Метод коллокации решения сингулярно возмущенных краевых задач с помощьюкубических сплайнов минимального дефекта тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ КУБИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ МИНИМАЛЬНОГО ДЕФЕКТА '

01.01.02. - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

^ у-

(Яг'

Самара 1996

- г -

Работа выполнена в Воронежском государственном университете. Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты:доктор физико-математических наук,

Защита состоится " 28" июня 1996 года в ^ 00 час.

на заседании диссертационного совета К 113.17.02

при Самарском государственном педагогическом университете по

адресу: 4430Э0, г.Самара, ул.Антонова-Овсеенко, 26, физико-математический факультет, ауц.201

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан ".<?/" -^¿¿М 1996 года.

профессор Стрыгин В.В.

профессор Соболев В.А.;

доктор физико-математических наук,

профессор Курина Г.А.

Ведущая организация: Московский энергетический институт (технический университет)

диссертационного сов

Ученый секретарь

Носов В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие задачи прикладного анализа теории автоматического регулирования, теории квантовой {еханики, оптимального управления, газодинамики и др.) приводят ; необходимости решения сингулярно возмущенных краевых задач

СВКЗ).

Использование традиционных численных методов для решения "ВКЗ малоэффективно из-за наличия вблизи границ участков быстрого изменения решений (погранслоев). В связи с этим шачителен интерес к разработке более эффективных численных методов. Этой тематике посвящены работы Н.С.Бахвалова, З.М.Багаева, Б.С.Добронец, Ю.П.Боглаева, Г.И.Шишкина, З.Л.Макарова, В.В.Гуминского, К.Сурла, К.Шваба, М.Сури и 1р.. Наиболее активно разрабатывались разностные численные истоды и проекционно-сеточные методы галеркинского типа, имеющие, как правило, сходимость 1-го и 2-го порядка. При этом зценки точности в основном получены в сеточных нормах. Распространение таких оценок с точек сетки на сплошной промежуток [а, Ь], требующее интерполирования решения на весь промежуток, является, к сожалению, трудной задачей из-за больших значений производных в погранслоях. Подобное интерполирование оказалось удобно проводить методом <оллокаций, использовавшимся ранее У.Ашером, Р.Вайсом, "С.Рингхофером, И.А.Блатовым, В.В.Стрыгиным и др. авторами хля СВКЗ с непрерывными коэффициентами, когда особенности, порождаемые погранслоями, появляются лишь в окрестности сонцов. Случай разрывных коэффициентов обсуждался ранее в )аботах И.П.Боглаева, где использовались сетки бахваловского •ипа со сгущениями в окрестностях концов, что не позволяло

учитывать в полной мере погранслои, порождаемые разрывами коэффициентов СВКЗ во внутренних точках промежутка.

Для построения эффективных алгоритмов численного решения СВКЗ важно иметь описание погранслоев и поведение решения в них. Подобную информацию естественно искать асимптотическими методами. Асимптотическому анализу решений (и их производных) для СВКЗ посвящены работы А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузова, С.А.Ломова, АА.Воронина, Р.С.Лапушонка и других авторов. При построении численных методов сеточтого характера с коллокационным интерполированием применительно к СВКЗ с разрывными коэффициентами асимптотический анализ ранее не проводился.

Цель работы. Построение и обоснование метода коллокации третьего порядка точности для линейных векторных сингулярно воозмущенных краевых задач с разрывными коэффициентами на основе обобщенных кубических сплайнов еденичного дефекта.

Методика исследования. В работе используются теория проекционных методов, асимптотические методы, методы сплайн-функций, обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа.

Научная новизна. Доказаны существование и единственность решения СВКЗ с разрывными коэффициентами. Построен и обоснован метод коллокации для приближенного нахождения такого решения СВКЗ. Доказаны теоремы существования и единственности решения коллокационных задач и установлены

(где т - число узлов разбиения).

Практическая и теоретическая значимость. Разработанные методы могут быть использованы при написании программ для

равномерные по £ и т оценки сходимости порядка

решения СВКЗ с высокой степенью точности. Дано обоснование схем третьего порядка точности.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Воронежских весенних математических школах (1993 г., 1994 г., 1995 г.), на семинаре проф. В.В.Стрыгина, на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений Института математики при ВГУ, на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава ВГПУ.

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [1-4]. Из совместных работ [1-2] в диссертацию включены результаты, полученные автором самостоятельно.

