О проекторах на пространства типа конечных элементов и их приложениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Добробог Надежда Викторовна

О проекторах на пространства типа конечных элементов и их приложениях

01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени кандидат;! физико-математических наук

ВОРОНЕЖ - 2010

~ 2 201!]

004614887

Работа выполнена на кафедре высшей математики Поволжского государственного университета телекоммуникаций и

информатики

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.

доцент Блатов Игорь Анатольевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Асташккн Сергей Владимирович, доктор физико-математических паук. профессор Новиков Игорь Яковлевич

Ведущая организация: Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Защита состоится 14 декабря 2010 года в 15 ч. 10 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете, 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан "/г- ноября 2010 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22 доктор физ.-мат. наук, профессор

Гликлих Ю.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В 70-с годы прошлого века Ф. Наттерсром, Дж. Нитше 1 и Р. Скоттом 2 был предложен аппарат доказательства сходимости метода Галёркина. основанный на построении и изучении свойств операторов проектирования. Ограниченность норм семейств галсркинских проекторов оказалась ключевым моментом в обосновании сходимости и устойчивости метода Галёркина. Галёркина-Петрова, Ритца. метода кол-локации: схемы получения апостериорных оценок погрешностей приближенных решений и т.д.

Однако результаты и методы полученные Дж. Нптше и Ф. Наттерером для сингулярно возмущенных задач не применимы по ряду причин. Во-первых. ввиду сильной неравномерности расчетной сетки. И. во-вторых, невозможности выделить простую главную часть оператора задачи, поскольку старшая производная "давится" малым параметром с. Рассматриваемые для этого класса, задал проекторы не являются ортогональными в Li[a,b] или интерполяционными, что усложняет их изучение.

В связи с этим Блатовьш И.А., Стрыгиным В.В. 3 был предложен метод оценки норм галёркинских проекторов, основанный на построении двойственного (биортогоаалыюго) базиса в тестовом пространстве. Этот метод позволил доказать равномерную по параметру сходимость в норме пространства непрерывных функций метода Галёркина на сетках Н.С. Бахвалова для сингулярно возмущенных краевых задач. Вместе с тем аналогичные результаты, для получивших в настоящее время широкое распространение сеток Шишкина, до сих пор не были получены.

Кроме того, при решении сингулярно возмущенных краевых задач универсальным приёмом является использование подвижных сеток, адаптирующихся (подстраивающихся) к особенностям решения задачи. Одна-

'Natterer F., Uniform eonvci^enee of Calcikin method for splines 011 highly nonuniform liiesh // Math. Comprn.. - 1077. - V. 31. - P. 457-46X.

2Scott R.. Optimal LK estimates iov the finite element ¡uethod on irregular mashes // Math. Comput. -1Ü7G. - V. 30, N 13B. - P. G81-607.

"'Блатов H.A.. Стрыгип B.B. Элементы теории еплайнов н метод конечных элементов ,итн задач е иогранелоем. - Воронеж: ВГУ. l'J'JT.

ко, несмотря на. то, что подвижные адаптивные сетки активно и успешно .используются при решении прикладных задач, например, при моделировании процессов гидро- и газодинамики. 4 методам их построения посвящена обширная литература, 5 вопросы строгого обоснования сходимости адаптационных алгоритмов к некоторому предельному разбиению и получения оценок погрешности приближенного решения на этом предельном разбиении существенно менее изучены. Отсутствует математическое обоснование сходимости последовательностей адаптивных сеток в апостериори« ориентированных алгоритмах адаптации в рамках метода конечных элементов для сингулярно возмущенных краевых задач.

В связи с вышесказанным, в настоящее время актуальными являются задача оценки норм галёркинских проекторов на пространства типа конечных элементов в случае сильно неравномерных сеток Шишкина, а также построение основ математической теории обоснования сходимости алгоритмов адаптации для указанных задач. Решению этих вопросов и посвящена диссертационная работа.

Цель работы - получение оценок норм галёркинских проекторов, распространение метода биортогональных базисов для сингулярно возмущенных краевых задач в случае использования кусочно-равномерных сеток Шишкина; разработка и исследование вычислительных алгоритмов апостериорной адаптации на основе метода конечных элементов Галёркина.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе выполнена следующая программа исследований.

