Спектральный анализ некоторых классов линейных отношений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

/

л

на правах, рукописи

м

ХАТЬКО ВИКТОР ВИКТОРОВИЧ

Спектральный анализ некоторых классов линейных отношений

01 01 01 — математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□ □3 1~73 138

Воронеж - 2007

003173138

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Баскаков Анатолий Григорьевич

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Овчинников Владимир Иванович

Ведущая организация - Белгородский государственный университет

Защита состоится "30" октября 2007 г в 15 часов 40 минут на заседании диссертационного совета К 212.038 05 при Воронежском государственном университете по адресу 394006, г Воронеж, "Университетская пл , 1, ВГУ, математический факультет

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета

доктор физико-математических наук, профессор Курбатов Виталий Геннадьевич

Автореферат разослан

сентября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета К 212 038 05, доктор физико-математических наук, профессор

Ю Е Гликлих

Общая характеристика работы.

Актуальность работы. При развитии спектральной теории линейных операторов и ее приложений, часто возникают проблемы, связанные с необходимостью введения в рассмотрение линейных отношений (многозначных линейных операторов) и развития спектральной теории линейных отношений Так, например, если линейный оператор, действующий в банаховом пространстве, имеет неплотную область определения, то не существует сопряженного оператора, а естественным образом возникает сопряженное линейное отношение Последовательность линейных замкнутых операторов, сходящаяся относительно расстояния, использующего понятие раствора подпространств, может в пределе иметь линейное отношение, не являющееся графиком линейного оператора При изучении вырожденных полугрупп операторов, возникающих при рассмотрении некорректных задач математической физики, в качестве генератора полугруппы естественным образом стали использоваться линейные отношения1 Изучение некоторых классов дифференциальных операторов приводит к необходимости рассмотрения полугрупп линейных отношений Таким образом, дальнейшее развитие теории линейных отношений является весьма актуальной задачей

К настоящему времени имеется монография2, в которой систематически излагается теория линейных отношений и в которой имеется достаточно полная библиография проведенных до 1998г исследований и в том числе по спектральной теории линейных отношений (глава 6) Более поздние исследования по спектральной теории линейных отношений содержатся в статье3, а в монографии 4 получены ее приложения к вырожденным дифференциальным уравнениям

Теория линейных отношений является, в некотором смысле, обобщением теории операторов Поэтому метод обобщения фактов из теории линейных операторов на теорию линейных отношений часто используется для развития теории линейных отношений В частности, обобщение классов ограниченных и компактных операторов на линейные отношения имеется в монографии Р Кросса2 Однако, выделенные им классы линейных отношений не адаптированы к построению их спектральной теории Таким образом, одна из целей данной работы - выделение и изу-

1 Баскаков А Г О генераторах полугрупп операторов / А Г Баскаков // Докл РАН - 2006 -T 406, №6 - С 727-729

2 Cross R Multivalued Linear Operators / R Cross - New York M Dekker, 1998

3Баскаков А Г Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / Баскаков А Г , Чернышов К И // Матем сборник - 2002 - T 193, Л»11 - С 3-42

4Favuu A Degenerate Differential Equations m Banach Spaces / A Favini, A Yaggi - New York M Dekker - 1998

чение классов линейных отношений, которые близки к ограниченным и компактным линейным операторам именно по своим спектральным свойствам

Метод обобщения фактов из теории линейных операторов на теорию линейных отношений в полной мере применим и к спектральной теории линейных отношений, спектральные свойства которых часто являются аналогом некоторых спектральных свойств линейных операторов, что находит свое отражение в настоящей работе

Современное состояние вопросов полноты собственных и присоединенных векторов компактных операторов, операторов с компактной резольвентой, пучков операторов в значительной степени определили работы М В Келдыша5 пятидесятых годов прошлого века Анализ этой и последующих работ показывает, что постановка задачи о полноте системы спектральных подпространств для линейных отношений позволяет с единых позиций подойти к доказательству соответствующих теорем для различных классов операторов

В третьей главе диссертации ставится задача о полноте систем спектральных подпространств, подробно рассматривается ключевое (по важности) подпространство векторов, спектр которых сосредоточен в точке оо расширенной комплексной плоскости Использование техники сопряженных линейных отношений (в случае линейных отношений, в отличие от линейных операторов, не возникает проблем с операцией взятия сопряженного линейного отношения) и соответствующих теорем типа Фрагмена-Линделефа позволяет получать разнообразные теоремы о полноте спектральных подпространств

Цель работы. Выделение классов линейных отношений, являющихся аналогами классов ограниченных и компактных линейных операторов, развитие их спектральной теории, постановка проблемы полноты системы спектральных подпространств для линейных отношений, изучение условий полноты системы спектральных подпространств, получение теоремы о полноте системы спектральных подпространств упорядоченных пар линейных операторов (линейных операторных пучков).

