Разностные схемы для нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром в ограниченных и неограниченных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Российская Академия наук Сибирское отделение Институт вычислительной математики и математической геофизики

На правах рукописи

Р г Б Он

2 о ь-лг ш

Задорин Александр Иванович

Разностные схемы для нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром в ограниченных и неограниченных областях

специальность 01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 2000

Работа выполнена в Омском филиале Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Официальные оппоненты:

доктор физшсо - математических наук профессор Ильин В.П.

доктор физшсо - математических наук Шишкин Г.И.

доктор физшсо - математических наук профессор Багаев Б.М.

Ведущая организация: Институт Вычислительного

моделирования СО РАН

Защита состоится 2000 г. в /Л час. на заседании

диссертационного совета Д 002.10.01 в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, проспект академика Лаврентьева 6, Институт вычислительной математики и математической геофизики.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН.

Автореферат разослан " /6

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор / Ю.И. Кузнецов

Актуальность. При математическом моделировании ряда физических явлений возникают краевые задачи для уравнений второго порядка с малыми параметрами при старших производных. Область, для которой ставится краевая задача, может быть неограниченной. В связи с этим возникает проблема численного решения краевых задач для уравнений с малым параметром при старших производных в неограниченных областях.

Решения краевых задач для уравнений с малыми параметрами при старших производных могут содержать пограничные и внутренние переходные слои, где градиенты решения велики. Первоначально для решения таких задач развивались асимптотические методы. Основополо-гающими являются работы А.Н.Тихонова, А.Б.Васильевой, С.А. Ломова, В.Б. Бутузова, Л.й. Люстерника, М.И. Виттттгка, А.М.Ильина.

При применении вычислительной техники для решения краевых задач используются конечно - разностные схемы. Традиционные разностные схемы в общем случае теряют свойство сходимости при решении сингулярно возмущенных краевых задач. Поэтому возникла необходимость в разработке разностных схем, обладающих свойством сходимости, равномерной относительно малого параметра. Можно выделить следующие подходы, применяемые при разработке численных методов для сингулярно возмущенных задач: 1)сгущение сеток в пограничных слоях; 2)подгонка схем к погранслойной составляющей решения; 3)использова-ние интегральных соотношений и усеченных схем; 4)применение метода Галеркина с выделением особенностей; 5) использование сплайнов и метода коллокации.

К первому подходу относятся работы Н.С. Бахвалова, В.Д. Лисейки-на, Г.Й. Шишкина, В.Б. Андреева, Р. Вулановича и других авторов. В работе Н.С. Бахвалова функция, распределяющая узлы сетки, строится таким образом, чтобы погрешность аппроксимации по узлам сетки в пограничных слоях была одинаковой, а вне пограничного слоя сетка принимается равномерной. Показано, что на такой сетке достигается второй порядок точности по количеству узлов сетки. В работах В.Д. Лисейкина предлагается осуществить замену переменной таким образом, чтобы производные до некоторого порядка стали равномерно ограничены. В исходных переменных это дает сгущающуюся сетку. Г.И. Шишкиным определен подход к построению разностных сеток, которые равномерны внутри

пограничного слоя и вне пограничного слоя. В работах Г.И. Шишкина, В.Б. Андреева, И.А. Савина, Н.В. Коптевой показано, что на такой сетке целый ряд разностных схем (включая немонотонную схему центральных разностей) обладает свойством равномерной сходимости, причем чаще с порядком точности 0(2V_2laiV). Для уравнений в частных производных значимость данного подхода усиливается в связи с тем, что в случае параболического пограничного слоя, как показал Г.И. Шишкин, не существует равномерно сходящейся схемы подгонки на равномерной сетке.

Ко второму подходу относятся работы A.M. Ильина, Г.И. Шишкина, К.В. Емельянова, Д. Миллера, Р. Келлога и других авторов. Основная идея данного подхода - выделить погранслойную составляющую решения и строить разностную схему исходя из того, чтобы на погранслойной функции схема была точной. Преимущество данного подхода в том, что не требуется ограничений на шаги сетки, недостаток - в том, что функция пограничного слоя должна иметь явный вид и схема к этой функции должна быть подогнана, что не во всех случаях возможно.

Третий подход основан на точной схеме Самарского и интегральном тождестве Марчука. Усечение точной схемы приводит к схеме повышенного порядка точности. На основании этого подхода М.В. Алексеевошм, К.В. Емельяновым, Г.И. Шишкиным строились схемы повышенного порядка точности. Тождество Марчука использовалось в работах В.П. Га-евого и А.Ю. Сечина. В работах И.П. Боглаева равномерно сходящиеся схемы строятся на основе интегральных соотношений. Для этого выделяется главная часть дифференциального оператора, которая обратима в явном виде.

К четвертому подходу относятся работы В.В. Шайдурова, Б.М. Ба-гаева, И.А. Блатова, JI. Тобиска, Ч. Руз, М. Стайнис и других авторов. В работах Б. М. Багаева предлагается функцию пограничного слоя включить в базис для решения задачи методом Галеркина или Ритца. Это приводит к равномерной сходимости метода в энергетической и равномерной нормах. Если функцию погранслоя не удается выписать в явном виде, то предлагается выделить краевую задачу для такой функции и решить ее переходом к " медленным переменным". Метод Галеркина используется и на сгущающихся сетках.

Пятый подход используется в работах И.А. Блатова и В.В. Стрыгина, К. Серла и других авторов. В методе коллокации используется экспонен-

циальный сплайн или сгущающаяся сетка, что приводит к равномерной по параметру точности численного метода.

Теперь остановимся на подходах к переносу краевых условий из бесконечности на границу ограниченной области. В ряде работ разностные схемы строятся в неограниченной области, например, в полосе. Такие схемы невозможно использовать для компьютерных вычислений. Чтобы разностная схема содержала конечное число узлов, можно либо для дифференциальной задачи поставить граничное условие на некоторой искусственной границе, либо редуцировать разностную схему на сетке с бесконечным числом узлов к схеме с конечным числом узлов.

Идея построения решений краевых задач для дифференциальных уравнений путем переноса граничных условий восходит к работам B.C. Владимирова и И.М. Гельфанда, в которых для решения краевой задачи для уравнения второго порядка на конечном интервале используется классический вариант метода дифференциальной прогонки. При таком подходе вместо решения исходной задачи необходимо решать три задачи Коши для уравнений первого порядка, которые проще исходной.

Абрамов A.A. в 1961г. предложил переносить граничные условия из особой точки в близкую точку с помощью выделения всего многообразия решений, удовлетворяющих заданному условию, при рассмотрении системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка с регулярной особенностью. Эта идея была развита в работах Е.С. Биргер и Н.Б. Ляликовой применительно к краевым задачам для систем линейных ОДУ с заданным условием на бесконечности. В работах Н.Б. Конюховой рассматриваются нелинейные ОДУ с иррегулярной особенностью, выделяются и исследуются устойчивые многообразия решений. Для выделения устойчивого многообразия исследуется задача для системы квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка. В работах Н.Б. Конюховой и Т.В. Пак исследуются сингулярные задачи Коши с большим параметром для систем ОДУ. Рассматриваются асимптотические разложения но параметру для нахождения решения этих задач, при достаточно больших значениях аргумента, ч, учетом существования и единственности решения. Для систем ОДУ первого и второго порядка, рассматриваемых на полубесконечном интервале, показано, как определить сингулярную задачу Коши для выделения устойчивого многообразия, соответствующего допустимому граничному

условию на бесконечности.

В работах К. Балла рассматриваются разностные уравнения с полубесконечным числом узлов. Исследуется асимптотическое поведение решения скалярных и матричных разностных уравнений Риккати. Доказывается, что предельное условие на решение разностного уравнения второго порядка при стремлении индекса к бесконечности эквивалентно некоторому разностному уравнению первого порядка при достаточно больших значениях индекса.

Цель работы. Целью работы является разработка численного метода решения краевых задач для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старших производных в неограниченной области. Основные задачи работы:

- разработка и исследование разностных схем для краевых задач с учетом пограничных слоев в решении; схемы могут строиться либо в ограниченной области, либо в исходной неограниченной области, для этого случая необходимо разработать метод редукции разностных схем к схемам на сетках с конечным числом узлов;

- разработка метода редукции краевых задач для уравнений с малым параметром при старших производных с неограниченной области (прямой или полосы) к ограниченной с использованием известных подходов.

- исследование влияния погрешностей переноса краевого условия из бесконечности на решение редуцированных задач и на решение применяемых разностных схем;

- применение разрабатываемого метода к численному моделированию распространения примесей в атмосфере.

Научная новизна.

1. Предложен метод построения разностных схем для нелинейных сингулярно возмущенных уравнений второго порядка на конечном интервале. Метод основан на приближении коэффициентов дифференциальной задачи и получении точных разностных соотношений для возмущенной задачи. В случае линейной задачи такой подход применялся ранее. На основе данного метода построены разностные схемы для ряда нелинейных задач и обоснована их равномерная сходимость.

2. Построены разностные схемы для двумерных линейных и нелинейных эллиптических уравнений в полосе и в прямоугольной области:

- Для нелинейного уравнения с регулярным экспоненциальным пограничным слоем в случае прямоугольной области и краевых условий третьего рода на равномерной сетке построена и обоснована разностная схема.

- Рассмотрено линейное уравнение с экспоненциальными параболическими погранслоями в полубесконечной полосе. Предложен способ редукции задачи к прямоугольной области. Для редуцированной задачи на сгущающейся в погранслоях сетке построена схема второго порядка точности по координатному направлению вдоль слоя. В продольном направлении исследована схема Самарского в случае краевых условий третьего рода. Обоснована разностная схема для нелинейного уравнения с экспоненциальными параболическими слоями в прямоугольной области.

- Построена разностная схема первого порядка точности для линейного уравнения со степенным пограничным слоем в полосе; предложен способ редукции схемы к конечному числу узлов.

3. Исследован численный метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной на полубесконечном интервале сведением к краевой задаче для конечного интервала или к начальной задаче для уравнения первого порядка. Рассмотрены линейные уравнения, нелинейное автономное уравнение, автономная система нелинейных уравнений. При переносе краевых условий из бесконечности используется известный подход, основанный на выделении устойчивых многообразий. Вспомогательные задачи Коши решаются на основе асимптотических разложений по малому параметру. Проведен анализ влияния погрешностей, обусловленных переносом краевого условия, на решение редуцированных к конечному интервалу задач и на решение применяемых разностных схем; разностные схемы исследованы на равномерную сходимость по параметру. Предложен метод решения краевых задач для уравнений с точечным источником на бесконечном интервале.

4. Разработан метод редукции разностных схем с бесконечным числом узлов к схемам на сетке с конечным числом узлов. Для этого введено ж исследовано устойчивое многообразие решений для разностного уравнения. В случае, когда исходная разностная схема вырождается, для выделения устойчивого многообразия предлагается использовать асимптотические разложения. Рассмотрены трехточечные скалярные линейные

и нелинейные разностные схемы, разностная схема для параболического уравнения, трехточечная векторная разностная схема, соответствующая сеточной аппроксимации краевой задачи для эллиптического уравнения в полубесконечной полосе.

Практическая значимость. При математическом моделировании различных физических явлений появляются краевые задачи для уравнений с малым параметром при старших производных. Краевые условия в таких задачах могут ставиться для неограниченной области. Важно корректно редуцировать краевые условия к ограниченной области, определить разностную схему для редуцированной задачи с учетом погранслойного поведения решения. Решению этих вопросов посвящено диссертационное исследование.

Результаты исследований применяются при проведении совместной хоздоговорной работы между Институтом информационных технологий и прикладной математики СО РАН (новое название ОФИМ СО РАН) и Омским областным комитетом природы. В соответствии с этим договором в ИИТПМ СО РАН коллективом; авторов, включая автора диссертации, с 1991 года создается пакет программ по моделированию переноса примесей в атмосфере Омского региона и поиску источников загрязнений. Пакет программ внедрен в Омском областном комитете природы.

Результаты исследований применяются и в интеграционной программе СО РАН " Исследование и моделирование процессов переноса и трансформации примесей в атмосфере Сибири."

Апробация результатов. Отдельные результаты работы докладывались:

на семинарах ИИТПМ СО РАН и кафедры математического моделирования Омского государственного университета;

на 4 Международной конференции по пограничным и внутренним слоям: вычислительные и асимптотические методы, Новосибирск, 1986г.;

на Всесоюзной конференции " Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики " ,Новосибирск, 1987;

на Всесоюзном научном совещании " Методы малого параметра " под руководством академика А.Н. Тихонова, п. Эльбрус, 1987;

на Всесоюзной школе " Конструирование алгоритмов и решение задач математической физики", Кемерово, ИПМ АН СССР, КемГУ, 1988г.; на Всесоюзной конференции " Вычислительные методы и математи-

чсскос моделирование, Абакан, КрГУ, 1989г.;

на Всесоюзной школе по вычислительным методам, г. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1991г.;

на 1 всесоюзной конференции " Математическое моделирование физико- химических процессов в энергетических установках", г. Казань, КАИ, ИТПМ СО АН СССР, 1991г. ;

на Всесоюзной конференции " Асимптотические методы теории сингулярно возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач ", Бишкек, 1991г.;

на 3 Всесоюзной школе " Численные методы механики сплошной среды ", Абрау- Дюрсо, 1991, ВЦ СО АН СССР, г. Красноярск, Ростовский университет 1991г.;

на 2 Всероссийской конференции по математическим проблемам экологии, Новосибирск, ИМ СО РАН, 1994г.;

на международной конференции " Математические модели и численные методы механики сплошных сред", Новосибирск, ИВТ СО РАН, 1996г.;

на международной конференции " Математические модели и методы их исследования ", ИВТ СО РАН, ВЦ СО РАН, г. Красноярск, 1997г.;

на международной конференции " Аналитические и вычислительные методы для задач с преобладающей конвекцией и для сингулярно возмущенных задач", Болгария, Лозенед, университет в Руссе, 1998г. Диссертация в полном объеме обсуждалась:

на объединенном семинаре ИИТПМ СО РАН, Омск, 1999, на семинаре ИВМ СО РАН, Красноярск, 1999, на семинаре " Методы вычислительной математики " ИВМ и МГ СО РАН, Новосибирск, 1999, на семинаре ИММ Уральского отделения РАН, Екатеринбург, 1999, на объединенном семинаре по вычислительной математике ИВМ и МГ СО РАН, Новосибирск, 1999.

Публикации результатов. По теме диссертации опубликовано 54 работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы (201 наименование ). Материал изложен на 325 страницах текста, включая 31 таблицу.

Основные обозначения. Под С и С,- понимаются положительные постоянные, не зависящие от параметра е и шахов разностной сетки. Определим используемые нормы :

• для функции непрерывного аргумента д(х) интервала I II дЦ =тах1ф)1,хе!„

• для вектор-функции из N компонент: ||я||лг = ^тах^ тах |д,(х)|,

• для вектора q: = тах|д,|,

• для сеточной вектор-функции qЛ: Пч'1 ¡|лгп — тах тах (ж)).

Предполагаем, что норма матрицы согласована с векторной нормой. Под неравенством векторов подразумевается покомпонентное неравенство.

Содержание диссертации. В первой главе рассматриваются краевые задачи для нелинейных обыкновенных сингулярно возмущенных уравнений второго порядка и систем уравнений на конечном интервале. Предложен метод построения равномерно сходящихся разностных схем для таких задач. Метод основан на приближении коэффициентов дифференциального уравнения на каждом сеточном интервале таким образом, чтобы для дифференциального уравнения с возмущенными коэффициентами точное решение имело явный вид. Тогда согласование производных соседних интервалов приводит к конечно-разностной схеме. Если коэффициенты заменены на кусочно - постоянные, то это приводит к разностной схеме первого порядка точности, равномерной по малому параметру. Замена коэффициентов на кусочно- линейные увеличивает трудности в представлении точного решения, но приводит к схеме второго порядка точности. Преимущество данного подхода состоит в том, что при построении схемы не требуется явный вид функции пограничного слоя, который затруднительно получить для нелинейных уравнений. В случае линейной задачи такой подход применялся, например, в работах А.Ю. Сечина. В §1 рассматривается краевая задача:

Теи = —ей" 4- а(а:)ы' + ¡(х, и) = О, и(0) = А, Кси = щ{1) + е6и'( 1) = В.

(1) (2)

Предполагается, что а в Сх[0,1], / 6 С1 ([0,1] X Я),

а(х) > о > 0, 6 > 0,7? > 0, е > 0, > -/?, р > 0, а2 - 4/?е > 0. (3)

При сделанных ограничениях решение задачи (1)-(2) существует и единственно. На произвольной неравномерной сетке П строится разностная схема для задачи (1)-(2). Пусть ин - решение построенной схемы. Теорема 1. Для некоторой постоянной С

\\{и]а-иь\\<Сех-р{2Ра-1)}1.

В §2 рассматривается краевая задача для системы нелинейных уравнений:

—ей" + а(х)и' + Р(», и) = 0, и(0) = А, Д£и = <5и(1) + ери'(1) = В, (4)

где а(х),6,/3 - диагональные квадратные матрицы порядка N с диагональными элементами, соответственно, а;(г),<5;,/?;, г = 1,2,..., IV, А.В - векторы из N компонент, е -числовой параметр, е > 0, Р - заданная вектор-функция. Предполагается, что при всех i а,- 6 С1 [0,1], Я € СЧр), 1] х Я),

а;(г) > а,- > 0, 6{ > 0, Д > 0,6, + Д >0, а0 = щта;.

