Методы конечных элементов для сингулярных и бисингулярных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

А'

/ 6

^ На правах рукописи

РОЖЕК Юрий Борисович

МЕТОДЫ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ И БИСИНГУЛЯРНЫХ ЗАДАЧ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 1999 г.

Рабога выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Стрыгин В.В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Курина Г.А.; кандидат физико-математических наук, доцент Смагин В.В.

Ведущая организация: Сибирская аэрокосмическая академия

Защита состоится "2.2 " Al Af> 7 А_1999 года, в /О ""час.

на заседании диссертационного совета К 063.48.09 в Воронежском государственном университете по адресу: 394693, Воронеж, Университетская площадь, 1, BIT, факультет ПММ, ауд. 314.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " Д2" (ре&рь ЛЯ 1999 года.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м. наук, профессор

Задорожний В.Г.

оссиискля

УДАРСТВЕННАЯ

;ИБЛНОТЕКА

¿Зё 'О ^ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1. Актуальность темы. Работа посвящена применению методов конечпых элементов к решению сингулярно возмущенных задач. Рассматриваются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной, а именно сильно-нелинейная краевая задача в "условно-устойчивом" случае, многомерпая краевая задача с разрывными коэффициентами уравнения и задача с внутренней поворотной точкой. Численное решение таких задач привлекает большое внимание математиков. Этой теме посвящены работы Г.И.Шишкина, А.М.Ильина, И.П.Боглаева, О'Маллея, Фарреля, Вулановича, Ашера, Вейса, Рингхофера, Стайн-са, Риордана п др. Основные способы нахождения численных решений в работах этих авторов состоят в применении "подогнанных" разностных операторов и использовании адаптивных сеток, сгущающихся в области по^ранслоя. Для нахождения приближенных решений сингулярно-возмущенных уравнений разработано также много асимптотических методов в работах А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузова, С.А.Ломова, К.В. Емельянова и других авторов. Ряд авторов работают над оценками точного решения без использования асимптотических разложений. Такие результаты представлены в работах В.Д. Лисейкина, В.Е. Петрепко. О'Маллея и других.

Нелинейные краевые задачи и задачи с поворотной точкой привлекают особое внимание, так как использование асимптотических разложений в практических расчетах сталкивается с трудностями.

2. Цель работы. Целью работы является получение численного алгоритма равномерно-сходящегося по малому параметру с высоким порядком точности метода сплайн-коллокацип для краевой задачи с внутренней поворотной точкой на адаптивной сетке, перенесение метода конечных элементов Галеркпна на новый класс задач с раз-

рывными коэффициентами и исследование применимости метода Га-леркина - Петрова в сильно-нелинейных краевых задачах.

3. Методы исследования. Для построения равномерно-сходящихся по малому параметру численных методов применяется адаптивная сетка, которая строится с использованием идей Н.С.Бахвалова. Обоснование метода Галеркина ведется с использованием техники "га-леркинских проекторов", разработанной И.А.Блатовым. Обоснование метода Галеркина-Петрова проводится методами функционального анализа. Результаты работ по асимптотическим методам и аналитическому исследованию точных решений также используются для оценки погрешности аппроксимации точпого решения сплайнами на адаптивной сетке. При исследовании метода сплайн-коллокации используются некоторые факты из алгебры матриц.

4. Научная новизна работы. Метод Галеркина на базе кусочно-линейных сплайнов перенесен на новый класс задач - задач с разрывными коэффициентами. Доказано существование и единственность численного решения сильно-нелинейной краевой задачи в "условно-устойчивом" случае по методу Галеркина-Петрова на базе параболических сплайнов. Оба результата дают второй порядок точности в норме пространства Разработан модифицированный метод сплайн - колдокации третьего порядка точности в норме пространства С на базе эрмитовых кубических сплайнов для задачи с внутренней поворотной точкой. Все методы имеют равномерную по малому параметру сходимость с указанными порядками точности.