Методика исследования. В работе используются методы линейной алгебры, комплексного и функционального анализа, результаты из спектральной теории линейных операторов

Научная новизна. Перечисленные ниже основные результаты диссертации являются новыми

1 Введено понятие фактор-отношения - аналог понятия фактор - опе-

5Келдыш, М В О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений / М В Келдыш // ДАН СССР - 1951 - Т77, №1 - С 11-14

ратора для линейных операторов

2 Выделены классы линейных отношений, близкие по своим спектральным свойствам к ограниченным и компактным линейным операторам, изучены их свойств

3 Введено понятие спектрального подпространства линейных отношений, изучены свойства спектральных подпространств линейных отношений, отвечающих компактным изолированным частям спектра, изучены свойства спектрального подпространства, отвечающего точке бесконечность в расширенном спектре линейного отношения

4 Доказана теорема о полноте системы спектральных подпространств линейных отношений, подпространство, в котором система спектральных подпространств оказывается полна, описано в терминах заданного линейного отношения

5 Результаты о полноте системы спектральных подпространств линейных отношений применены для изучения вопросов полноты системы спеь тральных подпространств упорядоченных пар линейных операторов

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер Полученные в диссертации результаты и методы их доказательства могут могут быть использованы при решении широкого круга вопросов теории линейных операторов, упорядоченных пар линейных операторов (линейных операторных пучков), дифференциальных уравнений

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежской зимней математической школе Крейна (ВЗМШ-2006), 16-ой Крымской осенней математической школе - симпозиуме (КРОМШ-2005), 17-ой Крымской осенней математической школе-симпозиуме (КРОМШ-2006), а также неоднократно на семинарах проф А Г Баскакова в Воронежском государственном университете

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [6] Из совместной работы [1] в диссертацию включены только результаты, принадлежащие диссертанту

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы Объем диссертации - 87 страниц Библиография содержит 56 наименований Нумерация приводимых в автореферате определений, предположений, теорем, лемм, следствий и формул совпадает с нумерацией, принятой в диссертационной работе

Краткое содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность темы, приводятся исторические сведения, дается обзор результатов по главам

В первой главе, носящей вспомогательный характер, вводятся основные понятия из теории линейных отношений и некоторые используемые в работе результаты из спектральной теории линейных отношений

В §1 главы 1 вводится понятие линейного отношения, определяются алгебраические операции над линейными отношениями, спектр, резольвента линейного отношения, понятие сопряженного линейного отношения

В §2 главы 1 приводятся некоторые используемые результаты из спектральной теории линейных отношений, вводится классификация спектра, доказывается теорема о спектре обратного линейного отношения с учетом классификации спектра

Точечным спектром отношения А 6 LR(X) называется множество <Tp(v4) всех собственных значений отношения А Множество ас(А) всех А 6 С, таких что Ker{A - XI) = {0}, 1т{Л - XI) ф Im{A ~ XI) = X, называется непрерывным спектром отношения А, а множество <гг(А), состоящее из всех А е С, таких что Ker(A-XI) = {0}, Im(A — XI) ф X, называется остаточным спектром отношения А

При этом точку А = оо отнесем

- к расширенному точечному спектру ар(А), если АО ф {0}, то есть А является многозначным отображением,

- к расширенному непрерывному спектру ос{А), если АО — {0}, D(A) ф ЩА) = Х,

- к расширенному остаточному спектру аг(А), если АО — {0},

D(Aj ФХ

Множество ога(А) всех А € С для которых существуют последовательности {хп} из D(A) и {zn} из Im(A — XI), такие что ||жп|| = 1, zn £ (А ~ Х1)хп для всех п и limn^^, zn — О, называется аппроксимативным точечным спектром линейного отношения А

Точку А = оо отнесем к расширенному аппроксимативному точечному спектру сга(А), если существуют последовательности {жп} из D(A) и {уп} из ImA, такие что ||у„|| = 1, уп € Ахп для всех п и 11т„_юо хп = 0

Теорема 1.2. Пусть А € LR(X), X £ ст(.Д) Тогда

1) если А € сгр(А), то 1/Х 6

2) если X е ас{А), то 1/Х е сгс(.Д_1),

3) если А € сгг(Л), то 1/А 6 аТ(А

4) если A S сга(А), то 1/А € аа{А~1)

Далее подробно рассматриваются два подхода к понятию инвариантного подпространства для линейных отношений) а также к понятию прямой суммы линейных отношений, приводится имеющая ключевое значение для настоящей работы теорема о спектральном разложении для линейных отношений Вводится понятие перестановочности линейного отношения с ограниченным линейным оператором Доказывается перестановочность линейного отношения со значением резольвенты в некоторой точке А 6 р(А) и с проектором Рисса

Вторая глава посвящена выделению классов линейных отношений, являющихся аналогами классов ограниченных и компактных линейных операторов, а также изучению их свойств

В §1 главы 2 вводится понятие фактор-отношения, которое в дальнейшем используется для выделения классов линейных отношений - аналогов классов ограниченных и компактных линейных операторов

Определение 2.1. Пусть A G LR(X), М С X - инвариантное подпространство относительно А и Х/М - фактор-пространство. Тогда линейное отношение А = А/М С Х/М х Х/М, определенное следующими равенствами

D{A) = {xeX/M xf\ D(A)^0}, Ах = Axi,

где xi € х П D(A), будем называть фактор-отношением

Доказывается корректность определения фактор-отношения, доказывается теорема о важном свойстве фактор-отношений (аналоге подобного свойства для фактор-операторов), которое позволяет оценить спектр отношения через спектры фактор-отношения и сужения отношения на некоторое инвариантное подпространство

Теорема 2.2. Пусть А € LR(X), М - инвариантное подпространство относительно А, А = А/М, Ам — А\М Тогда любые два из следующих утверждений влекут третье

1) А - непрерывно обратимо,

2) А - непрерывно обратимо;

3) Ам - непрерывно обратимо

Следствие 2.1. Справедливо следующее включение & (А) С а{А) U

сг(Ам)

