Применение сплайнов в теории сингулярно возмущенных краевых задач с особенностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

1' На правах рукописи

ГЛУШАКОВА Татьяна Николаевна

ПРИМЕНЕНИЕ СПЛАЙНОВ В ТЕОРИИ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ОСОБЕННОСТЯМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж 1998

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Стрыгин В.В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Курина Г.А.; кандидат физико-математических наук, доцент Мартыненко Г.В.

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита состоится " 22 " декабря 1998 года, в 1000 час. на заседании дпссергациопного совета К 063.48.09 в Воронежском государственном университете по адресу: 394693, Воронеж, Университетская площадь, 1, ВГУ, факультет ПММ, ауд. 314.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " 19 " ноября 1998 года.

Ученый секретарь диссертационного совета д. ф.-м. наук, профессор

Задоролсний В.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Начиная с основополагающих работ Л.Н.Тихонова, сингулярно возмущенные задачи (СВЗ) привлекают внимание мпогих математиков, что объясняется их большой прикладной значимостью. Они выступают в качестве математических моделей при исследовании разнообразных процессов в физике, химии, биологии, технике (в теории ускорителей, теории автоматического регулирования, теории нелинейных колебаний, теории гироскопов, а также в квантовой хромодинамике, релятивистской квантовой механике, газодинамике и т.д.). Другими словами, сингулярные задачи возникают там, где имеются неравномерные переходы. Именно поэтому численно-аналитические методы решения сингулярно возмущенных задач имеют большое значение как для развития фундаментальных исследований, так и для решения конкретных практических задач.

Первые попытки численного решения таких задач встретили серьезные трудности, тале так в пограничном слое (зоне, где решение исходной возмущенной системы значительно отлетается при сколь угодно малых е от решения вырожденной системы) многие стандартные численные методы не работают. В связи с этим возникает необходимость разработки специальных методов исследования таких задач.

Асимптотическим методам изучения СВЗ посвящены работы

A.Н.Тихонова, М.И.Вишика, JI.A. Люстерншса, А.Б.Васильевой,

B.Ф.Вутузова, М.Г.Дмитриева, JI.B.Калачева, С.А.Ломова, В.Г.Суш-ко, Р.З. Казминского и Г. Яна, В. Барсилона, А.Н. Чепурко и др.

На основе информации о качественных особенностях решения, которые дают асимптотические методы, разрабатываются специальные численные методы. Этой тематике посвящены работы Н.С. Бахвалова, A.M. Ильина, Г.И. Шишкина, Дж. Миллера, Э.Дулана, У. Шилдерса,

П.В. Хемкера, П. А. Фаррелла, М. Стайнса, Е.О'Риордапа, И.П. Бог-лаева, А.М.Дегтярева, М.Стояповича, Д..Адама, А.Фелгеихауэра, X.-Г. Руса, Г. Сана, Р.Сакко, С.Адьерида, М.Эйфа, Дж. Флаэрти, В.В.Стрыгина. В.В.Дроздова, Т.С.Ивановой, К.В.Емельянова, Р.Ву-ляновича, И.А.Блатова п др.

Наиболее акты в но разрабатываются разностные методы и проекци-онно-сеточные методы галеркннского типа, имеющие в основном сходимость 1-го и 2-го порядка. При этом оценки точности в большинстве работ получены в сеточных нормах.

В последние годы появилась серия работ В.В. Андреева, Н.В. Колте-вой, И.А. Савина, Г. Сана, М. Стайнса, В.Л. Макарова, В.В. Гумипского, посвященных повышению порядка уже известных схем (этот подход будет использован п 3-ей главе диссертации) и построению схем более высокого порядка.

К разностным схемам на неравномерных сетках можно отнести и цикл работ У. Ашера, Р. Вейса, Дж. Кристпансена, Р. Рассела, К. Ринг-хофера, которые посвящены методу коллокации и формально относятся к проекционно-сеточным методам. Однако авторы этих работ рассматривают метод коллокации лишь как средство получения разностных схем. При этом используются сплайны высоких дефектов; число узлов сетки, хотя и медленно, но растет при £ —+ 0, что существенно повышает размерность уравнений, получающихся при дискр&-тизации задачи. Оценки точности получаются в сеточных нормах.

Важное место среди проекционпо-сеточных методов, удобных для приближенного решения краевых задач, занимает метод сплайн-колло-кации. Достоинством этого метода является его относительная простота в численной реализации, для которой нужно знать только нижнюю оценку спектра на концах отрезка.

Как показано в работах И.А.Блатова, В.В. Стрыгина, Е.Н.Бобоно-

вой, E.B. Кузнецовой, И.Ю. Покорной, метод коллокации позволяет построить равномерные приближения высокого поряддса точности.

Заметим, что большинство работ посвящено исследованию линейных и квазилинейных СВЗ 2-го порядка п СВЗ для уравнений в частных производных.

Линейные сингулярно возмущенные краевые задачи (СВКЗ) для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка рассматривались У. Ашером, Р. Вейсом, И.П. Боглаевым, В.В. Стрыгиным, И.А.Блатовым, E.H. Бобоновой, Е.В. Кузнецовой, И.Ю. Покорной.

Линейные СВКЗ 2-го порядка с коэффициентами, содержащими пограничные слои, рассматривались в работе И.А.Блатова.

Нелинейным СВКЗ условно устойчивого тппа посвящены работы И.П.Боглаева, К.Рпнгхофера, В.В.Стрыгина, И.А.Блатова, В.В.Бла-товой, Ю.В.Ролсека.

