Краевые задачи для одного класса нелокальных дифференциальных уравнений на плоскости

Саушкин, Иван Николаевич

Краевые задачи для одного класса нелокальных дифференциальных уравнений на плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Саушкин, Иван Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Самара МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Краевые задачи для одного класса нелокальных дифференциальных уравнений на плоскости»

Автореферат диссертации на тему "Краевые задачи для одного класса нелокальных дифференциальных уравнений на плоскости"

На правах рукописи

Саушкин Иван Николаевич

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛ4ССА НЕЛОКАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

НА ПЛОСКОСТИ

01 01.02 — «Дифференциальные уравнения»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород - 2006

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и информатики инженерно-экономического факультета Самарского государственного технического университета

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Андреев Александр Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Зарубин Александр Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Килбас Анатолий Александрович

Ведущая организация:

Казанский государственный университет

Защита состоится 14 февраля 2006 г. в 16.00 часов на заседании диссертационного совета К212.015.05 при Белгородском государственном университете по адресу: 308015, г.Белгород, ул. Студенческая, 14, ауд. 322.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан 11 января 2006 года

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н., профессор

Глушак А.В.

^^ 22547 7

щая характеристика работы

225477?

Актуальность темы. Понятие нелокального оператора и связанное с ним понятие нелокального дифференциального уравнения появилось в математике сравнительно недавно. В соответствии с определением, приведенным А.М Нахутевым в его монографии1, к числу нелокальных дифференциальных уравнений относятся: нагруженные уравнения, уравнения, содержащие дробные производные искомой функции, уравнения с отклоняющимися аргументами, иными словами, такие уравнения в которых неизвестная функция и ее производные входят, вообще говоря, при различных значениях аргументов.

В 50-60 годы XX века в связи с возросшим интересом к задачам теории управления стала интенсивно развиваться теория обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим или опережающим аргументом. В этот период вышли хорошо известные монографии отечественных авторов Н.М. Красовского, А.Д Мышкиса, С.Б. Норкина, Л.Э. Эльсгольца, и иностранных ученых Р. Веллмана и К. Кука, Э. Пинни, А. Халаная.

Среди дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами особое место занимают уравнения, в которых отклонение аргументов носит знакопеременный характер. К числу таких отклонений относится так называемое отклонение инволютивного типа. Отображение a(t), которое является изменяющим ориентацию гомеоморфизмом простой непересекающейся замкнутой или разомкнутой кривой в комплексной плоскости, принято называть карлемановским сдвигом или инволютивным отклонением, если a2(t) = a(a(t)) = t Свойства этого гомеоморфизма приведены и изучены в монографиях 3. Нитецкого, Г.С. Литвинчука, Н.К. Карапетянца и С.Г. Самко. В дальнейшем эти свойства использовались многими авторами при исследовании разнообразных уравнений, содержащих тот или иной инволютивный оператор — сингулярных интегральных уравнений, функциональных уравнений, в краевых задачах теории аналитических функций, в уравнениях типа свертки и так далее.

Хорошо известно, что дифференциальные уравнения, содержащие инво-лютивное отклонение в искомой функции или ее производной, являются некоторыми модельными уравнениями со знакопеременным отклонением аргумента. В целом, такие уравнения можно отнести к классу функционально-дифференциальных уравнений.

Впервые обыкновенные дифференциальные уравнения с инволютивным отклонением упоминаются в работе Ч. Баббеджа еще в 1816 году.

В последнее время достигла заметных результатов теория нелокальных задач, по терминологии A.A. Дезина. Решение многих практически важных задач, связанных с динамикой почвенной влаги, описанием процесса диф-

1 Нахушев А М Уравнения математической биологии М ™--------------- 1 ~

фузии частиц в турбулентной плазме, моделированием процесса излучения лазера и диффузии в трехкомпонентных системах, приводит к нелокальным краевым условиям. Как отмечено, например, в монографии A.M. Нахушева, упомянутой выше, исследования последних лет убедительно показывают, что в математической биологии весьма часто возникают как нелокальные краевые, так и смешанные начально-краевые задачи. Такие задачи возникают, в частности, при моделировании процесса размножения микробных популяций в биологическом реакторе.

Исследование нелокальных краевых задач было начато в работах В.И. Же-галова2, А.В.Бицадзе, A.A. Самарского3, и A.M. Нахушева4.

В период с 70-х по 90-е годы в указанном направлении появилась серия работ М.Х. Абрегова, А А.Андреева, Х.Г.Бжихатлова, A.B. Бицадзе, В.Ф.Вол-кодавова, Х.Ш. Джураева, В.И. Жегалова, НИ.Ионкина, С.К Кумыковой, Е.И. Моисеева, А М. Нахушева, А.И. Прилепко, O.A. Репина, A.A. Самарского. М.М Смирнова, А.П. Солдатова, В.А. Стеклова, Я.Д. Тамаркина, Ф.И. Фран-кля, A.M. Krall, M. Picone и других.

Среди первых работ по исследованию краевых задач для уравнений в частных производных второго порядка с отклонениями в старших производных следует отмстить работы И.М. Гуля и А.Б. Нерсесяна, в которых было обращено внимание на эффект влияния отклонения аргумента на корректность постановок классических задач.

Следует также отметить работы, посвященные исследованию как классических так и нелокальных задач для дифференциальных уравнений в частных производных с отклонении аргументов в младших и старших производных А А Андреева. Э III Баллы и И И. Маркута, В А. Домбровского и В.И. Фодчука, А H Зарубина, А В Линькова, Т III. Кальмснова и М.А. Сады-бскова. В Р Носова. Е Н. Огородникова. В В. Подгорнова, Б.И. Пташника, 3 Б. Ссидова. А Ю. Сеницкого, A.JT. Скубачевского, Б П Ткача и некоторых других авторов.

Заметим, что к подобным нелокальным уравнениям сводятся некоторые задачи интегральной геометрии, обратные задачи кинематической сейсми-ки и геофизики, задачи колебания, вызванные двумя синхронными источниками, задачи теории упругости, теории магнитогидродинамических течений. теории распространения упругих электромагнитных волн, описываемых уравнением Максвелла с памятью, теории пластичности и иолзучести, когда нельзя пренебречь наличием запаздывания деформаций в теле относительно приложенных напряжений и другие.

Как отмечают многие авторы, прикладное значение теории нелокальных

2ЖегаловВ И Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии // Уч записки КГУ, 1962. Т.122 Кл.З. С 3-16

3Бицадзе А В , Самарский, А А О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Докл АН СССР. 1969. Т 1S5. №4. С 739 740.

4НахушевА M Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Докл АН СССР 1969 Т.187. №4. С 736-739.

дифференциальных уравнений обусловлено тем обстоятельством, что теория обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, содержащих инволютипные отклонения аргу ментов искомых функций и их производных, изучена явно недостаточно и остается весьма далекой от своего завершения.

Цель работы. Целью диссертационной работы является постановка и изучение методов решения как классических так и неклассических начальных и начально-краевых задач для одного класса нелокальных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка на плоскости с инволютивными отображениями аргументов, обоснование корректности этих задач, доказательство соответствующих теорем существования и единственности решений, что и определяет структуру работы и содержание ее отдельных глав.

Методы исследования. Основные результаты диссертации получены путем редукции поставленных классических краевых задач или их аналогов для изучаемых нелокальных дифференциальных уравнений к классическим или известным неклассическим краевым задачам для определенным образом получаемых систем двух локальных дифференциальных уравнений, применением методов Римана Римана-Адамара Фурье, теории сингулярных интегральных уравнений, краевых задач Римана и специальных функций.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1) приведен пример обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с переменными коэффициентами, содержащего искомую функцию, вычисленную в инволютивной точке, для которого показано неравноправие левосторонней и правосторонней задач Коши в смысле единственности решения, а также показано влияние инволюции на свойства решений,

2) найдено решение в явном виде и обоснована корректность классической задачи Коши для телеграфного уравнения, возмущенного значением искомой функции в инволютивных точках специального вида, показано влияние инволюции на асимптотику решения задачи Коши; найдены решения в явном виде и обоснована корректность двух нелокальных характеристических задач;

3) найдены решения в явном виде и обоснована корректность задачи Коши. квазихарактеристических задач Гурса, Коши-Гурса и Дарбу с заданием нелокальных условий на части квазихарактеристик для одного нелокального уравнения, порожденного дифференциальным оператором второго порядка, возмущенным оператором того же семейства относительно искомой функции, вычисленной в инволютивных точках;

4) методом Фурье обоснована корректность и найдены решения в явном виде двух задач Дирихле в прямоуюльной области для одного уравнения с нелокальным дифференциальным оператором второго порядка, возмущенного оператором того же семейства относительно искомой функции, вычисленной в инволютивных точках;

5) рассмотрены аналоги задачи Трикоми в неограниченных симметричных областях для уравнений, порожденных операторами типа Лаврентьева-Бицадзе с одной, двумя перпендикулярными и двумя параллельными линиями вырождения типа и возмущенных значениями второй производной искомой функции вычисленной в инволютивных точках; обоснована корректность задач и найдены решения в явном виде.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. В ней продолжены исследования в области классических и нелокальных краевых задач для одного класса нелокальных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с инволютивными отображениями аргументов.