Рассматривается два вида ограничений на якобиан С = Р'и :

Сй >71>0,Е К?у | < (1 - *)<?«, о < (7 < 1, (5)

£ > -17, Ч > 0,ао - Ащ > 7 > 0, вц < 0 ,зф г. (6)

я= 1

Доказывается, что решение задачи (4) при ограничениях (5) пли (б) существует и единственно. Ограничения (5) соответствуют условиям строгого диагонального преобладания, особенность ограничений (б) в неположительности недиагональных элементов, что соответствует, например, моделированию химических реакций. Вводится вспомогательная линейная краевая задача:

Ьи = -ей" + а(х)и' + в(г)и = Р(®),и(0) = А, й£и = В, (7)

где матрица а(я) определена выше, С (я)- матрица порядка N х N. Лемма 1. Пусть выполнены условия (5). Тогда

тах||и,-|| < » (7

тах

+ (| А || + тах

Вг

<5, + о'.-А

В случае выполнения условий (6) неочевидно, что для оператора Ь справедлив принцип максимума. Получено достаточное условие для выполнения принципа максимума.

Лемма 2. Пусть в (7) (я) < 0 при г ^ Пусть найдется вектор-функция ф(х) с компонентами из С2[0,1], такая,что

ф{х) > 0, Ъф > 0,а: £ й£ф > 0.

Тогда, если для некоторой вектор-функции с компонентами из

С2[0,1]

ф(0) > > 0,ЬФ(а;) > 0,® 6 I, (8)

то Ф(ж) > 0, х € I.

Доказано, что при выполнении условий (6) выполнятся посылки леммы 2 и принцип максимума для оператора Ь имеет место.

Для задачи (4) на произвольной неравномерной сетке строится разностная схема, пусть и'1 - решение этой схемы.

Теорема 2. Пусть для С(аг,,?) = ^(г, й) выполнено условие (5) или (6). Тогда

ПМп - иЦм < сн.

Отдельно рассмотрен случай краевого условия и'(1) = 0, когда первая производная решения ограничена, а остальные производные неограниченно растут около границы с уменьшением е. Целесообразно исследовать схему направленных разностей на равномерную сходимость, так как эта схема проще специальных схем, учитывающих погранслойное поведение решения. Предварительно доказывается, что к линейной задаче относительно погрешности схемы, при выполнении условий (6), можно применять принцип максимума.

Теорема 3. Пусть для в справедливы ограничения (5) или (6), ил -решение схемы направленных разностей. Тогда

||[и]а - ил||м5 < Сшахй{.

Доказана сходимость модифицированного метода Пикара для исследуемых нелинейных разностных схем.

В §3 рассмотрена краевая задача для уравнения тина реакция- диффузия:

Ьи = ей" - /(аг.и) = 0, в(0) = А, и(1) = В. (9)

Предполагается, что е > 0,/„ > (3 > 0. При сделанных ограничениях решение задачи (9) существует и единственно. Для нелинейной задачи (9) с учетом кусочно- линейного приближения коэффициентов строится разностная схема на неравномерной сетке, сгущающейся в пограничных слоях. Пусть и*1 - решение построенной схемы. Теорема 4. Справедлива оценка точности:

где <5 - число узлов в пограничном слое, М - вне слоев. В §4 рассмотрена краевая задача:

£и = еи"+ а(х,и)и'-Ь(х,и) =0,и(0) = А, и(1) = В. (10)

Предполагается, что коэффициенты непрерывно дифференцируемы,

а(х, и) > а > 0,6„ + ах > 7, 7 < 0, а2 -Ь 4еу > 0, е0 > е > 0.

Решение задачи (10) при наложенных ограничениях существует и единственно. Для построения разностной схемы вводится сетка, сгущающаяся в пограничном слое, хп = —еоГ1 !п[1 - (1 — е)М~1п]. Вне пограничного слоя сетка предполагается равномерной. Схема строится на основе замены коэффициентов кусочно- постоянными. Пусть ин - решение построенной схемы.

Теорема 5. Для некоторой постоянной С

В §5 рассмотрена краевая задача:

Ьи{х) = ей"(ж) + и(х)и'{х) - Ь(х)и(х) = /(х), и(0) = А, и( 1) = В. (11)

Предполагается, что Ъ, / 6 С2[0,1] Ь(х) > /3 > 0, ио(0) > 0, где щ(х) - решение вырожденной задачи. На равномерной сетке строится разностная схема, подогнанная к погранслойной функции.

Теорема 6. Для построенной разностной схемы справедлива оценка точности:

II«4-Hoik <ch.

В §6 рассмотрена краевая задача, решение которой имеет степенной пограничный слой:

{е + х)и" + а(х)и' - f(x,u) = 0, и(0) = А, и(1) = В.

Предполагается, что функции a, j непрерывно дифференцируемы по своим аргументам,

е > 0, о(0) >0, ~ > 0.

аи

В отличие от известных подходов разностная схема строится на произвольной равномерной сетке П. Доказывается, что для построенной схемы справедлива оценка точности:

В случае а(0) > 1 обосновывается оценка ||мЛ — [u]n|| < Ch.

Во второй главе рассматриваются краевые задачи для уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной на полубесконечном и бесконечном интервалах. Рассматривается вопрос переноса краевого условия из бесконечности с учетом наличия малого параметра при старшей производной, анализируются разностные схемы для редуцированных к конечному интервалу задач на равномерную по параметру сходимость и на устойчивость к погрешностям переноса краевых условий. Предложен метод решения краевых задач для уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной и точечным источником на бесконечном интервале. При переносе предельного краевого условия из бесконечности используется метод, основанный на выделении устойчивых многообразий, разрабатываемый в работах Абрамова A.A., Конюховой Н.Б. и их учеников. Для решения вспомогательных задач Ко-ши, возникающих при выделении устойчивых многообразий, применяются асимптотические разложения по малому параметру. Для оценки точности асимптотических разложений применяется принцип максимума.

В §7 рассмотрена краевая задача:

Ь£и = -ей" + а(х)и' + с(х)и = /(я), (12)

и(0) = А, Бти(х)=0. (13)

Предполагается непрерывность функций а , с, f ,

И > а(х) > о > 0, е € (0,1], В > с(х) > Ь > О,

f(x) —> 0, а(х) —» ао, с(х) —* ¿о, х —» оо.

При наложенных ограничениях решение задачи (12)-(13) существует и единственно. Для переноса краевого условия из бесконечности в соответствии с известным подходом выделяется многообразие решений уравнения (12), для которых выполняется предельное условие на бесконечности:

и'(а:)=7(®)«(®)+/?(а:), (14)

где 7(2;) и /?(г) являются решениями сингулярных задач Коши:

П£у = еУ - а(х)7 4- е-у2 - с(х) = 0, Шп у(х) = г, (15)

г - отрицательный корень уравнения ет2 — аог — со = О,

е/3' - [а(х) - 7СФ]/3 = /(я), Бт /?(г) = 0. (16)

Доказывается, что решения задач (15),(16) существуют и единственны при всех х > 0.

Лемма 3. При всех х > 0

__2Л_< ^ <__26_

Решение задач (15)-(16) находится на основе асимптотических разложений, поэтому предварительно исследуется устойчивость решения этих задач к возмущению коэффициентов.

Лемма 4. Пусть функции а(х), с(х) непрерывны, положительны и имеют заданные пределы на бесконечности,

|а(х) - а(а:)| < Д, |с(а:) - с(г)| < Д для х > Ь, УЬ > 0.

Тогда найдется С: [7(2:) - -у(г)| < СД для х > Ь. Приближенное решение задачи (15) ищется в виде:

Ы*)=£л»(®)г", (17)

п=0

где коэффициенты связаны рекуррентным соотношением:

1п(?) = а(х)

-1

tLi(Z)+ £ ~а{х)ъ(щ Í+Í=1-1

где 0<i,j<n — 1, и > 1, 7о(^) = —с(х)/а(х).

Лемма 5. Пусть функции а(г) и с(х) N раз непрерывно дифференцируемы. Тогда для достаточно малых значений £ для некоторой постоянной С при всех х > О

|7(*)-Ы*)| <CeN+1.

Аналогичным образом из (16) на основе асимптотических разложений находится (3(х).

С учетом соотношения (14) задача (12)-(13) редуцируется к конечному интервалу [0 ,£]:

-ей" + а(х)и' + с(х)и = f(x), u(0) = A, u'(L) - 7(L)u(L) = /3(£). (18)

Доказано, что решения задач (12)-(13) и (18) совпадают на интервале [0,Х]. Задача (18) поставлена на произвольном конечном интервале и решить ее можно на основе сеточной аппроксимации.

Функции у и ¡3 из задач (15) и (16) могут быть найдены приближенно, поэтому исследуется устойчивость решения задачи (18) к возмущению этих функций.

Теорема 7. Пусть й(х)~ решение задачи (18) в случае возмущенных значений 7(£), /3(L). Пусть

y(L)<0, |7(£о)-7(ЬО)|< ДЪ \¡3(L) ~ fl(L)\ < А2.

Тогда при всех х G [0,L]

|и(г) - ü(a:)¡ < еа_1{А2 + Ai]u(L)|} ехр[аг£_1(х - L)].

Таким образом, если коэффициенты у и р найдены с некоторой погрешностью, то эта погрешность при наличии малого параметра существенно уменьшается.

Далее исследуется возможность сведения краевой задачи (12)-(13) к задаче Коши:

u'(i) - Ф)и(х) = р(х), и(0) = А. (19)

Показано, что решения задач (12)-(13) и (19) совпадают. Доказано, что решение задачи (19) устойчиво к возмущению коэффициентов ~/(х) и (3(х).

В §8 аналогичным образом рассмотрена краевая задача для линейного уравнения без первой производной.

В §9 рассмотрен вопрос редукции к конечному интервалу краевой задачи для нелинейного автономного уравнения:

-ей" + тпи' + д(и) = 0, ы(0) = А, Нт и(х) = В. (20)

Делаются ограничения на коэффициенты, при выполнении которых решение задачи (20) существует и единственно.

В §10 рассмотрена краевая задача на конечном интервале:

-ей" + а(х)и' + /(¡с, и) = 0,

и(0) = А, В.еи = и'(Ьо) + 0(и(Ьо)) = 0. (21)

На коэффициенты задачи (21) наложены ограничения таким образом, что (21) обобщает задачи, полученные в §7 — §9 после редукции к конечному интервалу. Особенность задачи (21) в нелинейности и наличии малого параметра при старшей производной. Доказывается, что решение задачи (21) существует и единственно, первая производная решения равномерно ограничена. По этой причине исследуется сходимость схемы направленных разностей, которая проще специальных разностных схем, учитывающих пограничный слой.

Теорема 8. Пусть к < /го- Тогда найдется С:

||«А-Мо|| <СН. (22)

Доказано, что при достаточно хорошем начальном приближении метод Ньютона для линеаризации разностной схемы сходится равномерно по малому параметру.

При переносе краевого условия из бесконечности функция 0(г/) вычисляется приближенно. Доказано, что схема направленных разностей устойчива к погрешностям в Э.

Лемма 6. Пусть функция О(и) непрерывно дифференцируема, йл -решение схемы в случае возмущенной функции 0. Тогда если

|в(4)-ё(4)|<д, 15

то при всех хп £ О

\инп - й£| < СД(е + К) ехр[а(2е + аЪ)-\хп - £)]. (23)

В §11 рассмотрена третья краевая задача для нелинейного уравнения на конечном интервале. Такая задача появляется при редукции краевой задачи с бесконечного интервала к конечному. Во внутренних узлах равномерной сетки применяется монотонная схема Самарского. Предлагается односторонняя аппроксимация производной в краевом условии на трехточечном шаблоне. При этом сохраняется второй порядок аппроксимации разностной схемы, но нарушается свойство диагонального преобладания разностного оператора. Доказывается, что принцип максимума для разностного оператора при такой аппроксимации краевого условия остается справедливым. На основе принципа максимума доказывается равномерная сходимость монотонной схемы Самарского в случае равномерной сетки и краевых условий третьего рода.

Предварительно рассмотрена трехточечая разностная схема:

1У = Апинп+1 - Впинп + Спинп_ 1 = /в\ » = 1,2,..., N - 1,

и$ = А, Еник = г]икн + ¿[34 - 4+ и%_2}/{2Л) = В. (24)

Предполагается, что при всех п Ап > О, С„ > 0.

Лемма 7. Пусть существует сеточная функция фк:

фн> 0, ьнпфн< 0, п = 1,2,...,ЛГ- 1,

+ Зфкц-4Фк-1 + Ф>н-2>0- (25)

Тогда из условий

<0, п = 1,2,..., ./V - 1, > 0, В,ЧН > 0 (26)

следует > 0, 0 < тг < N. Рассмотрена краевая задача:

ей" - а{х)и' - f(x, и) = 0, м(0) = А, Л£и = щ( 1) + 6и'(1) = В. (27) Предполагается, что а £ С^ОД], / € С1([0,1] хЛ), 6 > О, а(х) > а > 0, е > 0, ^ > —/?,/? > 0, а2 - 4/Зе > у > 0, ц > 0. (28)

На равномерной сетке Г2 исследуется разностная схема: u*+1-2u* + u»_i u*) = OS =_-_

h? a(Xn) 2 h JVn,un)~\),en l+a(XnW(2e)>

uj = A, rjuhN + - 4+ ufc_2]/(2ft) = B. (29)

Теорема 9. Для схемы (29) справедлива оценка точности:

ll«4-[«kll-<c^, h<h0. (30)

Для линеаризации разностной схемы обоснован модифицированный метод Пикара.

В §12 рассмотрена краевая задача для уравнения с малым параметром и точечным источником на бесконечном интервале. Такая задача является модельной при анализе распространения примеси от точечного источника. Точечный источник задается дельта- функцией Дирака. Из-за этого в постановке краевой задачи возникает условие на скачок производной. Итак, рассмотрена краевая задача:

ей" — а(х)и' — с(х)и = /(z), х ф 0,

еи'(+0) - си'(-О) = —Q, и{х) 0, х ±оо, (31)

где

а(х) >а>0, с(х) > ¡3 > 0, е > 0, Q > 0,

а(х) —> а,-, с(х) —► Ci, f(x) -+ О, х —* ±оо, i = 2,1.

Доказано, что в окрестности точечного источника имеет место экспоненциальный пограничный слой. Задача (31) редуцирована к конечному интервалу:

su" - а(х)и' - с(х)и = f(x), хфО, еи'{+ 0) - еи'(-О) = -Q,

eu'(Li) - 7i(£iM£i) - Pi(Li), u'(L2) - 72(L2)u(L2) = /32(L2), (32)

где функции 7,- и /?,- являются решениями сингулярных задач Коши. Доказано, что решения задач (31) и (32) совпадают при х € Функции 7,- и /3,- могут быть найдены на основе асимптотических разложений с некоторой погрешностью, поэтому исследуется влияние погрешности при задании этих функций на решение задачи (32). Для задачи (32) на

равномерной сетке построена разностная схема, подогнанная к функции, задающей экспоненциальный рост решения в окрестности нуля. Пусть uh - решение построенной схемы.

Теорема 10. Для некоторой постоянной С

||иЛ-Ж1< СЛ.

Доказана устойчивость разностной схемы к возмущению коэффициентов 7,- и ßi. Аналогичным образом рассмотрен случай уравнения типа реакция-диффузия с точечным источником.

В §13 рассмотрена краевая задача для системы автономных нелинейных уравнений на полубесконечном интервале. Такая задача является модельной при моделировании химических реакций с учетом диффузии. Задача имеет вид:

-eu" + au' + g(u) = 0, u(0) = А, Jimu(a:) = B, (33)

где а - постоянная диагональная квадратная матрица порядка N с диагональными элементами а;, А, В - векторы из N компонент, е -числовой параметр, g(u) - известная вектор-функция. Пусть G(v) - матрица Якоби вектор - функции g(v). Предполагается, что

т0 > а,- > т > 0, i = 1,2,... ,JV, g(B) = 0, G,j(v) < 0, i ф j,v € RN,

E G;j(v) >-ß,ß> 0, m2 - Aße > <r > 0, £ GtJ(B) > щ > 0. (34) j=i i=i •

Доказано, что при выполнении условий (34) решение задачи (33) единственно, причем неотрицательно, если А > О, В > 0, g(0) < 0. Свойство неотрицательности решения существенно, например, при моделировании химических реакций. Исследовано поведение решения при больших значениях х.

Лемма 8. Найдется L такое, что при всех г и х > L

[«¿(а:) - Bi\ < |щ(Ь) - Bi\ exp{ri(x - L)}, n = + s/a] + 2aie}'1.

В соответствии с подходом, развиваемым в работах Конюховой Н.Б., выделим многообразие решений системы (33), удовлетворяющих предельному условию на бесконечности:

U'(X) = 7(U(X)-B)+F(vl(X)), (35)

где матрица 7 является решением квадратного уравнения

—£72 + а7 + G(B) = 0, (36)

причем спектр этой матрицы расположен в левой полуплоскости. Вектор-функция F(u) является решением задачи Ляпунова:

eF'(u)[7(u - В) + F(u)] - (а - ey)F(u) = g(u) - G(B)(u - В), F(B) = О,

которое существует и единственно при достаточно малых значениях ||и —ВЦ. Решение этой задачи предлагается находить на основе асимптотических разложений:

Fm(u) = £ Ft(u)e*. *=о

Для коэффициентов асимптотического ряда получена рекуррентная формула. Предварительно доказана лемма. Лемма 9 Пусть

Sz = ez' ~ Mz, матрица М имеет строгое диагональное преобладание:

Ма{ 1 - rj) > £\Щ\, о < 7? < 1, Ми > а > 0, i = 1,2,..., N.

зф»

Тогда для произвольной дифференцируемой вектор - функции z(x), имеющей предел на бесконечности, справедлива оценка:

М* < Urn |z,-(®)|}.

Лемма 10 Пусть u(z) - решение задачи (33). Тогда при достаточно малых значениях е :

HF(u(x))-Fm(u(x))HM<Cem+1.

Предложен асимптотический подход к решению матричного уравнения (36). Доказано, что строится та матрица, собственные значения которой лежат в левой полуплоскости. С учетом уравнения (35) задача (33) редуцирована к достаточно большому конечному интервалу. Исследована устойчивость решения редуцированной задачи к возмущению матрицы 7

и функции Р(и) в краевом условии, которые находятся приближенно из соответствующих задан.

