О численном решении задачи движения обобщенной ньютоновской жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГб од

> 3 г

Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи

Староверов Владимир Михайлович

УДК Б18-.Б17.91/.9',

О численном решении задачи движения обобщенной ньютоновской жидкости.

Специальность 01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена на кафедре Вычислительной математики Московского Государственного Университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор Г.М.Кобельков

Официальные онпонеиты:

доктор физико-математических наук профессор Ю.А.Дубинский кандидат физико-математических наук старший научный сотрудник С.А.Финогенов Ведущая организация:

Институт математического моделирования РАН.

Защита состоится 1994г. в 15 часов на засе-

дании специализированного Совета К.053.05.84 в МГУ им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899 Москва, Воробьевы горы, НИВЦ МГУ, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Научно -исследовательского центра МГУ.

Автореферат разослан 1994г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Многие материалы в определенных условиях текут, проявляя свойства нелинейно - вязкой (неньютонов-екой) жидкости. Различные технологические процессы в химической, нефтяной и пищевой промышленности, а также ряд процессов в природе связаны с течением таких материалов. Лаже медленные течения нелинейно - вязких жидкостей описываются системами существенно нелинейных уравнений с частными производными. Применение ЭВМ для решения задач о течении нелинейно - вязких жидкостей требует тщательяого обоснования используемых алгоритмов, получения оценок точности приближения. Такое обоснование, в свою очередь, связано с вопросами существования и единственности решения рассматриваемой задачи.

Особые трудности при исследовании подобных задач могут возникать в случае, когда рассматриваемые нелинейные уравнения имеют неограниченные коэффициенты. Это приводит к тому, что даже на гладких функциях классические способы аппроксимации дифференциальной задачи не приводят к успеху, а стандартные итерационные методы решения получаемых систем или совсем теряют свою сходимость, или сходятся крайне медленно и только при весьма аккуратном выборе итерационных параметров.

Настоятельная потребность в решении подобных задач привела к необходимости тщательного исследования вопросов, связанных со всеми сторонами проблемы: с существованием н единственностью решения получаемых дифференциальных и разностных задач, со сходимостью решения разностных задач к решениям дифференциальных, с исследованием итерационных методов решения разностных задач.

Цель работы состоит, в наиболее полном, во .возможности,

анализе задачи движения обобшевной ньютоновской жидкости: начиняя от теорем существования и единственности решения задачи в обобщенной формулировке, кончая численными методами ее решения. Основной акцент делается на случае неограниченных, при скорости движения жидкости, стремящейся к нулю, ковффициентов оллкптической части рассматриваемого оператора.

Научная новизна работы. В диссертации рассматривается задача о течении обобщенной ньютоновской жидкости для случая, когда коэффициенты нелинейного уравнения Стокса становятся неограниченными в окрестности нуля. Подобная нелинейность приводит, прежде всего, к резкому ухудшению аппроксимации задачи с помощью каких либо конечномерных методов и к замедлению сходимости итерационных методов решения аппроксимирующих задач или к вовсе потере сходимости. При »том, следует отметить, что явныеоценки скорости сходимости итерационных методов даже для случая более легких задач, подобных рассматриваемой, нигде не приводятся.

В диссертации доказываются теоремы существования и единственности для обобщенной формулировки рассматриваемой задачи. Эти теоремы определяют технику работы с указанной задачей.

В работе исследована разностная схема, полученная при аппроксимации получаемой разностной задачи. Следует отметить, что для случая уравнений с постоянными коаффициентами существуют разностные схемы, имеющие второй порядок аппроксимации. В случае описываемой задачи построение подобных схем приводит к устранению свойства монотонности нелинейного разностного оператора, а в »том случае полученная разностная задача, вообще говоря, не имеет решения. Вместо етих стандартных схем в работе приводится разностная схема, сохраняющая основные свойства ли<Ь<Ьеоенпиальной задачи. Исследо-

ван порядок ее аппроксимации и доказана скорость сходимости решения полученной разностной задачи к решению дифференциальной.

Лалее в диссертации описаны итерационные методы решения поставленной задачи. Доказана сходимость описанных итерационных процессов, произведен их сравнительный анализ. Для случая наиболее употребительных ковффициеятов выписана явная оценка скорости сходимости метода. Следует отметить, что даже в случае задач, фильтрации оценки скорости сходимости отсутствуют.