Результаты работы могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории классических и нелокальных краевых и начально-краевых задач для нелокальных уравнений с инволютивными отображениями аргументов.

Практическая значимость заключается в возможности применить полученные результаты к исследованию конкретных дифференциальных уравнений, являющихся моделями физических и природных процессов.

Результаты, выносимые на защиту:

1) Теорема о корректности левосторонней и правосторонней задач Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с переменными коэффициентами, содержащего искомую функцию, вычисленную в инволютивной точке.

2) Теоремы о корректности классической задачи Коши и нелокальных характеристических задач для телеграфного уравнения, возмущенного значением искомой функции в инволютивных точках специального вида.

3) Теоремы о корректности задачи Коши, квазихарактеристических задач Гурса, Коши-Гурса и Дарбу с заданием нелокальных условий на части квазихарактеристик для одного нелокального уравнения, порожденного дифференциальным оператором второго порядка, возмущенным оператором того же семейства относительно искомой функции, вычисленной в инволютивных точках.

4) Теоремы о корректности задач Дирихле в прямоугольной области для одного уравнения с нелокальным дифференциальным оператором второго порядка, возмущенного оператором того же семейства относительно искомой функции, вычисленной в инволютивных точках.

5) Теоремы о корректности краевых задач в неограниченных симметричных областях для уравнений, порожденных операторами типа Лаврснтьева-Бицадзе с одной, двумя перпендикулярными и двумя параллельными линиями вырождения типа.

Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на:

международной конференции «Математическое моделирование, статисти-

ка и информатика в современном управлении экономикой», посвященной 70-летию Самарской государственной экономической академии (июнь 2001 г.) в СамГЭА, г. Самара;

- научной конференции «Проблемы современной математики», посвященной 125-летию Казанского государственного педагогического университета (22-24 октября 2001 г.) в КГПУ, г. Казань;

— второй международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (3 7 декабря 2001 г.) в НИИ ПМА КБНЦ РАН, г. Нальчик:

— международном Российско-Узбекском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (18 25 мая 2003 г.) в НИИ ПМА КБНЦ РАН. г. Нальчик-п. Эльбрус;

международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанного тина и родственные проблемы анализа и информатики» (22 26 мая 2004 г.) в НИИ ПМА КБНЦ РАН, г Нальчик-п. Эльбрус:

— ежегодном Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (2003-2005 гг.) в Сочинском госуниверситстс ТиКД, г. Сочи;

— ежегодных межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (2002-2003 гг.) в СамГТУ, г Самара.

- ежегодной международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки» (2004-2005 гг.) в СамГТУ, г. Самара;

— ежегодных всероссийских научных конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (2004 -2005 гг.) в СамГТУ, г. Самара.

- на Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (27 июня-2 июля 2005 г.) в СамГУ, г. Самара;

научном семинаре кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета в 2003 г. (руководитель д ф.-м.н., профессор Филатов О.П.);

- научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета в 2002-2005 гг. (руководитель д.ф.-м.н., профессор Радченко В.П.);

- научном семинаре кафедры математического анализа Белгородского государственного университета в ноябре 2005 г. (руководитель д.ф.-м.п , профессор Солдатов А.П.);

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 12-ти публикациях. Работы [1. 3, 4, 5, 8, 9] написаны в соавторстве с научным руководителем. Из совместных работ в диссертации представлены результаты, полученные автором самостоятельно.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 137 страницах, и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 190 наименований.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Министерства образования и науки РФ и Правительства Самарской области для студен-

тов. аспирантов и молодых ученых Самарской области в 2005 году (проект 270Е2.1К).

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, приведен обзор результатов исследований по ее тематике, кратко изложено содержание работы и методика исследований, приведены основные результаты.

В качестве объектов исследования в работе рассмотрены модельные нелокальные дифференциальные уравнения, которые в общем виде можно записать следующим образом:

Ми(х,у) + Nu(P(x,y)) - 0,

где M к N некоторые дифференциальные операторы второго порядка, причем N действует на функцию, вычисленную в инволютивной точке Р(х,у).

Пусть х ' множество гомеоморфизмов инволютивного типа второго порядка. Ксли отображение х задано в виде зависимостей: х —> а(х,у), у —► ß(x, у), то будем писать: для любой точки Р(х, у) G fi отображение X:P(x,y)^P'(a,ß), P'(a,ß)eü.

Первая глава посвящена краевым задачам для некоторых модельных нелокальных дифференциальных уравнений.

§1.1 носит вспомогательный характер. Здесь вводится известное понятие инволюции и приводятся необходимые в дальнейшем ее свойства.

В §1.2 для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

®/(i)=p(t)i(t) + ?(i)®Wi)l, ¿6 [ОД], (1)

где a(t) однозначно отображает отрезок [0,1] на себя, а коэффициенты удовлетворяют условию:

P(t) q(t)

p(a(t)) q(a(t)) aw'

рассматриваются левосторонняя з:(0) = xq и правосторонняя х(1) — Х\ задачи Коши Показано влияние слагаемого, содержащего инволютивное отклонение. на равноправие и корректность левосторонней и правосторонней задач Коши, а также на свойства решений этих задач. Результаты сформулированы в виде теоремы:

Теорема 1.1. Пусть А = Jq(t)dt. Тогда:

1) Если А - — + 2-ттк, к С- X, то однородные левосторонняя и пра-

восторонняя задачи Коши не равноправны в смысле единственности решения — правосторонняя задача имеет единственное тривиальное решение, а левосторонняя задача имеет бесконечное множество нетривиальных решений. В свою очередь, неоднородная левосторонняя задача Коши является некорректной в смысле существования решения, а правосторонняя - корректной.

7Г

2) Если А = ——+27Гк, к € 2, то ситуация прямо противоположная.

7Г

3) Если А / — + я"к, к € 2, то однородные левосторонняя и правосторонняя задачи Коши равноправны в смысле единственности (имеют единственное тривиальное решение). Неоднородные задачи Коши коррект-

г ны и имеют колеблющиеся решения.

В §1.3 рассматривается нелокальное уравнение

V игу(х,у)+ри(х,у) + ди(а{х,у),0{х,у)) = 0, (2)

которое получено из классического телеграфного уравнения добавлением слагаемого с инволютивным отклонением аргументов: а(х, у) = у, 0(х,у) — х, которое обладает свойством: отклонения но первому аргументу а(х,у) = = х + (у — х) и по второму аргументу у) — у — (у — х) имеют разные знаки (опережение при у > х и запаздывание при у < х ).

В бесконечной области О — {(х,у) : х € К, у € К} для уравнения (2) рассмотрена задача Коши:

Задача Коши. В области О найти решение уравнения (2), удовлетворяющее условиям

и{х,у)еС\Ж2), и^(х,у)&С{ К2), (3)

Ф,у)\у=х = г(х), хек,

и{х,у)\у=х = и{х), хек.

Решение найдено в явном виде. Также было установлено влияние инво-лютивного отклонения на асимптотическое поведение полученного решения на бесконечности по сравнению с классическим решением задачи Коши для телеграфного уравнения.

Результаты сформулированы в виде теорем: Теорема 1.2. Если т(х) е С1 (Ж),

и(х) € С(М), то задача Коши для

уравнения (2) корректна.

Теорема 1.3. Если р > |<?|, т(х) = О (|х|~А), 1/(х) = О (|х|~7), Л, 7 > 0, то при -у/х2 + у2 —* оо решение задачи Коши исчезает, в противном случае экспоненциально возрастает.

ду дх

В §1.4 в области И = {(х,у) :0<ж<1,0<у<1} для уравнения (2) рассмотрены две характеристические задачи С\ и С-1 с нелокальными условиями:

Задача С\ В области О найти решение уравнения (2), удовлетворяющее условиям (3) и

и(х, 1) ±и{1,х)

—^ =■ ф), 0 < X < 1,

и(0,у) - и(у, 0)

Ф{у), 0 < у < 1,

¥>(0) = Ф(1), (4)

где ¡риф- заданные функции.

Задача (7ч В области I) найти решение уравнения (2), удовлетворяющее условиям (3), (4) и

и( X, 1) — v(l,x)

ф), 0 < х s$ 1,

где <р и ф — заданные функции.

Отметим, что подобные условия для волнового уравнения впервые рассмотрел В.И Жегалов. A.M. Нахутев сделал первую попытку выяснения недо-определенности и переопределенности краевых задач, в которых участвовали подобные условия Также им была доказана корректность задачи, в постановке которой наряду с условиями со смещением, рассмотрено условие «ослабленной» задачи Коши.

Решения задач G\ и Gi найдены в явном виде, результаты сформулированы в виде следующих теорем:

Теорема 1.4. Если ф),ф(у) £ Сг(0,1) П С[0,1], <р',ф'£Ьл[0,1], то задача G\ для уравнения (2) корректна.

