Метод коллокации четвертого порядка точности для сингулярно возмущенных краевых задач на адаптивных сетках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

со

СП СП

о- ' На правах рукописи

КУЗНЕЦОВА Елена Васильевна

МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НА АДАПТИВНЫХ СЕТКАХ

01- 01- 02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж — 1995

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В. В. Стрыпш. ■ Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.'

профессор Г. К, К5фина: доктор физико-математических наук, . профессор А.Г.Баскаков. Ведущая организация: Ростовский государственный университет.

'Защита диссертации состоится 16 мая 1995 года в 15.10 на заседании диссертационного совета К 063.48.09 по присуждению ученой степени кандшть }нзико-матеыатических каук в Воронежской государственном ушшеренгзте по адресу: 394693, г.Воронеж. Университетская пл.. 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией 1 можно ознакомиться"в библиотеке Воронежского государственного университета'. ; '

Автореферат разослан " " . О. при^ • 1995 г,'

Ученый секретарь диссертационного

совета К 063:46. 09 • : В.Г,Задорожний

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие задачи оптимального управления, Физики, механики.' химической кинетики и.др. приводят к необходимости решения сингулярно возмущенных краевых задач (СВКЗ).

Наличие погранслоев, . т.е. участков быстрого изменения решений. ведет к малоэффективное™ традиционных численных методов.

Для построения эффект зных алгоритмов ,численного решения СВКЗ важно иметь информацию о положении слоев и качественном поведении решения в шх. Изучению особенностей решений и их производных посвящены работы А.Н.Тихонова. А.Б.Васильевой. В.Ф.Бутузо-ва, М. И. Вииика, Л.А. Листерника. С. А.Ломова, А. Н.Ильина, В. А.Еси-повой, .В.Д.Лисейюша, Н.Ф.Федорска и других авторов.

V ' - . ' .

Разработке специальных численных;методов для СВКЗ посвящены работы Н. С, Бахвалова. Б.'М. Багаёва. И. П. Боглаева. Ю.П, Боглаева. 'В.Д.Лисейкина. С.Н.Скляра, Г.И.Шишкина, У.Ашэра. Р.Вайса, Д«.Адлера. • К. Сурла, Р.Вуляновича, Н.Стинеса и др. Большинство результатов относится к упрощенным модельным задачам. Наиболее активно разрабатывались разностные численные методы, имеющие, как правило. сходимость 1-го и 2-го,порядка. Наибольшее внимание уделялось скалярным СВКЗ. Существенно меньше работ посвящено векторным задачам. Методы сплайн-коллокацим 2-го порядка для- векторных СВКЗ изучались, в работах В.В.Стрыпма, И.А.Благова. Для линейной скалярной. краевой задачи.с малым параметром при второй производной В.В. Стрыгиным. И.А.Блатовым получена коллбкационная схема четвертого порядка на базе комбинированных сплайнов третьей степени.

Цель работа. Разработка и обоснование 'на базе кубических-сплайнов.на адаптивных йетках.метода сплайн-коллокации четвертого

порядка для линейных векторных СВКЗ.'

Методика исследования. В работе применяются■теория проекщг-ошшх методов, асимптотические методы, методы сплайн-функций, обыкновенных дифференциальных уравнений, линейной алгебры и функционального анализа.

Научная новизна. Изложен и обоснован метод коллокации приближенного решения линейных векторных СВКЗ. Доказываются теорема существования и единственности решения коллокационных задач й выводятся равномерные по г и т оценки в нормах пространства ССО,13.

Практическая и теоретическая ценность, разработанные методы могут быть использованы при написании программ.для решения СВКЗ с высокой степенью точности. Дано обоснование схем четвертого порядка точности.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на конференциях "Теория функций. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании" (Воронеж, 1993), "Современные проблемы механики и математической физики" (Воронеж, 1994), на ХХУ1-П Воронежской зимней математической школе (1994 г.). на научном семинаре РГУ под руководством профессора В.И.Юдовича (Рос-тоо-на-Дс)ну, 1994), на научных семинарах и конференциях Воронежского государственного университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ. В диссертацию включены результаты..порученные автором самостоятельно. Результаты работ 11-2] не вошли в текст дисертации. -

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, приложения и списка литературы, содержащего 99 наименований. Общий объем работы 160 печатных листов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1 посвящена обоснованно метола сплайн-коллокации Для

сингулярно возмущенной задачи

dx ' ' - '■

L х ■ е---A(t)x « g(tb 0<t<i. Л [0.11 . (1.4)

с dt \ : •

с краевыии условиями

*» (0)-... -X1 (0)-я1*1 ÎD--.. (1.5)

где x«fP ; 1<1<п; t- малий мраметр; g(t)«C*{0.1) - матрица nxn и вектор из Я".