1. Доказательство равномерной ограниченности норм галёркинских проекторов для некоторых классов сингулярно возмущенных краевых задач на сетках Шишкина.

2. Доказательство сходимости метода конечных элементов Галёркина для рассматриваемых классов задач.

4Гильманов А.Н. Методы адаптивных соток в палачах гачовой динамики. - М.: Наука. ФИЗМАТ-ЛИТ, 2000. - 24S с.

5см.. например. Liseikin V.D., Grid generation methods. Springer, Berlin. l'J'J'J и библиографию tjm

же

Л

3. Разработка и обоснование апостериорно ориентированных вычислительных алгоритмов адаптации для решения сингулярно возмущенных краевых задач в случае неизвестной границы пограничного слоя.

4. Получение оценок погрешности приближенных решений предложен-1 юго метода.

Методика исследований. При получении основных результатов используются методы теории функционального и математического анализа, теории операторов, теории аппроксимаций, обыкновенных дифференциальных уравнений, вычислительной математики.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты

I. Впервые получены равномерные по совокупности значений малого параметра и шага сетки оценки норм галёркинских проекторов на пространства сплайнов для семейства кусочно-равномерных сетск Г.И. Шишкина.

II. Метод оценки норм галёркинских проекторов, основанный на изучении двойственных базисов, распространен на класс сингулярно возмущенных задач на кусочно-равномерных сетках Г.И. Шишкина. Доказаны теоремы сходимости метода Галёркииа.

III. Сформулирован абстрактный алгоритм адаптации для решения операторных уравнений в банаховых пространствах. Доказана теорема обосновывающая эффективную работу данного алгоритма.

IV. Для двух классов сингулярно возмущенных краевых задач сформулированы алгоритмы адаптации расчетной сетки к пограничному слою. Доказаны теоремы о сходимости адаптационного процесса и получены сценки погрешности приближенного решения на. предельном разбиении.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученные в диссертационной работе результаты могут найти применение в теории операторов и в численных методах. Кроме того, данные результаты можно рассматривать как первые шаги в разработке методов математического обоснования сходимости подвижных адаптивных сеток в методе конечных элементов Галсркина для сингулярно возмущенных краевых задач.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на семинарах Самарского государственного университета, научных конференциях Воронежского государственного университета. Поволжского государственного университета, на весенних математических школах "Понтрягинские чтения "(г. Воронеж. В ГУ. 2008. 2010 гг.). на международной научно-технической конференции "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем"(г. Пенза, 2009 г.).

Публикации работы. Автором диссертационных исследований (лично и в соавторстве) опубликовано 10 печатных трудов. Работы [1], |10] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ. В совместных публикациях соавтору принадлежат постановки задач.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы, содержащей 90 источников. Общий объем диссертации - 117 страниц.

Содержание работы

Во введении дана краткая историческая справка по интересующим вопросам, раскрывается актуальность темы и приводится краткое содержание работы. Перейдем к изложению основных результатов диссертации.

В первой главе рассматривается общая схема, проекционного метода в случае, когда оператор проектирования Р* : В€ С Ег —» Е* зависит от параметров (к, г) € КЕ. Введено понятие квазиопгимальности метода, суть которого в равномерной ограниченности норм операторов просктиро-

вания по совокупности параметров, т.е. найдется такая константа С > О, не зависящая от к, £, что для любой пары (к. s) € КЕ

< С. (1)

Основная идея заключена и следующем простом утверждении

Лемма 1. Пусть проектор Ptr является квалиоптималъиым па КЕ с константой С. Тогда для любого х £ Dt справедливо, оценка

\\х~Рекх\\Е,<(1 + С) infJk-yiU-.

veif

Таким образом, ограниченность норм проекторов лежит в основе обоснования сходимости проекционного метода и получения априорных оценок погрешности приближенного решения.

Сформулирован абстрактный адаптационный алгоритм для решения операторных уравнений в банаховых пространствах.

Пусть Е - линейное нормированное пространство с кормой и L : D{L) С Е —> Е линейный опера.тор. Рассматривается операторное уравнение

Lu = /. (2)

Предполагается, что для любого / 6 Е уравнение (2) имеет единственное решение, т.е. оператор L обратим.