Теорема 1.7. Если ф),ф{у) е С^О, 1) О С(0,1], <р',ф' 6 Ьг[0,1], то задача Gi для уравнения (2) корректна.

Во второй главе рассматриваются два нелокальных уравнения

Lpv(х, у) -t eLqu(a(x, у),(3(х, у)) = 0, (5)

д2 д2 д2

где L\ = 7— Л 2Ат—— + 7—г дифференциальный оператор. О < е < 1,

дх2 дхду ду2

а{х,у) = у, /3{х,у)=х, p,geR:

[\p+qe |>1+е,

1 |р - > 1 - е, U

и уравнение

Маи{х, у) + Мди{~х1 у) = 0, (7)

где = а = ß = {ßM,

otk,ßk€R.

Уравнения (5) и (7) получены из операторов Ьр и Ма соответственно, возмущенных операторами того же семейства, действующих на функции, вычисленных в инволютивных точках. Вообще говоря, в силу (6) операторы Lp и Lq могут быть разных типов, а оператор Ма сам по себе является нелокальным.

Уравнение (7) также можно записать в следующем виде:

д2и(х,у) д2и(х,-у) д7и(-х,у) д2и(-х, -у)

ду2 + 02 + ßi df + ß2-Щ— =

Уравнение (5). вообще говоря, не поддается известной классификации, так как тип уравнения — это его локальное свойство Для него нет понятия характеристик, и краевые задачи, которые для него рассматриваются, сложно назвать краевыми так как условия задаются вне области, в которой ищется решение той или иной задачи.

Под квазихарактсристиками уравнения (5) будем понимать прямые

1 i 1

у — ах + с, у = -х + с, у ~-Ьх + с, у = -х + с,

а b

где

p+qe

а = ---V

1 +е

Для этого уравнения не определено понятие характеристики, но приведенные прямые являются характеристиками системы уравнений, построенной определенным образом.

В §2.1 для уравнения (5) в области D — {{х,у) :у Ь х > 0} рассматривается задача Когаи:

Задача Коши. В области D найти функцию и(х,у) <Е C2(D) П C(D), удовлетворяющую уравнению (5) и условиям

lim и(х, у) - т(х) лей, (8)

у+я-И-0

lim ди^У"> = у(х). х£ш. (9)

и+х ->ю ду

Решение найдено в явном виде, результат сформулирован в виде теоремы.

Теорема 2.1. Если т(х) € С2(К), г/(х) е С^Ж), то задача Коши для уравнения (5) корректна.

В §2 2 для уравнения (5) в области Н* С Н", где Щ — [~{х — с(1 + 7) < <у< 7Х + с(1 1-7)}П{7Х - с(1 +7) < у < -)Х + с(1 + 7)}. 7 ~ 1/7 > с С М, рассматривается квазихарактеристическая задача Гурса с заданием нелокальных краевых условий на квазихарактеристиках уравнения. Задача С В области Ньс С Щ найти функцию и(х, у) £ С2 (Я(&), удовлетворяющую в Щ уравнению (5) и условиям

р(с) = ф(с),

где &{(х) - вЦх) - аффиксы

точек пересечения квазихарактеристик.

Решение найдено в явном виде, результат сформулирован в виде теоремы: Теорема 2.2. Если 1р{х),ф{х) £ С2{- с, г), то задача <? для уравнения (5) корректна.

В §2.3 и §2.4 для уравнения (5) в треугольной области С где П2 — {7Х — с(1 + 7) < у < 7£ + с(1 ¡- 7), у f х > 0} , рассмотрены квази-характеристическис задачи Дарбу ОХ\ и О Ко и Коши-Гурса СО\ и СО-, с заданием нелокальных краевых условий па части квазихарактеристик. При д = 0 данные задачи являются задачами со смещением. Задача ОХВ области Оьс С Щ найти функцию и(х,у) С С2 (Ц?), удовлетворяющую в уравнению (5) и условиям (8) при х £ [-с,с], (10), (11) при же[-с,-§] и <р{-с) - ф{-с) т(-с). Задача ОХэ В области Оьс с найти функцию и(х,у) £ С2 (/)'), удовлетворяющую в И" уравнению (5) и условиям (8) при х £ [—с. Н, (10) при (11) при х<е[-с,-%] и ф{-с) = т(-с).

Задача СС\ В области Иьс С О^ найти функцию и(х, у) С С2 (/}?). удовлетворяющую в О" уравнению (5) и условиям (9) при х € (—с, с), (10), (11) при х £ [-с,-§] и у(~с) - Ф{-с)

Задача СОг. В области Пьс с Щ найти функцию и(х,у) е С2 , удовлетворяющую в Я? уравнению (5) и условиям (9) при х £ (-с,с), (10) при х 6 [-|,0] , (И) при х € [—с, -§] .

Решения найдспы в явном виде, результаты сформулированы в виде тсо рем:

Теорема 2.3. При <р(х),ф{х) £ С2 [-с, -§] , ф) £ С2(-с,с) П С[-с,с] задача ОХ 1 для уравнения (5) корректна.

Теорема 2.4. При ф) е С® [—^, 0], ^(х) е С2[-с,-|], т(х) е € С2(—с, с) П С[—с, с] задача /ЗА^ для уравнения (5) корректна Теорема 2.5. При ф),ф{х) € С2 [-с,, ¿/(х) £ ¿^(-с.с) задача ССп для уравнения (5) корректна.

Теорема 2.6. При ф) е С2[-|,0], ^(х) С С2 [- с, — §], и{х) С € С1(—с, с) задача ССо для уравнения (5) корректна.

В §2.5 в прямоугольной области Я — {(х,2/) ' х е ( -7Г, 7г),у € (—Т, Т)} для уравнения (7) рассмотрены две задачи Дирихле:

Задача В области Н найти функцию и(х,у) С С2(Я) П С{Н),

удовлетворяющую уравнению (7) и условиям:

Задача D2. В области Н найти функцию и{х,у) е С2(Я) П С(Н), удовлетворяющую уравнению (7) и условиям (12) и

и(х,Т) = и(х, —Т) = ф(х), X G [—7Г,7г].

Решения найдены в явном виде, результаты сформулированы в виде лемм и теоремы:

Лемма 2.1. Система функций sin их, cos(A;) 1/2)х, п с N, í: G Nu{0}, ортогональна и полна в L2[ тг, тг] ■

Лемма 2.3. Если функция /(х) непрерывна на отрезке [—тг,7г], имеетi на этом отрезке кусочно-непрерывную производную и удовлетворяет условию /(—7г) = /(7г) = 0, то тригонометрический ряд по системе функций нтпх, cos(fc+l/2)x, п С N, k е N U {0} функции /(х) сходится абсолютно на [—п,%}.

Теорема 2.7. Если <р(х) £ С{—тг.7г], и ¿¿i < 0, /ъ ^ 0, то задача Di

д , «i + A «i - А

аля уравнения (7) корректна, где —-—, =-тр.

а2 + Р2 «г — Р2

Теорема 2.8. Если ф(х) £ С\—7г,7г], и ^ 0, ^ 0: то задача D2

для уравнения (7) корректна.

Третья глава посвящена краевым задачам в симметричных бесконечных

областях для нелокальных дифференциальных уравнений с оператором типа

Лавретьева-Бицадзе.

В §3.1 для уравнения

0 < г < 1, в области На С Нь, где II"' - {(х, у) . у 4 7Х > 0,7у +- х > 0}, а — л/1 +- £• Ь = рассмотрена краевая задача Тх с нелокальными

условиями на квазихарактеристиках

«(-7г>1/)-и(тг,») = 0> у £ [-Т,Т], и(х,Т) = -u(x, -Т) — у?(х), 2-' £ [-т-, тг].

(12)

2/) * sgn (ху)иуи(х, у) + £uv,j{y. х) = 0,

(13)

Задача Т\. В области IIй С Нь найти ограниченную при у/х2 + у2 оо, функцию и(х,у) е С1 (Нь)пс(1(допускается, что в начале координат производные их и иу могут иметь логарифмическую особенность), удовлетворяющую в На уравнению (13) при х 0, уф О и условиям

и(—х,ах) + и(ах,—х) . . 4 --- = <р(х), х>0,

и{—х, Ьх) — и(Ьх, —х)

ф(х). х > О.

Решение найдено в явном виде, результаты сформулированы в виде теоремы

Теорема3.1. Если СС(М'(0,+со), причем при г оо <¿/(0-

= О (ГА) , - О (Г7), Л > 1, 7 > 1, <5 > 0, то задача 7\ для

уравнения (13) корректна В §3.2 для уравнения

и1Т(х, у) + sgn (ух - У2)иуу{х, у) + еиуу(-х, у) = 0, (14)

О < е < 1, на всей плоскости рассмотрена краевая задача с нелокальными условиями на квазихарактеристиках:

Задача 'Г?.. Найти функцию и(х, у) 9 С2 (К2), исчезающую на бесконечности, обладающую частными производными первого порядка, непрерывными вплоть до у = 0, у — п, за исключением, быть может, точек (0,0), (0, ж), удовлетворяющую уравнению (Ц) и условиям при х е (—оо,0)и (0,+оо):

и (ах, -х) + и (-ах, - х) , , --- = Щ{х),

и (ах, х + тг) +и (—ах, х -| 7г)

и (Ьх, —х) + и (—Ьх, —х) 2

и (Ьх, X + 7Г) + и (—Ьх, X + 7г)

<Р2(х).

