Задача Дирихле для некторых эллиптических вырождающихся систем уравнений с частными производными второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГБ ОД

л ;• ' -тГ/

/ (_< г... - Па кронах рукописи

Исаева Галина Александровна

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ НИКОТОРЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ПЫРОЖДДЮШИХСЛ СИСТЕМ УРА1ШКНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗНОД11ЫМИ ИТОРОГО ПОРЛЛКА

01.01.02 - днффорснциа/п.пьп; урпчненин

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск - 1997

Работа выполнена п.. кафедре дифференциальных и интегральных • уравнений Иркутского госуниверситета.

Научный руководитель —доктор физико-ма1ематических наук,

профессор А.И. Янушаускас

(Официальные оппоненты .....доктор физико-математических наук,

профессор Ю,А. АЛХУТОВ,

доктор физико-математических наук, профессор А.И. Кожанов

Ведущая организация — Факультет вычислительной

математики и кибернетики

Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Занята диссертации состоится "июня 1997 г. и 16 часов

на заседании диссертационного совета К 113.31.01 при Владимирском государственном педагогическом университете но адресу: 600024, Владимир, пр-т Строителей, 11, ауд. 236.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Владимирского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан "29 " апреля 1997 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат физи/огматематических наук, ^

допейт — М—- Степанов С.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Эллиптические по Петровскому системы уравнений с частными производными ».¿'орого порядка, помимо многочисленных приложении в проблемах фишки (и, особенно, в теории упругости), имеют чисто теоретический интерес. Важным разделом теории уравнений с частными проншодными является теория краевых задач "'ля эллиптических уравнении и систем. В настоящее время достаточно полно разработала теория эллиптических гнетем уравнений с двумя независимыми переменными, сильно эллиптических систем (см., например, работы A.B. Бпиадэе. М.И. Вишнка) и многомерных эллиптических систем с noi тояниымп коэффициентами (P.C. Сакс, А.Д. Джураев, В.И. Шевченко. В.Г1. Михаилов). По системам с переменными коэффициентами Ночучены интересные результаты у А.И. Янушаускаса, III.Б. Халилола. А.П. Солдатова' п других. Системы с переменными коэффициентами в -ратных точках области могут принадлежать различным гомотонпчеекпм классам. Многообразия вырождения.разбивают обла ть на части. Важно исследовать влияние вырождения па характер разрешимости граничных задач.

Целью работы является исследование характера разрешимости задачи Дирихле в различных областях для вырождающихся эллиптических систем уравнений с частными производными второго порядка с: тремя II более независимыми переменными и постановка корректных видоизменений этой задачи.

Научь^л новизна и практрческая значимость работы. Впервые рассмотрены системы с двумя многообразиями "вырождения. В отличие от работ, в которых ранее рассматривались краевые задачи для вырождающихся систем, в данной работе изучены системы с пе-

:t

ременными коэффиц штамп при операторе Лапласа, что приводит к параболическому вырождению систем на двух поверхностях. Это вырождение влияет на корректность задачи Дирихле и постановку раз- < личных видоизменений этой задачи. Системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями рассмотрены в различных областях (полупространстве, полосе, цилиндре, сфере), а также сделаны многомерные обобщения. Изучены корректные постановки задачи Дирпхле, что представляет большой интерес для разбиения эллиптических системна компоненты связности.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научном семинаре кафедры общей математики факультета ВМК Московского государственного университета (Москва, ф враль 1996 г.); на международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Уфа, май 1996 г.); на международном семинаре по алгебре, геометрии п математическому анализу (Байкал, август 1995 г.); на XVII, XVIII и XIX конференциях молодых ученых МГУ (Москва, апрель 1995 г., январь 1996 г., апрель 1997 г.); на международной конференции по математическому моделированию в секции неклассических уравнений математической физики (Якутск, сентябрь 1994 г.); на всероссийской школе "Компьютерная логика, алгебра и интеллектное управление" (Иркутск, август 1994 г.); на международной конференции "Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами" (Душанбе, ноябрь 1996 Г;); на семинаре ИрВЦ СО РАН (Иркутск, ноябрь 1995 г.) и систематически на семинаре кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Иркутского госуниве| итета.

Публикации. Основные результаты .пчгтртации опубликованы в работа/ [1] - [! 1].

Объем и структура работы. Дтее] )Т<ЩНЯ 1П.'ЮЖ< 'Пл. на НИ) страницах машинописного текста и состоит 1П введения, трех глав и списка литературы, включающего нанмсЧопинич русских п зарубежных авторов.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Исследование задачи Дирихле для систем пила

+ =1). ; = 1.....п. (1)

,-1 их;

в облает и £>, вся Г1>ашща которой либо ее часть лежит на многообразиях вырождения А(А') = 0 или А(А') — /(.

2. Изучение корректных видоизменений постановки задачи Дирихле для системы (1). (При п — 3 такие,системы встречаются в изотропной тео1)ии упругости тел, при А (Л') = /< константы Дамч обращаются п нуль.)

