Разработка теории нормированных систем функций и их применения к решению начально-краевых задач для уравнений в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Содержание

Введение

Глава I. Нормированные системы функций в построении полиномиальных и аналитических решений

1.1 Нормированные системы функций относительно линейных операторов

1.2 Пространства полиномиальных решений систем уравнений

1.3 Полные системы полиномиальных решений

1.4 Обратимость линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами

1.5 Разложимость аналитических решений по полиномиальным. Обобщенно-однородные решения

1.6 Система гармонических полиномов G^ и ее свойства

1.7 Связь G-функций с полиномами Чебышева и Лежандра

Глава II. Нормированные системы функций в решении начальных задач

2.1 Классы начальных задач для общего линейного дифференциального уравнения

2.2 Задачи Коши и Гурса для уравнения 3-го порядка

2.3 Обобщение рядов Ли

2.4 Нормированные системы функций относительно вырождающегося оператора

2.5 Начальная задача для ультрапараболического уравнения 127 2.6 Задача Гурса для уравнения Манжерона высокого порядка

Глава III. Задачи, содержащие производные высокого порядка в граничных условиях (7iзадачи)

3.1 ^-задача для уравнения Лапласа

3.2 'Я-задачи для полигармонического уравнения

3.3 Разрешимость 7^-задачи для уравнения Гель-мгольца

3.4 7^-задача для уравнения Пуассона

3.5 Разрешимость 7^-задачи в полупространстве

3.6 7^-задача для уравнения Лапласа с произвольным оператором в граничных условиях

Во многих современных методах решения задач математической физики широко используется аппроксимация решения функциями, удовлетворяющими однородным дифференциальным уравнениям задачи. Таковы, например, метод Трефца, метод ортогональных проекций, некоторые варианты метода наименьших квадратов, метод коллокации и др. Этим обстоятельством и объясняется прикладной интерес изучения точных решений дифференциальных уравнений в частных производных.

Существуют различные методы построения точных решений однородных и неоднородных уравнений в частных производных, в которых используются формулы общих решений, интегральные представления, производящие функции и т.п. Одним из эффективных методов отыскания решений уравнений в частных производных является метод, основанный на операторном представлении решений. Сущность этого метода состоит в построении многочленов или рядов, членами которых являются итерации соответствующих операторов, действующих на заданные классы достаточно гладких функций. Это достигается, в частности, путем использования нормированных систем функций.

Основы операторного представления решений дифференциальных уравнений, как указано в [2], были заложены еще Эйлером, который дал операторное представление гармонических функций двух переменных.

Более широкое применение операторных представлений решений дифференциальных уравнений связано с работами С.Ли, где автор ввел операторные ряды, названные впоследствии рядами Ли. Наиболее полно теорию рядов Ли разработал В.Гребнер [54,55]. Ряды, обобщающие ряды Ли, построены и изучены А.Н.Филатовым [48]. Операторные представления решений дифференциальных уравнений, аналогичные обобщенным рядам Ли, использовались также в работах [15,51] и др.

А.В.Бицадзе [2,3] применял операторные ряды для записи представления как гармонических функций, так и решений основных уравнений математической физики. Е.П.Майлс и Е.Вильяме [58] использовали операторные ряды для записи полигармонических и поливолновых полиномов. Метод операторного представления гармонических функций, используемый для решения задач о равновесии толстых плит, разработан А.И.Лурье и известен как символический метод.

Б.А.Бондаренко [9] изучил основы теории операторных многочленов п операторных рядов для линейных операторов, действующих на достаточно гладкие функции и дал приложения к дифференциальным уравнениям в частных производных.

При построении базисных систем решений линейных уравнений в частных производных большое внимание уделяется полиномиальным и квазиполиномиальным решениям. Так, для построения приближенного аналитического решения граничных задач для полигармонического уравнения [53,59], целесообразно использовать метод Трефца пли метод наименьших квадратов [37], причем устойчивый вычислительный процесс получается при выборе в качестве координатных функций полиномов или квазиполиномов.

Одним из важных классов специальных полиномов являются гармонические полиномы, называемые иногда шаровыми функциями. Они достаточно хорошо изучены в [12,43,45] и широко применяются в математической физике. Некоторые свойства полигармонических полиномов описаны в [64,68]. Б.А.Бондаренко исследовал полигармонические полиномы, тесно связанные с ними полиномиальные решения уравнений теории упругости и применил их к решению краевых задач. Отметим также работы [56,58,62,63,66,67], посвященные построению полиномиальных решений уравнений в частных производных.