5. Практическая ценность. Предлагаемые численные методы могут быть использованы при моделировании различных физических, химических и биологических процессов. В частности при моделировании переноса заряда в полупроводниковом приборе и при оптимизации аэродинамических маневров на границе земной атмосферы.

6. Аппробация работы. Результаты работы докладывались на на-

-•J—

учной конференции Воронежского государственного универститета и на второй европейской математической конференции по численным методам и приложениям ENUMATH'97, проходившей в г. Гейдель-берг в период с 28 сентября по 3 октября 1997 г..

7. Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре работы.

Blatov I.A., Blatova V.V., Rozhek Y.B., Strygin V.V. Galerkin-Petrov Method for strongly nonlinear singularly perturbed boundary value problems on special meshes, Appl. Numer. Math., 1997, N25, pp.321-332.

Blatov LA.. Rozhek U.B., Strygin V.V. The Spline-Collocation and Galerkin's Methods for Singularly Perturbed Boundary Value Problems, Proc. of the Second European Conf. on Num. Math, and Adv. Appl., World Scient. Publ., 1998, ISBN 981-02-3546-1.

Рожек 10.Б. Метод Галеркина для сингулярно возмущенных краевых задач с разрывными коэффициентами// Труды конф. "Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства", Воронеж:ВГУ, 1998.

Рожек Ю.Б. Модифицированный метод коллокации для сингулярно возмущенной задачи с точкой поворота// Труды копф. "Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства", Воронеж :ВГУ, 1998.

8. Структура и объем работы. Работа состоит из трех частей, введения п списка литературы. Каждая часть завершается результатами численных экспериментов и апостериорно вычисленными таблицами погрешностей численных методов. Общий объем работы составляет 116 страниц. Список литературы содержит 88 источников.

-G-

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе рассматривается метод Галеркина для многомерных сингулярно возмущенных краевых задач с разрывными коэффициентами вида

(1) -e2~ + Q(x,e)u = /(х,е), х е (-1,1), 0<б«1,

(2) . «(-1) = и{1) = О,

где и = (и1, и2...., им)Т■ Q{x, е) - дважды непрерывно дифференцируемая на ((—1,0)U(0,1)) х (0, ео] по совокупности аргументов матрица размером (М х М), симметричная и положительно определенная, / — (/\...,/м)Г Кроме того, Q и / удовлетворяют следующему условию

(3) Q-^-Lem-l,^ - ^(МДМ) - 0.

В точке х = 0 функции Q и /, а также их производные имеют разрыв .первого рода.

Для построения сетки разбиения использованы идеи Н.С. Бахва-лова. Пробные и тестовые функции в методе Галеркина являются кусочно линейными стандартными сплайнами степени 1. Обозначим пространство таких функций, удовлетворяющих краевым условиям (2), через Е — Е(т, е). Галеркинская задача состоит в нахождении такой функции um(x) € Е{т, с), что для любой v £ Е(т,е) выполняется

(4) D((um - ttf, v) = е2 ((и„, - uf.;''. v') + (Q{um - uc),v) = О,

м . .

где (и, и) — H(u\i>')l,, u£ - точное решение задачи (1)-(3). 1+1

Для обоснования метода Галеркина используются техника "га-леркинских проекторов", введенная ранее Нигше, Скоттом и На-террером и техника построения "биортогональных базисов", предложенная И.А. Блатовым. Галеркинским проектором называется линейный оператор Р — Р{т, е), где т - число, определяющее число

отрезков разбиения, такой, что Рис = ит и

р2

= Р. Обоснование численного метода базируется на квазиоптимальности галеркинского проектора, т.е. выполнении следующего условия

II Р ||оо< С,

где С не зависит от т и е. Из квазиоптпмальности проектора следуют разрешимость галеркинской задачи и соответствующая оценка погрешности. Порядок оценки погрешности зависит от аппроксима-цпонных свойств пробного пространства, т.е.

|| "т - ие ¡¡ос< С т| || V - и( Цос .

