Разностные схемы для некоторых классов сингулярно-возмущенных нестационарных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Р Г б од

^ (.¡но

АКАДШЙЯ НАУК АЗЕРЕАДЩНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукошси ..УДК 519,63

1ШШ №АСШ . ЫШШАД

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ НШТОРЫХ КЛАССОВ СИНГУЛЯРНО-БОЗМУЩЕШШ НВСТАЦИОНАРНиХ УРАВШЙ

Специальность: 01.01.07 - ЩЩСЛИТЕШАЯ МАТШАТЩ

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на оадсканиа ученой стапели каедвдата физако-математичеокйх наук

в а й у> да

-Работа В1«юлненп на кафедре Вычислительной Математики Бакицркого.Ордена Трудового Красного Знамени Государственного Университета им.М.Э.Расул--заде.

Научные руководителя:

Доктор физико-математячес ких наук, профессор АШРАЛИНЗ Г.М.

Доктор физико-математичб с ких наук, профессор ШАХМУРОВ В.Б.

О&йцяальниа оппоненты.

Доктор технические наук, профессор РАСУЛОВ М.А.

Доктор физико-математичес ких наук, профессор ЧАЩИРОБ Г.й. 1

' Ведущая организация - Институт пройлом гл1гбишш

нефтеггюоЕШС месторождени Академии наук Азербайджан

Занята диссертации состоится "1Ц " 1У94г. в (

часов на заседания специализированного Совета Н 004.21.02 по пр! суждению ученой степени кандидата физико-математических наук пр Институте Кибернетики АН Азербайджана по адресу: 370141, г.Баку ул.Ф.Агаева, квартал 553, дом 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Кибернетики АН Азербайджаяа.. ;.'/"'■

Автореферат.разослан и 3е " ^¡/¿сУ^Я- хээзг.

Ученый Секретарь специализированного совета, к.ф.м.н.

БАШРОВ А.М.

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Лцту^диодхь .НЧМ• В«наогоящев время метод конечных разностей является одним из паиболав эффективных и распространенных методов решшя задач математической физики. Интенои»..^ исследование и применение разностных методов связано, прежде всего, о необходимостью решения крупных научно-технических проблем и о прогрессом в области электронно-вычислительной техники.

Исследование сложных физических процессов целесообразно проводить на основе математического моделирования, которое требует разработки достаточно точных, экономичных, устойчивых и удобно реализуемых численных методов. Отметим к тому яз. что создание моделей, достаточно долно отракаюадх явление, каи правило, требует учета нелинейных эффектов.

В последние годы значительно возрос интерео исследователей к волновым явлениям в различных областях гидродинамики, океанологии» физики плазмы, геофизики, экологии. Помимо большой прикладной значимости, интерео к таким процессам обусловлен еще и там, что многие возникающие здеоь начально-краевые Задачи являются чрезвычайно своеобразными и на имеют аналогоз в клаооической математической физике, Примером атому могут служить равличные начально-краевые задачи для линейных и нелинейных псаадойарабодических уравнений, которые являются предметом данной диссертационной работы.

Различными аспектами численного решения задач а случав псеьдопараболических уравнений занимались IV.Н. Рйус! , ТЖ, И.В.ЕМ{ПС[\ М.Х.ШханукоЬ, П.Н.Вабищевич, В.К.Саульеа, А.Л. Черников, 35. /К АмоМ, К ТЬотее

// 9

-4-

Г.Л.Алшралаев, Оио-Ьеп ~ У и- и другие.

В диссертации рассматриваются сингулярно-возмущенные модели таких задач. Отличительной особенностью таких задач является то, что внутри погрансяоев решение резко меняется и производные от точного рушения неограничены. Поэтому классические разностные схемы на равномерной (по направленна переменной возникшей сингулярность) сетке не обладают свойством равномерной сходимости по малому параметру. Но следует отметить, что для таких задач слабо изучены вопроси построения и исследования сеточных схем.* эти вопросы весьма актуальны, поскольку для решения указанного типа линейных и нелинейных задач универсальными и эффективными являются лишь численные методы, основанные на использовании современных ЭВМ.