В работе приведены результаты численного эксперимента. В качестве тестовой задачи была взята задача о течении жидкости в каверне. Она была просчитана для различных параметров, задающих нелинейность н задаче. Полученные результаты хорошо согласуются с оценками, полученными в доказанных теоремах.

Практическая значимость. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы при расчете движения многих видов жидкости: нефти, расплавов полимеров, многих продуктов пищевой промышленности.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на:

- Международном Российско - Французском семинаре (1994г.)

-научно-исследовательском семинаре мех.-мат. ф-та МГУ под руководством академика РАН Бахвалова Н.С.;

-научно-исследовательском семинаре НИВЦ МГУ под руководством проф. Жилейкина Я.М.;

- научно-исследовательском семинаре под руководством д.ф.-м.н. Пальцева В.В. в Вычислительном центре РАН;

-в-

- научпо-ксслсдовательском семинаре кафедры прикладной математики Московского Энергетического Института;

Публикации. По материалам диссертации сделана одна публикация.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 35 названий. Текст дисертации занимает 77 стр.

Краткое содержание работы.

В первой главе дается строгая формулировка рассматриваемой задачи и для нее доказываются теоремы существования и единственности решения.

Рассматривается краевая задача, описывающая стационарное движение обобщенной ньютоновской жидкости в ограниченной области с неограниченной функцией вязкости х-

I Луи = 0, и|вп = О

Здесь и = (их,и3,и»), х(а) > 0 (а > 0), х(*) = 1 + к(я); на к(х) обычно накладываются следующие ограничения:

' а) #(в) = к(а)а является возрастающей функцией при а > 0;

б) «(а) —► 0 при а —► 0;

в) к(а) является убывающей функцией при о > 0.

В ряде случаев на коэффициент накладываются несколько иные ограничения:

м

а) в(о) = &(а)а является возрастающей функцией при а > 0;

б) «(в) —» «д > 0 при о -» 0;

в) к(а) является убывающей функцией при в > 0.

Основным отличием (*) от (*») является то, что в случае (*) функцию *(х) по непрерывности легко доопределить в нуле нулем, что и будет везде подразумеваться. Лля случая (*») вто невозможно,, так как, на самом деле, мы будем иметь дело не с функцией *(х), а с оператором на некотором гильбертовом пространстве V: в(г) : V —► V, где я(г) — 1>&()|и)|). А »тот оператора непрерывно доопределить до всего пространства V уже нельзя.

Итак, рассмотрим в области П краевую задачу :

Г -Д1+ь(и) + УР = Г, \ аьги = о, и|«1 = о

где Дх(и) = сИу(х(|Уи|)Уи), к(а) > О (в > 0), и = («ь «»,«!»).

Под Л имеется в виду ограниченная область 3 -мерного пространства с кусочно-липшицевой границей.

Введем пространство вещественно - значиых функций Н, явля-о

ющееся замыканием в - норме пространства соленоидальных бесконечно-дифференцируемых функций с компактным носителем в П.

Обобщенным решением задачи (1) будем называть функцию и 6 Н такую, что для любой V € Л справедливо соотношение:

- (2)

Лля решения задачи (2) в работе доказываются следующий теоремы*.

Теорема 1 Пуст* к(х)х явмеется возрастающей функцией положительного аргумента тогда у задачи (2) существует не более одного решения.

Лля ограниченных коэффициентов доказана

Теорема 2 Пусть к, (а) = пйп(е,к(а)) (о > 0) « выполняются условия (♦) . Тогда для любого е > 0 у задачи (3)

существует обобщенное решение.

Рассмотрим, далее, случай неограниченного ковффидиента х-Здесь доказана

Теорема 3 Пуст» (а) = тгп(к(е), к(а))(а > 0) it выполняются условия (*) . Тогда у задан (t) и (3) существуют единственные решения и и и, соответственно, причем при е —+ 0 имеет место сходимость решения задачи (3) к решению задачи (£) , т.е.

Бели рассмотреть другой тип ограничений на к(х), а именно, условия (**), то для етого случая справедлива

Теорема 4 Пуст» к,(а) = тт(к(е),к{а)) (о > 0) « выполняются условия (**)- Тогда у задачи (3) существует V единственно решение и,, причем при е —<• 0 имеет место сходимость решения задачи (2) к некоторой функции ио € Н, т.е. существует «о€Н: |(и, — иоЦн —♦ 0-

Во второй главе ставится разностная задача, соответствующая рассматриваемой дифференциальной и доказавается сходимость ее решения к решению дифференциальной задачи.