Пусть Ет,р С Е, т £ N. р 6 R - семейство подпространств в Е, определяемых параметрами т, р. В Ет,р рассматривается задача отыскания приближенного решения уравнения (2):

^-т.р = fm,p (3)

Предполагается, что существуют такие т0 £ N. q\, q2 Е К, что при т > то• V 6 [?ii уравнение (3) имеет единственное решение ит>р.

Определение. Пусть Рт,р: D(L) —> Етр - линейный оператор, действующий по правилу Рт,ри = umj). Будем считать, что оператор Р,щр продолжен с сохранением нормы на некоторое линейное многообразие, содержащее Етр. Продолженный оператор Рт<р будем называть галёркинским проектором, соответствующим уравнению (3).

Определение. Проекционный метод (3) будем называть кзазиопти-. мальиым, если справедлива оценка \\Рт,1>\\Е^Е £ С, где С не зависит от тп, р.

Всюду С, С], С-2 ■ - ■ обозначают положительные константы, не зависящие от т, р.

Для описания аппрокснмацпоппых свойств пространства Е„,,р введена величина¿(р,т) = т^ек ||и-го||в - точность наилучшего приближения и к Е11,,1,. Сделаем несколько предположений

А1 Пусть для любого т € N : Ы^к 6(р,т) = 6„, > 0. причем существует такое значение р* = р*(т). что <5(р*, т.) = 6т.

В теории приближений аппроксимационные свойства известных пространств установлены. Так, например, достаточно гладкую функцию в пространстве сплайнов на сетке с шагом к можно приблизит!) с точностью 0(Л^+:1), где к - степень сплайна. Поэтому, считаем что эта асимптотическая оценка величины 6т известна. Тем самым, параметры 7П, р регулируют аппроксимационные свойства пространства Ет:Р.

А2 Существует последовательность ро > Р\ > • • • > Рк > ■ ■ ■ > причем Ро > р* и для некоторой константы С\ при всех рк > р* справедливо — > Это Условие означает, что каждый последующий шаг улучшает аппроксимационные свойства пространства Ет^Рк.

АЗ При всех к справедливо рк-\ — Рк < Сг: где Сч > 0 некоторая константа. т.е. последовательность параметров рк меняется не слишком быстро.

А4 Для любого р < р* справедливо 6(р, т) < д(р* —р) <$,„, где д(т) > 0. т € [0; оо) - непрерывная функция, д(0) = 1. Если значение параметра р "проскочило" р*, то оценка погрешности .решения существенно не ухудшится.

А5 Проекционный метод (3) является квазиоптимальным в смысле введенного выше определения.

Поставлена задача отыскания такого значения р = р(т), что при всех m >.mu будет справедлива оценка ||um.p — иЦв < Сц6т..

Таким образом, процесс адаптации заключается в подборе параметра р таковым, чтобы соответствующее пространство Е7,ч, содержало хорошую аппроксимацию решения (2).

Приведен общий алгоритм построения приближенного решения поставленной задачи, который назвал алгоритмом адаптации: к — 1, 2, 3,...

I. Фиксируем константы шбИи С3.

II. Н аходим umjj, итрк.

III. ВЫЧИСЛЯС.М (jlk = ütimj*., - Um^llE-

IV. Если fik > C-jäm, то к := к + 1 и возвращаемся к Ii.II. иначе работа

алгоритма закончена и найдено решение и ~ um.Pt-

Доказана общая теорема, обосновывающая эффективность работы представленного алгоритма. В основе доказательства лежит квазиоптимальность проекционного метода (предположение А5).

Теорема 1. Найдутся такие константы С\ > 1. С\. C;S) С\ > О, что если предположения А1-А5 выполнены, тогда алгоритм (I)-(IV) закончит свою работу за к < К = [^S? jQ^m)] ^ шагов' Q = ST' и справедлива оценка:

\\итфк - и\\Е < Сг inf 6{р, т). (4)

peR

Основным результатом первой главы является доказательство теоремы 1, согласно которой вопрос сходимости некоторого класса адаптационных алгоритмов сводится к вопросу ограниченности норм соответствующего семейства проекторов. Полученные результаты лежат в основе результатов, представленных в последующих главах, а именно, доказательств теорем о сходимости алгоритмов адаптации для рассматриваемых классов сингулярно возмущенных краевых задач.

