Эллиптические уравнения второго порядка с периодическими по части независимых переменных коэффициентами в неограниченных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ



МОСКОВСКИЕ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ юл. М. В.ЛОМОНОСОВА

" Мезшшсо-мзтемзтический факультет

Э-ШтШЁСКИЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРИОДИЧЕСКИМ ПО ЧАСТИ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ КОЗШЩИЕШШ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ.

(01.01.02 - дгяйеренциальнда уравнения)

'АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук •

ГОБШШШЙ Р.ШАЗ МИХАЙЛОВИЧ

Москез 1992

Работа выполнена на кгйедре дафЁэренцпальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета им'. И. В Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.А.Кондратьев Официальные оппоненты : доктор Знзико-математических наук,

профессор Е.В.Радкевич кандидат физико-математических наук, ст.н.с. Л.А.Багиров Еедуцая организация " - Московский энерг етический институт Защита диссзртащя состоится

30" 1992 Г.

е 16 час. 05 ш. на заседании специализированного соЕега Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория, 16-24.

С диссертацией иокно ознакомиться в библиотеке механино--математического факультета МГУ (14 этак)!

Автореферат разослан ^¡Ц)" Г0МЛ'дс£пЭ> 1992 г.

Ученый секретарь специализированного ■совета Д.053.С5.04 при МГУ, доцецт

* Т.П.Лукашенко

Общая Характеристика работ

•Акгуальность.тзглн. Теория краевых гадзч для эллиптических урзвневий, определенных в неограниченных областях, занимает Еагное место в общей теории краевых задач для дифференциальных операторов с частными производными. Некоторые вопросы, возникшие в теории усреднения дифференциальных операторов, приводят к рассмзтреншо решений эллиптических краевих задач в неограниченных областях, обладающих конечным интегралом Дирихле или конечной энергией. Задача с периодическими по части независимых переменных козИициентавди является одвкм из вариантов задачи для эллиптического уравнения на некомпактном многообразии. Для разных типов уравнений задача с периодическими по части независимых переменных коэффициентами рассматривается в работах В.Д.КондратьвЕа и О.А.ОяеЙвик 111-13}. В частности, в работе ИЗ рассматривается поведение за бесконечности решений, периодических по части независимых пареыэнных и облада-

£13 Кондратьев В.А. , Олейвзш O.A. Об зсжптотике в oiqpecT-ности бесконечности с конечным интегралом Дирихле эллиптических уравнений второго порядка. - Труда семинара И.Г.Петрозско-го, 1Щ7 г, вш. 12, с.148-162.

121 Xondratiev В.А. and Oleinik O.A. Stir ш problem de E.San. .c&ez-Palensia. C.R. Acad. Sei. Paris, 1984, у.299, ser 1, Nr 15, p.745-748.

131 Кондратьев В.А. , Олэйник O.A. О периодических по времени решениях параболического уразненкя второго порядка во внесших, областях // Вест. МГУ, сер. I., матем-мех. - 1985, Ш,- с.38-47,

I.

вдях конечным гктегралоы Дириое, злжитичесжЕХ. уравнений второго порядка дивергентного ввда с ограниченными измеримыми ко-аНициенгами, периодическими но части- соотЕетствущш переменных:. Кроме иго, изучается связанный:, с ним вопрос о единственности решений-внешних краевых задач. Для непериодкческих коэффициентов зллизгичесгаю уравнения в if е весовых пространствах рассматривались многими авторами. Среди них следует назвать работу Бащрова I.A. и Кондратьева В.А. 141 и работу Стейна М. 153. В работе Hirectsrg !>., Walker Н.?. [63 изучается нуль-пространства эллиптических дифференциальных операторов в Rn*

Цель работа. Исследование вопросов существовании и единственности обойденных решений, периодических по части независимых переменных и обладающих -конечным интегралом Дирихле с весом, эллиптических уравнений второго порядка с коэффициентами, периодическими по- части соответствующим переменных в неограниченных областях; изучение асимптотики решений в окрестности бесконечности с конечным интегралом Дирихле.

