Об осцилляционных свойствах решения некоторых дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

г I и

- 2 ПИ»

ТУРКМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ МАГТШГУЛЫ

На правах рукописи

АТЩАНОВ Байраыгельда Ахыурадович

ОБ ОСЦШЯЦИОННЬОС СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физнко-ыатематотвсхих наук

АШГАБАТ - 1994Г.

Работа выполнена в Туркменском политехническом институте

Научный руководитель: - доктор физико-математических ,

наук, профессор ТОРАЕВ А.Т.

Официальные оппоненты: - доктор физико-математических

наук, член АН Туркменистана, профессор МЕРЕДЭВ М.М..

- кандидат физико-математических наук ШУКУРОВ К.

Ведущая организация: - Туркменский сельскохозяйственный

институт

часов на засе-

Защита состоится- АН

данш специализированного Совета К.2.В.014 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при ТГУ и^. Магтым-гулы по адресу:744014, ш.Ашгабат,Сапармырат Туркменбашы шаелы,31, корпус 1, аудит.45.

С диссертацией можно .ознакомиться в библиотеке ТГУ им. Магтыигулы.'

Автореферат разослан " ^ " ^gtox^j^ 1994г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор

фязцко-ыатеыатическнх наук, профессор А.АШРАЛЫЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблемы осцилляции и неосцилляции изучались еще в классических работах Ж.Штурма С 1836г.), Ж.Лиувил-ля (1838р.), Жуковского Н.Е.(1892г.), Кнезера А. ( 1893г.) и им продолжают уделять внимание математики всего мира вплоть до последнего времени. Это вызвано важностью проблемы и ее связью с вопросами устойчивости и асимптотического поведения решений. Значительные .результаты в этом направлении получены Азбелевым Н.В., Глазманом И.М., Кондратьевым В.А., Кигурадзе И.Т., Левиным А.Ю., Тораевым А.Т..Чантурия Т.А., Аллегретто В., Иосидв Н., Е.Мшлер--Пфиффером, Рабом М., Свенсоном К.А,, Хартманом Ф., Уинтнером А. и многими другими.

В работах последнего времени классические результаты Кнезера распространены на уравнения в частных производных эллиптического типа высокого порядка вида

(-1)т V" ТР- аад(х) бР ц + а(х) и = 0, ( 1 ) 1аТ?|р|=ш

где а = ( а,, с^.....с^ ) . 0 = ( р,, р2 , ...,рп ),

а^ г 0, г О - целые числа,

|а| = а, + а^'+...+ , .. |0| = р, + р2 + ...+ рп ,

а1<*| •

¡)а

дх^ вх^ ... ах^1

Во многих этих работах условия типа условия Кнезера получены только в терминах условий на коэффициент а(х),а не в терминах ус-

ловий" на коэффициенты аар<х). Интерес представляет нахождение условий на аар(х).если а(х) удовлетворяет условиям Кнезера.В работе Тораева А.Т. и Гараджаёвой Г.Ш.* приведены аналогичное критерии для уравнения ( 1 ) при ш > 1.В этой работе уравнение рассматривается в Ип. Как изве.стно, при рассмотрении конкретных областей в кнезеровские оценки влияют и характеристики этих областей. Пот лучение условий на коэффициенты аар(х), обеспечивающие осцилляцию или неосцилляцию уравнения (1) в некоторой неограниченной области, когда коэффициент а(х) удовлетворяет кнезеровским условиям, является актуальной задачей-

Одним из актуальных вопросов теории осцилляции также является получение новых интегральных условий.