!)

Во второй главе ставится задача решения сингулярно возмущенной краевой задачи вида

Ltx = —е2х" + c(t)x = f(t), ж(-1) = х{1) = 0. (5)

Здесь функции c.{t) 6 C^-l, 1], f{t) е С[-1,1], причем c(t) > с" > 0, t 6 [—1.1], £ - малый положительный параметр.

Для построения приближенного решения задачи (5) используется метод конечных элементов Галёркипа. Разбиение

А = Д,ге.р, т G N, р = с„ = min {^/с(-1), ^/сЩ} отрезка [-1,1] проводится по методике Г.И. Шишкина, введем пространство пробных функций

Е = {хт = xm{t) е 5(Д, 1,1), :г„,.(-1) = х„,(1) = 0} . Базис в этом пространстве образует совокупность В—сплайнов первой степени {/Vi.,(i)}. Суть метода Галсркина состоит в отыскании xm(i) € Е, такой, что для любой функции y(t) € Е имеет место

Fe{xm,y) = e2(x'm(t),y'(t)) + (xm(t), c{t) y(t)) = (f(t).,y(t)). (6)

о

Определение. Оператор P, .W.} [—1,1] —> E называется галёркин-ским проектором, если Рсх = хт, где х - точное решение задачи (5), хт -решение задачи (G).

В пространстве Е конструируются функции {Лj{t)}, образующие двойственный (биортогональный) к {N\j(t)} базис в том смысле, что

Справедливо представление галёркинского проектора через базис

В—сплайнов и биортогональный к нему базис тестового пространства

1

Рсх= F^X^N^t). (7)

j=-k' +1

Имеет место теорема о квазиоптимальностн проекционного метода (6). Теорема 2. Найдется положительная константа С, не зависящая от s, т : ет < 1, татя, что справедлива оценка

H^llci-ui-ct-ui < С.

В силу финитности функций N\,j(t) и представления (7) для доказательства указанной оценки было достаточным показать, что для всех j .

<С\\х\\.

Теорема 3. Найдутся такая константа е0, натуральное uilcao ttiq и константа С > 0, что для любых s £ (0. £о): т > то '■ Ет < 1 существует единственное. решение xm(t) задачи (в), причем для решения xm(t) справедлива оценка:

\\xm(t) - x(t)\\ < С/т2.

Пусть С фиксированная константа, ие зависящая от е п т.

Определение. Будем говорить, что а(е, С) есть m—граница пограничного слоя, если справедлива оценка

max ( max eV^W, тах е-^/^^Л < С/т2, \1£|-а,а] iej-а.л] J

где eV^^r". p-x/^t-1)1^- функции, описывающие пограничный слой.

Определение. Число й = â(e, m) = sup а(е, С) будем называть точной m—границей пограничного слоя.

Предполагая, что расположение точной m—границы пограничного слоя неизвестно, на основе идей и результатов первой главы сформулирован адаптационный алгоритм численного решения поставленной краевой задачи. Алгоритм описывает процесс адаптации кусочно-равномерных сеток Шишкина Лт.р к пограничному слою за счет подбора параметра р.

Теорема 4. Найдутся такие константы eq > 0, rriQ 6 N, 7 > 0, С\ > 0, Сг > 0, что для любых s 6 (0, £ц], m > гщ : е ln m < ^ алгоритм I закончит работу за число шагов k < C2lnm/lnînm, причем для решения х,п\ построетюго на сетке Дт,р с параметром р = рк, будет справедлива оценка:

-х|| < Ci ln m/m2.

Основным результатом второй главы является доказательство теоремы 2 о квазиоптималыюсти метода Галёркина, которая лежит в основе доказательств теорем 3. 4.

В третьей главе рассматривается задача с несимметричным дифференциальным оператором

Lcx = -ex" + b{t) х' + c(t)x = f{t), ж(0) = ж(1) = 0. (8)

Функции b{t), с(í) € С1{0.1], /(£) £ С[0,1], причем b{t) > b* > 0: t £ [0,1]. Для отыскания приближенного решения используется вариант уетода конечных элементов Галёркипа. причем оператор L* в (8) не является самосопряженным и. фактически, идет речь о методе Галёркина-Петрова. Разбиение Дт.р расчетной области проводится согласно методике Г.И. Шишкина, с параметрами т £ N, р = 6(1).