В §2 главы 2 приводится определение ограниченного и компактного линейных отношений, которое использовалось в упомянутой монографии Р Кросса Ставится задача выделения классов линейных отношений, близких к ограниченным и компактным линейным операторам по своим спектральным свойствам

Вводится определение почти сильно-сингулярного линейного отношения

Определение 2 3. Линейное отношение А 6 ЬН(Х) будем называть почти сильно-сингулярным, если его точечный спектр <?Р(А) представим в виде

ар(А) ~С\Е,

где Е - подмножество из С, не имеющее в С предельных точек

Вводится в рассмотрение ключевое для осуществляемых в главе 2 построений подпространство Хж, описываются некоторые его свойства

Лемма 2.3. Пусть А 6 ЬВ.(Х), Х\ - подпространство из X, определенное следующим равенством

Х\ = {х € Пп>10(Лп) существует последовательность хп е Ахп-\, хо = х, такая что Иш,,чю ^Ц^пЦ = 0}

Пусть Х\ = Х\ ф {0}, а отношение А не является почти сильносингулярным Тогда Х\ - инвариантное и Н-инвариантное подпространство относительно А, А\Х\ — Ах € Еп(1Х\ и а(Аг) — {0} С сг{А)

Следствие 2.2. Пусть А е ЬЩХ), Хоо - подпространство из X, определенное следующим равенством

Хоо = {х 6 Пп>11тАп : существует последовательность хп £ А~1х„-1,ха — х, такая что 11тп_юо д/||жп|| = 0}.

Пусть Хоо = Хоо ф {0}, а отношение А не является почти сильносингулярным Тогда Хж - инвариантное и И-инвариантное подпространство относительно А, А\Хоо — Аоо и а(Аоо) — {оо} С а (А)

Далее вводится определение относительно ограниченных и относительно компактных линейных отношений

Определение 2.4. Пусть А £ ЬЩХ) и выполнены следующие условия

1) Отношение А не является почти сильно-сингулярным

2) Хоо - подпространство, определенное равенством-

Хоо = {ж е Пп>11'тАа существует последовательность хп е А- а:о — х, такая что Ит^ос -\/|[а;п|| = 0},

удовлетворяет следующим соотношениям = Хте ф {0}

3) А/Zoo = А*> G EndX/Xос

Тогда называется относительно ограниченным линейным отношением Если Доо - компактный оператор, то А называется относительно компактным линейным отношением Условимся множество всех относительно ограниченных линейных отношений на банаховом пространстве X обозначать LRB(X), а множество всех относительно компактных LRC(X)

Доказывается теорема о свойствах относительно ограниченных и относительно компактных линейных отношений

Теорема 2.3. Пусть А £ LRB(X) Тогда расширенный спектр линейного отношения А представим в виде сг{А) = {оо} U его, где со - компактное подмножество из С, и существуют разложения X — Хоо ® Хо, Л = Аоо © А), в которых инвариантные относительно А подпространства Хоо,Хо и его сужения Доо = AIX^, Aq = А\Хо обладают следующими свойствами

1) а(А00) = {оо}, то есть А^ - квазинильпотентный (в некоторых случаях - нильпотентный) оператор из EndX ж,

2) сг(Ло) = со,

3) Ао 6 EndXо, причем, если А - относительно компактное линейное отношение, то Ао - компактный оператор из EndXо

В §3 главы 2 дается более подробное описание спектра относительно ограниченных и относительно компактных линейных отношений

Определение 2 5. Пусть А € LRB(X) Зададим на множестве относительно ограниченных линейных отношений функционал г, определенный следующим равенством г (А) = ||До[| , который мы будем обозначать ||Д||Г Назовем его относительной нормой относительно ограниченного отношения А

Теорема 2.4. Пусть A G LRB(X) и для некоторого А 6 С выполнено неравенство |А| > ||-4.||г, тогда А 6 р{А)

Теорема 2.5. Пусть A G LRC(X) Тогда А обладает следующими свойствами

1) Если A £ сг{А) и А ф 0, то А является собственным значением отношения А и dimKer(A — XI) < оо,

2) Если dtmXo — оо, то 0 € с(А),

3) Число собственных значений отношения А, для которых выполняется неравенство |А| > S > 0, всегда конечно, т е множество сг(.А) не более чем счетно и не имеет предельных точек, кроме, быть может, точки О

В третьей главе ставится задача о полноте системы спектральных подпространств линейных отношений, доказывается теорема о полноте системы спектральных подпространств линейных отношений Полученные результаты применяются для изучения вопросов полноты системы спектральных подпространств упорядоченных пар линейных операторов (линейных операторных пучков)

В §1 главы 3 вводится следующее условие на спектр большинства рассматриваемых в этой главе линейных отношений

Предположение 3.1. Спектр линейного отношения о {А) представим в виде

оо

= и ап,

П=1

где <7П, п > 1 - компактные множества из С, причем сйв£(сгт, а{Л)\ат) > О для любого тбМ

Далее вводится определение спектрального подпространства линейного отношения

Определение 3.1. Пусть А € ЬК(Х), и пусть а - некоторое замкнутое подмножество из расширенной комплексной плоскости Инвариантное относительно отношения А подпространство М С X будем называть спектральным подпространством, отвечающим а, если М обладает следующими свойствами

1) а(А\М) С а,

2) если N - некоторое инвариантное относительно отношения А подпространство, такое что а(А\М) С сг, тогда Лг С М