Как известно, в случае неосцилляционности уравнения отрицательная часть спектра соответствующего оператора является конечным множеством.Поэтому в случае неосцилляционности уравнения можно оценить сверху число N - число точек отрицательного спектра

соответствующего оператора. Оценка-числа N представляет большой

>

интерес как для спектральной теории дифференциальных операторов, так и для квантовой механики **. Установление оценок сверху числа точек отрицательного спектра дифференциальных операторов является актуальной задачей. '

Целью работы является нахождение, условий осцилляции и неосцилляции для обыкновенных дифференциальных уравнений и эллиптических уравнений высокого порядка , а также оценка числа отрицательных точек спектра для одного дифференциального оператора чет-

* Тораев А..Гараджаева Г.И. Кнезеровские оценки для коэффициентов эллиптических уравнений. //ДАН CCCP.-1987.-T.295.-J6 3.-С.546-548.

** РидМ., Сай.юн Б. Методы современной математической физики. -Т.4. Анализ операторов. -М.: Мир, 1982.,-428с.

вертого порядка.

Научная новизна. Все изложенные в диссертации результаты являются новыми. Получено штегральнов условие неосцилляции на конечном отрезке для одного обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка.Установлены достаточные условия осцилляции и неосцилляции на полуоси [ О.ео ) для одного обыкновенного дифференциального уравнения высокого порядка. Получены интегральные условия неосцилляции в Rn и в некоторой неограниченной области для специального уравнения эллиптического типа высокого порядка. FemeHB проблема Киезера в некоторой неограниченной области для эллиптического уравнешш высокого порядка ( 1 ).

Метода исследования. В работе применяются методы качественной теории доВДвренциалытх уравнений и современные метода функционального анализа.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут найти применения в качественной теории дифференциальных уравнений, в математической физике,- в квантовой механике.

Апробация рвботы. Основные результаты работы докладывались

на: всесоюзной конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Агагпбат, 1986), IV Уральской региональной конференции "Функционально-дифферонциальные уравнения и их приложения" ( УФА, 1989), VII всесоюзной конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Рига, 1989), научно-практической конференции "Дифференциальные уравнения И их приложения* (Ашгабат, 1993), научных коп^ронциях профессорско-преподавательского состава ТЛИ (ИЧУМРМ), ашгабатском городском математическом семинаре ( Рук. чж*!1 ЛШ' Худай-Вореигов 0.Г.,член АНТ Мередов М.М.), научном семи-

наре туркменского государственного института транспорта и связи ( Рук. профессор Тораев А.Т.,. профессор Базаров Д.Б., профессор Гараджаев А.Г.). •

Структура и рбъем работы". Работа изложена на 84 страницах и

состоит из введения и двух глав. Библиография содержит 57 наименований. 1 . '

В диссертации теоремы, леммы, определения.формулы снабжены двойными номерами. Первый из них указывает главу, а второй - порядковый номер теоремы, леммы, определения или формулы..

Публикации. Основный результаты диссертации опубликованы в ——— • \ работах [13 - [б].;В совместной работе [ 2 ] с профессором Торо-

евым А. научному руководителю принадлежит постановка задачи,а до. казате'льство теорем этой работы принадлекит автору. Из совместной работы [ 6 } в диссертацию вошли только результаты,' принадлежащие автору. ,

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ . .

Л

Во введении дается краткая историческая справка и обзор литературы по теме диссертации, обосновывается актуальность работы и кратко излагается ее'содержание.

• Первая глава посвящена исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений и состоит из трех параграфов.В йервом параграфе рассматривается уравнение

у17 + ( Р(х) у')' = 0 ( 2 )

на конечном отрезке и изучаются осщшяционные свойства решений этого уравнения. -/,7-'

Уравнение ( 2 ) называется осцилляционным на отрезке [а,Ь],

если существует нетривиальное решение этого уравнения, имеющее более одного двукратного нуля на Са.Ы. В противном случае оно называется неосцилляционным.

Здесь под решением уравнения ( 2 ) понимается его классическое решение, т.е. решение, непрерывное вместе' со своими производными до четвертого порядка включительно на рассматриваемом участке изменения х.

Пусть В(а,р)-бета функция, Р+(х)= шах^0,Р(х)|,Р_(х)=т1п|о,Р(х)|.