Вводится понятие галёркшкжого проектора.. Квазиоптималыюсть метода сначала доказывается для соответствующей задачи с "укороченным" оператором Lex = —ex" + b(t)x', что, фактически, соответствует главной части оператора Lc. Для задачи с оператором L,: описана процедура построения биортогонального базиса в тестовом пространстве и, посредством представления галёркинского проектора через базис В—сплайнов и биорто-гональный к нему базис тестового пространства, доказана равномерная по совокупности значений е, т ограниченность норм семейства галёркинских проекторов в специальной операторной норме.

Следующие леммы отражают некоторые общие идеи метода компактной аппроксимации в случае, когда оператор зависит от малого параметра.

Лемма 2. Пусть Lz = Lc<q 4- LCii и выполнены условия

1) Операторы L€, Lt_о обратимы, причем ¿Г1, непрерывные, определенные на Dt операт.оры.

2) (¿-¿Lm)(A:) С Dc, (L~¿Le)(D£) С D,, и для любого х £ D,

< x,i[)Lc >=< [I + {LT^L^x^l^ >, < (l;lLc)x,ipLc¡0 >=< х,фи > .

3) Для оператора Le0 существует гажркгтекий проектор Р*0.

4) Оператор I + P¿0(L~¿L£ii) обратим.

Тогда существует галёркинский проектор P¡? для оператора Le, и справедливо представление P¡? = [/ + P*G(.¿~¿¿e.i)]-1P*0(Z.~oZ,£).

Лемма 3. Предположим оператор Lc имеет вид Le = L£.o + L£.i и выполнены,условия (1)-(3) леммы 2, причем

IKI-^IUw, < С, ||(I'iLc,i)lk-.£. < С. Пусть истод Галёркина квазиоптимален для оператора Le0 на некотором множестве. КЕ = {(к.е) : к = ко, ко +1,...; 0 < е < е0}- Пусть, наконец найдется такая константа С\, что д.чя любого и Е Dc : Ijujis, < 1 и любой нары, (k.s) € КЕ существует v £ Ei, чти

Ü'' - (^¿LEii)u\U_ < Cn(k,e),

где, т(/с,с) —» О при к, —+ оо равномерно по е таким, что (к.е) € КЕ и не зависит от и.

Тогда найдется такой номер к\ > ко, что для всех пар (к, с) € КЕ такн,:::. что к > кц. существует- галёркииский проектор Р* для оператора Ls. При этом метод Галёркина квазиоптимален для оператора Lt на множестве К Ei = {(k,£) 6 КЕ : k > fci}.

Леммы 2. 3 позволяют доказать квазиоптимальность метода в общем случае для оператора L,. Данный приём был предложен и в похожей ситуации использован Бла'товым И.А. 6

Оценки погрешности решения xm(t) метода конечных элементов Галёркина получены в С—норме и имеют второй порядок точности равномерно по совокупности значений с и т.

Теорема 5. Найдутся такие константы £о > 0. rn0 6 N. 7 > 0, С > О, что для всех е £ (О.со], tri > то : £ In т < ^ существует, единственное решение xm(t) задачи, причем

\\xm(t)-x(t)\\<C/mz.

Как и в предыдущей главе для данной задачи даны определения т—границы и точной т—границы пограничного слоя. На основе результатов первой главы сформулирован алгоритм построения последовательности подвижных адаптивных сеток Шишкина А,пр. Адаптация к пограничному слою проводится за счет подбора параметра р кусочно-равномерной

(,Блаток И.А.. Стрыгш! В.В. Элементы теории сплайнов и метод конечных элементов для задач с пограшгкх'м. - Воронеж: ВГУ. 1!)97.

сетки Am,j,. Доказано, что адаптационный процесс сходится и получены оценки погрешности приближенного решения на предельном разбиении.