Предполагаем, что для любого значения » из отрезка [0,1) собственные числа Л, <t).....X, (t) матрицы A(t) удовлетворяют соотношениям

х% (tx...<xt (t)<o<Vi»,"(t)<...<к(t). кхп: Ui(t)l>V»>o. i-i,.,..n: lo-const. , (i.e)

Пусть матрица В<Ъ) приводит A(i) к диагональному виду В*' (t)A(t)B(t)»A(t) (1.7)

где

-À(t)-dlag(X| {t).....X,(t)) (1.8)

Представив B(t> в блочном виде : *

B,,{t) B,,(t) (t> Аг(*)

где Вц и Щг - квадратные матрицы 1-го я (п-1) - го порядка, потребуем. чтобы

detB,, (0) -detBii (1) 'detBjt (0) (1 )«0 (l. id)

В работах А. Б. Васильевой, В. Ф. Бутузова, Ç. A, Ломова показано,' что оператор задачи (1.4)-(1.5) обратии м справедливы оценки.

..'■ • |Ь- '» Г ^ <. С,-' •' . •. ', JÏ IV, < С/в. , t С-С • . t •: ; С'Ч»1

B(t) -

(1.9)

*

г. 6 -

где С - некоторая не зависящая от ( константа. Решение к (1) за-

£ '

дачи (1,4»-(1.5) характеризуется наличием погранслоев экспоненциального типа вблизи точек 4-0 в

Построим разбиение Л отрезка 10.11. учитывая быстрое изнене-■ ние решения в окрестности граничных точек.' Зададим некоторое на7 туральное т. предполагая, что £<1/и. Пользуясь методикой Н.С.Бах-.валова. разделим 10.13 на Зт отрезков: ш отрезков в левом ' пог-ранслое, ш отрезков , в регулярной части, ш отрезков в правом пог-ранслое. Получим Зш+1 трчку разбиения.

Пусть, ...........

1,-тт ^(ОХ-.юЩ (МОЦ.НиЮИ) ' ККп

. ИШ 1^(1)1- <п1п {IX, (1)1,1X^,(1)0 . ■ • 1<1<п

Глубину левого погранслоя определим:, из условия , ехр(-у» Чц/с)-?5. глубину правого погранслоя - из условия ехр(¥е • (Цв'-Н/сНе5. Отсюда следует, что ' 1„=5с-Ипе!/^,

Построим возрастающую непрерывно-дифференцируемую на [0,11 функцию (1(1), где

4(t>.

а, - S/ï, ■ ехр (-)(, • t/<5t ) ), 0<t<t„: 8« + ,: tB<t<t2ll: «з б/ïg 'exp(Y2-(4-l)/(5e)). t8b<t<l.

Постоянная a, выбирается так, чтобы d(0)»0i ' постоянные аг и а3 выбираются так. чтобы d(t) 'была непрерывна.

Обозначим d(l)-3i .Функция d(t) взаимно-однозначно отображает отрезок [0,1] на отрезок [0,5). На отрезке lo.d) положим i(t,)"d4.- d(t2a)-d2, /

l-d,7m. 1-0,..;,ri:

d, + (dg-d,)-{l-m)/iii. l-=m+l.....2m:

аг + (3-аг) • (l-2m)/m. 1-2Ш+1.... ,3m. Узлы разбиения A определим как t,-d"1 (t,). Заметам, что количество точек разбиения не зависит от t. В регулярной части разбиения ваг постоянный порядка 0(1/й), в погранслоях сетка сгущается при приближении к концам отрезка {0.11.

рассмотрим на сетке А пространство комбинированных полиномиальных сплайнов третьей степени S(t.A). Пусть S(t) - сплайн степени 3 дефекта 1 наt2R»jl и эрмитов сплайн на отрезках [0. Ц] и [t2BM , 1]. размерность пространства S(t, Д) равна 5т+1.