Теорема 1.2. Если при некотором 7*1 выполняется неравенство

а

где

X. =

■(7-1 > Г 7-1 "lt/T 2f 7 - 1 1 1

[ ~2Y~=~f J I • Чг\ прит>1.

7

4 при 7=1.

то уравнение^ 2 ) неосцилляционное на отрезке [ а.Ь ].

Интересно заметить, что при 7 = 1 полученное условие неосцилляции совпадает с условием'Жуковского? полученного для уравне-тая - у" + Р(х) у = 0.

Во втором параграфе главы I'рассматривается уравнение вида

<-l)n+k у^211) + (-1 )к < р<х) yfWjdO 3 о, ( п,к И ) ( 3 )

га полуоси (0, оо ) и изучаются осцилляционные свойства решений •того уравнения.

*Жуковский Н.Е. Условия конечности интегралов уравнения у''+ Р(х) у = 0 //Мат. Сборник.-1892.-Т.16. -Вып.З. -С.682-591.

Уравнение (3) называется осцилляционным на полуоси I 0,оо ), если при любом г > 0 найдется решение этого уравнения, имеющее правее точки г более одного (п+К) - кратного нуля. В противном случае уравнение ( 3 ) называется неосцилляционным на (0, оо).

Здесь под решением уравнения ( 3 ) понимается его классическое решение, т.е. решение, непрерывное вместе со своими производными до (2п+2к)-го порядка включительно на рассматриваемом участке изменения х. . '

Теорема 1.3. Для осцилляционости уравнения ( 3 ) на [ 0, со ) необходима и достаточна осцилляционность на I О,со ) уравнения __ , ' .

(-1)" у(2п) + Р(х) у = О.

Рассмотрим многочлен •-' 1 • •

п п-1

-11 ЬЧ'^Г].

1=0 ' 1=0

» .

Теорема 1.4. Пусть V - некоторое натуральное число и е(х) такова, что'уравнение г" + е(г) г> О, <с=1п1,+|х

неосцилляционное на I О , со ) . Если пря достаточно больис»^ з^

• ' ' '

Аз % К'г 1 1 . вп) т

»-гв: -7?* / У

то уравнение . ( 3 ) неосциляядаонное на 1 О, » ■ ) С • ^

Теорема 1.5. Цусть V некоторое натуральное

число к е(х) такая фикция, что

оо

f e(x)

I - dx. = + oo .

XJ Lyix)

о

Если при достаточно большом х0

р"х) s р° \ f'г 1 1 + е(х) 1

<Х 5 4 .¿f I [^(х))2 + СЦ(х)]2 ]•

x > х0,

то уравнение ( 3 ) осцилляционное на СО, оо ).

В третьем параграфе главы I получены оценки числа N отрицательных точек спектра оператора Ь в (И). порожденного дифференциальным выражением

й* й г а

1 =

dx4 dx

НИИ

на множестве (R).

Теорема 1.6. Пусть FQ(x)= |х|, Pj.ix) = In <х) | при 1 = 1,2.....Пусть S0(x) = - • - ,

Sk(x) ~ [1+ р2(х) + у2(х) ^ р2(х) ], при к*1.

Если при некотором п

Р(х) i Sjjd)

для всех х е R N А, где А=( х « R: Fj(x) = 0 у J = О, 1,...,п ).

то MS 2n+1 - 1.

Теорема 1.7. Пусть Р(х) есть измеримая функция и

пусть для некоторого q i 1

со

||Р_(х)|Ч( X |2(Н dx < СО.

—со

Тогда верна оценка _ N i 1 + [ С^ ] ,

где

q

jl?Jx)l ^

2q

-со

-1 dx jl

1/q

21+1/p

Cq = ap - -y—

p ч 1 r ("FT + ~r ]

I %

bM

(p-i)/p

1.. q > 1;

при

q = I

Cq = l.

