О некоторых численных алгоритмах решения приближенных и полных уравнений Навье-Стокса тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

г

ИГНАТЬЕВА Ирина Викторовна

О НЕКОТОРЫХ ЧИСЛЕННЫХ АЛГОРИТМАХ РЕШЕНИЯ ПРИБЛИЖЁННЫХ И ПОЛНЫХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА

01.02.05 - механика жидкости, 1"аза и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЧЕБОКСАРЫ - 1998

Работа выполнена на кафедре высшей математики Казанского государственного технического университета им.Л.Н.Туполева

Научный руководитель: доктор физико-математических иау]

Р.Г.Зарипов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

с.н.с. Д.В.Маклаков доктор физико-математических наук профессор М.М.Карчевски? Ведущая организация: Институт теоретической и прикладно;

механики СО РЛ1:

Защита состоится декабря 1998г. в часов на зассдаш

диссертационного совета К 064.15.02 по адресу: 428015 г.Чебоксар Московский проспект 15, Чувашский государственный университет име! В.И.Ульянова.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Чувашскс I оеударственного университета

Автореферат разослан

Ж.

ноября 1998г.

Учёный секретарь Диссертационного Совета, кандидат физико-математических наук, доцент Никитин В.

Общая характеристика работы Разработка различных технических устройств авиамоторостроения, [спользующих в качестве рабочего тела жидкость или газ, оптимизация »ежимов их работы вызывает необходимость численного моделирования [вижения этой среды в соответствующих условиях. Несмотря на то, что число губликаций, связанных с вопросами численного моделирования задач арогидродинамики очень велико, гем не менее остаётся достаточно много ^решённых проблем. В частности, одной из основных проблем является окращение времени и объемов необходимых вычислений на ЭВМ, которое южет быть достигнуто как за счёт повышения быстродействия и возможностей 1ычислителыгой техники, так и за счёт увеличения эффективности методов, юпользуемых при численном моделировании.

В данной работе описан и обоснован конечноразностный метод шсленного моделирования дозвуковых течений вязкой жидкости или газа, :оторый позволяет сократить объёмы вычислений, а следовательно, и время 1ычислений. Такое сокращение достигается за счёт как повышения порядка шпроксимации разностных уравнений, так и за счёт построения равномерно сходящихся по малому параметру (числу Рейнольдса) разностных схем.

Целью работы является разработка и обоснование метода решения сраевых задач для приближённых и полных уравнений Навье-Стокса в цироком диапазоне чисел Рейнольдса. Метод основан на идее использования 1ри аппроксимации дифференциальных уравнений разностными схемами тпарата «погранслойных» функций, что позволяет создать и обосновать класс жзностных схем с помощью которых можно адекватно моделировать движение >язкой жидкости в широком диапазоне чисел Рейнольдса, а также создании тзностных схем повышенного порядка аппроксимации.

Достоверность исследований вытекает из математической строгости 7остановки рассматриваемых задач, обоснования методов их решения, а также ¡равнения полученных результатов с известными решениями, жепериментальными данными и результатам других исследований.

Научная новизна: На основе аппарат «гкнрапслойиых» функци) нолучсн и обоснован класс разностных схем экспоненциальной нодюнки как hí равномерных, так и на неравномерных сетках для решения приближённых i полных уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса Исследованы вопросы влияния числа Рейнольдса и методов линеаризации ш обусловленность разностных уравнений. Предложен алгоритм реализацш таких разностных уравнений, учитывающий технические характеристики ЭВМ

Практическая значимость исследований. Па основе предложенньп алгоритмов решения приближённых и полных уравнений Навье-Сткок« возможно численное моделирование следующих практических задач:

а) внешней аэрогидродинамики - моделирование задач обтекания на баз< стационарных уравнений пофаничного слоя;

б) внутренней аэрогидродинамики - моделирование стационарных геченш вязкого газа илй жидкости в задачах химической, нефтяной промышленности t авиамоторостроении в широком диапазоне чисел Рейнольдса.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работь догладывались на V межреспубликанских гугюлсвских чтениях студентот «Актуальные проблемы авиастроения» (Казань, 1992г.), на Международно? научно-технической конференции «Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении Моделъ-проект-95» (Казань,1995 г.), на Международной научно-гехническо* конференции «Механика машиностроения» (Набережные Челны, 1995 г.), на 1\ encoutro regional de matematica aplicada e computional. ANAIS-19%. (Brazil), hi Второй республиканской конференции молодых ученых и специалисте! (Казань, 1996г.), на научной конференции «Динамика сплошных сред сс свободными границами».( Чебоксары, 1996г.). на I Международно? конференции «Модели механики сплошной среды, вычислительные технологи» и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении». (Казань 1997г.), на итоговых научных конференциях Казанского государственной технического университета в 1993-1997п\ !

I Кпликации. Содержание диссертации опубликовано в 11 работах [11]

С i рук'п ра и обьсм работы. Работа состоит из введения, трСх гяав, филожения и списка использованной литературы. Работа изложена на 1*¿| границах машинописного текста, содержит j9 рисунков, И. таблиц, в рафиков.

