Спектральный анализ разностных операторов и отношений в весовых пространствах последовательностей векторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Бесаева Светлана Владимировна

Спектральный анализ разностных операторов и отношений в весовых пространствах последовательностей векторов

01.01.01 - Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 ФЕВ ті

ВОРОНЕЖ - 2012

005010372

Работа выполнена в Северо-Осетннском государственном университете им. К. Л. Хетагурова

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Баскаков Анатолий Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор Смагии Виктор Васильевич,

доктор физико-математических наук, профессор Ссдаев Александр Андреевич

Ведущая организация: Белгородский государственный национальный

исследовательский университет

Защита состоится “21” февраля 2012 года в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете, 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд 335.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан “19” января 2012 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22 доктор физ.-мат.наук, профессор

Гликлих Ю. Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию спектральных свойств разностных операторов и разностных отпошеннй.

В последнее время значительно возросла роль теории разностных операторов н разностных отношений при исследовании линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (в том числе и с неограниченными операторными коэффициентами).

Первые исследования, посвященные разностным операторам, появились еще в конце XIX - начале XX столетня.

Особое внимание к разностным операторам и уравнениям, их содержащим, обусловлено прежде всего применением аппарата разностных операторов в исследованиях разрешимости различных дифференциальных, функциональных и интегральных уравнений. При этом отметим, что, как правило, разностные операторы изучались в банаховых пространствах ограниченных последовательностей. Необходимость исследования разностных операторов в весовых пространствах возникает как при выяснении разрешимости разностных уравнений в пространствах растущих последовательностей, так и при разрешимости лнпенных дифференциальных уравнений с растущим свободным членом. Таким образом, тематика диссертации является актуальной.

Основные результаты диссертации получены с применением спектральной теории операторов и линейных отношений (многозначных линейных операторов). Отметим, что исследуемые разностные отношения возникают непосредственно при изучении дифференциальных операторов рассматриваемых в весовых пространствах функций, определенных на полуоси с начальным условием из подпространства. В диссертации получены приложения к описанию спектра таких дифференциальных операторов. Важно отметить, что на рассматриваемые весовые функции не делается каких-либо ограничений.

Цель работы. Целью диссертации является исследование спектральных свойств дифференциальных и разностных операторов, посредством использования спектральной теории линейных операторов и линейных отношепий. Описание спектра разностных операторов и отношений в весовых пространствах последовательностей. Получение приложений для изучения спектра линейных дифференциальных операторов, определенных в весовых пространствах измеримых функций.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем сннске:

1. Описай спектр разностных операторов в весовых пространствах двусторонних векторных последовательностей . Снимаются все ограничения на рассматриваемые весовые функции.

2. Изучен спектр разностных линейных отношений в весовых пространствах односторонних векторных последовательностей. При этом на рассматриваемые весовые функции не делается никаких ограничений.

3. Получены приложения для исследования спектра дифференциальных операторов, действующих в весовых пространствах измеримых функций.

Методы исследования. В работе используется спектральная теория линейных операторов и линейных отношений, функциональное исчисление операторов, методы дифференциальных уравнений. Основной метод получения результатов главы основан на преобразовании подобия исследуемого оператора в весовом пространстве к оператору, действующему в невесовом пространстве, но уже с переменными коэффициентами.

Теоретическая и практическая ценность. Данная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении спектральных свойств разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах, а также для рассмотрения вопросов разрешимости разностных уравнений и включений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции ’’Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна”(г. Воронеж, 2010 г.), ’’Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна”(г. Воронеж, 2011 г.), ’’Воронежская весенняя математическая школа Понтрягин-ские чтения”(г. Воронеж, 2011 г.), ’’Крымская осенняя математическая школа-симпозиум (КРОМШ-2011)” (г. Севастополь, 2011 г.) и семинаре профессора А. Г. Баскакова.

Публикации работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6]. Из совместной публикации [4] в работу вошли результаты принадлежащие лично автору. Работы [4], [5] соответствуют списку ВАК РФ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разделенных на параграфы, и списка литературы, содержащего 61 источник. Общий объем диссертации - 82 страницы.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках дайной диссертационной работы, приводятся обзор научной литературы

по изучаемой проблеме, описываются основные направления и методы исследования, характеризуются полученные в диссертации результаты.

Нумерация приводимых ниже определений и теорем совпадает с нумерацией в диссертации.

Первая глава состоит из трех параграфов. В §1.1 приводятся основные определения п факты из теории операторов и линейных отношений (многозначных линейных операторов), которые в основном касаются спектральной теории и используются для получения последующих результатов.

Определение 1.1. Любое линейное подпространство А из декартового произведения X х У называется линейным отношением между банаховыми пространствами X и У. Если подпространство замкнуто в X х У, то отношение называется замкнутым линейным отношением.

Определение 1.2. Подпространство В(А) — {х <6 X : существует у € У : (.х,у) € Л}, являющееся проекцией А на X, называется областью определения линейного отношения. Через Ах, где х 6 £>(Л), обозначается множество {у е У : (х, у) 6 Л}; кроме того, КегА = {х £ Б (А) : (х, 0) £ А} — ядро отношения н 1т А = {у еУ : существует х € И (А) : (х, у) е А} = ихе£>(Л) ~ область его значений, являющаяся проекцией А на У.