Если . Й i С"1 , то Nil. Если оператор L дейст-ч ч, ч >

вует на пространстве функций на ( 0, оо ) , удовлетворяющих условии у'(О) = 0 , то при' $ с"' отрицательный

спектр отсутствует. ■ •'/•„;.•■. :,."■'•

Вторая глава посвящена исследованию уравнений в частных про-; взводных эллиптического типа высокого порядка. В вей рассматривается уравнение ( 1 ) и уравнение вида, ... ~ l-ifv'--//'

(-АГ u + а(х) и = 0,.

: о'■' ()

яаяящне ся его частным случаем.Для них получены достаточные условия осцилляции и неосцилляции. ' /

о

Пусть «2 ( £1 ) - пространство Соболева, Я ^ ( П ) -

х

со П)

- замыкание множества С0 ( 0 ) по норме пространства И?р (О),

П г = | х € П : | х | > г0

Уравнение ( 1 ) называется осцилляционным в неограниченной

п

области • П ( возможно П = Н ), если Уг^ > 0 оно имеет не-

0

тривиальное обобщенное решение и, и « ¥ ^ С Й ) , где С

некоторая ограниченная область, (3 с Л,, и квосщшяционикм в про-

о

тивном случае.

I

Здесь 'под обобщенным/ решением уравнения ( 1 } пошшпотея функция и(х) из К? ( [1 ), удовлетворяющий интегральному тож-

деству

j(X) D°u D^T) + а(х) u Т) I dx = О

три V Т) € ( П >.

Тусть ш-1

Ц0= Inf Г~Г [П-2т> + k Y 0 к€СО,1...Л 1 « L ^ J '

J-0

i k0 есть наименьшее из тех к, при которых

вы

2

Цо . fTJfiiMLtJJ,kJ

J=0

Обозначим

а (г) = Inf а(х), а_(г) = min ( а (г), О I.

|х|=г I >

Георема 2.1. Если при некотором р > i &ля досрочно больших rQ выполняется условие

[ I a_(r)}P. г2"1?"1 dr

VP

< a!' b,

P P '

то уравнение ( 4 ) .неосцилляционное в Rn , где

bp = min; I ß2>ko , ß2>Q . 4 p0#ko J" .

2H1/P p-1 Г (А ^ 4~)

V P '(£)

Заметим, что если к0=*0, то bp = о •

р

Теорема 2.2. Пусть q(r) = а(г) + ц0 гТ21? Если при некотором р >. 1 для достаточно больших rQ

,1/р

со

} I q>)|P ^{'ln г Г q «ir ,

< а~ b,

Р - "Р '

то уравнение ( 4 ) неосцилляционное в R11 , где _bp = min { р2До . }, р-1 + q"1 = 1- '

Т е о р ем а 2.3. Пусть область О такрва, что SR при •

больших R состоит из совокупности областей D, таких, что если

■ х

есть образ D^ на при отображении х'= -щ • -

то собственные значения оператора Бельтрами с однородным; граничным условием Дирихле на, 5D* для любого 1 не меньше cR^,

с,7 = const > 0.

Если при достаточно большом г0 '

f | Q_(r)|p ХЙНЧН dr <[-^1^]

1/p

<

1-2p

P a~1 b

a p V

то уравнение ( 4 ) иоосщшшциошюе в области О /где

0(г)= а (г) + стг~1П(2"Т,), Ьр * с?"1 а = <т - 1) (7-2).

Во втором параграфе главы II устанавливаются теоремы типа Кнезера для уравнения ( 1 ).

Пусть коэффициенты уравнения ' '

(

|5Т=

|Р1=ш

аар(х) D^ ц + a(x) и = 0, ' ( 1 )

á(х), аар(х) = apQÍx) - измеримые, локально ограничошше функции в неограниченной области

П = | х е Rn: ( | xf у/г < a xf, а > О, 0 < х, < оо, р е н}. ', Пусть kQ - наименьшее собственное значение задачи

(- Д J z = A.z, D z | =0, у ( OS |а| Í т-1 ), ( 5 )

; . . - . дЩ

где Д =

п дг

1=2

; - кар радиуса 1 с центром в точке

ХрЧ- П'

1=1

2m+1-2i-p(n-1 ))2 ;

= Г (m-l)l (1-1)! ], 1 í 1 S m.