В третьей главе рассматриваются скалярные и векторные разностные схемы с бесконечным числом узлов. Подход предыдущей главы к переносу краевых условий из бесконечности распространен на случай разностных уравнений. В случае разностного уравнения второго порядка многообразие решений, удовлетворяющих предельному условию на бесконечности, задается в виде разностного уравнения первого порядка. Коэффициенты этого уравнения находятся из вспомогательных двухточечных задач с предельным условием на бесконечности. Такое многообразие решений можно интерпретировать как соотношение метода правой прогонки, когда прогоночные коэффициенты удовлетворяют некоторым предельным условиям на бесконечности.

При переходе от исходной схемы к разностной схеме с конечным числом узлов N это разностное уравнение первого порядка при п = N принимается в качестве правого краевого условия. Отдельно рассматривается случай, когда исходное разностное уравнение вырождается в разностное уравнение первого порядка при стремлении некоторого параметра к нулю, что случается при аппроксимации дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. В этом случае вспомогательные двухточечные схемы с предельным условием на бесконечности разрешаютя на основе асимптотических разложений.

В §14 рассмотрена линейная трехточечная разностная схема:

- Спи\ + Впи*+1 = К, п > 0, (37)

гг§ = (?, 0 при п-* оо. (38)

Предполагается, что при всех п

Л„ > 0,Вп > 0, Сп > Ап + Вп + А, А > О,

А„ А°, Вп -» В\ Сп -> С\ 0 при п оо. (39)

Многообразие решений разностного уравнения (37), удовлетворяющих предельному условию на бесконечности, зададим в виде разностного уравнения первого порядка:

«¿ = «п^-1+А„ «>1, (40)

где коэффициенты а„ и ¡Зп являются решением двухточечных разностных схем с предельным условием на бесконечности:

ап = Сп-В„ап+1' «—А »-оо. = + (41)

= А,-О, и -> оо. (42)

Доказано, что задачи (41) и (42) имеют единственное решение при всех п > 0. На основе соотношения (40) схема (37)-(38) редуцируется к схеме с конечным числом узлов:

Ьнпик = Апинп_х - С„и£ + Вяи*+1 = Д,, п = 1,2, ...,ЛГ - 1,

«5 = С, 4 - оди^ = (43)

Доказано, что решения задач ( 37)-(38) и (43) совпадают при всех п < N. В отличие от (37)-(38) задача (43) содержит конечное число узлов и ее решение может быть найдено методом прогонки. Доказано, что решение схемы (43) устойчиво к возмущению коэффициентов а к и /Здг. Лемма 11. Пусть коэффициенты ац и ¡Зу возмущены,

К-<зд|<Дь 0<%<1, {Рн - М < А3. (44)

Тогда

£ - й»| < (1 - 1{Д1|<_1| + Д2}, 0 < и < N.

Коэффициенты а я и /Здг можно найти на основе разложения коэффициентов исходной схемы в ряд по обратным степеням п. Точность в вычислении этих коэффициентов возрастает с увеличением числа удержанных узлов.

При численном решении краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной разностные схемы вырождаются при стремлении параметра к нулю. Этот факт предлагается использовать и для нахождения а„ и /?„ применять асимптотические разложения по параметру. Получены рекуррентные формулы для коэффициентов асимптотических разложений Доказано, что если ограничиться т членами асимптотического ряда, то коэффициенты ап и 0п будут найдены с точностью 0(ет+1).

Исследована возможность сведения задачи (37)-(38) к начальной:

uhn = + /?„, п > 1 , ug = G. (45)

Решения задач (37)-(38) и (45) совпадают. Доказана устойчивость схемы (45) к вомущению коэффициентов ап и /3„, которые из задач (41) и (42) могут находиться приближенно.

В §15 рассмотрен вопрос редукции к конечному числу узлов трехточечной схемы с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть зависит от решения.

В §16 рассмотрена нелинейная трехточечная схема с переменными коэффициентами:

Anuhn_! - Cnuhn +Bnuhn+l = F{uhn) + /„, n > О,

Uq — G, —> 0 при n —► oo. (46)

Доказывается, что при определенных ограничениях на коэффициенты, соответствующих диагональному преобладанию, решение задачи (46) существует и единственно, предложен способ редукции схемы (46) к схеме с конечным числом узлов.

В §17 рассмотрена трехточечная векторная схема с полубесконечным числом узлов:

L;U = C,Ut-_i - G.-U,' + DfUj+i = P.-, i > 1,

U0 = R, Uf -> 0, i oo. (47)

Предполагается, что при каждом i U;, F;, R- векторы из N компонент, Cj, D, - ненулевые диагональные матрицы порядка N, матрицы G, являются М - матрицами,

С,- Coo, G, -» Goo, D, -> Doo, F, -> 0, i -* oo,

||Gr1Ci|| + ||G-1Di||<a<l, C, > D; > 0, Q, = G, - C, - D„

QiJ > E IQPl + A, A > 0, i > 0, 1 <j<N. Hi

Схема (47), в частности, соответствует аппроксимации эллиптического уравнения в полубесконечной полосе. Для схемы (47) определено векторное разностное уравнение первого порядка, задающее многообразие ре-

шений уравнения (47), удовлетворяющих предельному условию на бесконечности;

и,- = А,-и,-_1 4- В,-, где матрицы А,- и векторы В; связаны рекуррентными формулами:

А,- = (С,- - Б.-А^О^С,- А,- А^, г оо, (48)

Б,(В,+1 - В,) - [С,- - Б, - Б,А1+1]В,- = Р;, В,- —»О, г —► с», (49) матрица А,*, является решением матричного уравнения:

БооА2 - ОтоА 4- Соо = О

с нормой, меньшей единицы. Показано, что решения задач (48) и (49) существуют и единственны при всех г > 0. В случае, когда разностное уравнение (47) вырождается при стремлении некоторого параметра к нулю (что случается при сеточной аппроксимации эллиптических сингулярно-возмущенных уравнений), предложен асимптотический подход для нахождения матриц А,- и векторов В; из (48) и (49). Для коэффициентов асимптотического ряда получена рекуррентная формула. Оценена точность асимптотических разложений. Таким образом, можно говорить о том, что для заданного индекса г эти коэффициенты могут быть найдены с заданной точностью.

Редуцированная к конечному числу узлов схема имеет вид:

СД!;-! - + В,и;+1 = Р{, г = 1,2,...,М- 1,

ио = И, им - Амим_1 = Вл/, (50)

где матрица Ам и вектор Вд* являются решениями вспомогательных задач (48),(49). Показано, что решения задач (47) и (50) совпадают при всех г < М.

Теорема 11. Пусть и - решение схемы (50) в случае возмущенных Ам, Вм . Пусть

||Ам-А^||< Дь \\ВМ-ВМ\\< Д2, ||Ам||<1.

Тогда

шах ||й,--И,|| < * {Л^ил^Н + Ла}. (51)

1 - 1!Ам[|

В §18 рассмотрена четырехточечная разностная схема, соответствующая неявной схеме для параболического уравнения в случае, когда предельные краевые условия по пространственной координате заданы на ±оо. Предложен способ редукции схемы к схеме на сетке с конечным числом узлов. Исследован асимптотический подход для выделения многообразия решений, удовлетворяющих предельному условию на бесконечности.

В четвертой главе рассматриваются двумерные линейные и нелинейные эллиптические уравнения в прямоугольной области и в полубесконечной полосе. Вследствие неограниченности области по продольной координате, пограничный слой по этой координате отсутствует для исходной и слабо выражен для редуцированной задачи. По другой координате рассматриваются случаи регулярного экспоненциального и экспоненциального параболического шгранспоев. Предлагается способ сведения краевой задачи с полубесконечной полосы к прямоугольной области. Строятся и исследуются разностные схемы для задачи в прямоугольной области.

В §19 рассматривается нелинейное эллиптическое уравнение с конвективными членами по обеим координатам:

д^и д2и , .ди , .ди .

в прямоугольной области С, С = {0 < х < Ь\, 0 < у < ¿2}- Пусть нумерация по часовой стрелке, краевые условия имеют вид:

ди

и(х,у) = ф{(х,у), (х,у) е у = 1,2, — +63и = фг(у),(х,у) £13, ди

и - ерь— = ф4{х), (х, у) е к, и = {у = о, 0 < X < £1}. (53) На коэффициенты задачи накладываются ограничения:

е > 0, а{х,у) > о > 0, ы(у) > а > 0, <53 > 0, > О,

Ги>0>0, /: + за;>/з>0, Ги-2ю[у)>р>0.

Предполагается, что функции а,гу,/ дважды непрерывно дифференцируемы по своим аргументам и краевые условия согласованы, при этом решение задачи (52)-(53) существует и единственно.

Лемма 12. Для некоторой постоянной С при всех (х, у) £ <5 выполнится:

&

дх>

Мх,у)

< С [1 + еw expfr1^ - Li)]], j = 1,2,3,

д>

ду>

-и(х, у)

<C[l + e-'exp{-e-Vy}], 1,2,3.

Для задачи (52)-(53) на равномерной по обеим координатам сетке построена схема экспоненциальной подгонки по у (с учетом специальной аппроксимации как самого уравнения, так и краевого условия) и обоснована ее равномерная сходимость.

Теорема 12. Пусть uh - решение построенной схемы. Тогда имеет место оценка точности

||"Л-[«Ы1 <С(Л! + Л2).

Доказано, что в случае краевого условия и'у =0, у = 0, соответствующего, например, отражению субстанции от поверхности, пограничный слой около границы у = 0 отсутствует и схема направленных разностей (по обеим координатам) обладает свойством равномерной сходимости. Предложен сходящийся метод линеаризации разностной схемы.

В §20 рассмотрена краевая задача для эллиптического уравнения

д2и д2и . .ди . „. .

и{х,у) = ф>, (х,у) £ Ii г = 1,2,3, Jim и(х,у) = 0 (54)

в случае полубесконечной полосы: D = {0<£<oo, 0<у<1}. Предполагается, что входящие в (54) функции дважды непрерывно дифференцируемы по своим аргументам, краевые условия согласованы,

£ > 0, а > a > 0, b> ß> 0, Jim ф{(х) = 0, t = 1,3, Jim f(x,y) = 0,

функции а, Ь имеют заданные пределы на бесконечности. Предложен способ сведения задачи (54) к прямоугольной области. В качестве краевого условия на искусственной границе х = L предлагается использовать вырожденное по продольной координате дифференциальное уравнение. Пусть и - решение редуцированной к прямоугольной области задачи.

Лемма 13. При всех (х,у) 6 Di

е2 II д2

)ф,у) - Цх,у)| < _u(L,y)

а*1

ехр{ае i(x — L)}.

Проведена оценка производных решения как исходной, так и редуцированной задач. Согласно полученной оценке решение редуцированной задачи имеет параболические экспоненциальные погранслои у границ прямоугольной области у = 0, у = 1. В этих слоях используется сетка, предложенная Н.С. Бахваловым в случае обыкновенного уравнения. По координате х сетка предполагается равномерной, используется схема направленных разностей. Пусть ик - решение построенной схемы.

Теорема 13. Для некоторой постоянной С

1

В §21 рассмотрена краевая задача:

hi +

№

д2и д2и ди . .

а{~х)д.х ~ь(х'у)и = /(х'у)'

и(х,у) = фи (х,г/) £ и i = 1,2,3, Яи = щ(у)и(1,,у) + и'х(1,у) = ф4(у).

Предполагается, что функции а,Ь,/, ф{ дважды непрерывно дифференцируемы по своим аргументам, а(х) > а > 0, у) > 0. Такая задача со смешанным краевым условием на границе х — Ь может возникнуть после редукции задачи с полубесконечной полосы. Как и в §20 по координате у используется центрально - разностная аппроксимация на сетке Бахва-пова, по х предлагается использовать монотонную схему Самарского на равномерной сетке. По аналогии с §11 доказано, что хотя односторонняя аппроксимация производной на трехточечном шаблоне в краевом условии нарушает диагональное преобладание разностной схемы, она сохраняет принцип максимума и не понижает точность схемы Самарского. Пусть ин - решение построенной схемы.

Теорема 14. Для некоторой постоянной С справедлива оценка:

№11<с

h\ , 1 h + е Щ

В §22 построена и обоснована разностная схема для нелинейного эллиптического уравнения с параболическими экспоненциальными слоями

в прямоугольной области. Обоснован модифицированный метод Пикара для линеаризации разностной схемы.

В главе 5 рассматриваются вопросы численного моделирования распространения примесей от источников загрязнений.

В §23 для эллиптического уравнения в полосе рассмотрена краевая задача, решение которой содержит степенной пограничный слой:

д2и , . <92и . .ди . .ди , . ,, . + + y'df ~ a(x,y>!h + ~ с(х>у)и =

Ви

и(х, 1) = 0, и(х, 0) — 0) = 0, Дтои(х,г/) = 0. (55)

Предполагается, что функции a, w, /, с дважды непрерывно дифференцируемы по своим аргументам, а, /, с имеют заданные пределы на бесконечности, lim f(x, у) = О,

£1 > О, £2 > о, а(х, у)>а> 0, w(y) > /? > 0, /32 > 0, с(х, у) > а > 0.

Такая задача является модельной при анализе распространения примеси в направлении ветра, когда коэффициент вертикальной диффузии линейным образом зависит от координаты. Предполагается, что по третьей координате распространение учитывается посредством аналитической зависимости. На равномерной сетке в соответствием с методом прямых (вдоль оси у ) и предложенным методом построения схем в главе 1 в полосе строится разностная схема и доказывается ее равномерная по малым параметрам сходимость, с первым порядком точности. Далее схема редуцируется к конечному числу узлов в соответствии с подходом, разработанным в главе 3.

В §24 кратко изложен метод расчета переноса примеси от точечных и площадных источников. Решается начально - краевая задача для параболического уравнения в случае трех измерений, изначально задача ставится в неограниченной области. Точечный источник задается 6- функцией Дирака, площадный источник учитывается посредством краевого условия. Пакет программ по расчету на компьютере переноса примесей от источников загрязнений написан в соответствии с хоздоговором между ЙИТПМ СО РАН и Омским областным комитетом природы.

3АКЛЮ ЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты исследований.

1. Предложен способ построения разностных схем для нелинейных сингулярно возмущенных уравнений второго порядка с заданными краевыми условиями для конечного интервала. Способ основан на приближении коэффициентов дифференциального уравнения и получении точных разностных соотношений для возмущенной задачи. Построены схемы первого порядка точности для системы уравнений при различных ограничениях на якобиан, для уравнения с сильной нелинейностью, для уравнения со степенным погранслоем. Для уравнения типа реакция-диффузия построена схема второго порядка точности. В случае степенного погран-слоя показано, как предлагаемый подход может быть обобщен на случай эллиптических уравнений.

2. Построены и обоснованы разностные схемы для нелинейных эллиптических уравнений в неограниченной области (полосе и полуполосе) в случаях экспоненциального и степенного параболических пограничных слоев. Для краевой задачи предложен способ перехода к ограниченной (прямоугольной) области с оценкой погрешности между решениями исходной и редуцированной задач. Для редуцированной задачи построена аппроксимация смешанного краевого условия, сохраняющая точность монотонной схемы Самарского.

3. Исследован численный метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной на полубесконечном интервале сведением к краевой задаче для конечного интервала или к начальной задаче для уравнения первого порядка. Рассмотрены линейные уравнения, нелинейное автономное уравнение, автономная система нелинейных уравнений. При переносе краевых условий из бесконечности используется известный подход, основанный на выделении устойчивых многообразий. Проведен анализ влияния погрешностей, обусловленных переносом краевого условия, на решение редуцированных к конечному интервалу задач и на решение применяемых разностных схем; разностные схемы исследованы на равномерную сходимость по параметру. Предложен метод решения краевых задач для уравнений с точечным источником на бесконечном интервале.

4. Предложен способ редукции скалярных и векторных разностных схем с бесконечным числом узлов к конструктивным схемам на сетках с конечным числом узлов. Векторные схемы соответствуют разностной аппроксимации двумерных задач в неограниченной области. В случае вырождающихся разностных схем предложен асимптотический подход для нахождения решения вспомогательных сеточных задач.

5. Решена прикладная задача по численному моделированию переноса примеси от источников загрязнений. Результаты исследования нашли применение при создании пакета программ, в соответствии с договором переданного для использования в Омский областной комитет природы.

Основной итог работы заключается в разработке разностных методов решения краевых задач для линейных и нелинейных уравнений второго порядка с малым параметром при старших производных в неограниченной области.

Основные публикации по теме диссертации

1. Игнатьев В.Н.,Задорин А.И.Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром на неравномерной сетке//Препринт N 229 ВЦ СО АН СССР,1980, 26 стр.

2. Игнатьев В.Н.,Задорин А.И.О плохой обусловленности при численном решении уравнений с малым параметром.// Препринт N 84 ВЦ СО АН СССР, 1981, 29 стр.

3. Игнатьев В.Н.,Задорин А.И. Численное моделирование двумерного пламени//Препринт N 446 ВЦ СО АН СССР,Новосибирск, 1983, 19стр.

4. Задорин А.И. О выделении пограничного слоя и сочетании начальных и краевых задач при решении сингулярно возмущенных уравнений .//Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1983, т.14, N 1, с. 42- 50.

5. Задорин А.И.,Игнатьев В.Н. О численном решении уравнения с малым параметром при старшей производной //Журнал вычислительной матем. и матем. физики , 1983, т.23, N 3, с. 620- 628.

6. Задорин А.И. О существовании и единственности решения некоторых разностных задач для квазилинейного обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром//Сб.4Численные методы механики сплошной среды", Новосибирск,1984, т.15, N 1, с. 33-44.

7. Задорин А.И.О численном решении третьей краевой задачи для уравнения с малым параметром.// Журнал вычислит, матем. и магем. физики, 1984, т. 24, N 7, с. 1008- 1015.

8. Задорин А.И.,Игнатьев В.Н. О сходимости разностной схемы на неравномерной сетке при наличии пограничного слоя.// Сб. "Вариационно-разностные методы в математической физике", Москва,1984, ч.2 , с. 110119.

9. Ignatyev V.N. ,Zadorin A.I. A finite difference method on nonuniform mesh for a singular perturbation problem.// Enlarged abstracts Equediff 6, Brno,1985, pp. 51-52 .