Теорема 6. Найдутпся такие константы So > 0, то 6 N. 7 > 0. С\ > 0, Сг > 0, что для любых s G (0,со], m > mg : s In т. < ^ алгоритм адаптации закончит, работу за число шагов k < С% ln т/ In 1п т, причем для решения. построенного на сетке А„,.р с параметром, р = рк. будет справедлива оценка

11-т,^ - || < Ci ln m/m2.

Основным результатом третьей главы является доказательство квазиоптимальности описанного проекционного метода, что в свою очередь позволяет доказать теоремы 5, 6.

Написан комплекс программ и проведены численные эксперименты. подтверждающие теоретические выводы в случае модельных задач.

В заключении автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю И.А. Блатову за постановку задач, постоянное внимание и поддержку данной работы.

Публикации автора по теме диссертации

(1] Добробог Н.В. О квазиоптимальности метода конечных элементов Га-леркина для сингулярно возмущенных, краевых задач на сетках Шишкина / Блатов И.А., Добробог Н.В. // Вестник СамГУ, естественнонаучная серия. - 2007. - N 6(56). - С. 119-132.

|2] Добробог Н.В. О методе конечных элементов Галёркина на сетках Шишкина для сингулярно возмущённых краевых задач / Добробог Н.В. /'/ Современные методы теории краевых задач: материалы весенней воронежской мат. шк. "Понтрягинские чтения - XIX". - 2008. - С. 80-81. ¡3] Добробог Н.В. М.к.э. Галёркина на апостериорно адаптирующихся сетках для сингулярно возмущенных краевых задач / Добробог Н.В. /' ПГУТИ, XVI российская научная конференция профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов университета. Тезисы докладов.- 2009. - С. 231-232.

[4] Добробог Н.В. МКЭ Галёркина и адаптационные алгоритмы для сингулярно возмущенных краевых задач / Блатов И.А., Добробог Н.В. // Сбор-пик статей IV междуиарод. науч.-техн. конф. "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем". Пенза. - 2009. - С. 18-20.

[5] Добробог Н.В. Об оценках норм семейства проекторах на пространстве типа конечных элементов и их приложениях / Блатов И.А., Добробог Н.В. / ' Воронежская зимняя мат. шк. км. Крейна - 2010: тезисы докладов. -Воронеж. - 2010. - С. 27-29.

¡6) Добробог Н.В. О проекторах на пространства тина конечных элементов л их приложениях / Блатов И.А., Добробог Н.В. '/ Современные методы теории краевых задач: материалы весенней воронежской мат. шк. "Понт-рягинские чтения - XXI". - 2010. - С. 34-36.

|7] Добробог Н.В. Ограниченность норм галсркипских проекторов для сингулярно возмущенных задач с несимметричным оператором / Добробог Н.В. , /' Актуальные проблемы информатики и математики. Труды математического факультета ВГУ. - 2010. - N 1. - С. 36-51.

[8] Добробог Н.В. Обоснование сходимости процессов адаптации к решению задач с особенностями / Добробог Н.В. // Сборник статей V международ. науч.-техн. конф. "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем". Пенза. - 2010. - С. 21-23.

[9] Добробог Н.В. Ограниченность норм галёркинских проекторов для сингулярно возмущенных краевых задач с несимметричным оператором / Добробог Н.В. / Сборник статей V международ, науч.-техн. конф. "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем". Пенза, - 2010. - С. 18-21.

|10] Добробог Н.В. Условная ^-равномерная сходимость алгоритмов адаптации в методе конечных элементов для сингулярно возмущенных задач /' Блатов И.А., Добробог Н.В. / Журн. вычнел. матем. и матем. физики. -2010. - Т. 50, N9.-0. 1550-1568.

Работы [1,10] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики» 443010, г. Самара, ул. Льва Толстого 23.

Отпечатано фотоспособом в соответствии с материалами, представленными

__заказчиком__

Подписано в печать 10.11.2010г. Формат 60х84'/1б Бумага писчая№1. Гарнитура Тайме.

_Заказ 772. Печать оперативная .Усл. печ. л.0.86. Тираж 120 экз.__

Отпечатано в издательстве учебной и научной литературы Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики 443090, г. Самара, Московское шоссе 77. т. (846) 228-00-44

Введение

1 Адаптационные алгоритмы решения операторных уравнений

1.1 Об операторах проектирования, зависящих от параметра

1.2 Сходимость алгоритмов адаптации для операторных уравнений

1.2.1 Постановка задачи.