= Ф\{х), = Фъ(х).

Решение найдено в явном виде, результаты сформулированы в виде теоремы:

Теорема 3.2. Если (р'к(х),ф'к(х) & оо, +оо). причем при |я| оо

<р'к(х) О (е~х И), ф'к(х)~0(е~^ I), А > 1, <5 > 0, к = 1,2, то задача Тч для уравнения (Ц) корректна.

В §3 3 для уравнения

ихт(х, у) + sgn уиуу(х, у) + еию{2-х - х, у) - 0, (15)

О < £ < 1, в области 0й С С}ь , где = {(х.у) : -Ху < х < +Ху,у < 0} и {{х,у) : 0 < х < 2-я,у > 0}, рассмотрена краевая задача Тз с нелокальными условиями на квазихарактеристиках: Задача Т3. В области 0я с £}ь найти функцию и(х,у) € С1(С}а)Н С\С{С} ), исчезающую при у —► оо, удовлетворяющую в С}ь уравнению (15) при у ■/■ 0 и условиям:

и(0, у) = и(2я, у) = <р(у), 0 < у < оо, и (х, -ах) и (2тг — х, ах) , , , / 7г\

--*е(о,-),

--^-Г--х е V 2/

Решение найдено в явном виде, результаты сформулированы в виде теоремы:

Теорема 3.3. Если р(у) £ С(0, оо), причем при у —> оо — О (з/_Л),

Л > 0, ф1(х),ф2(х) € (0, |), то задача 7з для уравнения (15) корректна.

Публикации по теме диссертации

1. Сауихкин И. Н., Андреев A.A. Видоизмененная задача Гу рса для телеграфного уравнения с инволютивным сдвигом // «Мат. моделирование, статистика и информатика в соврем, управлении экономикой»: Тр. Международ. конф. Самара, 2001. С. 202-204.

2. СаушкинИ.Н. О влиянии инволютивного сдвига на асимптотические свойства решения задачи Коши // Проблемы соврем, мат.: Тр. мат. центра им. Н.И. Лобачевского. Т.Н. Казань, 2001. С. 240-241.

3. СаушкинИ.Н., Андреев A.A. Асимптотика решения задачи Коши для одного нелокального уравнения // «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики»: Тез. докл Второй Международ, конф Нальчик, 2001. С. 54-55.

4. СаушкинИ.Н., Андреев A.A. Аналог задачи Гурса для одного дифференциального уравнения специального вида с инволютивным отклонением // «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики»: Материалы Международ. Росс.-Узбек. симп. и шк. молодых ученых. Нальчик-Эльбрус, 2003. С. 21-22.

5. СаушкинИ.Н., Андреев А. А. Задача Коши для одного дифференциального уравнения специального вида с инволютивным отклонением // «Мат. моделирование и краевые задачи»: Тр тринадцатой ьшжвуз. кснф. Сама-

ра: СамГТУ, 2003. С. 144-147. V

СаушкинИ.Н. О задаче Коши для одного ДВйхртренциального j ния с инволютивным отклонением // «А^щОиЖю проблемы совре] науки»: Тр. 4-й Международ, конф. м<н(Ьых ученых и

«Естественные науки. Математика Самара: СамГТУ, 2003. С. 62-64.

7. СаушкинИ.Н. Аналог задачи Дарб} РНБ Русский фонд нения специального вида с инволют

вертого Всеросс. симп. по приклад 2006~4 кладной и промышл. мат. Т. 10. Вьи--

8. СаушкинИ.Н., Андреев A.A. Анал( 28420

го уравнения ЛаврентьевагБицадз«

родственные проблемы анализа и инуирта^ки». «нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики»: Материалы Международ. Росс -Казах, симп. и шк. молодых ученых. Нальчик-Эльбрус. 2004. С. 21-22.

9. СаушкинИ.Н., Андреев A.A. Об аналоге задачи Трикоми для одного модельного уравнения с инволютивным отклонением в бесконечной области // Вестн. Самар. техн. ун-та. Сер.: «Физ.-мат. науки». Вып.34. 2005. С. 10 16.

10. СаушкинИ.Н. Об одной краевой задаче для уравнения с инволютивным отклонением в бесконечной области // «Мат. моделирование и краевые задачи»: Тр. Второй Всеросс. конф. Ч.З. Самара: СамГТУ, 2005. С. 199 204.

11. Саушкин И.Н. Аналог задачи Трикоми для уравнения, порожденного оператором Лаврентьева-Бицадзе, содержащего инволютивный сдвиг // Тез докл. Шестого Всеросс. симп. по прикладной и промышл. мат. Обозрение прикладной и промышл. мат. T.12. Вып.2. Москва: ОПиПМ. 2005. С. 503.

12. СаушкинИ.Н Об одном аналоге задачи Коши для одного дифференциального уравнения с инволютивным отклонением // Тез. докл. Шестого Всеросс. симп. по прикладной и промышл мат. Обозрение прикладной и промышл. мат. Т12. Вып.З. Москва: ОПиПМ, 2005. С. 768-769.

Подписано в печать 30 декабря 2005 г. Заказ .№591 Тираж 100 экз. Отпечатано на ризографе Самарский государственный технический университет. Отдел типографии и оперативной полиграфии. 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская. 244.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Саушкин, Иван Николаевич

Введение

1. Краевые задачи для модельных нелокальных дифференциальных уравнений

1.1. Понятие инволютивного отклонения и некоторые его свойства

1.2. О корректности задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с инволюцией.

1.3. Задача Коши для возмущенного телеграфного уравнения

1.4. Нелокальные характеристические задачи G\ и G2 для возмущенного телеграфного уравнения.

2. Краевые и начально-краевые задачи для нелокальных дифференциальных уравнений второго порядка

2.1. Задача Коши.

2.2. Квазихарактеристическая задача Гурса.

2.3. Квазихарактеристические задачи Дарбу.

2.4. Квазихарактеристические задачи Коши-Гурса.

2.5. Задачи Дирихле

3. Краевые задачи для нелокальных дифференциальных уравнений с оператором Лаврентьева-Бицадзе

3.1. Краевая задача для нелокального уравнения, порожденного оператором типа Лаврентьева-Бицадзе с двумя перпендикулярными линиями вырождения типа.

3.2. Аналог задачи Трикоми для нелокального уравнения, порожденного оператором типа Лаврентьева-Бицадзе с двумя параллельными линиями вырождения типа.

3.3. Аналог задачи Трикоми для нелокального уравнения, порожденного оператором Лаврентьева-Бицадзе.

Введение диссертация по математике, на тему "Краевые задачи для одного класса нелокальных дифференциальных уравнений на плоскости"

Актуальность темы. Понятие нелокального оператора и связанное с ним понятие нелокального дифференциального уравнения появилось в математике сравнительно недавно. В соответствии с определением, приведенным A.M. Нахушевым в его монографии [97], к числу нелокальных дифференциальных уравнений относятся: нагруженные уравнения [97, 98], уравнения, * содержащие дробные производные искомой функции [97, 98, 170, 171], уравнения с отклоняющимися аргументами, иными словами такие уравнения, в которых неизвестная функция и ее производные входят, вообще говоря, при различных значениях аргументов.

В 50-60 годы XX века в связи с возросшим интересом к задачам теории управления стала интенсивно развиваться теория обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим или опережающим аргументом. В этот период вышли хорошо известные монографии отечественных авторов А.Д. Мышкиса [89], С.Б. Норкина [103], Н.М. Красовского [76], Л.Э. Эльсголь-ца [154] и иностранных ученых Р. Беллмана и К.Кука [24], Э.Пинни [108], А. Халаная [161].

Среди дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами 1 особое место занимают уравнения, в которых отклонение аргументов носит знакопеременный характер. К числу таких отклонений относится так назы-^ ваемое отклонение инволютивного типа. Отображение a(t), которое является изменяющим ориентацию гомеоморфизмом простой непересекающейся замкнутой или разомкнутой кривой в комплексной плоскости, принято называть карлемановским сдвигом [81] или инволютивным отклонением [10], если a2(t) = a(a(t)) = t. (1)

Свойства этого гомеоморфизма приведены и изучены в монографиях 3. Ни-тецкого [102], Г.С. Литвинчука [81], Н.К. Карапетянца и С.Г. Самко [68]. В дальнейшем эти свойства использовались многими авторами при исследовании разнообразных уравнений, содержащих тот или иной инволютивный оператор — сингулярных интегральных уравнений [81], функциональных уравнений [21], [68], в краевых задачах теории аналитических функций [81], в уравнениях типа свертки [68] и так далее.

