Разработка разностных схем на сгущающихся сетках для краевых задач с пограничным слоем

Тиховская, Светлана Валерьевна

Разработка разностных схем на сгущающихся сетках для краевых задач с пограничным слоем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Тиховская, Светлана Валерьевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Омск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Разработка разностных схем на сгущающихся сетках для краевых задач с пограничным слоем»

Автореферат диссертации на тему "Разработка разностных схем на сгущающихся сетках для краевых задач с пограничным слоем"

На правах рукописи

ТИХОВСКАЯ Светлана Валерьевна

РАЗРАБОТКА РАЗНОСТНЫХ СХЕМ НА СГУЩАЮЩИХСЯ СЕТКАХ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ

01.01.07 - Вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

19 ДЕК 2013

0мск-2013

005544244

Работа выполнена в Омском филиале Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Задорин Александр Иванович

Официальные оппоненты: Ильин Валерий Павлович,

доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, главный научный сотрудник

Шишкин Григорий Иванович,

доктор физико-математических наук,

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики и механики им. H.H. Красовского Уральского отделения Российской академии наук, ведущий научный сотрудник

Ведущая организация:

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Защита состоится 22 января 2014 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 003.061.01 на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук (ИВМиМГ СО РАН) по адресу: проспект Академика Лаврентьева, д. 6., г. Новосибирск, 630090, Россия, тел. (383)330-71-59.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИВМиМГ СО РАН.

Автореферат разослан 11 декабря 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета д.ф.-м.н.

Рогазинский Сергей Валентинович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. При математическом моделировании различных физических явлений, таких как течение вязкой жидкости, процессы тепломассопереноса и др., возникают начальные и краевые задачи для уравнений с малыми параметрами при старших производных. Это могут быть малые коэффициенты диффузии при моделировании распространения примесей, малые коэффициенты вязкости при моделировании течений жидкости.

Как известно, решение сингулярно возмущенной краевой задачи имеет большие градиенты в области пограничного слоя, что приводит к потере сходимости классических разностных схем и делает их непригодными при решении задач с по-граничиыми слоями. Впервые вопрос о неприемлемости классических разностных схем и построении специальных схем, обладающих свойством сходимости независимо от значения малого параметра, был поставлен в 1969 году в работах Ба-хвалова Н. С. [15] и Ильина А. М. [17]. В этих работах заложены два различных подхода к решению задач с пограничным слоем, которые в дальнейшем стали основополагающими.

В работе Ильина А. М. [17] строится схема экспоненциальной подгонки, коэффициенты схемы подобраны так, чтобы на экспоненциальной погранслойной составляющей решения схема была точной. Подход Ильина А. М. для построения равномерно сходящейся разностной схемы на равномерной сетке использован в работах Багаева Б. М., Задорина А. И., Шайдурова В. В., Miller J. J. Н., Roos Н. - G., Stynes M. и в работах других авторов.

В работе Бахвалова Н.С. [15] применяется классическая центрально-разностная схема, но на сгущающейся в пограничных слоях сстке. Сетка строится так, чтобы погрешность аппроксимации была равномерной по узлам сетки. Доказано, что на такой сетке, впоследствии называемой сеткой Бахвалова, разностная схема обладает вторым порядком точности равномерно по малому параметру. Подход Бахвалова Н. С. для построения равномерно сходящейся разностной схемы за счет сгущающейся сетки использован в работах Андреева В. Б., Бахвалова Н.С., Блатова И. А., Ильина В. П., Коптевой Н. В., Лисейкина В. Д., Шишкина Г. И., Linß Т., O'Riordan Е., Vulanovic R. и в работах других авторов.

Шишкиным Г. И. для решения сингулярно возмущенных задач предложено использовать кусочно-равномерную сетку с достаточно мелким шагом в области пограничного слоя в [20] и других работах этого автора.

ритма. Многосеточный метод был предложен Федоренко Р. П. Далее этот метод развивался в работах Бахвалова Н. С., Шайдурова В. В., Brandt A., Hackbusch W. и других авторов. Многосеточный метод для эллиптических задач с преобладающей конвекцией исследовался, например, в работах Муратовой Г. В., Ольшанского М.А., Hackbusch W. Отметим, что вопрос равномерной по малому параметру сходимости реализуемых разностных схем не рассматривался.

Из многосеточных методов в ряде работ выделяется класс двухсеточных методов, например в работах Axelsson О., Xu J. При использовании двухсеточно-го метода краевая задача предварительно решается на грубой сетке. Затем найденное сеточное решение интерполируется на исходную сетку и принимается за начальное приближение для итераций. Это приводит к выигрышу в количестве арифметических действий. Погрешность интерполяции сеточного решения с грубой сетки на исходную не должна быть выше погрешности разностной схемы. Как показано в работе Задорина А. И. [16], в случае сингулярно возмущенной задачи формулы полиномиальной интерполяции могут привести к погрешностям порядка единицы. Поэтому актуальна разработка двухсеточных алгоритмов для сингулярно возмущенных задач.

При использовании двухсеточного метода решение разностной схемы вычисляется на двух сетках, поэтому представляет интерес анализ использования экстраполяции Ричардсона для повышения точности разностной схемы. Метод Ричардсона, в том числе применительно к сингулярно возмущенным задачам, исследован, например, в работах Шайдурова В. В., Шишкина Г. И., Шишкиной Л. П., Natividad М.С., Stynes М.

Несмотря на большое количество публикаций, вопрос разработки разностных схем повышенной точности для сингулярно возмущенных задач, особенно нелинейных, остается актуальным. Актуальна и разработка эффективных вычислительных алгоритмов для реализации разностных схем.

Целью диссертации является разработка разностных схем на сгущающихся сетках для сингулярно возмущенных задач, исследование двухсеточного метода реализации построенных схем с повышением точности на основе экстраполяции Ричардсона.

Для достижения поставленной цели ставились следующие задачи.