Введем пространство • •

E={u(t) = (u' (t).....u"(t)): u1 (t)6S(t.A), (1-1.....n);

u1 (0)-.. .»и1 <0)»utM (D-.. .-u" Cl)-0)

; и пространство F'L E. Размерность пространств E и F равна n-(6mк t

Приближенное решение vm(t) в методе коллокации ищется в пространстве Е из условия удовлетворения уравнении (1.4) в некоторых заданных точках, которые опишем ниже1. • Рассмотрим следующие точки отрезка {0.11.

к=о.....зш - точки сетки; 2)tK»tK.,+1^/2: к-1.....т-2;

3) W.-Vh™.!^: 4)

5) k-m+i.....2ГО-2: (i. 19)

6) çv-^.j^ Vî^: 7) r-W,+2-hÎB,3/3,

1%э hj-t,-t1M. . •

Точки, описанные условиями 1-5 в (1.19)., назовем точками коллокации и объединим в множество (д,). J-1,....5т-1, упорядочив элемента по возрастанию. Точки и назовем точками полукол-

локации.

V* • "'".

* Г -.-»-' . 1 - ч Ф ■ о-а У а-в—- .

b.t» (i U -п V» U>i V-t Wt Ц»*

" •• ' H- : ' * V -

• > "9.....»■.»' « ... « ■. ».'—<———e-м—■—a »■

У«-« Ц» Uti Ц-г br

Задаче (1.4)-(1.5) - соответствует коллокационная задача: построить вактор-фунгаца) ye(t)£E. для которой справедливы равенства '• /'•'.'•" ' ."• .' ' " ". . .•■

т (Lt-ítJ-gít))1' ,-0 1-1....,п. J-1,....Sro-l;

> * tUj • . -

• / : (1.20) ■

<L va<t)-e(t>}V »о . í-i.____i:

t-t* .(1.21) .

(L VB(t)-g(t))*»- -a . 1-1+1,..., П. (1.22)

t Ц'- •.

где LV.r мщонента вектора (. К l-l.....п.

Соотношения (1.20}-(1.22) назовем коллокационными уравненияv ИИ. Таким образом, в точках кодлокации мы требуем удовлетворения всех уравнения систему, а в точк&х полуколлокащщ - лишь части уравнений. Точки коллокацни (%) и точки V и выбраны в ходе доказательства основной теоремы так. чтобы коллокационная матрица была обратима и' обратная ограничена равномерно по с и т. . • ' Отшен алгорит деленного решения системы (1.4}-(1.5>*: • числим константы Kt. и Ть.аададт» некоторое натуральное ш и построим вспомогательное разбиение *, отрезка [0.3}. Найден функцию «Г1«), решая уравнение d(t)-t.; и построим разбиение А отрезка (0,1) .. По разбиению & определим пространство С. Размерность С равна ПЧ601) . Выбере» в прортранстве Ж некоторый базис. это может быть,, например. ••.• Сазис. составленный из* элементов вида где,?, - единичшй ректориз й" по направлен

ним з. Sfcf,(t) - базисная функция'пространства S(t,Д). В регулярной части разбиения А функции S*.а(t) строятся на основе нормированных В-сплайнов третьей степени, в погранслоях - на основе стандартного базиса в пространстве эрмитовых сплайнов так, чтобы

ВЫПОЛНЯЛИСЬ УСЛОВИЯ. S*, s (О) -О ДЛЯ 8"1,,.,ГГ\,(1И для 3*1+1.,,..п.

Будем искать приближенное решение ve(t) в . виде 'Уш (t) »'вц, j (t).. Подставляя это в коллокадионные уравнения (1.20)-(1.22). получим систему линейных уравнений о" квадратной матрицей для определения коэффициентов разложения а*,„.

Теорема 1.1 (основная). Найдутся такие числа t0 >0. h0>0, К„>0, что при всех"16(0,t0], he(0.h0], таких..что tjlnt|<K„h, решение v0(t) коллокационной задачи существует, единственно и

Ix (t)-vn(t)iCIOi,, < с/и4 ■ .-"■.'. (1.25)

с .

где х (t) - точное решение задачи (1.4)-(1,5). с - постоянная, не е

/зависящая от с и т.

Доказательство основной теоремы 1,1, сформулированной в §1 первой главы, проводится следующим образом. В §2 по методу Ломова С. А. заменой x=B(t,t)y система (1.4) приводится к квазиднаго-нальному виду ' .