И.П. Боглаевым построены разностные схемы для численного интегрирования нелинейных сингулярно возмущенных начальной задачи первого порядка и краевых задач первого и второго порядков, обладающие равномерной по малому параметру оценкой погрешности первого порядка в сеточной норме. И.А. Блатовым был предложен метод Галеркина-Петрова па адаптивных сетках и получен 2-ой порядок точности в Loo-норме.

Цель работы. Построение и обоснование метода коллокации второго порядка точности для линейных векторных СВКЗ с коэффициентами, содержащими особенности типа пограничного слоя, на базе параболических сплайпов дефекта 1. Исследование нелинейной векторной СВКЗ методами линеаризации и сплайн-коллокации с использованием известной разностной схемы И.П. Боглаева и получение 2-го порядка точности равномерно по малому параметру г.

Методшса исследований. В работе используются теория проекционных методов, асимптотические методы, методы сплайн-функций, обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа.

Научная новизна. Доказаны существование и единственность решения линейных сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений условно устойчивого типа с коэффициентами, содерзкащими особенности типа погранслоя. Построен метод сплайн-коллокацни второго порядка точности для линейных сингулярно возмущенных краевых задач с коэффициентами, содержащими особенности типа погранслоя. Для численного решения нелинейной сингулярно возмущенной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнелий первого порядка построен численно-аналитический метод, обладающий равномерной по малому параметру оценкой погрешности порядка 0(1/т2) (где (4т-)-1) - число узлов сетки) в С-норме. Он основал на линеаризации нелинейной задачи на начальном приближении, которое строится с использованием значений сеточной функции, найденной по методике И.П. Боглаева, и решении полученной линейной задачи методом сплайн-коллокации на базе параболических сплайнов дефекта 1.

Практическая и теоретическая значимость. Разработанные методы могут быть использованы при написании программ для решения СВКЗ с высокой степенью точности. Дано обоснование схем второго порядка точности.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах профессоров Г.А. Куриной и В.Г. Задорожнего, на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава Воронежского госуниверситета, на Воронежских зимних математиче-

ских школах (1993, 1997 гг.), на весенней Воронежской математической школе "Понтрягинские чтения-VIII" (1997 г.), на конференции "Математическое моделирование систем. Методы, приложения н средства" (Воронеж, 1998 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [1]-[5]. Объем и структура работы. Диссертация содержит 154 страницы текста и состоит из введения и трех глав, разбитых на 17 параграфов. Библиографический список литературы содержит 111 наименований. Нумерация параграфов сквозная.

Используемая низке нумерация формул автономна от диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Прежде чем переходить к изложению результатов диссертации, введем некоторые необходимые обозначения и уточним терминологию. Пусть IIя - g-мерное пространство с нормой

ЦлЦлчг = max |ж'|, (1)

где х% - г-я координата вектора х = (ж1,...,xq)r (т - знак трапспони-

ч

ровапия). Через ЦЛЦ«, = max V |а,,-| будем обозначать норму квац-

ратной матрицы А = {ai/};iJ=:1, согласованную с нормой (1). Пусть С? — Cv[-1,1] - пространство р-раз непрерывно дифференцируемых функций со значениями в Rq, причем

|М|С? = max sup ||d'a:(i)/dfJ||.

Пусть Д : -1 = t.2m < i-2m+l < • • • < to = о < ti < . . . < t2m = 1 -некоторое разбиение отрезка [—1,1].

Обозначим через 5(Д,г, 1) пространство полиномиальных сплайнов степени г дефекта 1 на сетке Д, а через [5(Д,г, 1)]? - декартово

произведение таошх пространств. Символ £ всюду означает малый положительный параметр. Через С и ге будем обозначать положительные константы, не зависящие от £ и m, величины которых не играют существенной роли в дальнейших рассуждениях.

Функциями типа левого погранслоя назовем фупкции П(г,£), удовлетворяющие оценкам вида ||П(*,£)|| < Сехр(—ae(i + 1)/е).

Функциями тина правого погранслоя назовем функции Q(t, е), удовлетворяющие оценкам вида ||П(*,£)|| < Сехр(ге(< — 1 )/с). Перейдем к краткому изложению результатов диссертации.

В главе I рассматривается метод сплайн-коллокации для построения приближенного решения линейной краевой задачи

Lx = ex'-A(t,£)x = f(t,e), (2)

х1{-1>е) = ... = хк{-1,е) = xk+1(l,z) = ... = *»(1>£) = 0. (3)

Здесь х = (г1) G Rn, матрица A{t,s) и вектор-функция f{t,£) имеют следующий вид

Л(М) = А(1) + ПА(п) + QA(t2), f(t,e) = J(t) + п/(п) + Qf(r2) (п = (i + l) je, r2 = (t - l)/£),

где À(t) {f{t)) - гладкая матрица (вектор) класса С2[—1,1], причем собственные значения А,-(<) матрицы Â(t) действительны, различны и удовлетворяют неравенствам

At(i) < ... < Ak(t) < 0 < Ajfc+i(i) < ... < A„(t); (4)

ПЛ(т3) (n/(ri)) и QA(r3) {Q/(t2)) - матричные (векторные) функции тина погранслоя, определенные и непрерывные вместе со своими производными до 2-го порядка включительно при Т\ > 0 и Т2 < 0 соответственно, причем для i = 0,1,2 выполнены оценки

НПЮЛМНо, < Cexp(-aeri), ||g«A(ra)||oo < Cexp(œr2)

(аналогично для П/^) и Qffa)).

Предполагается, что для задачи (2) - (3) выполнены условия Л.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузова, обеспечивающие существование и единственность решения, которое имеет экспоненциальные погранслои в окрестностях точек t = +1. Поэтому для численного отыскания xc(t) целесообразно разбиение отрезка [-1,1] выбирать сгущающимся вблизи граничных точек. В этом плане наиболее удобна методшса Н.С. Вахва-лова. Опишем используемое нами разбиение.