Рассмотрим разностный аналог задачи (2). Введем в рассмотрение - прямоугольную сетку с постоянным шагом по каждому направлению /ч (Н — (Ль Ла, Ьа)) и С*- пространство сеточных

-div{{ 1 + fc,(|Vu|))Vv) + Vp = / ■ div{ u) = 0 ti|en = 0

(o>0)

U = (U1,U3,US)

(3)

||u, - иоЦн 0.

-е-

функций, определенных на Пк = П^и^Лц • где включает только внутренние узлы сетки, а йПь - граничные. Определим на С?ь разностный оператор, аппроксимирующий дифференциальный из задачи (2) с первым порядком точности. Для »того рассмотрим следующие разностные операторы. Оператор V)!: вь —* (Сн)® действует следующим образом:

ту ! \ / \ / \ «<(аг + Л,с<)-ы<(х) "»(и) = («1,.1,и21ш2,«»,.»), где Щ,„{х) =-^-

Здесь и далее в! = (1,0,0),в2 = (0,1,0), ез = (0,0,1).

Оператор : {Он)* С* действует следующим образом:

dlvк{u) = +112,ж, + "в,г,, где «^(х) =-—-

Отметим, что для того чтобы задать операторы ¿п'ь и V» необходимо определить значения функций на дГ1\. Пространство

о

функций, равных 0 на д(1\ будем называть <3* -Будем использовать следующие обозначения:

ЬьЫ) = Л»*((1 + *(}Уд0»|))У»и»);

пусть Л = Л1 • А» ■ А», тогда для щ((к,€ <?* :

■ €П»

• €П»и(П»+.(»)

• €П»и<Пк.«( О

аналогично определяются и (и»,!'!'*).

В втих обозначениях разностная задача ставится в виде, аналогичном дифференциальному:

(х^лиьОУьиц,Уну,,) = ~Ун,«к) Для люПой ик 6

Тогда разностные интегральные соотношения аппроксимируют соответствующие интегральные соотношения в дифференциальном случае и имеет место сходимость решения дифференциальной задачи к решению разностной задачи с порядком, несколько меньшим порядка аппроксимации разностной схемы. Последнее происходит из-за того факта, что задача нелинейна и имеет неограниченные коэффициенты. Итак, имеет место

Теорема 6 Пуст» яровая часть и граница области обладают достаточной гладкостью и для коэффициентов системы вместе с условиями (*) выполнены следующие условия:

а) к 6 04(0,00));

б) существует функция » £ КСя((0, оо)), имеющая убивающую первую производную (т.е. выпуклая вверх) , обладающая следующим свойством:

О <р< £(*)/•(*) < М <оо для * € (0, оо) .

Тогда существует С\> 0, не зависящая от к такая, -что при /К ко:

а)существует С > 0 такое, что для точного решения изадачк (О) имеют место оценки:

- < Стах(в(Ь),М,

|<|11>ь(и){ < С тах(«(Ь),Л)Сфункцпл в(х) определяется выше).

В третьей главе рассматриваются итерационные методы решения поставленной разностной задачи.

Дифференциальной задаче соответствует следующая сеточная краевая задача: требуется найти функции

и*

е и и рн € Р,

которые являются решением следующей задачи*.

\а1глик=0, и»|и,=0 (4)

где Д£(и») = <Цук((х(|Улил|))У*ик), к{а) > 0 (о > 0), и" = ««а.«»)-

Выпишем двухслойный итерационный процесс для решения системы (4).