Работа выполнена на кафедре высшей математики Казанского •осударстпснного технического университета им_А.Н.ТуполеЕа.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается цель и актуальность работы, приводится >бзор литературы по теме диссертации, кратко излагаются основные >езультаты работы.

Поскольку приближённые и полные уравнения Навье-Стокса ггносятся к классу уравнений с малым параметром при старшей производной, юэтому первая глава диссертации посвящена вопросам численного решения лодельных уравнений такого типа.

В п. 1.1 этой главы рассматривается вопрос построения разностной ;хемы экспоненциальной подгонки для решения уравнений с малым тараметром при старшей производной для первой краевой задачи на «равномерной сетке. С этой целью для краевой задачи

Lu = + -и*)" = Л*)»

и(с) = А , u(d) = В, ■де е «1 - малый параметр, а,Ь, , причем Ы.х) ¿ 0 Vx е[с,</], а

функция <Ах) и ~ Ух е(с,^одновременно в нуль обращаться не могут, в декретной области oh = = jc^ j , jCq = с, х^ = d,n = 1 lj

поставим в соответствие разностную задачу, которая учитывает основной рое решения в области пограничного слоя:

М*я)= ^хх^Ы+({х")Хх1Лхп) ~ Ь(хпУ(хп) т Ахп). (2

е„ =

1-сх1

( - -1

VI)

Здесь

г1=л(*л-а«). «2 = " = 1>2,...,ЛГ-1; «о(с) = Л иЬм(Ы) = Ь

^Х'^-хх" разностные аналоги первой и второй производных.

Полученная разностная схема (2) монотонна при всех значения) £>0, что доказано в лемме I и имеет равномерную сходимость по малом] параметру на неравномерной сетке (теорема 1). Получена оценка дав

погрешности аппроксимации в произвольном узле хпеО.

В приложении диссертационной работы приведены результать расч&гов, показывающие эффективность схем экспоненциальной подгонки п< сравнению с классическими разностными схемами. Проведён анализ сравнени: этих решений с точным решением, полученным для конкретной задач] вида(1).

В п. 1.2 предложен алгоритм построения неравномерной сетки сгущающий узлы расчетной сетки в пограничных слоях в зависимости о величины малого параметра е. Построение неравномерной сети осуществляется на основании того, чтобы в пограничном слое решение задач1 на каждом шаге имеет одинаковое приращение и представимо в вид пограничной функции следующим образом:

и{х) = у ехр(- а0£~]х) + Р(х) , (3

2

це у = у [с), »у\<Сг, а Р(х) - функция сращивания решений и

При этом рассматриваемую область Q = {О ä л: < d} предлагается азбить на подобласти: i1F = - подобласть Q с неравномерными

1агами(*0 = с, xJ+l = Xj + A/+, , j = 0,1А/ -1) ; Q0 = подобласть Q с постоянным шагом Л, •Xy+Af = ^

Алгоритм построения неравномерной сетки в Q состоит из ледующих последовательностей:

) задаются числа N и М- количества равномерных и неравномерных шагов (причём М < N);

) с помощью итерационного процесса находится постоянный шаг А в области Qq из решения трансцендентного уравнения;

) находятся рекуррентно, по полученной в диссертационной работе формуле, неравномерные шаги fy, (п = М,М-1,...,1) в Q£.

В п. 1.3 проведён анализ обусловленности разностных схем для равнений с малым параметром при старшей производной для случая, когда оэффициент при первой производной меняет знак внутри области [нтегрирования. В решениях таких уравнений появляются «внутренние» югранслои, и разностные уравнения требуют специальных «неклассических» 1етодов их реализации. Дело в том, что система разностных уравнений при тремлении малого параметра к нулю становится плохо обусловленной. Такой лучай имеет место при описании возвратных течений уравнениями Навье->гокса при Re -> оо. Доказана теорема 2 о плохой обусловленности матрицы юзностной схемы для краевой задачи первого рода. Для численного решения 1лохо обусловленных разностных уравнений предложены: алгоритм

масштабирования значений элементов исходной матрицы, учитывающий их округление при записи в памяти в ЭВМ и модификация классической прогонки для реализации разностных уравнений. Численные эксперименты, подтверждающие устойчивость решений проведенных расчетов для подобных разностных уравнений, приведены в приложении диссертационной работы.

Для математического моделирования задач обтекания тел потоком вязкой жидкости или газа, используются уравнения Прандтля, которые являются уравнениями параболического типа и относятся к классу уравнений с малым параметром. Во второй главе диссертационной работы исследуется вопрос построения на неравномерной ссткс монотонных разностных схем экспоненциальной подгонки, а также разностных схем повышенного порядка точности для численного решения приближённых уравнений Навье-Стокса, позволяющих корректно находить численное решение при больших числах Рейнольдса.