Через ШС(Х,У), обозначим множество замкнутых линейных отношений из X х У, а множество линейных отношении действующих между X и У обозначим через Ы1(Х,У)', если же X = У, то положим Ы1{Х) = Ы1(Х, X). Множество Ы1С(Х,У) содержит пространство Ь(Х,У) линейных ограниченных операторов (гомоморфизмов), определенных на X со значениями в У- Если X = У, то Ь(Х) — банахова алгебра линейных ограниченных операторов (эндоморфизмов), действующих в X.

Определение 1.5. Обратным к линейному отношению А С X х У называется линейное отношение А-1 = {{у,х) 6 У х X : (х,у) & А} С У х X.

Определение 1.8. Резольвентным множеством линейного отношения А £ ЬЯС{Х) называется множество р{А) всех Л £ С, для которых (А— А/)-1 6 Ь(Х).

Определение 1.9. Спектром отношения А 6 Ы1С(Х) называется множество о{Л) = С\р(.Д).

Множество р(А) открыто, спектр а (А) отношения А 6 Ы1С(Х) замкнут.

Определение 1.10. Отображение

Щ-,А) : р(А)-* ЦХ). Я(Л,Л) = (Л-Л/)-1, Л е р(А),

называется резольвентой отношения А € Ы1С(Х).

Определение 1.12. Расширенным спектром линейного отношения А £ ЬЯС(Х) называется подмножество а(А) из С = С и {оо}, которое совпадает с а{А), если А е Ь(Х), и а{А) = а(А) и {оо}, если АёЬ(Х). Множество р(Д) = С\<т(Л) называется расширенным резольвентным множеством отношения А.

Определение 1.14. Замкнутое линейное подпространство Х^С X назовем инвариантным относительно А € ЬЯ(Х), если Ах о П Ао Ф {0} для любого Хо € Б (Л) П Хо-

Определение 1.15. Сужением отношения А € ЬЯ(Х) на инвариантное подпространство Хо назовем линейное отношение Ао = АП (Хо х Х0) С Х0 х Хо на подпространстве Хо.

Определение 1.18. Пусть X — Хо ® Х\ есть прямая сумма инвариантных относительно А € Ы1(Х) подпространств и пусть Ао = А\Х0, А\ = А\Х\. Тогда будем говорить, что отношение А является прямой суммой отношений .До и А\, и записывать А = Л) © Ль

Определение 1.19. Будем говорить, что линейное отношение А £ ЬП(Х) перестановочно с оператором В е Ь(Х), если (Вх,Ву) е А для любой пары (х, у) е А, т.е. В А С АВ.

Определение 1.20. Отношения А, В £ ЬЩХ) называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор и Е Ь(Х) такой, что А = {(и^х, и~1у) : (х,у) 6 В}, последнее эквивалентно равенству А = и~хВ\].

Все результаты получены с применением следующей теоремы, доказанной в работе А. Г. Баскакова и К. И. Чернышова г.

Теорема 1.1. Пусть А £ ЬЯС(Х) и его расширенный спектр а(А) представим в виде

а(А) = сг0 и 01,

где ао — компактное подмножество из С, 01 — замкнутое подмножество из С и ао П С\ =0. Тогда банахово пространство X допускает представление в виде

X = Хо ® Х\ (1)

прямой суммы замкнутых инвариантных относительно А подпространств Д”о и Хъ и А = Ао ® Ль где Ао = А\Хо, А\ = А\Хх е ЬЯС(Х) обладают следующими свойствами:

1) Ао £ Ь(Хо),сг{Ао) = о(А$) = ао;

1 Баскаков А. Г. Спектральная теория линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А. Г. Баскаков, К. И. Чернышов // Матем.сборник.— 2002.— Т. 193.— № 11.— С. 3-42.

2) Аг0 = ЛО, £>(Л) = До ® £>(Л),ст(Л) = 01-

Разложение (1) осуществляет перестановочный с отношением А проектор Рисса Ро на подпространство До, который задается формулой

Ро = [Щ\Л)С1\ €Ь{Х)

2т у7

где 7 — замкнутая жорданова кривая, расположенная в р(А) так, что внутри нее лежит его, а вне — а\. При этом До = 1тРо, Х\ = 1т(1 — Ро)-

В §1.2 главы 1 описывается спектр разностного оператора, заданного на банаховом пространстве = ^(2, X), где р € [1, сю], состоящем из (двусторонних) последовательностей х : Ъ —> X векторов, принадлежащих конечномерному линейному нормированному пространству X, суммируемых с весом (весовой функцией) а : Ъ —» (0, оо) с нормой

. . а{п)

\гге2 4 4 ' ' }

и ограниченных относительно а

||х|| = ||а;||оо,а = зир^^, р = ОО. леХ а{п)

Рассматриваемый разностный оператор имеет вид

В:1ра^Ра, {Вх){п)=Вх{п-1), пеЪ,хе1ра,

где В е Ь(^0-

На вес а накладываются условия:

а(к — 1) 1г,\

вир------ттт— < оо, (2)

ке.г а{к)

а(к -1)

-----77Т~ = оо,

кё1 01(к)

(3)

виР—ГТТл кег а(Ч

Основной метод получения результатов состоит в преобразовании подобия исследуемого оператора в весовом пространстве 1Р к оператору, действующему в невесовом пространстве F, но уже с переменными коэффициентами. Преобразование подобия осуществляет оператор

Ua : F —f lpa, (Uax)(n) = а(п)х(п), п € Z, х е F.