3. Исследование задачи Дирихле для эллиптической системы

() О

-Ди 4- А— (ит + <„ + <"*) + ч(^)тг- (»V - "г) = о, их Оц

О О

- Д« + А— (и, + иу + «>,) - а(г)— (н„ - V,) = 0, (2)

-Дад + /<— {чг + Чу + ик) = 0;

вырождающейся на границе полупространства Е : {г > 0} н полосы Ю : {0 < 2 < Л}. Доказано, что нарушение корректности задачи происходит при А = /I = 2 н. кроме того, и полупространстве Е при

^ ~ /I— 1'

Сг 'держание диссертации

Во введении дается краткий обзор литературы по эллиптическим системам уравнений с частными проп ¡водными второго порядка, изложены основные результаты диссертации.

В первой главе рассмотрена задача Дирихле для системы (2), где некоторая функция п полупространстве Е : {г > 0}, такая,

что «(г) < 1, а(0) — 1, в следующей постановке; найти регулярное полупространстве Е ограниченное на бесконечности решение системы (2), удовлетворяющее на границе условиям

« и=0= " |г=0= М*,у), ш |«=0 = (3)

где /,(.)',(/), ¿ — 1,3- заданные достаточно гладкие функции.

В §1 рассмотрена задача (2) - (3) в полупространстве Е : {г > ()}, найдено представление решений в терминах преобразования Фурье.

В §2 для частного случая функции «(:) 5= 1 — г выведены явные формулы для решения через функцию Бесселя мнимого аргумента.

В §3 доказано, что задача Дирихле для системы (2) в полосе I) : {() < г < /¡} при А = ¡1 2 разрешима и решение ее единственно.

Во второй главе, состоящей нз двух параграфов, рассмотрена система дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с вещественным параметром А

-гАи + А—+ ыу + уг) = 0, , -гАь + Х-щ-{и'х"+иу+и<,) = 0, (4)

-гДш + А—(иг + иу + т.) = 0, иг

эллиптическая везде, кроме плоскостей' г = 0, г — А, на которых происходит параболическое вырождение. ' •

В §4 доказано, что видоизмененная задача Дирихле для системы (4) в полупространстве Е : > 0} и в по,юсе V : {0 < г < А} разрешима в классе ограниченных функций, причем функции и н е определяются единственным образом, к> - с точностью до константы, а в цилиндре с боковой поверхностью Г : {.г2 + у2 = П2, 0 < г < А} решение задачи единственно.

В §5 проведено обобщение; этой задачи для системы п дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с и независимыми переменными

ч , х 0 £ дп< „ • 1 -х}1Аи, + А— £ — = 0, ] = 1,... ,п

Ох, 1=, Оли

в произвольной области V. ограниченной плоскостями вырождения х„ =0, х„ = А. Доказано, что для зтой системы красная задача

";|г = /}(х\.....^»Ь } = 1,...," -

=/„(Х'1 ,...,.г,,),

1= I и* I

Г-. и

где Н, 2 = 1,..., п + 1 - заданные дважды непрерывно дифференцируемые функции, Н - 0гр;1ннчена при „ —» А и равна нулю при х„ = 0, разре'чпма, ее решение и1 = 1— 1 единственно, а компонента и„ определяется с точностью до функции г/)(х\,... ,х„-\). Если граница Г| и Гд однозначно проектируется на часть Го плоскости хп = 0, то есть х„ = Н(х1,... ,ж„_|) и задано условие на границе <5Го

"»|«Г0 = /п+|(*1. • • • Дп-ьИ), то компонента ип находится единственным образом.

Для уравнения

л г/

,г„(А - л.)Д/7 = А —

Ох„

проведено обобщение леммы Хольмгрена: если дважды дифференцируемое в Г> решение Н этого уравнения с ограниченными вторыми

производными удовлетворяет условиям

'О,

то Я = 0.

В третьей главе, состоящей из трех параграфов, изучен вопрос о корректности видоизмененной задачи Дирихле для эллиптических систем, вырождающихся в пуле и на окружности пли на л — мерной сфере.

В {¡6 рассмотрена система двух дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с вещественным параметром А > 0 в области V : {а:'2 + у2 < Я'2 \

~{х'2 + уг)А.и + -^К + г>у) = + у2)&1> + + <'„) =

9 1

эллиптическая везде, кроме начала координат и окружности х -(- у — А, на которых происходит параболическое вырождение.

Доказано, что видоизмененная задача Ди])ихле для этой системы в круге, как содержащем окружность вырождения, так и находящимся внутри нее, разрешима, одна из компонент решения определяется единственным образом в классе ограниченных функций, а вторая - с точностью до линейной функции.

В §7 проведено обобщение на случай и переменных для системы

ОХ] ,= 1 с.С;

с вещественным параметром А > О. Для шара Р : {•>■].+ х'2 + ... + хгп < Л2} с границей Г при Я2 > А выведено соотношение

Ё^я, о.