Научная новизна. В диссертации вычисляется размерность ядра эллиптических операторов с. конечным интегралом -Дирихле с Еесом. Усилены ранее доказанные теорема об асимптотике ре-

141 Багиров 1.1., Кондратьев В.А. 00 эллиптических уравнениях

в Rn. Дифф. уравнения, 1975, т.II, КЗ, с.498-504.

153 Стейн И. Сянгулярнне интегралы и дифференциальные свойства

функций. Перевод с англ. М. "Мир", 1973.

16] Hlrenberg Ь., «alker H.F. The null spaces oi elliptic

partial dilierential operators in ТС,- J. of Hath. Anal, and

Appl., 1973, 42, H2, p.271-301.

иений в окрестности бесконечности с конечным интегралом Дирихле.

Зое основные результат диссертации является новыми я получены автором самостоятельно.

Методы исследования. В диссертации используются метода исследования краеЕшс задач, основанные на вариационных принципах, теории пространств Соболева.

Приложения. Результата диссертации является продвижением в области теорш' краевых задач для.эллиггпгаескях уравнений в неограниченных областях. Они могут найти прикеиение в некоторых задачах математической физики и механики.

Апробация диссертации. Основные результата диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета ИГУ.

Публикации. Основные результата диссертации опубликованы в двух работах-автора, одна работа сдана з печать, список которая приведен в конце автореферата.

Структура и обьем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, разбитых на Б параграфзв," и списка литературы, содержащего 30 наименований. ООецй объем диссертации 91 стр.

\

ч%

Содержанке диссертации

Во введении показана актуальность работв, приводится обзор ранее полученных результатов по теме диссертации, дается их краткий анализ, формулируется основнае результаты диссертации.

В диссертации исследуется существование и единственность

•3.

обобщенных реагнай, периодических по части •независимых переменных и обладавщи конечным интегралом Дирихле, с весом, эллиптических уравяешЖ Еторого порядка с. ко2<®вди9нтзми., периодическими по части соответствующим переменяет, в неограниченных областях, вашсляется размерность ядра оператора. Кроме того, рассматривается поведение на бесконечности решений с конечным интегралом Дирихле.

Рассмотрим в области б уравнение ■

3 Г 3т1

д Г 6и 1

Ш) -- а (2) - »

■ дг{ I 4 дъ, J

0. (1)

где а^г) - ограниченные измеримые периодические по у с периодом I (1-парисдачэские по у) функций в С, 2= (х,у)ь х= (х^,...,

7=>(У1,....Гк), Ю/2, к>0, С=£г:х€1Г \ Е. В - ог-

раниченная область з содеркшая начало координат. Здесь'и далее предполагается суммирование от I до п+к.

Пусть g=íз:|2|<l), П={у:0<у.<1, 3=1,ГЫа;х€В"\£,

Будем предполагать, что а1.(г)=а.. (г) и

для любых и где и - положительные постоян-

ные.

Для уравнения (1) рассмотрим следующие краевые условия и=0 на ¿в (2)

и

Зи Зи

— з а.(2) -г».=0 на ¿Ю, (3)

дУ 4 дz. х

где v={ví,...,v^) - единичный вектор внешней нормали к 30.

4.

Обозначим через Н1 (Бр.Г)» ГеЯС^, пополнвнпе пространства бесконечно диффереышруемвх в G^, I-периодических по у функций по норме

Если 1-0, то Н1^ .¡7) обозначим Н*(С ).

г г

• Для внешней задачи Дирихле (1),(2) обобщенные решения принадлежат пространству ^((^,35), а в случао Енэиней задачи Неймана (1),(3) - Й'ССр) при любом р>1.

В §1 Главы I изучается вопрос о единственности решений внешних краевых задач, для которых выполнено условие

(3), дня которого выполнено условие (4). Тогда u(z)sO в случае задачи Дирихле и u(a)=conßt в случае задачи Неймана.