{

ртъ + бл у*Ф = 0

V — V

Здесь и далее V = у* , Ф = у« = —-— и аналогично для д:

9 = Я* = = "

р, т - итерационные параметры, В: 17 —► 17 - некоторый симметричный положительно определенный линейный оператор который мы определим позднее. Будем также считать, что заданы некоторые начальные условия для итерационного метода: С и , дд € Р. (Итерационные методы подобного типа для линейного случая исследованы в работе Г.М. Кобелькова "О численных методах решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление." Вычислительные процессы и системы. Вып. 8. Москва. Наука. 1991. стр.204-237.) Преобразуя систему (б), получаем:

СФ = т** + ВУ - тУкщ 4 = <-±<и уЧ

где

С = В-тД* к- ~У\1Ьг\

Последняя система уравнений дает расчетные формулы для данного метода. Из нее же следует, что имеет смысл выбирать

В качестве В оператор:

В = -Д* +

Тогда оператор С будет иметь следующее представление:

Методы обращения подобного оператора можно найти, например, в работах А.Л. Ляшко и М.М. Карчевского. В диссертации исследована сходимость итерационного метода (в). .Доказана

Тоорема в . Пусть к(х) = где функция к, = тт(к(е),к(х)),

и для функции к(х) выполняются условия (*). Тогда для любого (3 > 0 существует т > 0 такое, что итерационный процесс (6) сходится с геометрической скорость» сходимости, не зависящей от (.

В случае неограниченных коэффициентов оцеякускорости сходимости получить не удалось, однако доказана

Теорема 7 . Пусть для функции к(х) выполняются условия (*). Тогда для любого /3 > 0 существует т > 0 такое, что итерационный процесс сходится к решению исходной разностной задачи.

Удалось оценить скорость сходимости итерационного процесса (5) для конкретного случая к(х) = т«-4, где 0 < ( < 1.

Зададим последовательность *п следующими соотношения-

С= -Д*-гД?.

(Т)

ми:

где С(аг) = 1+

Св

;., у" = Vя - и, гп = дп — р.

,п

,п

щ

Справедлива оценка:

ШЪ +г^1|г„|р < шах («„,«0 ф")

Для конкретного вида особенности, а именно - степенного, удалось получить конкретные оценки скорости сходимости.

Теорема 8 . Пусть к(х) - ух~( (0 < ( < 1). Тогда длж последовательности задаваемой соотношенилми (8), верна оценка:

где

Явным недостатком итерационного метода (5) является то, что на каждом его шаге приходится обращать нелинейный оператор с неограниченными коаффициеятами. Методы обращения подобных операторов, обычно, имеют скорость сходимости более медленную, чем скорость геометрической прогрессии и требуют относительно больших затрат машинного времени.

Выпишем другой итерационный метод. Он имеет более медленную скорость сходимости, но требует на каждом своем таге лишь обращения оператора Лапласа. Последняя же задача хорошо изучена и может решаться достаточно быстро, причем в ряде случаев существуют достаточно аффективные точные методы ее решения.

Зададим второй итерационный процесс следующим образом:

СО = т1к + Ву + ГДЛ(У) - г7нч я =

где С = В - гДА - ^сКу*.

Последняя система уравнений дает непосредственные расчетные формулы для данного метода. Из нее же следует, в качестве В можно выбрать оператор

В = -Д" + д^ДУ'1 Тогда оператор С будет иметь следующее представление:

С = -(1+г)Д\ (12)

При атом для ошибки метода верна рекурентная формула:

Ну11| + 1-Н1У11!++ < НУ11Ь + |НУИ? +

(13)

Из втой оценки, вообще говоря, не следует, что рассмотренный итерационный метод при постоянных ковффициентах г и является сходящимся. Однако, путем выбора параметров ошибку можно сделать сколь угодно малой. Этот результат формулируется в следующей теореме:

Теорема 0 Для любого в > 0 существует Го > 0 , такое, что при всех т < ть если |(у||1 > в, то ошибка итерационного метода уменьшается со скоростью геометрической прогрессии, т.е. верна оценка (13).

Наконец, в четвертой главе приводятся результаты численного эксперимента на примере задачи о течении жидкости в каверне.

Основные результаты диссертации.

1)доказаны теоремы о существовании и единственности решения дифференциальных задач движения обобщенной ньютоновской жидкости с неограниченными коэффициентами в эллиптической части;

2)ностроена разностная схема, аппроксимирующая исходную задачу; доказана сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной

3) предложены итерационные методы решения полученных систем нелинейных разностных уравнений; проведено исследование их схорости сходимости;

4)разработана программа, позволяющая расчитывать движение жидкости в каверне; на основе этой программы проведены расчеты, показывающие эффективность предложенных методов.

Литература.

1. В.М. Староверов. 06 итерационных методах решения нелинейной задачи Станса. Новосибирск N 1014,1004г., препринт, 25 стр.