10. Игнатьев В.Н.,Задорин А.И. Экспоненциально подогнанная конечно разностная схема на неравномерной сетке. // Тезисы докладов 4 Международной конференции по пограничным и внутренним слоям: вычислительные и асимптотические методы, 2 стр., Новосибирск, 1986.

11. Задорин А.И .Численное решение квазилинейного сингулярно возмущенного уравнения.//Сб." Численные методы механики сплошной среды", Новосибирск, 1986, т.17, N 6, с. 35- 44.

12. Игнатьев В.Н.,Задорин A.JÏ. Конечно- разностный метод расчета двумерного ламинарного пламени.//Физика горения и взрыва, 1986 , 4, с. 39- 42.

13. Игнатьев В.Н., Задорин А.И. Численное решение сингулярно возмущенной третьей краевой задачи.//Известия вузов, математика,1986 , 7, с. 20- 26.

14. Игнатьев В. Н., Задорин А. И. О некоторых методах численного решения нелинейной сингулярно- возмущенной краевой задачи.// Препринт N 677 ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1986, 27 стр.

15. Игнатьев В.Н. Алексеева Т.Я.,Задорин А.И. Моделирование двумерного ламинарного горения углеводородных топлив с учетом образования вредных примесей.// Препринт N 840 ВЦ СО АН СССР, 1989,

10 стр.

^ 16. Задорин А.И.Разностная схема для самосопряженной сингулярно возмущенной третьей краевой задачи //Сб. " Моделирование в механике", Новосибирск, т. 3, N 1. с. 77- 82. Новосибирск, 1989.

17. Задорин А.И.Численное решение квазилинейного уравнения с малым параметром //Сб." Моделирование в механике", т. 3, N 2, с.89- 94, Новосибирск, 1989.

18. Задорин А.И. Разностная схема для обыкновенного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка //Препринт N 899 ВЦ СО АН СССР ,1990, 17 стр.

19. Задорин А.И.,Игнатьев В.Н.Разностная схема для нелинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка.// Журнал вы-числ. матем. и матем. физики, 1990, т.29, N 9,с.1425-1430.

20. Задорин А.И.,Игнатьев В.Н.Численное решение квазилинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка.// Журнал вы-числ. матем. и матем. физики, 1991, т. 31, N 1, с.157-160.

21. Задорин А.И.Численное решение обыкновенного уравнения второго порядка со слабо выраженным пограничным слоем.// сб. " Моделирование в механике", Новосибирск, 1991, т.5, N 1, с.141-152 .

22. Задорин А.И.Численное решение краевой задачи для системы сингулярно возмущенных уравнений.// Препринт N 4

ИИТПМ СО АН СССР ,1991, 15 стр.

23. Задорин А.И.Численное решение нелинейного уравнения с параболическим погранслоем. //Сб. " Исследования по статистической радиотехнике дифференциальным уравнениям и алгебре", ИИТПМ СО РАН, 1992 ,с. 92-100 .

24. Задорин А.И. Численное решение эллиптического уравнения с параболическим погранслоем // Сб. "Моделирование в механике", Новосибирск, 1993, т. 7 , N 1 , с. 52- 59 .

25. Задорин А.И. Численное решение краевой задачи для нелинейного сингулярно возмущенного обыкновенного уравнения сведением к начальным задачам. // Препринт N 18 ИИТПМ СО РАН, Омск, 1994, 15 стр.

26. Задорин А.Й. Численное решение нелинейного обыкновенного уравнения с пограничным слоем, соответствующим зоне реакции.// Сб. " Фундаментальная и прикладная математика ", ОмГУ, Омск, 1994, с. 107-111 .

27. Бушуев В.В.,Задорин А.И.,Паничкин В.В. Прогнозирование источников загрязнения и распространения загрязнений в воздушном бассейне города.// Препринт N 15, ИИТПМ СО РАН, Омск, 1994, 27 стр.

28. Задорин А.И. Монотонная схема Самарского для обыкновенного уравнения второго порядка с малым параметром в случае третьей краевой задачи.// Вычислительные технологии, 1997, Т. 2, N 5, с. 35-45.

29. Задорин А.И. Перенос краевого условия из бесконечности в случае

линейного уравнения второго порядка с малым параметром // Математические структуры и моделирование, N 1, Омск, ОмГУ, 1998, с. 13-19.

30. Шапцев В.А., Паннчкин A.B.,Задорин А.И., Осивцев Е.В. Разработка и адаптация моделей переноса загрязняющих веществ и поиска источников загрязнений с расчетом экологической обстановки в промышленном реги- оне. // Отчет по НИР ИИТПМ СО РАН, N гос.регистрации

\ 01980004501, инв. N 2-98-02980004868. Деп.в ВИНИТИ.-76с., 1998.

31. Задорин А.И.Численное решение уравнения с малым параметром и точечным источником на бесконечном интервале.//Сибирский журнал вычислительной математики, 1998, Т. 1, N 3, с. 249-260.

32. Задорин А.Й. Численное решение краевой задачи для системы уравнений с малым параметром. //Журнал вычисл. матем. и матем. фи-зикй, 1998, т. 38, N 8, с. 1255-1265.

33. Задорин А.И. Численное решение уравнения с малым параметром на бесконечном интервале. //Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1998, т. 38, N 10, с. 1671-1682.

34. Задорин А.И. Перенос краевого условия из бесконечности при численном решении уравнений второго порядка с малым параметром. //Сибирский журнал вычислительной математики, 1999, Т. 2, N 1, с. 21-35.

35. Задорин А.Е. Численное решение эллиптического уравнения с пограничными слоями в полубесконечной полосе. // Вычислительные технологии, 1999, Т. 4, N 1, с. 33-47.

36. Задорин А.И. Трехточечная разностная схема на полубесконечном интервале.// Вычислительные технологии, 2000, Т. 5, N 2, 8 с.

37. Zadorin A.I. Numerical solution of the nonlinear differential equation with a small parameter on the infinite interval.//Abstracts of Workshop on the analyt. and comput. methods for convection - - dominated and singular perturbed problems, p. 32-33. Lozenetz, Bulgaria, 1998.

Введение

Основные обозначения

Содержание диссертации.

1 Разностные схемы для нелинейных сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

§1. Нелинейное сингулярно возмущенное уравнение второго порядка.

§2. Краевая задача для системы уравнений.

§3. Схема второго порядка точности для уравнения типа реакция-диффузия.

§4. Разностная схема для уравнения с сильной нелинейностью.

§5. Разностная схема для стационарного одномерного уравнения Бюргерса.

§6. Задача со степенным пограничным слоем.

2 Краевые задачи для уравнений второго порядка с малым параметром на бесконечном интервале

§7. Несамосопряженное линейное уравнение.

§8. Линейное уравнение без первой производной

§9. Нелинейное автономное уравнение.

§10. Анализ схемы направленных разностей для редуцированной задачи

§11. Монотонная схема Самарского в случае третьей краевой задачи

§12. Решение уравнения с малым параметром и точечным источником на бесконечном интервале

§13. Нелинейная система дифференциальных уравнений

3 Редукция скалярных и векторных схем к конечному числу узлов

§14. Линейная трехточечная схема с полубесконечным числом узлов.

§15. Нелинейная трехточечная схема с постоянными коэффициентами.

§16. Нелинейная трехточечная схема с переменными коэффициентами

§17. Трехточечная векторная схема с полубесконечным числом узлов.

§18. Редукция неявной схемы для параболического уравнения к конечному числу узлов.

4 Разностные схемы для нелинейных эллиптических уравнений с малым параметром

§19. Нелинейное эллиптическое уравнение с регулярным экспоненциальным пограничным слоем

§20. Эллиптическое уравнение с параболическими экспоненциальными слоями в полубесконечной полосе

§21. Обоснование схемы Самарского для эллиптического уравнения в случае краевых условий третьего рода.

§22. Нелинейное эллиптическое уравнение с параболическими экспоненциальными погранслоями.

5 Моделирование переноса примеси от источников загрязнений

§23. Схема для численного моделирования стационарного распространения примеси в направлении ветра.

§24. Описание метода расчета переноса примеси

Актуальность. При математическом моделировании ряда физических явлений, например, течений вязкой жидкости, процесса распространения примеси от источников, возникают краевые задачи для уравнений второго порядка с малыми параметрами при старших производных. Область, для которой ставится краевая задача, может быть неограниченной. В связи с этим возникает проблема редукции краевых условий к ограниченной области и разработки разностной схемы для задачи в ограниченной области.

Решения краевых задач для уравнений с малыми параметрами при старших производных могут содержать пограничные и внутренние переходные слои, где градиенты решения велики. Такие задачи называются сингулярно возмущенными. Особенность этих задач в том, что при их вырождении понижается порядок дифференциального уравнения и теряется часть краевых условий. В отличие от случая регулярно возмущенной задачи имеются области, где решения исходной и вырожденной задач существенно отличаются, даже если параметр при старшей производной мал.

Первоначально для решения таких задач развивались асимптотические методы. Основопологающими являются работы А.Н.Тихонова, А.Б.Васильевой, С.А. Ломова, В.Б. Бутузова, Л.И. Люстерника, М.И. Вишика, А.М.Ильина. Асимптотические методы предполагают разложения в регулярные и погранслойные ряды по степеням малого параметра. И в настоящее время данный подход успешно развивается. Ограниченность данного подхода в том, что параметр должен быть существенно меньше единицы.

При применении вычислительной техники для решения краевых задач обычно используются конечно- разностные схемы, сводящие краевую задачу к системе алгебраических уравнений, решаемых с помощью циклических процедур. Оказывается, традиционные разностные схемы в общем случае теряют свойство сходимости при решении сингулярно возмущенных краевых задач. Поэтому возникла необходимость в разработке разностных схем, обладающих свойством сходимости, равномерной относительно малого параметра.

В 1969 году появились работы Н.С. Бахвалова и A.M. Ильина, обозначившие основные подходы к построению разностных схем для задач с пограничными слоями.

Можно выделить следующие подходы, применяемые при разработке численных методов для сингулярно возмущенных уравнений:

1)сгущение сеток в пограничных слоях;

2)подгонка схем к погранслойной составляющей решения;

3)использование интегральных соотношений и усеченных схем;

4)применение метода Галеркина с выделением особенностей;

5)использование сплайнов и метода коллокации.

К первому подходу относятся работы Н.С. Бахвалова, В.Д. Лисей-кина, Г.И. Шишкина, Р. Вулановича и других авторов. В этих работах строится функция, распределяющая узлы сетки. Эта функция учитывает градиенты решения и сетка сгущается в пограничных слоях.

Н.С. Бахвалов эту функцию строит таким образом, чтобы погрешность аппроксимации по узлам сетки была равномерной, при этом по-гранслойная составляющая решения на каждом шаге сетки нарастает равномерно, а вне пограничного слоя сетка принимается равномерной. Причем осуществляется склейка логарифмической и линейной функций с точностью до непрерывной первой производной. На такой сетке достигается второй порядок точности по количеству узлов сетки.

Лисейкин В.Д. предлагает осуществить замену переменной таким образом, чтобы производные до некоторого порядка стали равномерно ограничены. В исходных переменных это дает сгущающуюся сетку. Предварительно оцениваются производные.

Г.И. Шишкиным определен новый подход к построению разностных сеток, которые равномерны внутри пограничного слоя и вне пограничного слоя, то есть исходный интервал делится на два, на каждом из которых сетка равномерна. В работах Г.И. Шишкина, В.Б. Андреева, И.А. Савина, Н.В. Коптевой показано, что на такой сетке целый ряд разностных схем (включая немонотонную схему центральных разностей) обладает свойством равномерной сходимости, причем чаще с порядком точности 0(N~2lnN). Данный подход позволяет использовать метод Шварца, когда одновременно решаются задачи в пограничном слое и вне его и итерационно согласуются краевые условия.

Для уравнений в частных производных значимость данного подхода усиливается в связи с тем, что в случае параболического пограничного слоя, как показал Г.И. Шишкин, не существует равномерно сходящейся схемы подгонки на равномерной сетке.

Ко второму подходу относятся работы A.M. Ильина, Г.И. Шишкина, К.В. Емельянова, Д. Миллера, Р. Келлога и других авторов. Основная идея данного подхода - выделить погранслойную составляющую решения и строить разностную схему исходя из того, чтобы коэффициенты схемы учитывали погранслойный рост решения. Если малого параметра нет, то схема становится близкой к традиционным, если решение уравнения является погранслойная функция, то разностная схема на решении такого уравнения становится точной. Преимущество данного подхода в том, что не требуется ограничений на шаги сетки. Недостаток - в том, что функция пограничного слоя должна иметь явный вид и схема к этой функции должна быть подогнана, что не во всех случаях возможно.

Третий подход основан на точной схеме Самарского и интегральном тождестве Марчука. Для дифференциального уравнения выписывается точная схема Самарского, коэффициенты которой являются интегралами решений некоторых задач Коши, поставленных в окрестности узлов сетки. Усечение такой схемы приводит к схеме повышенного порядка точности. На основании этого подхода М.В. Алексеевским, К.В. Емельяновым, Г.И. Шишкиным строились схемы повышенного порядка точности. Данный подход получил распространение и на случай параболического уравнения. Тождество Марчука использовалось в работах В.П. Гаевого и А.Ю. Сечина. В работах И.П. Боглаева равномерно сходящиеся схемы строятся на основе интегральных соотношений. Для этого выделяется главная часть дифференциального оператора, которая обратима в явном виде.

К четвертому подходу относятся работы В.В. Шайдурова, Б.М. Ба-гаева, H.A. Блатова, JI. Тобиска, Ч. Руз, М. Стайнис и других авторов. В работах Б. М. Багаева предлагается функцию пограничного слоя включить в базис для решения задачи методом Галеркина или Ритца. Это приводит к равномерной сходимости метода в энергетической и равномерной нормах. Если функцию погранслоя не удается выписать в явном виде, то предлагается выделить краевую задачу для такой функции и решить ее переходом к " медленным переменным". В новых переменных используется классический метод типа Галеркина. Метод

Галеркина используется и на специальных сетках, сгущающихся в пограничном слое.

Пятый подход используется в работах И.А. Блатова и В.В. Стры-гина, К. Серла и других авторов. В методе коллокации используется экспоненциальный сплайн, что приводит к равномерной сходимости численного метода. К равномерной точности метода приводит и использование метода коллокации на сгущающихся в погранслоях сетках.

Теперь остановимся на подходах к переносу краевых условий из бесконечности на границу ограниченной области. В ряде работ разностные схемы строятся в неограниченной области, например, в полосе. Такие схемы не эффективны в том смысле, что их невозможно использовать для компьютерных вычислений. Чтобы разностная схема содержала конечное число узлов, можно либо для дифференциальной задачи поставить граничное условие на некоторой искусственной границе, либо редуцировать разностную схему на сетке с бесконечным числом узлов к схеме с конечным числом узлов.

Идея построения решений краевых задач для дифференциальных уравнений путем переноса граничных условий восходит к работам B.C. Владимирова [39] и И.М. Гельфанда ([45], приложение), где для решения краевой задачи для уравнения второго порядка на конечном интервале используется классический вариант метода дифференциальной прогонки. При таком подходе вместо решения исходной задачи необходимо решать три задачи Коши для уравнений первого порядка, которые проще исходной. В ряде работ такой подход используется для решения одномерных задач дифракции, в теории рассеяния и переноса излучения. В этих работах для решения краевых задач используются вспомогательные задачи Коши для переноса краевых условий. Использование указанного подхода заведомо оправдано, когда численное или аналитическое решение задачи Коши проще, чем решение краевой задачи. Операторный метод сноса краевых условий из бесконечности для уравнения Гельмгольца использован М.В.Федорюком. В.П. Маслов с соавторами в [110] обобщают метод дифференциальной прогонки применительно к уравнениям с частными производными. Метод ортогональной прогонки развивался в работах A.A. Абрамова и С.К. Годунова.

Идея переноса граничного условия из особой точки в близкую точку с помощью выделения всего многообразия решений, удовлетворяющих заданному условию, была предложена Абрамовым A.A. для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка с регулярной особенностью [1]. Эта идея была развита в работе Е.С. Биргер и Н.Б. Ляликовой [19] применительно к краевым задачам для систем ОДУ с заданным условием на бесконечности. В работах Конюховой Н.Б. [114], [111], [113] и других рассматриваются нелинейные ОДУ с иррегулярной особенностью, выделяются и исследуются устойчивые многообразия решений. В работе Конюховой Н.Б. и Пак Т.В. [115] исследуются сингулярные задачи Коши с большим параметром для систем нелинейных ОДУ. Строятся разложения решения по параметру, нелинейность задана в виде векторного многочлена по зависимым переменным. Точность асимптотических разложений оценивается при достаточно больших значениях независимой переменной, что связано с вопросом существования и единственности решения вспомогательной задачи Коши. В [116] вводится понятие допустимых граничных условий на бесконечности. Рассматриваются линейные системы ОДУ первого и второго порядка на полубесконечном интарвале, зависящие от параметра. Для системы ОДУ первого порядка показано, как определить сингулярную задачу Коши для выделения устойчивого многообразия, соответствующего допустимому условию. Исследуется зависимость решения сингулярной задачи Коши от параметра. Для переноса допустимого краевого условия из бесконечности система ОДУ второго порядка сводится к системе первого порядка.

В работах К. Балла рассматриваются разностные уравнения с полубесконечным числом узлов. Исследуется асимптотическое поведение решения скалярных и матричных разностных уравнений Риккати. Доказывается, что предельное условие на решение разностного уравнения второго порядка при стремлении индекса к бесконечности эквивалентно некоторому разностному уравнению первого порядка при достаточно больших значениях индекса.

Цель работы. Целью работы является разработка численных методов решения краевых задач для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старших производных в неограниченной области. Основные задачи работы:

- разработка и исследование разностных схем для краевых задач с учетом пограничных слоев в решении; схемы могут строиться либо в ограниченной области, либо в исходной неограниченной области, для этого случая необходимо разработать метод редукции разностных схем к схемам на сетках с конечным числом узлов;

- разработка метода редукции краевых задач для уравнений с малым параметром при старших производных с неограниченной области (прямой или полосы) к ограниченной с использованием известных подходов.