В п.2.1 проведён анализ аппроксимационных вязкостей дш различных классических разностных схем, аппроксимирующих моделью уравнение параболического типа вида:

д2и ,ди

= 0, (5]

дг СУ сХ

где а и Ь некоторые заданные функции, и - малый параметр. Чтобы вклад аппроксимацион»,вЛ вязкое!и и на решение разностного уравнения был минимальным, необходимо потребовать

и «о. (6;

Используя аппарат первого дифференциального приближения, для разностной схемы, аппроксимирующей уравнение (5) с порядком 0(Л), где Л=

определяется выражение для апироксимационной вязкости и. Требуя выполнения условия (6), получаем следующее ограничение на величину А:

Таким образом, величина тага интегрирования Л зависит от величины малого траметра и (кинематической вязкости среды), и при численном штегрировании уравнений типа (5) разностными схемами необходимо читывать эти их свойства.

В этом разделе также проводится анализ влияния порядка шпроксимацци разностных схем на величину аппроксимациошюй вязкости.

Гак, для разностной схемы порядка аппроксимации где -шаг по

теременной х, а к, - шаг по у установлено, что связь между величиной

малого параметра и и шагами разностной схемы (и и !и имеет вид:

Го есть величина шагов интегрирования и п этом случае должна бьггь

юрядка физической вязкости.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что при численном моделировании задач аэродинамики на базе приближённых уравнений Навье-Зтокса оказывается желательным использовать разностные схемы, шляющимися равномерно сходящимися по малому параметру. Поэтому :ледующий параграф этой главы посвящен построению, и исследованию «шечно-разностной схемы экспоненциальной подгонки для нелинейных /равнений параболического типа, являющимися модельными для уравнения шпульса в системе уравнений Прандтля:

где и « 1 , /;.(/,х) еС2(£2) (< = 1,2)

Сначала проводится линеаризация левой части этого уравнения методол Ньютона-Канторовича. Затем, для линеаризированного уравнения строитсз разностная схема:

т]

где Лгс > Л* ~ разностные аналоги первых и вторых производных, а

и. Л4

ехр

¡ЬЛ]

-1

1-ехр

( апь.л

1 -ехр|1-ех{Л -

,-1

(9

у4-у3+--—---

Используя разложение решения в ряд Тейлора по и гда погрешности аппроксимации разностной схемы (8) получено выражение:

А,+1 +1н

Далее проведбн анализ монотонносга разностной схемы (8). Установлено, чг если выполнены следующие условия для коэффициентов этой схемы:

а) не меняет знака в = О^/у,*] , < х < оо| при ] е[ 1,Л'],

л

« ' г , ,-г1;

О > 0 такое, что ' {^х) + 1 > о при любом .геОг и /е)!,/^],

о справедливы теорема 3 о монотонности разностной схемы (8) и пеорема 4 о её устойчивости при V Tj и Л .

Заметим, что одним из условий неустойчивости разностных /равнений (8) является их плохая г; -обусловленность, которая имеет место в

:лучае существования точки еО^ одновременного обращения в нуль

(ыражений f\JJ,x■j = 0, \ = 0 и стремлении г—> 0. Поскольку

'

пи выражения формируются также линеаризацией, то в работе проведён шализ влияния метода линеаризации нелинейного члена в уравнении (7) на июхую ¿."-обусловленность разностных схем. Так, используя метод [инеаризации но Пикару. получим следующую систему разностных • равнений:

г-1, а

>пределяется выражением (9).

1оказано, что система разностных уравнений (10) будет плохо обусловленной ;сли, существует галка в которой + =0.

>го условие выпо!шено, когда либо (?,и а

обращается н нуль в этой точке, либо 5^-,= > т.е.

меняет знак в этой точке.

Такой анализ позволяв! сделать вывод, что метод Пикара допускаеп более широкий класс е -устойчивых разностных схем. Исследования п.2.^ диссертации тесно связаны с вопросом анализа устойчивости потока вязко* жидкости, а именно, если в потоке появляются точки отрыва, то систем: разностных уравнений становится неустойчивой при Яе » 1. Это имеет место например, при переходе от ламинарного течения к турбулентному.

Следующий раздел второй главы посвящен решению двумерны: стационарных уравнений пограничного слоя:

ди ,.ди ттсЮ д^-и дх ду '

(И

с граничными условиями:

и = и0(х) при у = оо, и = У = О при у = 0,х0<х<хопгр.

(12

где и. У - проекции вектора скорости соответственно на оси Ох и О декартовой системы координат, 1/ф(х)- скорость набегающего потока н обтекаемое тело, о - кинематическая вязкость.

Поскольку первое уравнение системы (11) относится к классу нелинейны уравнений параболического типа с малым параметром при старше производной, воспользуемся разработанным выше численным алгоритме! который состоит из монотонных разностных схем. В безразмернь переменных уравнение движения системы (11) запишем следующим образом:

л2

(■и I' и .. .