Б.А. Бондаренко изучил в [7] аналитические и комбинаторные методы построения базисных систем полиномиальных и квазиполиномиальных решений линейных и полилинейных уравнений в частных производных и привел примеры приложения к задачам математической физики.

Диссертационная работа посвящена разработке теории нормированных систем функций с целью построения решений начальных и краевых задач для однородных и неоднородных уравнений и систем уравнений в частных производных, а также решению некоторых важных задач математической физики. Она состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы.

В первой главе изучаются полиномиальные и аналитические решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. В п. 1.1 на примерах уравнений теплопроводности и колебаний показано, как операторное представление решений этих уравнений преобразуется к виду не требующему бесконечной дпфференцпруемостп начальных функций. Здесь же вводятся и обсуждаются новые понятия и определения среди которых основополагающее понятие нормированных систем функций относительно линейных операторов. Приводятся примеры построения и использования нормированных систем функций относительно основных операторов математической физики.

В п. 1.2 для систем уравнений с постоянными коэффициентами (теоремы 1.1 и 1.3) даются условия существования полиномиальных решений в зависимости от свойств операторной матрицы системы. Теорема 1.2 выясняет размерность пространства полиномиальных решений заданной степени. Для построения полиномиальных решений системы уравнений с квадратной матрицей доказывается теорема 1.4. Рассматриваются примеры применения доказанных теорем. В теореме 1.5 выясняются условия существования и единственности полиномиальных решений краевой задачи, оператор уравнения которой связан с многообразием, на котором задаются граничные условия. В теореме 1.6 доказано, что когда символ оператора Б{Т>) не кратен полиному х2+у2, то образ множества 7{ - гармонических полиномов при действии на него оператора В(Т>) совпадает с 7i, т.е. уравнение B(V)u(x) = v(x) всегда имеет решение в пространстве гармонических полиномов 1~L.

Следующий параграф - 1.3 посвящен случаю вырождения системы в одно уравнение. В теоремах 1.7 - 1.8 даются операторные представления максимальной системы линейно независимых по старшему члену полиномиальных решений общего линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

На основании исследований нормированных систем полиномов п. 1.3 в п.1.4, в качестве предварительных результатов для изучения начальных задач, исследуется обратимость справа линейных дифференцпальных операторов на О. Правые обратные операторы к исходным операторам строятся в теоремах 1.9 и 1.10 в виде сходящихся операторных рядов.

Для исследования вопросов представления аналитических решений рядами по полиномиальным решениям в п.1.5 вводятся обобщенно-однородные полиномы и функции. Свойства обобщенно однородных функций (формула Эйлера) приводятся в теоремах 1.11, 1.12. В теореме 1.13 исследован вопрос о разложимости аналитических решений уравнений, символ оператора которых - обобщенно-однородный полином, в ряд по полиномиальным решениям. В теореме 1.15 найдено условие на коэффициенты уравнения общего вида, при котором аналитические решения могут быть разложены в ряд по полиномиальным. В теореме 1.16, используя результат предыдущей теоремы доказывается разложимость аналитических решений уравнения теплопроводности в ряд по тепловым полиномам.

В п. 1.6 с помощью нормированной системы полиномов относительно оператора Лапласа приведенной в п. 1.1 строится система гармонических полиномов {(^(г,)}. Оказывается, что помимо базисностп (теорема 1.17) и ортогональности на единичной сфере (теорема 1.18), она ортогональна еще и в V (теорема 1.21). В теореме 1.19 выписывается разложение решения задачи Дирихле в единичном шаре в ряд по полиномам

В п. 1.7 исследуется связь G-функций, порождаемых системой полиномов {G^)}, с известными полиномами Чебышева (теорема 1.23 -четный род) и Лежандра (теорема 1.22 - нечетный род). В теореме 1.24 найдена формула Родрига и связь с многочленами Гегенбауэра. В теореме 1.26 доказан аналог формулы Альманси разложения произвольной аналитической функции в ряд по функциям 2ки(х), где и(х) - некоторая гармоническая функция. Наконец, в теореме 1.27 получена формула нахождения первого гармонического составляющего произвольного полинома в разложении из теоремы 1.26.