- исследование влияния погрешностей переноса краевого условия из бесконечности на решение редуцированных задач и на решение применяемых разностных схем;

- применение разрабатываемого метода к численному моделированию распространения примесей в атмосфере.

Научная новизна.

1. Предложен метод построения разностных схем для нелинейных сингулярно возмущенных уравнений второго порядка на конечном интервале. Метод основан на приближении коэффициентов дифференциальной задачи и получении точных разностных соотношений для возмущенной задачи.

- построена разностная схема для системы нелинейных дифференциальных уравнений и обоснована ее равномерная сходимость при различных ограничениях на якобиан;

- построена разностная схема для уравнения с сильной нелинейностью и доказана ее равномерная сходимость с первым порядком;

- построена схема второго порядка точности для нелинейного уравнения типа реакция-диффузия;

- построена разностная схема для стационарного уравнения Бюр-герса;

- построена разностная схема для нелинейного уравнения со степенным пограничным слоем;

- для монотонной схемы Самарского в случае смешанного краевого условия и отсутствия выраженного пограничного слоя предложен способ аппроксимации производной в краевом условии с сохранением точности схемы;

2. Построены разностные схемы для двумерных линейных и нелинейных эллиптических уравнений в полосе и в прямоугольной области:

- Для уравнения с регулярным экспоненциальным пограничным слоем в случае прямоугольной области и краевых условий третьего рода на равномерной сетке построена и обоснована разностная схема.

- Рассмотрено уравнение с экспоненциальными параболическими погранслоями в полу бесконечной полосе. Предложен способ редукции задачи к прямоугольной области. Для редуцированной задачи на сгущающейся в погранслоях сетке построена схема второго порядка точности по координатному направлению вдоль слоя. В продольном направлении исследована схема Самарского в случае краевых условий третьего рода.

- Построена разностная схема первого порядка точности для уравнения со степенным пограничным слоем в полосе; предложен способ редукции схемы к конечному числу узлов.

3. Исследован численный метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной на полубесконечном интервале сведением к краевой задаче для конечного интервала или к начальной задаче для уравнения первого порядка. Рассмотрены линейные уравнения, нелинейное автономное уравнение, автономная система нелинейных уравнений. При переносе краевых условий из бесконечности используется известный подход, основанный на выделении устойчивых многообразий. Вспомогательные задачи Коши решаются на основе асимптотических разложений по малому параметру. Проведен анализ влияния погрешностей, обусловленных переносом краевого условия, на решение редуцированных к конечному интервалу задач и на решение применяемых разностных схем; разностные схемы исследованы на равномерную сходимость по параметру. Предложен метод решения краевых задач для уравнений с точечным источником на бесконечном интервале.

4. Разработан метод редукции разностных схем с бесконечным числом узлов к схемам на сетке с конечным числом узлов. Для этого введено и исследовано устойчивое многообразие решений, удовлетворяющих предельному условию на бесконечности для разностного уравнения. В случае, когда исходная разностная схема вырождается, для выделения устойчивого многообразия предлагается использовать асимптотические разложения. Рассмотрены:

- трехточечные линейные и нелинейные разностные схемы;

- разностная схема для параболического уравнения;

- трехточечная векторная разностная схема, соответствующая сеточной аппроксимации краевой задачи для эллиптического уравнения в полу бесконечной полосе.

Практическая значимость. При математическом моделировании различных физических явлений (например, течения вязкой жидкости, перенос примеси в атмосфере) появляются краевые задачи для уравнений с малым параметром при старших производных. Краевые условия в таких задачах могут ставиться для неограниченной области. Важно корректно редуцировать краевые условия к ограниченной области, определить разностную схему для редуцированной задачи с учетом погранслойного поведения решения. Решению этих вопросов посвящено диссертационное исследование.

Результаты исследований применяются при проведении совместной хоздоговорной работы между Институтом информационных технологий и прикладной математики СО РАН ( новое название ОФИМ СО

РАН) и Омским областным комитетом природы. В соответствии с этим договором в ИИТПМ СО РАН коллективом авторов, включая автора диссертации, с 1991 года создается пакет программ по моделированию переноса примесей в атмосфере Омского региона и поиску источников загрязнений. Пакет программ передан для использования в Омский областной комитет природы.

Результаты исследований применяются и в интеграционной программе СО РАН " Исследование и моделирование процессов переноса и трансформации примесей в атмосфере Сибири."

Апробация результатов. Отдельные результаты работы докладывались: на семинарах ИИТПМ СО РАН и кафедры математического моделирования Омского государственного университета; на 4 Международной конференции по пограничным и внутренним слоям: вычислительные и асимптотические методы, Новосибирск, 1986г.; на Всесоюзной конференции " Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики " ,Новосибирск, 1987; на Всесоюзном научном совещании " Методы малого параметра " под руководством академика А.Н. Тихонова, п. Эльбрус, 1987; на Всесоюзной школе " Конструирование алгоритмов и решение задач математической физики", Кемерово, ИПМ АН СССР, КемГУ, 1988г.; на Всесоюзной конференции " Вычислительные методы и математическое моделирование, Абакан, КрГУ, 1989г.; на Всесоюзной школе по вычислительным методам, г. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1991г.; на 1 всесоюзной конференции " Математическое моделирование физико- химических процессов в энергетических установках", г. Казань, КАИ, ИТПМ СО АН СССР, 1991г. ; на Всесоюзной конференции " Асимптотические методы теории сингулярно возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач ", Бишкек, 1991г.; на 3 Всесоюзной школе " Численные методы механики сплошной среды ", Абрау- Дюрсо, 1991, ВЦ СО АН СССР, г. Красноярск, Ростовский университет 1991г.; на 2 Всероссийской конференции по математическим проблемам экологии, Новосибирск, ИМ СО РАН, 1994г.; на международной конференции " Математические модели и численные методы механики сплошных сред", Новосибирск, ИВТ СО РАН, 1996г.; на международной конференции " Математические модели и методы их исследования ", ИВТ СО РАН, ВЦ СО РАН, г. Красноярск, 1997г.; на международной конференции " Аналитические и вычислительные методы для задач с преобладающей конвекцией и для сингулярно возмущенных задач", Болгария, Лозенец, университет в Руссе, 1998г. Диссертация в полном объеме обсуждалась: на семинаре ИИТПМ СО РАН, Омск, 1999, на семинаре ИВМ СО РАН, Красноярск, 1999, на семинаре " Методы вычислительной математики " ИВМ и МГ СО РАН, Новосибирск, 1999, на семинаре ИММ Уральского отделения РАН, Екатеринбург, 1999, на объединенном семинаре по вычислительной математике

ИВМ и МГ СО РАН, Новосибирск, 1999. Публикации результатов. По теме диссертации опубликовано 53 работы, в списке литературы этим публикациям соответствуют номера [29],[30], [53]-[89], [92]- [103], [158], [201].

Основные обозначения. Под С и Сг- понимаются положительные постоянные, не зависящие от параметра £ и шагов разностной сетки. Определим используемые нормы :

• для функции непрерывного аргумента д(х) интервала I ||д|| =тах|д(ж)|,ж е /„

• для вектор-функции q(a?) из N компонент: = тах шах |дг-(ж)|,

• для вектора q: ||д|| = тах|дг-|, г

• для сеточной вектор-функции q,г: = шах тах^(х)\.

Предполагаем, что норма матрицы согласована с векторной нормой. Пусть фт[0,1] - множество функций интервала [0,1], имеющих кусочно-непрерывные производные вплоть до порядка т, причем разрывы могут быть только первого рода в заданном конечном множестве внутренних точек ( при т = 0 сама функция кусочно-непрерывна с разрывами первого рода).

Под неравенством векторов подразумевается покомпонентное неравенство. Для интервала [0, Ь] определим сетку О :

1 = {хп : хп = + кп,хо = 0, хм = Ь,Ап = (жпь жп]},Л = тах/гп.

Определим разностные аналоги производных на сетке О :

А — ~ Пп-1 д Л ^х,пЛ-\иН — Ах,пик . и «¡¡+1 ~ Цгс-1 х'п ~ К ' - (к + К+1)/2 ' - 2Л •

17

Пусть - проекция функции непрерывного аргумента на сетку.

Содержание диссертации. В первой главе рассматриваются краевые задачи для нелинейных обыкновенных сингулярно возмущенных уравнений второго порядка и систем уравнений на конечном интервале. Предложен метод построения равномерно сходящихся разностных схем для таких задач. Метод основан на приближении коэффициентов дифференциального уравнения на каждом сеточном интервале таким образом, чтобы для дифференциального уравнения с возмущенными коэффициентами точное решение имело явный вид. Тогда согласование производных соседних интервалов приводит к конечно-разностной схеме. Если коэффициенты заменены на кусочно - постоянные, то это приводит к разностной схеме первого порядка точности, равномерной по малому параметру. Замена коэффициентов на кусочно- линейные увеличивает трудности в представлении точного решения, но приводит к схеме второго порядка точности. Преимущество данного подхода состоит в том, что при построении схемы не требуется явный вид функции пограничного слоя, который затруднительно получить для нелинейных уравнений. В случае линейной задачи такой подход применялся, например, в работах А.Ю. Сечина и В.П. Гаевого.

В §1 рассматривается краевая задача:

Т£и = -ей" + а(х)и' + /О, и) = 0, (1) м(0) = А, Яеи = щ(1) + е6и'(1) = В. (2)

Предполагается, что а £ Сх[0,1], / 6 С71([0,1] х Е), а(х) > а > 0, 6 > 0,т/ > 0, е > 0, > -Д /3 > 0, а2 - 4/Зе > 0. (3) ои

На произвольной неравномерной сетке 1] строится разностная схема для задачи (1)-(2). Пусть ин - решение построенной схемы.

Теорема 1. Для некоторой постоянной С w]n -uh\\< Cexp(2/fa1)/i.

В §2 рассматривается краевая задача для системы нелинейных уравнений:

-eu" + a(z)u' + F(s,u) = 0, u(0) = A, Reи = <5и(1)+ е/?и'(1) = В, (4) где а(ж), <5, ß - диагональные квадратные матрицы порядка N с диагональными элементами, соответственно, ai(x),6i,ßi, г = 1,2,.,iV, А.В - векторы из N компонент, г -числовой параметр, е > О, F - заданная вектор-функция. Предполагается, что при всех i а* € С1 [0,1], Fi Е С1([0,1] х R), сц(х) > щ > 0, 6i > 0, ßi > 0, 8{ + ßi >0, о;о = min щ. г

Рассматривается два вида ограничений на якобиан G = F^ :

Gii > J] > 0, £ \Gij\ < (1 - <r)Gii, 0 <а <1. (5)

Зфг

Е Gij >-V,V> 0,<4 - > 7 > о, Gij < 0, j ф L (6)

3=1

Ограничения (5) соответствуют условиям строгого диагонального преобладания, особенность ограничений (6) в неположительности недиагональных элементов, что соответствует, например, моделированию химических реакций. Вводится вспомогательная линейная краевая задача:

Lu = -ей" + aO)u' + G(x)u = F(z), u(0) = A, Reu = В, (7) где матрица а(х) определена выше, G(x)- матрица порядка N х N.

Лемма 1. Пусть выполнены условия (5). Тогда тах ||иг|| < — г а тах ||А|| + тах

В;

8г + Щ(3г

Г] г

В случае выполнения условий (6) неочевидно, что для оператора Ь справедлив принцип максимума. Получено достаточное условие для выполнения принципа максимума.

Лемма 2. Пусть в (7) < 0 при г фу. Пусть найдется векторфункция ф(х) с компонентами из С2 [0,1], такая,что ф(х) > 0, Ь0(х) > 0,16/, Д£ф > 0.

Тогда, если для некоторой вектор-функции Ф(ж) с компонентами из С2[0,1]

Ф(0) > 0, Я£Ф > 0, ЬФ(ж) > 0, х Е I, (8) то Ф(аг) >0, х е I.

Доказано, что при выполнении условий (6) выполнятся посылки леммы 2 и принцип максимума для оператора Ь имеет место.

Для задачи (4) на произвольной неравномерной сетке строится разностная схема, пусть и'1 - решение этой схемы.

Теорема 2. Пусть для С(аг, в) = з) выполнено условие (5) или (6). Тогда

Ма - пк\\т < СН.

Отдельно рассмотрен случай краевого условия и'(1) = 0, когда первая производная решения ограничена, а остальные производные неограниченно растут с уменьшением е. Целесообразно исследовать схему направленных разностей на равномерную сходимость, так как эта схема проще специальных схем, учитывающих погранслойное поведение решения. Предварительно доказывается, что к линейной задаче относительно погрешности схемы, при выполнении условий (б), можно применять принцип максимума.

Теорема 3. Пусть для С справедливы ограничения (5) или (6), иЛ -решение схемы направленных разностей, шаги сетки О удовлетворяют ограничению хп + Нп < 1. Тогда и]п - ик\\ш < СтахИг. г

Доказана сходимость модифицированного метода Пикара для исследуемых нелинейных разностных схем.

В §3 рассмотрена краевая задача для уравнения типа реакция- диффузия:

Ьи = ей" - /(х.и) = 0, «(0) = А, и(1) = В. (9)

Предполагается достаточная гладкость функции /(х.и), > 0, Д > (3 > 0. Для нелинейной задачи (9) с учетом кусочно-линейного приближения коэффициентов строится разностная схема на неравномерной сетке, сгущающейся в пограничных слоях. Пусть ин -решение построенной схемы.

Теорема 4. Справедлива оценка точности: ик - ш\ < С[Я~2 + м-% где ф - число узлов в пограничном слое, М - вне слоев. В §4 рассмотрена краевая задача:

Ьи = ей" + а(х, и)и' - Ь(х, и) = 0, и(0) = А, и(1) = В. (10)

Предполагается, что коэффициенты непрерывно дифференцируемы, а(х, и) > а > 0, Ьи + ах > 7, 7 < 0, а2 + 4^7 >0, £о > £ > 0.

Для построения разностной схемы вводится сетка, сгущающаяся в пограничном слое. Вне пограничного слоя сетка предполагается равномерной. Схема строится на основе замены коэффициентов кусочно-постоянными. Пусть uh - решение построенной схемы. Теорема 5. Для некоторой постоянной С uk-[u}n\\<Ch.

В §5 рассмотрена краевая задача:

Lu{x) = eu"(x)+u(x)u'(x)-b(x)u(x) = f(x), м(0) = А, и( 1) = В. (11)

Предполагается, что коэффициенты достаточно гладкие, Ь(х) > (5 > 0, ^о(О) > 0, где «о(ж) - решение вырожденной задачи. На равномерной сетке строится разностная схема, подогнанная: к погран-слойной функции.

Теорема 6. Для построенной разностной схемы справедлива оценка точности:

Н«л-Мп1к <сн.

В §6 рассмотрена краевая задача, решение которой имеет степенной пограничный слой: е + х)и" + а(х)и' - f(x, и) = 0, «(0) = А, «(1) = В.

Предполагается, что функции а, / непрерывно дифференцируемы по своим аргументам, df е > 0, а(0) >0, тг- > 0. ои

На равномерной сетке О строится разностная схема и доказывается, что для этой схемы справедлива оценка точности:

А-[«]П||<СЛ|ЦЛ)|. 22

В случае а(0) > 1 обосновывается первый порядок точности.

Во второй главе рассматриваются краевые задачи для уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной на полубесконечном и бесконечном интервалах. Рассматривается вопрос переноса краевого условия из бесконечности с учетом наличия малого параметра при старшей производной, анализируются разностные схемы для редуцированных к конечному интервалу задач на равномерную по параметру сходимость и на устойчивость к погрешностям переноса краевых условий. На полубесконечном интервале рассмотрены линейные уравнения, нелинейное автономное уравнение, система нелинейных автономных уравнений с малым параметром при старших производных. Предложен метод решения краевых задач для уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной и точечным источником на бесконечном интервале. При переносе предельного краевого условия из бесконечности используется метод, основанный на выделении устойчивых многообразий, разрабатываемый в работах Абрамова A.A., Конюховой Н.Б. и их учеников.

В §7 рассмотрена краевая задача:

Leu = —ей" + а(х)и' + с(х)и = /(ж), (12)

0) = Д Бт«(аг) = 0. (13)

Предполагается достаточная гладкость а , с, / ,

D > а(х) > а > 0, £ G (0,1], В > с(х) >Ъ> О, f(x) —> 0, а(х) —> ао? с(х) -> со? х —> оо.

Для переноса краевого условия из бесконечности выделяется многообразие решений уравнения (12), для которых выполняется предельное условие на бесконечности [19]: и'(х) = 7(ж)и(ж) + /3(х), (14) где 7(ж) и /3(х) являются решениями сингулярных задач Коши:

Д£7 = - а(ж)7 ■+• £72 - ФО = 0, Нт7(2;) = г, (15) г - отрицательный корень уравнения ег2 — а^г — со = О, е/7 - [ф) - <у(х)е]Р = /(*), ИтД®) = 0. (16)

Показано, что решения задач (15),(16) существуют и единственны при всех х > 0.

Лемма 3. При всех х > 0

2 В , . 2 Ъ 7(х) < --—=== < 0. а + у^Т^Ж- В + у/Ж+Ш

Решение задач (15)-(16) находится на основе асимптотических разложений, поэтому предварительно исследуется устойчивость решения этих задач к возмущению коэффициентов. Лемма 4. Пусть а(#) — а(ж)| < А, |с(ж) — с(:г)| < А для х > Ь, УЬ > 0.

Тогда найдется С: \у(х) — ^(х)] < С А для х > Ь. Приближенное решение задачи (15) ищется в виде: N

1н{х) = £ 1п(х)е\ (17) п-0 где коэффициенты связаны рекуррентным соотношением:

7п(х) = а(х) 1 где 0 < i,j < п — 1, п > 1, 7о(ж) = —с(х)/а(х).