де ¿г = ^ (Яе - число Рейнольдса ), /(.т)= \о = —■-

. Далее, проводя

ди

мнеаризацию нелинейного члена н-^— и используя дискретизацию левой

[асти уравнения (13), полученное ди(|х|>ерснпиальное уравнение в дискретной >бласти аппроксимируем монотинной разностной схемой на

[еравномерной сетке, учитывающей экспоненциальный рост решения вблизи раниц обтекаемою тела:

где

(14)

Г /

-1

Г/+1а/,/| Р1 ¿г ) | //' е

= ~ • = 1(хгу* - "Л' ^ = -у{ху>уг)' =

О < а,- < шш(^,А/+1) = 0,1,...,/У; I = 0,1,...^) Показано, что разностная схема (14) аппроксимирует дифференциальное

сравнение (13) с порядком аппроксимации —А^ + Й^.

Значения функции У(х,у) в узлах расчётной сетки определяются из <торого уравнения 'системы (11), при этом допускается, что значения их известны в узлах неравномерной сетки, например, найдены из первого

уравнения системы (11) с помощью разностной схемы (14). Тогда второе уравнение сисгемы (11) можно записать в виде:

дУ ду

= Р{г,их)

где р{г,их} - считается известной функцией.

(15:

Для нахождения решения уравнения (15) рассмотрим разностную схему

А? V

1" ' ~2 и ~ ~6ЛХУГ/У

а = 1,2,...; / = 1,2,...).

(16;

Операторы Яу и Луу - разностные аналоги первой и второй производных. Пс

предложенному алгоритму были проведены расчеты обтекания пластины Результаты расчётов сравниваются с решением Блазиуса и приведены I приложении. Отмечается хорошее совпадение.

В третьей главе рассмотрено численное моделирование плоски: стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости в некоторые ограниченных областях. Согласно теории вязкой жидкости её стационарно течение описывается следующей системой нелинейных уравнений:

дсо ,, дсо дх ду

д2со д2со\

¿Р-уг д2у

(17

= -со.

где е =

11с'

У(х,у) - безразмерные компоненты вектора скорост

соответственно по осям Ох и Оу, со - вихрь, у- функция тока.

В связи с переходом к переменным со и у/ возникают определённы проблемы задания значений функций т на границах исходной области. Так, н

дц/

вердых ей границах для у/ принято полагать у/~сгт , = 0 - условие

<771

филипания, а для функции со использовались условия Тома . Что касается здания значений функций со и у не на твёрдых границах, то они шределяготся в соответствии с конкретно выбранной задачей. Например, для вдачи о течении жидкости в канале с уступом, рассмотренной в щсссргационной работе, на входной и выходной частях области эти значения щределялись из выражений:

чЗ ,, гг ^У

на входе.

1 6Ч ' на выходе,

го\выход = -24{2у-\), адторые были получены в результате решения системы (17) при определённых федположениях о струкгуре потока.

Определение численного решения системы уравнений (17) при

эольших. числах Рейнольдса (Яе > сопряжено с рядом трудностей,

поскольку наряду с подобластями плавного изменения решения существуют подобласти с большими градиентами. Как правило, в этих подобластях происходят основные физические процессы и использование классических разностных схем для определения численного решения связано с явлением аппроксимационной вязкости и возможностью получения неадекватного решения. Актуально важными численными алгоритмами, учитывающими адекватность решения и физического явления в подобластях с большими градиентами, являются схемы экспоненциальной подгонки, построенные на неравномерной сетке. Так, в п.3.2 для определения решения системы уравнений

(18

Навье-Стокса (17) предложена монотонная разностная схема экспоненциально! подгонки:

: О]-,

где А, = И, +/,.+1 ,к]= Л,- +Л.+1. ^ = ,

О гпах

имеющая порядок аппроксимации на неравномерной сетк

Доказана теорема 8 : разностная схема (18) монотонна при любых числа Рейнольдса (яс е(о, Ю8^.

Основная часть доказательств а этой теоремы основана на факте, что разностно

а{хУь;

и у//

число Рейнольдса, определяемое соотношением Яе" =—-—удовлетворяв

3

неравенству

¿2 ,

(И

которое в работе сформулировано ввиде леммы 7.

И трос уравнение системы (17) аппроксимировалось разностной

«¡мои:

I,/'

"/+1

-^-1,7

*

"М

V

-У и 2.„

(20)

VI

= -й>

«Л

Численная реализация этих уравнений осуществлялась по схсмам асщепления но физическим процессам. Так, для разностной схемы (20) асщепленис осуществлялось следующим образом:

1_

( I 1 1 1

Ч/

И.

М-1

У

+ !

'и + ГГц

А,+А, , ¥0}и'

1 Г 1

Ч ! " \

7-1 ; /7-1 1

'.У

1 1 1 ^

^ / чи.

У

VI

■у--т---+ со- ..

Л/+/'/-1

"У -'7-1

(21)

1С ст5- итерационный параметр, 5 - индекс итерации.

В приложении диссертационной работы приведены результаты

исленного моделирования следующих внешней и внутренних задач

5ро гидродинамики: обтекание полубесконечной пластины на базе

риближённых уравнений Навье-Стокса, течения в «каверне» и течения в анале с уступом, которые описываются с помощью полных уравнений Навье-токса.