Вторая глава посвящена применению операторного метода к решению начальных задач для уравнений гиперболического и параболического типов. В п.2.1 на основе результатов п. 1.4 для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами изучаются начальные задачи с условиями заданными на гиперплоскостях. Существование аналитических решений дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, представленных операторными рядами, доказывается в теоремах 2.1 и 2.2. Используя операторное представление решений из этих теорем, далее сформулированы классы задач Л и В с граничными условиями на гиперплоскостях. Существование и единственность аналитических решений этих задач доказывается в теоремах 2.3 и 3.4. Обобщая задачи Л и В, сформулирован класс задач Ср. В теореме 2.5 доказывается существование и единственность решения задач Сд. В теоремах 2.6 п 2.7 исследуется сходимость операторных рядов, обладающих по отношению к рядам из теорем 1.11 и 1.12 более хорошими вычислительными свойствами.

В п.2.2 исследуется разрешимость задач Коши и Гурса для гиперболического уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами. Вводится понятие функции Римана рассматриваемого оператора. Теорема 2.8 отвечает на вопрос о существовании функции Римана, а теорема 2.9 выясняет свойства функции Римана по второму аргументу. Условия существования и единственности решения задачи Коши сформулированы в теореме 2.10, а задачи Гурса в теореме 2.11. Рассмотрен пример, для которого функция Римана строится в явном виде.

В п.2.3 рассмотрены операторные ряды, обобщающие как известные ряды Ли [77,78], так и обобщенные ряды Ли [69]. На основе вспомогательных лемм 2.1-2.3 доказана теорема 2.12 утверждающая сходимость обобщенных рядов Ли в некоторой подобласти исходной области.

В п.2.4 исследуются нормированные системы функций относительно одного оператора высокого порядка, вырождающегося на границе. В частном случае, когда порядок оператора равен двум и выполнены некоторые соотношения между коэффициентами, то мы получаем известный оператор Эйлера-Пуассона-Дарбу. Существование нормированных систем функций доказывается в теоремах 2.13-2.15. Показывается, как знание нормированных систем помогает в постановке начальных задач для уравнений, содержащих данный оператор. Рассмотрены примеры.

В п.2.5 изучается задача Коши для ультрапараболического уравнения с данными на негладкой поверхности. Используя нормированные системы функций относительно оператора первого порядка и результаты п. 1.1 доказывается теорема 2.16 о существовании и единственности решения рассматриваемой задачи. Обобщая метод построения решения используемый в теореме 2.16 доказана теорема 2.17 о существовании решения задачи Кош и для уравнения с переменными коэффициентами.

Заключительный параграф второй главы - п.2.6 содержит исследования существования и единственности решения задачи Гурса для уравнений типа уравнения Манжерона высокого порядка. Преодолевая значительные вычислительные трудности, сконцентрированные в леммах 2.5-2.7 удается выписать явный вид решения рассматриваемой задачи. В теореме 2.18 сформулирован окончательный результат. Рассмотрен пример применения теоремы 2.18.

Третья глава посвящена исследованию нового класса задач для эллиптических уравнений, а именно задач, содержащих производные высокого порядка в граничных условиях. Идея изучения такого вида задач возникла у диссертанта из работы А.В.Бицадзе [5], где, на его взгляд, для построения решения задачи Неймана для полигармонического уравнения необходимо было находить гармоническую в шаре функцию по значению ее второй нормальной производной на сфере. Первые результаты содержатся в работах [34,36,38,63]. Вскоре и сам А.В.Бицадзе опубликовал в [6] исследования обобщенной задачи Неймана для уравнения Лапласа, когда на границе задавалась n-ая нормальная производная. Размерность пространства была произвольной. В это же время была опубликована работа Цой Сун Бон [72], где исследовалась обобщеная задача Неймана, но в плоском случае. Здесь следует также отметпь работы [67,68], где изучались краевые задачи, в граничных условиях которых присутствовал дифференциальный оператор произвольного, но дробного порядка.

Параграф 3.1 диссертации носит вспомогательный характер, проясняя природу дополнительных условий, возникающих в К-задаче -задаче, содержащей производные более высокого порядка в граничных условиях, чем порядок уравнения. Используя результаты п.2.6 доказываются (теорема 3.1) необходимые условия разрешимости задачи для уравнения Лапласа в шаре.