В свою очередь квазиоптимальность галеркинского проектора следует из существования биортогональных базисов и соответствующих оценок этих базисов. Система базисных функций {А,(х)} С Е(т,е) называется биортогональным базисом к базиСу {В,(;г)} С Е(т,е) в смысле билинейной симметричной формы Р>((...), если

где 61} — 1 при i = ] и — 0 в остальных случаях. Решение задачи (4) можно выразить через биортогональные базисы следующим образом

Рщ = ¿Д(и£,А,-)ад.

¡=1

Основным результатом первой главы является следующая теорема.

Теорема 1. Найдутся такие числа бо > 0, Лц > 0, 70 > О, С > О, что для любых б £ (0, б0], Л 6 (О, Л] : е|1пе| < 70/г в некоторой окрестности щ существует единственное решение задачи (4) ит(х), для которого справедлива оценка

|| ит - щ Цоо^ Ст~2,

гле и( - точное решение задачи (1)-(3).

Вторая глава посвящена методу Галеркина-Петрова для сильнонелинейных краевых задач первого порядка в условно-устойчивом случае. Рассматривается следующая задача

(5) еу' = /Ы), 0<е<1, -1 < i < 1 с краевыми условиями

(6) ^ 2/2(-1) = ■ • ■ - У*(-1) = Ук+\ 1) = ■ ■ ■ = '/(1) = О

Кроме этого, накладываются дополнительные условия условно-устойч1 случая. Приведем здесь лишь два из' них.

(а) Уравнение /(у, t) = 0 имеет изолированное непрерывно дифференцируемое решение у — yo(t) Е £1 (—1 < f < 1).

(б) Матрица Ao(t) = fy(yo(t),t) имеет п собственных чисел

ч

Ai(i) < A2(i) < • ■ • < Ak(t) < 0 < Ai+1(i) < . < \n(t).

Для нахождения приближенного решения задачи (5)-(6) в качестве пробного пространства выбирается пространство квадратичных сплайнов дефекта 1 на сетке бахваловского типа, удовлетворяющих краевым условиям.

Введем линейный оператор L(y = еу' — Ao(t)y. В качестве тестового простанства берем F(m,e) = LcE{m,e).

Метод Гв.деркина-Петрова для решения задачи (5)-(б) состоит в нахождении такой ут G Е(т,е), что для любого и G F(m,e) выполняется

(".) (еУт - f{ym,t),u) = 0.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Существуют такие константы ео > 0, ?п0 >0, 7о > 0 и С > 0, что для всех е G (0, ео]. т > т0 : e/n(l/e)m < 70 задача (7)

имеет единственное решение ут € Е(гп,е). Более того, справедлива опенка

Со

II у< - Ут ¡и +е II г/( - у'т ||оо< где || . Цос, норма в пространстве С[— 1,1].

Доказательство этой теоремы основывается па доказанном в других работах факте существования и единственности решения, полученного по методу Галеркина-Петрова соответствующей линейной задачи с дифференциальным оператором Ь(, а также полученных ранее аналогичных оценок.

Третья часть посвящена модифицированному методу сплайн-коллока для краевой задачи с внутренней поворотной точкой. Приведем точную постановку задачи.

(8) Ь€а = -е2и" + а(х)и' + Ъ(х)и = к(х), х е (-1,1), 0 < с « 1,

(9) и(-1) = и(1) = 0 с дополнительными условиями

а'(х) < 0,Ь(х) > Ь9 > 0, х е [-1,1],

(10)

а'(0)<0,а(0) = 0,' * =< 1,

где 60, а не зависит от £. Предполагается, что а,Ь,И € С1!—1,1].

Для такой задачи погранслойные функции имеют вид функций параболического цилиндра.

Для нахождения равномерно по малому параметру сходящегося численного решения задачи необходимо выбрать сетку разбиения и точки коллокации. Кроме этого, предлагаются модифицированные формулы собственно метода коллокации.

В.Д. Лисейкин, В.Е. Петренко предлагают удобную для построения сетки оценку точного решения и его производных:

, к< 3,

где ис € С3_1 л]. Исходя из оценки погрешности интерполяции сплайнами 3-й степени, и оценки точного решения, целесообразно будет использовать для численного решения задачи (8)-(10) сетку с узлами

х,- = (¿/ш)3/о, г = 0,1.....т. = -х,, г = 1,2,..., т.