¡=1 с/х,-

Доказано, что задача Дирихле

Ч = /ь /> е С-^ЧГ), ; = 1,...,н-1 ■ (б)

для системы (Г<) разрешима в классе ограниченных функций, причем ?| — 1 компонента решения определяется единственным образом, а для регулярной в шаре V гармонической функции м„ задача о наклонной производной

0и,,

дхп

однозначно разрешима при выполнении условия

"п|1Г = /п, /пеС1'а(5Г), ¿Г :{*„=<)'..г?+ ... + *;_, =Л2}. (7)

При П2 < А к краевым условиям (6), (7) добавляется условие для определения ненулевой функции Н ■■ '

= /п+1, /,,+1 ес'--(Г)..

(8)

Доказано, что задача (6), (7), (8) для системы (5) разрешима, ее решение в классе ограниченных функций единственно и представляется в виде сумм интегралов Пуассона ну, для уравнений Лапласа в шаре и потенциалов объемных масс 1

(1У, ¿ = 1 ,...,11,

где а А", К) - функция Грина.

В рассмотрен вопрос о корректности задачи Дирихле для многомерной эллиптической системы с переменными коэффициентам« общего ьида

+ = ; = 1,...,». (9)

ОХ, ,= ) Ш',-

Доказано, что если область О вместе с поверхностью ¿V : {Л(Л') = //} целиком содержит область Е~ : {Л(Л') < /¿} или область Е+ : {Л(Л') > /<}, то для любого трижды дифференцируемого в области Б решения системы (9) функция Я(Л') постоянна в Б. Следовательно, видоизмененная задача Дирихле для этой системы с Л(Л') ф 0 в Б разрешима, /¿ — 1 компонента ее решения определяется единственным образом, а п„— с точностью до произвольной гармонической функции переменных ;гх,... регулярной и Б.

В заключение автор искренне благодарит своего научного руководителя профессора Альгнмантасн Иош.и овича Янушаускаса за постановку задач п постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Исаева Г.А. Задача Дирихле для эллиптический системы, выро-ждающсйся ни границе, полупространства // Аналитические и конструктивные методы: исследования дифференциальных уравне-

о

ний. - Иркутск: Иркут. ун - т. - 1993. - С. 35 - 41.

2. Исаева Г.А. Задача Дирихле для одной эллиптический вырождающейся системы второго порядка // .Международная конференция по математическому моделированию. - Тезисы докладов, секция неклассических уравнений математической физики. - Якутск: Якутский ун - т. - 1994. - С. ЗС - 37.

3. Исаева Г.А. Задача Дирихле для эллиптической системы, вырождающейся на границе полупрогтрчпслпва или полосы // Тр.' Всероссийской школы по компьютерной логике, алгебре и интел-лектному управлению. - ИрВЦ СО РАН. - 1995. Т. 4. - С. 73 -

88.

4. Исаева Г. А. Видоизмененная задача Дирихле для вырождающейся эллиптической системы в полупространстве, полосе и цилиндре // Дпфференц. уравнения. - 1990. Т. С, N 32. - С. 825 - 829.

5. Исаева Г. А. Т]ттья краевая задача для (порождающейся системы п уравнений // Краевые задачи. - Иркутск: Иркут. ун - т. - 1997.

- С. 21 - 32.'

0. Исаева Г.А. Видоизмененная задача Дирихле для эллиптической системы, вырождающейся ни окружности и в точке // Краевые задачи. - Иркутск: Иркут. ун - т. - 1997. - С. 43 - 51.

7. Исаева Г.А. Видоизмененная задача Дирихле для эллиптической, системы, вырождающейся в нуле и'на п— мерной сферс // Фундаментальная и прикладная математика. - М.: МГУ. - 1996. N 4.

- С. 1205 - 1212.

8. Исаева Г. А. О корректности задачи Дирихле для эллиптической системы, вырождающейся на окружности и в нуле // Тр. международной конференции по комплексному анализу и дифференциальным уравнениям. - Уфа: ИМ с ВЦ УНЦ РАН, БашГУ. - 1996. Т. 4. - С. 56 - 67.

9. Исаева Г.А. Видоизмененная задача Дирихле для эллиптической сисп■ :мы, вырождающейся в начале координат г на сферической

поверхности // Оптимизация, управление, интеллект. - Ассоциация программирования: ИрВЦ СО РАН. - 1990. N 2. - С. 89 -102.

10. Исаева Г.А. Задача Дирихле для одной многомерной оллиптиче-

ная конференция "Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами". - Тезисы докладов. Душанбе: Таджикский уи- т. - 1990. - С Л

11. Исаева Г. А. Обобщение леммы Хольм.'рена для одного вырождающегося эллиптического уравнения // Оптимизация, управление, интеллект. - Ассоциация Программирования: ИрВЦ СО РАН. -

1996. N 2. - С. 103 - 110.