2

Результаты расчетов представлены как в табличной, так и фафической форме. Выбор задач был продиктован юм, что для некоторых и них имеются аналитические решения, для других - экспериментальные данные которые позволяют провести сравнительный анализ. Эти задачи имеют таюк прикладное значение и авиа- и моторостроении.

Ниже приведена графическая информация о развитии структуры вихря з уступом в канале при различных числах Рейнольдса (рис. 1 -2).

Рис.1. Линии тока при 1^е""100

Рис.2. Линии тока при Яе=1000

Кроме задач аэрогидродинамики в работе приведены также »езультаты сравнения разностных решений, полученных для дифференциального уравнения с малым параметром с помощью различных шностных схем. Численный анализ подтверждает эффективность разностных хем жспонснциалыюй подгонки но сравнению с известными классическими, 'рафическая иллюстрация результатов сравнения приведена ниже.

0.001 (Равномерная сетка)

—в—схема второго порядка точности

—А—схема

экспоненциальной подгонки второго порядка точности —*— то<**ое решение

е - 0.001 (Неравномерная сетка)

¡=4

1,М ¡Е- 1.52 1£- 1—1 1.14 Е-. 71

- точное решение

экспоненциальной подгонки —Л— схема направленных разностей

-X— нерегулярно ованная р юности* схема

Основные результаты

1. Построен и обоснован эффективный конечно-разностный метод решени> уравнений с малым параметром при старшей производной на равномерной * неравномерной сетках для приближенных уравнений Навье-Стокса основанный на идеи экспоненциальной подгонки. Построен и обосноват конечно-разностный метод экспоненциальной подгонки решения двумерньп стационарных уравнений Навье-Стокса в переменных со и у.

2. Рассмотрен вопрос о плохой обусловленности разностных схем дл; уравнений Навье-Стокса при 11с -»со и предложены алгоритмы и; численной реализации.

3. Проведён анализ влияния метода линеаризации на обусловленносп нелинейных разностных уравнений при Ие оо.

4. Численно проведён анализ структуры потока течений жидкости дл: некоторых задачах внутренней гидромеханики (задачи о каверне и канале I уступом) и показана эффективность предлагаемого метода путём сравнение решений ряда конкретных задач с результатами других методов ] аналитических решений.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Игнатьева И.В. Комплекс программ по решению жёстких и нежёстки обыкновенных дифференциальных уравнений и его использование.// 1 тез.докладов научно-технич. конференции КАИ по итогам работы за 1992 1993 гг. Казань, 1994 г.С.207.

2. Игнатьева И.В. О численном моделировании отрывных течений в плоска канале.// Сб, тезисов докладов Международной научно-технической коне] «Актуальные проблемы математического моделирования автоматизированного проектирования в машиностроении. Модель-проек! 95». Казань. КГТУ. 1995. С.55-57.

i. Игнатьева И.В. Математическое моделирование процессов féruiô-массообмена в пористой влагосодержашей среде при воздействии Hâ её поверхность концентрированным потоком энергии.// Сб. тезисов докладов Международной научно-технической конференции «Механика машиностроения». Наб.Челны. КамПИ, 1995 г. С.60. '

.Игнатьев В.Н., Игнатьева И.В. Математический анализ модели и расчёта отрывных течений в канале с уступом.// В сб.статей «Динамики сплошных сред со свободными границами». Чебоксары, 1996г. С. 126-137.

>. Ignantiev V.N., Ignatieva I.V. Simulacao numérica dos fluxos com desprendimento da corrente para problemas de dinamica dos fluidos.// IV cncontro regional de matematica aplicada e computacional. ANAIS-1996. (Brazil). P.135-136.

i. Игнатьев В.H., Игнатьева И.В. Об одной схеме расчёта отрывных течений в канале энергоустановок.// В сб.трудов Второй республиканской конференции молодых учёных и специалистов. Казань, 1996. Тезисы доклада. С.75.

'. Игнатьева И.В. Применение численной схемы повышенной точности в цилиндрических координатах для моделирования отрывных течений.// В тез.докладов юбилейной научной и научно-методической конференции, посвящённой 65-летию КГТУ им.А.Н.Туполева, Казань, 1997г. С.43.

1. Игнатьева И.В. Об одном численном методе решения приближённых уравнений Навье-Стокса.// В сб. трудов I международной конференции «Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении». Казань, 1997 г.С.110-115.

». Игнатьева И.В. Метод экспоненциальной подгонки для решения полных уравнений Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости.// В сб. трудов I международной конференции «Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении». Казань, 1997 г. С.116-119.

Ю.Игнатьев В.Н., Тимофеев В.И., Игнатьева И.В., Таксеитов Р.Р. Численно моделирование внутренних задач аэродинамики на основе схемы Ы разбиения. // ВНТИЦ № 01940008176, инв.№ 02.960.007875.

11. Игнатьев В Н., Игнатьева И.В. Отчет «Математическое моделирование ламинарных и турбулентных движениях газов и жидкостей на основ решений схемы Ы- разбиения потока». //ВНТИЦ, № 01940004364, инв. > 02.9.70002594.