В качестве базиса выбираются эрмитовы сплайны степени 3 дефекта 2, удовлетворяющие краевым условиям. Такое пробное пространство мы снова обозначим Е(т). Показано, что в этом пространстве. существует такой сплайн, который алпроксимнрует точное решение с третьим порядком точности в норме пространства С[-1,1].

Точки коллокацшг будем обозначать • •, £дь где М - нату-

ральное число, линейно зависящее от т.

Основная трудность состоит в выборе точек коллокации, так как требуется решить одновременно две задачи. Во-первых, выбор точек коллокации должен давать нам обратимость коллокационной матрицы и ограниченность обратной матрицы равномерно по малому параметру и числу т. Во-вторых, в выбранных точках коллокации дифференциальный оператор Ьс должен обладать хорошими аппрок-симационными свойствами. Для того, чтобы пояснить это, введем понятие коллокационной матрицы, как матрицы линейной системы для нахождения разложения решения коллокационной задачи по базисам пробного пространства.

Пусть искомое решение по методу коллокации представимо в ви-

N

де ит(х) = £ а^В((х), где Д-(а') € Е(т,е). Коллокационная задача ¿—1

сводится к нахождению коэффициентов а,- как решение некоторой системы линейных алгебраических уравнений.

Фа = /.

В этой системе матрица Ф можно условно назвать коллокационной

матридей. Условно потому, что такая формулировка коллокацион-ной задачи является обобщенной. В самом деле, традиционно кол-локашюнная задача состоит в нахождении такой ит Е(т), что для всех ¿ = 1,2.....М

(11) Lcum(b) = h(b).

Еслп теперь N = М, то квадратная матрица Ф состоит из элементов d>ij = LrBj(^j). Но в нашем случае подобрать такие точки коллокации, чтобы Ф была обратимой и обратная матрица была равномерно ограничена по норме, не удается. Основная идея работы состоит в том, чтобы использовать большее количество точек коллокации, чем размерность пробного пространства. Тогда квадратная матрица Ф является произведением прямоугольных матриц размером N х М и М х Лг, т.е. Ф - Ф1Ф1. где Фх = (е^), ф^ = L€B,{£j), а коэффициенты равномерно ограниченной по малому параметру и параметру т матрицы Ф1 подобраны так, чтобы матрица Ф была обратима и обратная матрица была также равномерно ограничена по малому параметру и параметру т. Умножим теперь обе части систсемы (11) на матрицу Фь Вместо задачи (11) мы получаем задачу с другим оператором

(12) £гИт(ф = <(£), J — 1,2,..., N.

Наличие хороших аппроксимационпых свойств оператора Се означает, что в пробном пространстве существует такой сплайн Um(x) £ Е[т), что для него и точного решения ис(х) справедлива оценка

|£Ди<еГ) - < Ст'\ i = 1,2,.. .,iV,

где С - не завпеит от т, е. Как мы видим, это условие выполняется, если такое условие будет выполняться и для Le. Таким образом, модификация коллокационного метода состоит в модификации традиционного представления коллокационной матрицы.

Результатом третьей главы является следующая теорема. Теорема 3. Существуют такие числа то > 0, со > 0, что для любых £ 6 (0, е~о], т > то коллокационная задача (12) имеет единственное решение ит(х) £ Е{т). Причем справедлива оценка

(13) || иЕ - ит ||с< С/т\

где ы£-точное решение задачи (8)-(10).

Все теоретические результаты настоящей работы подтверждены практическими расчетами. Соответствующие таблицы погрешностей при различных значениях малого параметра и параметра разбиения приведены в конце каждой главы.

Автор работы выражает огромную благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук профессору Стрыги-ну В.В., оказавшему помощь при постановке задач и выборе методов их решения, а также Блатову И.А. за полезные обсуждения и ценные замечания.

Заказ № 151 от 17.02.1999 г. Тир. 100 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