- Если а(£) — гомеоморфизм, отображающий некоторый отрезок I = [t\, £2] действительной оси на себя, имеет одну неподвижную точку t* : а (t*) = t*, то а (£1) = t2, ос (£2) = t\\\. всюду на /\ {Г} выполняется неравенство a(t) -t)(t- t*) < 0. (2)

Карлемановский сдвиг аргумента (1) можно представить в виде a{t) = t-r(t), где r(t) = t~a(t).

Отклонение r(t), в силу неравенства (2), на I меняет свой знак, то есть дифференциальные уравнения, содержащие карлемановский сдвиг (1), будут являться некоторыми модельными уравнениями со знакопеременным отклонением аргумента (при t < t* уравнения с опережающим аргументом, а при t > t* — с запаздывающим). В целом, такие уравнения можно отнести к классу функционально-дифференциальных уравнений.

Впервые обыкновенные дифференциальные уравнения с инволютивным отклонением встречаются еще в работе Ч. Баббеджа (Ch. Babbage) [155], опубликованной в 1816 году, в которой автор получил явные формулы решений уравнений вида dny(x) , . где ар(х) = ар1(а(:с)) = х, р < п.

В 1921 году В.Файт в работе [159] описал свойства решений обыкновенного дифференциального уравнения dyix) / ч / \ = ау(-х), х € (-оо, +оо), с инволюцией частного вида (отражением) а{х) — —х, и показал, что это дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами имеет колеблющееся решение. Более того, решения уравнения у^(х)-р(х)у(а(х)) = 0. (3) обладают следующими свойствами: при р(х) > I > 0 и нечетных п — все решения осциллируют; при р(х) > I > 0 и четных п — среди решений могут быть и неосциллирующие. В случае а(х) = х, ситуация, как известно [86], прямо противоположная.

И.Г. Петровский [106] привел пример уравнения с простейшим инволю-тивным отклонением dii(x) ау(х) + by (с -х), х е ( оо, +оо) (4)

Это уравнение интересно тем, что, если рассмотреть его на (0, с), то правосторонняя (у{с) = 0) и левосторонняя (у(0) = 0) задачи Коши неравноправны в смысле единственности решения. Например, при а = 1, 6=1, с=1 левосторонняя задача Коши имеет бесчисленное множество решений вида у — кх, где к — произвольное вещественное число, тогда как правосторонняя задача Коши имеет только единственное тривиальное решение [10].

Уравнение (3) является уравнением с отклоняющимся аргументом, причем

JtoaGr) = тоо. (5) lim q(q(x)) = ±00. (G)

00 4 '

A.H. Шарковский и B.H. Шевело в [150] привели методику сведения дифференциального уравнения n-ного порядка с инволютивным отклонением аргумента, обладающим свойством (5) к некоторому дифференциальному уравнению 2п-ного порядка с отклонением вида (6), для которых известен ряд теорем об осцилляции решений (см. также работы Ю.А. Митропольского [86], А.Н. Шарковского [149], В.Н. Шевело [151]).

В работе В.И. Мироненко [85] предложен метод, позволяющий находить начальные данные периодических решений дифференциальных систем, основанный на представлении решения x(t) дифференциальной системы с 2со-периодической правой частью в виде суммы четной x4(t) = \) + x(—t)} и Z нечетной xn(t) = ~[x(t) — x(—t)} частей этого решения.

Отметим, что к обыкновенным дифференциальным уравнениям, содержащим простейшую инволюцию — отражение = с — х, сводятся некоторые геометрические задачи [166], например, при с = 0 это задача И.Бернулли и J1. Эйлера о взаимных траекториях [24, стр. 98], а также краевые задачи для уравнений в частных производных гиперболического и эллиптического типов, если оператор уравнения допускает факторизацию [148, стр. 121]. Функциональные уравнения с отражением аргумента —х применяются в теории фильтрации [3G, стр. 61].

Дифференциальные уравнения с карлемановским сдвигом, в том числе и отличным от отражения, были предметом исследования Ю.А. Майстренко [82], Р. Келмана [164], JI. Зильберштейна [174].

В 1931 г. Т. Карлеман [158] рассмотрел задачу отыскания аналитической функции в области, ограниченной замкнутой кривой Г, по известному ранее из задачи Газемана [162] краевому условию

Ф+(а(*)) = <7(*)Ф"(*), где a(t) — карлемановский сдвиг.

Отметим, что теория сингулярных интегральных уравнений с инволютив-ным отклонением фактически близка к завершению [G8, 81].

Линейные функционально-дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и линейными преобразованиями аргумента рассматривались во многих работах, например [28, 37, 38, 42, 45, 83, 90, 101, 117, 128, 153, 157, 160, 163, 167, 168, 173, 176].

Необходимо также отметить результаты А.П.Хромова [72, 74, 145, 146]. Так, например, в [145, 146] автор исследовал интегральный оператор вида

При доказательстве теорем о равносходимости для интегрального оператора с переменным верхним пределом интегрирования им существенно использовались свойства обыкновенного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом

Инволютивное отображение также применялось и В.А. Плиссом [109, стр. 271-279] при исследовании субгармонических колебаний, описываемых уравнениями без диссипации.

Простейшая инволюция — отражение применяется при обращении времени в классической статистической механике неравновесных процессов [61, стр. 20].

В последнее время достигла заметных результатов теория нелокальных, по терминологии А.А. Дезина [43], задач. Решение многих практически важных задач, связанных с динамикой почвенной влаги [31, 96, 99], описанием процесса диффузии частиц в турбулентной плазме, моделированием процесса излучения лазера [156] и диффузии в трехкомпонентных системах [177], приводит к нелокальным краевым условиям. Как отмечено, например, в мо

1-х О y'(x) = -Xy(l-x)-f(l-x). нографии А.М.Нахушева [97], исследования последних лет убедительно показывают, что в математической биологии весьма часто возникают как нелокальные краевые, так и смешанные начально-краевые задачи. Такие задачи возникают, в частности, при моделировании процесса размножения микробных популяций в биологическом реакторе [178].

Исследование нелокальных краевых задач было начато в работах В.И. Же-галова [48], А.В.Бицадзе, А.А. Самарского [27] и А.М.Нахушева [91].

В период с 70-х по 90-е годы в указанном направлении появилась серия работ М.Х. Абрегова [3], А.А. Андреева [7, 8], Х.Г. Бжихатлова [25], А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [27], В.Ф. Волкодавова [32], Х.Ш. Джураева [44], В.А. Елее-ва [47], В.И. Жегалова [48]-[51], В.А. Ильина и Е.И. Моисеева [63, 64], Н.И. Ион-кина [65], С.К. Кумыковой [73], Е.И.Моисеева [87], А.М.Нахушева [91]—[95], А.И. Прилепко [112], О.А.Репина [118]-[120], М.М.Смирнова [132], А.А. Самарского [125], А.П. Солдатова[133, 134], В.А. Стеклова [135], Я.Д. Тамарки-на [136], Ф.И. Франкля [144], Г.Н.Шевченко [152], A.M. Krall [165], M.Pico-ne [172] и других.

Среди первых работ по исследованию краевых задач для уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами второго порядка с отклонениями в старших производных следует отметить работы И.М. Гуля [39]-[41] и А.Б. Нерсесяна [100], в которых было обращено внимание на эффект влияния отклонения аргумента на корректность постановок классических задач.

И.М. Гулем в работе [39] были рассмотрены краевые задачи для уравнения вида д2и(аъ(31) д2и(а2,Р2) = Q дх2 ду2 ' где ctk — ctk(x,y), (3k = и было показано, что задача Дирихле не является корректной.

А.Б. Нерсесян в [100] рассмотрел постановку задачи Коши для дифференциального уравнения utt(x, at) = a2uxx(x,t) с отклонением в аргументе вида at.

Заметим, что уравнения, рассмотренные И.М. Гулем и А.Б. Нерсесяном, вообще говоря не поддаются классификации, так как принадлежность уравнения к тому или иному типу есть его локальное свойство [30].

А.Н. Зарубиным [53]-[58] его учениками [59, 60, 123] исследовались краевые задачи для уравнений в частных производных смешанного типа и уравнений с дробной производной с запаздывающим аргументом. Так, например, в статье [53] им были рассмотрены краевые задачи для уравнения, обобщающего уравнение Лаврентьева-Бицадзе ихх{х, у) + sigayuyy(x, у) - Н{х)и{х -т,у) = 0, а в работе [55] для уравнения

Н(у2 - R2)uxx(x, у) + и(х, у) - H{R2 - у2)их{х, у) - и{х -т,у) = 0 с помощью интегрального преобразования Лапласа по временной координате удалось редуцировать задачу обтекания двух несоприкасающихся плоскопараллельных пластин с тождественными теплофизическими свойствами к решению эллиптико-параболического уравнения с запаздывающим аргументом.

Отметим также работы Э.Ш. Баллы и И.И. Маркуша [22], В.А. Домбровс-кого и В.И.Фодчука [46], Т.Ш.Кальменова и М.А.Садыбекова [66], В.Р.Носова [104], В.В. Подгорнова [110], Б.И. Пташника [114, 115], З.Б. Сеидова [127], А.Л. Скубачевского [129]—[131], Б.П. Ткача [140, 141].