1. Рассмотреть задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной. Разработать аналог схемы А. М. Ильина на равномерной сетке. Исследовать вопрос равномерной сходимости схемы направленных разностей на сетке Шишкина.

2. Исследовать двухсеточный метод решения сингулярно возмущенной краевой задачи для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с повышением точности схемы направленных разностей на сетке Шишкина на основе метода Ричардсона.

3. Для сингулярно возмущенной краевой задачи в случае нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка разработать алгоритм повышенной точности на основе линеаризаций Пикара и Ныотона с использованием монотонной схемы Самарского, исследовать двухсеточный метод реализации построенных алгоритмов.

4. Исследовать двухсеточный метод решения линейной эллиптической задачи при наличии регулярных и параболических пограничных слоев на сетке Шишкина с повышением точности разностных схем на основе метода экстраполяции Ричардсона. Провести сравнение итерационных методов.

5. Разработать научно-исследовательский вариант комплекса программ и по всем исследуемым задачам провести численные эксперименты, демонстрирующие полученные результаты.

Методы исследования. В работе использованы фундаментальные положения теории дифференциальных уравнений, теории разностных схем, вычислительной алгебры. Достоверность полученных научных результатов основывается на строгих формулировках и доказательствах, подтверждается результатами проведенных вычислительных экспериментов.

Научная новизна:

1. Впервые проведено исследование разностных схем в случае сингулярно возмущенной задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Разработан аналог схемы А. М. Ильина на равномерной сетке и обоснована равномерная сходимость схемы направленных разностей на сетке Шишкина.

2. Разработан двухсеточный алгоритм повышенной точности для сингулярно возмущенной краевой задачи в случае нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на основе схемы направленных разностей на сетке Шишкина и экстраполяции Ричардсона.

3. На основе известной в случае линейной сингулярно возмущенной задачи монотонной схемы Самарского на сетке Шишкина разработан алгоритм повышенной точности для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с использованием линеаризаций Пикара и Ныотона. Предложен двухсеточный метод реализации построенных алгоритмов.

4. Исследованы двухсеточные алгоритмы для линейного эллиптического уравнения в случаях полного вырождения, регулярных и параболических пограничных слоев. Использование экстраполяции Ричардсона в двухсеточном методе приводит к повышению точности на порядок используемых разностных схем.

использованы при математическом моделировании конвективно-диффузионных процессов с преобладающей конвекцией, которые встречаются в гидродинамике, механике, экологии, физике, химии. Полученные в диссертации результаты используются в учебном процессе на кафедре математического моделирования в Омском государственном университете им. Ф. М. Достоевского при подготовке специалистов по математическому моделированию.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на XXXIII региональной научно-практической студенческой конференции «Молодежь третьего тысячелетия» (Омск, 2009 г.), Восьмой Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения», посвященной 80-летию со дня рождения А. Д. Ляшко (Казань, 2010 г.), XXXV региональной научно-практической студенческой конференции «Молодежь третьего тысячелетия» (Омск, 2011 г.), Всероссийской научной конференции по вычислительной математике с участием зарубежных ученых (КВМ-2011) и Всероссийской школы-конференции молодых исследователей в рамках КВМ-2011 (Новосибирск, 2011 г.), XII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2011 г.), XXXVI международной научной конференции с элементами научной школы для молодёжи «Молодежь третьего тысячелетия» (Омск, 2012 г.), XIX Всероссийской конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики», посвященной памяти К. И. Бабенко (Дюр-со, 2012 г.), VI Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной памяти академика А. Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2012 г.), Девятой Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, 2012 г.), региональной конференции магистров, аспирантов и молодых ученых по физике и математике «ФМ ОмГУ 2013» (Омск, 2013 г.), на научном семинаре «Математическое моделирование и численные методы», проводимом лабораторией математического моделирования в механике ОФ ИМ СО РАН совместно с кафедрой математического моделирования ОмГУ им. Ф. М. Достоевского.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 научных работах [1-13], пять из них — в рецензируемых изданиях из списка ВАК [1-5].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (95 наименований). Объем диссертации — 105 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель и задачи исследования, приводятся основные результаты диссертации и информация об их апробации, кратко излагается содержание работы.

В первой главе рассматривается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной:

еи"(х) + а(х) и'{х) - b(x) и(х) = f(x), 0 < х < X, . .

и(0) = А, и'{ 0) = В/е, W

где А, В — некоторые постоянные. Предполагаем, что

0 < е ^ 1, а(х) > а > 0, ß > Ъ{х) ^ 0, а, Ь, f 6 С2[0,1].

В п. 1.1 дается постановка задачи. В и. 1.2 проводится анализ дифференциальной задачи (1).

В п. 1.3 на равномерной сетке строится разностная схема для решения задачи (1). Задается аппроксимация производной в начальном условии (1), точная на погранслойной составляющей. Полученная схема является обобщением известной схемы Ильина [17] на случай начальной задачи (1). Доказывается равномерная сходимость полученной схемы. Обозначим

тпаь = min fo(x) — b(a;)a;l.

(Kx<;r v v / J

Пусть uh - решение построенной схемы.

Теорема 1. Пусть выполнено таь > 0. Тогда найдется С > 0:

|и(хп) - < C7i, п = 0, 1, ..., N,

где С не зависит от е и шага сетки.

В п. 1.4 доказывается, что использование сетки Шишкина из [20] обеспечивает равномерную сходимость схемы направленных разностей в случае начальной задачи (1). В соответствии с [20] сетка П определяется как кусочно-равномерная, с мелким шагом h в пограничном слое и крупным шагом Н вне его.

Теорема 2. Пусть таь > 0. Тогда найдется С - положительная постоянная, не зависящая от е и числа узлов, такая, что выполнено:

\u(xn)-uhn\^C1-^, п = 0,1,..., TV,

где и(х) — решение задачи (1), uh — решение схемы, направленных разностей на сетке Шишкина.

В п. 1.5 приводятся численные эксперименты, демонстрирующие полученные результаты.