Спектральное подпространство, отвечающее замкнутому подмножеству из расширенной комплексной плоскости сг, будем обозначать Х{сг)

Описывается вид спектральных подпространств, отвечающих компактным изолированным частям спектра, которые играют особую роль в условиях предположения 3 1

Пусть А € Ы1(Х) и его расширенный спектр представим в виде &(А) — сто и о"1, где его - компактное множество из С, о\ - замкнутое множество из С, и сто П<71 = 0 (в этом случае мы будем называть сто компактной изолированной частью спектра), и пусть Ро - проектор Рисса, построенный по компактной изолированной части спектра сто, то есть

где 70 - замкнутая жорданова кривая, расположенная в р(А) так, что внутри нее лежит его, а вне - вся оставшаяся часть спектра

Лемма 3.1. Пусть А 6 ЬЩХ), его - компактная изолированная часть спектра о-(Л), Ро - проектор Рисса, построенный по его, и пусть X' - некоторое инвариантное относительно А подпространство из X, А! = А\Х', а {А!) = а' Тогда подпространство Хо = 1тРо обладает следующими свойствами

1) Хо - инвариантное и Л-инвариантное подпространство, причем

а{Л\Хо) = сг0,

2) если а' С с о, то X' С Хо,

3) если подпространство X' является В.-инвариантным относительно Ли а' П сто ^ то X' П Х0 Ф {0}

Следствие 3.1. Пусть выполнены условия леммы 3 1 Тогда Х(сго) = 1тРа.

"Условимся в дальнейшем, в том случае, когда для рассматриваемых линейных отношений будет выполнено предположение 3 1 , через Рп обозначать проектор Рисса, построенный по компактной изолированной части спектра а„, и тогда Х(ап) = 1тпРп

Определение 3.2. Пусть для линейного отношения А € ЬЩХ) выполнено предположение 3 1 Будем говорить, что система спектральных подпространств {Xпостроенных по компактным частям спектра ап, п > 1, полна в подпространстве X, если верно следующее равенство _

оо

X = зрап{{} Х{ап)} (1)

71=1

Исходя из данной формулировки, нашей задачей является описание подпространства X, выраженного равенством (1), в терминах рассматриваемого линейного отношения

Далее более подробно рассматриваются свойства подпространства Хоо, введенного во второй главе, однако также играющее важную роль при рассмотрении вопросов полноты системы спектральных подпространств линейных отношений

В частности, при доказательстве ряда результатов оказывается крайне полезным следующее представление подпространства Х«,, которое имеет место в условиях предположения 3 1

Лемма 3.2. Пусть для отношения А. 6 Ы1(Х) выполнено предположение 3 1 Тогда подпространство Хж допускает следующее представление

Хао = {хеХ Рпх = 0, п > 1} = Р| КегРп

Л>1

Следствие 3.2. Пусть для отношения А 6 ЬВ.(Х) выполнено предположение 3 1 Тогда Хж = Х^

Следующая лемма позволяет взглянуть на подпространство Xс точки зрения введенного в главе 3 понятия спектрального подпространства линейных отношений

Лемма 3.3. Пусть для отношения А € Ы1(Х) выполнено предположение 3 1 Тогда Х^ = Х(оо) - является спектральным подпространством, отвечающим точке {оо} В случае, когда Х^ ф {0}, это означает, что подпространство Хоо обладает следующими свойствами

1) Хх - инвариантное (а также П-инвариантное) подпространство относительно А, А.\ Xж = -Доо и а(Аоо) = {оо} С а (А),

2) если М - некоторое инвариантное относительно А подпространство, такое что а(А\М) = {оо}, тогда М С Хж

Пусть Е С X - некоторое линейное подпространство банахова пространства X, через Е1- обозначим аннулятор этого подпространства, то есть

Е*- = {/ € X* /(ж) = 0 для всех х € Е}

Для подпространства Р С X* символом ^Р обозначим подпространство из X следующего вида

= {х в X /(х) - 0 для всех

Лемма 3.4. Пусть для отношения А € ЬЯ(Х) выполнено предположение 3 1 Тогда верны следующие равенства

1)Хх = Х*(оо), 2) Х(оо) =х X",

где Х*(оо),Х* - подпространства, определенные аналогично Х(ро) иХ, только для сопряженного линейного отношения А*

Следствие 3.3. Пусть для отношения А € ЬЯ(Х) выполнено предположение 3 1 и Х*(оо) — {0} Тогда система спектральных подпространств {^'(сгп)}^-! полна во всем пространстве X, то есть, выполнены равенства X = X = О {А)

Далее приводится несколько вспомогательных лемм, после чего вводится условие следующего вида

Определение 3.4. Пусть А 6 ЬЩХ), будем говорить, что его резольвента Я( , А) р(А) —»• ЕпйХ удовлетворяет условию РЬ(оо), если для любой целой функции / С —> С первое из приведенных ниже двух условий обязательно влечет второе

1) |/(А)| < ||Д(А, Д)|| для любого Л е р(Л),

2) функция / является многочленом

Условие РЬ{оо) является обобщением целого ряда условий и ориентировано на применение различных вариантов теоремы Фрагмена - Линде-лефа Следующая лемма в качестве примера описывает частный случай условий РЬ{со) Для ее формулировки введем несколько обозначений -через 1{а) обозначим луч в комплексной плоскости, исходящий из точки а € С, через 5(а, г) обозначим окружность в комплексной плоскости с центром в точке а е С и радиусом г > О