Обозначим через her I класс функций которые являются обобщенными, I-периодетескиш па у решениями внешней задачи Дирихле (1), (2) и удовлетворяют условию (4), а через dim leer 1 размерность этого класса. В §2 и §4 Главы I вычисляется dim ker b в завигаагоет от а.

ма 1.6 и теорема I.I3). Пусть п>2. Для лжЗого равномерно эллиптического сператорэ вида (1) существует положительное число г,

5.

Теорема единственности (теорема 1.1). Пусть а^-п-2 и u(z) является обобщенным, Г-перлодзчеасвы по у решением в области G внешней задачи Дирихле (1), (2), или внешней задачи Неймана (1),

.Твореш о размерности ядра оператора Теорема 1.4, теоре-

зависящее только от констант эллиптичности 'оператора, такое что, если 2-а-е4а<а-2, то dim кег 1=1.

Для любого -полскетэлзьеого числа е существует равномерно эллиптический оператор вида (1), такой что, если а=2-п-е, то dim кег 1>1.

Пусть п>2, а.(г)=5 щ (z),. где £..=1 при 1=3, g =0

VJ IJ vj bj *J

при |a (s)|<c при некотором J, c=const>0, -2q£a+

+n<-2q+2, q - любое целое неотрицательное число. Тогда

dim ker L= Е К(п,зп),

П!=0

где K(n,m) - число Есех линейно независимых однородных гармонических полкномое степени га е п керцом пространстве, и определяется формулой:

(n+ffi-3 ) 1

Х(п,т)=(2п«-а-2)--

(n-2)Jm!

В §3 Глащ I изучается поведение нз бесконечности обобщенных, I-периодически, по у решений уравнения (1) с ограяичен-нным интегралом Дирихле:

| |Vzu|2dz<«. (5)

П

Теоремы об асимптотике решений в о!фестности бесконечности (теорема 1.7 и теорема 1.8).

Пусть п=2, |а..(2)-2..)<ф()х|), где функция <|(t) удовлетворяет условию Дини на бесконечности:

J

§<t)

-at <a> ,

s.

и пусть ii(z) - обобщенное, I-периодаческое по у решение в области G уравнения (1) с условием (5). Тогда найдется постоянная М, такая что,

|и(з:,у)-М|^ Gill-1, c=const>o. (б)

Если функция <$(t) убивается "медленно" на бесконечности, то оценка (б) может не иметь места.

Пусть п>2 и niz) - обобщенное, I-периодическое по у решение е области G уравнения (1), для которого выполнено условие (5). Тогда найдутся такие постоянные b( i Ьг, что

u(x,y)=bi+ ^(x.yJ-H.dx]2-'4), где Q(x,у) - фундаментальное, I-периодическое по у решение уравнения (1),' такое что L Q(x,y)=§(2,у) и

В §4 Глэеы I в области Q' рассматривается уравнение

Lu э

д . dz.

а .(z) ч

du dl'

— , i°(z) + z -

dz. J dzä

(T)

коэффициенты которого близки к коэффициентам оператора Лапласа. Функции !°(г) и (г) предполагаются измеримыми и I-периодическими в области (Г.

Введем пространства вектор функции Г=(1Л,11.....1™").

о

1(0) и Ъ (й) с нормами

v

Е |i(z)-il(x)|2+j: |i^J(z)|s

L=0 j=l

dz+

KnX П

i ",B[

r

|х|2|1°(х)|г+Е ifix)!3

• i=l

dx

Hill

=f [(1 + 1x1)4 £ |/(Z)-iL(X)|2+ E 1/^(2)1*102+

L (Q) ( J [ i« i=» J

If X П

Г

соответственно, где

+j<l + |x|)a|

г» —.

• i.=i

dx

g(x)=

g(x, y)tiy.

