Равномерные сеточные методы для некоторых сингулярно возмущенных уравнений на сгущающихся сетках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

, ; -'Московский Государственный Университет

^п'4^ имени М.В. Ломоносова

И? )-

Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики

На правах рукописи

Коптева Наталья Викторовна

УДК 519.63

РАВНОМЕРНЫЕ СЕТОЧНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ

УРАВНЕНИЙ НА СГУЩАЮЩИХСЯ СЕТКАХ (01.01.07 — вычислительная математика)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва —

1996

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов Московского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.Б. Андреев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Л.М. Дегтярев, кандидат физико-математических наук И.В. Фрязинов

Ведущая организация: Институт проблем безопасного развития

атомной энергетики РАН

Защита состоится

. 1996 года в /й?.. часов на заседании диссертационного совета Д.053.05.37 в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, аудит. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики.

Автореферат разослан "..<7/..." .Н&Ш^/Ш,... 1996 г.

Ученый секретарь Совета профессор

(Жси/ Е.И. Моисеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Большое число задач физики и техники приводит к дифференциальным уравнениям, содержащим малый параметр в виде множителя при старших производных, — так называемым сингулярно возмущенным уравнениям. Структура решений достаточно широкого класса сингулярно возмущенных задач изучена с помощью асимптотических методов в работах А.Н. Тихонова, М.И. Вишика, J1.A. Лю-стерника, А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузова, В. Вазова и др. Хорошо известно, что если параметр при старших производных е —» 0, то решения рассматриваемых в настоящей диссертации сингулярно возмущенных краевых и начально-краевых задач сходятся во внутренних точках области к решению вырожденной задачи (е = 0), и при малых е неиспользованные в вырожденной задаче граничные условия приводят к образованию в окрестности точек границы, где заданы эти условия, так называемых пограничных слоев, где решение исходной задачи быстро меняется, а его производные не являются ограниченными равномерно по параметру.

Это приводит к тому, что точность классических численных методов, не учитывающих наличие в задаче малого параметра, зависит не только от шага сетки, но и от значения параметра, а точнее от соотношения шага сетки и параметра. Поэтому при малых значениях параметра для достижения хорошей точности приходится использовать сетки с очень большим числом узлов. Численное же решение, найденное на не слишком мелкой сетке, как правило, не имеет ничего общего с решением исходной задачи.

В связи с этим для сингулярно возмущенных задач разрабатываются специальные, так называемые равномерно по параметру сходя-

щиеся численные методы, точность которых зависит лишь от числа узлов и не зависит от значения параметра. Здесь можно выделить два основных подхода: а) методы экпотенциальной подгонки коэффициентов разностного уравнения (работа A.M. Ильина, монография Е. Ду-лана, Дж. Миллера, У. Шилдерса, работы Р.Б. Келлога и А. Цзань, Ю.П. Боглаева и A.A. Станиловского и цитированная там литература) и примыкающие к ним проекционно-сеточные методы, использующие в качестве базисных кусочно-экспотенциальные финитные функции, (см., например, работы М. Стайнза и Е. О'Риордана); б) специальным образом сгущающиеся в пограничных слоях сетки (работы Н.С. Бахвалова, В.Д. Лисейкина, H.H. Яненко, И.А. Блатова, Г.И. Шишкина).

Г.И. Шишкиным для достижения равномерной по параметру при старших производных сходимости предложено использовать сгущающиеся в пограничных слоях кусочно-равномерные сетки. В частности, сетка на отрезке [0,1], сгущающаяся в окрестности точки х — 0, имеет вид

Г2={а:г-1 Х{ = ih, г = 0,...,п;

Х{ = хп + (i — п)Н, г = п + 1,... ,JV; (1)

h = 5/п, Н= (l-S)f(N-n), ¿ = min(CelnJV,A)}.

Число п мелких и число (N — п) крупных шагов сетки одинаковы по порядку, параметр С определяется коэффициентами уравнения, а число А 6 (0,1) произвольно. Г.И. Шишкиным для широкого класса сингулярно возмущенных задач установлена равномерная по параметру сходимость разностных схем на сгущающихся в пограничных слоях кусочно-равномерных сетках, но с порядком не выше единицы. Это объясняется используемым математическим аппаратом доказательства сходимости (принцип максимума для разностных уравнений). Чтобы

удовлетворить принципу максимума, дифференциальные уравнения, содержащие члены с первыми производными аппроксимируются трехточечными разностными схемами с односторонней аппроксимацией первых производных — схемами первого порядка. Соответственно и установленный порядок сходимости таких схем не выше единицы.

Таким образом, несмотря на наличие большого количества работ в области численных методов сингулярно возмущенных задач, некоторые важные вопросы остаются нерассмотренными. В частности, кажется целесообразным исследовать на сетках, подобных (1), классические разностные схемы второго порядка аппроксимации и с помощью более тонких методов (математический аппарат функций Грина) получить равномерные по параметру оценки сходимости этих схем.

Целью данной диссертации является исследование разностных схем с точки зрения их применимости для решения сингулярно возмущенных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, вырождающиеся в дифференциальные уравнения первого порядка, начально-краевых задач для параболических уравнений с одной пространственной переменной, и двумерных эллиптических краевых задач и обоснование равномерной относительно параметра при старших производных сходимости этих схем на сгущающихся сетках в смысле сеточной нормы

Научная новизна диссертации заключается в следующем: -— Для сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, вырождающегося в дифференциальное уравнение первого порядка, установлено, что трехточечная разностная схема с центрально-разностной аппроксимацией первой производной и четырехточечная схема с четырехточечной несимметричной (направленной) аппроксимацией первой производной на сгущающейся в

пограничном слое кусочно-равномерной сетке имеют равномерную по малому параметру точность 0(Лг~21п2 N), где N — число узлов сетки.

— Для одномерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии установлено, что двухслойная разностная схема с весом а > 0.5 на сгущающейся в пограничном слое сетке сходится равномерно по малому параметру в смысле сеточной нормы Lhx со скоростью 0(Ar~2ln2iV + (ст — 0.5)7- + г2), где N — число узлов сетки по пространству, г — шаг по времени.

— Для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения второго порядка в полосе с условиями периодичности по одной из переменных (у) установлено, что разностная схема с центрально-разностной аппроксимацией первой производной на сгущающейся в пограничном слое сетке сходится равномерно по малому параметру в смысле сеточной нормы L1^ со скоростью О ({N~2 In2 N + Л' "2) VhWvj, где N и N — число узлов по направлениям х и у соответственно.

Теоретическая и практическая ценность. Описанные в диссертации результаты имеют теоретическую направленность. Применение для получения априорных оценок сеточных решений сингулярно возмущенных задач математического аппарата функций Грина имеет целью дальнейшее его развитие в направлении исследования задач с большим числом независимых переменных. С помощью вышеуказанной техники получены равномерные по параметру оценки скорости сходимости разностных схем на сгущающихся сетках.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы, содержащего 43 названия.

Методологическую основу диссертации составляют работы A.A. Самарского, Г.И. Шишкина, М.И. Вишика и J1.A. Люстерника.

Апробация. Результаты диссертации докладовались и обсужда-

лись на следующих конференциях:

— Международная конференция " Оптимизация конечно-элементных аппроксимаций" (Ленинград, июнь 1995 г.)

— Конференция "Современные проблемы математики и механики" посвященная 175-летию П.Л. Чебышева (Москва, май 1996 г.)

— Международная конференция студентов и аспирантов "Ленинские горы-95" (апрель 1995 г.)

— Конференция аспирантов и студентов МГУ (апрель 1993 г.)

По результатам диссертации автором опубликовано пять работ.

Благодарности. Автор глубоко признателен профессору В.Б. Андрееву за постоянное внимание к работе и полезные обсуждения.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Здесь мы используем обозначения и нумерацию утверждений из текста работы.

Во Введении дается краткий обзор литературы, посвященной численному решению сингулярно возмущенных задач, обосновывается актуальность темы и излагаются основные результаты работы.

Глава 1 посвящена разностным схемам для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром в виде множителя при старшей производной, вырождающихся в дифференциальные уравнения первого порядка. В §1 для задачи

Lu = — е(р(х)и')' - г{х)и' + q(x)u = f(x), 0 < х < 1,

\ )

и{0)=д0, и(1)=д1,

где

р(х) > pq = const > 0, г(х) > го = const > 0, q(x) > 0, (3)

1,

а в € (0,1] — малый параметр, исследуется разностная схема

(L V). = -e(phul)i:. - rty . + = //", i = 1,...,N ■ "о = uhN = gi, с центрально-разностной аппроксимацией первой производной

,.h __ <1 - "ti tío . — -.

2ft,-

Известно, что если значение параметра е мало, то численное решение, получаемое по этой схеме на равномерной сетке, имеет вид «пилы» большой амплитуды. Основной результат параграфа —

Теорема 1.1.1. Пусть и(х) — решение задачи (2),(3) с достаточно гладкими коэффициентами и правой частью, a uh — решеиие (4) на сетке (1). Тогда, если параметр С сетки П удовлетворяет условию

С>2р(0)/г(0), (5)

а N > N0(p(x),r(x)), то

max |u(a:¿) - иЛ0г,-)| = 0(N'2In2 N)

равномерно no е.

Для доказательства этой теоремы в явном виде строится функция Грина сеточной задачи (4) на сетке О (1) при q(x) = 0 и доказывается ее равномерная по е ограниченность.