В работах А.А. Андреева [9]-[12] рассматривались дифференциальные уравнения, содержащие параметр е и инволютивные отображения одного или нескольких аргументов: д2

Ми{х, у) = £—и(а(х, у), /3(х, у)), 10 где М — есть дифференциальный оператор либо гиперболического, либо эллиптического, либо параболического типа, а(х,у), /3(х,у) — инволютивные отображения, удовлетворяющие свойствам: а(а(х, у),0(х, у)) = х, (3{а{х, у),/3(х, у)) = у.

Эти уравнения также не поддаются известной классификации, но при е = 0 они имеют вид классических уравнений математической физики. Рассматривались задачи, которые при е = 0 являются соответственно задачами Коши, Дирихле, Гурса, Коши-Гурса, Неймана и были выяснены условия их корректности.

В работах А.А. Андреева и А.В. Линькова [13,14], А.А. Андреева и И.П. Шин-дина [18, 19] методом Фурье доказано, что первая краевая задача для уравнения с отклоняющимся аргументом, порожденного уравнением теплопроводности, может оказаться некорректно поставленной, в то время, как корректной будет задача, с заданием начального условия на части границы.

Подобный эффект наблюдался для уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени С.А. Терсеновым [137] и Н.В. Кисловым [69, 70]).

Отметим, наконец, работы, посвященные исследованию краевых задач для уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу [17] и Бицадзе-Лыкова [15, 16] с ин-волютивными отклонениями аргументов в младших производных.

Заметим, что к подобным нелокальным уравнениям сводятся некоторые задачи интегральной геометрии [122], обратные задачи кинематической сей-смики [6] и геофизики [4, 20], задачи колебания, вызванные двумя синхронными источниками [62, 111], теории упругости [105], теории магнитогидродина-мических течений [71], теории распространения упругих электромагнитных волн, описываемых уравнением Максвелла с памятью [78], теории пластичности и ползучести, когда нельзя пренебречь наличием запаздывания деформаций в теле относительно приложенных напряжений [1, 52, 79, 116, 121, 169].

Прикладное значение теории нелокальных дифференциальных уравнений обусловлено тем обстоятельством, что, как отмечают многие авторы, теория обыкновенных дифференциальные уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, содержащих инволютивные отклонения аргументов искомых функций и их производных, изучена явно недостаточно и остается весьма далекой от своего завершения.

Цель работы. Целыо диссертационной работы является постановка и изучение методов решения как классических так и неклассических начальных и начально-краевых задач для одного класса нелокальных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка на плоскости с инволютивными отображениями аргументов, обоснование корректности этих задач, доказательство соответствующих теорем существования и единственности решений, что и определяет структуру работы и содержание ее отдельных глав.

Методы исследования. Основные результаты диссертации получены путем редукции поставленных классических краевых задач или их аналогов для изучаемых нелокальных дифференциальных уравнений к классическим или известным неклассическим краевым задачам для определенным образом получаемых систем двух локальных дифференциальных уравнений, применением методов Римана, Римана-Адамара, Фурье, теории сингулярных интегральных уравнений, краевых задач Римана и специальных функций.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

2) найдено решение в явном виде и обоснована корректность классической задачи Коши для телеграфного уравнения, возмущенного значением искомой функции в инволютивных точках специального вида; показано влияние инволюции на асимптотику решения задачи Коши; найдены решения в явном виде и обоснована корректность двух нелокальных характеристических задач;

3) найдены решения в явном виде и обоснована корректность задачи Коши, квазихарактеристических задач Гурса, Коши-Гурса и Дарбу с заданием нелокальных условий на части квазихарактеристик для одного нелокального уравнения, порожденного дифференциальным оператором второго порядка, возмущенным оператором того же семейства относительно искомой функции, вычисленной в инволютивных точках;

4) методом Фурье обоснована корректность и найдены решения в явном виде двух задач Дирихле в прямоугольной области для одного уравнения с нелокальным дифференциальным оператором второго порядка, возмущенного оператором того же семейства относительно искомой функции, вычисленной в инволютивных точках;

Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на международной конференции «Математическое моделирование, статистика и информатика в современном управлении экономикой», посвященной 70-летию Самарской государственной экономической академии (июнь 2001 г.) в СамГЭА, г. Самара; научной конференции «Проблемы современной математики», посвященной 125-летию Казанского государственного педагогического университета (22-24 октября 2001 г.) в КГПУ, г. Казань; второй международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (3-7 декабря 2001 г.) в НИИ ПМА КБНЦ РАН, г. Нальчик; международном Российско-Узбекском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (18-25 мая 2003 г.) в НИИ ПМА КБНЦ РАН, г. Нальчик-п. Эльбрус; международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (22-26 мая 2004 г.) в НИИ ПМА КБНЦ РАН, г.Нальчик-п.Эльбрус; ежегодном Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (2003-2005гг.) в Сочинском госуниверситете ТиКД, г.Сочи; ежегодных межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (2002-2003 гг.) в СамГТУ, г. Самара. ежегодной международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки» (2004-2005 гг.) в СамГТУ, г. Самара; ежегодных Всероссийских научных конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (2004-2005 гг.) в СамГТУ, г. Самара. на Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (27 июня-2 июля 2005г.) в СамГУ, г.Самара; научном семинаре кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета в 2003 г. (руководитель д.ф.-м.н., профессор Филатов О.П.); научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета в 2002-2005 гг. (руководитель д.ф.-м.н., профессор Радченко В.П.); научном семинаре кафедры математического анализа Белгородского государственного университета в ноябре 2005г. (руководитель д.ф.-м.н., профессор Солдатов А.П.);

Объем и структура диссертации. Диссертациоиная работа изложена на 137 страницах, и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 190 наименований.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Саушкин, Иван Николаевич, Самара

1. Аболииа, Т. Смешанная задача для почти линейных гиперболических систем на плоскости / Т. Аболина, А.Д. Мышкис // Мат. сб., 1960. —Т. 50, Вып. 4. С. 5-10.

2. Абрамовиц, М., Справочник по специальным функциям / Пер. с англ.:Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. — М.: Наука, 1979. — 832 с.

3. Абрегов, М.Х. Некоторые задачи типа Бицадзе-Самарского для одногоуравнения смешанного типа / М.Х. Абрегов // Дифференц. уравнения,1974. Т. 10, № 1. - С. 3-7.

4. Азаматов, С.Ж. О единственности решения задачи Коши для одноготипа уравнений в частных производных со сдвинутым аргументом /С.Ж. Азаматов, В.А.Андреев // Докл. АН СССР, 1976.

5. Азовский, В. В. Решение обобщенной задачи Трикоми для одногоуравнения смешанного типа в бесконечной области / В.В. Азовский,В.А.Носов // Волж. мат. сб., 1973. Вып. 15. - С. 3-9.

6. Алексеев, А.С. Об одной постановке кинематической задачи сейсмики для двумерной непрерывно-неоднородной среды / А.С.Алексеев, А.О. Белоносова //В сб.: Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. — Новосибирск: Наука, 1967.

7. Андреев, А.А. О корректности краевых задач для некоторых уравненийв частных производных с карлемановским сдвигом / А.А.Андреев // «Дифференциальные уравнения и их приложения»: Тр. II международ.семинара. — Самара: Сам. ун-т, 1998. — С. 5-18.

8. Андреев, А.А. Краевые задачи для одного класса нелокальных уравнений / А.А. Андреев // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: Тр. ин-та математики НАН Беларуси. — Минск,2001. Т. 10. - С. 12-20.

9. Андреев, А.А. Об аналогах классических краевых задач для одногодифференциального уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом / А.А.Андреев // Дифференциальные уравнения, 2004. —Т. 40, № 5. С. 1126-1128.

10. Андреев, А.А. О корректных задачах для уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом / А.А.Андреев, А.В. Линьков // Тр. Сибир. конф. по неклассическим уравнениям мат. физики. — Новосибирск, 1995.

11. Андреев, А.А., О корректных задачах для уравнений в частных производных с инволютивным отклонением / А.А. Андреев, А.В. Линьков // «Дифференциальные уравнения и их приложения»: Тез. докл. международ. семинара. — Самара, 1995. — С. 27.

12. Андреев, А.А. О задаче Коши для уравнения Эйлера-ПуассонаДарбу частного вида с отклоняющимся аргументом / А.А. Андреев, А.Ю.Сеницкий //В сб.: Неклассические уравнения математическойфизики. Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1987. - С. 51-53.

13. Андреев, А.А. О корректности граничных задач для одного дифференциального уравнения с инволюцией частного вида / А.А. Андреев, И.П.Шиндин //В сб.: Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. — Куйбышев, 1988. — С. 51-53.

14. Андреев, В.А. Некоторые задачи для уравнения в частных производныхсо сдвинутым аргументом / В.А. Андреев, С.Ж. Азаматов // В сб.: Мат.пробл. геофизики. — Новосибирск, 1974. — Вып. 5, Ч. 2. — С. 5-17.

15. Аитоневич, А.В. Линейные функциональные уравнения: Операторныйподход / А.Б. Антонович. — Минск: Университетское, 1988. — 232 с.