Результаты первой главы опубликованы в [1,3,10].

Во второй главе рассматривается сингулярно возмущенная краевая задача в случае нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:

£и"(х)+а(х)и'(х) = f(x,u(x)), ®6П = (0,1), ,

u(0) = А, и(1) = В, ( '

где функции а, / - достаточно гладкие,

О < е < 1, а(х)^а> 0, !'и{х,и)> 0 на П х Я. (3)

В п. 2.1 исследуется возможность использования экстраполяции Ричардсона [19,23] для повышения точности разностной схемы в случае решения её двух-сеточным методом. Исследуется схема направленных разностей на сетке Шишки-па 5лг,сг для решения задачи (2). В п. 2.1.1 приводятся сведения, используемые далее. Пусть ик - решение рассматриваемой схемы. Известно, что имеет место оценка погрешности схемы направленных разностей:

I / \ ЛГ| ^ л-ДпЛГ тах \и(Х{) -щ\ < С-ГТ-, о^ы1 47 г ' N

где постоянная С > 0 не зависит от £ и числа узлов.

В п. 2.1.2 исследуется двухсеточный метод для сокращения количества арифметических действий, необходимых для реализации методов Пикара и Ньютона в случае схемы направленных разностей. Двухсеточный метод предполагает предварительное решение задачи на вспомогательной сетке с намного меньшим числом узлов, чем у исходной, с последующей интерполяцией найденного решения на исходную сетку. Найденное на основе интерполяции сеточное решение далее принимается за начальное приближение для итераций на исходной сетке, что приводит к уменьшению числа арифметических действий. Для интерполяции сеточного решения со вспомогательной сетки на исходную используется интерполяция, точность которой не ниже точности используемой разностной схемы.

В п. 2.1.3 исследуется возможность использования экстраполяции Ричардсона в двухсеточном методе для повышения точности разностной схемы. При реализации двухсеточного метода решение разностной схемы известно на сетках и Бм,!?, что можно использовать для повышения точности разностной схемы на основе экстраполяции Ричардсона.

В [22] исследована точность метода Ричардсона на сетке Шишкина в случае линейной задачи. Предполагается, что вспомогательная сетка Шишкина имеет то же значение параметра сг, что и исходная сетка, и содержит вдвое больше сеточных интервалов. При использовании двухсеточного метода подразумевается, что вспомогательная сетка является более редкой, чем исходная. Поэтому при исследовании двухсеточного метода предполагается, что N = кп, где к > 1 — целое число, и вспомогательная сетка 5„10- вложена в исходную 5дг,„.

При анализе точности метода Ричардсона рассматривается случай линейной задачи:

еи"(х) + а(х)и'(х) - Ь(х)и(х) = д(х), х еП = (0,1), . .

■и(О) = А, и{ 1) = В, ™

где Ь{х) ^ 0, функции Ь{х), д(х) — достаточно гладкие.

N — п к-1' N N-n к-1' На основе экстраполяции Ричардсона на сетке 5дг, „ строится сеточное решение задачи (4), которое обозначается как unN, используя uN и ип — решения схемы направленных разностей в линейном случае на сетках <5jv> и соответственно. В узлах вспомогательной сетки Sn>(T функция unN задается как

unN{Xj) = knun(Xj) + кми"{Х}), Xj G Sn,a.

В узлах Xi исходной сетки 5л', а > не совпадающих с узлами сетки S7lt „, функция unN задается на основе формулы линейной интерполяции.

Теорема 3 . Пусть е < N~l. Тогда существует постоянная С > 0 такая, что для любого х; 6 SV,a выполнено:

(5)

где С не зависит от е, п, N и к.

В соответствии с оценкой (5) погрешность метода Ричардсона увеличивается с ростом к = N/n, а, следовательно, будет наименьшей при к = 2.

В п. 2.1.4 приводятся численные эксперименты, демонстрирующие полученные результаты. Показано, что результат теоремы 3 подтверждается в нелинейном случае при решении задачи (2) с использованием двухсеточного метода на основе линеаризаций Пикара или Ньютона.

В п. 2.2 рассматривается модифицированная схема Самарского на сетке Шишкина для решения задачи (2). В п. 2.2.1 приводятся сведения, используемые далее. При выполнении условий (3) решение задачи (2) ограничено равномерно

П° ^ lli*|| ^ L0 = a~1\\f(x, 0)|| + шах{|Л|, |Д|}.

В соответствии с [20] задается кусочно-равномерная сетка Шишкина. Вводятся следующие обозначения [14]: _ Vn — Vn-l Vn+l ~ Vn fe h-n "Ь ^-n+l ( hn\ О

Пусть [ы]п — проекция функции непрерывного аргумента и(х) на сетку fi. В случае, когда задача (2) является линейной: f(x,u) = b(x)u + g(x), Ь{х) ^ 0, в соответствии с [14] верна следующая теорема.

Теорема 4. Пусть и(х) — решение линейной задачи (2) с достаточно гладкими коэффициентами и правой частью, uh — решение разностной схемы:

(в)

= КЬпЯп 1 / hg \ h h_

9п + 2an(l + 1/RJ + 2 [l + l/RjXin' Щ ~ А UN~ В'

где bn = b(xn), g„ = g(xn). Тогда на сетке Шишкина при а(0) > а для некоторой постоянной С > О выполнится:

||Г1 Л|| „ \п2 N

II [«К-«II

где С не зависит от е и числа узлов.

В п. 2.2.2 осуществляется линеаризация задачи (2), чтобы на итерациях, уже в случае линейной задачи, применить схему (6). Рассматривается линеаризация

Пикара: £(и^Г + а(х)(и^)'- ри^ = f(x,u^) - ри^,

ц(т)(0) = А, и№{1)=В, в предположении, что в дополнение к (3) выполнены условия:

[5 ^ f'u(x, и) ^ 7 > 0 на Пх R.