Лемма 5. Пусть функции а(х) и с(х) N раз непрерывно дифференцируемы. Тогда для достаточно малых значений е для некоторой постоянной С при всех х > О

Аналогичным образом из (16) на основе асимптотических разложений находится (3(х).

С учетом соотношения (14) задача (12)-(13) редуцируется к конечному интервалу [0,1/]:

-ей" + а(х)и! + с(х)и = ¡(х), м(0) = А, и'(1)-у(1)и(£) = /3(1). (18)

Доказано, что решения задач (12)-(13) и (18) совпадают на интервале [0,1/]. Значения у(Ь) и (3(Ь) из задач (15),(16) могут быть найдены приближенно, поэтому исследуется устойчивость решения задачи (18) к возмущению коэффициентов в краевом условии.

Теорема 7. Пусть й(х)~ решение задачи (18) в случае возмущенных значений у(Ь), (3(Ь). Пусть

7(Ь)<0, |7(ЬО)-7№>)|< ДЬ \(3(Ь) - < А2.

Тогда при всех х Е [0, Ь] г/(я) - м(ж)| < еа~1{А2 + ДхЩ-Щ} ехр^гГ1^ - £)].

Таким образом, если коэффициенты 7 и ¡3 найдены с некоторой погрешностью, то эта погрешность при наличии малого параметра существенно уменьшается.

Далее исходная краевая задача (12)-(13) сводится к задаче Коши: и,(х)--у(х)и(х) = 'Р(х), и(0) = А. (19)

Решения задач (12)-(13) и (19) совпадают. Доказано, что решение задачи (19) устойчиво к возмущению коэффициентов у(х) и (3(х).

В §8 аналогичным образом рассмотрена краевая задача для уравнения без первой производной.

В §9 рассмотрен вопрос редукции к конечному интервалу краевой задачи для нелинейного автономного уравнения: ей" + ти' + д(и) = 0, м(0) = A, Jim и(х) = В. (20)

В §10 рассмотрена краевая задача на конечном интервале: ей" + а(х)и' + f(x,u) = 0, и(0) = A, R£u = u'(L0) + в(и(£0)) = 0. (21)

На коэффициенты задачи (21) наложены ограничения таким образом, что (21) обобщает задачи, полученные в §7—§9 после редукции к конечному интервалу. Особенность задачи (21) в нелинейности и наличии малого параметра при старшей производной. Доказывается, что решение задачи (21) существует и единственно, первая производная решения равномерно ограничена. По этой причине исследуется сходимость схемы направленных разностей, которая проще специальных разностных схем, учитывающих пограничный слой.

Теорема 9. Пусть h < Тогда найдется С: uk-[uM<Ch. (22)

При переносе краевого условия из бесконечности функция Q(v) вычисляется приближенно. Доказано, что схема направленных разностей устойчива к погрешностям в О.

Лемма 6. Пусть функция непрерывно дифференцируема, причем 0'(г>) > — /?о- Пусть йк - решение схемы с возмущенной функцией 0. Тогда если | — ®(и%)| < А , то при всех хп Е П инп -йнп\< + 2<*Л) ехр[а(2е + - £)]. (23)

В §11 рассмотрена третья краевая задача для нелинейного уравнения на конечном интервале. Такая задача появляется при редукции краевой задачи с бесконечного интервала к конечному. Во внутренних узлах равномерной сетки применяется монотонная схема Самарского. Предлагается односторонняя аппроксимация производной в краевом условии на трехточечном шаблоне. При этом сохраняется второй порядок аппроксимации разностной схемы, но нарушается свойство диагонального преобладания разностного оператора. Доказывается, что принцип максимума для разностного оператора при такой аппроксимации краевого условия остается справедливым. На основе принципа максимума доказывается равномерная сходимость монотонной схемы Самарского в случае равномерной сетки и краевых условий третьего рода.

Предварительно рассмотрена трехточечая разностная схема: у = Апикп+1 - Впинп + Спикпг = п = 1,2,., N - 1,

4 = А, Д*«* = ци% + 6[34 - + <2]/(2А) = В. (24)

Предполагается, что при всех п Ап > 0, Сп > 0.

Лемма 7. Пусть существует сеточная функция фн: фк> 0, ьнпфк< 0, п = 1,2,.,^-1, ^Фм ~ 4+ Ф%-2 < 0, 3ф% - Цнмг + ф%2 > 0. (25)

Сдг-1

Тогда из условий

ФА<0, п = 1,2,., ./V — 1, Ф5>0, ЯкЪк>0 (26) следует > О, 0 < п < N. Рассмотрена краевая задача: ей" - а(х)и' - /(ж, и) = 0, и(0) = А, В£и = щ(1) + 6и'( 1) = В. (27)

Предполагается, что а £ С1 [0,1], / € ^([0,1] х Д), а(х) >а>0,ее(0,1], д//ди > -(3,(3 > 0, а2 - 4/Зе > у > 0, г] > 0, <5 > 0. (28) На равномерной сетке О исследуется разностная схема: епАХХуПик - а(хп)А^пин - /(жп, ) = 0, еп = е[1 + а„Л/(2е)]-1,

4 = А, щнн + 6[3инм - + <2]/(2А) = В. (29) Теорема 10. Для схемы (29) справедлива оценка точности:

Л-Мп||<С^, Л<Л0. (30)

Для нелинейной разностной схемы обоснована сходимость модифицированного метода Пикара.

В §12 рассмотрена краевая задача для уравнений с малым параметром и точечным источником на бесконечном интервале. Такая задача является модельной при анализе распространения примеси от точечного источника. Точечный источник задается дельта- функцией Дирака. Из-за этого в постановке краевой задачи возникает условие на скачок производной. Итак, рассмотрена краевая задача: ей" - а(х)и' — с(х)и = /(ж), х ф О, 28 еи'(+0) - £•«'(—0) - -ф, «О) о, ж ±оо, (31) где а(х) > а > 0, с(х) > ¡3 > 0, £ > О, > О, а(х) —> Йг, с(ж) —сг-, /(ж) —► О, ж —* ±оо, г = 2,1.

Доказано, что в окрестности точечного источника имеет место экспоненциальный пограничный слой. Задача (31) редуцирована к конечному интервалу: ей" — а(х)и' — с(х)и = /(ж), х ф 0, £м'(+0) — еи'(—0) = еи'&г) - 71(Ь1)«(Ь1) = №0, «'№>) - ъ(и)и{и) = /32(£2), (32) где функции 7г и ¡3{ являются решениями сингулярных задач Коши. Доказано, что решения задач (31) и (32) совпадают при х £ [Ь^Ь^. Функции 7г и ¡3{ могут быть найдены на основе асимптотических разложений с некоторой погрешностью, поэтому по аналогии с §7 исследуется влияние погрешности при задании этих функций на решение задачи (32). Для задачи (32) на равномерной сетке построена разностная схема, подогнанная к функции, задающей экспоненциальный рост решения в окрестности нуля. Пусть ин - решение построенной схемы. Теорема 11. Для некоторой постоянной С ин-Ш\<Ск.

Доказана устойчивость разностной схемы к возмущению коэффициентов 7« и (Зг. Аналогичным образом рассмотрен случай уравнения с точечным источником типа реакция-диффузия.

В §13 рассмотрена краевая задача для системы автономных нелинейных уравнений на полубесконечном интервале. Такая задача является модельной при моделировании химических реакций с учетом диффузии. Задача имеет вид: где а - постоянная диагональная квадратная матрица порядка N с диагональными элементами а*, А, В - векторы из N компонент, е -числовой параметр, g(u) - известная вектор-функция. Пусть С (у) -матрица Якоби вектор - функции g(v). Предполагается, что т0>сы>т> 0, г = 1,2,.,ЛГ, g(B) = 0, < 0, 6 В.1*, СгЛу) >~Р,Р> О, Ш2 - > а > О, £ > (У{ > 0. (34)

Доказано, что при выполнении условий (34) решение задачи (33) единственно, причем неотрицательно, если А > О, В > О, g(0) < 0. Свойство неотрицательности решения существенно, например, при моделировании химических реакций. Исследовано поведение решения при больших значениях х.

Лемма 8. Найдется Ь такое, что при всех г и х > Ь г/,-(ж) - ВгI < \щ(Ь) - ВгI ехр{гг(ж - £)}, п = -и¿{аг- + у/а? + 2<7,-е}1.

В соответствии с подходом [3] выделено многообразие решений системы (33), удовлетворяющих предельному условию на бесконечности:

-¿и" + аи' + в(и) = 0, и(0) = А, 1шп(г) = В, (33) и'(ж) = 7(«(х) - В) + ?(и(х))

35) где матрица 7 является решением квадратного уравнения

-¿72 + а7 + в(В) = О,

36) причем спектр этой матрицы расположен в левой полуплоскости. Вектор-функция F(u) является решением задачи Ляпунова:

F'(u)[Y(u - В) + F(u)] - (а - e7)F(u) = g(u) - G(B)(u - В), F(B) = О

В соответствии с [113], [128] для достаточно малых значений ||и — В|| решение этой задачи существует и единственно. Решение задачи Ляпунова предлагается находить на основе асимптотических разложений. Пусть

ТП

Fm(u) = £ F*(u)sk. к=О

Для коэффициентов асимптотического ряда получена рекуррентная формула. Предварительно доказана лемма.

Лемма 9 Пусть S z = ет! — Mz, матрица М имеет строгое диагональное преобладание:

Мй(1-Л)>Е\Щ1 0 < т; < 1, Мц>а>0, г = 1,2,., ÍV.

Зфг

Тогда для произвольной дифференцируемой вектор - функции z(x), имеющей предел на бесконечности, справедлива оценка:

INU < ^{^ll^ziU + maxjim

Лемма 10 Пусть и(х) - решение задачи (33). Тогда при достаточно малых значениях е для некоторой постоянной С:

F(u(a?)) - Fm(u(x))| ¡ív < Cem+l.

Предложен асимптотический подход к решению матричного уравнения (36). С учетом соотношения (35) задача (33) редуцирована к краевой задаче для конечного интервала. Исследовано влияние погрешности, обусловленной редукцией задачи, на решение редуцированной задачи.

В третьей главе рассматриваются скалярные и векторные разностные схемы с бесконечным числом узлов. Подход предыдущей главы к переносу краевых условий из бесконечности распространен на случай разностных уравнений. В случае трехточечной разностной схемы многообразие решений, удовлетворяющих предельному условию на бесконечности, задается в виде разностного уравнения первого порядка. Коэффициенты этого уравнения находятся из вспомогательных двухточечных задач с предельным условием на бесконечности. При переходе к конечному числу узлов это разностное уравнение первого порядка при некотором п = N принимается в качестве правого краевого условия. Отдельно рассматривается случай, когда разностная схема вырождается при стремлении некоторого параметра к нулю.

В §14 рассмотрена линейная трехточечная разностная схема:

Апинп! - Св«2 + Впикп+1 = п> 0, (37) о = и1 О ПРИ п^оо. (38)

Предполагается, что при всех п

Ап > 0,Вп > 0, Сп > Ап + Вп + А, А > О,

Ап А0, Вп Б°, Сп -»• С0, ^ 0 при п-> оо. (39)

Многообразие решений разностного уравнения (37), удовлетворяющих предельному условию на бесконечности, зададим в виде разностного уравнения: «„«£! + /?„, п> 1, (40) где коэффициенты ап и (Зп являются решением двухточечных разностных схем с предельным условием на бесконечности:

Ап о о ап = —---, ап —> а, п —► оо. сг =

41)

А, —0, п-оо. (42)

Доказывается, что решения задач (41),(42) существуют и единственны при всех п > 0. На основе соотношения (40) схема (37)-(38) редуцируется к конечному числу узлов:

ЬУ = Апинп! - Спинп + Впикп+1 = п = 1,2,., ЛГ - 1,

5 = <2, инм- ами% 1 = (Зм. (43)

Доказано, что решения задач ( 37)-(38) и (43) совпадают при всех п < N. В отличие от (37)-(38) задача (43) содержит конечное число узлов и ее решение может быть найдено методом прогонки. Доказано, что решение схемы (43) устойчиво к возмущению коэффициентов а^ и (3^. Лемма 11. Пусть коэффициенты а^ и (3^ возмущены, а^-&лг|< Дь 0<%<1, \(3к - М < А2. (44)

Тогда к - «£| < (1 - + ¿Ы, 0 < п < N.

В случае д = тш Ап/Вп > 1 выполнится п< N

5 - «¡¡I < —[д 1 1 + Д2}<ГЛ о < п < N. Ч —

Рассматривается способ нахождения а^ и (3^ на основе разложения коэффициентов исходной схемы в ряд по обратным степеням п.

Точность в вычислении этих коэффициентов возрастает с увеличением числа удержанных узлов.

Если разностное уравнение (37) вырождается в уравнение первого порядка при стремлении некоторого параметра к нулю, то для нахождения ап и [Зп предлагается использовать асимптотические разложения по параметру. Получены рекуррентные формулы для коэффициентов асимптотических разложений Доказано, что если ограничиться п слагаемыми асимптотического ряда, то коэффициенты ап и ¡Зп будут найдены с точностью 0(еп+1).

Исследована возможность сведения задачи (37)-(38) к начальной: инп = ап11п1 + /?„, п > 1 , 4 = в. (45)

Решения задач (37)-(38) и (45) совпадают. Доказана устойчивость схемы (45) к вомугцению коэффициентов ап и которые из задач (41) и (42) могут находиться приближенно.

В §15 рассмотрен вопрос редукции к конечному числу узлов нелинейной трехточечной схемы с постоянными коэффициентами.

В §16 рассмотрена нелинейная трехточечная схема с переменными коэффициентами:

Ап^п-х - Спикп + Впи*+1 = Г(икп) + /„, п > О,

5 = С, инп —► 0 при п —>■ оо. (46)

При определенных ограничениях на коэффициенты предложен способ редукции этой схемы к схеме с конечным числом узлов.

В §17 рассмотрена трехточечная векторная схема с полубесконечным числом узлов: и = СДЪ1 - вд^ + = ¥г, i> 1,

Uo = R, U< 0, i oo. (47)

Предполагается, что при каждом i U?-, Ft-, R- векторы из N компонент, Сг-, Dz- - ненулевые диагональные матрицы порядка N, матрицы Gj являются М - матрицами, с,- —Cqo, Gj —> Goo, D? Dqo, Ff —> 0, i —> oo,

HG^CiH + IIG^D.-II < o- < 1, С,- > Dt- > 0, Qi = G, - С- D,-,

Q iJ > E iQf I + A, A > 0, г > 0, 1 <j<N.

Hi

Схема (47), в частности, соответствует аппроксимации эллиптического уравнения в полубесконечной полосе. Для схемы (47) определим двухточечное векторное соотношение, задающее многообразие решений разностного уравнения (47), удовлетворяющих предельному условию на бесконечности:

U { = AjUji + В i5 где матрицы Аг- и векторы Вг связаны рекуррентными формулами:

А,- = (G,- - DfAf+i)"^,- Af -)> Аоо, i oo, (48)

Dj(Bj+i - Вi) - [Gf - D{ - DiAi+1]Bi = Ff, Вг -чО, i oo, (49) матрица A^ является решением матричного уравнения:

DooA2 - Goo А + Coo = 0 с нормой, меньшей единицы.

В случае, когда разностное уравнение (47) вырождается при стремлении некоторого параметра к нулю (что случается при сеточной аппроксимации эллиптических сингулярно-возмущенных уравнений), предложен асимптотический подход для нахождения А; и В; из (48) и (49). Оценена точность асимптотических разложений.

Редуцированная к конечному числу узлов схема имеет вид:

Сг-иг-1 - Ог-иг- + Бг-иг-+1 = Рг-, г = 1,2,.,М - 1,

Ц"о = И, \5м — = Вм, (50) где матрица Ам и вектор В м являются решениями вспомогательных задач (48),(49).

Теорема 11. Пусть и - решение схемы (50) в случае возмущенных Ам, Вм • Пусть

Ам-Ам||<Аь ||Вм-Вм|| < А2, ||Ам||<1.

Тогда шах \\\]{ - и,|| < {А^им-гП + А2}. (51)

1-||Ам||

В §18 рассмотрена четырехточечная разностная схема, соответствующая аппроксимации параболического уравнения в случае, когда предельные краевые условия по пространственной координате заданы на ±оо. Предложен способ редукции схемы к схеме на сетке с конечным числом узлов.

В четвертой главе рассматриваются двумерные линейные и нелинейные эллиптические уравнения в прямоугольной области и в полубесконечной полосе. Рассматриваются задачи в неограниченной по продольной координате области или задачи, редуцированные к конечной области, поэтому пограничный слой по продольной координате отсутствует или слабо выражен. По другой координате рассматриваются случаи регулярного экспоненциального и экспоненциального параболического погранслоев. Предлагается способ сведения краевой задачи с полубесконечной полосы к прямоугольной области. Строятся и исследуются разностные схемы для задач в прямоугольной области.

В §19 рассматривается эллиптическое уравнение с конвективными членами по обеим координатам: д2и д2и ди .ди . Л в прямоугольной области <7, О = {0 < х < 0 < г < Т^}- Краевые условия имеют вид: ди и(х, г) = ф{(х, г), х, г) Е /г- г = 1,2, ~ + = ^(г), (ж, г) € /3, и - = Фа(х), (ж, г) Е к

53)

На коэффициенты задачи накладываются ограничения: в > 0, а(ж, 2) > а > 0, и) (г) > а > 0, <53 > 0, /34 > О, О, /: + 3«;> Д>0, Ги-2т[г)>(3>0.

Предполагается достаточная гладкость коэффициентов и согласованность краевых условий. Предварительно оцениваются производные.

Лемма 12. Для некоторой постоянной С при всех (х, г) Е (3 выполнится: д> дхз и(х, г) С [1 + е1~> ехр[г~1а(ж - Ь{)]], з = 1,2,3

ЙЗ С [1 + £~3 ехр{—е егг}] , ^ = 1,2,3.