Ы■■ "//^6" -6'

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ А.Н.ТУПОЛЕВА

на правах рукописи

ИГНАТЬЕВА ИРИНА ВИКТОРОВНА

О НЕКОТОРЫХ ЧИСЛЕННЫХ АЛГОРИТМАХ РЕШЕНИЯ ПРИБЛИЖЁННЫХ И ПОЛНЫХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор физико-математических наук

Р.Г.Зарипов

Чебоксары 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение...................................................................................................3

Глава I. Влияние аппроксимационной вязкости на решение уравнения с малым параметром.....................................................................17

1.1. Разностная схема экспоненциальной подгонки на неравномерной сетке для уравнения с малым параметром..........17

1.2. Построение неравномерной сетки в задачах с

погранслоем.....................................................................................31

1.3.О плохой обусловленности разностных уравнений в случае знакопеременного коэффициента при первой

производной....................................................................................36

Глава II. Уравнения пограничного слоя с малым

параметром......................................................................................45

2.1.Метод экспоненциальной подгонки для нелинейного

уравнения параболического типа с малым параметром...............46

2.2 Конечно-разностные схемы для расчёта уравнений

Прандтля..........................................................................................56

Глава III. Разностная схема экспоненциальной подгонки для решения стационарных задач внутренней гидродинамики.........................65

3.1.УравненияНавье-Стоксав переменных тш у/. Постановка краевой задачи................................................................................65

3.2.Схема экспоненциальной подгонки для уравнений Навье-Стокса..............................................................................................72

3.3.Решение уравнения для функции тока у................................80

Приложение.............................................................................................83

Литература............................................................................................104

ВВЕДЕНИЕ

При обтекании тел потоком вязкой жидкости область течения, как правило, имеет две ярко выраженные подобласти - зона пограничного слоя и зона отрывных течений [1-3]. По-видимому, Прандтль впервые обратил на это внимание и сформулировал теорию пограничного слоя. В основе этой теории лежит то, что вблизи границы обтекаемого тела формируется течение, которое математически описывается системой приближённых уравнений Навье-Стокса, которая получила название - уравнения пограничного слоя Прандтля. Характерной особенностью течений газа и жидкости в таких пограничных слоях является то, что в этой подобласти происходит изменение решения от нуля до максимального значения -скорости набегающего на тело потока. Математический аппарат анализа уравнений пограничного слоя Прандтля показал, что они относятся к классу уравнений с малым параметром при старшей производной. Асимптотические методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений с малым параметром достаточно полно изложены в монографиях [4-7]. При численном решении подобного класса уравнений при малых значениях параметра возникают вопросы точности полученных решений, поскольку аппроксимационная вязкость численного метода вносит свои коррективы в исходное решение. В связи с чем возникает необходимость создания численных алгоритмов равномерно сходящихся по малому параметру [8]. Такие численные методы предельно эффективны в том смысле, что они имеют хорошие свойства сходимости не только для малых, но и для средних и больших значений параметров, и, следовательно, могут служить полезным дополнением к пакетам стандартных программ решения дифференциальных уравнений. Равномерные численные методы

обладают двумя важными свойствами: применимостью на грубой сетке и сходимостью алгоритмов без специальных требований к величине шага сетки. В этом состоит их принципиальное отличие от многих других классических методов, требующих достаточного измельчения сетки. В настоящее время созданию и обоснованию таких разностных схем уделяется достаточно много внимания, как среди российских [8-20], так и среди зарубежных учёных [19-20]. Итак, при создании численного алгоритма решения уравнений Прандтля или уравнений Навье-Стокса необходимо учитывать факт влияния величины аппроксимационной вязкости разностной схемы на численное решение. Отметим, что стационарные уравнения Прандтля в силу параболичности не могут моделировать характер течения газа или жидкости с вихреобразованием. Это заложено в самом выводе уравнений пограничного слоя. Поэтому для моделирования потока газа с вихревыми структурами нужно использовать полные уравнения Навье-Стокса, которые являются нелинейными и относятся также к классу уравнений с малым параметром. Как будет показано в работе, разностные аналоги этих уравнений при некоторых условиях могут быть ещё и е -плохо обусловленными.

Потоки с вихревыми структурами являются одними из самых наблюдаемых явлений в природе, в частности, при обтекании тел потоком вязкой жидкости. В одних случаях такие течения нежелательны, так как отрыв потока связан с увеличением сопротивления течения. Однако имеются задачи, в которых вихревая структура потока является желательной. Например, в камерах сгорания газотурбинных двигателей создаются специальные устройства, которые в определённой её части способствуют завихрению потока с целью устойчивости горения газовых смесей. Механизм отрыва потока объясняется воздействием на частицы

жидкости вязких напряжений и положительного градиента давления: из-за вязкости кинетическая энергия потока около тела частично рассеивается, превращаясь в тепло, и частицы жидкости не могут больше полностью противостоять существующему в жидкости положительному градиент}' давления. В точках потока, где вязкое касательное напряжение равно нулю происходит отрыв потока в поперечном по отношению к телу направлению и происходит локальное образование вихревых структур.