■ • , х • ■; ау , -

L у ■ t~- - Ao(t,s)y + e'* H(t.e)y = g(t) (2.2)

• t ' dt -

' где |B| < C. |8| < C, Aod.e^-Aiti+e AjiD+e' ^(D+c' Ajit). A(t)-dlag(Xl(t).....\a(t)); A, (t) (1-1. 2. 3).- диагональные мат-

Так как. исходный оператор I» и расщепленный оператор L с-ея-

заны соотношением L «= B L В"1, коллокационным равенствам (1.20)-е t

(1,£2) ставятся в соответствие равенства

{B(t)[L vn(l)-g(t)])1 "О ■ 1=1.....1; J-l.....5w

t ■ t=n3*

• ' . (2.12)

{B(t)[L va(ti-iit)])1 -0 1=1+1.....n: j=l...<,5m

t t=nj"

где vm€E=B"' E. в множество {t\j ") входят точки коллокации и точка полуколлокации С . в множество !ц3") - точки коллокации dl,} и точка полуколлокации (,''.' при этом решение исходной колло-кационной задачи vm(t) связано с решением расщепленной коллокаци-онной задачи. v„(t) соотношением vm (t) 1 (t,£) ■ vm (t). .

§3 посвящен построении но методу А.Б.Васильевой асимптотического приближения X„(t.e) точного решения х (t) задачи

Е

(1.4)-(1.5) в виде .

Хи (t.t)=)fN (t)<-nx„ (тг)+Охм(1| )= (3.13)

•k|0t*-^(t) ПкХ(тг > +Jot,l-Q,x(x1)

где oaci,_ Ti»t/c. t2 = (t-l)/t, Г^,я(tz) nl^x(i,) - Функции типа пограислЬя. т.е. П»х(-»)=0, Qkx(«)=0.

Из алгоритма построения асимптотики следуют оценки остаточных членов

lidt1 «. «сю. и

• Кроме того, • справедливы следующие оценки на отрезках бахва-ловской сетки • '

tx (t)-X|, (t,,t)j I •iC-E»*1'-', 1-0. 1; Н>5.

Е «С 10. 11

| аг • I .1 - ПхЛ

latr ' icttj.tj.j) tr

0(t8), 0<J<2m-l

. ' (3.16)

о'ш-гпнп5!!5). 2m<j<3m-i

ar • й i

-ОХыУ »—

dtr |C[t,.t,M] tr

0*((ra-J)5h5). 0<J<m-l

(3.18)

0(i5). ' m<J<3m-i

r=0.....5.

В 54 отроится приближение тонного решения комбинированными сплайнами. Приблизив сплайном- каждую из компонент вектор-функциП «к (t), Г\х(т2). QnXít,), получим приближение для Хн (t. t), Используя разложение (3.13), вид погранслойных Функций Пх„ и Ох„ и оценки (3.16), (3.18) на отрезках бахваловской сетки Д. удается построить сплайн-вектор v(t), приближающий с высокой точностью на

всем отрезке {0,1} решение я (t) задачи (1.4)-(1.5),

t . Справедливы следующие оценки на отрезке [0,1]

I*-vício.u < Ch4. II í* (t)-v(t)J| < Ch3 (4.271

£ ' * СБ ■

и в точках коллокации

|L [X (t)-y(t))| < Ch4 (4.29)

le t.

■ . 14*. t" ■ •

Тогда вектор-функция vlD-B'1 (t.t) v(t) хорошо приближает y (t> -

£

решение задачи (2.2) с оператором L и имеют место соотношения

с

1у -vhtB-Чх -v)í ( Ch4 ■ (4.31)

с с

KB W)4 <Ch*

. (4.33)

t«tij, 1=1..,., n; J»l,..., (q-1). q=5m;

K\' ...ir

'. 1*1+1......

Где W(t)-L [y -vJ. t t •

Для доказательства основной теоремы важную роль играет удач •

кьй выбор базиса в пространстве . F-L -Е. В §5 строятся базисные

t

Функции вида

K.« (t)_' (5.2)

где в, - единичный вектор по направлению э (s?l.. ...n), F»,,'(t) -скалярная Функция, имевдая носитель, равный нескольким отрезкам разбиения. /ik. „ (t) -вектор-функций, норма которой мала при малых значениях параметра с.