При этом рассматривается подобный оператору В оператор е L(F), определяемый равенством

{Вих){к) = (U~1BUax)(k) = ш(к)Вх(к - 1), к eZ,xe F,

где ш : Z —> (0; оо) последовательность вида ш(к) = , к е Z.

Все спектральные свойства, полученные для оператора В^ имеют место и для оператора В согласно следующей лемме.

Лемма 1.11. Спектры операторов Вш, В совпадают и инвариантны относительно вращений в С вокруг нуля, т.е.

а(В) = а{Ви) = Та (ДД

где Т— единичная окружность на комплексной плоскости С.

Основными результатами параграфа являются теоремы 1.4, 1.5, 1.6. В теореме 1.6. используются следующие величины

seout(a)= Hm fsup- Л (6)

n^°° Uez a(k + n)J v '

®mt(a) = Hm (ы-АЛ (7)

n—oo \kez a(k + n) /

Если aeint(a) = 8eout(a), то вес а называется сбалансированным, а если £Ejnt(a:) = asout(a) = 1, то сильно сбалансированным. Примером несбалансированного веса является функция к i-> exp |fc|, к е Z, а функции к ь-> exp fik,keZ,/3e R, и к i-+ (1 + |/;|)«, к е Z, q 6 R, — сбалансированными и сильно сбалансированными весами соответственно; функция к i-> exp(fc|fc|), к е Z, также является

сбалансированным весом с asint(a) = asout(a) = 0.

Существование пределов в (6) и (7) устанавливается в следующих леммах. Лемма 1.9. Если выполнено условие (2) , то предел в формуле (6) существует.

Лемма 1.10. Если выполнено условие (4) , то в формуле (7) существует предел и 30іПІ(а) > 0.

Теорема 1.4. Если нуль принадлежит спектру а(В) оператора В и выполнено условие (3), то спектр о(В) оператора В заполняет всю комплексную плоскость С.

Теорема 1.5. Пусть для веса одновременно выполняется условие (3) и условие (5) тогда спектр ст(В) оператора В заполняет всю комплексную плоскость С.

Для любых двух чисел 0 ^ Г\ ^ г 2 символом Т(гі, г2) обозначим множество {А Є С : Гі ^ |А| ^ г2} и через Т(г), где г > 0, множество Т(гі,г2), если Гі = Г2 = г, являющееся окружностью при г Ф 0.

Пусть сг(В) = {Аі,..., А/г} — спектр оператора В. Рассмотрим модули |А^| = 1 ^ І ^ /г, собственных значений оператора В и упорядочим их по возрастанию: 0 ^ Гі < г2 < ... < о,.

Теорема 1.6. Спектр а(В) оператора В представим в виде

н /г

<?(&) = и^' ж‘п‘(а)> гі ®оиі(а)]Т = и[0Єіп4(а),аЄоиі(а)]Т(^),

7=1 з=і

если выполнено условие (2), и

о(В) = а{Ви) = {А Є С : |А| ^ пазіт(а)},

если оператор В обратим и выполнены условия (3) и (4)

В §1.3 приводится применение теоремы 1.6 для вычисления спектра линейного дифференциального оператора

С = ~ + А: ОД С ЩШ, X) - ЩШ, X), р є [1, оо],

где А е Ь(Х), а : К —> (0,оо) — весовая функция, представимая в виде &{Г) = ехра(і), < Є К, н а — дифференцируемая функция с а = Ь Є Символом £? (К, X) обозначается банахово пространство измеримых (классов) функции х : Е —> X, для которых конечна величина

МІ = ІМкр =

Р є [1, оо),

II

\Х

II

II

х\\а,оо = VI!

II.

Если а = 1, то пространство Ьра(М.,Х) обозначается через и = І/(№,Х).

Областью определения Б (С) оператора £ считается подпространство \У?’ = И/!’1(Е, X) абсолютно непрерывных функции х : М —> X, для которых х Є ЩЖ,Х).

Используя теорему 3 из статьи А. Г. Баскакова и А. И. Пастухова 2, заключение теоремы 1.6 н введя обозначения

получим следующее утверждение

Теорема 1.7. Спектр оператора С : Б(С) С Д -* і- дотекает представление вида

если о(А) = {/XI,... ,ци}-

Вторая глава состоит из двух параграфов. В §2.1 описываются общие свойства разностных отношений, приводятся вспомогательные леммы, используемые для получения основных результатов главы 2.

В §2.2 рассматривается банахово пространство 1Р = 1Р(2+,Х), р Е [1,оо], 2+ = N и {0}, состоящее из (односторонних) последовательностей х : Z+ -+ X векторов принадлежащих конечномерному линейному нормированному пространству X, суммируемых с весом (весовой функцией) а : 2+ —> (0,оо) с

2Баскаков А. Г. Спектра.'1ышй анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами / А. Г. Баскаков, А. И. Пастухов // Сиб. матем. жури.— 2001.— Т. 42. Л* 6. С. 1231 1243.

тп

тп

Л

<К£) = 1КЛ С * Ащіп(&) “Ь Н-Є^ Иб Л ^ ^тах(^) "Ь

нормой

/ л1/р

иыми = (£ (^) j , ?€(I,»),

и ограниченных относительно а

1MI = ЦжЦос,д = sup р = СО.

nsz+ а(п)

При этом описываются спектральные свойства линейного разностного отношения К.е € LR(l?) вида

(у ^ (Вх(п- 1), п > 1,

(К.Ех){п) = ^

[.т0, х0 6 Е,п = О,

где х £ I?, Е — подпространство пространства X, В € L(X).