Согласно лемме 12 по х пограничный слой слабо выражен и имеет место экспоненциальный пограничный слой около границы г — 0. Для задачи (52)-(53) на равномерной по обеим координатам сетке построена схема экспоненциальной подгонки по 2 (с учетом специальной аппроксимации как самого уравнения, так и краевого условия) и обоснована ее равномерная сходимость.

Теорема 12. Пусть uh - решение построенной схемы. Тогда имеет место оценка точности ||мЛ — [м]п|| < C(h\ + /¿2)

Доказано, что в случае краевого условия u'z = 0, z — 0, соответствующего, например, отражению субстанции от поверхности, схема направленных разностей (по обеим координатам) обладает свойством равномерной сходимости. Предложен сходящийся метод линеаризации разностной схемы.

В §20 рассмотрена краевая задача для эллиптического уравнения

92w д2и ди и(х,у) = фг, (х,у) eli i = 1,2,3, Jim и(х,у) = 0 (54) в случае полубесконечной полосы D = {0 < х < оо, 0 < у < 1}. Предполагается согласованность краевых условий. Предложен способ сведения задачи (54) к прямоугольной области. В качестве краевого условия на искусственной границе х = L предлагается использовать вырожденное по продольной координате дифференциальное уравнение. Пусть и - решение редуцированной к прямоугольной области задачи.

Лемма 13. При всех (ж, у) е Al ехр{а&-1(х — L)}.

Проведена оценка производных решения как исходной, так и редуцированной задач. Согласно полученной оценке решение редуцированной задачи имеет параболические экспоненциальные погранслои у границ прямоугольной области у = 0, у = 1 В этих слоях используется и(х,у) - й(х,у)| $ ае дх2 u(L,y) сетка, предложенная Н.С. Бахваловым в случае обыкновенного уравнения. По координате х сетка предполагается равномерной, используется схема направленных разностей. Пусть иъ - решение построенной схемы.

Теорема 13. Для некоторой постоянной С 1 мл-ЭДп11<С

В §21 рассмотрена краевая задача:

Нх + 2 д^и ди и(х, у) = Фг, (х, у) £ и г = 1,2,3, Ки = щ(у)и(Ь, у) + и'х(Ь, у) = фА(у).

Такая задача со смешанным краевым условием на границе х — Ь может возникнуть после редукции с полубесконечной полосы. Как и в §20 по координате у используется центрально - разностная аппроксимация на сетке Н.С. Бахвалова, по х предлагается использовать монотонную схему Самарского на равномерной сетке. По аналогии с §11 доказано, что хотя односторонняя аппроксимация на трехточечном шаблоне производной в краевом условии нарушает диагональное преобладание разностной схемы, она сохраняет принцип максимума и не понижает точность схемы Самарского. Пусть ин - решение построенной схемы. Теорема 14. Для некоторой постоянной С справедлива оценка:

А-[«]п||<С

Л? 1

1 +

Ь + е

В §22 построена и обоснована разностная схема для нелинейного эллиптического уравнения в прямоугольной области. Обоснован модифицированный метод Пикара для линеаризации разностной схемы.

В главе 5 рассматриваются вопросы численного моделирования распространения примесей от источников загрязнений.

В §23 для эллиптического уравнения в полосе рассмотрена краевая задача, решение которой содержит степенной пограничный слой: д2и , ч д и , ^ди , ч ди ди гл(ж,1)=0, и(х,0) — = 0, lim и(х,у) = 0. (55)

0У х—>±оо 7

Такая задача является модельной при анализе распространения примеси в направлении ветра, когда коэффициент вертикальной диффузии линейным образом зависит от координаты. На равномерной сетке в соответствием с методом прямых (вдоль оси у ) и предложенным методом построения схем в главе 1 в полосе строится разностная схема и доказывается ее равномерная по малым параметрам сходимость, с первым порядком точности. Далее схема редуцируется к конечному числу узлов в соответствии с подходом, разработанным в главе 3.

В §24 кратко изложен метод расчета переноса примеси от точечных и площадных источников. Решается начально - краевая задача для параболического уравнения в случае трех измерений, изначально задача ставится в неограниченной области. Пакет программ по расчету на компьютере переноса примесей от источников загрязнений написан в соответствии с хоздоговором между ИИТПМ СО РАН и Омским областным комитетом природы.

Автор благодарит Конюхову Н.Б. за полезные обсуждения и замечания, касающиеся главы 2.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты исследований.

1. Предложен способ построения разностных схем для нелинейных сингулярно возмущенных уравнений второго порядка с заданными краевыми условиями для конечного интервала. Способ основан на приближении коэффициентов дифференциального уравнения и получении точных разностных соотношений для возмущенной задачи. Построены схемы первого порядка точности для системы уравнений при различных ограничениях на якобиан, для уравнения с сильной нелинейностью, для уравнения со степенным погранслоем. Для уравнения типа реакция-диффузия построена схема второго порядка точности. В случае степенного погранслоя показано, как предлагаемый подход может быть обобщен на случай эллиптических уравнений.

2. Построены и обоснованы разностные схемы для нелинейных эллиптических уравнений в неограниченной области (полосе и полуполосе) в случаях экспоненциального и степенного параболических пограничных слоев. Для краевой задачи предложен способ перехода к ограниченной (прямоугольной) области с оценкой погрешности между решениями исходной и редуцированной задач. Для редуцированной задачи построена аппроксимация смешанного краевого условия, сохраняющая точность монотонной схемы Самарского.

3. Исследован численный метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной на полубесконечном интервале сведением к краевой задаче для конечного интервала или к начальной задаче для уравнения первого порядка. Рассмотрены линейные уравнения, нелинейное автономное уравнение, автономная система нелинейных уравнений. При переносе краевых условий из бесконечности используется известный подход, основанный на выделении устойчивых многообразий. Вспомогательные задачи Коши решаются на основе асимптотических разложений по малому параметру. Проведен анализ влияния погрешностей, обусловленных переносом краевого условия, на решение редуцированных к конечному интервалу задач и на решение применяемых разностных схем; разностные схемы исследованы на равномерную сходимость по параметру. Предложен метод решения краевых задач для уравнений с точечным источником на бесконечном интервале.

4. Предложен способ редукции скалярных и векторных разностных схем с бесконечным числом узлов к конструктивным схемам на сетках с конечным числом узлов. Векторные схемы соответствуют разностной аппроксимации двумерных задач в неограниченной области. В случае вырождающихся разностных схем предложен асимптотический подход для нахождения решения вспомогательных сеточных задач.

5. Решена прикладная задача по численному моделированию переноса примеси от источников загрязнений. Результаты исследования нашли применение при создании пакета программ, в соответствии с договором переданного для использования в Омский областной комитет природы.

Основной итог работы заключается в разработке разностных методов решения краевых задач для линейных и нелинейных уравнений второго порядка с малым параметром при старших производных в неограниченной области.

1. Абрамов A.A. О переносе условия ограниченности для некоторых систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. Т. 1, N 4, с. 733737.

2. Абрамов A.A. О переносе граничных условий для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки).// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. Т. 1, N 3, с. 542- 545.

3. Абрамов A.A., Балла К., Конюхова Н.Б. Перенос граничных условий из особых точек для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. // Сообгц. по вычисл. матем. М.: ВЦ АН СССР, 1981.

4. Алексееевский М.В. О разностной схеме для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной. В сб.: Разностные методы математической физики. М.: МГУ, 1979, с. 36-60.

5. Алексееевский М.В. Разностные схемы высокого порядка точности для сингулярно- возмущенной краевой задачи.// Дифференциальные уравнения, 1981, т. 17, N 7, с. 1171- 1183.

6. Алоян А.Е., Йорданов Д.Л., Пененко В.В. Численная модель переноса примесей в пограничном слое атмосферы. // Метеорология и гидрология , 1981, N 8, с.32- 43.

7. Андреев В.Б., Коптева H.B. Об исследовании разностных схем с аппроксимацией первой производной центральным разностным отношением. // Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1996. Т.36, N 8.- С.101-117.

8. Андреев В.Б., Савин И.А. О равномерной по малому параметру сходимости монотонной схемы А.А.Самарского и ее модификации // Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1995. Т.35, N 5,с.737-752.

9. Арраго JI.P., Швец М.Е. К вопросу распространения тяжелой однородной примеси из высотного источника. // Труды ГГО, 1963, N 15, с. 41-56.

10. Багаев Б.М., Шайдуров В.В. Вариационно- разностный метод решения уравнения с малым параметром.//Сб. Методы вычислительной и прикладной математики, ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1977.

11. Багаев Б.М. Выделение особенностей для задач с пограничным слоем. //Сб. Моделирование в механике, Т. 3, N 2, Новосибирск, 1989.

12. Багаев Б.М. Квазилинейное уравнение с малым параметром при старшей производной.// Препринт ВЦ СО АН СССР, N 1, Красноярск, 1982.

13. Багаев Б.М., Солусенко Н.П. Численное решение для задач со степенным пограничным слоем. // Сб. Моделирование в механике, Т. 3, N 1, Новосибирск, 1989.

14. Багаев Б.М.,Шайдуров В.В. Сеточные методы решения задач с пограничным слоем.Ч.1. Новосибирск.: Наука.Сиб. предприятие РАН,1998, 198с.

15. Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя.// Ж.вычисл. матем. и ма-тем.физ. 1969.Т. 9. N 4. С. 841-890.

16. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.-М: Наука, 1987.

17. Бахвалов Н.С. Об автоматическом конструировании сетки интегрирования при решении краевых задач с пограничным слоем.// Ж.вычисл. матем. и матем.физ. 1999.Т. 39. N 8. С. 1290-1295.

18. Берлянд М.Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнения атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1975.

19. Биргер Е.С., Ляликова Н.Б. О нахождении для некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений решений с заданным условием на бесконечности // 1. Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1965. Т.5, N 6, с. 979-990. 2. 1966. Т.6, N 3, с. 446-453.

20. Биргер Е.С. Об оценке погрешности замены условия ограниченности решения линейного дифференциального уравнения на бесконечном интервале. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т.8, N 3, с. 674-678.

21. Блатов И.А., Стрыгин В.В. Сходимость метода Галеркина для нелинейной двухточечной сингулярно- возмущенной краевой задачи в пространстве Са, 6. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1985. Т.25, N 7, с. 1001-1008.

22. Блатов И.А.,Стрыгин В.В. Сходимость метода сплайн колло-каций для сингулярно возмущенных краевых задач на локально равномерных сетках. // Дифференциальные уравнения, 1990. Т.26, N 7. с. 1191-1197.

23. Боглаев И.П. О численном интегрировании сингулярно возмущенной задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. // Журнал вычисл. матем. и матем.физ. 1985. Т. 25, N 7, с. 1009-1027.

24. Боглаев И.П. Численный метод решения квазилинейного эллиптического уравнения с малым параметром при старших производных. // Журнал вычисл. матем. и матем. физ., т. 28, N 4, 1988, с. 492-502.

25. Боглаев Ю.П.Итерационный метод приближенного решения сингулярно возмущенных задач. // ДАН СССР, 1976, N 5, с. 10331036.

26. Боглаев Ю.П. О численных методах решения сингулярно возмущенных задач.// Дифференциальные уравнения, т. 21, N 10,1985, с.1804-1806.

27. Бушуев В.В.,Задорин А.И.,Паничкин В.В. Прогнозирование источников загрязнения и распространения загрязнений в воздушном бассейне города. // Препринт N 15, ИИТПМ СО РАН,Омск,1994 .

28. Вызова H.JI. Рассеяние примеси в пограничном слое атмосферы. JI.: Гидрометеоиздат, 1974.

29. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968.

30. Ван- Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967.

31. Васильев Н.И., Клоков Ю.А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига, 1978.

32. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

33. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. // Успехи матем. наук, 1963, Т. 18, N 3, с. 15-86.

34. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром.// Успехи матем. наук, 197, т. 12, N5, с. 3-123.

35. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Об асимптотике решения краевых задач для квазилинейных дифференциальных уравнений.// ДАН СССР, 1958. Т.121, N5, с. 778-781.

36. Владимиров B.C. Приближенное решение одной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка.//Прикл. матем. и механ., 1955, Т. 19, вып. 3, с. 315- 324.

37. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М., Наука, 1984.

38. Волков Е.А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на прямоугольнике.// Тр. Матем. ин-та АН СССР, М., 77, 1965, с.89-112.

39. Волосов В.М. Нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка с малым параметром при старшей производной. // Мат.сб., 1952, Т. 30, N 2, с. 24-270.

40. Вельтищева Н.С. Моделирование загрязнения городской атмосферы от серии непрерывных приподнятых источников. // Метеорология и гидрология, 1975, N 3.

41. Гаевой В.П. Об одном методе построения разностных уравнений для двухточечных краевых задач.// Вычислительные системы, Новосибирск, 1978, N 75, с.96-110.

42. Годунов С.К.,Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем . М.: издательство физ. мат. литературы, 1962.

43. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. // УМН, т. 16, N 3, 1961, с. 171- 174.

44. Гущин В.А., Щенников В.В. Об одной монотонной разностной схеме второго порядка точности. // Журнал вычисл. матем. и матем. физ., т. 14, N 3, 1974, с. 789-792.

45. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.- М.: Наука, 1957.

46. Дулан.Э.,Миллер Д.,Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1988.

47. Емельянов К.В. Усеченная разностная схема для линейной сингулярно возмущенной задачи.// Докл. АН СССР, 1982, тю 2672 N 5, с. 1052-1055.

48. Емельянов К.В. Разностная схема для сингулярно возмущенной краевой задачи с сильной нелинейностью. //ДАН АН СССР, 1986, т. 286, N 2, с. 269-272.

49. Емельянов К.В. Применение одномерных оптимальных сеток к решению двумерных задач с сингулярным возмущением. // Журнал вычисл. матем. и матем. физ., т. 38, N 3, 1998, 425-432.

50. Задорин А.И. О выделении пограничного слоя и сочетании начальных и краевых задач при решении сингулярно возмущенных уравнений .// Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1983, т.14, N 1, с. 42- 50.

51. Задорин А.И.,Игнатьев В.Н. О численном решении уравнения с малым параметром при старшей производной. // Журнал вычислительной матем. и матем. физики , 1983, т.23, N 3, с. 620628.

52. Задорин А.И. О двупараметрическом итерационном процессе решения плохо обусловленной разностной задачи. // Деп. ВИНИТИ 1018-83, 1983, 2 стр.

53. Задорин А.И. О существовании и единственности решения некоторых разностных задач для квазилинейного обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром.// Численные методы механики сплошной среды . Новосибирск,1984, т. 15, N 1, с. 33-44.

54. Задорин А.И.О численном решении третьей краевой задачи для уравнения с малым параметром .// Журнал вычислит, матем. и матем. физики, 1984, т. 24, N 7, с. 1008- 1015.

55. Задорин А.И.,Игнатьев В.Н. О сходимости разностной схемы на неравномерной сетке при наличии пограничного слоя. // Вариационно-разностные методы в математической физике (материалы всесоюз. конф.), ОВМ АН СССР, Москва,1984, ч.2 , с. 110- 119.

56. Задорин А.И.Численное решение квазилинейного сингулярно возмущенного уравнения // Сб. "Численные методы механики сплошной среды", Новосибирск, 1986, т.17, N 6, с. 35- 44.

57. Задорин А.И. Разностная схема для сингулярно- возмущенного уравнения второго порядка. // Тезисы конф. " Актуальные проблемы вычисл. и прикл. математики", 1 стр.,Новосибирск, 1987.

58. Задорин А.И.Разностная схема для самосопряженной сингулярно возмущенной третьей краевой задачи. //Сб. "Моделирование в механике", Новосибирск, 1989. Т. 3, N 1, с. 77- 82.

59. Задорин А.И.Численное решение квазилинейного уравнения с малым параметром. // Сб." Моделирование в механике", Новосибирск, 1989. Т. 3, N 2, с.89- 94.

60. Задорин А.И. Разностная схема для обыкновенного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка. // Препринт N 899 ВЦ СО АН СССР ,1990.

61. Задорин А.И.,Игнатьев В.Н.Разностная схема для нелинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка.// Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1990, т.29, 9, с.1425-1430.

62. Задорин А.И., Мухаметов М.Х., Паничкин A.B., Степачев С.Е. Комплексные вопросы моделирования камеры сгорания. ( Итоговый отчет/ВЦ СО АН СССР ; N Г.р. 0186. 0125731; инв. N.0290.00430048), Омск,1990.

63. Задорин А.И.,Игнатьев В.Н.Численное решение квазилинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1991,т. 31, N 1, с.157-160.

64. Задорин А.И.Численное решение обыкновенного уравнения второго порядка со слабо выраженным пограничным слоем. // Сб. "Моделирование в механике", Новосибирск,1991, т.5, 1,с.141-152.

65. Задорин А.И.Численное решение краевой задачи для системы сингулярно возмущенных уравнений. // Препринт N 4 ИИТПМ СО АН СССР ,1991.

66. Задорин А.И. Численное решение системы обыкновенных нелинейных сингулярно- возмущенных уравнений. // Тезисы докл. 3 Всесоюзной школы " Числ. методы механики сплошной среды ", 1 стр., Красноярск, 1991 .

67. Задорин А.И.Численное решение нелинейного уравнения с параболическим погранслоем. //Сб. " Исследования по статистической радиотехнике, дифференциальным уравнениям и алгебре", ИИТПМ СО РАН, 1992 ,с.92-100 .

68. Задорин А.И. Численное решение эллиптического уравнения с параболическим погранслоем. // Сб. "Моделирование в механике", Новосибирск, 1993, т. 7 , 1 , с.52- 59 .

69. Задорин А.И. Численное решение краевой задачи для нелинейного сингулярно возмущенного обыкновенного уравнения сведением к начальным задачам.// Препринт N 18 ИИТПМ СО РАН, Омск, 1994.

70. Задорин А.И. Численное решение нелинейного обыкновенного уравнения с пограничным слоем, соответствующим зоне реакции. // Сб. " Фундаментальная и прикладная математика ", ОмГУ, Омск, 1994, с. 107-111 .