Лемма 3 7. Пусть Л € ЬЩХ) и выполнены следующие условия

1) существует набор окружностей £5,(а,гя;), к = 1, , оо, г¡. —»• оо, такой что для некоторых ш > 0, р > 0 выполнено следующее неравенство

||/г(А,.4)|| < Сеш'А'Р, |А — а| = гк,

2) существует набор лучей 1к(а), к = 1, , то, делящий комплексную плоскость на сектора с углами меньше, чем 7Г/р, такой что резольвента П(-, .4) растет на этих лучах не быстрее, чем многочлен некоторой степени п, то есть

||Д(АМ)|| < С\х\а, А е 1к(а), |А| оо Тогда резольвента К{ , Л) удовлетворяет условию РЬ(оо)

Далее, в качестве основного результата о полноте системы спектральных подпространств линейных отношений, доказывается следующая теорема

Теорема 3.1. Пусть для отношения Л £ ЬЯ{Х) выполнено предположение 3 1, Х*(оо) ф {0}, резольвента Н{ , .А) р{Л) —> ЕпйХ удовлетворяет условию РЬ{оо), и существует последовательность {А„} из р(Л), для которой выполнены следующие условия-

1) 1ш1п_юо Ап = оо,

2) ||.Д(АП, .4)[| = с^А,,!*-1), дуп.я всех п > 1 и для некоторого натурального числа к > 1

Тогда имеет место стабилизация замыканий областей определения степеней отношения Л, то есть 0(Лк) = Р(Лк+1), и система спектральных подпространств {Х(сгп)}^1 полна в В{Лк), то есть, выполнено

следующее равенство _

X = 0{Лк)

В §2 главы 3 вводятся некоторые используемые понятия и результаты из спектральной теории упорядоченных пар линейных операторов (линейных операторных пучков)

Ключевое значение имеет определение левого и правого линейных отношений пары, введенное в статье3

Определение 3,7. Упорядоченной паре (С?,!7) сопоставим два линейных отношения Л1 — Р~гС € ЬЩХ), Лт = (З^-1 е ЬЯ{У), которые назовем соответственно левым и правым линейными отношениями для упорядоченной пары (С?, .Р) Их резольвенты Щ , Я( ,Аг) назовем левой и правой резольвентами пары (С?, Р) и обозначим их ,С,Р) и /2г ( ,0,Р) соответственно

Вводится определение спектральной пары подпространств упорядоченной пары линейных операторов

Определение 3.11. Пусть (С?, Р) - упорядоченная пара операторов и пусть сг - некоторое замкнутое подмножество .из расширенной комплексной плоскости Инвариантную для (С?, Р) пару подпространств (Хх, Ух) С (X, У) будем называть спектральной парой подпространств, отвечающей сг, если (^"1,11) обладает следующими свойствами

1) адХг^рС!) С а,

2) если (-Хг,!^) - некоторая инвариантная для (С, Р) пара подпространств, такая что а(С\Х2, Р\Х2) С сг, тогда (Х2, У2) С У1)

Спектральную пару подпространств, отвечающую замкнутому подмножеству из расширенной комплексной плоскости а, будем обозначать (Х(а),У(а))

Вводится следующее условие о представлении спектра рассматриваемых упорядоченных пар операторов

Предположение 3.2. Спектр упорядоченной пары сг(0, Р) представим в виде

оо

Р) = У <7П,

П=1

где сг„, п > 1 - компактные множества из С, причем ёгв1{ат, сг(<7, Р)\сгт) > 0 для любого те € N

Определение 3.12. Пусть для упорядоченной пары (С, Р) выполнено предположение 3 2 Будем говорить, что система спектральных пар подпространств У(сг„))}^=1, построенных по компактным ча-

стям спектра сг„,п > 1, полна в паре подпространств (X, У), если верны следующие равенства

1)Х = , 2) У^'^ЩЗ^^ЫТ

Для упорядоченной пары (С, Р) введем следующие обозначения

Через (оо), У*(оо) обозначим спектральные подпространства, отвечающие точке оо, соответственно, для A*¡ и A¡.

Через Y^ обозначим подпространства, определенные следую-

щими равенствами

Xw = D{Af), У(<:) = D(A$)

При этом имеют место следующие представления

= G~1(FX^n~1^), Хт = G~\lmF),

= F(G_1F(n_1)), У<х> = F{ImG-1) = ImF

Заметим, что С X^'V, У(п) С У(п_1)

Далее приводятся основные результаты о полноте системы спектральных пар подпространств упорядоченных пар линейных операторов

Лемма 3 10 Пусть для упорядоченной пары (G, F) выполнено предположение 3 2 и верны следующие равенства. Х*(оо) = {0}, У*(оо) = {0} Тогда система спектральных пар подпространств {(Х(сгп), ^(crn))}^ полна в паре (X, У)

Теорема 3.4. Пусть для упорядоченной пары (G, F) выполнено предположение 3 2, Х*(оо) ф {0}, У*(оо) ф {0}, ее резольвента R( , G, F) удовлетворяет условию РЬ{оо) и существует последовательность {А„} из p(G, F), для которой выполнены следующие условия

1) km,,.»«, А„ = оо,

2) max{\\Ri(\n, G, .F)||, ||Д.(АП, G, -F)||} = odA^I^"1), для всех п > 1 и для некоторого натурального числа k > 1

Тогда имеет место_стабилизация последовательности пар

подпространств (X», УН), то есть (Х(к\ YW) = (Х<*+1), У^1)), и система спектральных пар подпространств {(Х(сгп), У(сп))}^=1 полна в паре (XW, yW).