Далее для веса а рассматриваются следующие условия:

8 V 1 -у & «з а (8)

а(к — 1) sup =00, кегх ®(к) (9)

а (к +1) sup <оо, ке z+ а(к) (10)

а(к +1) sup =00. кеZ+ а(к) (Н)

При изложении результатов второй главы используются следующие величины

( а(к) У/П

aw(a) = Hm sup -77——- , (12)

n-*00 \кеz+ «(к + п) J

seinf(a) = lira f inf Л . (13)

и *oo \kez+ a(k + n))

Существование пределов в (12) и (13) устанавливается в следующих леммах.

Лемма 2.6. Если выполнено условие (8), то в (12) существует предел.

Лемма 2.7. Если выполнено условие (10), то предел в (13) существует и ээш(а) > 0.

В рассматриваемой главе используется преобразование подобия исследуемого отношения в весовом пространстве к отношению, определенному в невесовом пространстве 1Р, но уже с переменными коэффициентами. Преобразование подобия осуществляет линейный оператор 11а ■ 1Р —> 1ра, вида (11ах)(п) = а(п)х(п),п е 2+, х в 1Р. Все результаты параграфа получены для отношения 1Се,ы £ ЬЯ(1Р) подобного )Се, и определяемого следующим образом

= {(яг,2/) 6 1рх1р : у(п) = ш(п)Вх(п - 1), п ^ 1, у(0) € Е},

где ш : N —> (0,оо), — последовательность вида ш(п) = ,п > 1. Эти

результаты имеют место и для отношения 1Се, согласно лемме 2.8. Пусть Ве,ш =

I — К.Е,Ш1 Ве — I ~ К-Е-

Лемма 2.8. Для спектров отношений Ве, Ве,ы, К-е-, К-Е,и имеют место равенства

ст(Ве) = сг{Ве,ш), су{Ке) = о(К-Е,и),

<?(К-е) = {7^>7 € Т, А £ о{К-е)},

где последнее равенство означает инвариантность спектра а (/Се) относительно вращений в С вокруг нуля.

Результаты второй главы изложены в следующих утверждениях.

Теорема 2.2. Пусть Е = {0}, тогда

<г(/с{0}) = °’(^-{о},ы) = {А £ С : |А| ^ 7’(В)сеои((о;)},

если выполнено условие (8), и

<т(/С{0}) = ст(/С{о}= С и {оо},

если выполнено условие (9).

Теорема 2.4. Пусть Е = X и оператор В обратим, тогда

= |а е С : |А| ^ Г^111 > если выполнено условие (10), и

с(£л>) = С и {оо} = С, 12

если выполнено условие (11).

Теорема 2.6. Если Е — X и оператор В не обратим,то спектр а(К-х) отношения Кх имеет вид а(К.х) = o(K.x,J) = С U {оо} = С.

Утверждение теоремы 2.7 верно при выполнении следующих двух предположений.

Предложение 2.2. Е — ненулевое подпространство из X, причем Е ф X, и выполнены условия (8), (10).

Предложение 2.3. Резольвентное множество р{К-Е,ы) отношения JCe,lj не пусто, т.е. р{К.Е^) ф 0.

Согласно тереме 6.4 из статьи А. Г Баскакова 3 и предложений 2.2, 2.3 спектр отношения ICe,u представим в виде объединения двух множеств а(К.Е,и) = ^m(U amt, где aint = {Л Є а(К.Е,и,) ■ |А| < п} и аоиі = {Л є о{К,Е,и) '■ |Л| > г2}, п > О,

Г! < Г2.

Поэтому по спектральной компоненте <тш( можно построить проектор Рисса (см. теорема 1.1)

"Pint — ~7Г~- [ R(X,KE^))d\,

Jт(Гі)

tazR{\,Ke^) — [Ке^-ХІУ'А Є p(ICe,u>) ~ резольвента отношения ІСЕ,и. При этом существует ограниченная проекторнозначная функция Pint : Z+ —> L(X), такая что (Vintx)(n) = Pint(n)x(n), n Є Z+, x Є lp, и выполняются равенства Pint(k)B = BPint(k), k Є Z+. Следовательно, оператор В перестановочен с проекторами Pint(0) и Pout(0) = I - Pint{0), поэтому подпространства ImP0Ut(0) и ImP,nt(0) являются инвариантными для оператора В,

Теорема 2.7. Для величин эгоц((а) и asм{а) верны неравенства

*ои<(а) < г(В\1тРш(0)У азш(а) > r2r({B\ImPmt{0))~1)-

Спектр o(Ke,S) отношения fCE,ui представим в виде v(>Ce,u,) = С \ T(seout(a)r(B\ImPint(0)), жіп1{а)/г{(В\ІтРои1Щ~1)).

3Спсктральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А.Г. Баскаков // Изв. РАН. Сер. матем. - 2009.- Т.73.- № 2 - С.3-68.

Теорема 2.8. Если Е ф X, Е ф {0}, и хотя бы одно из условий (8) и (10) не выполняется, то спектр отношения Ке,ы заполняет всю комплексную плоскость, т.е. ст(!Се,ш) = С.