16. Балла, Э.Ш. Об асимптотическом решении смешанной задачи для гиперболического уравнения с запаздывающими аргументами / Э.Ш. Балла, И.И. Маркуш // Украин. мат. журн., 1971. Т.23, №4. - С. 437-453.

17. Бейтмеи, Г. Таблицы интегральных преобразований: В 3 т. /Г. Бейтмен, А. Эрдейи. / Сер.: «Справочная математическая библиотека». — М.: Наука, 1968. — Т. 1: Преобразования Фурье, Лапласа, Мел-лина. — 344 с.

18. Беллман, Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К. Кук. М.: Мир, 1967. - 548 с.

19. Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений: Учебн. пособие / Х.Г. Бжихатлов, И.М. Карасев, И.П. Лесковский,A.M. Нахушев. — Нальчик, 1972. — 290 с.

20. Бицадзе, А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных /А.В. Бицадзе. М.: Наука, 1981. - 448 с.

21. Бицадзе, А.В. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач / А.В. Бицадзе, А.А. Самарский // Докл. АНСССР, 1969. Т. 185, № 4. - С. 739-740.

22. Борок, В.М. О единственности решения задачи Коши для линейныхуравнений в частных производных с линейно-преобразованным аргументом / В.М. Борок, Я.И. Житомирский // Теория функций, функцион. анализ и его приложения, 1973. — Т. 18. — С. 50-63.

23. Випер, Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения / Н. Винер. —М.: Физматгиз, 1963. — с. 124.

24. Владимиров, B.C. Уравнения математической физики / В.С.Владимиров. — М.: Наука, 1988. — 512 с.

25. Водахова, В.А. Краевая задача с нелокальными условиямиA.M. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения вла-гопереноса / В.А. Водахова // Дифференц. уравнения, 1982. — Т. 18, № 2. С. 280-285.

26. Волкодавов, В. Ф. Решение краевой задачи со смещением для гиперболического уравнения / В. Ф. Волкодавов, О.А.Репин //В межвуз. сб. тр. по физ.-мат. наукам: «Дифференц. уравнения и их приложения». —Вып. 2. Куйбышев: КПтИ, 1975. - С. 9-15.

27. Гаитмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. — М.: Наука, 1967. —576 с.

28. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д.Гахов. — М.: Наука, 1977. — 640 с.

29. Гахов, Ф.Д. О некоторых типах сингулярных интегральных уравнений,разрешаемых в замкнутой форме / Ф.Д. Гахов, Л.И. Чибрикова // Мат.сб., 1954. Т. 35, Вып. 3. - С. 395-436.

30. Герсеваиов, Н.М. Итерационное исчесление и его приложения /Н.М. Герсеваиов. М., 1950. - С. 1-69.121

31. ГоринЕ.А. О финитных решениях некоторых функционально-дифференциальных уравнений / Е.А. Горин // Успехи мат. наук,1981. Т. 36, Вып. 4. - С. 211-212.

32. Гребенщиков, В. Г. Об ограниченности решений неоднородной системысс запаздыванием, линейно зависящем от времени / Б.Г. Гребенщиков // В сб.: Устойчивость и нелинейные колебания. — Свердловск: УргУ, 1986. С. 7-122.

33. Гуль, И. М. Задача Коши для некоторых дифференциальных уравнений в частных производных с функциональными аргументами /И.М.Гуль // Успехи мат. наук, 1955. Т. 10, Вып. 2. - С. 153-156.

34. Гуль, И.М. Дифференциальные уравнения в частных производныхс функциональными аргументами / И.М.Гуль // Тр. семинара по теории Дифференцальные уравнений с отклоняющимися аргументами.Часть I. — М.: Ун-т дружбы народов П. Лумумбы, 1962. — С. 94-102.

35. Гуль, И.М. Дифференциальные уравнения в частных производных сфункциональными аргументами / И.М. Гуль // Тез. кр. науч. сообщений Междунар. конгресса математиков (Секция 7). — М., 1966. — С. 29-30.

36. Дабагян, А.А. Алгоритм интерполяции функции двух переменных с помощью атомарных функций / А.А.Дабагян, Е.А.Федотова // В сб.: Мат. методы анализа динамических систем. — Вып. 1. — Харьков:Харьк. авиац. ин-т, 1977. — С. 38-45.

37. Дезин, А.А. Общие вопросы теории граничных задач / А.А. Дезин. —М.: Наука. 1980. 120 с.

38. До/сураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно? составного типов / Т.Д. Джураев. — Ташкент: Изд-во «Фан» Узбек.ССР, 1979. 120 с.

39. Дерфель, Г.А. О классах единственности задачи Коши некоторыхдифференциально-функциональных уравнений / Г.А. Дерфель // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат., 1975. № 3. - С. 77-79.

40. Домбровский, В. А. Об асимптотическом представлении решений для дифференциального уравнениягиперболического типа с запаздыванием / В.А. Домбровский, В.И.Фодчук //В сб.: Мат. физика. — Вып. 6. —Киев: Наукова думка, 1969.

41. Елеев, В.А. О некоторых задачах типа типа задачи Коши и задачах сосмещением для одного вырождающегося гиперболического уравнения /В.А. Елеев // Дифференц. уравнения, 1976. Т. 12, № 1. - С.46-58.

42. Жегалов, В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / В.И. Жегалов // Уч. записки КГУ, 1962. — Т. 122, Кн. 3. С. 3-16.

43. Жегалов В.И. Задача типа Трикоми с пятыо степенями в гиперболической части области / В.И. Жегалов // Тр. семинара по краевым задачам. Вып. 15. - Казань: КГУ, 1978. - С. 48-52.

44. Жегалов, В.И. Задача с несколькими смещениями для уравнениясмешанно-составного типа / В.И. Жегалов // Изв. вузов. Математика,1982. № 10. - С. 15-18.

45. Жегалов, В.И. К задачам со смещением в краевых условиях для общегоуравнения Лаврентьева-Бицадзе / В.И. Жегалов //В сб.: Корректные краевые задачи для неклассических уравнений мат. физики. — Новосибирск, 1984. С. 63-73.

46. Зарубин, А.Н. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типас запаздывающим аргументом / А.Н.Зарубин // Дифференциальныеуравнения, 1996. Т. 32, № 3. - С. 350-356.

47. Зарубин, А.Н. О некоторых начально-краевых задачах длядифференциально-разностного уравнения смешанного типа / А.Н.Зарубин // Докл. АН РСФСР, 1996. Т. 346, № 6. - С. 735-737.

48. Зарубин, А.Н. Аналитическое решение одной задачи нестационарного конвективного теплообмена с последействием / А.Н.Зарубин // Дифференциальные уравнения, 1997. — Т. 33, № 1. — С. 130-144.

49. Зарубин, А.Н. Об алгоритме решения начально-краевой задачидля уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом / А.Н.Зарубин // Журн. вычислительной математики и мат. физики,1997. Т. 37, № 2. - С. 184-187.

50. Зарубин, А.Н. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом: Учебное пособие / А.Н.Зарубин // Орел: ОГУ, 1997. — 225 с.

51. Зарубин, А.Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом / А.Н. Зарубин // Дифференциальные уравнения, 1998. Т. 34, № 1. С. 121-127.

52. Зубарев, Д.Н. Статистическая механика неравновесных процессов:В 2 т. / Д.Н.Зубарев, В.Г. Морозов, Г. Репке. М.: Физматлит, 2002. -Т. 1. - 432 с.

53. Иванов, Л.А. Теоремы о среднем для некоторых уравнений с отклоняющимся аргументом. / JI.A. Иванов, И.П. Половинкин. — Воронеж, 1987.16 с. Деп. в ВИНИТИ 25.08.87 № 6210-В87.

54. Ильин, В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной разностной трактовках /B.А.Ильин, Е.И.Моисеев // Докл. АН СССР, 1986. Т. 291, № 3. C. 534-539.

55. Ильин, В. А. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Дифференциальныеуравнения, 1987. Т. 23, № 8. - С. 1422-1430.

56. Иоикин, Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводностис неклассическими краевыми условиями / Н.И.Ионкин // Дифференциальные уравнения, 1977. Т. 13, № 2. - С. 294-304.

57. Кальменов, Т.Ш. О задаче Дирихле и нелокальных краевых задачахдля волнового уравнения / Т.Ш. Кальменов, М.А. Садыбеков // Дифференциальные уравнения, 1990. — Т. 26, № 1. — С. 60-65.

58. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке — 6-е изд. — СПб.: Лань, 2003. — 576 с.

59. Карапетянц, Н.К. Уравнения с инволютивными операторами и их приложения / Н.К. Карапетянц, С.Г. Самко. — Р./нД.: Ростов, гос. ун-т, 1988. 188 с.

60. Кислое, Н.В. Краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа / Н.В.Кислов // Дифференциальные уравнения, 1983. Т. 19, № 8. - С. 1427-1436.

61. Кислое, Н.В. Неоднородные краевые задачи для дифференциальнооператорных уравнений и их приложения / Н.В. Кислов // Мат. сборпик, 1984. Т. 125, № 9. - С. 19-37.