В заключение автор выражает глубокую благодарность профессору А Г Баскакову за научное руководство и постоянный интерес к работе

Публикации по теме диссертации.

[1] Загорский, ACO некоторых свойствах линейных отношений на конечномерных линейных пространствах /АС Загорский, В В Хать-ко // Вестник ВГУ, серия физ -мат - 2002 .- №2 - С 59-62

[2] Хатько, В В О факториально - ограниченных и факториально - компактных линейных отношениях / В В Хатько // Вестник ВГУ, серия физ -мат - 2003 -Ж - С 194-199

[3] Хатько, В В О некоторых спектральных свойствах линейных отношений / В В Хатько // Труды 16-ой Крымской осенней математической школы (КРОМШ-2005) - 2006 - Вып 16 - С 66-69

[4] Хатько, В В О спектральных свойствах некоторых классов линейных отношений / В В Хатько // Тез докл ВЗМШ С Г Крейна -2006 , ВорГУ - Воронеж, 2006 - С 104

[5] Хатько, В В Об относительно ограниченных и относительно компактных линейных отношениях / В В Хатько // Вестник ВГУ, серия физ -мат - 2006 - №1 - С 208-214

[6] Хатько, В В О полноте системы спектральных подпространств линейных отношений //В В Хатько, Препринт НИИ математики ВГУ - Воронеж, 2007 - №25 - 33 с

Работы [1], [2], [5] соответствуют списку ВАК РФ

Подписано в печать 06 09 07 Формат 60x84 '/и Уел печ л 0,93 Тираж 120 экз Заказ 1829

Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета 394000, Воронеж, ул Пушкинская, 3

Список обозначений.

Введение.

Глава 1. Некоторые сведения из теории линейных отношений.

§1 Основные определения из теории линейных отношений.

§2 Некоторые спектральные свойства линейных отношений. Понятие инвариантности и прямой суммы линейных отношений.

Спектральное разложение для линейных отношений.

Глава 2. Об относительно ограниченных и относительно компактных линейных отношениях.

§1 Определение и некоторые свойства фактор-отношений.

§2 Относительно ограниченные и относительно компактные линейные отношения.

§3 Спектральные свойства относительно ограниченных и относительно компактных линейных отношений.

Глава 3. О полноте системы спектральных подпространств линейного отношения.

§ 1 Общий случай.

§2 О полноте системы спектральных подпространств упорядоченных пар линейных операторов.

При развитии спектральной теории линейных операторов и ее приложений, часто возникают проблемы, связанные с необходимостью введения в рассмотрение линейных отношений (многозначных линейных операторов) и развития спектральной теории линейных отношений. Так, например, если линейный оператор, действующий в банаховом пространстве, имеет неплотную область определения, то не существует сопряженного оператора, а естественным образом возникает сопряженное линейное отношение. Последовательность линейных замкнутых операторов, сходящаяся относительно расстояния, использующего понятие раствора подпространств, может в пределе иметь линейное отношение, не являющееся графиком линейного оператора. При изучении вырожденных полугрупп операторов, возникающих при рассмотрении некорректных задач математической физики, в качестве генератора полугруппы естественным образом стали использоваться линейные отношения [5]. Изучение некоторых классов дифференциальных операторов приводит к необходимости рассмотрения полугрупп линейных отношений. Таким образом, дальнейшее развитие теории линейных отношений является весьма актуальной задачей.

К настоящему времени имеется монография [45], в которой систематически излагается теория линейных отношений и в которой имеется достаточно полная библиография проведенных до 1998г. исследований и в том числе по спектральной теории линейных отношений (глава 6). Более поздние исследования по спектральной теории линейных отношений содержатся в статьях [4], [53], [54], а в монографии [47] получены ее приложения к вырожденным дифференциальным уравнениям.

Теория линейных отношений является, в некотором смысле, обобщением теории операторов. Поэтому метод обобщения фактов из теории линейных операторов на теорию линейных отношений часто используется для развития теории линейных отношений. В частности, обобщение классов ограниченных и компактных операторов на линейные отношения имеется в монографии Р. Кросса [45]. Однако, выделенные им классы линейных отношений не адаптированы к построению их спектральной теории. Таким образом, одна из целей данной работы - выделение и изучение классов линейных от ношений, которые близки к ограниченным и компактным линейным операторам именно по своим спектральным свойствам.

Метод обобщения фактов из теории линейных операторов на теорию линейных отношений в полной мере применим и к спектральной теории линейных отношений, спектральные свойства которых часто являются аналогом некоторых спектральных свойств линейных операторов, что находит свое отражение в настоящей работе.

Современное состояние вопросов полноты собственных и присоединенных векторов компактных операторов, операторов с компактной резольвентой, пучков операторов в значительной степени определили работы М. В. Келдыша [13] пятидесятых годов прошлого века. Анализ этой и последующих работ показывает, что постановка задачи о полноте системы спектральных подпространств для линейных отношений позволяет с единых позиций подойти к доказательству соответствующих теорем для различных классов операторов.