В §6 вводится в рассмотрение коллокационный проектор Р. Р: с [о, 1 ]*-*F, определяемый условиями

Pßtnj )=ef4j). .....5m-1 (6.2)

{B(t)Pg(t)>» «(B(t)g(t))» , 1-1-.....1 (6.3)

W . K*

(B(t)Pg(t))» (BitJgit)}» , 1-1+1.....n (6.4)

P"gPg. (6.5)

Существование и свойства проектора P зависят от разрешимости системы линейии* уравнений, матрицу коэффициентов которой обозначим 4>ввя и назовем коллокационной матрицей. Вид коллокашшнной матрицы зависит-как от выбора базиса, так и от точек коллокации. В п. 6.2 показано, что для базиса, поотрренного в {5, и точек (1.19). описанных в И. справедливо

Предложение 6.1. Найдутся такие числа t„>0. ho>0. Y„>0. что при всех t€(0,te],. betO.bol, таких, что c|ltit|<tob, коллокацион-ная матрица •lt0JI обратима, причем

Код-'! < с ■..' где С - постоянней, не зависящая от с и ш.

Кроне того,- имеет место ' ' •« .

Предложение 6;2. Найдутся такле числа t0>0. 1»<,>0, То>(>. что при всех te.{0.co]',. beto.ho] таких что e|lnc|<)°0h, коллокационный

проектор Р, определенный соотношениями (6.2)-(6.4) существует, причем .

ВР1 < С

с-с

где С- постоянная, не зависящая от ь и ш.

§7 завершает доказательство оснозной теореми 1,1. Из свойств проектору Р вытекает

Предложение 7.1. Коллокациокная задача (2.12) и уравнение I V„-РК эквивалентны.

с ' -

Следствием предложения 7.1 и обратимости оператора Ь является • .

Предложение 7.2. Решение коллокациовноП задачи существует и

единственно.

Из свойств коллокационной матрицы и оценок (4.31), (4.33) следует оценка точности I*-vJeie.il <С-!И

Отсюда н из алгоритма построения расщепленной системы вытекает справедливость теоремы 1,1.

В главе 2 рассматривается обобщенная СВКЗ ау

L г « е

- A,t (t)y - А,г <t)x -dt

(l.t)

• dx

С---Azi (t)y - A2Z (t)X » g* (t)

dt

M2(0) * N2(1) - 0 (1.2)

где i>0 - малый параметр. г-(у.х)т. y-fy1.. • .,уг)т, x-<x,.....x")T. A,,(t). A,2(t)è Ац (t), Aj2(t) - матрицы размерности (rxr). (rxn). (nxr), (nxn) класса Csto;i), g(t)-(g, (t).gg(t))4sr*e - вектор класса С5 [0.1), M и И - постоянные (r+n)x(r+n) матрицы.

Предположим, Чтр матрица Aga(t) удовлетворяет тем же условиям. что и матрица A(t) в первой главе, т.е. собственные числа X, (t).....Х„ (t) вещественны, различны и при всех t£[0,.lï справедливы неравенства

1 X, (t)<.. ,Xj (t)<o<Xi»j (t)<,. (t), l<l<n:

|Xj(t)|>Xo>0,

Кроме того, предполагаем,, что выполнены все условия, полученные в работах А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузова. В.А.Есиповой, при которых решение обобщенной■сингулярно возмущенной краевой задачи существует и единственно. При этом справедливы оценки

«y(htt)ï < CMl+t'-i (exp(~Xot/t) + exp(X0(t~l)/e)));

ГГ ' *

«x(i»(t)Î < C-(l+r»-(éxp(-X0t/t) + exp(X„(t-i)/i)));.

R"

1-0.....5.

IL -4' < С с C-C

Очевидно, что решение характеризуется наличием погранслоев экспоненциального типа.

Стропи разбиение А отрезка [0,1] как и в первой главе. Введем в рассмотрение пространство •

e={u^(u'......ur*n')|ui (t)€S(t,Â>i i-i.....r+m:ifu(0)+Nu(i)-o},

где S(t.A) - пространство комбинированных полиномиальных сплайнов третьей степени На оетке А, рассмотренное в первой главе, Размерность пространства Е равна (г+п)-5ш.... ' Объединим следующие точки отрезка 10.1) 1) г0...-.,ц,.г: 2) к-1.....ш-i;.