Обозначим через ^(Q) и ^(Q) пространства I-периодических по у функции и в области Q' с кормами

11-1 i°a(Q)=f J(1+|x|)a(|tb-ü|2+|7=(Ti-u)(2)az+

R"X П

ixfdxfiai'+i^si'jdn

I |u| |

Rn

K"X n

(I Ti-Ü j г-г I (и-й> 12 )dz+

+ |(i+ixj)a(|xf2 iüiz+ivü|2)ax

соответственно. . ,

Теорема I.II (теорема существования и единственности). Пусть а+п+2(з-1)^0;2, ага+2(1~п-з)*0;2 ни при каких целых неотрицательных в. Пусть.+ |а. .(z) |<£, где s дос-

8; •

\

таточно маленков число. Тогда для любой вектор функции 1 из Ьа((3) существует единственное обобщенное, I-периодическое по.

о

у решение уравнения (7) в области Я'/Ю) из ^(0), причем

где сд не зависит от и и

Теорема 1.12 -(теорема существования и единственности). Пусть. 2-п< а <п~2 к пусть а^(г)=§.-кх..(г). 1<х.(г)|<:Е, где е достаточна маленков-числа. Тогда для любой вектор функции 1 из Ьа(б) существует единственное обобщенное, I-периодическое по у решение уравнения (7) в области из при1!ем

где сд не зависят ог и н 1.

В главе II рассматривается в области С уравнение

-а(2)и=0, (8)

д Г ди

IV -- а (г) -

д г. 1 4 а г

где а (г) измеримая, 1-периодическзя по у функция в областя С.

В §1 Глаш II доказывается теоремы единственности внешних краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения (В).

Теорема 2.1. Пусть ооп-2, а(г)> 0 и и(г) является обобщенным, 1-периодическим по у решением е области Б внешней задачи Дирихле (В),(2) или (8),(3), для которого выполнено условие (4). Тогда и(2)н0 в случае задачи Дирихле и и(2)=сопзЪ в случае задачи Неймана. Если а (2)^0, то и(2)г0 и в случае задачи Неймана.

Теорема 2.2. Пусть п>2, а(2»фг (|х|) |х1"2, ф(|х| )>0 и ф(|х|) —*-®-при |х|—Пусть ц(г) обойденное, 1-периодичес-

9.

кое по' у решение в области G Енешней задачи Дирихле (8), (2) и удовлетворяет условии (Л). Тогда u(z)sO.

Теорема 2.3-. Пусть n>2, где c=const>0 и пусть

u(z) - обобщенное, I-периодическое по у решение в области G задачи (8),(2), для которого выполнено условие (5). Тогда u(z)=0. Обозначим через ker L класс функции u(z), который состоит из обобщенных, I-периодических по у решений внешней задачи Дирихле (8), (2) и для которых выполнено условде (5), а через dim ker L обозначим размерность этого класса. . В §2 Главы II вычисляется dim ker L-Теорема 2.4. Пусть п>2 и a(s)>0. Тогда dim ker L<1« Теорема 2.5. Пусть п>2, 0<a(z)-£ сй|х|_2",£ co=const>0, s>(n-2)/2. Тогда найдется число R, зависящее от с , такое что. для области G, где grsix:¡х|<Ш, dim ker L=1.

В; конце параграфа приведен пример, показывающий, что если в теореме 2.5 условие е>(п-2)/2 не выполняется, то dira ker L может оказаться нулем.

В заключении автор Еыражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору В.А.Кондратьеву за постановку интересных задач и постоянное внимание к работе.

Работа автора га теме диссертации

I. Гобедапшшш Р.М.

2. ГобедкшЕшш Р.М.

3. Гобедашвили Р.М.

Эллиптические уравнения второго порядка дивергентного вида в неограниченных областях. //Рукопись деп. ВИНИТИ РАН 02.05. 92, Н 1811-В 92, 30 с. Эллиптические уравнения второго порядка с периодическими по части независимых пе-ремевЕыг коэффициентам. //Рукопись деп. ВИНИТИ РАН 01.07.92, И 2134-В 92 , 23 с. О единственности решений внешних краевых задач эллиптических,уравнений второго порядка. //Вестник МГУ, сер.-I, мат.мэх., И I, 1Э93 г.

И.