Публикации автора по теме диссертации

1. Бесаева С. В. О спектральных свойствах разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах / С.В. Бесаева // ВЗМШ им. С.Г. Крейна. Тезисы докладов.— Воронеж: ВГУ. 2010.— С. 21—22.

2. Бесаева С. В. Спектральные свойства разностных отношений в весовых пространствах последовательностей/ С.В. Бесаева // Современные методы теории функций и смежные проблемы :материалы ВЗМШ. — Воронеж: ВГУ,- 2011.-С. 44.

3. Бесаева С. В. Спектральные свойства разностных отношений в весовых пространствах последовательностей / С.В. Бесаева // Современные методы теории краевых задач :материалы ВВМШ ’’Понтрягипскне чтения XXII”. - Воронеж: ВГУ,- 2011.-С. 33.

4. Бесаева С. В. О спектре разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах/ М.С. Бичегкуев, С. В. Бесаева // Изв. вузов. Математика.— 2011.— № 2.— С.16-21.

5. Бесаева С. В. О спектре разностных операторов в весовых пространствах/ С. В. Бесаева // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика.— 2011.— № 1- С.94-99.

6. Бесаева С. В. Спектральный анализ разностных отношений в весовых пространствах последовательностей векторов/ С. В. Бесаева // Воронежский государственный университет, 2011.— Препринт № 41,— С.32

Работы [4], [5] соответствуют списку ВАК РФ . .

Подписано впечать 17.01.12. Формат60x84 ’/16. Уел. псч. л. О, Тираж 100 экз. Заказ 16.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

61 12-1/425

Северо-Осетиский государственный университет им. К. Л. Хетагурова

Бесаева Светлана Владимировна

Спектральный анализ разностных операторов и отношений в весовых пространствах последовательностей векторов

01.01.01 - Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Баскаков Анатолий Григорьевич

На правах рукописи

Владикавказ— 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Список обозначений......................... 4

Введение................................. 6

1 Спектр разностных операторов в весовых простран-

ствах последовательностей векторов. Приложение к

дифференциальным операторам .............. 19

§1.1 Некоторые сведения из спектральной теории линейных

операторов и линейных отношений............ 19

§1.2 Спектральные свойства разностных операторов в весовых

пространствах последовательностей векторов ...... 28

§1.3 Приложение к исследованию линейных дифференциальных операторов....................... 46

2 Спектральные свойства разностных отношений в весо-

вых пространствах последовательностей векторов ... 48

§2.1 Общие свойства разностных отношений .......... 48

§2.2 Спектральные свойства разностных отношений в весовых

пространствах последовательностей векторов...... 54

Литература............................... 77

Список обозначений

N — множество натуральных чисел; Z — множество целых чисел;

Ъ+ — N и {0} — множество неотрицательных целых чисел;

Л — одно из множеств: Ъ, Z+

М — множество действительных чисел;

С — множество комплексных чисел;

С — расширенная комплексная плоскость;

Т(г1, Г2) - множество {Л € С : г\ < |Л| < Г2}, где 0 < г\ ^ Г2 ;

Т=={ЛеС:|Л| = 1} — единичная окружность;

X, У, 2 — комплексные банаховы пространства;

X — конечномерное линейное нормированное пространство;

X х У — декартово произведение двух банаховых пространств X и У;

1 < р < оо, — банахово пространство суммируемых с весом а : 1 —> (О, оо) последовательностей х : 1 —> X векторов с нормой

1М1 = ( Е

хрНЛ3

Ш)

а(к) I

Ш

1™($,Х) — банахово пространство ограниченных относительно веса

а : 1 —(0, оо) последовательностей х : 1 —> X векторов с нор- п п 1М*0И мои ||ж|| = виру^;

Ш

1Ра(1Х) = 1РЦ,Х),есша = 1]

1 < р < оо, — банахово пространство измеримых по Бохнеру функций, определенных на множестве со значениями в банаховом пространстве X и суммируемых с весом а : К —>• (0, оо)

со степенью р и нормой ||ж|| = ^¿¿^ ;

— банахово пространство существенно ограниченных относительно веса а : К. —> (0, оо) измеримых функций х : К —> X с

" и и • IMOII нормой (IxII = vrai sup " )t ";

LP(R,X) = 1 < p < oo, если a = 1;

LR(X,y) — множество линейных отношений между линейными пространствами X и У] LRC(X ,У) — множество замкнутых линейных отношений между банаховыми пространствами X и У; LO(X, У) — множество линейных замкнутых операторов, с областью

определения из X со значениями в Ь(Х,У) — банахово пространство линейных ограниченных операторов, определенных на банаховом пространстве X со значениями в банаховом пространстве У] L(X) — банахова алгебра ограниченных операторов в Х\ LO{X) = LO{X, X), LR(X) = LR(X, X), LRC{X) = LRC(X, X); I — тождественный оператор в любом из банаховых пространств; D(Á) = {у Е У : (х,у) £ А} — область определения отношения А; Ker А = {x G X : (х, 0) G А} — ядро отношения A G LR(X); Im А = {у G X : существует x G D(A) : (ж, у) G А} — образ отношения A G LR(X);

А\Хо — сужение линейного отношения на инвариантное подпространство

Хо пространства X; А + В — сумма двух линейных отношений из LR(X, 3^); АБ — произведение линейных отношений В G LR(X,y) и А Е LR(y, Z)\

A~l = {(у,х) (х,у) G A} G LR(X,y) — обратное отношение к линейному отношению A G LR(X,y)\ о {А) — спектр линейного отношения Л G LRC(X)\ cr(A) — расширенный спектр линейного отношения A G LRC(X); р(А) — резольвентное множество линейного отношения A G LRC{X)\ р(А) — расширенное резольвентное множество линейного отношения AeLRC{X);

Введение

Диссертация посвящена исследованию спектральных свойств разностных операторов и разностных отношений в весовых пространствах последовательностей векторов.