В третьей главе диссертации ставится задача о полноте систем спектральных подпространств, подробно рассматривается ключевое (по важности) подпространство векторов, спектр которых сосредоточен в точке оо расширенной комплексной плоскости. Использование техники сопряженных линейных отношений (в случае линейных отношений, в отличие от линейных операторов, не возникает проблем с операцией взятия сопряженного линейного отношения) и соответствующих теорем типа Фрагмена-Линделефа позволяет получать разнообразные теоремы о полноте спектральных подпространств.

Основными целями работы являются:

1) выделение классов линейных отношений, являющихся аналогами классов ограниченных и компактных линейных операторов, развитие их спектральной теории;

2) постановка проблемы полноты системы спектральных подпространств для линейных отношений, изучение условий полноты системы спектральных подпространств;

3) получение теоремы о полноте системы спектральных подпространств упорядоченных пар линейных операторов (линейных операторных пучков);

В работе используются методы линейной алгебры, комплексного и функционального анализа, результаты' из спектральной теории линейных операторов.

В качестве основных результатов можно выделить следующие:

1) введено понятие фактор-отношения - аналог понятия фактор-оператора для линейных операторов;

2) выделены классы линейных отношений, близкие по своим спектральным свойствам к ограниченным и компактным линейным операторам, изучены их свойств;

3) введено понятие спектрального подпространства линейных отношений, изучены свойства спектральных подпространств линейных отношений, отвечающих компактным изолированным частям спектра, изучены свойства спектрального подпространства, отвечающего точке бесконечность в расширенном спектре линейного отношения;

4) доказана теорема о полноте системы спектральных подпространств линейных отношений, подпространство, в котором система спектральных подпространств оказывается полна, описано в терминах заданного линейного отношения;

5) результаты о полноте системы спектральных подпространств линейных отношений применены для изучения вопросов полноты системы спектральных подпространств упорядоченных пар линейных операторов.

Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты и методы их доказательства могут могут быть использованы при решении широкого круга вопросов теории линейных операторов, упорядоченных пар линейных операторов (линейных операторных пучков), дифференциальных уравнений.

Перейдем к обзору результатов диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Азизов, Т.Я. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой / Т.Я. Азизов, И.С. Иохвидов - М.: Наука, 1989. - 352 с.

2. Баскаков, А.Г. Упорядоченные пары операторов и полугруппы / А.Г. Баскаков, К.И. Чернышов // Изв. РАЕН. МММИУ. -1998. Т.2, №3. - С.39-69.

3. Баскаков, А.Г. Об условиях компактности спектра упорядоченных пар линейных операторов / А.Г. Баскаков, К.И. Чернышов // Изв. РАЕН. МММИУ. 1999. - Т.З, №3. - С.5-24.

4. Баскаков, А.Г. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А.Г. Баскаков, К.И. Чернышов // Матем. сборник. 2002. - Т.193, Ml. - С.3-42.

5. Баскаков, А.Г. О генераторах полугрупп операторов / А.Г. Баскаков // Докл. РАН. 2006. - Т.406, №6. - С.727-729.

6. Бурбаки, Н. Спектральная теория. / Н. Бурбаки М.: Мир. -1972.

7. Гохберг, И.Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн М.: Наука, 1965. - 448 с.

8. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория. T.I. / Н. Данфорд, Дж.-Т. Шварц - М.: ИЛ. - 1962.

9. Данфорд, Н. Линейные операторы. Спектральная теория. -Т.Н. / Н. Данфорд, Дж.-Т. Шварц М.: Мир. - 1966.

10. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като -Т.М: Мир. 1972.

11. Келдыш, М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений /М.В. Келдыш // ДАН СССР 1951. - Т.77, М. - С.11-14.

12. Келдыш, М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов /М.В. Келдыш // УМН 1971. - Т.27, вып.4. - С.15-47.

13. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1989. - 624 с.

14. Крейн, М.Г. О признаках полноты системы корневых векторов диссипативного оператора / А.Г. Баскаков // УМН, 1959. - Т. 14, вып.З. - С.145-152.

15. Кутателадзе, С.С. Основы функционального анализа / С.С. Кутателадзе Новосибирск: изд-во ин-та математики. - 2001.

16. Лидский, В.Б. Условия полноты системы корневых подпространств у несамосопряженных операторов с дискретным спектром / В.Б. Лидский // Труды Московского математического общества 1959. - Т.8. - С.84-120.

17. Лидский, В.Б. Несамосопряженные операторы, имеющие след / В.Б. Лидский // ДАН СССР 1959. - Т.125, №3 - С.485-488.

18. Лидский, В.Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов / В.Б. Лидский // Труды Московского математического общества 1969. - Т.П. - С.3-35.

19. Маркус, А.С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков / А.С. Маркус Кишинев, Штиинца -1986.- 260 с.

20. Маркус, А.С. О базисе из корневых векторов диссипативного оператора / А.С. Маркус // ДАН СССР 1960. - Т.132, №3 -С.524-527.

21. Маркус, А.С. О разложении по корневым векторам слабо возмущенного самосопряженного оператора / А.С. Маркус // ДАН СССР 1962. - Т. 142, №3 - С.538-541.

22. Маркус, А.С. Некоторые признаки полноты системы корневых векторов линейного оператора в банаховом пространстве / А.С. Маркус // Мат. сб. 1966. - Т.70(112), №4 - С.526-561.

23. Мацаев, В.И. Об одном классе вполне непрерывных операторов / В.И. Мацаев // ДАН СССР -1961. Т.139, №3 - С.548-552.