В целом структуру отрывного потока условно можно разделить на следующие характерные области: отрыва, смешения и присоединения (см.рис. 1).

Рис.1

Так, в области отрыва 1 происходит начало отрыва потока от обтекаемой поверхности, а в области смешения 2 оторвавшийся пограничный слой «смешивается» с внешним потоком и возникают возвратные течения. Далее, в области присоединения 3 оторвавшийся поток присоединяется к обтекаемой поверхности, что сопровождается разделением его на основное и возвратное течение. В области же возвратного течения 4 существуют циркуляционные течения. Если в установившемся режиме циркулирует постоянная масса газа, то такая область называется закрытой областью возвратного течения. В открытой же области возвратного течения также существуют

циркуляционные течения, но они сопровождаются частичным уносом массы газа из неё.

Рассмотрим теперь более подробно процесс отрыва потока в задаче обтекания криволинейного профиля дозвуковым потоком

Рис.2

На переднем участке профиль скорости потока от точки полного торможения О до некоторой точки В возрастает, и, следовательно,

давление понижается

ГдР

~Г<0)

ах

\ на участке, у задней кромке, скорость,

др ^

наоборот, уменьшается; а давление увеличивается > ■ При

ускоренном движении потока и отрицательном градиенте давления касательные напряжения будут больше, чем при равномерном движении. В той части зоны, где течение медленнее, и градиент давления положителен, касательные напряжения уменьшаются. Поэтому на поверхности обтекаемого тела существует точка, в которой напряжение трения равно 0, и за этой точкой становится отрицательным. Механическая энергия частиц жидкости вблизи стенки мала, и их способность к движению в направлении возрастания давления ограничена. С точки зрения микроструктуры потока явление отрыва можно обосновать так. В некоторый момент

времени запас энергии у частиц жидкости вблизи твёрдой границы пограничного слоя становится исчерпанным ввиду необратимого процесса перехода части энергии в теплоту (из-за работы сил трения). Запас энергии становится недостаточным для преодоления положительного градиента давления. Сначала частицы жидкость вблизи поверхности претерпевает торможение, а затем изменяют направление своего движения. При появлении возвратных течений происходит отрыв пограничного слоя от обтекаемой поверхности, т.е.

на поверхности существует точка отрыва , в которой

'дУ?

= 0. В

я

\ду)

точке отрыва В исчезает вязкая сила, так как формула напряжения трения выражающаяся зависимостью тст = ¡А

ст

Среди численных методов решения как внутренних, так и внешних задач аэрогидромеханики особое место принадлежит методу конечных разностей, которые с успехом используются при решении различных задач гидроаэродинамики [21-66]. Вопросам разработки и обоснования алгоритмов решения как приближённых, так и полных уравнений Навье-Стокса, а также уравнениям математической физики посвящены работы ведущих учёных России: академиков

A.А,Дородницына, Н.Н.Яненко, С.Н.Бахвалова, О.М.Белоцерковского, АФ.Сидорова, Ю.И.Шокина; членов-корреспондентов - К.И.Бабенко,

B.В.Русанова, В.М.Фомина; профессоров - Л.А. Чудова, В.В.Щенникова, АИ.Толстых, В.М.Ковени, В.И.Полежаева, В.М.Пасконова, А.Н.Крайко, Г.Г.Тирекого, Б.Л.Рождественского, В.Д.Иванова, В.П.Шапеева, Д.В.Маклакова и других. Библиографии работ по численным методам решения уравнений математической физики имеются в [72-83]. С обзором же работ по численным методам

решения полных уравнений Навье-Стокса также можно познакомиться в монографиях [63-71].

Отметим, что многообразие задач газовой динамики не позволяет с определённостью указать классы разностных схем, которые бы являлись эффективными во всех случаях. Так, например, для решения нестационарных уравнений газовой динамики альтернатива использования явных и неявных разностных схем не очевидна. При решении стационарных задач неявные схемы оказываются более экономичными, поскольку итерационный шаг выбирается у них из условия наиболее быстрой сходимости. Поэтому для таких задач в 70-е годы интенсивно развивались неявные факторизованные разностные схемы [22-51]. Так, в работе [33] решение двумерной задачи сводится к последовательному решению одномерных систем по аналогии со схемой переменных направлений Дугласа и Писмена-Речфорда [71]. При этом инерционные и вязкие члены в уравнениях количества движения вынесены на верхний, а давление на нижний слой по времени. Разностная схема, предлагаемая в работе [33] для решения уравнений Навье-Стокса, имеет на целом шаге порядок аппроксимации о(г,А,2 и является условно устойчивой.

Разностные схемы, основанные на расщеплении по физическим процессам уравнений Навье-Стокса, записанных как в дивергентном, так и не дивергентном виде, рассмотрены в работах [20-33, 37-39]. Предлагаемые в этих работах схемы обладают свойством полной аппроксимации, являются безусловно устойчивыми, имеют порядок аппроксимации о(гД2 и реализуются скалярными прогонками. Созданию численных алгоритмов для решения многомерных уравнений Навье-Стокса в переменных и, V и Р , основанных на методе релаксации и расщепления, посвящены работы [58-59, 63]. Последовательное применение процесса расщепления операторов по

пространственным направлениям или физическим процессам позволяет для многомерных задач математической физики численно находить решение с помощью скалярных и векторных прогонок [6364, 74, 80].