В последние годы значительно возросла роль теории разностных операторов и разностных отношений при исследовании линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (в том числе и с неограниченными операторными коэффициентами). Состояние качественной теории дифференциальных уравнений долгое время в значительной мере отражали монографии Ю.Л. Далецкого, М.Г. Крейна [25], Х.Массера, X. Шеф-фера [37], авторы которых отмечали крайнюю важность развития соответствующей теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в связи с приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными.

Первые исследования, посвященные разностным операторам, появились еще в конце XIX - начале XX столетия. Так в работах О.Перрона [56] и А. Пуанкаре [57] изучались вопросы поведения на бесконечности некоторых типов разностных операторов, связанных с операторами взвешенного сдвига.

Особое внимание к разностным операторам и уравнениям, их содержащим, обусловлено прежде всего применением аппарата разностных операторов в исследованиях разрешимости различных дифференциальных, интегральных и функциональных уравнений. Подобные исследования различных классов уравнений осуществлялись в работах многих авторов, в частности А.Б.Антоневича [1],[2],[50], А.Г.Баскакова [4]-[б],[8],[9],[12],[51], Р.Беллмана и .Ж.Л.Кука [13], Бичегкуева [20]-[22], И.Ц.Гохберга и И.А.Фельдмана [24], П.П.Забрейко и Нгуен Ван Миня [28],

В.Г.Курбатова [34],[35],[54] Х.Л.Массера и Х.Х.Шеффера [37], В.М.Тюрина [46], Д.Хенри [48].

Разностные операторы являются также объектом исследования в спектральной теории динамических систем, что отражено в монографиях Ю.Д. Латушкина и A.M. Стёпина [36], З.Нитецки [42], П.Халмоша [47] и многих других. Связь разностных операторов с задачами теории функций рассматривались в работах Ю.Ф.Коробейника [32], А.А.Миролюбова и М.А.Солдатова [38],[39], В.Д.Степанова [43],[44] и А.Л.Шилдса [60],[61].

Спектральные свойства для разностных операторов исследовались А.Б.Антоневичем [1], Э.М.Мухамадиевым [40], Э.М. Мухам адиевым и Б.Н.Садовским [41],Б. Роейдсом [58],[59].

При этом отметим, что как правило, разностные операторы изучались в банаховых пространствах ограниченных последовательностей. Необходимость исследования разностных операторов в весовых пространствах возникает как при выяснении разрешимости разностных уравнений в пространствах растущих последовательностей, так и при разрешимости линейных дифференциальных уравнений с растущим свободным членом. Таким образом, тематика диссертации является актуальной.

Основные результаты диссертации получены с применением спектральной теории операторов и линейных отношений (многозначных линейных операторов). Отметим, что исследуемые разностные отношения возникают непосредственно при изучении дифференциальных операторов рассматриваемых в весовых пространствах функций, определенных на полуоси с начальным условием из подпространства. В диссертации получены приложения к описанию спектра таких дифференциальных операторов. Важно отметить, что на рассматриваемые весовые функции не делается каких-либо ограничений.

Основной метод получения результатов главы основан на преобразовании подобия исследуемого оператора в весовом пространстве к оператору, действующему в невесовом пространстве, но уже с переменными коэффи-

циентами. Во второй главе диссертации широко используется новая, недавно появившаяся техника исследования разностных операторов, основанная на применении спектральной теории линейных отношений. При этом очень важным является построение проекторов Рисса по спектральной компоненте изучаемого линейного отношения.

Перейдем к изложению основных результатов диссертации. Работа состоит из двух глав разбитых на параграфы.

В первой главе диссертации описаны спектральные свойства разностных операторов в весовых пространствах последовательностей векторов.

В §1.1 приводятся основные определения и факты из теории операторов и линейных отношений (многозначных линейных операторов), которые в основном касаются спектральной теории и используются для получения последующих результатов. Ниже приведены некоторые понятия, необходимые для дальнейшего изложения.

Определение 1. Любое линейное подпространство А из декартового произведения X х у называется линейным отношением между комплексными банаховыми пространствами X и У. Если подпространство замкнуто в X х У, то отношение называется замкнутым линейным отношением.

Определение 2. Подпространство И (А) = {х £ X : существует у £ У : (х,у) £ А}, являющееся проекцией А на X, называется областью определения линейного отношения . Через Ах, где х £ О (А), обозначается множество {у е У : {х,у) £ А}; кроме того, КегА = {х £ £>(Д) : (ж,0) £ А} — ядро отношения и 1тЛ = {у Е У : существует х £ И (А) : (х,у) £ •А} — иЖбГ>(Л) Ах ~ область его значений, являющаяся проекцией А на 3^-

Множество замкнутых линейных отношений из X х У обозначим через ЬЯС(Х, У), а множество линейных отношений между X и У обозначим через ЬЯ(Х, У) \ если же X — У положим Ы1(Х) — Ы1(Х, X). Множество ЬИС{Х, У) содержит банахово пространство Ь(Х,У) линейных ограниченных операторов (гомоморфизмов), определенных на X со значениями в ЗЛ Если X = У, то Ь{Х) — банахова алгебра линейных ограниченных опера-

торов (эндоморфизмов), действующих в X.