0

Из т чисел

( р(п-П - 1 )2, ( р(п-1) - 3 )2, .... ( р(п-1) - 2т + -1 )2

составим всевозможные произведения с ш - 1 множителями и их

суммируем. Полученное число обозначим через р.

Обозначим т „

ш-3

Ц1>р- ] [[ р(п—1 )-21+1]2 (р(п-1 )-2т+1|'

1=1

Теорема 2.4. Пусть для любой функции и 6 С-?°( О,, )

о о

при достаточно большом г0 выполнено условие

I Е а ^ ^ * ф(Г1,) ( ут и )2 <1х'

Пг |а|=|р!=ш П_ •

о Ао

где ф(х^)-некоторая навозрастаицая функция,ф(х1 )-♦ О при х, со,

такая, что

при р(п-1),?! 2т+1-21, 1= 1, 2, .... ш и

при р(п-1) * 2пнг1-21, 1= 1, 2.....ш. \

Если

V яо

а(х) > - -

при р<п—1) * 2Ш+1-21, 1= 1, 2.....Ш и

а(х) >

при р(з1—1 > = 2ш+1-21, 1= 1, 2, а, то уравнение ( 1 ) неосцилляционное в области П.'

Заметим, что при ср(х^Г= р из-теоремы 2.4 получил известную теорему Тораева А.*

' Пусть ))- собственная фузжция задачи ( 5 )

соответствующая собственному значению Х0-Обозначим '

1 1 .

А

^ Г И1

V»2 т11'2 ¿г, ^ - ( «<т) )2 г11"2 ¿г, N = .

. о' :• о

Т о о р в м а " 2.5. Пусть для любой функции ие^ } (Л1ри достаточно большом г0 выполнено условие

|£ аар (х) гРи Б^и Дх £ | (1 - ф(х1 ))(7ти )2йх ' ( 6 )

•Л ,|а|=|р|=т • 'П

' о \, .... - х0.

и пусть р * 1.

> Если для некоторого е > О - ' ^ + м \>

а(х) 1 -

" (ах^ )2И

Ф<Х,) = 4 К * *о а"^ ^-Р) 1 1п*х.

Тораев А. Осцшшвдюные свойства эллиптических операторов и структура их спектра. .- Диссертация на соискание ученой сгепон;'. доктора ф1'лико-м«чтим.-)Т1№ских наук. - Москва, 198э. - 275с.

при p(TV-l> * 2тИ-21, 1=1, 2.....m,

h _N__\

aU) * " 4xf m2 x, ¡f ^рт '

ц, ч e

Ф(Х1} = [ + 4 л0 a-2m x5n(,-P> m2 X, ] m2 m x,

при p(n-l) = 2m+1-21, 1= 1, 2, .... n , то уравнение ( 1 ) oc-цилляционое в области П.

Теорема 2.6. Пусть выполнено условие ( 6 ) теоремы 2.5 и пусть р < 1.

Если для некоторого е > 0 при достаточно больших х(

*(Х,>" Хр а-21" ^«-Р» ' . то уравнение ( 1 ) осцилляциошюе в области 0 .

В случае р = 0 область П цилиндрическая. В этом случае

справедлива

Теорема 2.7, Пусть выполнено условие ( 6 ) теоремы 2.5 и пусть р = 0.

Если для некоторого е > 0 при достаточно больших хч

V

а(х) *--ж

i • " V \>

* Vе - \

".4 [v ♦ х0 а"21" x?m] in2 «; '

то -'уравнение ( 1 ) 'осцилляционное в области О , где

[(2т - 1)М2 '

V = -•- .

4П

Пользуясь случаем.выражаю искреннюю благодарность моему науч- ' ному'руководителю профессору Тораеву А.Т. за постановки задачи и ценные советы и профессору Московского университета Кондратьеву В.А. за внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах: ...

1. Лтадканов Б.А. О неосцилляции эллиптических уравнений в неограниченных областях //Дифференциальные уравнения и их приложения: Тез. докл. Всесога. конф. - Ашхабад, 15)86. -С.29.

2. Тораев А., Атаджанов Б. Об осцилляции и структуре спектра диф-ферашмальних операторов // Качественная теория доМеренциальных

ураимншй: Тоз. докл. VII Всооох». конФ. -Рига, 1989. - С. 216. Я. Дтал./К!|»юй 'Б. А. Об осциляяциошшх «гюйогвях дифференциильного .урмвноиил четвертого порядка и структуре спектр?! соотгютетвуипих (трморст/У Или. АН ТССР. Серия физ.-техн. хим..и геол. наук. -1989. - » 5. -С. 16 -19.

4. Атаджгшоп Б.А. Достаточные условия осцилляционности и нсюсцил-л>нцгон;[остл уравнений четвертого порядка // Известия АН ТССР. Серия фаз.-техн. т». и геол. паук. -1990« - й 4. -С» 9-17. б. Атадзвзнов Б.Д. Об осцшшцкошшх свойствах решений ур&вютиГ щеке го порядка // Правше задачи: Межвузовский сборник тута трудов, -шрмь, 1990. -С.63-67.

6. Тораев А., Атадкгщов Б.Дтабаов А, Интегральные условия тос-нилляционяЬстя эллиптических уршшмшй. // ЛиФ1«рвншальиш> уравнения и их приложения: Тр. науч.-прокт. коиф. - Ашгабат, 1593.

- Часть 3. - С. 102-107.

РЕФЕРАТЫ

Хедурленйэн ишде М)П4к y(2n+2k) ; Н)к ( р(х) у(М }<к) _ q ■ ( , )

( п , к i 1 ) гернушли адаты дифференциал денлемелерин ве

(-1)m Л DV^DPu + а(х) и = 0, (2)

бу ердв а =(а1,аг. .... о^ ), ß = ( ß2,...t ßn ), а^ к О, ß^ i О - битин, санлар, lal = а, + с^ + ... + с^ \р\ » р, + ß2 ♦ ...+ ßn .

a!al

па - .

а. oy öl. , öx/ д т* ...вХд"

гернушли хусусы производимы ёкары тергипли эллиптик денлемелерин

* ■

чезуелеринин осцилляцион ве неооцидяяцйон хесие1\пери евренилйэр.

Икинад тертипли икичленли - у" + Р(х) у = 0 гернушли деадемелер учин шу хилли проблемалар 0арш1 Ж.Штурмвд (1836 й.). Ж. Лиувиллиц ( 1838 й.), Н.Е.Жуковскини« 1892 й.), А.Кнезериц (1893 й.) классыкы шлеринде евренилип башланылда ве мука ■ дун-йенин матема^гиклери шу вагта чеши унс бермеклерини довам эдйар-лер. Бу более проОлемвнын ехмиетшвщ улыдыгы, чезувлерин дурнык-лылыгы ве асимптотики хесиетлери билен багландаыклылыгы учяндир, Н.В.Азбелев, И.М.Глазман, В.А.Кондратьев, И.ТЖигурадзе, А.Ю.Ле-«ин, А.Т.Терэев, Т.А.Чантурия, В.Аллегретто, Н.Иосида, Е.Мюллер--Пфи<Йер. М.Раб, К.А.Свенсон, Ф.Хартман, А.Уинтнер ве башгада кеп алимлар бу угурда гернукли нетищелер алдылар.

Сощсы вагтдакы шлерде А.Кнезерщ - у'' -+Р(х) у = 0 дец-леме учил алан классыкы нетижелери хусусы производашлы екары тер-типли эллиптик тгатли децлемелерв яйрадолды. "Бу ишлерщ кепусинде кнезер типли шертлер дидв а(х) коэффициенте алнандыр, а^х) коэффицивнтлере гвра öanqa алнан двлдар. А.Твреев ве. Г.И.Гаражае-вашщ ишиндв бу хилли месёлв ( 2 ) дввдемв учин m > 1 ягдай-да Rn гидишлигинде сервдилендир. Белли болшы ялы такык областлар . середиленде" кнезер типли шертлерв обласящ. хэсиетлери хем твсир эдйэндир. Шонунучин бу'ягдайда ( 2 ) дэцлеме учиц а (х) коэффициент кнез'ер шертлерини канагатландыранда денлемвниц дегийлиликде осцилляцион я-да неосцилляцион. хасиетини саклап галмагы учин адр(х) коэффициентлер учин шертлери тапмак актуал меселедир.

' . Белли болшы ялы, децлеме неосцилляцион болан халатында она дегишли вз-взуне. чатрымлы операторыц сгоктриниц отрицател белеги тукеникли квплукдир. Шонуц учин децлеме неосцилляцион болан ягда-(Йннда дегишли операторыц спектриниц отрицател бвлегинин нокатла-рыныд N саныны, ёкарсындан бахаландырмак мумкиндир. N учин баха • тапмаклыпщдифференциал операторларын спектрал теориясы ве квант „мехакикасы учлн ехмиети улыдар. Шу ишде кэбир оператор учин N сана чаклендирме тапылда. )'};Диссертация иши гиришден ве шш балумден ыбарат.Гиришде гыс-гача тарыхы маглумат ве диссертациянын, темасына дегишли эдебият-;' лар мазмун эдалйер, ишщ актуаллыгы эсасландарыляр ве онун мазму-нн гысгача беян эдилйар. •

, Диссертацияныц биршщи бвлуми адаты дифференциал дендемелери дерцемеклиге багышланандыр ве уч параграфдан ыбараАдыр. Биринжи параграфда (1 ) девдемэквд хусусы халы болан

yIV + ( Р(Х) у')' = 0 ( 3 )

С.'

деалемэгащ тукеникли квсимдв чезувлеринад осцилляцион хесиетлерй евренилйер.Бу параграфда С 3 ) денлеме' учин неосцилляцион болмяк-лыгыц интеграл шерти алында. Вирин^г белумиц икинжи параграфын-да ( 1 ) дацлеме учин С 0, оо ) яром окда осцилляпион ве неосцилляцион болмаклыгыч етерлик шертлери алында. ;

Биритда бвлумин учи?щи параграфында ( Па) - де ■

а4 <1 а

1 = —Г" ---< Р<х)--- )

Лх <1х йх • .

дифференциал аллагмадан дврэн Ь? ( И11) - доки I операторыц спектринин отрицател болвгиниц нокатларшшн N саны учин чвклен-' дирмелор топылды. ■ . • .

Диссертациянын икиняда бвлуми хусуси производнылы вкары тер-типли эллиптик .тшш: денлемелери дэрцемеклиги багышланандыр вв ики параграфдан ыбаратдыр. Бу бвлумиц снринжи параграфшша ( 2 ) девдемэниц хусуси халы болян

<- дДх 4 а(х) и = о ( 4 )

децлемешщ чеэувлеришщ наосцилляцион хесиетлери евренилйер. Бу параграфда (4 ) денлеманйн неосцилляцион болмагы.учин квбир интеграл шертлер алында. Икиижи бвлумин иккнжи пврогр»1шда ( 2 )

деалемэшщ, чвзумеринид осцилляцион вв неосцилляцион хесиетлери

„' п _ 1/г „ О = { х € й ( Г х? ) < в к* , а > О, С < х, < оо, р с й > 1=г 4 1 , 1

чвксиз областда еврвнилйэр. Шунлукдо, а(х) коэффициент учин кие-авр шертлорини саклал, деадвмэник осцилляцион я-дч неосцилляцион хвсиетинин сакланып галмагы учин а^Ш коэффициентлерв шертлер тапнлды.

Алнан нвтюколер дурдя иетбугетларда чал адилди. Дло