //Math. Nachr, 1983. Bd.112. - S. 19-23.

30. Struwe M.A. Counterexample in regularity theory for parabolic systems. //Gzchoclowsk Math. J. 1984. V.34. №2. P.183-188.