Пусть а = 1 — 2£)1п£|/А0. Определим вспомогательную функцию g(t) равенством

--а--ехр( Н 2£ ') , f € [—1, —а]

g(t) = t , t е (-а, а]

It 2 ,Ао(г-1), , „ + а+ ехр( , i £ (а, 1]

Ао ла ¿s.

Простал проверка показывает, что g(t) - монотонная непрерывно дифференцируемая функция па отрезке [-1,1].

Положим А — <1+2(1 — е)/Ао. Очевидно, что функция g(t) взаимно однозначно отображает отрезок [-1,1] в отрезок [—А, А].

Построим сначала локально равномерное разбиение отрезка [—Л,Л]. Положим

Со = 0, (, = а/т, ... , (п = а,

С» = Ci-i + {Л- а)/тп (t = m + 1,.. .,2т).

Получили, таким образом, разбиение отрезка [О, Л]. На отрезке [—Л,0] разбиение определим точками С-2т» С-гт+ь ••• »Со — О симметричным образом.

Наконец, положим = 5~Чб')» где

/

■¿ + е] , Ce M,-«]

, С € (-а, а] + £] ,се(а,л]

<гЧО =

С

Точки и дают интересующее нас разбиение Д : -1 = г_2 т < ¿-2т+-1 < . .. <-1 < <0 = 0 < ^ < ...12т-1 < ¿2га = 1 отрезка [-1,1], которое зависит от выбора гит.

Всюду в дальнейшем нас будет интересовать случай

Введем точки коллокации & следующим образом: & = + и)/2 (» = 1,..., т), (¡ = {и + и+1)/2 (» = — т,..., — 1),

& - ¿¿-1 (» = т +1,.. .,2т + 1), & = ¿»-и (» = -2т - 1,... ,-га - 1).

Точки £т+2 = *т+Ь £ _т_2 — будем называть точками полу-

коллокации.

Точки коллокации {£;} выбираются таким образом, чтобы колло-кационная матрица была хорошо обратима (т.е. имела равномерно ограниченную по I и е обратную матрицу), причем в точках полукол-локации рассматривается лишь часть уравнений системы (2).

Приближенное решение задачи (2) - (3) будем искать методом сплайп-коллокации в конечномерном подпространстве

Так определяется пробное подпространство. Тестовое подпространство F = F(e, m) определяется равенством F = LE.

е\ In ej 1/m.

E = {u(t) = (ul(t), -.., u*(t)Y 6 [5(Д, 2,1)]" : u»(-l) = ... = uk{-l) = uh+l{l) = ... ua(l) = 0}.

Так как оператор L па Е взаимнооднозначный, то размерности Е и F совпадают, и

dim Е = dim F = (4m + l)n.

Коллокационная задача заключается в отыскании такой вектору-функции u(i) € Е, что

-/(&.£)= О (t = -2m-l,...,2m + l; i£'+(m + 2)), (5) {Lu(U+2) ~ f(U+2,e)}' = 0 (/ = 1,2,...,*!), (6)

{£u(i-ra-3)-/(f-m-j,e)}' = 0 (i = fc + l,...,n), (7)

(через {.}' обозначена 1-я координата вектора {.}), и решение задачи (5)-(7) обладает следующим свойством.

Теорема 1.2. Найдутся такие числа С, £о > 0, то > 0, 70 > О, что для всех t G (0,£о]> т > то коллокационная задача (5) - (7) при е| lne| < ■jo/rn имеет единственное решение u(t) £ Е, причем справедлива оценка

IN') - *«(i)llc[-i,U +e||«'W - 4(i)l!c[-i,i] < с/т2,

где xc(t) - точное решение задачи (2) - (3).

Являясь продолжением исследований И.Л. Блатова, В.В.Стрыги-на, результаты первой главы, посвященные случаю коэффициентов, содержащих пограислойные функции, основаны па использовании пробных пространств более сложной структуры, в связи с чем усложняется доказательство обратимости соответствующей коллока-цнонной матрицы. Результаты главы I используются далее в главе II для решения более сложных систем.

Глава II посвящена разработке метода сплайп-коллокации для линейной краевой задачи условно устойчивого типа

L\z = х - An{t,s)x - Ai2(t,e)y = gi{t,£), (8)

L\z = ey- A21{t,e)x - A22{t,e)y = g2(t,e), (9)

x(-l,e)=0, (10)

У1 ( 1 >£) — — = = 2/fc+1(l>£) — •■■ — У* {!>£)— (И)

Здесь z = e Д', У = (yj) € Rn, z = (x,yY, Ai:{t,s), Л^М), A2i(/,e), A22(t,£) - матрицы размеров (/ x /), (l x n), (n x l), (n x n) соответственно, представимые в виде

Aij{t,e) = Äij(t) + ПЛУ (n) + (¡Ац(т2)+

+ААцЦ) + ДПЛ;у(п) + Ь<ЭАц{тг) +£Rij(t,£) (r, - (t + l)/e, r2 = (t- l)/e ; i,j = 1,2),

где

1) Äij(t) - матрицы класса C2[—1,1], причем матрица Ä22(i) имеет различные действительные собственные значения А¡(¿) (i — 1,..., п), удовлетворяющие неравенствам (4);

2) ПА-Дг]) и QAijijn) - матричные функции типа левого и правого пограничных слоев, определенные и непрерывные вместе со своими производными до 2-го порядка включительно при rj > 0 и т2 < 0 соответственно, причем для р = 0,1,2 выполнены оценки

НПЛ^тОНсо < Cexpi-aen), НОД^ЫНсо < С exp(aer2), где ае - некоторая положительная константа;

3) AA{j{t) - матрицы класса С"[-1,1], причем НДА;^)^ < С/тп для всех t € [-1,1], £ € (0,£0];

4) ArL4jj(ri) и ДQAij(r2) - непрерывно дифференцируемые матричные функции типа левого и правого пограничных слоев, причем для Р = 0,1

ЦАПЛЯМИ» < Cexpi-aerO/m, ИД^ЫН«, < Сехр(Жг2)/т;

5) ||Д,;(*,е)||со < С для всех * € [-1,1], е £ (0,£г0].