В §2 главы 1 для обыкновенного дифференциального уравнения с «дивиргентным» видом члена с первой производной

Lu = -ф(х)и')' - (г(х)и)' = f(x), (6)

коэффициенты которого удовлетворяют (3), исследуются несимметричные четырехточечные схемы вида

(ЬЛА- = .- (гV). . + =

Эти схемы отличаются от схемы с центральной разностью дополнительным членом с третьей разностной производной, коэффициент при котором а,- выбирается таким образом, чтобы схемы были монотонны в смысле неотрицательности корней характеристического многочлена: либо

оц =0.5,

либо

Установлено (теоремы 1.2.2 и 1.2.6, аналогичные теореме 1.1.1), что на сгущающейся в пограничном слое кусочно-равномерной сетке Г) (1), параметр С которой удовлетворяет условию (5), две исследуемые схемы сходятся равномерно по е со скоростью 0(М~2\п2 N), где N — число узлов сетки.

Глава 2 посвящена разностным схемам для сингулярно возмущенных параболических уравнений, вырождающихся при е — 0 в уравнения в частных производных первого порядка. В §1 рассматривается начально-краевая задача для одномерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии

й + 1и = ДМ), 0 <:г<1, О <Ь<Т, и(о,0 = М1(*). «(1,0 = ^2(0, 0<г<г, (7)

и(х,0) = ср(х), 0 < х < 1,

где £ — стационарный дифференциальный оператор (2),(3) с малым параметром е € (0,1] при старшей производной. Предполагается, что

в точках (х = 0, £ = 0) и (х — 1, £ = 0) выполняются условия согласования, обеспечивающие достаточную гладкость решения. Задача (7) аппроксимируется на сетке Пхыт (О — кусочно-равномерная сетка (1), ыт — равномерная сетка по времени с шагом г = Т/К) двухслойной разностной схемой с весами

= г = — 1, з=0,...,К-1,

щ'3 = (*,■), = з = °>• • • (8)

где о £ [0.5,1] — параметр схемы, а Ьк — трехточечный разностный оператор (4) с аппроксимацией первой производной по пространству центральным разностным отношением. Основной результат параграфа — теорема 2.1.1, согласно которой на сгущающейся в пограничном слое сетке (1), параметр С которой удовлетворяет условию (5), схема

(8) с начальным условием

Ьне<рн = (1е<р) (*<), г = 1,..., Лг — 1, ^ = ¥>(0), <Рк = <Р( 1),

имеет при а > 0.5 равномерную по параметру точность 0(ЛГ~"21п2 N + (сг — 0.5)т + т2) в смысле сеточной нормы Ь^, где а — параметр схемы, N — число узлов сетки по пространству, т — шаг по времени. Для доказательства теоремы 1) устанавливается устойчивость схемы с весами при а > 0.5 в сеточной норме Ь\ (теорема 2.1.2) ; 2) используется доказанная в §1 главы 1 ограниченность функции Грина стационарного оператора Ь'1 из (4) (теорема 1.1.3).

Глава 3 посвящена разностным схемам для сингулярно возмущенных эллиптических уравнений. В §1 для кусочно-линейных непрерывных функций, заданных на триангуляции % области П С Я2 с кусочно-гладкой границей, установлено (теорема 3.1.1), что их нормы в С(О)

ограничены нормами в И^1 умноженными на с| 1п где к — диаметр наименьшего из треугольников т 6 7д, а с = с(П) — некоторая постоянная. Квазиравномерность триангуляции % не предполагается. Этот результат оказывается полезным в §2 при исследовании разностной схемы с цснтралыю-разностнох! аппроксимацией первой производной для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения второго порядка в полосе [0,1] х (—оо,оо) с условиями периодичности по переменной у. Показано (теорема 3.2.1), что на сгущающейся в пограничном слое кусочно-равномерной сетке исследуемая схема сходится равномерно по малому параметру в смысле сеточной нормы Ь!'х со скоростью О 1п2 N + Д'~2)\/1п 0), где N и N — число узлов по направлени-

ям х и у соответственно.

Точность исследованных схем иллюстрируется численными результатами и рисунками.

ПУБЛИКАЦИИ

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Андреев В.Б., Коптева Н.В. Об исследовании разностных схем с аппроксимацией первой производной центральным разностным отношением/ / Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. N 8. С. 101-117.

2. Коптева Н.В. О равномерной по малому параметру сходимости одной четырехточечной схемы для одномерного стационарного уравнения конвекции-диффузии// Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. N 7. С. 951-957.

3. Коптева Н.В. О равномерной по малому параметру сходимости схемы с весами для одномерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии// М. 1996. Рукопись деп. в ВИНИТИ. 02.07.96. N 2160-В96. 15 с.

4. Коптева Н.В. Неравенство Соболева в случае анизотропных сеток// М. 1996. Рукопись деп. в ВИНИТИ. 02.07.96. N 2159-В96. 7 с.

5. Коптева Н.В. О равномерной по малому параметру сходимости одной разностной схемы для эллиптической задачи в полосе// М. 1996. Рукопись деп. в ВИНИТИ. 02.07.96. N 2161-В96. 10 с.