1.2.2 Общая формулировка алгоритма адаптации. Теорема сходимости

2 Галёркинские проекторы и сходимость алгоритмов адаптации для сингулярно возмущенных задач в случае симметричного оператора

2.1 Постановка задачи.

2.2 Формулировка основных результатов

2.2.1 Численный метод решения задачи.

2.2.2 Алгоритм адаптации сеток в случае неизвестной границы пограничного слоя.

2.3 Галёркинский проектор.

2.4 Построение биортогональных функционалов.

2.4.1 Построение локальных функционалов на отрезке [-а.а]

2.4.2 Построение локальных функционалов в пограничных слоях.

2.4.3 Продолжение локальных функционалов на [—1,1]

2.4.4 Обеспечение выполнения условия биортогональности

2.5 Доказательства и вспомогательные результаты.

2.5.1 Квазионтимальность галёркинского проектора

2.5.2 Обоснование сходимости алгоритма I адаптации сетки параграфа 2.2.2.

2.5.3 Доказательства вспомогательных результатов

2.6 Результаты численного эксперимента.

3 Галёркинские проекторы и сходимость алгоритмов адаптации для сингулярно возмущенных задач в случае несимметричного оператора

3.1 Постановка задачи.

3.2 Формулировка основных результатов

3.2.1 Численный метод решения задачи.

3.2.2 Алгоритм адаптации сеток в случае неизвестной границы пограничного слоя.

3.3 Галёркинский проектор.

3.3.1 Некоторые свойства гапёркинских проекторов

3.4 Доказательства и вспомогательные результаты.

3.4.1 Некоторые свойства решения и функции Грина

3.4.2 Построение биортогонального базиса. Доказательство квазиоптимальности метода Галёркина.

3.4.3 Обоснование сходимости алгоритма адаптации I параграфа 3.2.2.

3.5 Результаты численного эксперимента.

В основе решения многих классов задач теории' операторов, прикладного функционального анализа, теории аппроксимаций лежат свойства операторов проектирования (проекторов), рассматриваемых в качестве операторов, действующих в банаховых пространствах.

В теории приближений - это исследование норм операторов ортогонального проектирования на различные пространства приближающих функций (пространства алгебраических и тригонометрических полиномов). К этому сводятся в частности вопросы поточечной сходимости рядов Фурье, сходимости интерполяционных процессов, наилучших средних квадратичных приближений, метод наименьших квадратов, сходимость и устойчивость метода Галеркина, построение безусловных базисов в различных функциональных пространствах (банаховых пространствах) и т.п.

В частности, расходимость рядов Фурье и интерполяционных процессов по различным системам функций обусловлена неограниченностью совокупности норм проекторов на линейные оболочки базисных функций в соответствующих нормированных пространствах.

Из курса функционального анализа хорошо известно следующее утверждение

Теорема (Банаха-Штейнгауза)

Пусть F - произвольное банахово пространство. Рп : F —> F - последовательность непрерывных операторов (не обязательно проекторов). Для того, чтюбы последовательность функции Pnf была сходящейся для всех f 6 F, необходимо и достаточно выполнение двух условий:

1) supn ||РП|| < оо;

2) Рп f сходится при п —> оо на некотором подмножестве F, всюду плотном в F.

Эта теорема, фактически, сводит изучение процессов аппроксимаций к доказательству ограниченности норм семейства интерполяциоиных и ортогональных проекторов на соответствующие пространства приближающих функций. Таким образом, рассмотрение операторов проектирования и применение теоремы Банаха-Штейнгауза лежат в основс математической теории обоснования сходимости интерполяционных процессов.

Можно сказать, что вопрос о сходимости интерполяционных сплайнов к непрерывной функции эквивалентен вопросу об ограниченности последовательности операторов проектирования.

Итак, получение оценок норм проекторов имеет огромное значение при обосновании численных методов, при решении задач теории приближений и ряда прикладных задач В ряде случаев эти оценки были установлены.

Например, для проекторов на пространства тригонометрических и алгебраических полиномов доказано, что нормы проекторов растут как логарифм с ростом степени полинома п [51].