Предполагается, что для вектор-функции д{1, е) == (дх(¿, г),д2(1, е))т справедливо представление вида

д(г,г) =з(0 + П^(г1) + д5(г2) + Дз(г)+ДПд(г1) + ддд(г2) + £Яг(^е), где первые шесть слагаемых имеют соответственно ту же гладкость и оценки, что и в п. 1)-4),

В.д{г,с) = кдЦ) Л-Ш^п) + <311д{т2),

Яд{1) - векторная фупкция класса С'[— 1,1], ПЯ<,(г1) и ОКд(т2) - непрерывно дифференцируемые векторные функции типа левого и правого пограничных слоев, причем

НПЯ^ЫНл*» < Сехр(-ает-,), ||<34Р)Ы11я<^ < Сехр(ът2) (р = 0,1).

Предполагается, что для задачи (8)-(11) выполнены условия Л.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузова, обеспечивающие существование и единственность решения. Положим

Е = {ш = (и, V)т € [5(Д, 2,1)]1+п : и(-1) = 0, Г1(-1) = . . . = 1) = 17*+1(1) = . . . = Юд(1) = 0}. Метод коллокации решения системы (8)-(11) состоит в нахождении такой вектор-функции ш(г) = (и(г),и(*))т 6 Е, что

Ь1Ми)-д1(и,е)=0 (г = -2т,... ,2т), (12)

£>(£;)-ЫМ- 0 и = -2пг- 1,...,2т + 1;;/+(т + 2)), (13) {Ь2сю(и+2)-92(и+2,£)У = 0 (1 = 1,..., к), (14)

{ЬМ^т-2)~92((-ш-2,£)}1 = 0 (/ = * + 1,...,п), (15) причем решение задачи (12) - (15) обладает следующим свойством.

Теорема 8.2. Найдутся такие числа С, So > Q, та > О, 7U > О, что для всех £ 6 (0,£0], т > то коллокационная задача (12)-(15) при е\ In еj < 7o/m имеет единственное решение ш(<) = (u(i), v(t))T, причем справедливы оценки

IM*) - "(01!с[-1,1] + ||«i(0 - "'Wllq-1,1] < С/т2, .

11У«(0 - w(0llq-i,i] + e||»iW - w'(0llc[-i,u < С/т2, где xc(t), yc{t) - точное решение задачи (8) - (11).

Глава III является центральной. Она посвящена исследованию нелинейной краевой задачи условно устойчивого типа

x' = G(x,y,t), (16)

sy' = F(x,y,t) (17)

с краевыми условиями (10)-(11). Здесь х = (г1) Е R1, у = (у-*) G Я".

Предполагается, что для задачи (16)-(17), (10)-(11) выполнены условия A.B. Васильевой, В.Ф. Бутузова, гарантирующие существование и единственность решения. Считаем, что функции G(x,y,t) и F(x,y,t) имеют непрерывные производные до 4-го порядка включительно в некоторой ¿-трубке кривой Lq, являющейся окрестностью решения вырожденной задачи. Собственные значения А, (i) матрицы Fy(t) = Fj,(x0(f),yo(i)> t), гдехо(<)) 2/о(0 - решение вырожденной задачи

dx/dt = G(x,y,t), F{x,y,t) = 0, s(-l)=0, (18)

- действительные и удовлетворяют неравенствам (4).

Нелинейная задача (16)- (17) сводится к задаче вида

еу'= F0(yyi) + AF(y,t) (19)

с краевыми условиями (11), где

для всех I £ [-1,1],' у из ^-трубки кривой Ь0 (е <

А Л,

Используя для решения задачи (19), (11) методику И.П. Боглаева, для данной сетки Д и задачи (19), (11) получаем сеточную функцию т/в, по значениям которой строится комбинированный интерполяционный сплайн

Для существования этого интерполяционного сплайна потребуем, чтобы матрица А{у,1) = Е'у{х^,у,¡) удовлетворяла следующим условиям:

1) А(у, £) - матрица со строгим диагональным преобладанием:

Е 1<*{(М1 < (1 -")И(У.01. 3 = 1,2,...,п, сг^сопзг, 0 < а < 1;

кф],к=\

2) диагональные элементы удовлетворяют неравенствам

а}(у,*) <0, ] = 1,... а){у,1) >0, ] = + 1,... ,п;

3) существуют такие вектор-функции й(£) = (й-' (¿)) и ¿(2) = (а> ({)), что выполняются неравенства

0 < < |а}(у,*)| < а?(г), ] = 1,2,..., п.

Затем нелинейная задача (16) - (17), (10) - (11) линеаризуется на начальном приближении го — (¿о(<),5'(0)Тг а линейная задача решается в главе II.

Соответствующая коллокационпая задача состоит в нахождении элемента ш(£) = (и(г),и(г))т, удовлетворяющего уравнениям тппа (12) - (15) с коэффициентами системы и с правой частью, отличающимися от рассмотренных в главе II па величины порядка 0(1/т2).