Используя на каждой итерации в (7) схему (6), осуществляется переход к итерационной формуле для сеточных решений. Пусть u^n'h'1 - решение полученной схемы. Тогда обосновывается оценка точности решения задачи (2) на основе итераций для произвольной m-ой итерации.

Лемма 1. Пусть и^ = Существует константа С\ > 0, не за-

висящая от е и числа узлов, такая, что

ll«(m,fc) - MoJU < С^ +p(i-iy, О,

где р = — и||.

Осуществляя переход к пределу при т —> оо, получаем разностную схему для нелинейной задачи (2).

Теорема 5 . Пусть и(х) — решение задачи (2), uh — решение построенной предельной схемы. Найдется постоянная С > О такая, что

где С не зависит отп е и числа узлов.

В п. 2.2.3 рассматривается подход к решению задачи (2) на основе линеаризации Ньютона:

+ a(®)(u<m>)' - /¿(a:,ti<m-1Vm> =

= f{xMm~l]) ~ fu(xMm-l))u{n-l\ u(fn)(0) = A, u^(l) = B. [ ) Осуществляется переход от (8) к итерациям на разностном уровне, применяя схему (6). Пусть и1-'"^ - решение полученной схемы.

Лемма 2. Пусть ~ Существуют N0 и р0, не зависящие

от е, такие, что для N ^ Nq и р ^ ро для некоторой постоянной С2 > 0, не зависящей от е и числа узлов, выполнится;

Iи^ ~ H,JU ^ + ав-\огЧрГ, О,

где р = ||ц(°) — и||, в — _тах \С(х,£)\.

xeil,

Осуществляя переход к пределу при т —> оо, получаем разностную схему для задачи (2).

Теорема 6 . Пусть и(х) - решение задачи (2), uh - решение построенной предельной схемы. Найдется постоянная С > 0 такая, что

||«Л - [«]nÄ||A <

где С не зависит от е и числа узлов.

В п. 2.2.4 исследуется двухсеточный метод для сокращения количества арифметических действий, необходимых для реализации методов Пикара и Ньютона в случае схемы Самарского.

В п. 2.2.5 приводятся численные эксперименты, демонстрирующие полученные результаты. Экспериментально показано, что использование экстраполяции Ричардсона повышает точность схемы Самарского до порядка 0(ln3 N/N3).

Результаты второй главы опубликованы в [2,4,6,9,11-13].

В третьей главе рассматривается краевая задача для линейного эллиптического уравнения типа реакция-диффузия и краевые задачи для линейного эллиптического уравнения типа конвекция-диффузия с преобладающей конвекцией.

В п. 3.1 рассматривается линейная сингулярно возмущенная эллиптическая краевая задача в случае полного вырождения:

euxx+eum-c(x,y)u = f(x,y), (х,у)еП-_ и(х,у)=д(х,у), (х,у)€Г, ^

где = (О, I)2, Г = П \ П, функции с, /, д — достаточно гладкие,

с(х,у) ^ 7 > 0, £>0.

В п. 3.1.1 дается постановка задачи и разностная схема для задачи (9). В п. 3.1.2 для уменьшения числа итераций используется двухсеточный метод. В п. 3.1.3 исследуется экстраполяция Ричардсона для повышения точности схемы центральных разностей при использовании двухсеточного метода.

В п. 3.1.4 численно исследуется реализация рассматриваемой разностной схемы на основе явного метода Зейделя, метода последовательной верхней релаксации, метода Писмана-Речфорда и стабилизированных методов сопряженных градиентов и направлений [18], наибольшую скорость сходимости среди которых показали два последних. Показано, что применение двухсеточного метода на сетке Шишкина приводит к выигрышу в количестве арифметических действий, а использование экстраполяции Ричардсона повышает точность разностной схемы на порядок с 0(ln2 N/N2) до 0(ln3 N/N3) вне зависимости от используемого итерационного метода.

В табл. 1 справа при е = Ю"4 проведено сравнение исследуемых итерационных методов. Двухсеточный метод использован в случае п = N/2. В верхней строке приведено количество итераций двухсеточного метода, в скобках указано число итераций на вспомогательной сетке. В нижней строке приведено количество итераций односеточного метода. В табл. 1 слева при е — Ю-4 в зависимости от N приведена норма погрешности двухсеточного метода с экстраполяцией Ричардсона в верхней строке и норма погрешности односеточного метода в нижней строке.

Таблица 1. Сравнение итерационных методов, е = 10~4

N Д

32 1.17е'-3 8.15е-3

6-1 2.74е-4 3.15е-3

128 4.16е-5 1.10е-3

256 4.85е-6 3.62е-4

512 5.27е-7 1Л5е-Л

Метод N

8 16 32 64 128 256 512

Зсйделя 3(2) 3 6(3) 7 13(7) 17 30(15) 45 82(39) 139 247(121) 463 788(407) 1605

верхней релаксации 4(4) 4 6(4) 8 12(8) 15 23(15) 35 58(31) 95 106(81) 186 215(159) 330

Писмана-Речфорда 2(4) 2 3(2) 5 7(5) 11 14(12) 24 28(27) 54 58(60) IIS 118(130) 259

BiCRSTAB 2(1) 2 3(2) 4 6(3) 7 10(6) 15 20(13) 31 41(25) 57 65(60) 98

BiCGSTAB 2(1) 2 3(2) 3 6(3) 7 11(6) 13 20(13) 28 36(26) 58 58(54) 93

В п. 3.2 рассматривается линейная сингулярно возмущенная эллиптическая краевая задача в случае двух параболических и одного регулярного пограничных слоев: еихх + еиуу + а{х)их - с(х,у)и = f(x,y), (x,y)eü; ^

_ и{х,у) = д(х,у), (х,у)€Т, где П = (О, I)2, Г = fi \ П, функции о, с, /, д — достаточно гладкие,

а{х) > а > 0, с(х,у)> 0, £>0.

В п. 3.2.1 дастся постановка задачи и разностная схема для задачи (10). В п. 3.2.2 исследуется экстраполяция Ричардсона для повышения точности схемы направленных разностей при использовании двухсеточного метода. В п. 3.2.3 численно исследуется реализация рассматриваемой разностной схемы на основе явного метода Зсйделя, метода последовательной верхней релаксации и метода Писмана-Речфорда, наибольшую скорость сходимости среди которых показал последний. Применение двухсеточного метода приводит к выигрышу в количестве арифметических действий, а использование экстраполяции Ричардсона повышает точность разностной схемы на порядок с 0(lnN/N) до 0(ln2 N/N2) вне зависимости от используемого итерационного метода.

В п. 3.3 рассматривается линейная сингулярно возмущенная эллиптическая краевая задача в случае двух регулярных пограничных слоев:

еихх + £иуу + а{х)их + Ь(у)иу-с(х,у)и = /(х,у), (х,у)еП;

_ Ф,у) = в(х,у), (х,у)€Г, ^ '

где П = (О, I)2, Г = Г2 \ П, функции о, Ь, с, /, д — достаточно гладкие, а(х) ^ а > О, Ь(у) > /3 > 0, с(х, у) > 0, е > 0.

В п. 3.3.1 дается постановка задачи и разностная схема для задачи (11). В п. 3.3.2 исследуется экстраполяция Ричардсона для повышения точности схемы направленных разностей при использовании двухсеточного метода.

В п. 3.3.3 численно исследуется реализация рассматриваемой разностной схемы на основе явного метода Зейделя, метода последовательной верхней релаксации, стабилизированных методов сопряженных градиентов и направлений, метода Зейделя, учитывающего направление потока [21]. Применение двухсеточного метода приводит к выигрышу в количестве арифметических действий, а использование экстраполяции Ричардсона повышает точность разностной схемы па порядок с 0(1п М/ЛГ) до 0(1п2 ЛГ/ДТ2) вне зависимости от используемого итерационного метода. Использование стабилизированных методов бисопряженных градиентов и направлений при е = 1 приводит к существенному сокращению количества итераций по сравнению с методом Зейделя. Но при малых е стабилизированные методы бисопряженных градиентов и направлений показывают скорость сходимости существенно меньшую, чем у метода Зейделя. Выигрыш в количестве итераций метода Зейделя по потоку по сравнению с методом Зейделя в случае сстки Шишкина намного меньше, чем на равномерной сетке, так как при всех значениях е половина узлов находится в пограничном слое. Также, чем более выражено преобладание конвекции, тем меньше требуется итераций и тем больше преимущество по количеству итераций у метода Зейделя по потоку перед классическим его вариантом. Проведено сравнение с прямым методом пакета РагсПэо и показано, что при больших коэффициентах конвекции двухсеточный метод эффективнее.

Результаты третьей главы опубликованы в [5,7,8].

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

Основные результаты диссертации заключаются в следующем.

1. В случае сингулярно возмущенной задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка построен и обоснован аналог схемы А. М. Ильина на равномерной сетке и обоснована равномерная сходимость схемы направленных разностей на сетке Шишкина. Результаты вычислительного эксперимента подтверждают полученные теоретические оценки.

2. Разработан метод решения сингулярно возмущенной краевой задачи для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на

основе двухсеточного метода на сетке Шишкина. Для схемы направленных разностей в двухсеточном методе при использовании экстраполяции Ричардсона получена, оценка погрешности в зависимости от соотношения между шагами исходной и вспомогательной сеток. Результаты вычислительного эксперимента подтверждают полученные теоретические оценки.

3. Для сингулярно возмущенной краевой задачи для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка построен и обоснован алгоритм повышенной точности на основе линеаризаций Пикара и Ньютона с применением монотонной схемы Самарского. Предложен двухсеточный метод реализации построенного алгоритма, приводящий к экономии вычислительных затрат. Экспериментально показано, что экстраполяция Ричардсона приводит к повышению точности схемы Самарского.

4. Исследован двухсеточный метод решения линейного эллиптического уравнения в случаях полного вырождения, регулярных и параболических пограничных слоев. Экспериментально показано, что использование экстраполяции Ричардсона в двухсеточном методе приводит к повышению точности на порядок используемых на сетке Шишкина схем. При реализации двухсеточных алгоритмов исследованы итерационные методы Зейдсля, последовательной верхней релаксации, Писмана-Речфорда, стабилизированные методы сопряженных направлений и градиентов, метод Зейделя, учитывающий локализацию пограничных слоев. Проведено сравнение по времени выполнения двухсеточного алгоритма с прямым методом пакета Pardiso.

Автор благодарит научного руководителя д. ф.-м.н., профессора Александра Ивановича Задорина за полезные советы, постоянное внимание и поддержку при подготовке данной работы.

Опубликованные работы по теме диссертации

В рецензируемых журналах из списка ВАК

[1] Задорин А. И., Тиховская С. В. Анализ разностной схемы для сингулярно возмущенной задачи Коши на сгущающейся сетке // Сиб. журн. вычисл. математики. - 2011. - Т. 14. - № 1. - С. 47 - 57.

[2] Задорин А. И., Тиховская C.B. Двухсеточный метод для нелинейной сингулярно возмущенной краевой задачи на сетке Шишкина // Сиб. журн. индустр. матем. - 2013. - Т. 16. - № 1(53). - С. 42 - 55.

[3] Задорин А. И., Тиховская С. В. Разностная схема на равномерной сетке для сингулярно возмущенной задачи Коши // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. - 2011. - Т. 11, вып. 3. - С. 114 - 122.

[4] Задорин А. И., Тиховская С. В. Решение нелинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка на основе схемы Самарского // Сиб. окури, вычисл. математики. - 2013. - Т. 16. - № 1. - С. 11 - 25.

[5] Тиховская С. В. Двухсеточный метод для эллиптического уравнения с пограничными слоями на сетке Шишкина // Учен. зап. Казан, ун-та. Серия Физ.-матем. науки. - 2012. - Т. 154, кн. 4. - С. 49 - 56.

В других изданиях

[6] Задорин А. И., Тиховская C.B. Двухсеточный метод на неравномерной сетке для нелинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы Восьмой Всероссийской конференции, посвященной 80-летию со дня рождения А. Д. Ляшко. - Казань: Казанский университет, 2010. - С. 210 - 216.

[7J Тиховская C.B. Двухсеточный метод решения эллиптического уравнения с пограничными слоями на неравномерной сетке // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы Девятой Всероссийской конференции. - Казань: Отечество, 2012. - С. 351 - 355.

[8] Тиховская С. В. Исследование двухсеточного метода для решения сингулярно возмущенного эллиптического уравнения на сетке Шишкина // ФМ ОмГУ 2013: сборник статей региональной конференции магистрантов, аспирантов и молодых ученых по физике и математике. - Омск: Изд-во Ом. гос. ун-та, 2013. - С. 19 - 22.

[9] Тиховская С. В. Модификация схемы Самарского для численного решения нелинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка // Молодежь третьего тысячелетия: XXXV региональная научно-практическая студенческая конференция: сборник статей секции "Физико-математические науки". - Омск: Изд-во Ом. гос. ун-та, 2011. -С. 36 - 39.

[10] Тиховская С. В. Разностные схемы для сингулярно возмущенной начальной задачи // Молодежь третьего тысячелетия: XXXIII региональная научно-практическая студенческая конференция: тез. докл. - Омск: Изд-во Ом. гос. ун-та, 2009. - С. 257 - 258.

[11] Тиховская C.B. Экстраполяция Ричардсона в двухсеточном методе для нелинейного уравнения второго порядка с пограничным слоем // Тезисы докладов XIX Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики посвященной памяти К. И. Вабенко. - М: Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша, 2012. - С. 94 - 96.

[12] Тиховская С. В. Экстраполяция Ричардсона для обыкновенного нелинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка на сетке Шишкина // Молодежь третьего тысячелетия: XXXVI региональная научно-практическая студенческая конференция: сборник статей секции "Физико-математические науки". - Омск: Изд-во Ом. гос. ун-та, 2012. -С. 44 - 47.

[13] Тиховская С. В., Задорин А. И. Схема второго порядка точности для нелинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка // Тезисы докладов VI Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова. - Екатеринбург: УрО РАН, 2012. - С. 74.

Цитированная литература

[14] Андреев В. В., Савин И. А. О равномерной по малому параметру сходимости монотонной схемы А. А. Самарского и ее модификации // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. - 1995. - Т. 35. - № 5. - С. 739 - 752.

[15] Бахвалов Н. С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. -1969. - Т. 9. - № 4. - С. 841 - 859.

[16] Задорин А. И. Метод интерполяции для задачи с пограничным слоем // Сиб. журнал вычисл. математики. - 2007. - Т. 10. - № 3. - С. 267 - 275.

[17] Ильин А. М. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Математические заметки. -1969. - Т. 6. - № 2. - С. 237 - 248.

[18] Ильин В. П. Методы и технологии конечных элементов. - Новосибирск: Изд. ИВМиМГ, 2007. - 371 с.

[19] Марчук Г. И., Шайдуров В. В. Повышение точности решений разностных схем. - Москва: Наука, 1979. - 320 с.

[20] Шишкин Г. И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. - Екатеринбург: УрО РАН, 1992. -232 с.

[21] Han Н., Il'in V. Р., Kellogg R. В. Flow directed iterations for convection dominated flow // Proceeding of the Fifth Int. Conf. on Boundary and Interior Layers - 1988. - P. 7 - 17.

[22] Natividad M.C., Stynes M. Richardson extrapolation for a convection-diffusion problem using a Shishkin mesh // Applied Numerical Mathematics. - 2003. -V. 45. - № 2. - P. 315 - 329.

[23] Shishkin G.I., Shishkina L. P. Difference Methods for Singular Perturbation Problems. - Boca Ratón: Chapman & Hall/CRC, 2009. - 408 pp.

Подписано в печать 05.12.2013. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Оперативный способ печати. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 130 экз. Заказ № 712.

Отпечатано в «Полиграфическом центре КАН» тел. (3812) 24-70-79, 8-904-585-98-84.

E-mail: pc_kan@mail.ru 644050, г. Омск, ул. Красный Путь, 30 Лицензия ПЛД № 58-47 от 21.04.97

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Тиховская, Светлана Валерьевна, Омск

Омский филиал

Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской Академии Наук

На правах рукописи

04201456010

ТИХОВСКАЯ Светлана Валерьевна

РАЗРАБОТКА РАЗНОСТНЫХ СХЕМ НА СГУЩАЮЩИХСЯ СЕТКАХ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ

01.01.07 - Вычислительная математика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м.н., профессор А. И. Задорин

Омск - 2013

Оглавление

Введение ......................................................................................4

Глава 1. Построение и анализ разностных схем для сингулярно возмущенной

задачи Коши..............................................................................17

1.1. Постановка задачи......................................................................17

1.2. Анализ дифференциальной задачи ..................................................18

1.3. Построение и анализ разностной схемы на равномерной сетке ..................20

1.4. Построение и анализ разностной схемы на сетке Шишкина......................24

1.5. Результаты численных экспериментов ..............................................29

Глава 2. Разностные схемы повышенной точности для нелинейного ОДУ второго

порядка на сгущающихся сетках....................................................34

2.1. Повышение точности схемы направленных разностей для нелинейного ОДУ второго порядка ........................................................................34

2.1.1. Предварительные сведения....................................................34

2.1.2. Двухсеточная реализация схемы направленных разностей................35

2.1.3. Экстраполяции Ричардсона ..................................................38

2.1.4. Результаты численных экспериментов ......................................43

2.2. Модифицированная схема Самарского для нелинейного ОДУ второго порядка 47

2.2.1. Предварительные сведения....................................................47

2.2.2. Линеаризация Пикара..........................................................47

2.2.3. Линеаризация Ныотона........................................................51

2.2.4. Двухсеточная реализация схемы Самарского ..............................57

2.2.5. Результаты численных экспериментов ......................................58

Глава 3. Двухсеточный метод решения эллиптического уравнения на сетке

Шишкина..................................................................................64

3.1. Задача реакция-диффузия............................................................64

3.1.1. Постановка задачи..............................................................64

3.1.2. Двухсеточный метод............................................................65

3.1.3. Экстраполяция Ричардсона ..................................................67

3.1.4. Результаты численных экспериментов ......................................69

3.2. Задача конвекции-диффузии в случае параболических пограничных слоев 77

3.2.1. Постановка задачи............................... 77

3.2.2. Экстраполяция Ричардсона ..................................................78

3.2.3. Результаты численных экспериментов ......................................79

3.3. Задача конвекции-диффузии в случае регулярных пограничных слоев..........82

3.3.1. Постановка задачи..............................................................82

3.3.2. Экстраполяция Ричардсона ..................................................83

3.3.3. Результаты численных экспериментов ......................................84

Заключение.......................................... 96

Список литературы..................................... 97

Введение

Впервые вопрос о неприемлемости классических разностных схем |17,42j и построении специальных схем, обладающих свойством сходимости независимо от значения малого параметра, был поставлен в 1969 году в работах Бахвалова Н.С. |6] и Ильина A.M. [32]. В этих работах заложены два различных подхода к решению задач с пограничным слоем, которые в дальнейшем стали основополагающими.

В работе Ильина A.M. [32] строится схема экспоненциальной подгонки, коэффициенты схемы подобраны так, чтобы на экспоненциальной погранслойной составляющей решения схема была точной. Подход Ильина А. М. для построения равномерно сходящейся разностной схемы с экспоненциальной подгонкой на равномерной сетке использован в работах Багаева Б. М. [4,5], Задорина А. И. [22,23], Шайдурова В. В. [4,5], Miller J. J. Н. [19,67,76], Roos H.-G. [80-82], Stynes M. [69,81,82] и в работах других авторов. В [57] Шишкиным Г. И. было доказано, что в случае эллиптической задачи с параболическими пограничными слоями не существует схемы экспоненциальной подгонки, обладающей свойством равномерной сходимости. Схемы подгонки приемлемы при наличии регулярных пограничных слоев.

В работе Бахвалова Н. С. [6] применяется классическая центрально-разностная схема, но на сгущающейся в пограничных слоях сетке. Сетка строится так, чтобы погрешность аппроксимации была равномерной по узлам сетки. Доказано, что на такой сетке, впоследствии называемой сеткой Бахвалова, разностная схема обладает вторым порядком точности равномерно по малому параметру. Подход Бахвалова Н. С. для построения равномерно сходящейся разностной схемы за счет сгущающейся сетки использован в работах Андреева В.Б. [1-3], Бахвалова Н.С. [6-8], Благова И.А. [9,10], Ильина В.П. [35], Ко-

птевой Н.В. [2], Лисейкина В. Д. [38], Петренко В. Е. [38J, Шишкина Г. И. [58,67,76,88], Linfi Т. [73,75], O'Riordan Е. [65,67,76], Vulanovic R. [89,90] и других авторов.

Шишкиным Г. И. для решения сингулярно возмущенных задач предложено использовать кусочно-равномерную сетку с достаточно мелким шагом в области пограничного слоя в [58] и других работах этого автора.

Также при разработке численных методов для сингулярно возмущенных задач применяется метод Галеркина с выделением особенностей, когда предлагается функцию пограничного слоя включить в базис для решения задачи методом Галеркина или Ритца. Это приводит к равномерной сходимости метода в равномерной и энергетической нормах. Если функцию пограничного слоя не удается выписать в явном виде, то предлагается выделить краевую задачу для такой функции и решить ее переходом к «медленным переменным». В новых переменных используется классический метод типа Галеркина. Метод Галеркина используется и на специальных сетках, сгущающихся в пограничном слое. Данный подход использован в работах Багаева Б.М. [4,5], Блатова И. А. [11], Шайдурова В. В. [4,5], Linfi Т. [68], Roos Н.-G. [68,81,82], Stynes М. [81,82], Tobiska L. [81,82] и других авторов.

В 1973 году Рид и Хилл [78] впервые предложили разрывный метод Галеркина (Discontinuous Galerkin) для гиперболических уравнений, и с тех пор наблюдается активное развитие разрывных методов Галеркина для гиперболических и почти гиперболических задач. Позже разрывный метод Галеркина был применен к эллиптическим задачам. Данный подход использован в работах многих авторов [62,66,81,82]. Необходимость решать задачи с доминирующей конвективной частью, а также незначительным диффузионным участием, привело к распространению разрывного метода Галеркина для эллиптических задач. В 1992 году Рихтер [79] предложил обобщение оригинального разрывного метода Галеркина для линейных задач конвекции-диффузии в случае преобладающей конвекции.

В случае нелинейной или эллиптической задачи разностная схема разрешается на основе итерационных методов. Недостатком итерационных методов при разрешении разностных схем для эллиптических уравнений, таких как методы Якоби или Зейделя, является их невысокая скорость сходимости (так, в случае эллиптической задачи для метода Зейделя необходимое количество итераций пропорционально квадрату числа неизвестных). В этом случае эффективным решением проблемы является использование многосеточного алгоритма. Можно добиться того, чтобы скорость сходимости многосеточного метода не зависела от числа неизвестных в системе. С другой стороны, мпогосеточный метод устанавливает лишь структуру алгоритма, эффективность которого во многом зависит от адаптации его компонент к конкретной задаче.

Мпогосеточный метод был предложен Федоренко Р. П. в [53]. Далее этот метод развивался в ряде работ, отмстим [7,37,40,52,54,64,70,71]. Мпогосеточный метод для эллиптических задач с преобладающей конвекцией исследовался, например в [37,40,71]. Сложности, преодолеваемые в этих работах, связаны с сильной несимметричностью матрицы системы линейных уравнений и потерей диагонального преобладания при определенных соотношепи-

ях коэффициента диффузии и шага сетки. Отметим, что при этом вопрос равномерной по малому параметру сходимости реализуемых разностных схем не рассматривался.

Из многосеточных методов в ряде работ выделяется класс двухсеточных методов, например, [63,93,94]. Двухсеточиый метод рассматривается в следующей постановке. Краевая задача предварительно решается на достаточно грубой сетке. Затем найденное сеточное решение интерполируется на исходную сетку и принимается за начальное приближение для итераций. Это приводит к выигрышу в количестве арифметических действий. В соответствии с [93], при таком подходе решение нелинейной задачи на исходной сетке может быть заменено на решение этой нелинейной задачи на довольно грубой сетке (с намного меньшим числом узлов) и лишь несколько итераций требуется сделать на исходной сетке. То есть практически на заданной сетке вместо нелинейной задачи решаются одна-две линейные задачи, соответствующие итерациям Ныотоиа.

Вопрос применения двухсеточных методов к решению сингулярно возмущенных задач ранее практически не исследовался и представляет интерес. Известно, что от разностной схемы в случае задачи с пограничным слоем целесообразно требовать свойство сходимости, равномерной по малому параметру [76]. Двухсеточиый метод должен учитывать это. Например, погрешность интерполяции сеточного решения с грубой сетки па исходную не должна быть выше погрешности разностной схемы. Как показано в работе Задорина А. И. [20], в случае сингулярно возмущенной задачи формулы полиномиальной интерполяции могут привести к погрешностям порядка единицы. Следовательно, точность, обеспеченная решением задачи на грубой сетке, в этом случае будет потеряна, поэтому снизится эффективность применения двухсеточного метода. Поэтому актуальна разработка двухсеточных алгоритмов для сингулярно возмущенных задач

Остановимся па работах, в которых исследовались эти вопросы. В [91,92] предложено применить двухсеточиый метод для численного решения сингулярно возмущенной задачи в случае нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Для решения задачи применялась схема Ильина [32] на равномерной сетке, обладающая равномерной по малому параметру точностью порядка 0(/г). Использовалась формула неполиномиальной интерполяции [20], точная на погранслойной составляющей, также обладающая равномерной точностью порядка 0(К). Для разрешения разностной схемы, представляющей собой систему нелинейных уравнений, применялись методы Ньютона и Пикара. Показано, что число итераций на исходной сетке существенно уменьшается при использовании двухсеточного метода. В частности, если Н = Н2 , то на исходной сетке с шагом /г требуется лишь одна итерация метода Ньютона, остальные итерации делаются на грубой сетке с шагом Н. В [61] исследован двухсеточиый метод для нелинейного эллиптического уравнения с малым параметром при старших производных без конвективных членов. В данной работе используется линеаризация Ныотона в случае равномерно сходящейся разностной схемы на сетках Бахвалова [6] и Шишкина [58]. Применяется полиномиальная интерполяция сеточного решения, которая в данном случае является равномерно точной. В работе [25] исследуется двухсе-

точный метод решения линейной эллиптической задачи с двумя регулярными пограничными слоями. Двухсеточный метод применяется на равномерной сетке, используется двумерный аналог схемы Ильина. Предложена формула двумерной неполиномиальной интерполяции, точная на погранслойной составляющей.

Актуально исследование двухсеточного метода в случае, когда разностная схема строится па сгухцаюшсйся в пограничных слоях сетке. При использовании двухсеточного метода решение разностной схемы вычисляется на двух сетках, поэтому представляет интерес анализ использования экстраполяции Ричардсона для повышения точности разностной схемы. Метод Ричардсона, в том числе применительно к сингулярно возмущенным задачам, исследован в ряде работ, например [39,56,77,88] и др.

Несмотря па большое количество публикаций, вопрос разработки разностных схем повышенной точности для сингулярно возмущенных задач, особенно нелинейных, остается актуальным. Актуальна и разработка эффективных вычислительных алгоритмов для реализации разностных схем.

Целью диссертации является разработка разностных схем на сгущающихся сетках для сингулярно возмущенных задач, исследование двухсеточного метода реализации построенных схем с повышением точности па основе экстраполяции Ричардсона. Для достижения поставленной цели ставились следующие задачи.

1. Рассмотреть задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной. Разработать аналог схемы А. М. Ильина на равномерной сетке. Исследовать вопрос равномерную сходимость схемы направленных разностей на сетке Шишкина.

2. Исследовать двухсеточный метод решения сингулярно возмущенной краевой задачи для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с повышением точности схемы направленных разностей на сетке Шишкина па основе метода Ричардсона.

3. Для сингулярно возмущенной краевой задачи в случае нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка разработать алгоритм повышенной точности на основе линеаризаций Пикара и Ньютона с использованием монотонной схемы Самарского, исследовать двухсеточный метод реализации построенных алгоритмов.

4. Исследовать двухсеточный метод решения линейной эллиптической задачи при наличии регулярных и параболических пограничных слоев па сетке Шишкина с повышением точности разностной схемы па основе метода экстраполяции Ричардсона. Провести сравнение итерационных методов.

Научная новизна:

4. Исследованы двухсеточные алгоритмы для линейного эллиптического уравнения в случаях полного вырождения, регулярных и параболических пограничных слоев. Использование экстраполяции Ричардсона в двухсеточном методе приводит к повышению точности па порядок используемых разностных схем.

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные в диссертации теоретические результаты представляют ценность в теории разностных схем для сингулярно возмущенных задач. Разработанные вычислительные алгоритмы и разностные схемы для сингулярно возмущенных задач могут быть использованы при математическом моделировании конвективно-диффузионных процессов с преобладающей конвекцией, которые встречаются в гидродинамике, механике, экологии, физике, химии. Полученные в диссертации результаты используются в учебном процессе на кафедре математического моде