Определение 3. Обратным к линейному отношению А С X х У называется линейное отношение Л~1 — {(у,х) £ У х X : (х, у) £ А} С У х X.

Определение 4• Резольвентным множеством отношения А £ LRC(X) называется множество /э(Д) всех Л £ С, для которых (А — Л/)-1 £

Определение 5. Спектром отношения А £ LRC(X) называется множество <з(А) = С\р(*4).

Множество р(Л) открыто, спектр сг(А) отношения А £ LRC(X) замкнут.

Определение 6. Отображение

R(-,A) : р(А) L{X). R(X,A) = (А - А/)"1, Л £ р(А),

называется резольвентой отношения А £ LRC(X).

Определение 7. Расширенным спектром отношения А £ LRC(X) называется подмножество сг(А) из С, которое совпадает с а (А), если А £ и а (А) = а (А) U {оо}, если ЛёЬ(Х).

Определение 8. Замкнутое линейное подпространство Лд С X назовем инвариантным относительно А £ LR(X), если Джо П Xq {0} для любого х0 £ £>(Д) П ЛЬ-

Определение 9. Сужением отношения А £ LR(X) на инвариантное подпространство Xq назовем линейное отношение Ао = А П (Xq х Xq) с Xq х Xq на подпространстве Xq.

Определение 10. Пусть

X = Xq © Х\

есть прямая сумма инвариантных относительно А £ LR(X) подпространств и пусть Aq = Д|Яо, = А\Х\. Тогда будем говорить, что отношение А является прямой суммой отношений Aq и А\, и записывать

Л = Л®Л.

Определение 11. Отношения А, В G LR{X) называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор U G Ь{Х) такой, что Л = {{U~lx, U~ly) : (х,у) е В}, последнее эквивалентно равенству А = U~lBU.

Определение 12. Будем говорить, что линейное отношение A G LR(X) перестановочно с оператором В G L(X), если (Вх, Ву) € Л для любой пары {х,у) G А, т.е. В Л С АВ

Все результаты диссертации получены с существенным применением следующей теоремы, доказанной в [11].

Теорема 1.1. Пусть A G LRC(X) и его расширенный спектр о''(А) представим в виде

а (А) = его U <Ti,

где сто — компактное подмножество из С, о\ — замкнутое подмножество из С и сто П о-! = 0. Тогда банахово пространство X допускает представление в виде

Х = Х0ФХ1 (1)

прямой суммы замкнутых инвариантных относительно А подпространств Хо и Xi, и А = Ао ® А\, где Ао = A\Xq, А\ = А\Х\ G LRC(X) обладают следующими свойствами:

. 1) Ао G L(X0),a{A0) = <j{A0) = сто; 2) AiO = АО, D{A) = Д^о Ф D(Ai),a(Ai) = аг.

Разложение (1) осуществляет перестановочный с отношением А проектор Рисса Pq на подпространство Х0, который задается формулой

P0 = ~jR(X,A)dX.eL(X),

где 7 — замкнутая жорданова кривая, расположенная в р(А) так, что внутри нее лежит сто, а вне — ai. При этом Х0 = ImPo, Xi = Im(I — Ро)-В §1.2 описывается спектр разностного оператора, заданного на банаховом пространстве 1ра = 1ра{Ъ, X), где р G [1, оо], состоящем из (двусторонних)

последовательностей х \Ъ -л X векторов, принадлежащих конечномерному линейному нормированному пространству X, суммируемых с весом (весовой функцией) а : Ъ —»• (0, оо) с нормой ,

ычии = (Е(^)Р)1/!>> Р е [1,00),

и ограниченных относительно а

п н н п \\'х(п)\\ ж = Ж оо,а = вир---, р = ОО.

П62 а{п)

Рассматриваемый разностный оператор имеет вид

В:1ра-+ 1ра, (Вх)(п) = Вх{п- 1), пех.же 1ра,

гд еВеЬ(Х).

На вес а накладываются условия

а(к — 1) . .

Бир -^^тт—^ < со, (2)

keZ

а(к)

ос(к-1)

sup-—— = оо, (4;

к&Ъ

а(к)

а(к + 1)

sup < оо, (4)

к£ z

а (к)

а(к + 1

sup--- = оо. (5)

keZ а{к)

Как отмечалось ранее, базовый метод получения результатов основан на преобразовании подобия исследуемого оператора в весовом пространстве lva к оператору, действующему в невесовом пространстве 1Р, но уже с переменными коэффициентами. Преобразование подобия осуществляет оператор

{Uax)(n) = a{n)x(n), n£Z,x£lp.

При этом рассматривается подобный оператору В оператор Вш 6 Ь(1Р) вида

Все спектральные свойства, полученные для оператора Вш имеют место и для оператора В согласно следующей лемме.

Лемма 1.11. Спектры операторов Вш, В совпадают и инвариантны относительно вращений в С вокруг нуля, т.е.

где Т— единичная окружность на комплексной плоскости С.