Для решения шг(<) = (ие(<),г;г(г))Т коллокацпонной задачи (12)-(15) с учетом сделанных уточнений справедлива основная

Теорема 14.2. Найдутся такие числа С, £о > 0, то > 0, 70 > О, что для всех е 6 (0,£о], т > то таких, что £|1пе| < 'Уо/т, приближенное решение коллокационной задачи (12)- (15) существует и справедлива оценка

1Ы0 - ^(¿)||с[-1,1) < с/т2, где 2С{1) - точное решение задачи (16)- (17), (10)- (11).

В конце третьей главы приводятся результаты численного эксперимента по применению построенного метода.

На отрезке [—1,1] была рассмотрена следующая краевая задача:

е-з(«+1)/*

= х + еУ1 + I + б£1 + 2е_3(ж)А + 1 - 2£' (20)

еЗ(("1)/£

еу[ =£х-у! +'ух + Агу2 + 24е 2ез(<-1)/, ~ £е<+1 + е1 + 2 ~ б£' (21)

е-3(«+1)/г

^ = £1/1 + у\ -У2 + б£1+2е-з(ж)/1 " 2 - 2£, (22) ®(-1,£)=0, у1(-1,е)=у2(1,£)=0. (23)

Точное решение системы (20) - (23) -

е-3(( + 1)/£

х(г) = е'+1 - * - 2, = 2-6

2/2(0 = 2 — 6

1 + 2е-3({+1>/с'

ез(<-1)А

1 +2ез(«-1)А'

Численный эксперимент был поставлен на персональном компьютере типа 4860X4-100 при Л0 = 1.

Результаты вычислений приведепы в таблице:

т/е 0.01 0.005 0.001 0.0005

4 0.03127 0.03353 0.03603 0.03659

8 0.00692 2.17480 0.00783 2.09772 0.00876 2.04055 0.00895 2.03228

16 0.00136 2.34706 0.00175 2.16586 0.00212 2.04688 0.00219 2.03229

32 0.00033 2.05500 0.00034 2.34498 0.00050 2.07264 0.00053 2.04465

В каждой клетке таблицы при фиксированных с и тп приведены значения абсолютной погрешности

есп — ™ах max max \wUtf) — z'At^)| (в верхней части),

l<j<3-2m<i<2m-l0<k<3' KlJ eW/l V V И

где if — t{ + k(ti+i — U) IA (к — 0,1,2,3), и логарифмической погрешности log2(ec,m/2/ec,m) (в нижней части). Результаты расчетов подтверждают, что предложенный метод имеет второй порядок.

В заключение, пользуясь возможностью, выражаю глубокую благодарность своему научпому руководителю профессору В.В. Стрыгину за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а также И.А. Благову за ряд ценных советов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Глушакова Т.Н. Метод сплайп-гсоллокацпй для сипгулярпо возмущенных линейных краевых задач с коэффициентами, содержащими пограничные слои, на базе параболических сплайнов. - Воронеж, 1992. - 36 с. - Деп. в ВИНИТИ 12.08.92, N 2636-В92.

2. Глушакова Т.Н. Метод сплайн-коллокации для сингулярно возмущенных лилейных краевых задач с коэффициентами, содержащими пограничные слои, на базе параболических сплайнов // Теория функ-

ций. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании: Тез. докл. шк. - Воронеж: Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 1993. -С. 41.

3. Глушакова Т.Н. О численном методе решения нелинейной краевой задачи для систем с малым параметром при производной // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. шк. - Воронеж: Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 1997. - С. 53.

4. Глушакова Т.Н. О методе второго порядка точности для одной сильно нелинейной сингулярно возмущенной краевой задачи // Вестник факультета прикладной математики и механики. - Вып. 1. -Воронеж: ВРУ, 1998. - С. 39-47.

5. Глушакова Т.Н. Исследование нелинейной сингулярно возмущенной краевой задачи с использованием численно-аналитических методов // Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства: Тез. конф. - Воронеж: Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 1998. - С. 32.

Заказ № 373 от 1?И. 1998 г. Тир. 100 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

/

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИМЕНЕНИЕ СПЛАЙНОВ В ТЕОРИИ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ОСОБЕННОСТЯМИ

01,01,02 - дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

ГЛУШАКОВА Татьяна Николаевна

Научный руководитель -доктор физико-математических

наук, профессор СТРЫГИН Вадим Васильевич

Воронеж 1998

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ......................................................... 5

Глава I. МЕТОД СПЛАЙН-КОЛЛОКАЦИИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ, СОДЕРЖАЩИМИ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ, НА

ВАЗЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ ......................... 19

§1. Постановка краевой задачи и формулировка основных результатов ................................................... 19

1.1. Постановка краевой задачи ........................... 19

1.2. Оценка интегрального оператора Ое .................. 21

1.3. Оценки производных решения х£ краевой задачи

(1.1)-(1.2) до 3-го порядка включительно ............ 22

1.4. Разбиение отрезка [—1,1] и аппроксимадионные пространства ................................................ 25

1.5. Постановка коллокационной задачи и формулировка основного результата.................................. 28

§2. Аппроксимадионные свойства тестовых пространств............29

2.1. Теоремы К. де Вора о сплайн-аппроксимациях..............30

2.2. Вспомогательные леммы ............................................................30

§3. Преобразование задачи (1.1)-(1.2) к специальному виду.