24. Мацаев, В.И. Несколько теорем о полноте корневых подпространств вполне непрерывных операторов / В.И. Мацаев // ДАН СССР 1964. - Т. 155, №2 - С.273-276.

25. Наймарк, М. А. О некоторых признаках полноты системы собственных и присоединенных векторов линейного оператора в гильбертовом пространстве / М.А. Наймарк // ДАН СССР -1954. Т.98, №5 - С.727-730.

26. Рицнер, B.C. Об одном преобразовании линейных отношений / B.C. Рицнер; Воронежский гос. ун-т, Воронеж, 1980 - 20 с. -Деп. в ВИНИТИ 04.03.1980, №830-80.

27. Рицнер, B.C. Матричное представление линейных отношений / B.C. Рицнер; Воронежский гос. ун-т. Воронеж, 1981 - 10 с. -Деп. в ВИНИТИ 28.12.1981, №5872-81.

28. Рицнер, B.C. Теория линейных отношений / B.C. Рицнер; Воронежский гос. ун-т. Воронеж, 1982 - 150 с. - Деп. в ВИНИТИ 02.02.1982, №846-82.

29. Рицнер, B.C. Линейные отношения и индефинитная геометрия: диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук : 01.01.01 / B.C. Рицнер Воронеж, 1982. - 127 с.32} Рудин, У. Функциональный анализ / у. Рудин М: Мир. - 1975.

30. Свиридюк, Г.А. Необходимые и достаточные условия относительной и-ограниченности линейных операторов / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева, Л.Л. Дудко // ДАН. 1995. - Т.345, №1. -С.25-27.

31. Хатько, В.В. О факториально ограниченных и факториаль-но - компактных линейных отношениях / В.В. Хатько // Вестник ВГУ, серия физ.-мат. - 2003. - №1. - С.194-199.

32. Хатько, В.В. О некоторых спектральных свойствах линейных отношений / В.В. Хатько // Труды 16-ой Крымской осенней математической школы (КРОМШ-2005). 2006. - Вып. 16. - С.66-69.

33. Хатько В.В. О спектральных свойствах некоторых классов линейных отношений / В.В. Хатько // Тез. докл. ВЗМШ С.Г.Крейна 2006., ВорГУ. - Воронеж, 2006. - С.104.

34. Хатько, В.В. Об относительно ограниченных и относительно компактных линейных отношениях / В.В. Хатько // Вестник ВГУ, серия физ.-мат. 2006. - М. - С.208-214.

35. Хатько, В.В. О полноте системы спектральных подпространств линейных отношений // В. В. Хатько; Препринт НИИ математики ВГУ. Воронеж, 2007. - №25. - 33 с.

36. Хилле, Э, Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс М.: ИЛ. - 1962.

37. Arens, R. Operational calculus of linear relations / R. Arens // Pacific J. Math. 1961. - V.U. - P.9-23.

38. Birkhoff, G.D. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations / G.D. Birkhoff // Trans. Amer. Math. Soc. 1908. - V.9. - P.373-395.

39. Cech, E. Point sets / E. Cech; Translation from the Czech Bodovu Mnoziny into English by Ales Pultr; Preface: M. Katetov. Acadernia, Prague, 1969.•

40. Coddington, E.A. Adjoint subspaces in Banach spaces with applications to ordinary differential subspaces / E.A. Coddington, A. Dijksma // Ann. Mat. Рига Appl. 1978. - - P.l-118.

41. Cross, R. Multivalued Linear Operators / R. Cross New York: M. Dekker, 1998.

42. De Wilde, M. Closed graph theorems and webbed spaces / M. De Wilde Pitman, London, 1978.

43. Favini, A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces / A. Favini, A. Yaggi New York: M. Dekker. - 1998.

44. Gohberg, I. Classes of Linear Operators. Vol. I / I. Gohberg, S. Goldberg, M.A. Kaashoek Birkhauser Verlag. - Basel-Boston-Berlin. - 1990.

45. Lee, S.J. Algebraic and topological selections of multi-valued linear relations / S.J. Lee, M.Z. Nashed // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa- 1990. V.17. - P.lll-126.

46. Lee, S.J. Normed linear Relations: Domain Decomposability, Adjoint Subspaces, and Selections / S.J. Lee, M.Z. Nashed // Linear Algebra Appl. 1991. - V.153. - P.135-159.

47. Mac Lane, S. An algebra of additive relations / S. Mac Lane // Proc. Nat. Acad. Sci., U.S.A. 1961. - V.47. - P.1043-1051.

48. Neumann, J. von. Uber adjungierte Funktional-operatoren / J. von Neumann // Ann. of Math., 1932 - V.33(2) - P.294-310.

49. Sandovici, A. Ascent, descent, nullity, defect, and related notions for linear relations in linear spaces / A. Sandovici, H. de Snoo, H. Winkler // Linear Algebra and its Applications, 2007 - V.423 -P,456-497.

50. Saveliev, P. Lomonosov's invariant subspace theorem for multivalued linear operators / P. Saveliev // Proc. Am. Math. Soc.,- 2003 V.131(3) - P.825-834.

51. Tretter, C. Linear operator pencils A-XB with discrete spectrum / C. Tretter // Integr. equ. oper. theory 2000. - V.37(3). - P.357-373.

52. Yakubov, S. Completeness of Root Functions of Regular Differential Operators; Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics Series, No. 71 / S. Yakubov Longman Scientific & Technical - 1990.