Погрешность аппроксимации разностного алгоритма зависит как от порядка точности схемы, так и от построения расчётных сеток в исходной области. Введение неравномерных подвижных сеток, сгущающихся в подобластях с большими градиентами при численном решении дифференциальных уравнений и уравнений Навье-Стокса посвящены работы [84-86]. Так, в [85] основное внимание уделяется конструированию и обоснованию неявных разностных схем третьего порядка точности, пригодных, в частности, для расчётов течений вязких жидкостей и газов. Автором этой работы рассматриваются вопросы использования адаптирующихся разностных сеток, в которых сгущение узлов в областях с большими градиентами осуществлялось автоматически в процессе решения. Это сгущение основывается на преобразовании одной из пространственных координат, зависящих от той искомой функции, которая быстро меняется в направлении этой координаты. Наличие сгущающейся сетки в области больших градиентов позволяет проводить моделирование течений жидкости уравнений Навье-Стокса при больших значениях чисел Рейнольдса.

В [43-44] предложена для численного решения двумерных уравнений Навье-Стокса разностная схема расщепления по координатам. Расщепляющий оператор действует не на приращение искомых функций А*1 = /п+1 - /", а на разность приращений искомых функций = Д"+1 -А", что уменьшает, по мнению авторов, ошибку, вызываемую расщеплением. Схема имеет порядок аппроксимации + ¿22) и реализуется векторными прогонками. В [84] предложен

способ построения неравномерной сетки, согласованный с решением на основе вариационного принципа, который формулируется как задача нахождения минимума функционала, зависящего от преобразованных координат, искомых функций и их градиентов. Решение исходной задачи определялось из совместного нахождения уравнений сохранения и минимума функционала. Исходный функционал строится таким образом, чтобы удовлетворить некоторым априорным требованиям на сетку: концентрации узлов сетки в области больших градиентов, близости к лагранжевой сетке, малости деформации сетки или минимизации в некоторой норме ошибки аппроксимации. Обзор методов по построению структурных сеток имеется в работе [86].

Цель работы состоит в разработке и обосновании конечно-разностных алгоритмов для численного решения приближённых и полных уравнений Навье-Стокса, являющимися эффективными в том смысле, что они должны иметь хорошие свойства сходимости не только для малых, но и для средних и больших значениях числа Рейнольдса, а также обладать свойствами - применимостью на грубой сетке и сходимостью алгоритмов без специальных требований к величине шага сетки.

Основные научные результаты и их новизна

К научным результатам, полученным впервые, относятся следующие:

1. Построены и обоснованы эффективные конечно-разностные методы решения уравнений Прандтля, основанные на идее экспоненциальной подгонки как на равномерной, так и на неравномерной сетках.

2. Построен и обоснован конечно-разностный метод экспоненциальной подгонки на равномерной и неравномерной сетках

для решения двумерных уравнений Навье-Стокса в переменных со и ¥ •

3. Проведён анализ влияния типа линеаризации на г -обусловленность разностных систем.

4. Численно проведён анализ структуры потока течения жидкости для некоторых задачах внутренней аэрогидродинамики.

Практическая значимость исследования На основе предложенных численных алгоритмов решения приближённых и полных уравнений Навье-Сткокса возможно численное моделирование следующих практических задач:

а) внешней аэрогидродинамики - численное моделирование задач обтекания на базе уравнений пограничного слоя;

б) внутренней аэрогидродинамики - численное моделирование стационарных течений вязкого газа или жидкости в задачах химической, нефтяной и авиамоторостроении на базе полных двумерных уравнений Навье-Стокса.

Апробация работы Основные результаты диссертационной работы докладывались на V межреспубликанских туполевских чтениях студентов «Актуальные проблемы авиастроения» (Казань Д992г.), на Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении. Модель-проект-95» (КазаньД995 г.), на Международной научно-технической конференции «Механика машиностроения» (Набережные Челны, 1995 г.), на IV encoutro regional de matematica aplicada e computional. AN AIS-1996.(Brazil), на Второй республиканской конференции молодых учёных и специалистов (Казань, 1996г.), на научной конференции «Динамика сплошных сред со свободными границами».(Чебоксары, 1996г.), на I

Международной конференции «Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении». (Казань, 1997г.), на итоговых научных конференциях Казанского государственного технического университета в 1993-1997г.г.

В настоящей работе автор защищает:

а) конечно-разностный алгоритм экспоненциальной подгонки решения краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром;

б) конечно-разностный алгоритм экспоненциальной подгонки решение уравнений Прандтля и двумерных стационарных уравнений Навье-Стокса;

в) построение стационарных адаптирующих сеток.

Структура и объём работы Работа состоит из введения, трёх глав и при