71. Задорин А.И. Численное решение краевой задачи для системы уравнений с малым параметром.// Тезисы докл. межд. конф. " Математические модели и числ. методы МСС", 1 стр., Новосибирск, 1996.

72. Задорин А.И. Монотонная схема Самарского для нелинейного уравнения второго порядка с малым параметром в случае третьей краевой задачи.// Тезисы докл. межд. конф. " Математические модели и методы их исследования " с. 89-90, Красноярск, 1997.

73. Задорин А.И. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром.// Методические указания, Омск. Омск, университет, 1997, 45 с.

74. Задорин А.И. Монотонная схема Самарского для обыкновенного уравнения второго порядка с малым параметром в случае третьей краевой задачи. // Вычислительные технологии, 1997, Т. 2, N 5, с. 35-45.

75. Задорин А.И. Перенос краевого условия из бесконечности в случае линейного уравнения второго порядка с малым параметром. //Сб. "Математические структуры и моделирование", выпуск 1, Омск, ОмГУ, 1998, с. 13-19.

76. Задорин А.И. Разностная схема для нелинейного двумерного эллиптического уравнения с малыми параметрами при старших производных. // Тезисы докл. третьего Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике, часть 2, с. 14., Новосибирск, 1998.

77. Задорин А.И.Численное решение уравнения с малым параметром и точечным источником на бесконечном интервале. // Сибирский журнал вычислительной математики, 1998, Т. 1, N 3, с. 249-260.

78. Задорин А.И. Численное решение краевой задачи для системы уравнений с малым параметром. //Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1998, т. 38, N 8, с. 1255-1265.

79. Задорин А.И. Численное решение уравнения с малым параметром на бесконечном интервале. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1998, т. 38, N 10, 1671-1682.

80. Задорин А.И. Численное решение уравнений с малым параметром на бесконечном интервале.// Методические указания, Омск. Омск, университет, 1998, 51 с.

81. Задорин А.И. Перенос краевого условия из бесконечности при численном решении уравнений второго порядка с малым параметром. //Сибирский журнал вычислительной математики, 1999, Т. 2, N 1, с. 21-35.

82. Задорин А.И. Численное решение эллиптического уравнения с пограничными слоями в полубесконечной полосе.// Вычислительные технологии, 1999, Т. 4, N 1, с. 33-47.

83. Задорин А.И. Трехточечная разностная схема на полу бесконечном интервале. // Вычислительные технологии, 2000,1. Т. 5, N 2, 8 с.

84. Захаров Ю.Н.Об одном методе решения уравнения с краевыми условиями на бесконечности.// Сб. " Вычислительные технологии", т. 2, N 7, 1993, с.55-68, ИВТ СО РАН.

85. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б.и др. Математическая теория горения и взрыва.- М.: Наука, 1980.

86. Игнатьев В.Н.,Задорин А.И.Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром на неравномерной сетке.// Препринт ВЦ СО АН СССР,1980, N 229 .

87. Игнатьев В.Н.,Задорин А.И., Щеглаков И.С. Об одном подходе к решению уравнений с малым параметром.// Сб. "Вычисленияс разреженными матрицами", Новосибирск, ВЦ СО АН СССР ,1981, с. 62-72.

88. Игнатьев В.Н.,Задорин А.И.О плохой обусловленности при численном решении уравнений с малым параметром.// Препринт ВЦ СО АН СССР, 1981, N 84 .

89. Игнатьев В.Н.,Задорин А.И. Численное моделирование двумерного пламени.// Препринт N 446 ВЦ СО АН С ССР,Новосибирск, 1983.

90. Игнатьев В.Н.,Задорин А.И. Конечно- разностный метод расчета двумерного ламинарного пламени. // Физика горения и взрыва, 1986 , 4 ,с. 39- 42.

91. Игнатьев В.Н., Задорин А.И. Численное решение сингулярно возмущенной третьей краевой задачи. // Известия вузов, математика,1986 , 7 , с. 20- 26.

92. Игнатьев В. Н., Задорин А. И. О некоторых методах численного решения нелинейной сингулярно- возмущенной краевой задачи.// Препринт N 677 ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1986.

93. Игнатьев В.Н.,Задорин А.И., Алексеева Т.Я. Модуль химической кинетики ППП " РАФИПКС " для моделирования физико химических процессов в камерах сгорания // Отчет ВЦ СО АН СССР, номер регистрации 0186. 0125731 Инв. 0287. 00430 49, 1987 .

94. Игнатьев В.Н.,Задорин А.И. Разработка конечно разностных алгоритмов экспоненциальной подгонки для решения сингулярно - возмущенных уравнений // Отчет ВЦ СО АН СССР ,номер регистр. 0186.0125731 ,инв. 0287.0070969, Омск, 1987.

95. Игнатьев В.Н.,Алексеева Т.Я.,Задорин А.И. Моделирование двумерного ламинарного горения углеводородных топлив с учетом образования вредных примесей. // Препринт N 840 ВЦ СО АН СССР, 1989.

96. Игнатьев В.Н., Алексеева Т.Я. . Задорин А.И. Численное моделирование двумерного ламинарного пламени.// Тезисы докл. Всесоюзной конф. " Матем. методы в химической кинетике и теории горения " , Кызыл, 1991, с. 24.

97. Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. Трехдиагональные матрицы и их приложения. М.: Наука, 1985.

98. Ильин A.M.Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной. // Матем. заметки. 1969. Т.6, N 7, с. 237-248.

99. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, М.: Наука, 1989, 385 стр.

100. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр. лит., 1958.

101. Карепова Е.Д., Шайдуров В.В. Алгебраическая подгонка в методе конечных элементов для задачи реакции-диффузии с малым параметром. / ВЦ СО РАН, Красноярск, 1996.- 22 е.- Деп. в ВИНИТИ 07.10.96, No.2951-B96.

102. Клоков Ю.А. Краевые задачи с условием на бесконечности для уравнений математической физики.-Рига, РИИГВФ, 1968.

103. Константинов А.А.,Маслов В.П., Чеботарев A.M. Снос краевых условий для уравнений с частными производными.// Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1988, т. 28, N 12, с. 1763-1778.

104. Конюхова Н.Б. Об устойчивых многообразиях Ляпунова для автономных систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1994, т. 34, N 10, с. 1358-1379.

105. Конюхова Н.Б. О стационарной задаче Ляпунова для системы квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка.// Дифференциальные уравнения, 1994, т. 30, N 8, с. 13841395.

106. Конюхова Н.Б. Гладкие многообразия Ляпунова и сингулярные краевые задачи. // Сообщ. по вычисл. матем.- М.: ВЦ АН СССР, 1996.

107. Конюхова Н.Б. О численном выделении стремящихся к нулю на бесконечности решений для некоторых двумерных нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.// Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1970, т. 10, N 1, 74-87.

108. Конюхова Н.Б.,Пак T.B. Сингулярные задачи Коши с большим параметром для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1987, т. 27, N 4, 501-519.

109. Конюхова Н.Б.,Пак Т.В. К переносу допустимых граничных условий из бесконечности для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с большим параметром.// Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1987, т. 27, N 6, 847-866.

110. Коптева Н.В. О равномерной по малому параметру сходимости одной разностной схемы для эллиптической задачи в полосе. // Вестн. Моск. ун-та. Сер.15, 1997, N 2, с. 6-9.

111. Коул Д. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972.

112. Кузнецов C.B. Расчет стационарного фронта химической реакции./ / Вычислительные проблемы в задачах математической физики. Труды ИМ СО АН СССР, 1988, т. 11, с. 93- 100.

113. Курочкин C.B. Численное нахождение краевого условия вблизи особенности // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1997. Т. 37. N 5. С. 543-552.

114. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.М.: Наука, 1964.

115. Ланкастер П. Теория матриц.- М.: Наука, 1978.

116. Лисейкин В.Д., Петренко В.Е. Адаптивно- инвариантный метод численного решения задач с пограничными и внутренними слоями. Новосибирск,1989

117. Лисейкин В.Д. О численном решении уравнений со степенным погранслоем.// Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1986, т. 26, N 12, 1813-1820.

118. Лисейкин В.Д. Метод алгебраической адаптации.// Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1998, т. 38, N 10, 1692-1709.

119. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981.

120. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения.- М.-Л.: Гостехтеориздат, 1950.

121. Мак-Ивен М., Филипс Л. Химия атмосферы. М.: Мир, 1978.

122. Маркус М.,Минк К. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М. Наука, 1972.

123. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1987.

124. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем.М: Наука, 1979.

125. Маслов В.П., Чеботарев A.M. Снос граничных условий и теоремы единственности для нелинейных краевых задач.// Докл. АН СССР, 1986, т. 289, N 1, с. 47-51.

126. Найфе А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976.

127. Новиков Е.А. Явные методы для жестких задач. Новосибирск: Наука, 1997.

128. Олейник O.A. О краевых задачах для уравнений с малым параметром при старших производных. // Докл. АН СССР, 192, т. 85, N 3.

129. Ортега Д., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.

130. Пененко В.В. Методы численного моделирования атмосферных процессов. JL: Гидрометеоиздат, 1986.

131. Пененко В.В., Алоян А.Е. Модели и методы для задач охраны окружающей среды. Новосибирск: Наука, 1985.

132. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М: Изд-во Московского университета, 1984.

133. Русанов В.В. Об устойчивости метода матричной прогонки. // Вычислительная математика, 1960, N 6.

134. Рябенький B.C. Метод разностных потенциалов для некоторых задач механики сплошных сред. М: Наука, 1987.

135. Русанов В.В. Об устойчивости метода матричной прогонки. // Вычислительная математика, 1960, N 6.

136. Савин И.А.О равномерной по малому параметру точности модифицированной схемы Самарского для сингулярно возмущенного уравнения. // Дифференциальные уравнения, 1997, т.33, N 7, с. 963-966.

137. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

138. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.

139. Самарский А.А.,Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

140. Сечин А,Ю. Численный метод высокого порядка точности для сингулярно возмущенной краевой задачи. // Изв. вузов. Математика. 1983, N 7, с. 75-80.

141. Скубневская Г.И.,Бажин Н.М. Фотохимические реакции в атмосфере с участием двуокиси серы. //Метеорология и гидрология, 1982, N 9, с. 113-122.

142. Стрыгин В.В., Кузнецова Е.В. Метод сплайн-коллокации четвертого порядка для сингулярно возмущенных задач на оптимальных сетках. // Докл. РАН, 1997, Т. 353, N 2, с. 167-169.

143. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985, 232с.

144. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.:Наука,1972.

145. Тихонов А.Н. Системы уравнений, содержащие малые параметры при производных. // Матем. сб., 1952, т. 31, N 3, с. 575- 586.

146. Федорюк M.B. Уравнение Гельмгольца в волноводе (отгонка краевого условия от бесконечности) // Журн.вычисл.математики и мат.физики, 1972, т. 12, N 2, с. 374-387.

147. Чанг К.,Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. М.: Мир,1988.

148. Шайдуров В.В. Экстраполяция решений задач, содержащих экспоненциальный пограничный слой.// Препринт N 53 ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1978.

149. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989, 288 стр.

150. Шишкин Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. Екатеринбург, УрО РАН, 1992.

151. Шишкин Г.И. Сингулярно возмущенные краевые задачи с сосредоточенными источниками и разрывными начальными условиями. // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1997, т. 37, N 4. с. 429-446.

152. Шишкин Г.И. Проблема аппроксимации диффузионного потока при численном моделировании процесса переноса примеси. // Ма-тематичееское моделирование, 1995, т. 7, N 7, с. 61-80.

153. Шишкин Г.И. Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенного квазилинейного эллиптического уравнения, вырождающегося в уравнение первого порядка. // Докл. АН СССР, 1991, т. 317, N4, с. 845-849.

154. Шишкин Г.И. Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенных квазилинейных эллиптических уравнений, вырождающихся в уравнение нулевого порядка. // Журн.вычисл.математики и мат.физики, 1993, т. 33, N 9, с.1305-1323.

155. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1960.

156. Allen D., Southwell R. Relaxation methods applied to determine motion, in two dimensions, of a viscous fluid past a fixed cylinder.// J. Mech. Appl. Math., 1955, 8, p.129-145.

157. Abrahamson L., Osher S. Monotone difference schemes for singular perturbation problems. //SIAM J. Numer. Analysis, 1982, V. 19, N5, p. 979-992.

158. Balla K. Characterization of solutions in the discretization of a parabolic equation on the infinite strip. // MTA SZTAKI. LORDS. WP 96-7. Budapest. 1996.

159. Balla K. Asymptotic behavior of certain Riccati difference equations// Computer Math.Applic. 1998. V. 36. N 10-12. P. 243250.

160. Bellman R., Vasudevan R. Wave propagation. An invariant imbedding approach. // Dordrecht. Holland. D. Reidel publ. Co.,1986.

161. Berger A., Solomon J., Ciment M. An analysis of a uniformly accurate difference method for a singular perturbation problem. // Math. Comp., 1981, 37,p.79-94.

162. Chang K.W. Approximate solutions of nonlinear boundary value problems involving a small parameter.//SIAM J. Appl. Math.,1974, V.26, N 3, p. 554-567.

163. Dorr F.W. The numerical solution of singular perturbations of boundary value problems.// SIAM J. Numer. Analysis, 1970, V. 7, N 2,p. 281-313.

164. Dorr F.W.,Parter S.V.,Shampine L.F. Applications of the maximum principle to singular perturbation problems.// SIAM Review, 1973. V. 1, N 1, p. 43-87.

165. P.A.Farrell, P.W. Hemker, G.I. Shishkin. Discrete Approximations for Singularly Perturbed Boundary Problems with Parabolic Layers,1 // J. of Computational Mathematics. 1996. Vol. 14, N 1, p. 71-97.

166. P.A.Farrell, P.W. Hemker, G.I. Shishkin. Discrete Approximations for Singularly Perturbed Boundary Problems with Parabolic Layers, 2 // J. of Computational Mathematics. 1996. Vol. 14, N 2, p. 183-194.

167. Fromm J.E. A method for reducing dispersion in convective difference scheme. // J. Comput.Phys., 1968, N 3.

168. Gartland E.C. Uniform high-order difference schemes for a singularly perturbed two-point boundary value problem.// Math. Comp., 1988, 51, p. 631-657.

169. Hegarty A.F.,Miller J.J.H., O'Riordan E., Shishkin G.I. Numerical solution of elliptic convection-diffusion problems on fitted meshes.// CWI Quarterly, 1997. V.10, N 3, p.239-251.

170. Herceg D. On numerical solution of singularly perturbed boundary value problem.// Review of Research faculty of science mathematics series, Novi Sad,1993,V.23,N l,p.371-381.

171. Ignatyev V.N. ,Zadorin A.I. A finite difference method on nonuniform mesh for a singular perturbation problem.// Enlarged abstracts Equediff 6, Brno,1985, p. 51-52 .

172. Kellogg R.B.,Tsan A.Analysis of some difference approximations for a singular perturbation problems without turning points.// Math.Comput.l978.V.32,N 144, p. 1025-1039.

173. Kellogg R.B. Stynes M., Optimal approximability of solutions of singularly perturbed two-point boundary value problems // SIAM J. Numer. Anal., 1977, 34 , p.1808-1816.

174. Kellogg R.B., Shubin G.R., Stephens A.B. Uniqueness and the cell Reynolds number. //SIAM J. Numer. Anal.,1980. V. 17, N 6, p. 733739.

175. Lorenz J. Combinations of initial and boundary value methods for a class of singular perturbation problems. // Numer. Anal. Singul. Perturb. Probl. London, 1979, p. 295-315.

176. Lorenz J. Stability and monotonicity properties of stiff quasilinear boundary problems.// Review of research faculty of science-university of Novi Sad//1982. V. 12, p. 151-175.

177. Miller J.J.H., O'Riordan E., Shishkin G.I. Fitted Numerical Methods for Singular Perturbation Problems, Error Estimates in the Maximum Norm for Linear Problems in One and Two Dimensions. World Scientific, Singapore, 1996.

178. Niijima K. A uniformly convergent difference scheme for a semilinear singular perturbation problem. // Numer. Math. , 1984, 43, p. 175198.

179. Nikolova M., Axelsson 0. Uniform in e convergence of finite element method for convection-diffusion equations using a priori chosen meshes.//CWI Quarterly, 1997.V 10, N 3, p.23-276.

180. Osher S. Nonlinear singular perturbation problems and one sided difference schemes.// SIAM J. Numer. Analys., 1981, V. 18. N 1, p. 129-144.

181. Roos H. Ten ways to generate the Il'in and related schemes.// Journal of comp. and appl. math., 1994, 53, p. 43-59.

182. Roos H., M.Stynes M. Tobiska L. Numerical Methods for Singularly Perturbed Differential Equations Convection-Diffusion and Flow Problems, Springer Series in Computational Mathematics Volume 24, ISBN 3-540-60718-8, Springer-Verlag, Berlin, 1996.

183. Roos H., Stynes M., Necessary conditions for uniform convergence of finite difference schemes for convection-diffusion problems with exponential and parabolic layers.// Appl. Math. 41 ,1996, p. 269280.

184. Stynes M., O'Riordan E. A finite element method for a singularly perturbed boundary value problem. // Numer. Math.,1986, 50, p. 1-15.

185. Su Yu-cheng The boundary layer scheme for a singularly perturbed problem for the second order elliptic equation in the rectangle. // Applied Mathematics and Mechanics, 1987. V.8, N 3, p. 203-210.

186. Surla K.,Stojanovic M. Solving singularly perturbed boundary value problems by splines in tension.// J. Comput. Appl.Math.,1988, 24, p.35-363.

187. Vulanovic R. A uniform numerical method for quasilinear singular perturbation problems without turning points// Computing. 1989. N 41, p. 97-106.

188. Vulanovic R.,Herceg D.,Petrovic N. On the extrapolation for a singularly perturbed boundary value problem.// Computing ,1986, V.36, N 1-2,p.69-79.

189. Vulanovic, R. Non-equidistant finite-difference methods for elliptic singular perturbation problems, Computational Methods for Boundary and Interior Layers in Several Dimensions (J.J.H. Miller, ed.), Boole Press, Dublin, 1991, p. 203-223.