Далее, в п.3.2 найдены необходимые и достаточные условия разрешимости "Я-задачи для полигармонического уравнения в шаре. Основной результат, сформулированный в теореме 3.2, основывается утверждениях, содержащихся в леммах 3.1-3.5. Здесь, в качестве иллюстрации условий теоремы 3.2, рассматриваются задачи Дирихле и Неймана для полигармонического уравнения.

Исследованию разрешимости ^-задачи для уравнения Гельмгольца посвящен п.3.3. В теоремах 3.3 и 3.4 найдено взаимно однозначное соответствие между решениями уравнения Гельмгольца в некоторой области G, удовлетворяющей условию поглощения, и гармоническими в G функциями. Теорема 3.5 устанавливает взаимную обратимость формул из теорем 3.3 и 3.4. Основной результат сформулирован в теореме 3.6.

Н-задача для уравнения Пуассона исследуется в п.3.4. Используя леммы 3.10-3.11 и 3.12-3.13 доказываются теоремы 3.7 и 3.9 о интегрировании нормальной производной объемного потенциала с полиномиальным весом в случае когда плотность либо полином, либо финитная функция. Разрешимость 7^-задачи доказывается в теоремах 3.8 и 3.10.

Для выяснения инвариантности условий разрешимости обобщенной задачи Неймана, рассмотренной А.В.Бпцадзе в [6], относительно области, в п.3.5 исследована эта задача для полупространства. Используя представление решения задачи Неймана через решение задачи Дирихле (теорема 3.11), найдены необходимые и достаточные условия разрешимости обобщенной задачи Неймана. Они сформулированы в теореме 3.12.

В п.3.6 исследуется 7^-задача для уравнения Лапласа в единичном круге, когда в граничных условиях стоит произвольный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Сначала вводится и изучается некоторая шкала пространств G^ - гармонических в круге функций. Основываясь на утверждениях лемм 3.16 - 3.17 доказывается теорема 3.13 о вложении в Wn. Лемма 3.18 устанавливает индекс пространства для элементарного решения уравнения Лапласа - Е{х,у). В теореме 3.14, при определенных условиях на индекс оператора A(D), находится полезное представление решения уравнения A(D)u = v, рассматриваемого в С помощью леммы 3.21 условие на индекс оператора A(D) принимает более простой вид. Используя теорему 3.15, основанную на лемме 3.22, в теореме 3.16 доказывается повышение индекса пространства решения на порядок уравнения. После проделанных исследований пространств &(п\ вводится новое понятие решения "^-задачи для уравнения Лапласа, в котором граничные условия понимаются в обощенном смысле. В теоремах 3.17 и 3.18 доказывается разрешимость поставленной задачи. В теореме 3.19 установлено, что шкала пространств G^ не исчерпывает всего множества гармонических в круге функций.

Считаю своей приятной обязанностью выразить благодарность научному консультанту академику Джураеву Т.Д. и академику Бондаренко Б.А. за постоянное внимание и помощь в написании диссертации, а также покойному чл.-корр. РАН Бпцадзе А.В., поддержка которого была неоценима в получении результатов третьей главы.

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.-М.: Наука, 1965. -N.1. -294 е.; 1966. -N.2. -296 е.; 1967. -N.3. -300 с.

2. Бицадзе А.В. К теории гармонических функций // Труды Тбилисского университета, 1962. -Вып. 84. -С.35-37.

3. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1976. -296 с.

4. Бицадзе А.В. Сингулярные интегральные уравнения первого рода с ядрами Неймана // Дифферец. уравнения, 1986. -N.22. -№ 5. -С.823-828.

5. Бицадзе А.В. О некоторых свойствах полигармонических функций // Дифферец. уравнения, 1988. -N.24. -№ 5. -С.825-831.

6. Бицадзе А.В. К задаче Неймана для гармонических функций // Докл. АН СССР, 1990. -N.311. -№ 1. -С.11-13.

7. Бондаренко Б.А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений уравнений в частных производных. -Ташкент: Фан, 1987. -147 с.

8. Векуа И.Н. Новые методы решения элллиптических уравнений. -M.-JL: ОГИЗ, 1948. -296 с.

9. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1976. -436 с.

10. Владимиров B.C., Дрожжинов Ю.Н. Обобщенная задача Коши для ультрапара-боличекого уравнения // Изв. АН СССР. сер. математика, 1967. -№. 31. -№ 6. -С.1341-1360.