Объем и структура работы. Диссертация содержит 133 страницы текста и состоит из введения и трех глав, разбитых на 13 параграфов. Библиографический список литературы содержит 76 наименований. Нумерация параграфов сквозная.

Используемая ниже нумерация формул автономна от диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе рассматривается метод коллокации для построения приближенного решения сингулярно возмущенной задачи ( —1 < {_< 1 )

I х = е—-А(1)х = Ш). х = Сх1.....хп)еКп, (1)

£ А

с краевыми условиями

х1(-\) = ..= хк(-\) = О,

X

(V =...= хг(\) = о.

(2)

где £ > 0 - малый параметр; матрица А(1) и вектор-функция

/СО класса С3 [-1,1]. Предполагается, что при каждом I спектр А(1) состоит из вещественных различных ненулевых чисел Л I (I), I = 1,..п, причем

Л,(О <...< лк(0 < О < Лк+1(0 <...< лп(0 (3)

Пусть В = В(1) - такая матрица, что

ВаАВ = <йа?{л,.....Лп} (4)

(в^ ва^

, где Вп - (к х к) -

В 1г Вгг)

матрица ( к - число краевых условий в точке / = —1 ). Предположим, что

del Вп (-1) dct В22 (-1) del Ви (\) del Вп (\) Ф О

(5)

В этих условиях согласно результатов А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузова, С.А.Ломова при малых s задача (1), (2) однозначно разрешима, причем в окрестностях граничных точек / = —1, t — 1 ее решение xE(t) имеет экспоненциальные погранслои. Поэтому для численного отыскания х£ (t) целесообразно разбиение отрезка [—1, 1] выбирать сгущающимся вблизи граничных точек. В этом плане наиболее удобна методика Н.С.Бахвалова. Опишем используемое нами разбиение.

Положим Л0 = min| Л-\. Пусть а = 1--1пе\. Определим

вспомогательную функцию g(t) равенством

g(0 =

-а +

Лс

£ -

я,

ехр I

Лп -1 - I

а —

Л,

s +

Л,

■ехр

/1г

t - 1

/ е [-1 -а]

i € [—а, а] (6) t € [а, 1]

Эта функция непрерывно дифференциируема, монотонно возрастает и отображает отрезок [—1, 1] в отрезок [—А, Л], где 3

А - а Л---(1 — £ ). С помощью §(1) удобно описывать

£

построение сетки на отрезке [—1, 1], определяющей коллокационные сплайны. Наряду с §(1) при этом будет использоваться следующее вспомогательное разбиение А г отрезка

[—А, А]. Определим сначала А т на отрезке [О, Л]. Положим

а ■

г = а; Т-А = Г------, I = т,т- 1.....1;

т - 1-1

т

А (7)

А — а

Т; = Н--, г = т + \,т + 2.....2

т.

т

Разбиение АТ распространим по симметрии на отрезок [— >1,0]. Пусть в "1 (т) - функция, обратная к ■ Положим

= я"1^7;/)' ' = —2т.....2т. Набор /'¡./Д™ будем считать

разбиением /! = /!('£■, т^) отрезка [~~1>1] (точки ^ являются узлами разбиения). Если на отрезке [-а, а] разбиение А равномерное, то на отрезке [— 1, — а] и на отрезке [а, 1], т.е. вблизи точек -1 и 1 оно сгущается. Очевидно, колличество точек разбиения А не зависит от £.

Пусть £(¿1,3,1) - пространство кубических сплайнов дефекта 1 разбиении А . Введем £ = Е(£, т) - пространство вектор-

пункций и = (и (¡).....ип(1)), у каждой из которых все

<оординаты принадлежат 3,1) и удовлетворяют краевым

условиям

и\~\) = .= иЬ(-\) = о,

+ =...= ип(\) = 0.

Согласно методу коллокации приближенное решение ит (I) ищется в пространстве Е исходя из условия выполнения уравнения (1) в системе заданных точек, называемых точками коллокации. Эта система строится с помощью сетки А.