иааЬ-ШййХй состоит в поотроении и исследовании однородных разностных схем для решения линейных и нелинейных сингулярно-возмущенных псевдопараболлческих уравнений, возникающих при описании различных процессов физики и механики жидкости.

При построении разностных схем последовательно применяется специальный вариант интегро-интер-ПОЛЯЩЮ1Шого'метод:-). Исследование разностных схем основано на априорных оценках, получаемых с помощью метода энергетических неравенств, разностных аналогов теорем вложения.

в диссертации получены следующие, основные результаты:

- построены и исследованы равномерно сходящиеся по малому параметру разностные схемы для линейного псевдопараболиче-

I Амиралиев Г.М. О численном решении одной системы Буссинеска с погранслоями // Моделирование в механик». - Новосибирск: СО АН СССР. - 1989. - Т.3(20), Л 5. - С.3-Й-

- 5-

окого уравнения о двумя погранолоями}

- исследована сходимость двухслойных разностных схем для линейного псевдопераболического уравнения о начальным cic".::^;

- поотроена разностная схема для решения первой краевой задачи для уравнения Бусскн-ска, возникающей при описании распространения длинных волн;

- построены и исследованы равномерно сходящиеся разностные схемы для сингулярно-возмущенной системы Буссинеока при различны)' краевых условиях;

- получены асимптотические оценки для решения линейных и нелинейных псевдопараболических уравнений, необходимых при построении' и обосновании соответствующих разностных задач-,

- указанные методы реализованы для конкретных линейных и нелинейных задач.

•¡'appeT^aqftafl ,Я, „ОВЭДУЯЧбО-^Л ценность. Б работа построены и исоледованы разностные схемы для ряда важных задач математической физики, которые не вкладываются в классическую типовую классификацию. На основа.рассматриваемой методики построены разностные схемы, учитывающие основные свойства дифференциальной задачи и обладающие достаточной точностью при невысоких ограничениях на точное решение. Предлагаемые в работе метода могут быть применена к решению конкретных задач гидродинамики, физики плаз;.ш, океанологии.

¿llBüüaUiiajiaÜ2Xä' Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры высшей математики Азербайджанского инженерно-строительного университета (рук.проф.джабрлилов A.A.), на семинард кафедры вычислительно;' математики Бакинского государственного университета им.М.А.Расулзаде (PJK.проф.Мамедов

я-д.).

йЭДШЖ.,Ч. 9¿1>eM PMÜ9W• Диссертация состой? т введения, двух глав, 14 таблиц и списка литературы, объем диссертации составляет 162 страниц, из них 2Ü страниц таблицы и литература, библиография содержит 12ü наименований.

Абдикация. Но теме диссертации опубликовано 7 работ,

И, КРАТКОЕ ССЩЕЙШШЕ ДйССЕРТАЦИИ

tío введении обоснована актуальность и практическая ценность диссертации и проводится обзор основных результатов.

В диссертационной работе предлагаются разностные схемы для численного решения некоторых начально-краевых задач для сингулярно-возмущенных нестационарных уравнений, Работа ooc-тоит из двух глав и весьма параграфов. Первая глава посвящена построению и исследовании разностных схем на равномерных сетках для линейного поевдопараболичеокого уравнения о сингулярным возмущением. - '

В $ I.I. рассматривается следующая задача

Lue£t[j~] 4-4и -J{x¿h (1}

и Ш) — иНЛ) — о» o<í<r, (з)

0< g < / - малый параметр, a{X)>/Oi>0, jfai) и (р(х)~

заданные достаточно гладкие функции.

В области вводится сетка Cdfo , где

и на этой сетке задача (1)-(3) аппроксимируется следующей рвз-ноЬтной схемой ^ ^

^fo « f{x), xcz. , (5>

(/(£,{) (6)

Где л (а tcfcftV fh 5 /if

б - вещественный параметр. Справедлива

Xeopei.ia Пусть выполнены условия 6>2Г> — f ,

¡¿ели , U.f являются решениями задач (4)-(6) и (1)-(3) соответственно, то

y-UijtCCk+W-Lfc+i;*^ (7)

™ ll^lli-eeji&lli+llyli, IIМ&Ау

Bt^ay/jsftYcFpfc), (/M/VFJ, J^f^f^n.

В § 1.2 рассматривается задача с третьим краевым условием, т.е. вместе условия (3) рассматривается условие

-jH(M(o,i)- VF (jt(i)»jnf>o). (8)

- а _

Для аппроксимации этой задачи используется система из Ц базисных 4ункц::Й по пространственной переменной, где функция прибавлена в отличие от случая первых краевых условий для надлежащей аппроксимации третьего краевого условия. Соответствующая разностная схема прей' :вляет собой двухслойную схему с экспоненциальными коэффициентами и с вещественным параметром, причем экспоненциальны;! коэффициент входит также и в разностное краевое условие. Условие (У) аппроксимируется уравнение,/.

где

ч

Теорема 1.2.1. При достаточно'.') гладкости исходных фуНК1Ш11 задачи (1)42), {а) и при \а($) « 08, ~0,Г),

А +<огВ>°С*>0 ,<5т>-},

решение задачи ('«)-(5), (9) сходится равномерно по 5 к ре-ыению задачи (1)-(2), (в) и для точности справедлива оценка

К + ш

Точность по ^ можно повысть до второго порядка V.

В $ 1.3 рассматривается периодическая начально-краевая задача дл? уравнения (I), т.е. вмес о условия (3) ¡усматривается условие

ЖЭД-агоД о^ит. (п)

На равномерной по каждой переманной сетке задачи (1)-(2),(1Х) аппроксимируется разностной схемой (4)-(5) ((ЗГ/Обб^Уи

уШ) (12)

. Пр>: а{Х) , (р(х)&С\Я) » Щаь1) *

//• —» *

€5 С ( Й ) решение разностной.схемы (4)-(5), (12)

сходится к точному решению задачи Ш-(2), (II) равномерно по малому параметру £ со скоростью

Точность по Ь моийо повысить до второго порядка V , В $ 1.4 рассматривается задача

«Л 1-Цг] +4*« , Не^ (13>

о начальным и граничным условиями ■ -У-

и(х,о) (р(х) > 1Е , (14)

¡¿{11)^11(0,1)^0, ¿«¿«.Г, ио,

где

Зьдача (13)-(15) отличается от предыдущих'тем, что адесь выроздение происходит по, и погранолой находится в олрест-ности точки ¿=0. Этот параграф состоит из двух пунктов. В п.! яооледуютея вопросы построения и реализации метода прямых по £ . При этом используются обычные кусочно-линейные базисные функции. В п.2 задач;.. (1з)-(15) аппрокоимир^етоя полностью диокренизированной разностной охемой .

^ ^ *«Г> (16>

У (щи) « (р[х), ¿се , (17)

и у « - а ай* +г—/М -V5)>

при этом по £ бцли использованы экспоненциальные базисные Функции.

Дри достаточной гладкости иоходных функций задачи-(13Ы15) и кроме того С?2а/дхг-$0 , \й(0С,С) —

, решение рагноотной схемы (1б)~(1У) сходится к точному решению равномерно по малому параметру со скоростью

0(т + кгУ.

1йава й посвящена построению и исследованию разностных охем для численного решения сингулярно-возмущенных начально-краевых задач в случае различных вариантов система Бусоинеска. Б § 2.1 рассматривается задача

и (сс> о)ср(х), (20)

щЦ)**и(о,у***р, (21)

ГДе / Г .. ' да

М <*>0, р - постоянные,

функция и) непрерывно дифференцируемая по своим

аргументам в -С»,со) и

дх.

¿У

з >

<-Сг >

где через (г-/,2,3)обозначаются постоянные,на зависящие от 5 и шагов сетки.

-II- .

Задача (I9M2I) вппррксимируется разностной схемой

-SА.гу- -06У-Х+р%(у) (г,У)** О, (т,1)е^(ог,

>/(х,0) — Щх) ,Х&Щ, (23)

&W) о, {& а>г, (24)

где

Отметим, что выражение удовлетворяет аналогичному

дифференциальному.случаю, условия' ' '

Неравномерная сетка , '-.■"'

имеет специальны!! 'вид внутри иогранслой, [ О, Kg] :.