Постановка соответствующей коллокационной задачи..........36

3.1. Преобразование задачи (1.1)-(1.2) к специальному виду .........................................................................36

3.2. Постановка коллокационной задачи .................. 37

3.3. Обратимость оператора Ьщ и оценка обратного оператора ......................................................................................................37

§4. Интерполяционный проектор .............................. 38

§5. Завершение доказательства теоремы 1.2 ................... 42

§6. В-базисы................................................... 44

6.1. Некоторые технические вопросы ..........................................44

6.2. Построение 5-базиса..................................................................47

§7. Изучение кол локационной задачи....................................................55

7.1. Случай п = 1 ..................................................................................55

7.2. Случай произвольного п ..........................................................62

Глава II. МЕТОД СЛЛАЙН-КОЛЛОКАЦИИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ УСЛОВНО

УСТОЙЧИВОГО ТИПА С ОСОБЕННОСТЯМИ......................................71

§8. Постановка краевой задачи и формулировка основного

результата...................................................71

8.1. Постановка краевой задачи ........................................71

8.2. Постановка кол локационной задачи и формулировка основного результата.......................................74

8.3. Аппроксимационные свойства тестовых пространств 75 §9. Преобразование задачи (8.1)- (8.4) к специальному виду.

Постановка соответствующей коллокационной задачи............76

9.1. Преобразование задачи (8.1)-(8.4) к специальному виду....................................................................................................76

9.2. Связь операторов Ь£ ш Ье ..........................................................82

9.3. Обратимость оператора Ь, и оценка обратного оператора.....................................................................................82

9.4. Доказательство теоремы 8.1 ....................................................84

9.5. Постановка коллокационной задачи ....................................84

§10. Семейство интерполяционных проекторов. Завершение доказательства теорем 8.2 и 9.3 ..............................................................86

§11. Некоторые технические вопросы ......................................................89

§12. Построение В-базиса тестового пространства ............................94

12.1. Построение базисных функций первой группы Р^

У = -2т - 1,...,2то - 1; а = ................................94

-412.2. Построение базисных функций второй группы FjiS

(j = -2m - 2,... ,2m - 2; s = l + к + 1,...,/ + n) .... 99

§13. Изучение коллокадионной матрицы..............................................106

13.1. Структура кол локационной матрицы................................106

13.2. Случай 1 = п = 1, Л(<) >0 ......................................................106

13.3. Случай произвольных I и п....................................................109

13.4. Корректировка коллокационной матрицы с учетом условия (10.5) ..............................................................................112

Глава Ш. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ЛИНЕАРИЗАЦИИ ..............................................................................................................114

§14. Постановка краевой задачи. Основные результаты................114

14.1. Постановка краевой задачи ..................................................114

14.2. Основные результаты ................................................................116

§15. Построение сеточной функции ........................................................123

15.1. Построение разностной схемы ..............................................123

15.2. Исследование сходимости разностной схемы

(15.8)-(15.9) ..................................................................................125

§16. Построение комбинированного интерполяционного сплайна S(t) по значениям сеточной функции ....................................129

§17. Пример численной реализации ........................................................137

17.1. Алгоритм численного решения системы (14.1) - (14.4)

с xeR,yeR2 ............................................................................137

17.2. Пример ............................................................................................141

ЛИТЕРАТУРА .............................................................143

ВВЕДЕНИЕ

1. Настоящая работа посвящена исследованию сингулярно возмущенных краевых задач с особенностями. Эти задачи принадлежат важному классу дифференциальных уравнений - уравнениям с малыми параметрами при производных, называемым сингулярно возмущенными. Начинал с основополагающих работ А.Н. Тихонова [61]-[63], такие уравнения привлекают внимание многих математиков, что объясняется их большой прикладной значимостью. Они выступают в качестве математических моделей при исследовании разнообразных процессов в физике, химии, биологии, технике (в теории ускорителей, теории автоматического регулирования, теории нелинейных колебаний, теории гироскопов, а также в квантовой хромодинамике, релятивистской квантовой механике, газодинамике и т.д.). Другими словами, сингулярные задачи возникают там, где имеются неравномерные переходы. Именно поэтому численно-аналитические методы решения сингулярно возмущенных задач имеют большое значение как для развития фундаментальных исследований, так и для решения конкретных практических задач.

В дальнейшем сингулярно возмущенные задачи мы будем именовать сокращенно СВЗ, сингулярно возмущенные краевые задачи - СВКЗ.

Первые попытки численного решения таких задач встретили серьезные трудности, так как в пограничном слое (зоне, где решение исходной возмущенной системы значительно отличается при сколь угодно малых £ от решения вырожденной системы) многие стандартные численные методы не работают. В связи с этим возникает необходимость разработки специальных методов изучения таких задач. Научная литература в основном посвящена линейным и квазилинейным СВЗ 2-го порядка и СВЗ для уравнений в частных производных. Численные методы для сильно нелинейных СВЗ развиты слабо.

2. Асимптотическим методам изучения СВЗ посвящены работы

A.Н. Тихонова [61]-[63], М.И.Вишика, Л.А. Люстерника [29], [30], А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузова, М.Г.Дмитриева, Л.В.Калачева [25]-[28], [108], [109], С.А.Ломова [51], В.Г.Сушко [60], Р.З.Казминского и Г.Яна [90],

B. Барсилона [82], А.Н. Чепурко [65] и др. На основе информации о качественных особенностях решения, которые дают асимптотические методы, разрабатываются специальные численные методы. Этой тематике посвящена обширная литература (см. обзор [23], библиографию в [18], [37], работу [2]).

Наиболее активно для СВЗ развиваются разностные методы.

Разностным схемам на равномерных сетках посвящены работы A.M. Ильина [43], Дж. Миллера, Э. Дулана, У. Шилдерса [37] и ряда других авторов (см. обзор [23], библиографию в [18]).