11. Генчев Т. О задаче Коши для общего ультрапараболического уравнения // Докл. Болгарской академии наук, 1964. -N.17. -№ 7. -С. 609-612.

12. Гобсон Е. Теория сферических и эллипсоидальных функций. -М.: ИЛ, 1952. -476 с.

13. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. -Ташкент: Фан, 1979. -238 с.

14. Джураев Т.Д., Сопуев А. К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка. -Ташкент: Фан, 2000. -144 с.

15. Дубинский Ю.А. К теории задачи Коши для уравнений в частных производных // Докл.АН СССР, 1981. -N.259. -№ 4. -С.781-785.

16. Жегалов В.И. Трехмерных! аналог задачи Гурса // Некласические уравнения и уравнения смешанного типа. -Новосибирск: Наука, 1990. -С.94-98.

17. Ильин A.M. Об одном классе ультрапараболических уравнений // Докл.АН СССР, 1964. -N.159. -№ 6. -С.1214-1217.

18. Карачик В.В., Бондаренко Б.А. Аналоги формулы Эйлера для обобщенно-однородных функций // ДАН УзССР, 1987. -№ 5. -С. 5-7.

19. Карачик В.В. Некоторый класс задач для полигармонического уравнения в шаре // ДАН УзССР, 1989. -№ 9. -С.7-8.

20. Карачик В.В., Турметов Б.Х. Об одной задаче для гармонического уравнения // Известия АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук, 1990. -№ 4. -С.17-21.

21. Карачик В.В., Саидкаримова Г. О разрешимости задачи Гурса для линейного уравнения Манжерона с постоянными коэффициентами // ДАН УзССР, 1990. -№ 9. -С.7-9.

22. Карачик В.В. Построение полиномиальных решений дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Дифференциальные уравнения, 1991. -N.27. -№ 3. -С.534-535.

23. Карачик В.В. О разрешимости одной задачи с нормальными производными высокого порядка на границе // ДАН УзССР, 1991. -№ 6. -С.8-11.

24. Карачик В.В. Об одной задаче для полигармонического уравнения в шаре // Сиб. мат. журн., 1991. -N.32. -№ 5. -С.51-58.

25. Карачик В.В. О разрешимости краевой задачи для уравнения Гельмгольца с нормальными производными высокого порядка на границе // Дифференциальные уравнения, 1992. -N.28. -№ 5. -С.907-909.

26. Карачик В.В., Улукназаров М.Ж. Задачи Коши и Гурса для одного гиперболического уравнения третьего порядка // Вопросы вычислительной и прикладной математики. -Ташкент, 1992. -Вып.93. -С.90-114.

27. Карачик В.В. Об одной задаче для уравнения Пуассона с нормальными производными высокого порядка на границе // Дифференциальные уравнения, 1996. -N.32. -№ 3.-С.1501-1503.

28. Karacliik V.V. Harmonic polynomials and the divisibility problem // Proceedings of AMS, 1997, -Vol. 125, -No. 11, -P. 3257-3258.

29. Karachik V.V. Continuity of polynomial solutions with respect to the coefficient of the higher derivative // Indian Journal of Pure and Applied Mathematics, 1997, -Vol. 28, -No. 9, -P. 1229-1234.

30. Karachik V.V. On one set of orthogonal harmonic polynomials // Proceedings of American Mathematical Society, 1998, Vol. 126, -No. 11 3051-3057.

31. Карачик В.В. Обобщенная задача Неймана для гармонических функций в полупространстве // Дифференциальные уравнения, 1999, -Т. 35, -№ 7. -С. 1-6.

32. Karachik V.V. Polynomial solutions to the systems of partial differential equations with constant coefficients. Yokohama Mathematical Journal, 2000, -No. 47, -P. 121142.

33. Леднев Н.Л. Новый метод решения дифференциальных уравнений в частных производных // Мат.сборник, 1948. -N.22. -Вып.2. -С.205-266.

34. Ленг С. Алгебра. -М.: Мир, 1968. -564 с.

35. Маслов В.П. Операторные методы. -М.: Наука, 1973. -543 с.

36. Мюнц Г. Интегральные уравнения. -М.: ГТТИ, 1934. -330 с.

37. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука, 1957. -512 с.

38. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. -М.: Высшая школа, 1977. -432 с.

39. Рудин У. Основы математического анализа. -М.: Мир, 1976. -320 с.

40. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. -Ташкент: Фан, 1974. -156 с.