$ = TgoLS | &S l ) при'. 3 ■> ijS[Zs, rj

max(ij -при

• Доказано, что решение разностной схемы (22) сходятся равномерно по % к точному решению в специальной сеточной энергетической норме со скорость» 0 (¡l*-^ Z^-b .

Рассматриваемые в данном-параграфе разностные схемы являются нелинейными на каждом слое. Поэтому для их реализации в конце этого параграфа предлагается итерационный процесс типа Ньютона и оценивается скорость его сходимости. В § 2.2 рассматриваются задачи

- 1г-

с начальными и граничными условиям

(р(х) и ф(я) - задние достаточно гладкие функции. При кавдом Ь>0 погранолои находятся в окрестности точек X ~ О и сс= 2 . Для численного решения рассматриваемых задач были предложены двухслойные схемы с экспоненциальными подгоночными коэффициентами .(^»С^»^)

Шь® + +

+1- ¿о^щ)* +М*] воЫ-Во I -Щ, Ш (29)

= (30)

Для погрешности схемы (29)-(32> при достаточно малом Т и при

Ь т'тЬик** мах}}О

на сетке СО^ справедлива оценка

+ (33)

в, ' 2 Л¥ л

Ы, , =$>вЬи

■В $ 2,3 рассматривается периодическая задача для системы Вуссинеска (25)426), т.е. вместо условия (28) рассматриваются условия' ' .

и%Ь) сз4>

1%А.'. ' (35)

где ^[х^) (¿-1,2) и начальные функции а

являются £ - периодическим}! функциями по Условие (35) аппроксимируется уравнением

1\ ^УгЬ + гь(Уг1^ +

- / / Г 1*1 (36)

+ [у20У2х>0 +, +(угк,«\ +

-1-й

ГдНбД ^ШФг/2) ^(во^а-г/г),

п

М*1 погрешности разностной.схемы (29)-(32);

(36) имеет место оценка 2

к л + 0

на сетке со ^ у

Гйб /7Н/? 0Г,// ЛН0 вс I .

В § 2,4. рассматривается система Буссйнеска, содержащая третье краевое, условие вместо условия (34)435)! ,, '■;■..'..

11{Ц) ** О, 0*ЫТ, : (30)

= (40)

На сетке сл^ ■=» ¿¡^х ¿З^ ' К0Т0РЗЙ является равномерной по ^ и неравномерной по Яг задачу (25)-(27), (38)-(40) будем аппроксимировать разностной схемой

АО/,я,] +№] +•

с A (43)

<f(x), Уг(go) - tpk)

' , ____(44)

1*Уг s- g\f yt -iiz(o,i) -hfiftl&jfoj) = Jt({}} , {45)

Ot a-jVwj^+A(miW-T*®'^, U6)

где ' ^""УоГ - , , . '

fit Ш/№)>

Хвювма-га^. Ц^сгь —,-££- G rf2), д-ф, W],

Тогда для погрешности ..разностной схемы (4IM46) справедлива оценка

JjiH^11*^2« Цщ^ ftW'^N

Р) на сетке £t)J . (47)

В конце ¿2.4 обсуждается вопрос возможности распространения некоторых результатов 2.2-2.4 на случай более общей системы, содержащие нелинейное члены более высокого роста.

~I6~

i3 диооертации приведены некоторые результаты проведенных численных экспериментов. Они подтверждают эффективность предложенных ,в диссертации численных алгоритмов. В приложении приведены тексты используемых программ на языке "Ш1СИЯ".

Автор выражает глубокую благодарность своим.научным руководителям; доктору физико-математических наук, профессору Амкрадиеву Г.М. аа постановку задачк постоянную заботу, доктору физико-математических вдук, профессору Шахмурову В.Б. и зав.кафедрой вычислиуельной .математики, улен-корр.АН Азерб. Республики, провесаору ¡ймедову Я,Д. за помощь а внимание.

Основное содержание дйсоертй1$и опубликовано в следующих - - ; У:^ рабогех автора: .''. ' •> .-.■'.