Пусть 10 - некоторое достаточно большое натуральное число, не зависящее от и т ( г0 < т ). Точки коллокации

определим равенствами

£ = г = 0,.., т — 1; _ 1

<3т = 2 ^'т-1 + 'т);

= /м, I = т + 1,.., т + г0 + 3; = 1

т + ¡д + 4 т + + Ъ'9

л1 + 10-+5 + 3*

1

6 = 2^-2 + Ъ-О- 1 = т + 'о + 6,..,2т + 2;

ГДе = кт + (кш ~ кш-О- На отрезке [/_2т_г. 0] точки

коллокации I = —2т — 2.....—1 определим симметричным

образом. Тем самым в зонах глубокого погранслоя точки коллокации {} мы выбираем, в основном, в серединах элементарных отрезков, а вне этих зон - в узлах разбиения. Точки коллокации выбраны специальным образом - так,

чтобы коллокационная матрица имела строгое диагональное преобладание. При этом используются точки полуколлокации £ , ! 6 и /2 , где - {-(т + ¡0 + 2), т + 2, т + 3},

12 = {—(т + 3),— (т + 2), т + 10 +2}, т.е. точки, в которых рассматриваются уравнения системы (1) не при всех 5 = 1 ,...,п, а при определенных значениях 5 (при части значений 5). Метод

<оллокации решения краевой задачи (1), (2) сводится таким эбразом к отысканию такой вектор-функции и = um(t) е Е , что

(Leu - fXZ-,) = 0, ] =-2т-1.....2m + 2; j £ U I2

KL.u-fXZjr = 0 (8)

Последние равенства должны выполняться при V = 1,.., k, если i е 1Х, а так же при V = k + 1,.. ,п, если i £ ¡2- Здесь и далее {z}v обозначает V - ую координату вектора z.

Центральный результат главы 1 - теорема о точности 1риближения решения коллокационной задачи (8) к решению xe(t) исходной краевой задачи (1), (2).

Теорема 1.1. Найдутся такие числа С >0, £0 >0, т0 >0, у0 >0, что для всех ее (0, £0], т > т0 коллокационная

У

задача (8) при s\ln s\ « —— имеет единственное решение

т

ujt). При этом

к (0 - хЛ011с[-и]+(о -х* (о:с| u; ^ ^з

\де константа С не зависит от Sum.

В целом глава 1 содержит результаты предварительного сарактера, хотя они имеют и самостоятельное значение. Эти результаты, посвященные случаю непрерывных соэффициентоз, являются продолжением исследований 4.А.Блатова, В.В.Стрыгина и основаны на использовании фобных пространств более сложной структуры. Результаты лавы 1 используются далее в главе 3 для задач с разрывными ¡оэффициентами.

Глава 2 посвящена построению асимптотического разложения >ешения задачи (а < / < Ь)

L Z = £-- A(t)z = f(i), zsRn (9)

dt

гм(Ъ) =...= гп(Ь) = 0.

Матрица А(1) и вектор-функция {(I) могут быть разрывными в точке / = £ (а < % < Ь). Под решением уравнения (9) в целом на отрезке [а, Ь] мы будем понимать функцию ге(1) — г(1), непрерывную на всем [а, Ь], удовлетворяющую уравнению (9) как слева от так и справа от При такой постановке вопрос о существовании производной в точке / = Е, снимается, но помимо условий типа (3)-(5) возникает дополнительное условие в точке / = £ : собственные векторы еш(1),.., еп(1) матрицы А(1) при / € [а, и собственные векторы .. ,Кк0) матрицы А(()

при I € должны быть линейно независимыми в точке / = £,. Явления пограничного слоя теперь наблюдаются не только в окрестностях концов (точек а и Ь ), где заданы краевые условия, но и в окрестности точки так как решение ге(1) уравнения (9) при £ > 0 должно быть непрерывно по / в точке / = а решение предельного уравнения (при £ = 0 ) должно иметь, вообще говоря, разрыв в этой точке.

Обозначим через Ь] пространство непрерывных пар

функций / = , /г) на [а, ^ Ь]. Положим

УОЯсЛаЬ] = таХ\ ШР \Ъ(0\' ЫР Ш Г

Использование методов А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузова в сочетании с методами С.А.Аомова позволило доказать существование и единственность решения задачи (9), (10) и осуществить построение его асимптотического разложения.

Теорема 6.1. Существует £0 > 0 такое, что при 0 < £ < £0 для любой еС£[а,Ь] задача (9), (10) имеет

единственное решение гЕ(1), непрерывное по I в точке \ = причем

\ШС[..Ь] * СШс([,Ь] где константа С не зависит от £.

Теорема 6.2. Найдутся постоянные £0 > 0 и С >0 такие, что при 0 < £ < £0 существует единственное решение задачи (9), (10), непрерывное по / на всем [а, Ь]. При этом

СО

СО;

Я"

Я"

< С

< С

1 + /Г

1 + £

ехр\ Л0 -) + ехр[ Л0 1 **

ехр\ Л0

£ ■

+ ехр\ Л0

£ /У \

/ - ь

, /б/,; , г е/ ;

Сздесь СО ~ 1 -ая производная ге по / ), I = 1, 2, 3, 4.