62. Коган, М.Н. О магнитогидродипамических течениях смешанного типа /М.Н.Коган // ПММ, 1961. Т. 25, № 1. - С. 132-137.

63. Корнев, В.В. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях / В.В. Корнев, А.П.Хромов // Докл. АН, 2001. —Т. 379, № 6. С.741-744.

64. Кумыкова, С.К. Задача с нелокальными условиями на характеристикахдля вырождающегося внутри области гиперболического уравнения / С.К. Кумыкова // Дифференц. уравнения, 1981. Т. 17, №1. — С. 81-90.

65. Курдюмов, В. П. Об аналоге теоремы Жордана-Дирихле для разложений по собственным функциям дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием / В.П. Курдюмов,А.П.Хромов // Докл. РАЕН, 2004. № 4. - С. 80-87.

66. Кошляков, Н.С. Основные дифференциальные уравнения математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М. М. Смирнов. — М.: Физматгиз, 1962. — 768 с.

67. Красовский, Н.М. Задача о наблюдении линейной динамической системы и уравнения с запаздыванием аргумента / Н.М. Красовский // Дифференциальные уравнения, 1965. — Т. 1, № 12. — С. 1551-1556.

68. Купрадзе, В.Д. Теория интегральных уравнений с интегралом в смыслеглавного значения по Коши / В.Д. Купрадзе // Сообщ. АН Груз. ССР,1941. Т. 2, № 7. С. 587-596.

69. Курбанов, И. О. О разрешимости нелинейных краевых задач электродинамики с памятью / И.О. Курбанов // Докл. АН СССР, 1991. — Т. 318,5. С. 1068-1071.

70. Ленский, B.C. Распространение одномерных волн в материалах с запаздывающей текучестью / B.C. Ленский, Л.Н. Фомина // Изв. АН СССР.OTH сер. мех. мат, 1959. № 3.

71. Линьков, А.В. Обоснование метода Фурье для краевых задач с инволютивным отклонением / А.В. Линьков // Вести. Сам. гос. ун-та, 1999. —2(12). С. 60-65.

72. Литвинчук, Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом / Г.С. Литвинчук. — М.: Наука, 1977. — 448 с.

73. Малицкий, И. И. Применение обобщенных рядов Тейлора в теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / И. И. Малицкий // Докл. АН УССР. Сер. А, 1985. № 10. - С. 17-18.

74. Маричев, О.И. Об уравнении смешанного типа с двумя линиями вырождения в несимметричной области / О.И. Маричев // Известия АНБССР. Сер.: «Физ.-мат. науки», 1970. № 5. - С. 74-80.

75. Мироиепко, В.И. О методе, позволяющем находить начальные данныепериодических решений дифференциальных систем и сравнивать отображения за период / В.И. Мироиепко // Дифференциальные уравнения,1980. Т. 16, № И. - С. 1985-1994.

76. МитропольскийЮ.А., Шевело В.Н. // Украин. мат. журн., 1977. —Т. 29, № 3. С. 257-263.

77. Моисеев, Е.И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанноготипа / Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения, 1992. — Т. 28, № 1. С. 110-121.

78. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. — 3-е, испр. и дополн. изд. — М.: Наука, 1968. — 512 с.

79. Мышкис, А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом / А.Д. Мышкис. — М.: Гостехиздат, 1951. — 254 с.

80. Мышкис, АД. О некоторых проблемах теории дифференциальныхуравнений с отклоняющимся аргументом / А.Д. Мышкис // Успехи мат.наук, 1977. Т. 32, Вып. 2. - С. 173-202.

81. Нахушев, A.M. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения / A.M. Нахушев // Докл. АН СССР, 1969. —Т. 187, № 4. С. 736-739.

82. Нахушев, A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболическихуравнений и уравнений смешанного типа / А. М. Нахушев // Дифференциальные уравнения, 1969. — Т. 5, № 1. — С. 44-59.

83. Нахушев, A.M. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения Вольтерра третьего рода / A.M. Нахушев // Дифференциальные уравнения, 1974. — Т. 10, № 1. — С. 100-111.

84. Haxyuiee, A.M. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги / A.M. Нахушев // Докл. АН СССР, 1978. Т. 242, № 5. — С. 1008-1011.

85. Нахушев, A.M. О некоторых краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями / A.M. Нахушев // Дифференциальныеуравнения, 1985. Т. 21, № 1. - С. 92-101.

86. Нахушев, A.M. Краевая задача для нагруженных интегродифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые приложения к прогнозу почвенной влаги и грунтовых вод /A.M. Нахушев // Дифференциальные уравнения, 1979. — Т. 15, 1. — С. 96-105.

87. Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии / A.M. Нахушев. —М.: Высш. шк., 1995. 301 с.

88. Нахушев, A.M. Элементы дробного исчисления и их применение /A.M. Нахушев. Нальчик: КБНЦ РАН, 2000. - 299 с.

89. Нахушева, Ф.В. О некоторых конструктивных свойствах решениявырождающегося гиперболического уравнения влагопереноса / Ф.Б. Нахушева // Изв. АН Уз. ССР. Сер.: «Физ.-мат. наук», 1981. — № 5. С. 22-29.

90. Нерсесян, А.Б. О задаче Коши для уравнения в частных производныхс отклоняющимся аргументом / А.Б.Нерсесян //С. 116-117.

91. Никитин, В.Г. Сопряженный оператор периодической задачи для линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом /B.Г.Никитин // Иссл. по прикладной математике, 1984. — Т. 10. —C. 190-195.

92. Нитецки, 3. Введение в дифференциальную динамику / 3. Нитецки. —М.: Мир, 1975. 123 с.

93. Норкин, С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом / С.Б. Норкин. — М.: Наука, 1965. — 356 с.

94. Носов, В. Р. О некоторых задачах для уравнений в частных производныхс отклоняющимся аргументом / В.Р.Носов // Тр. семинара по теориидифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. — Т. 5. — 1967. С. 182-192.

95. Оиаиов, Г.Г. Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами в стационарных задачах механики деформируемого тела / Г.Г. Онанов, A.JI. Скубачевский // Прикладная механика, 1985. — Т. 15, № 5. С. 39-47.

96. Петровский, И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальныхуравнений / И.Г.Петровский. — М.: Наука, 1970. — 280 с.

97. Петровский, И.Г. Лекции об уравнениях в частных производных /И.Г.Петровский. М.: ГИФМЛ, 1961. - 400 с.

98. Пинии, Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения /Э. Пинни. — М.: Иностранная лит., 1961. — 248 с.

99. Плисс, В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний / В.А. Плисс. —М.: Наука, 1964. 368 с.

100. Подгорное, В. В. Первая краевая задача для одного квазилинейного параболического уравнения с запаздывающим аргументом / В.В. Подгорнов // Тр. семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. — Т. 5. — 1967. — С.197-206.

101. Половинкин, И.П. Теоремы о среднем для волновых уравнений и уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу / И.П. Половинкин / Автореф. . канд.физ.-мат. наук. — Воронеж, 14с.

102. Пташиик, Б.И. Аналог n-точечпой задачи для линейного гиперболического уравнения / Б.И.Пташпик // Украин. мат. журн., 1971. — Т. 23, № 4. С. 472-481.

103. Пташиик, Б.И. Краевая задача для гиперболических уравнений в классе функций, почти периодических по пространственным переменным / Б.И.Пташник, П.И. Штабалюк // Дифференциальные уравнения, 1986. Т. 22, № 4. - С. 669-678.

104. Работное, Ю.Н. Некоторые вопросы теории ползучести /Ю.Н. Работнов // Вести. МГУ. Сер. А, 1948. № 10. - С. 81-91.

105. Рвачев, В.А. Финитные решения функционально-дифференциальныхуравнений и их применения / В.А. Рвачев // Успехи мат. наук, 1990. —Т. 45, Вып. 1. С. 77-103.

106. Репин, О.А. Краевая задача для уравнения влагопереноса /О.А. Репин // Дифференц. уравнения, 1990. Т. 26, № 1. - С. 169-171.

107. Репин, О.А. О разрешимости задачи с краевым условием на характеристиках для вырождающегося гиперболического уравнения /О.А.Репин // Дифференц. уравнения, 1998. Т. 34, №1. - С. 110-113.

108. Репин, О.А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов / О.А. Репин. — Самара: Изд-во Саратов.ун-та, Самарский филиал, 1992. — 162 с.

109. Розовский, М.И. Механика упругонаследственных сфер /М.И.Розовский // «Итоги науки». Упругость и пластичность. —М.: ВИНИТИ. 1967. - 250 с.

110. Романов, В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений /В.Г. Романов. Новосибирск: НГУ, 1973. - 128 с.

111. Савкова, О.В. Начально-краевые задачи для дифференциальноразностного уравнения смешанного типа с кратным запаздыванием /О.В. Савкова : Автореф. . канд. физ.-мат. наук. — Москва, 2002. 19 с.

112. Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые