Разностные схемы для одномерных сингулярно возмущенных задач в неограниченной области

Харина, Ольга Владимировна

Разностные схемы для одномерных сингулярно возмущенных задач в неограниченной области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Харина, Ольга Владимировна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Омск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Разностные схемы для одномерных сингулярно возмущенных задач в неограниченной области»

Автореферат диссертации на тему "Разностные схемы для одномерных сингулярно возмущенных задач в неограниченной области"

На правах рукописи

Харина Ольга Владимировна

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 2004

Работа выполнена в Омском филиале Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор Задорин Александр Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Добронец Борис Станиславович; доктор физико-математических наук, профессор Багаев Борис Михайлович

Ведущая организация — Институт вычислительного моделирования

СО РАН (г. Красноярск)

Защита диссертации состоится 25 ноября 2004 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета К 212.098.03 при Красноярском государственном техническом университете по адресу: 660074, г. Красноярск, ул. Киренс-кого, 26, КГТУ, ауд. Г-4-17.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан « Щ » октября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Сафонов К.В.

да

\W0

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность

При математическом моделировании процессов конвективно-диффузионного переноса возникают краевые задачи для уравнений второго порядка с малым параметром при старших производных в неограниченной области. Чтобы решить такую задачу конечно-разностным методом, необходимо, чтобы разностная схема была конструктивной для компьютерных вычислений и сетка содержала конечное число узлов. Решение задачи в случае преобладания конвекции над диффузией содержит область пограничного слоя, что, как известно, приводит к расходимости классических разностных схем и к необходимости построения разностных схем, сходящихся равномерно по малому параметру. При наличии сосредоточенных источников возникают пограничные слои в окрестности источников, которые необходимо учитывать при построении разностных схем.

Вопрос построения равномерно сходящихся разностных схем для сингулярно возмущенных краевых задач исследуется с 1969 года. На данный момент много работ посвящено разработке разностных схем для сингулярно возмущенных задач, рассматриваемых в ограниченной области. Можно выделить несколько направлений, например: подгонка схем к погранслой-ной составляющей решения (A.M. Ильин, К.В. Емельянов, Д. Миллер, Р. Келлог и др.); сгущение сеток в пограничных слоях (Н.С. Бахвалов, В.Д. Лисейкин, Г.И. Шишкин, В.Б. Андреев, Р. Вуланович и др.); метод конечных элементов (В.В. Шайдуров, Б.М. Багаев, И.А. Блатов и др). Вопрос построения разностных схем для сингулярно возмущенных задач в неограниченной области менее изучен, разностные схемы, как правило, строятся либо в ограниченной области, либо в неограниченных, но на неконструктивных сетках с бесконечным числом узлов. В работах Г.И. Шишкина строятся конструктивные разностные схемы для задач в неограниченной области, при этом точность переноса условий из бесконечности существенно зависит от размеров конечной области.

Для построения конструктивных разностных схем в работе используется идея выделения многообразия решений, удовлетворяющих заданному условию на бесконечности, которая была предложена А.А. Абрамовым в 1961 году и далее была развита применительно к краевым задачам для систем линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в работах Н.Б. Конюховой, Е.С. Биргер, К. Балла. Актуальным остается вопрос развития этого метода для сингулярно возмущенных

уравнений и уравнений в частных производных.

Цель работы

Целью диссертационной работы является разработка численного метода решения сингулярно возмущенных краевых задач на неограниченном интервале, с учетом сосредоточенных источников, применение развиваемого подхода к уравнениям в частных производных на основе метода прямых.

Цель работы достигается решением следующих задач:

• редукция дифференциальной задачи к ограниченной области;

• обоснование устойчивости решения редуцированной задачи к погрешностям, возникающим при переносе условий;

• построение разностных схем с учетом пограничных слоев, обусловленных наличием малого параметра и сосредоточенных источников;

• разработка программ для численного решения сингулярно возмущенных задач в неограниченной области.

В работе рассмотрены системы линейных и нелинейных уравнений на бесконечном интервале с учетом сосредоточенных источников, нелинейное уравнение, моделирующее химические реакции, задачи для параболического и эллиптического уравнений.

Методы исследования

При обосновании теоретических результатов использовались: теория асимптотических методов, принцип максимума для краевых задач и разностных схем, теория сингулярно возмущенных уравнений, основы математического анализа, основы линейной алгебры, методы теории разностных схем, численные методы. Вычислительная эффективность проверялась путем написания программ и проведения численных экспериментов.

Научная новизна

• Разработан численный метод решения систем уравнений типа диффузия-реакция и диффузия-конвекция на полубесконечном интервале. Предложен метод решения вспомогательных сингулярных задач Коши для дифференциальных матричных уравнений Риккати в случаях положительно определенной и диагонально преобладающей матриц.

• Разработаны конструктивные разностные схемы для задач с сосредоточенным источником на бесконечном интервале.

• Исследованы разностные схемы на бесконечном интервале для нелинейного уравнения, моделирующего химические реакции.

• Развиваемый подход применен для решения эллиптического и параболического уравнений в неограниченной области на основе метода прямых.

На защиту выносятся:

• построенные конструктивные равномерно сходящиеся разностные схемы для линейных систем сингулярно возмущенных уравнений на неограниченном интервале (системы уравнений типа диффузия-реакция и диффузия-конвекция в случае положительно определенной и диагонально преобладающей матриц);

• построенные конструктивные равномерно сходящиеся разностные схемы для линейных и нелинейных систем уравнений с малым параметром при старших производных и с точечным источником на бесконечном интервале;

• разностные схемы с конечным числом узлов для, нелинейной краевой задачи на бесконечном интервале, моделирующей химические реакции;

• построенные конструктивные разностные схемы для эллиптической задачи в полуполосе и для параболического уравнения с точечным источником на бесконечном интервале.

Практическая значимость

При математическом моделировании различных конвективно-диффузионных процессов появляются краевые задачи для уравнений с малым параметром при старших производных в неограниченной области. При разработке разностных схем необходимо учитывать, чтобы скорость сходимости этих схем не зависела от значений малых параметров (вязкости, диффузии и других). Для компьютерной реализации разностных схем необходимо, чтобы, несмотря на неограниченность исходной области, разностная схема была конструктивной и сетка содержала конечное число узлов. Решению этих вопросов посвящено диссертационное исследование.

Апробация результатов

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах ОФ ИМ СО РАН и кафедры математического моделирования Ом-ГУ, научной молодежной конференции "Молодые ученые на рубеже третьего тысячелетия" (Омск, 2001), II Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск/ 2002), Международной конференции по Вычислительной Математике (ICCM-2002, Новосибирск, 2002), IV Международной конференции |ГСредства математического моделирования"

(Санкт-Петербург, 2003), Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Усть-Каменогорск, 2003), Международной конференции по Вычислительной Математике (МКВМ-2004, Новосибирск, 2004), III Международной конференции "Numerical Analysis and Applications" (Болгария, Py-ce, 2004), Международной конференции "Boundary and Interior Layers, Computational and Asymptotic Methods" (BAIL-2004, Франция, Тулуза, 2004), Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Алматы, 2004), семинаре института Вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск, 2004).

Публикации результатов

По теме диссертации опубликовано одиннадцать работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (49 наименований). Материал изложен на 143 страницах текста, включая 14 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, определена цель работы, новизна и практическая значимость, приведено краткое содержание разделов диссертации.

В первой главе рассматриваются краевые задачи для линейных систем уравнений типа диффузия-реакция и диффузия-конвекция на полубесконечном интервале. Исследован вопрос численного решения краевой задачи для нелинейного уравнения, моделирующего химические реакции.

В первом параграфе рассматривается вопрос численного решения краевой задачи для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старших производных на полубесконечном интервале с положительно определенной матри-

£2u"(i)-c(i)u(x) = f(i), u(0) = A, Jirn u(x) =0, (!)

где £ 6 (0,1], матрица С(х) и вектор-функция f (х) достаточно гладкие, С(х) является положительно определенной матрицей порядка п,

С{х) >al, а > 0, lim С{х) = С», lim f(z) = 0. (2)

При наложенных ограничениях решение задачи существует и единственно. Для переноса предельного краевого условия из бесконечности выделяется многообразие решений исходного уравнения, удовлетворяющих предельному условию на бесконечности:

аЦх)+в(х)и(х)=Р(х), (3)

где матрица О(х) — решение сингулярной задачи Коши для матричного уравнения Риккати:

ев'(х) - в2(х) + С(х) = 0, _Шп в(х) = у/С^, (4)

вектор-функция — решение сингулярной задачи Коши:

еД'(х) - С(х)/3(х) = {(х), Ит 0(ат) = 0. (5)

Исходная задача редуцируется к задаче на конечном интервале на основе выделенного многообразия:

е2и"(х)-С(х)и(х)=Г(х), и(0) = А, еи'(Ь) + ОДи(£) = ¡ЗЩ. (б)

Доказано, что решения задач (1) и (6) совпадают на интервале [0,Х].

Доказано, что матрица О(х) также является положительно определенной матрицей. В случае симметричной матрицы С(х) доказано, что решение задачи (4) устойчиво к возмущению этой матрицы.

Матрица О(х) и вектор-функция /?(ж) из сингулярных задач Коши найдены в виде асимптотических рядов по параметру :

Ст(х) = /И*) = ¿&(*)е4-

Получены рекуррентные формулы:

С0(х)С*(х)+Са(х)С0(х) = С0(х) = у/дЩ,

Исследуется точность такого подхода на основе анализа свойств решений

матричных уравнений Риккати._

Для нахождения бо (Ъ) = льзуется итерационный метод

вычисления корня из положительно определенной матрицы. Уравнение

на G к (х) вида АХ + ХВ = Н является непрерывным уравнением Сильвестра, которое однозначно разрешимо. Для его решения предлагается использовать алгоритм Бартелса-Стьюарта. Так как матрица G(x) и вектор-функция /?(х) могут быть найдены приближенно на основе полученных разложений, задача на конечном интервале (6) исследована на устойчивость к возмущению этих коэффициентов в теореме 1.

Построена разностная схема экспоненциальной подгонки для эквивалентной задачи первого порядка и доказана ее равномерная относительно малого параметра сходимость.

Теорема 2. Для некоторой постоянной С ||ил — [u]n)|| < Ch.

Приведены результаты численных экспериментов. Для решения редуцированной задачи использовалась схема центральных разностей на неравномерной сетке Шишкина, имеющей порядок точности 0(N~2 In2 N). Сравнивалась точность переноса краевого условия из бесконечности на основе условий Дирихле, Неймана и на основе выделения устойчивого многообразия. Результаты подтвердили преимущество в точности предложенного подхода.

Во втором параграфе исследуется краевая задача для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений типа диффузия-конвекция второго порядка с малым параметром при старших производных на полубесконечном интервале с положительно определенной матрицей:

eu"(x) - a(x)u'(z) - C(x)u(i) = f(i), u(0) = A, Irai u(z) = 0. (8)

Предполагаем, что С(х) - матрица порядка п,

lim С(х) = Соо, lim f(x) == 0, lim а(х) = а^,

Функция а(х), вектор-функция f(x) и матрица С(х) предполагаются достаточно гладкими. Получена оценка устойчивости для решения задачи.

По аналогии с предыдущим параграфом, задача редуцируется к конечному интервалу. Выделяется многообразие решений уравнения, удовлетворяющих предельному условию на бесконечности:

u'(x) +G(z)u(i) = 0(х), (10)

где G(x) — решение сингулярной задачи Коши для матричного уравнения Риккати:

eG' - eG2 - a(x)G + С(х) = 0, lim G(x) = Gœ> (И)

в(х) — решение линейной задачи:

ев' - [а(х)1 + eG(x)]0 = f (х), Йп^ 9{х) = 0. (12)

Доказано, что матрица G(x) является положительно определенной матрицей. Исследована устойчивость решения задачи на G(x) к возмущению матрицы С(х). Исходная задача сводится к краевой задаче для конечного интервала:

u(0) = A, u'(L) + G(L)u(L) = 6{L). (13)

Доказано, что посредством (13) задача (8) преобразуется к конечному интервалу точным образом. Исследуется вопрос нахождения решения G(x) сингулярной задачи Коши для матричного дифференциального уравнения Риккати (11) на основе асимптотических разложений решения по малому параметру и . Исследуется точность такого подхода на основе анализа свойств решений матричных уравнений Риккати.

Исследована устойчивость решения задачи (13) к возмущению коэффициентов.

Теорема 3. Пусть \\в(Ь) - 9{L)|| < Д, \\G(L) - G(L)|| < Д, G > 61.

Тогда для некоторой постоянной С

||u(x) - ü(x)|| < СЬу/еехр(ое-1(г - L)/2).

В третьем параграфе рассмотрена краевая задача для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка типа диффузия-реакция на полубесконечном интервале с диагонально преобладающей матрицей:

e2u"(x) - С(х)и(х) = f(x), u(0) = A, Дт^Цх) = 0, (14)

где матрица С(х) и вектор-функция f (x) достаточно гладкие, С(х) является несингулярной М-матрицей порядка п. Предполагаем, что

Исходная задача редуцируется к задаче на конечном интервале на основе выделенного многообразия:

e2u"(x) - C(x)u(x) = f(x),

и(0) = А, еи'Щ + С(£)и(£) = /3(Ь). (16)

Доказано, что решения исходной и редуцированной задач совпадают. Матрица G(x) и вектор-функция 0(х) из вспомогательных сингулярных задач Коши найдены в виде асимптотических рядов по параметру е. Для нахождения Са(Ь) льзуется сходящийся итерационный метод вычисления корня из М-матрицы.

Лемма 13. При вычислении квадратного корня из диагонально преобладающей М-матрицы с помощью предложенного итерационного метода получим диагонально преобладающую М-матрицу.

Рассмотрен алгоритм Бартелса-Стьюарта для решения уравнения на в случае несимметричной матрицы. Исследована устойчивость задачи на G(x) к возмущению матрицы С(х). Также исследована устойчивость задачи на конечном интервале (16) к возмущению коэффициентов. Для численного решения редуцированной к конечному интервалу задачи используется схема центральных разностей на неравномерной сетке Шишкина. Результаты вычислений подтверждают преимущество в точности предложенного подхода.

В четвертом параграфе рассматриваются вопросы численного решения краевой задачи для нелинейного уравнения второго порядка на полубесконечном интервале. Нелинейность данного уравнения соответствует моделированию химических реакций, когда скорость реакции зависит от температуры по закону Аррениуса. Особенность задачи — в неограниченности исходной области и в наличии у решения узкой погранслойной области, соответствующей зоне реакции. Задача имеет вид:

(17)

где При моделировании химических

реакций функция F имеет представление:

(18)

причем К > О, Е > 0, и — температура, е — коэффициент диффузии, а — скорость распространения пламени, К — константа скорости реакции, Е — энергия активации, F(u) соответствует тепловыделению согласно закону Аррениуса.

Исходная задача сводится к задаче на конечном интервале:

ей" - аи' + и) = О,

Г(и) = К (В - и)ехр

«(0) = А, и'Щ = -у[ищ -В} + /?(«(!)). (19)

Функция /И (и) в граничном условии ищется приближенно в виде асимптотического ряда по параметру.

Для построения разностной схемы переходим к уравнению с кусочно-постоянными коэффициентами. На каждом интервале решение находится в явном виде: постоянные находим из краевых условий, учитываем непрерывность производной решения на границе соседних интервалов.

Доказано, что сгущением узлов сетки можно обеспечить заданную точность разностной схемы. Построенная схема нелинейна. Эту схему можно линеаризовать, вычисляя правую часть на предыдущей итерации, тогда на каждом итерационном шаге схема будет монотонна. Также для решения задачи предложена схема направленных разностей на неравномерной сетке, учитывающей погранслойный рост решения. Доказана сходимость предложенного итерационного метода. Приведены результаты численных экспериментов.

Во второй главе рассматриваются краевые задачи для обыкновенных сингулярно возмущенных уравнений второго порядка и систем уравнений с точечным источником в неограниченной области. Наличие сосредоточенных источников приводит к появлению областей больших градиентов решения около источника. Исследуются вопросы построения разностных схем, учитывающих поведение решения в окрестности источника.

В первом параграфе рассматривается обыкновенное сингулярно возмущенное дифференциальное уравнение второго порядка типа реакция-диффузия с точечным источником на бесконечном интервале:

Предполагается, что

функции с(а;), /(а;), и(х) — достаточно гладкие. Условие на скачок производной соответствует наличию точечного источника. Данная задача является модельной при описании переноса примеси. При сделанных ограничениях решение задачи существует и единственно. Доказан принцип максимума для задачи. Получены оценки на решение и его производные.

Лемма 19. Для некоторой постоянной С

|«Ш{х)\<с[\ + ^ ехр(-/?£_1|х|)|. (22)

Для переноса краевых условий из бесконечности выделяются многообразия решений исходного уравнения, которые удовлетворяют предельным условиям на бесконечности:

еи'(х) = 71(х)«(х)+Д(х), х < 0; еи'(х) = 72(х)и(х)+Д!(а;), х > 0, (23)

где функции , » = 1,2 являются решениями сингулярных задач

Коши. Используя эти соотношения от исходной задачи перешли к задаче на конечном интервале [Ьь-Еа]. Решения задач Коши найдены на основе асимптотических разложений по параметру е, получены рекуррентные формулы. Получена оценка точности. Исследуется влияние погрешностей в коэффициентах и Д на решение задачи.

Для задачи на конечном интервале построена разностная схема экспоненциальной подгонки на равномерной сетке, учитывающая погранс-лойный рост решения, и доказана ее равномерная относительно малого параметра сходимость.

Теорема 6. Для некоторой постоянной С ||ил — [и]п)|| < СН. Приведены результаты численных экспериментов. Во втором параграфе рассматривается метод решения краевой задачи для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старших производных и точечным источником на бесконечном интервале:

¿0У = еУ(+0)-еУ(-0) = -С1, ^лп^х^О, (24)

где е € (0,1], матрица А(х) и вектор-функция F(х) достаточно гладкие, А(х) является несингулярной М-матрицей порядка п. Предполагаем, что

ШПоА{Х)=А2, ^т^х) = 0. (25)

При моделировании химических реакций условие на скачок производной соответствует тому, что в точке х = 0 находится точечный источник мощности (}, вектор-функция и(х) — концентрация реагентов, е — коэффициент диффузии, А(х) — матрица, отвечающая за взаимодействие реагентов, F(x) — несосредоточенный источник или сток.

Доказано существование решения задачи. Получены оценки на решение и его производные. В окрестности источника имеется внутренний экспоненциальный слой, что следует из оценки производных решения.

Для редукции задачи к конечному интервалу задаются многообразия решений в виде систем уравнений первого порядка и далее используются в качестве граничных условий в задаче на конечном интервале:

б2\"(х) - A(x)V(x) = F(x), U < х < L2, х ф О,

eV'(L2) + B2(L2)V(L2) = A(La), ¿2 > 0. (26)

Для решения задачи на конечном интервале матрицы Bk(x) и вектор-функции 0к(х), к = 1,2 из сингулярных задач Коши найдены приближенно в виде асимптотических рядов по параметру , исследована устойчивость задачи к возмущению этих коэффициентов.

Для численного решения полученной задачи на конечном интервале используется схема центральных разностей на кусочно-равномерной сетке Шишкина, учитывающей погранслойный рост решения. Проведены численные эксперименты.

В третьем параграфе рассматривается нелинейная система уравнений второго порядка с малым параметром при старших производных на бесконечном интервале:

Т0и = eu'(+0) - eu'(-O) = -Q, ^lim^x) = А, = В, (27)

где а — постоянная диагональная квадратная матрица порядка N с диагональными элементами а¿, g(u) — непрерывно дифференцируемая вектор-функция, Q, А, В — векторы из N компонент.

Предполагаем, что а; > m > 0, Ql > 0, g(A) = 0, g(B) = 0,

G(v) = , v € — матрица Якоби вектор-функции g(v).

Доказано существование, единственность и ограниченность решения задачи. Доказано, что при достаточно больших |х| решение п{х) по каждой

компоненте ограничено и экспоненциально приближается к краевым условиям.

Лемма 30. При всех i = для х < 0

- Ail < l«i(0) ~ Ai\ ехр(гпх)

для х >О

|u<(x) - Bi\ < |uj(0) - Bi\exp(ri2x),

где Гц и Гц — положительный и отрицательный корни уравнения erf - счп - tfi = 0.

Доказано, что решение задачи слева от точки х = 0 имеет внутренний экспоненциальный слой, а правее точки не имеет больших градиентов по параметру е.

Лемма 31. При всех Qi {1,-N} для х < 0

для х > О при всех i = 1,..., N, а также для любого х при (¿1= О

Задача сведена к задаче на конечном интервале на основе выделения многообразий:

где матрица 71 и вектор-функция Fi (и) являются решениями задач:

(F1U7l(u-A)+F1(u)]+(71-a)F1(u) = e[g(u)-G(A)(u-A)], F^A^O.

Решения задач на и РДи), 1=1,2 найдены на основе асимптотических разложений по параметру е. Исследована устойчивость задачи на конечном интервале к возмущению коэффициентов.

В случае ^ 0, х„ < 0, I € {1,-^}, п € {-М,М} используем схему, подогнанную к экспоненциальному изменению решения в левой полуокрестности нуля. В случае х„ > 0, п € {—М,М} и лс„и<) , О» =0, I € {1,-М} решение задачи не содержит погранслойной составляющей и используется схема направленных разностей. Доказана равномерная сходимость построенной схемы с первым порядком.

1«П*)1 <с2.

,0)

eu'(x) = 7l(u - А) + Fx (и), и' = 72(11 - В) + F2(u)

В главе 3 показано как на основе метода прямых можно применить развиваемый выше подход к решению уравнений в частных производных. Исследуются вопросы численного решения параболической и эллиптической задач.

В первом параграфе рассматривается параболическое уравнение с малым параметром при старшей производной и точечным источником на бесконечном интервале:

• в бесконечной полосе Р = {—оо < х < оо, 0 < £ < 1}. Предполагаем, что функции а, /, ф достаточно гладкие в области D(О, 1], Q > О,

(29)

Особенность задачи — в неограниченности исходной области и наличии сосредоточенного источника. Методом прямых исходная задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на бесконечном интервале. Так как решение задачи не содержит пограничных слоев по переменной t, производная по t аппроксимируется на равномерной сетке. Задача для параболического уравнения сведена к краевой задаче для системы дифференциально-разностных уравнений, которая может быть записана в виде:

(30)

где lim А(х) = А\, Iim А(х) = Аг, lim F(x) = 0, двухдиагональная

матрица А(х) является положительно определенной М-матрицей. Справедлива оценка для погрешности перехода:

maxmax| V}{x) -{/j(x)| < Cit, U = [u]«,.

Получены оценки на решение задачи и ее коэфициенты. Задача редуцирована к конечному интервалу. Доказана устойчивость полученной краевой

задачи на конечном интервале к возмущению коэффициентов. Доказательства проводятся по аналогии с параграфом 1, где была рассмотрена система без точечного источника.

Решение задачи имеет внутренний погранслой около точки х = 0. Для численного решения ее предлагается использовать схему центральных разностей на неравномерной сетке Шишкина, сгущающейся в пограничном слое.

Во втором параграфе рассматривается краевая задача для эллиптического уравнения с малым параметром при старших производных:

(31)

в полубесконечной полосе обозначают линейные участки границы:

Предполагаем, что функции и, с, /, фi) i = 1,2,3 достаточно гладкие в области Б,

с(х,у) > 0 > О, ^Нгг^/(х,у) = 0, ^Нгп^с(х,у) = со(у), 1\т_^ф{(х) = 0.

Методом прямых эллиптическая краевая задача сводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений на полубесконечном интервале.

Решение задачи содержит пограничные слои у границ полуполосы у = 0, у = 1. Для того чтобы решение системы дифференциальных уравнений, к которой сводим эллиптическую задачу, было близко к решению исходной задачи, вводится неравномерная сетка Бахвалова по переменной у, учитывающая эти пограничные слои. Аппроксимируя производную по переменной у на построенной сетке, получим систему:

Оценка для погрешности перехода:

тахтах\иЛх) - УДх)| < С\/М2, где V = [и]пв.

з х

Трехдиагональная матрица С(х) является диагонально преобладающей М-матрицей. Эта система может быть решена методом, изложенным в параграфе 3.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

• Построены конструктивные равномерно сходящиеся разностные схемы для уравнения с малым параметром, линейной и нелинейной систем уравнений с точечным источником на бесконечном интервале.

• Исследован метод решения параболического уравнения с сосредоточенным источником на бесконечном интервале и эллиптического уравнения в полуполосе.

• Написан соответствующий комплекс программ, проведены численные эксперименты.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований, грант 02-01-01166.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Величко О.В., Задорин А.И. Численное решение уравнения с точечным источником на бесконечном интервале // Математические структуры и моделирование. Омск. ОмГУ. 2000. Вып. 5. С. 5-10.

2. Величко О.В. Численное решение системы уравнений с малым параметром и точечным источником на бесконечном интервале // Материалы научной молодежной конференции "Молодые ученые на рубеже третьего тысячелетия". Омск. ОмГПУ. 2001. С. 66-67.

3. Величко О.В., Задорин А.И. Численное решение системы уравнений с малым параметром и точечным источником на бесконечном интервале // Математические структуры и моделирование. Омск. ОмГУ. 2001. Вып. 7. С. 17-27.

4. Величко О.В. Редукция линейной краевой задачи для системы уравнений с малым параметром с полубесконечного интервала к конечному // Тезисы докладов II Всесибирского конгресса женщин-математиков. Красноярск. КрасГУ. 2002. С. 33-35.

5. Kharina O.V., Zadorin A.I. Numerical solution of a boundary value problem for a linear system of equations with a small parameter on a half-infinite interval // Proceedings of the International Conference on Computational Mathematics. Part 2. Novosibirsk. ICM&MG Publisher, 2002. P. 449-453.

6. Харина О.В. Метод прямых для эллиптической задачи с пограничными слоями вдоль полубесконечной полосы // Материалы ежегодного научного семинара аспирантов и студентов-выпускников "Под знаком

Омск. ООО "Издатель-Полиграфист", 2003. С. 65-71.

7. Kharina O.V. Numerical solution of a linear system of singular perturbed equations on a half-infinite interval // Abstracts of the Fourth International Conference "Tools for Mathematical Modelling". Saint-Petersburg. 2003. P. 90.

8. Задорин А.И., Харина О.В. Разностная схема для параболического уравнения с сосредоточенным источником на бесконечном интервале // Совместный выпуск журнала "Вычислительные технологией журнала "Региональный вестник Востока"по материалам Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании". Т. 8, часть 2. Усть-Каменогорск. 2003. С. 32-39.

9. Kharina O.V. The method for a system of singular perturbed equations on a half-infinite interval // Proceedings of the Fourth International Conference "Tools for Mathematical Modelling". Saint-Petersburg. 2003. P. 295-299.

10. Задорин А.И., Харина О.В. Численный метод для системы линейных уравнений второго порядка с малым параметром на полубесконечном интервале // Сибирский журнал вычислительной математики. 2004. Т. 7, N 2. С. 103-114.

11. Задорин А.И., Харина О.В. Численный метод для нелинейного уравнения с пограничным слоем, соответствующим зоне химической реакции // Вычислительные технологии. Т. 9, часть 2 (спец. выпуск). 2004. С. 215-221.

Подписано в печать 18.10.04. Формат 60 х 84 1/16. Печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 542.

Издательско-полиграфический отдел ОмГУ 644077, Омск-77, пр. Мира, 55-А, госуниверситет

РНБ Русский фонд

2005-4 19720

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Харина, Ольга Владимировна

Введение

1 Построение конструктивных схем для систем уравнений на бесконечном интервале

1 1 Система уравнений типа диффузия-реакция.

1.2 Система уравнений типа диффузия-конвекция.

1.3 Система типа диффузия-реакция с диагонально преобладающей матрицей.

1.4 Нелинейное уравнение с пограничным слоем, соответствующим зоне химической реакции.

2 Построение конструктивных схем для задач с точечным источником

2.1 Линейное уравнение с точечным источником.

2.2 Система линейных уравнений с точечным источником.

2.3 Система нелинейных уравнений с точечным источником

3 Применение метода прямых для уравнений в частных производных

3.1 Параболическое уравнение с сосредоточенным источником на бесконечном интервале.

3.2 Эллиптическое уравнение в полубесконечной полосе.

Введение диссертация по математике, на тему "Разностные схемы для одномерных сингулярно возмущенных задач в неограниченной области"

Актуальность. При математическом моделировании процессов конвективно-диффузионного переноса возникают краевые задачи для уравнений второго порядка с малым параметром при старших производных в неограниченной области. Чтобы решить такую задачу конечно-разностным методом, необходимо, чтобы разностная схема была конструктивной для компьютерных вычислений и сетка содержала конечное число узлов. Решение задачи в случае преобладания конвекции над диффузией содержит область пограничного слоя, что, как известно, приводит к расходимости классических разностных схем и к необходимости построения разностных схем, сходящихся равномерно по малому параметру. При наличии сосредоточенных источников возникают пограничные слои в окрестности источников, которые необходимо учитывать при построении разностных схем.

Первоначально для решения уравнений с малыми параметрами развивались асимптотические методы. Основопологающими являются работы А.Н. Тихонова, А.Б. Васильевой, С.А. Ломова, В.Б. Бутузова, Л.И. Люстерника, М.И. Вишика, A.M. Ильина.

1) Подгонка схем к погранслойной составляющей решения. К этому подходу относятся работы A.M. Ильина, Г.И. Шишкина, К.В. Емельянова, Д. Миллера, Р. Келлога и других авторов. Выделяется погранслойная составляющая решения и строится разностная схема исходя из того, чтобы на погранслойной функции схема была точной. Преимущество данного подхода в том, что не требуется ограничений на шаги сетки, но функция пограничного слоя должна иметь явный вид и схема к этой функции должна быть подогнана, что не всегда возможно.

2) Сгущение сеток в пограничных слоях. К данному подходу относятся работы Н.С. Бахвалова, В. Д. Лисейкина, Г.И. Шишкина, В.Б. Андреева, Р. Вулановича и других авторов. В работе Н.С. Бахвалова функция, распределяющая узлы сетки, строится таким образом, чтобы погрешность аппроксимации по узлам сетки в пограничных слоях была одинаковой, а вне пограничного слоя сетка принимается равномерной. Доказано, что на такой сетке классическая схема центральных разностей сходится со вторым порядком точности равномерно по малому параметру. Требуется применение итерационного метода для нахождения узла, после которого сетка становится равномерной. Г.И. Шишкиным определен подход к построению разностных сеток, которые равномерны внутри пограничного слоя и вне пограничного слоя. Такая сетка отличается простотой, ее использование приводит к незначительной потере точности в сравнении с сеткой Бахвалова.

3) Применение метода конечных элементов. К этому подходу относятся работы В.В. Шайдурова, Б.М. Багаева, И.А. Блатова, JI. Тобиска и других авторов. Равномерная сходимость относительно малого параметра достигается, например, внесением дополнительных базисных функций, описывающих пограничный слой.

Вопрос построения разностных схем для сингулярно возмущенных задач в неограниченной области менее изучен. Разностные схемы строятся либо в ограниченной области, либо в неограниченных, но на неконструктивных сетках с бесконечным числом узлов. В работах Г.И. Шишкина рассматриваются сингулярно возмущенные задачи в неограниченной области. Разностные схемы сводятся к конструктивным, но точность перехода к схеме с конечным числом узлов существенно зависит от размеров конечной области. Вопрос построения конструктивных разностных схем для сингулярно возмущенных задач в неограниченной области остается актуальным. А.И. Задорин разрабатывает конструктивные разностные схемы для сингулярно возмущенных задач в неограниченной области.

Для переноса предельных краевых условий из бесконечности и построения конструктивных разностных схем используется идея выделения многообразия решений, удовлетворяющих заданному условию на бесконечности, которая была предложена A.A. Абрамовым в 1961 году и далее была развита применительно к краевым задачам для систем линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в работах Н.Б. Конюховой, Е.С. Биргер, К. Балла. Выделенное многообразие может задаваться в виде дифференциального уравнения первого порядка и при фиксированном значении аргумента рассматриваться в качестве недостающего граничного условия при переходе к задаче в конечной области. Актуальным остается вопрос развития этого метода для сингулярно возмущенных уравнений и уравнений в частных производных, в частности, для эллиптических и параболических уравнений.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка численного метода решения сингулярно возмущенных краевых задач на неограниченном интервале, с учетом сосредоточенных источников, применение развиваемого подхода к уравнениям в частных производных на основе метода прямых.

Цель работы достигается решением следующих задач:

• редукция дифференциальной задачи к ограниченной области;

• разработка программ для численного решения сингулярно возмущенных задач в неограниченной области.

В работе рассмотрены системы линейных и нелинейных уравнений на бесконечном интервале с учетом сосредоточенных источников, нелинейное уравнение, моделирующее химические реакции, применен метод прямых для уравнений в частных производных.

Методы исследования. При обосновании теоретических результатов использовались методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, теории сингулярно возмущенных уравнений и математического анализа, асимптотические методы, основы линейной алгебры, методы теории разностных схем, численные методы. Вычислительная эффективность проверялась путем написания программ и проведения численных экспериментов.

Научная новизна.

Коши для дифференциальных матричных уравнений Риккати в случаях положительно определенной и диагонально преобладающей матриц.

• Применен развиваемый подход для решения эллиптического и параболического уравнений в неограниченной области на основе метода прямых.

На защиту выносятся:

• разностные схемы с конечным числом узлов для нелинейной краевой задачи на бесконечном интервале, моделирующей химические реакции;

Практическая значимость. При математическом моделировании различных конвективно-диффузионных процессов появляются краевые задачи для уравнений с малым параметром при старших производных в неограниченной области. При разработке разностных схем необходимо учитывать, чтобы скорость сходимости этих схем не зависела от значений малых параметров (вязкости, диффузии и других). Для компьютерной реализации разностных схем необходимо, чтобы, несмотря на неограниченность исходной области, разностная схема была конструктивной и сетка содержала конечное число узлов. Решению этих вопросов посвящено диссертационное исследование.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах ОФ ИМ СО РАН и кафедры математического моделирования ОмГУ, научной молодежной конференции "Молодые ученые на рубеже третьего тысячелетия" (Омск, 2001), II Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2002), Международной конференции по Вычислительной Математике (ICCM-2002, Новосибирск, 2002), IV Международной конференции "Средства математического моделирования" (Санкт-Петербург, 2003), Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Усть-Каменогорск, 2003), Международной конференции по Вычислительной Математике (MKBIvI-2004, Новосибирск, 2004), III Международной конференции "Numerical Analysis and Applications" (Болгария, Русе, 2004), Международной конференции "Boundary and Interior Layers, Computational and Asymptotic Methods" (BAIL-2004, Франция, Тулуза, 2004), Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Алматы, 2004), семинаре института Вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск, 2004).

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований, грант 02-01-01166.

Публикации результатов. По теме диссертации опубликовано одиннадцать работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (49 наименований). Материал изложен на 143 страницах текста, включая 14 таблиц.

Заключение диссертации по теме "Вычислительная математика"

Заключение

В работе разработаны конструктивные разностные схемы на сетках с конечным числом узлов для краевых и начально-краевых задач в неограниченной области с учетом пограничных слоев в решении, обусловленных наличием малого параметра и сосредоточенных источников. Исходные задачи редуцировались к задачам в ограниченной области, исследовалась устойчивость решения редуцированной задачи к погрешностям, возникающим при переносе условий из бесконечности. При решении сингулярных задач Коши для дифференциальных матричных уравнений Риккати использовался метод асимптотических разложений, получены оценки точности при различных ограничениях на матрицы, в частности, использовались свойства положительно определенных и диагонально преобладающих матриц. Исследовался вопрос вычисления корней из матриц. Сингулярные задачи Коши исследовались на устойчивость к возмущению коэффициентов. Равномерная по малому параметру сходимость разностных схем для полученных сингулярно возмущенных краевых задач в ограниченной области обеспечивалась подгонкой схем к погранслойной составляющей решения или засчет сгущения сеток в пограничных слоях. Развиваемый подход применен для решения эллиптического и параболического уравнений в неограниченной области на основе метода прямых.

• Построены конструктивные разностные схемы для решения линейных систем уравнений типа диффузия-реакция и диффузия-конвекция на полубесконечном интервале. Исследована устойчивость и предложен метод решения вспомогательных сингулярных задач Коши для дифференциальных матричных уравнений Риккати в случаях положительно определенной и диагонально преобладающей матриц. Построены конструктивные равномерно сходящиеся разностные схемы для уравнения с малым параметром, линейной и нелинейной систем уравнений с точечным источником на бесконечном интервале. Исследованы разностные схемы на бесконечном интервале для нелинейного уравнения, моделирующего химические реакции. Исследован метод решения параболического уравнения с сосредоточенным источником на бесконечном интервале и эллиптического уравнения в полуполосе.

Написан соответствующий комплекс программ, проведены численные эксперименты.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Харина, Ольга Владимировна, Омск

1. Абрамов АА. О переносе условия ограниченности для некоторых систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1961. Т. 1, N 4, С. 733-737.

2. Абрамов A.A., Балла К. О приближенных решениях, основанных на теоремах сравнения, скалярных и матричных уравнений Риккати на бесконечном интервале // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1993. Т. 33, N 1. С. 35-51.

3. Абрамов A.A., Балла К., Конюхова Н.Б. Перенос граничных условий из особых точек для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Сообщения по вычислительной математике. М.: ВЦ АН СССР, 1981.

4. Багаев Б.М., Шайдуров В.В. Сеточные методы решения задач с пограничным слоем. Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1998. Ч. 1. 199с.

5. Багаев Б.М., Карепова Е.Д., Шайдуров В.В. Сеточные методы решения задач с пограничным слоем. Новосибирск: Наука, 2001. Ч. 2. 224с.

6. Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач приналичии пограничного слоя // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. Т. 9, N 4. С. 841-859.

7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М: Наука, 1987.

8. Биргер Е.С., Ляликова Н.Б. О нахождении для некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений решений с заданным условием на бесконечности // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. Т. 5, N 6. С. 979-990.

9. Блатов И.А., Стрыгин В.В. Сходимость метода сплайн коллокаций для сингулярно возмущенных краевых задач на локально равномерных сетках // Дифференциальные уравнения, 1990. Т. 26, N 7. С. 1191-1197.

10. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

11. Величко О.В. Численное решение системы уравнений с малым параметром и точечным источником на бесконечном интервале // Материалы научной молодежной конференции "Молодые ученые на рубеже третьего тысячелетия". Омск. ОмГПУ. 2001. С. 66-67.

12. Величко О.В. Редукция линейной краевой задачи для системы уравнений с малым параметром с полубесконечного интервала к конечному // Тезисы докладов II Всесибирского конгресса женщин-математиков. Красноярск. КрасГУ. 2002. С. 33-35.

13. Величко О.В., Задорин А.И. Численное решение уравнения с точечным источником на бесконечном интервале // Математические структуры и моделирование. Омск. ОмГУ. 2000. Вып. 5. С. 5-10.

14. Величко О.В., Задорин А.И. Численное решение системы уравнений с малым параметром и точечным источником на бесконечном интервале // Математические структуры и моделирование. Омск. ОмГУ. 2001. Вып. 7. С. 17-27.

15. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

16. Дулан Э., Миллер Д., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983.

17. Задорин А.И. Перенос краевого условия из бесконечности при численном решении уравнений второго порядка с малым параметром // Сибирский журнал вычислительной математики. 1999. Т. 2, N 1. С. 21-35.

18. Задорин А.И. Редукция нелинейной краевой задачи для системы уравнений второго порядка с малым параметром с полубесконечного интервала к конечному // Сибирский математический журнал. 2001. Т. 42, N 5. С. 1057-1066.

19. Задорин А.И. Численное решение уравнения с малым параметром и точечным источником на бесконечном интервале // Сибирский журнал вычислительной математики. 1998. Т. 1, N 3. С. 249-260.

20. Задорин А.И. Численное решение уравнения с малым параметром на бесконечном интервале // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38, N 10. С. 1671-1682.

21. Задорин А.И. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений с малым'параметром // Методические указания. Омск: Ом-ГУ, 1997. 45с.

22. Задорин А.И. Численное решение уравнений с малым параметром на бесконечном интервале // Методические указания. Омск: ОмГУ, 1998. 51с.

23. Задорин А.И. Разностные схемы для задач с пограничным слоем. Учебное пособие. Омск: ОмГУ, 2002. 118с.

24. Задорин А.И., Харина О.В. Численный метод для нелинейного уравнения с пограничным слоем, соответствующим зоне химической реакции // Вычислительные технологии. Т. 9, часть 2 (спец. выпуск). 2004. С. 215-221.

25. Задорин А.И., Харина О.В. Численный метод для системы линейных уравнений второго порядка с малым параметром на полубесконечном интервале // Сибирский журнал вычислительной математики. 2004. Т. 7, N 2. С. 103-114.

26. Игнатьев В.Н., Алексеева Т.Я., Задорин А.И. Моделирование двумерного ламинарного горения углеводородных топлив с учетом образования вредных примесей // Препринт N 840 ВЦ СО АН СССР, 1989.

27. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984.

28. Ильин A.M. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Математические заметки. 1969. Т. 6, N 7. С. 237-248.

29. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1958.

30. Коул Д. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972.

31. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978.

32. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981.

33. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982.

34. Найфе А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976.

35. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

36. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985. 232с.

37. Харина О.В. Метод прямых для эллиптической задачи с пограничными слоями вдоль полубесконечной полосы // Материалы ежегодного научного семинара аспирантов и студентов-выпускников "Под знаком " Омск. ООО "Издатель-Полиграфист", 2003. С. 65-71.

38. Шишкин Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. Екатеринбург: УрО РАН, 1992.

39. Alefeld G., Schneider N. On square roots of M-matrices // Linear algebra and its applications. 1982. N 42. P. 119-132.

40. Bellman R. Some Inequalities for the Square Root of a Positive Definite Matrix // Linear Algebra and its Applications. 1968. V. 1, N 3. P. 321-324.

41. Kharina O.V. Numerical solution of a linear system of singular perturbed equations on a half-infinite interval // Abstracts of the Fourth International Conference "Tools for Mathematical Modelling". Saint-Petersburg. 2003. P. 90.

42. Kharina O.V. The method for a system of singular perturbed equations on a half-infinite interval // Proceedings of the Fourth International Conference "Tools for Mathematical Modelling". Saint-Petersburg. 2003. P. 295-299.

43. Miller J.J.H., O'Riordan E., Shishkin G.I. Fitted numerical methods for singular perturbation problems. Error estimates in the maximum norm for linear problems in one and two dimensions. World Scientific. Singapore. 1996.

44. Pulay P. An Iterative Method for the Determination of the Square Root of a Positive Definite Matrix // Zamm. 1966. N. 46. P. 151-152.

45. Royden H.L. Comparison theorems for the matrix Riccati equation // Communs Pure and Appl. Math. 1988. V. 41. P. 739-746.

46. Farrell P.A., Hegarty A.F., Miller J.J.H., O'Riordan E., Shishkin G.I. Robust Computational Techniques for Boundary Layers. Chapman and Hall // CRC Press, Boca Raton. USA. 2000.

47. Freiling G., Jank G., Abou-Kandil H. Generalized Riccati Difference and Differential Equations // Linear Algebra and Its Applications. New York. 1996. P. 291-303.