Разностным схемам на неравномерных и кусочно-равномерных сетках, сгущающихся в погранслое, посвящены работы Г.И. Шишкина, Л. Г1. Шишкиной, И. В. Целищевой, П. В. Хемкера, П. А. Фаррелла, Дж. Дж. X. Миллера, Е.О'Риордана [66]-[75], [85]-[88], [92].

К разностным схемам на неравномерных сетках относятся работы Н.С.Вахвалова [7], И.П.Боглаева [20]-[22], A.M.Дегтярева, В.В.Дроздова, Т.С. Ивановой [36], К. В. Емельянова [38], [39], Р. Вуляновича. [110],

C. Ю-ченга, Ш. Квана [111] и др.

К разностным схемам на неравномерных сетках можно отнести и цикл работ У.Ашера, Р.Вейса, Дж.Кристиансена, Р.Рассела, К.Рингхофера [78] - [81], [95], которые посвящены методу кол локации и формально относятся к проекционно-сеточным методам. Однако авторы этих работ рассматривают метод коллокации лишь как средство получения разностных схем. При этом используются сплайны высоких дефектов; число узлов сетки, хотя и медленно, но растет при £ —> 0, что существенно повышает размерность уравнений, получающихся при дискретизации задачи.

Оценки точности получаются в сеточных нормах.

Для широкого класса СВЗ построены разностные схемы невысокого порядка, сходящиеся равномерно по малому параметру. В последние годы появилась серия работ, посвященных повышению порядка уже известных схем (этот подход будет использовал в 3-ей главе диссертации) и построению схем более высокого порядка. Так, В.Б. Андреевым, Н.В. Коп-тевой, И.А. Савиным в работах [3], [56], [57] для ОДУ 2-го порядка рассматриваются классические разностные схемы, в [4], [5] - модифицированные монотонные схемы A.A. Самарского на кусочно-равномерной сетке Г.И. Шишкина, и устанавливаются оценки точности сеточного решения 0(N~2 In2 N), равномерные по малому параметру (в [57] получена точность О (т 4- N~2 In2 N), где N - число узлов сетки по пространству, т -шаг сетки по времени), а в работе Г. Сана, М. Стайнса [104] получена погрешность 0{N~4 In4 JV).

Среди разностных схем следует отметить схемы высокого порядка точности (см. [52], [94], [104]). В работе В.Л.Макарова, В.В.Гуминского [52] рассматриваются FD-схемы любого порядка точности (равномерного по е) для сингулярно возмущенных систем ОДУ 2-го порядка с кусочно-гладкими коэффициентами. Для того, чтобы воспользоваться этим методом, нужно знать собственные значения и собственные векторы матриц, что в n-мерном случае является достаточно сложной задачей.

Для линейных СВКЗ 2-го порядка Т. Тангом и М.Р. Траммером в [106] была предложена процедура, основанная на растяжении координат и псевдоспектральном методе Чебышева для решения в области погран-слоя, которая дает устойчивый и достаточно точный результат для очень тонких погранслоев с достаточно малым числом спектральных коллока-ционных точек.

Значительный класс методов приближенного решения СВЗ образуют проекционно-сеточные методы галеркинского типа. К этому направле-

нию относятся работы Б.М. Багаева [6], И.А. Блатова [8], [9], [12]-[14], [16]-[18], М. Стайнса, Е.О'Риордана [101]. Спектральный метод Галеркина для СКВЗ 2-го порядка рассмотрен В. Лиу и Т.Тангом в [91].

Методу конечных элементов для СВЗ посвящены работы М. Стоянови-ча [98], Е.О'Риордана, М.Стайнса, Д.Адама, А.Фелгенхауэра, Х.-Р.Руса, Г.Сана, Р.Сашш[76],[93], [97], [102], [103], С.Адьерида, М.Эйфа, Дж. Флаэрти [77], И.А. Блатова, В.В. Стрыгина [99].

3. Важное место среди проекционно-сеточных методов, удобных для приближенного решения краевых задач, занимает метод сплайн-коллока-ции. Достоинством этого метода является его относительная простота в численной реализации, для которой нужно знать только нижнюю оценку спектра на концах отрезка (см. [18, с. 190]).

Как показано в работах [10], [И], [15], [19], [31]-[35], [50], [55], [59], [89], [95], [100], [105], метод коллокации позволяет построить равномерные приближения высокого порядка точности.

Заметим, что большинство работ посвящено исследованию линейных и квазилинейных СВЗ 2-го порядка и СВЗ для уравнений в частных производных.

Линейные СВКЗ для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка рассматривались У. Ашером, Р.Вейсом, И.П. Боглаевым. В.В. Стрыгиным, И.А. Благовым, В.Н. Бобоновой, Е.В. Кузнецовой, И JO. Покорной.

В работах [80], [81], а также в работе К. Рингхофера [95] (для квазилинейных уравнений 1-го порядка) в методе коллокаций используются сплайны высокого дефекта и получаются оценки погрешности в сеточной норме, причем число узлов сетки зависит от £ и стремится к оо при £ —► 0.

В работе [10] рассматривается метод сплайн-коллокацжи для линей-

ных систем вида

еу1 = A{i)y + f(t), (0.1)

у\0) = ... = ук{0) = зЛЧ 1) = ... = у»(1) = О, (0.2)

гДеА(*),/(*) ec2[-i,i].