Основными результатами параграфа являются теоремы 1.4, 1.5, 1.6. В теореме 1.6. используются следующие величины

Теорема 1.4. Если нуль принадлежит спектру а (В) оператора В и выполнено условие (3), то спектр сг(В) оператора В заполняет всю комплексную плоскость С.

Теорема 1.5. Пусть для веса одновременно выполняется условие (3) и условие (5) тогда спектр а (В) оператора В заполняет всю комплексную плоскость С.

Далее через Т(г) обозначается множество {А € С : |А| = г}, являющееся окружностью радиуса г ^ 0.

Пусть сг(В) = {Аь ..., Ад} — спектр оператора В. Рассмотрим модули гз — 1 ^ 3 ^ собственных значений оператора В и упорядочим

их по возрастанию:

а(В)=а(Ви})=Та(Вш),

1/71

о < п < г2 < ... < гн-

Теорема 1.6. Спектр су (В) оператора В представим в виде

¡г к

су (В) = У^- аеы{а),г^ аеои4(а!)]Т = У [зе^(а), 8еои1(аО]Т(гД

1=1 з=1

если выполнено условие (2), и

а(В) = <г{Вы) = {А е С : |А| >

если оператор В обратим и выполнены условия (3) и (4).

В §1.3 приводится применение теоремы 1.6 для вычисления спектра линейного дифференциального оператора

С = -^ + А: 0{С) С ЩШ, X) ЬР&(Ш, х),ре [1, оо],

где А £ £>(Х), а : К. —> (0, оо) — весовая функция, представимая в виде а(£) = ехра(£), { £ I, и а - дифференцируемая функция с а — Ь £ 1/°°(Е,Е). Символом обозначается банахово пространство изме-

римых (классов) функции х : Е —> X, для которых конечна величина

\к /

п н и п • мм

М Н ж коо = уга1 эир , , р = оо.

ос [и)

Если а — 1, то пространство X) обозначается через № = 1/(К, X).

Областью определения В (С) оператора С считается подпространство = Ш?'\Ж,Х) абсолютно непрерывных функции х : М. —X, для которых X е ЬЦЖ, X).

Используя теорему 3 из статьи [9], утверждение теоремы 1.6 и введя обозначения

т+п т+п

Ащт(Ь) = Ит т£ - / Ъ(т)йт, Атах(6) = Ит вир - / Ъ(т)(1т,

п—»оо ТЬ J п—>оо П J

т т

получим следующее утверждение

Теорема 1.7. Спектр оператора С : £>(£) С Ьр& допускает пред-

ставление вида

н

а(С) = е С •' лшш(6) + йе/Ъ- ^ Ке л ^ ^тах(Ь) + Ке^-},

■если = {/¿1,...

Вторая глава состоит из двух параграфов и посвящена изучению спектральных свойств разностных отношений в весовых пространствах последовательностей векторов. В §2.1 описываются общие свойства разностных отношений, приводятся вспомогательные леммы, используемые для получения основных результатов главы 2.

В §2.2 рассматривается банахово пространство 1Р = 1Р{1<+, X), р <Е [1, оо], Ъ+ = Ми {0}, состоящее из последовательностей х : Z+ —» X векторов принадлежащих конечномерному линейному нормированному пространству X, суммируемых с весом (весовой функцией) а : Z+ —> (0,оо) с нормой

\ 1/Р

I V- ЛЖИУ\ и n

\х\\ = ЦЖ||„ „ = ( \ ) ' I1'00)'

neZ+ ^ ^ / у

и ограниченных относительно а

il и и и 1НП)11

ж = \\х loo,а = sup ——Y", р = оо. ne z+ »(ri)

При этом описываются спектральные свойства линейного разностного отношения К,е £ LRfâ) вида

{Вх(п — 1), п ^ 1, гс0 € Е, п — 0,

где х Е lp, Е ~ подпространство пространства X, В Е L{X). Далее для веса а рассматриваются следующие условия

а(к- 1) , .

sup-77v- < 00, (6)

kez+ o¿{k)

a(k - 1) /r7N

sup-t— = 00, (7)

fee z+

sup < 00, (8)

a(fcH-l)

sup-тут = 00. (9)

keZ+

В рассматриваемой главе используется преобразование подобия исследуемого отношения в весовом пространстве 1ра к отношению, определенному в невесовом пространстве 1Р, но уже с переменными коэффициентами. Преобразование подобия осуществляет линейный оператор Ua : lp —> 1ра, вида (Uax)(n) = а(п)х(п),п € Z+, а: € Все результаты параграфа получены для отношения Ке,ш G LR(lp) подобного /Сд, и определяемого следующим образом

zc£,w = .{(z,2/) € х /р : г/(п) = ш{п)Вх{п — 1), n ^ 1, у(0) g Е},

где со : N —> (0, оо), — последовательность вида ш(п) = ^ 1. Эти

результаты имеют место и для отношения /Се, согласно лемме 2.8. Обозначим через Be, Be,w, отношения, определяемые равенствами

Be,и — I ~ Be = I - /СЕ.

Лемма 2.8. Для спектров отношений Be, Be,и, имеют ме-

сто равенства

С{Ве)=су{ВЕ,ш),

носительно вращений в С вокруг нуля.

Отметим, что все рассматриваемые отношения являются замкнутыми и их области определения совпадают со всем пространством последовательностей 1ра и Р соответственно.

Основные результаты второй главы изложены в теоремах 2.2, 2.4, 2.6 и 2.7, при этом использую