Глава 3 является центральной. В ней рассматривается метод коллокации построения приближенного решения ит(1) задачи (9), (10) для случая разрывных коэффициентов.

Разбиение А отрезка [а, ¿>] строится аналогично рассмотренному в главе 1. Но при этом разбиение А сгущается

не только вблизи граничных точек а и Ъ, но и в окрестности точки * = ■

Обозначим через 5 (А, ЗА) пространство обобщенных кубических сплайнов, состоящих из кубических сплайнов дефекта 1 на каждом из промежутков [а, с], Ь], непрерывно склеенных в точке 1-Е,. Введем пространство

Е = {и = (их0), -,ип0)): и'(0 е Б* (АЗА): и'Са) =...= и (а) = ик+х(Ъ) =...= ип(Ь) = 0}

Точки {%■} коллокации в зонах глубокого погранслоя мы берем

/

V

В основном в серединах частичных отрезков, а вне этих зон - в узлах разбиения. Точками полуколлокации назовем точки с индексами I е /1 и /2, где

= { т — г0 — 2, Зт 4- 2, Зт 4- 3, 5т — г0 + 3, 7т + 7, 7т + 8

/2 = { т — 3, т - 2, Зт + г0 + 2, 5т + 2, 5т + 3, 7т + 10 + 7

Метод коллокации решения задачи (9), (10) состоит в отыскании такой функции и = ит (I) е Е, что

(Ьеи - {)(%■) = 0. ) = -2,..,8т + 7; / £ и /2

(И)

{(Ьеи - /ХЫГ = 0

Последние равенства должны выполняться при V = 1,.., к, если I Е а так же при V = & + 1,..,п, если г е /2.

Таким образом, в точках коллокации мы требуем удовлетворения всех уравнений системы, а в точках полуколлокации - лишь части уравнений.

Основная теорема. Найдутся такие числа С >0, £0 > 0,

т0 >0, у > 0, что при всех £ е (0, £0], т > т0 задача (11) у

меет при « — единственное решение ит(1). При этом

т

h(0-um(t)\c[ab]<^

4 (О ~ < О)

т

С

с«М1 " -3

<

т

где константа С не зависит от Sum.

В заключении третьей главы приводятся результаты численного эксперимента по применению построенного метода. Была взята задача (9), (10) при R" = R2, [а, Ь]=[-!, 1] с разрывной в точке % = 0 матрицей

[A,, t е(0,1] '

Г-1 0^ (-3

А, = , А =

1 ч0 ь ' г ч0 4/

В качестве / взят вектор

/ал

/ = . Алгоритм численного решения этой задачи основан на

ч4У

соображениях главы 3: по £ и т строится сетка А по формулам, аналогичным (6), (7) со сгущениями в концах / = —1, 1 = 1 и в точке разрыва с, = 0. На этой сетке с помощью В-сплайнов степени 3 дефекта 1 строится решение коллокационной задачи (11), единственное по основной теореме главы 3. При т=15 проведены расчеты для случаев £ = 0,001 и £ = 0,0001, показавшие удовлетворительные оценки точности, согласуемые с основной теоремой.

В заключении, пользуясь возможностью, выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору В.В.Стрыгину за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а также И.А.Блатову за ряд важных советов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Стрыгин В.В., Покорная И.Ю. О внутренних пограничных слоях для уравнений с разрывными коэффициентами // Тез. докл. школы "Понтрягинские чтения IV"- Воронеж.-

1993.- С.178.

2. Стрыгин В.В., Блатов И.А, Покорная И.Ю. Метод коллокации решения сингулярно возмущенных краевых задач с помощью кубических сплайнов // Украинский мат. журнал.-

1994.- т.46, № 4.- С.411-417.

3. Покорная И.Ю. О сходимости асимптотического ряда для

о о / / Т"

одной разрывной задачи / / 1 ез. докл. школы Современные

проблемы механики и математической физики"- Воронеж.- 1994.-

С.78.

4. Покорная И.Ю. О методе сплайн коллокации для одной разрывной краевой задачи / / Тез. докл. школы "Соврем, методы теории функц. и смежные пробл. прикл. мат. и мех."- Воронеж.-

1995- С.188. Л

■Заказ 2:2-3от 2_1.£. /996 г. Тир. Щ0_.Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ.