Равномерные сеточные методы для некоторых сингулярно возмущенных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова

Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики

На правах рукописи

РАВНОМЕРНЫЕ СЕТОЧНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ

УРАВНЕНИЙ (01.01.07 — вычислительная математика)

Автореферат

диссертации на'соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1996

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов Московского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.Б. Андреев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Л.М. Дегтярев, кандидат физико-математических наук, доцент A.A. Амосов.

Ведущая организация — Институт математического моделирования

РАН

Защита состоится ..... 1996 года в 16 часов на заседа-

нии диссертационного совета Д.053.05.37 в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119899. Москва. Воробьевы горы. МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, аудит. С85.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики.

Автореферат разослан "./Л" .¿Ш.1'.0.^..3. 1990 г.

Ученый секретарь Совета профессор

Cri{№

/СЕ.И. Моисеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объектом предлагаемого исследования являются разностные схемы, аппроксимирующие сингулярно возмущенные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и начально-краевые задачи для параболических уравнений с одной пространственной переменной, и сходящиеся равномерно относительно параметра при старшей производной.

Актуальность. Характерной особенностью асимптотических разложений решений задач с параметром е при старшей производной является то, что они содержат так называемые погранслойные слагаемые. Иными словами, при малых е неиспользованные в вырожденной задаче граничные условия приводят к образованию в окрестностях границ пограничных слоев, где решение исходной задачи претерпевает сильные изменения. Использование для этого класса сингулярно возмущенных краевых задач классических сеточных методов, разработанных для задач с гладкими решениями, не позволяет получать приближенные решения, сходящиеся равномерно относительно параметра.

Проблеме построения специальных численных методов, обладающих свойством равномерной относительно параметра сходимости, посвящено большое количество работ, в которых можно выделить два основных подхода к решению указанных задач: а) основанный на методах подгонки (работы A.M. Ильина, Г.И. Шишкина, М.В. Алексеев-ского, Р.Б. Келлога и А. Цзань, Е. Дулана, Дж. Миллера и У. Шил-дерса, а также Б.М. Багаева и В.В. Шайдурова, Ю.П: Боглаева) и б) использующий специальным образом сгущающиеся сетки (работы Н.С. Бахвалова, В.Д. Лисейкина и H.H. Яненко, Г.И. Шишкина, К.В. Емельянова, И.А. Блатова). Но, как отметил Г.И. Шишкин1, применение подгоночных схем ограничено, поскольку для некоторых начально-краевых задач для параболических уравнений не существует схем метода подгонки, сходящихся равномерно относительно параметра.

1 Шишкин Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. Екатеринбург, Изд-во РАН УрО, 1992.

В работах Г.И. Шишкина для обеспечения равномерной относительно параметра сходимости предложены кусочно-равномерные сетки, сгущающиеся в пограничных слоях. Отметим, что сетки, сгущающиеся гладко в пограничных слоях, бывают сложны для построения (см. работы В.Д. Лисейкинаи H.H. Яненко2, К.В. Емельянова3). Следует также отметить, что методика построения сетки, предложенной Н.С. Бахваловым4, на случай уравнений с первыми производными непосредственно перенесена быть не может, поскольку, как показано Г.И. Шишкиным1, для таких уравнений вообще не существует сеток, на которых погрешность аппроксимации классических схем была бы равномерно по параметру ограниченной.

Используемый Г.И. Шишкиным математический аппарат доказательства сходимости (принцип максимума для разностных уравнений) не позволяет получить оценки высокого порядка на неравномерных сетках — на кусочно-равномерных сетках полученные им порядки сходимости не превосходят единицы. Вышеупомянутая техника, тесно связанная с наличием у исследуемой схемы свойства монотонности, к тому же не стимулирует аппроксимировать входящие в уравнения первые производные иначе, нежели направленными разностями, то есть также с порядком не выше первого.

Вышеизложенное определило основную цель исследования, которая состоит в том, чтобы в частности для обыкновенных дифференциальных уравнений с полным вырождением и параболических уравнений, вырождающихся при е —> 0 в обыкновенные дифференциальные уравнения, не содержащие производных по пространственным переменным, получить неулучшаемые оценки на сгущающихся в пограничных слоях кусочно-равномерных сетках, а для обыкновенных дифференциальных уравнений, вырождающихся при е —» 0 в

2Лисейкин В.Д., Яненко H.H. О равномерно сходящемся алгоритме численного решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной// Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. 1981, Т 12, N 2, С. 45 — 56.

3Емельянов К.В. Применение оптимальных разностных сеток к решению задач с сингулярным возмущением// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1994, Т 34, N 6, С. 936 — 943.

4Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1969, Т 9, N 4, С. 841 — 859.

уравнения первого порядка, построить равномерно по параметру сходящиеся монотонные схемы, имеющие более высокую точность, чем предложенные ранее, а также получить более точные, нежели ранее известные (см. работы Г.И. Шишкина5, В.Д. Лисейкинаи H.H. Янен-ко2), формулы для вычисления производных.

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

— Установлено, что классические разностные схемы на кусочно-равномерной сетке Шишкина для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с полным вырождением и для параболического уравнения, вырождающегося при е —» 0 в обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, не содержащее производных по пространственной переменной имеют равномерную по е точность 0(N~2 In2 N) и 0(т + N~2 In2 N) соответственно, где т — шаг сетки по времени, а N — число узлов сетки по пространственной переменной.

— Построены модификации известной монотонной схемы Самарского, аппроксимирующие первую и третью краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка общего вида, вырождающихся при е —» 0 в уравнения первого порядка, и установлено, что они имеют на кусочно-равномерных сетках Шишкина, сгущающихся в пограничных слоях, равномерную по е точность 0(N~2ln2 N)] отмечено также, что точность немодифицированной схемы Самарского оценивается на указанной сетке величиной 0(N~X).

— Указаны формулы для вычисления (по полученному решению модифицированной схемы Самарского) "потока" — величины —ep(x)du/dx на границе и во внутренних точках с той же точностью 0(N~2 In2 N).

Теоретическая и практическая ценность. Описанные в диссертации результаты имеют теоретическую направленность. Применение для получения априорных оценок сеточных решений сингулярно возмущенных задач математического аппарата функций Грина имеет целью дальнейшее его развитие в направлении исследования задач с болыпым числом независимых переменных. С помощью вышеуказанной техники получены оценки скорости сходимости более

5Шишхин Г.И. Численное решение эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных. II. Аппроксимация производных// Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. 1979, Т. 10, N 1, С. 5 — 16.

высокого порядка для ранее известных схем, а также исследованы построенные в работе схемы, имеющие большую точность, чем предложенные ранее.

Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения, двух глав и списка цитированной литературы, содержащего 36 названий.

Методологическую основу диссертации составляют работы A.A. Самарского, Г.И. Шишкина, М.И. Вишика и Л.А. Люстерника.

Апробация. Результаты диссертации докладовались и обсуждались на семинаре проф. Ю.А. Дубинского в Московском энергетическом институте и на следующих научных конференциях:

— Международное совещание по программированию и математическим методам решения физических задач. Дубна, 1993.

— VIII научная конференция "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики". Москва, МГУ, 1994.

По результатам диссертации автором опубликовано пять работ.

Благодарности. Автор глубоко признателен профессору В.Б. Андрееву за помощь в написании этой работы.

Здесь мы используем обозначения и нумерацию утверждений из текста работы.

Во Введении дается краткий обзор литературы, посвященной численному решению сингулярно возмущенных задач, обосновывается актуальность темы и излагаются основные результаты работы.

В главе 1 для сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка общего вида строятся модификации монотонной схемы Самарского и устанавливаются равномерные по параметру оценки их точности.

В §1 рассматривается следующая краевая задача

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Ьи = —е(р(х)и'У - т(х)и' + q(x)u = /(ж), 0 < х < 1, и(О) = д0, и(1) = ди

(1)

где

р(х) > Со > 0, г(х) > сх > 0, q(x) > О,

(2)

аеб (0,1] — малый параметр. Известно, что при е —> 0 решение этой задачи сходится на полуинтервале 0 < х < 1 к решению вырожденной задачи

-r(x)v' +q(x)v = f(x), v(l) = gii

а при малых £ неиспользованное в вырожденной задаче граничное условие приводит к образованию в окрестности точки х = 0 пограничного слоя.

Систематическое изложение результатов предваряется рассуждениями, указывающими на примере модельного уравнения, получающегося из (1) при J(x) = 0 и

р(х) = г(х) = 1, д(х) = 0, д0 = 1, дх = О,

путь построения модифицированной схемы Самарского и начинается с получения априорной оценки.

На произвольной сетке ы, введенной на отрезке [0,1], рассмотрим следующую задачу

=fi> ' г = l,... ,N ~ 1\ (3) 4 = А = 0, (4)

от коэффициентов которой потребуем удовлетворения условиям

Pi> 0, rf>c:>0, <¿>0. (5)

Справедлива

Теорема 1.1.1. При выполнении условий (5) функция Грина G(xi,£j) задачи (3), (4) неотрицательна и равномерно по е ограничена

о ^GObfjHcr1.

Из этой оценки и представления решения задачи (3), (4) с помощью сеточной функции Грина вытекает справедливость следующего утверждения

Теорема 1.1.2. При выполнении условий (5) для решения задачи (3), (4) справедлива оценка

II «MUi^cr1 II fh\\Lb- (б)

Будем отныне предполагать, что коэффициенты уравнения (1) и его правая часть достаточно гладкие для того, чтобы существовали все необходимые для дальнейших рассуждений непрерывные производные искомого решения, которые, разумеется, могут неограниченно расти при е —» 0. Если однако требуемые производные равномерно по е ограничены, то будем говорить о равномерной гладкости искомого решения.

Обратимся теперь к монотонной схеме Самарского с дивергентным видом старшего члена для задачи (1), (2), которая на произвольной неравномерной сетке имеет следующий вид

(.Lhuh)i = -e(Khph4h,i ~ riVi <i + 9,4 = /¿\ € w,

где

pf = p(Xi - h;l2), rf = r(xi - hiß), (7)

и удовлетворяет условиям (5). Эта схема является объектом дальнейшей модификации.

Теорема 1.1.3. Если сетка и) равномерная, то разностная схема (7) с коэффициентами

и правой частью

1 ( hg \

2 U +

fh _ , , hi 1 9ifi | 1 f W ) (Q)

h J,+ 2 l + + 2 Vl + itf?)-1 1 [ >

на равномерно гладких решениях уравнения (1) имеет равномерную по е погрешность аппроксимации 0{Ь2).

Замечание 1.1.1. Если сетка ш в окрестности узла х; не является равномерной, то погрешность аппроксимации в этом узле есть 0(?ч) равномерно по е.

Теоремы 1.1.2, 1.1.3 и замечание 1.1.1 дают возможность установить основной результат §1. Именно справедлива

Теорема 1.1.4. Пусть и(х) — решение задачи (1), (2) с достаточно гладкими коэффициентами и правой частью, а и11 — решение (7) — (9) с граничными условиями

4 = 90, и%=д:. (10)

Тогда, если сетка и> является сеткой Шишкина, то есть ш = П, где

П = {а:,-1 Х{ = г'Л, г = 1,..., п;

Х{ = хп + (г — п)Н, г = гг + 1,..., N — 1;

Л = 6/п, Я = (1 - <5)/(Я - п), ¿ = тт(С£1пЛГ, А)}

(А — произвольное и конечное; А £ (0,1/2]), (Иа)

и выполняется условие

С > 2р(0)/г(0), (11Ь)

то

|| и(х;)-ил(*;) ||^=0(]У"21п2^)

равномерно по е .

Доказательство основано на использовании оценок решения задачи (1), (2), теоремы 1.1.3 и замечания 1.1.1 при вычислении погрешности аппроксимации в норме || • || ¿л с последующим применением априорной оценки (6) к задаче для погрешности г; = и^ — и(х,-).

§2 посвящен построению и исследованию модифицированной схемы Самарского для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с "дивергентным" видом члена с первой производной.

Для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка рассмотрим двухточечную краевую задачу

Ьи = ~е{р{х)и')' + (г(х)и)' + д(х)и = /(х), 0 < х < 1,

и(0)=д0, и(1) = ди (12)

р[х) > Со > О, г (я) > С! > 0, q(x) > 0. (13)

Пограничный слой имеет место в окрестности точки х = 1.

Рассуждения при построении и исследовании модифицированной схемы Самарского для задачи (12), (13) аналогичны рассуждениям, проведенным в §1 для задачи (1), (2).

Рассмотрим на произвольной сетке ZJ на отрезке [0, 1] задачу

-е(рЧ) . + = fi, i = l,...,N-l,

V / i,l

v0 ~VN ~ (14)

Pi> 0, rf>Cl> 0, <¿>0, (15)

сопряженную к задаче (3) — (5). Справедлива

Теорема 1.2.1. Ери выполнении условий (15) для решения задачи (14) справедлива оценка

II Vh ||ЛЛ< q1 II fK hi ■

Для аппроксимации задачи (12), (13) рассмотрим модифицированную схему Самарского

(Lhduh)i = -e(Khph4h,i + (ri+iuhh,i + я№ = ft, e Ы,

где

«? = (! +Я?)"1, = ^

rf = r(xi - hiß), p* = p(xi - hi/2), h= 1 fhi(riti + qj)\ hj (r^j + qi)2 1

qi qi Ah®-1 2 (i +

,h _ , _ 1 (i Ы fijr^i+qi) 1 , .

^ i -—- i -i—-

Задача для погрешности z,- = и-1 — u(xi)

LdZi = %]){, x;£w, 20=ZW=0

подпадает под условия теоремы 1.2.1.

Теорема 1.2.2. Если сетка и> равномерная, то разностная схема (16) на равномерно гладких решениях уравнения (12) имеет равномерную по е погрешность аппроксимации 0(h2).

Замечание 1.2.1. Если сетка в окрестности узла х,- не является равномерной, то погрешность аппроксимации в этом узле есть О (ft,-) равномерно по е.

Теорема 1.2.3. (основной результат §2) Пусть и(х) — решение задачи (12), (13) с достаточно гладкими коэффициентами и правой частью, a uh — решение (16) с граничными условиями

Ua=g о, "n=S 1-

Тогда, если сетка и является сеткой Шишкина, то есть и = flj, где

fij = {х; | х; = iH, i = 1,..., N — п; Х{ = xyv-n + (г - (N -n))h, i = N - п+ 1,.. .,N- 1; h = 8/п, Я = (1 - 5)/(N - n), <5 = тт(Сгг1п N, Л)} (А — произвольное и конечное; A Е (0,1/2]),

и выполняется условие

С > 2р(1)/г(1),

то

II u(x;)-uh(x{) ||ib = 0(N~2In2 N)

равномерно no e .

§§1 и 2 завершаются замечаниями, касающимися в частности точности ^модифицированных схем Самарского, и обобщениями с указанием изменения вида модифицированных схем Самарского в тех случаях, когда пограничный слой имеет место на другом конце рассматриваемого отрезка.

Изложение §3 начнем с рассмотрения смешанной задачи. Для общего линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка рассмотрим следующую задачу

-е[р{х)и')' - r{x)u' + q(x)u = /(х), 0 < х < 1,

-ер(0)и'(0) + /3и(0) = Ль "(1) = Зи

р{х) > с0 > 0, г(х) > С1 > 0, я(х) > О, 0> 0. (17)

На произвольной сетке ИТ на отрезке [0, 1] рассмотрим задачу (3), (5) с граничными условиями

= -{ер^ + /цг?)и*о+/ЗЧ = 5о, . (18)

«Л, = 9ь (13)

где

> 0. (20)

Теорема 1.3.1. При выполнении условий (5), (20) функция Грина . задачи (3),(18),(19) неотрицательна и равномерно по е ограничена

Решение задачи (3),(5),(18) — (20) с 51 = 0 при помощи функции Грина выражается так:

N-1

1„=о = Е +

j=^

Теорема 1.3.2. При выполнении условий (5),(20) для решения задачи (3),(18),(19) с д\= 0 справедлива априорная оценка

II иь Ц^^сг1 (и /" 11^ +ЬоЛ|)-

Конкретизируем задачу (3), (18) — (20) путем задания связи ее коэффициентов с коэффициентами задачи (17), то есть аппроксимируем задачу (17) модифицированной схемой Самарского (7) — (9) с граничными условиями

АЧ = - + Л^) + /ЗЧ = 9о, (21)

и% — 9\ > (22)

о, АоЛ=9о+у/о- (23)

Задача для погрешности г-х — и^ — и(х{)

= х ,-6и>; Л/1г0 = Фо, гдг = О,

где Фо = до + (Л/2)/о - Алы0 — погрешность аппроксимации граничного условия, подпадает под условия теоремы 1.3.2, в силу которой

Сформулируем основные результаты §3.

Теорема 1.3.3. Пусть и(х) — решение задачи (17) с достаточно гладкими коэффициентами и правой частью, а и11 — решение задачи (7) — (9), (21) — (23). Тогда, если сетка со является сеткой Шишкина (11), то

II и(х{) - ик(Х1) ||^=0(^-2Ь2ЛГ)

равномерно по е .

Обратимся теперь к вычислению потока.

Теорема 1.3.4. Пусть и{х) — решение задачи (1), (2) с достаточно гладкими коэффициентами и правой частью, а и£ — решение задачи (7) — (10) на сетке (11), Тогда "сеточный поток"

= Ад «о - §/о = -Ырл + Лг?)<о + \{<1о< ~ /о)

аппроксимирует граничный поток —ер(0)(1и(0)/с1х с точностью 0(Л^~21п2 N) равномерно по е .

Замечание 1.3.1. Справедливы следующие формулы, аппроксимирующие величину ер(х)и'(х) с точностью 0(М~21п2 7\г) равномерно по е в любой точке сетки и = П (11).

Если же хт > 6, то выберем х Е и — ft так, что х 1 = 0(1) и (1 - х)"> = 0(1) (х > S). Тогда

Г^ = ^^i^i+^iriUjlu^+^iiW-?™), xm < х,

где

qhm = qm( 1 + Rl+l/(Rhm+l + 1)), Jhm = fm( 1 + I&+ l/«+l + I))! Гхи* = SKhmphmulm + ^(q^ui - Jhm), xm > x,

где

tm = gm( 1 - +1)), tm = /m(i - +1)).

В главе 2 Исследуется равномерная по параметру точность трехточечной схемы для сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения с полным вырождением и неявной схемы для параболического уравнения, вырождающегося при е —+ 0 в обыкновенное, не содержащее производных по пространственной переменной.

В §1 рассматривается двухточечная краевая задача Lu = -e2u" + q(x)u = f(x), 0 < х < 1,

где

ci > q{x) > с0 > 0, (24)

u(0) = uq, u(l) = и\. (25)

Функции q(x) и /(x) предполагаются достаточно гладкими. На произвольной сетке 57 на отрезке [О, 1] рассмотрим следующую задачу

(Lhuh). = + qhu4 = /\ i = l,...,N-l, (26)

где

qh = Qi, fh = fi,

4 = 0, uhN = 0. (27)

Справедливы следующие утверждения.

Лемма 2.1.1. Для функции Грина задачи (26),(27) на сетке U справедлива оценка

N-1

£ №<

Лемма 2.1.2. Для функции Грина задачи (26),(27) на сетке и> справедлива оценка

G[xi,fj) < min{c(e + ft,-)-1» с(е + Й,-)-1}.

(Здесь с — некоторая положительная постоянная, не зависящая от е.)

Лемма 2.1.3. Для погрешности аппроксимации на сетке и> = Г2г, где

= {я.' | х,- = ih, г=1,...,п; Xi = хп + (г — п)Н, г = п + 1,..., N — щ Xi = хN-n + (i - N + n)h, i = N - тг+ 1,... ,N - 1; h — S/n, H~ (1 -26)/(N- 2n), 6 = mm(CelnN, A)} (А— произвольное и конечное; А 6(0,1/3]), (28)

схемы (26) при выполнении условия

C>2mö\ (29)

где

гп0 = min (q(x)Y/2 = cJ2, *e[o,i]

справедливы следующие оценки

|Ф(®,-)1 = 0(e2N~l + N~2), при xi = 8, х,- = 1 - <5,

|Ф(а;,-)| = 0(N~2), при 6<х{<1-6, |Ф(ж;)| = 0(N~2\Vi2N), при Xi<S, Ii >1-6.

Сформулируем основной результат §1.

Теорема 2.1.1. Пусть и(х) — решение задачи (24), (25), auh — решение задачи (26) с граничными условиями

и£ = Щ, tXjv = Ui,

Тогда, если сетка является сеткой Шишкина (28), параметр С которой удовлетворяет условию (29), то

II u(®i) - uh(xi) ||¿¡о= 0{N~2 In2 N)

равномерно no s.