1. Какдк ôs.M. Разнсотиае схе:<щ для поевдояараболичвокого уравнения о: av АзНШНТИ, .'в 1831, Дес,-а &ЯШ, M 10 (252)',, 1932 /. :...-'

2. Амрв'дмщ Г.'М, ; .'Кайдй 'й&.М,. <pni«a: для, сингулярно-возмущенного, псавдокарайоллческого уравнения о третьим краевым условием. Деп. в .АзЮМШ»'. li X8«9i 1992 г. 21 о. Деп. в.ВШЙТИ, Л 1(255), ' 1993 f , - '

3.-Кандж Дж.М. Численное ребенке сингулярно-возмущанной псевдопараболич8ской- задачи с периодическими краевыми условия*

•ми. Деп. в АзНЯИШ, J» 190У, 19Э2 г., 15 с. Деп. в ВИНИТИ, В 2(256), 1993 г.' . •

4. Кандж Дк.М. Разностные схемы для псевдоаараболичаского уравнения с начальным скачком. Деп. в АзНШШ, J6 1934, 1992г., 16 о. '

5. Кандж Дд.М. Разностная схема для уравнения Буссинеска

с начальным погранслоем. деп, в АЗНИШТИ, Ji 1950, 1993 г. ,12 с,

6. Кандя Дж.М. Иооледованив оходимости разностных схем Для системы Е!уссин80ка погранслоями. Дер. в АзНИИНТЙ, 1993г., * 1962, II с.

7. Амиралиов Г.М., Квнда Разностная схема для сингулярно-возмущенной оистемы Буссинеска с периодическим краевым условием. Деп. в АэШИНТЙ, № 1986, 1993 г., 19 о.

- IS -ХПАС9

Диссвртасиза шин сингулдар - Ьазечаилат.шш гвори-ста-сионар мэсэлэлэр учун сонлу фэрглар схемлеринин гурулмасы ве твдгигиио Ьэср едилмишдир.Бу чур мэсэлэлэр физика во мехапикэнин мухтеяиф иэсалвлэринии вдрэнилмвси просвсиндэ тзсадуф едилир,

Иш нки фэсилдоц ибаретдир.Биринчи фэсил хетти месэлэлер учун мунтэзэм шабакада ферглар схемлэринин гур.улмасипа, икинчи фэсил нее квазихогги шэкилли Буссинеск систоми учун фэрглэр схемлеринин тедгигино hacp едилмишдир,

Бахылан меевлэларин эсас xyc.ycnjjeTii ондаи нбарэтдир ки, кичик параметрин чох кичнк гидмэтлершшэ бунларыи Ъолли MoxcycHj-детэ малик олур. Ь<злл сорЫд лазы адланан Ьиссэде кескин дэоишир, тврэмэлэр иса годри-.леЦдуд олур.Буна керо дэ классик схемлвря» мунтззом шэбэк^дэ истифадэ ед;:лмеси мумкун дззил.Илще бахылан мэсэлэлэр учун кичин параметра керэ мунтэзэм ¿ырылэн екслоненсиал эмеаллы фзрглзр схемлэри гурулур вэ бунларын мухтолиф ке^фид^эт хусуси¿дотлери ( дазаныглыг, зыгылма во с,) тадгиг вдилир.Нвтич&-лар мухтэлиф ццэди мнеалларла элагэлэндирилир.

SUMMARY

The Thesis deals with construction and investigation of

difference echemes for singular-perturbed nonstationary problems. The Thesis consists of two chaptera. The first, chapter

considers the linear problems, while the different variants of

the Bouosinesque system with a quasilinear form ore discussed in

the second chapter,

A particular feature of these problems is that at the low

parameter values their solutions have the peculiarity that

inside the boundary layera the solution sharply changes and the derivatives become non-bounded. For this reason a practical us« of the olaasioal difference schemes on a uniform raeah is impossible* The difference schemes uniformely divergent over i small parameter aro constructed and their qualitative properties (stability,conversance* etc,) are investigated in the present work for problems considered, The obtained resu-iis are discussed using the concrete numerical examples.