В [18, с. 240-297] задача (0.1)-(0.2) решается методом конечных элементов Галеркина, и получен 3-й порядок точности в С-норме. Построенная в рамках метода Галеркина схема значительно сложнее и более трудоемка в численной реализации, чем метод кол локации, построенный для этой же задачи в [10], но зато порядок сходимости на единицу выше. В работе [19] рассматриваются системы вида

х' = Ац(*,ф + А12(М)у + A(t), (0.3)

eyf = Ам (t, e)x + A»(t, e)y -f /*(«), (0.4)

Af*(-1) 4- Nz( 1) = ae. (0.5)

где ж = («•") € й', ;</ = (у*) € Rn, Ац(М), Ai2(M>, A2i(M), A22(M) -(£ x I), (I x , (n xl), (nx n) - матрицы класса C2{— 1,1] по ¿, представимые для j - 1,2 в виде

Ay = Е ek(Atj(t) 4- ЩАу(п) + ЯкА1}-(т2)), к=0

1

А21 = £ е*(А&(*) + ЩА21(п) + QäA21(T2)),

,ir=0

Лзл = ASa(i) + eA^t) + eniAaain) + £<?iA22(r2)

(n = (t + l)/e, r2 = (i - 1)/£), г = (ж,у)т, M и N - постоянные квадратные матрицы порядка (/ + ?г), вектор-функция f(t) = (/i(i), /г(*))т € С2[—1,1]. эе€ Rl+n, причем ||ге|| < С/ш2.

Предполагается, что задача (0.3)-(0.5) удовлетворяет условиям, гарантирующим существование и единственность решения (см. [40]).

Задачи (0.1) - (0.2) и (0.3) - (0.5) решаются методом коллокации на базе параболических сплайнов дефекта 1. Такой подход позволил уменьшить

размерность пространства решений, получить оценки погрешности порядка 0(1/т2) (где (4га + 1) - число узлов сетки) в С-норме и аппроксимацию производных порядка 0(1/(ет2)), причем используются оптимальные сетки бахваловского типа, число узлов которых не зависит от малого параметра е.

В [99] для приближенного решения задачи типа (0.3) - (0.5) с = Лг-у(#) и ге = 0, в окрестности погранслоя используется метод сплайн-коллокаций на базе параболических сплайнов дефекта 1 на строго неравномерной сетке, имеющий второй порядок погрешности, а в регулярной области - метод Ралеркина, имеющий третий порядок погрешности.

В работе [55] для задачи (0.1)- (0.2) на базе кубических сплайнов дефекта 1 построен метод коллокации 3-го порядка точности для линейных задач с непрерывными и разрывными коэффициентами (без погранслоев). В работах [15], [50] на базе комбинированных кубических сплайнов (склеенных кубических сплайнов дефектов 1 и 2) построен метод коллокации 4-го порядка точности для линейных СВЗ 1-го и 2-го порядков с достаточно гладкими коэффициентами без погранслоев.

Линейные СВКЗ 2-го порядка с коэффициентами, содержащими пограничные слои, рассматривались в работе И.А. Влатова [12].

Нелинейным СВКЗ условно устойчивого типа посвящены работы й. П. Воглаева [22], К. Рингхофера [95], И. А. Влатова, В.В. Влатовой, Ю.В. Рожека, В.В. Стрыгина [83].

И.П.Воглаевым в работах [20]-[22] построены разностные схемы для численного интегрирования нелинейных сингулярно возмущенных начальной задачи 1-го порядка и краевых задач первого и второго порядков, обладающие равномерной по малому параметру оценкой погрешности первого порядка в сеточной норме. В частности, в [22] им была рас-

смотрена следующая нелинейная СВКЗ условно устойчивого типа

еу' = Р(у,1) (0<*<1), (0.6)

(удовлетворяющая условиям (см. [26, с.109,110,112,119]), гарантирующим существование и единственность решения), где е - малый положительный параметр, у = (у*) £ К*\ непрерывно дифференцируема, и собственные значения матрицы ¿^ = (дР(у^)/ду) удовлетворяют неравенствам Ее Л,(у, < 0, г = 1,..., к (к < п) и Ле > 0,

ъ —— а/ 1) • « * у 7ъ+

Для этой задачи был построен численный метод, основанный на выделении некоторой главной части дифференциального оператора и применении метода точных интегральных соотношений. Результаты и идеи этой работы были использованы в третьей главе диссертации.

И.А. Блатовым в [9] для задачи (0.6), (0.2) был построен метод Галер-кина с использованием гс-мерных сплайн-функций степени г дефекта 1 и получены оценки погрешности порядка 0{НТ) в ¿оо-норме.

В [82] эта же задача была решена методом Галеркина-Петрова на адаптивных сетках, предложенных Н.С. Бахваловым, и получен 2-ой порядок точности в ¿оо-норме.

4. В настоящей работе в первых двух главах рассматривается метод сплайн-коллокации приближенного решения линейных СВКЗ с коэффициентами, содержащими особенности типа пограничного слоя, на базе параболических сплайнов дефекта 1, доказывается существование кол локационного решения, и устанавливаются равномерные по £ оценки сходимости порядка 0(1/т2) в С-норме.

В третьей главе для приближенного решения нелинейной СВКЗ первого порядка предлагается численно-аналитический метод, обладающий равномерной по малому параметру оценкой погрешности порядка 0(1/тп2). Он основан на линеаризации нелинейной задачи на начальном приближении, которое строится с использованием значений сеточной

функции, найденной по методике И.П. Воглаева (см. [22]), и дальнейшем решении полученной линейной задачи методом сплайн-коллокации.

Прежде чем переходить к изложению результатов диссертации, введем некоторые необходимые обозначения и уточним терминологию.

5. Пусть Ш - <?-мерное пространство с нормой

||®||я* = max (0.7)

1 <i<q

где х1 - i-я координата вектора х — (я?1,..., xq)T (т - знак транспонирова-

я

ния). Через jjAjjco = max ¡а{, | будем обозначать норму квадратной мат-

!<*<«; в 1

рицы А = согласованную с �