3) t,,.,. t,,, t2in. . W,; 4). tk-t^M+^^/S; k-l,...,m:

5) We..._.t3B: k-m.....2ih-2 '

в множество (t^1), упорядочив элементы по возрастанию и перану-

неровав их от 1 до -5га. ■";

, Рассмотрим, кроме того,, на отрезке [0,1] точки

1) ts, К-0.....Зш - точки разбиения Л; .

2) k-1..... {n-2: 3)

.4) t»*Wt+b;s»/2: 5) Çt-to.kii г/2; k-m+i,... ,2тт2:

6) Г'Л-з^Л-г^; ÎI введенные в первой главе. Точки tk и были названы точками коллокации. точки и С били названы точками.полуколлокации. Точки коллокации обьедии в множество (ц/), упорядочив, его элементы по возрастанию и перенумеровав их от 1 до 5m-1.

Метод коллокации заключается в следующем: найти такую вектор-функцию vB(t), что

■ 1. va(t)€£. т.е. компоненты вектора ve(t) являются комбинированными сплайнами на сетке Л,, и выполнены краевые условия , ИУш(0) + «Vb(D - 0: .

2; справедливы соотношения

U vB (t)-g(t))к , - О, .,.5га. к=1,..'. „г; £ ' ■ t-4j*

U. v„(t)-g(t))k „ - 0. J-l...,5m-l. k-r+'l..,'..r«-n; t t»Hje •"

{¿ У»(t)-g(t)}k » 0, k»r+l.....r+1;

£ t*4*

(H'lt)-i(t))" ■ ' .-о; к-г+1и..;.,г+а; t . "

где {•}*,- к-я компонента вектора {•}, которые назовем коллока-

. ционными уравнениями.

Точки коллокации выбираются так. чтобы матрица, возникающая при исследовании.метода, была обратима и обратная ограничена равномерно по е и m,

Для обобщенной СВКЗ имеет место

Георem г. i (основная). Найдутся такие числа со>0, lio>0. Кр>0. что при всех ее(0,t0?. Ъе(О.Ьо], таких, что с-|lm'UVh;-решение vB(t) коллокационнай задачи существует, единственно и

|vn(t)'-z (t)lcl0i l, <; C-1/rnV . где г (t) - точное решение задачи (1.1)-(1.2), с - постоянная, не

I ; ■■

зависящая от е и т.

Доказательство теоремы 2.1 проводится по схеме, аналогичной доказательству теореиы 1.1. • '

Взаключение, . пользуюсь случаем выразить глубокую благодарность моему научному руководителю профессору В. В. Стрыгину за постановку задачи и постоянное внимание к работе. ■

Основные результаты диссертации опубликованы в работа^:

1. Затини Р., Кузнецова Е.В. Метод сплайн-коллокации для линейной сингулярно возмущенной задачи Коши первого порядка на базе эрмитовых сшивов. / Деп. В ВИНИТИ 22.09.92, Н2822-В92.

2. • затк;;й Р. , Кузнецова Е.В. Метод сплайн-коллокации на база эрмитовых ensalman для скалярной линейной сингулярно возмущенной' задачи Коши.// Теория функций. Диф. уравнения в математическом моделировании. Тезисы Докл. - Воронеж, 1993. - с. 59.

3. Кузнецова Е.В. Схема 4-го порядка точности для сингулярно возмущенной краевой задачи, на базе комбинированных сплайнов. // ' XXVI Воронежская зимняя математическая школа:- Тезисы докл. - Вороне*,. 1994. - с, 64..

,4. Кузнецова Е.В. Сходимость метода сплайн-коллокации для линейной сингулярно' возмущенной краевой задачи.'//' Современные проПемы механики и/математической физики. Тезисы докл. - Ворог-неж, 1994. - с. 63. :

5. Кузнецова Е.В. Сходимость 4-го порядка метода сплайй-кол-локации для линейных сингулярно возмущенных краевых задач./ Деп. в ВИНИТИ 23,02.94. N460-B94. ' \ У^, jú-t^i-" s-

ÍJoABiicaiiO в ntsatk 3- W. Bi t Форм»! ÍP*81 l'W Суи-М! t ти-рифека*. Ротапринт. Печ, -i IC T ICO 3- 20«. Т. ЛГТУ, 398007, Ллвшк, уд í