41. Салахитдинов М.С., Уринов А.К. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром. -Ташкент: Фан, 1997. -168 с.

42. Соколовский В.Б. Об одном обобщении задачи Неймана // Дифференциальные уравнения, 1988. -N.24. -№ 4. -С.714-716.212ЛИТЕРАТУРА

43. Стейн Н., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. -М.: Мир, 1974. -331 с.

44. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений вырождающихся на границе. -Новосибирск: Изд-во Новосибирского университета, 1973. -186 с.

45. Треногин В.А. Функциональный анализ. -М.: Наука, 1980. 496 с.

46. Умаров С.Р. О некоторых краевых задачах для эллиптических уравнений с граничным оператором дробного порядка // Докл. АН России, 1993. -N.333. -№ 6. -С.708-710.

47. Умаров С.Р., Турметов Б.Х. Об одной краевой задаче для уравнения с дробной производной // Докл. АН России, 1993. -N.333. -№ 4. -С.446-448.

48. Филатов А.Н. Обобщенные ряды Ли и их приложения. -Ташкент: Изд-во АН УзССР, 1963. -108 с.

49. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. -М.: Мир, 1965. -379 с.

50. Цой Сун Бон. Об одной задаче для гармонических функций с краевыми значениями нормальной производной высокого порядка // Дифференциальные уравнения, 1990. -N.26. -№ 1. -С.186-189.

51. Янушаускас А.И. Аналитическая теория эллиптических уравнений. -Новосибирск: Наука, 1979. -190 с.

52. Almansi Е. Sull' Integrazione dell' equazione differenziale А и = 0 // Ann. Mat. Рига. Appl., 1899. -Ser.3. -Т.Н. -P.5-19.

53. Aronzajn N., Greese T.M. Lipkin L.J. Polyliarmonic functions. -Oxford: Clarendon Press, 1983. -266 p.

54. Grobner W. Die Lie-Reihen und ihre Anwendungen. -Berlin: Deutsclier Verlag der Wissenschaften, 1960. -112 s.

55. Grobner W. Serie die Lie e loro aplicazioni. -Roma: Cremonese, 1973. -248 s.

56. Horvath J. Basic sets of polynomial solutions for partial differetial equations // Proc. Amer. Math. Soc., 1958. -Vol.9. -N 4. -P.569-575.

57. Marsliak R.E. Theory of the slowing down of neutron by elastic collision with atomic nuclei // Rev. Mod. Phys., 1947. -V.19. -P.185-238.

58. Miles E.P., Williams E. Basic sets of polynomials for the iterated Laplace and wave equations // Duke Math. Journ., 1959. -Vol.26. -P.35-40.

59. Nicolesco M. Les fuctions polyharmoniques. -Paris: Hermann ed, 1936. -98 p.

60. Oguztoreli M.N., Easwaran S.A. Goursat problem for a high order Mangeron equation // Rend. Acad. Naz. Lincei, 1971. -T.L, -P.322-325.

61. Pedersen P. A basis for polynomial solutions to the systems of linear constant coefficient PDE's // Advances Math., 1996, 117, Article No.0005, -P.157-163

62. Protter M.H. Generalized spherical harmonics // Trans. Amer. Math. Soc., 1948. -Vol.63. -№ 2. -P.314-341.

63. Szego G. Orthogonal polynomials, fourth edition. -Amer. Math. Soc.: Colloquium publications, 1978. -Vol.23. -432 p.

64. Teodorescu P.P. Asupra polinoamelor armonice si biarmonice // Studia Oniv, Babes-Bolyai. Ser. Math., 1963. -F.l, -P.821-832.

65. Watzlawek W. Warmpolynome-Model fur besondere Losungssyseme bei linearen par-tiellen DifFerentialgleicliungen // Berichte Math. -Statist. Sekt. Forschungszentrum Graz., 1983. -Nr.211. -P.l-34.

66. Widder D. V. Expansions in series of homogeneous polynomial solytions of the general two-dimensional linear partial differential equation of the second order with constant coefficients // Duke Math. J., 1959. -Vol.26. -P.599-604.

67. Yuong E.C. Basic sets of polynomials for a generalized heat equation and its iterates // Riv. Math. Parma(2), 1970. -Т.Н. -P.97-102.

68. Zweiling K. Grundlagen einer Theorie der biharmonischen polynome. -Berlin: Verlag Technik, 1952. -128 s.