О колеблющихся решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Тбилисский Государственный Университет им. И. А.Джавахишвили

на правах рукописи

Гиоргадзе Гиви Петрович

О колеблющихся решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами

01. 01. 02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученной степени кандидата физико-математических наук

Тблиси - 1998 г. 15

Работа выполнена на кафедре высшей математики N 63 Грузинского технического университета

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук

КоплатадзЕ Р. Г.

Эксперт: Доктор физико-математических наук,

профессор ШУЛАИА Д.

Официальные опоненты: Доктор физико-математических наук,

профессор ТАДУМАДЗЕ Т.

Доктор физико-математических наук Ашордиа М.

Ведущая организация: Институт вычислительной математики

имени Н. Мусхелишвили.

Защита состоится 1998 г. в Л часов на

заседании Диссертационного совета РЬ. М 01.02 с N 3 Тбилисского государственного университета им. И.А.Джавахишвили (380028, Тбилиси пр. Чавчавадзе 3).

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке Тбилисского государственного университета.

Автореферат разослан " ^ ¿ЛЛ^? и п ^ I 1998 г

Ученный секретарь

кандидат ^изико-математических наук и»ПЧШИ'Ири. Напетваридзе

Объект исследования. Долгое время предметом интенсивного исследования стало ассимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений. В конце прошлого столетия А.Кнезером был поставлен вопрос о нахождении условии, при которых между обыкновенным дифференциальным уравнением

u'"' + p(t)u = 0 (1)

и одним из уравнении и'"' + и = 0 или и'"' — и = 0 существует сходство в смысле их осцилляционных свойств. Под этим сходством понимается наличие у уравнения (1) свойств А или В.

Как для линейных, так и для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнении, признаки наличия свойств А или В были предложены в работах А.Кнезера, В.Файта, М.Минусинского, Ф.Аткинсона, В.Кондратьева, Г.Ананьева, В.Белоганского, С.Белогореца, И.Кигурадзе, И.Личко, Т.Чантурия, Д.Изюмова, Р.Коплатадзе и других.

Исследование осцилляционных свойств дифференциальных уравнений с нелинейностями типа Эмдена-Фаулера

"(n)+p(i)-MA-signti = 0 (2)

имеет долгую историю. Это, прежде всего, следует обленить тем, что такие уравнения представляют не только теоретический интерес, но и играют важную роль в приложениях (например, в астрофизике и атомной физике).

Ф.Аткинсоном и С.Белогорецом при п — 2, а И.Кигурадзе, И.Личко и М.Швецем в общем случае было найдено необходимое условие наличия свойства А (свойства В) у дифференциального уравнения (4) с непрерывным коэффициентом р : —>■ Л+ (р : и показателем А =

const >0, А ф 1. Оно имеет вид

+00

J i<B-l>"|p(i)|A = +оо,

где fi = min{l; A}.

В последние годы начались интенсивные исследования аналогических вопросов, для дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами, которые представлены во многих работах. Из них можно выделить работу монографического характера Р.Коплатадзе и Т.Чантурия.

Цель исследования. Целью диссертиационной работы является вопрос исследования систем дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами

*:-m=/i(wm0).-",*«(m0)) (i=i....."h (з)

где п > 2, fi : R+ х Л" R удовлетворяет локальным условиям Кара-теодори. При этом ¿¡^ : —> R неубывающие функции и lim ¿,j(t) = +oo (t,j = l,...,n).

Научная новизна. Для систем дифференциальных уравнений (3) найдены достаточные условия наличия свойств А или В. Изучены аналогические вопросы для систем уравнений типа Эмдена-Фаулера и для линейных дифференциальных систем. Полученные результаты новые.

Объем и структура диссертации. Диссертация занимает 91 стр. Она состоит из введения, двух глав и списка цитированной литеретуры. Содержание и основные результаты диссертации

В работе приняты следующие обозначения и определения:

Функцию <7 : R —» Я+ определяем следующим образом

a(t) = inf |s:s6 R+,s > i,£y({) > t, при ( € [s;+oo[ (i,j = 1,.. .,n)}.

Определение 1. Непрерывная вектор-функция x = (i;)"=i : [fo, +oc[—> Rn, называется правильным решением системы (3), если она локально обсолютно непрерывно в промежутке [ff(<o); +°о[, почти для всех t из этого промежутка соблюдается равенство (3) и

sup {|]x(ä)|| : s € [i, +ooj} > 0 при t € [i0, +oo[.

Определение 2. Правильное решение системы (3) называется колеблющимся, если каждая компонента этого решения имеет последовательность нулей, сходящуюся к +оо-ти, в противном случае решение называется неколеблющимся.

Определение 3. Система (3) обладает свойством А, если каждое решение этой системы при четном п является колеблющимся, а при нечетном п - либо колеблющимся, либо удовлетворяющим условию

|х,(<)||0 при it+оо, (¿ = 1,...,п). (4)

Определение 4. Система (3) обладает свойством В, если каждое решение этой системы при четном п является колеблющимся, либо удовлетворяющим условию (4), либо условию

|i,(i)jt+oo при it+00, (г = 1,... ,п), (5)

а при нечетном п - либо колеблющимся, либо удовлетворяющим условию (5).

Обозначим

= ь>\ = n+i(г) О' = 1,£>,n+i(0 = Tn+i(0 = n(0);

■=i

т.т= (•••('•.+!(<))•••)) при 1 < г < j < п + 1,

T,,U при i = j {i = l,...,n);

- 7Mt) = inf{«:se/li.,a>t,ri(s)>t(fc = »,...,;)}(1 <i<j <n);-

7-+i.i(i) ="?(')•

mm-) =pi(i).

W,t.)=Pi(t)( J Pt(si){ J •••

J Pi{si-i)dsi~ij dal J (t = 2,...,n);

Cn+l(i) = 0, p,(i)=p„(0

+оо

и.если J Ci+i(t)dt < +00, то

C.W = ?.(*)( J c,+1(s)dsj (i = l,...,n-l); Ч+НО

Ai • Aj •• • A„ = A;

В третьем параграфе рассмотрены системы уравнении типа Эмдена-Фаулера. Будем предпологать, что соблюдаются условия

при t 6 -R+, х,,. ..,хп € Я (г = l,...,n; in+1 =zi), где А; > 0, р, е L,oc(R+-,R+) (г = 1,.. .,гг),

J p¡(t)dt=-1-00 (¿= l,...,n-l). (7)

Сформулируем некоторые результаты этого параграфа Теорема 3.2. Пусть выполнены условия (6), (7), v - нечетное число и для некоторого к € {1,... ,п — 1} имеет место

-Ьоо +оо

J Cj+1(t)dt < +оо (j=fc,...,n), J ck{t)dt = +oo. (8)

Пусть, кроме этого, для любого г € {fc,...,п— 1} при котором г+n нечетное число, соблюдается одно из следующих условий

а) 0 < А < 1, r,*+u(rn%1>1+1(0) <t при t > 7(0) и

+оо Ti+l..+ lC) . л

J Ci+,(í)( J b¡(s,j(0))dsj "л = +ос;

•У(О)

б) Л > 1, r„-+lil(¿) > Í, при í > 7(0) и

+0° / +<XI ч Л —Л

J bi(t,7(0))( J Ci+1(s)dsj ' "л = +oo.

Тогда система (3) обладает свойством Д.

Теорема 3.3. Пусть выполнены условия (б), (7), и - нечетное число и для некоторого к 6 {1,..., л — 1} имеет место (8). Пусть, кроме этого, для любого г £ {&,..., л — 1} при котором г + п нечетное число, соблюдается одно из следующих условии

а) г*+и(гп"+1,.-н(г)) <1 при г > 7(0) и

/ ' ( / >1; 1 ' ^ у(0) '

б) г;+1Д(0 > г при г > 7(о) и

4Птэ( / ¿¡(3,7(0))^] ■ ( | *+,(*)</*) ' > 1. Ч(=-5 ' ЧмС) 7

Тогда система (3) обладает свойством А.

В четвертом параграфе рассмотрен частный случай когда п = 3. Вторая глава содержит три параграфа. Из результатов полученных во второй главе можно отметить результаты полученные для следующей линейной системы

¡х',(1) = г,-+1(А'+1 • г) (г = 1,... ,п — 1),

(<(0=р(г)-г1(/?1-г),

где р 6 11ос(Я), /3,- €]0; +оо[ (« = 1,..., п).

п

Теорема 7.7. Пусть р е ¿/ос(Л+;Д_), П А > 1 и

¿=1

(1ти / > (гс - 1)! П/5Г1-

I '-1

Тогда система (9) обладает свойством А.

Теорема 7.9. Пусть р € Ььс(Я+; Л-),'П # 1 ( П & < Л и

¡=1 4=1 '

¿¡т^ /> (п - 1)! П /Г' ((« - 1)! Ц/9/"").

о 1-1 1-1

Тогда система (9) обладает свойством А.

(9)

Теорема 7.10. Пусть р € L,oc(H+;Ä+), > 1 ^ О

и при четном п

, п .

(limi J sn-2p{s)ds > 2(n - 2)! П /Г2 (2(» - 2)! П ß!+1~"),

а при нечетном п

+ ГО „ „

Шг J sn-*p(s)ds > (П - 1)!П«'-1 ((» - ОТЯ*"")-

f 1=1 i=3 '

Тогда система (9) обладает свойством В.

Апробация и публикации. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах заседаний института прикладной математики им. И.Н.Векуа (1990 г., 1992 г.), на семинаре по обыкновенным дифференциальным уравнениям Математического Института им. А.Размадзе, на съезде математиков Грузии (1994 г.), на научной конференции Грузинского Технического Университета (1995 г.).

Они опубликованы в следующих статьях автора:

1. Об осцилляционных свойствах систем обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами. Докл. семинара ИПМ им. И.Н.Векуа, ТГУ, 1990, 5, N 3, 49-53.

2. О поведений решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами. Докл. семинара ИПМ им. И.Н.Векуа, ТГУ, 1992, 7, N 3, 50-52.

3. On Oscillatory properties of the n-th order System of Differential Equations with Deviating arguments. Mem. Differential Equations Math, Phys., 1995, 6, 127-129.

4. On Oscillatory properties of an n-th order System of Linear Differential Equations with Deviating arguments. Mem. Differential Equations Math, Phys., 1998, 13, 132-135.