Замечание 2.1.1. Если рассмотреть уравнение с "дивергентным" первым членом

-е2 (ри')' + qu = f, с2> р(х) > с3 > О

и соответствующую разностную схему, то, проведя аналогичные рассуждения, нетрудно убедиться в том, что утверждения теоремы и лемм в данном параграфе сохранят силу, если в условии (29) т^ определить иначе, а именно

то0 = mm

1Ж1 J»(*)J

1/2

В §2 для линейного параболического уравнения в области В = [0,1] х [0, Т] {Б = (0,1) х (0, Г]) рассматривается начально-краевая задача

ди

где

Pdt+Lu = J>

Г п д ( dw\

p=p(x,t), p=p(x,t), q=q(x,t), f = f(x, t), Co > P > ci > 0, c2 > p > c3 > 0, c4 > q > c5 > 0, u(a:,0) = tp{x),

u(0,i) = A0(i), «(l,i) = Ai(<)- (30)

Будем предполагать, что правая часть и коэффициенты уравнения задачи (30) достаточно гладкие для того, чтобы существовали все необходимые для дальнейших рассуждений непрерывные производные искомого решения ( производные решения по пространственной переменной, разумеется, могут неограниченно расти при е —» 0), а относительно функций /, Л0, Аг предположим, что они удовлетворяют при ¿ = 0,1 = 0иг=1 условиям согласования того порядка п0 (по > 2), который обеспечивает требуемую гладкость решения. Введем в области £> сетку шо = а7 X а7г, где

Ът = =зт,3 = 0,1,. • • ,Зо\ <у„ = Т}, шт = 3 = 1, - - - >-70>,

а Ш — произвольная неравномерная сетка на отрезке [0,1]. Задачу (30) аппроксимируем на сетке оследующей неявной двухслойной схемой

РУ1 + Лу= /л, (1;,^-)еихшГ1

у(х0, ¿у) = Х>, у(хы, ¿у) = Х\, у(х{, г0) =

где

Аш = Л(х;,^> = -£2 (РЧ)± + д'1», = / =

рн = /(*;,= - Л,г/2,р = р\ =

= Я = 4 = М = (31)

Теорема 2.2.1. Пусть и(х) — решение задачи (30), а у(х,-,<у) — решение задачи (31) на сетке йТ0. Тогда, если сетка и является сеткой Шишкина (28), параметр С которой удовлетворяет условию

С>2г0-1,

где

г о = тт

о

зОм)

.рОМ).

1/2

то

|| u(x,t) — y(xi,tj) 11^= 0(t + N~2 In2 N), j — 1,2,..., jo (32)

равномерно по е.

Доказательство проводится при помощи методики, предложенной в работе A.A. Самарского6, с применением оценок функции Грина сеточной задачи на слое и с использованием оценок решения задачи (30).

Замечание 2.2.1. Если шаг сетки по времени непостоянный, то в оценке (32) т надо заменить на т* = тахту.

6Самарский A.A. Априорные оценки для разностных уравнений // Ж. вы-числ. матем. и матем. физ., 1961, Т. 1, N 6, С. 972 — 1000.

ПУБЛИКАЦИИ

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Андреев В.Б., Савин И.А. О равномерной по малому параметру сходимости монотонной схемы Самарского и ее модификации// Ж. вычнсл. матем. и матем. физ. 1995, Т. 35, N 5, С. 739 — 752.

2. Савин И.А. О скорости равномерной по малому параметру сходимости разностной схемы для обыкновенного дифференциального уравнения// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1995. Т. 35. N 11, С. 1758 — 1705.

3. Савин И.А. К вычислению граничного потока с равномерной по малому параметру точностью М. 1995. Рукопись деп. в ВИНИТИ. 27.10.95. N 2880-В95, 11 С.

4. Савин И.А. О скорости равномерной по малому параметру сходимости на кусочно-равномерной сетке разностной схемы для параболического уравнения М. 1995. Рукопись деп. в ВИНИТИ. 27.10.95. N 2879-В95, 15 С.

5. Савин И.А. О равномерной по малому параметру точности модифицированной схемы Самарского для сингулярно возмущенного уравнения М. 1995. Рукопись деп. в ВИНИТИ. 27.10.95. N 2878-В95. 18 С.

Зак..\" 399. Тир.100 экз.Формат 60x84/16.Объем 1,25 печ.л.

Типография ВИЗ. Москва, Кочновский проезд д. 3