Рп\\с-с >с\пп

В приложениях наибольший интерес имеет вопрос поточечной сходимости рядов Фурье, а из последней оценки вытекает, например, тот факт, что для любой точки существует непрерывная периодическая функция, ряд Фурье которой расходится в этой точке

Широкое распространение в последнее время приобрели сплайн-функции. По сравнению с классическим аппаратом приближения многочленами сплайн-функции обладают по крайней мере двумя важными преимуществами, во-первых, бесспорно, лучшими аппроксимативными свойствами на классах функций, имеющих зоны быстрого и медленного изменений, или функций с особенностями, во-вторых, удобством реализации построенных на их основе алгоритмов для ЭВМ. В связи с чем представляет интерес изучение и получение оценок норм операторов ортогонального и интерполяционного проектирования на пространства сплайнов.

Один из наиболее ярких и известных примеров, иллюстрирующий описанный подход - это проблема де Бора. Так при изучении процессов интерполирования сплайн-функциями К. де Бор [56] рассматривал операторы ортогонального в L2[a, Ь] проектирования пространства непрерывных функций на пространство сплайнов:

Ps: / € C[a,b] —>■ Psf 6 S(A,m,k)

В 1975 г. им было сделано предположение, что нормы операторов ||Psj|c->c ограничены при любом расположении узлов сетки. Проблема доказательства этой гипотезы получила название проблемы де Бора, еще известная как проблема об ограниченности констант Лебега.

В 2001 г. это предположение было доказано А.Ю. Шадриным [54]. H.JI. Зматраковым [40, 42, 43] и А.Ю.Шадриным [53, 54] были получены оценки норм семейств интерполяционных и ортогональных проекторов на пространства сплайнов в операторной норме пространства непрерывных функций.

Для интерполяционных проекторов на пространства сплайнов этими вопросами занимался С.Б. Стечкин с учениками [39]. В частности, Н.Л. Зматраковым [42, 43] были получены условия, близкие к необходимым и достаточным, для ограниченности интерполяционных проекторов и, соответственно, сходимости процессов интерполирования. Им было установлено, что нормы интерполяционных проекторов ограничены далеко не всегда, а лишь при некотором условии на разбиение области, а именно, был введен показатель локальной равномерности сетки и установлена точная оценка этого показателя рА = max ^ < (3 + V5)/2, |г'-7'|<1 tlj l!Qn||c-c < const.

На основе результатов А.Ю. Шадрина Ю.С. Волковым были получены оценки погрешности интерполяции сплайнами высоких степеней и доказана сходимость соответствующих интерполяционных процессов.

Оценки погрешности приближенных решений интерполяционных методов также сводятся к оценкам норм проекторов. Этим вопросам посвящены, например, работы А.Ю. Шадрина [53], Ю.С. Волкова

57, 58, 59], Н.Л. Зматракова [40, 42, 43], Ю.Н. Субботина [44], В.Л. Мирошниченко [38, 41]. Получение оценок норм семейства проекторов проводится посредством изучения свойств матриц Грама и коллокаци-. онных матриц в некоторых базисах пространства сплайнов (линейных В-сплайнов), а также оценок норм обратных к ним матриц [59].

Ограниченность в совокупности норм ортопроекторов на линейную оболочку вейвлет-функций в различных операторных нормах была положена в основу обоснования сходимости процессов аппроксимаций и построения безусловных базисов в различных функциональных пространствах [47], [48]. Условия существование безусловных базисов в некоторых гильбертовых пространствах формулируются в терминах интерполяции линейных операторов и сводятся к рассмотрению свойств семейства интерполяционных проекторов между двумя гильбертовыми пространствами (см., например, [49]). Ограниченность норм семейства проекторов обеспечивает существование безусловного базиса в образе оператора проектирования.

И наконец, перейдем к рассмотрению галёркииских проекторов. В 70-е годы прошлого века Ф. Наттерером, Дж. Нитше и Р.Скоттом [45], [46] был предложен аппарат доказательства сходимости метода Галёрки-на, основанный на построении и изучении свойств операторов проектирования. Эти операторы решение рассматриваемой задачи проектируют на пространство решений, построенных методом Галёркина. В связи с чем Ф.Наттерером был введен термин галеркинский проектор.

В дальнейшем оказалось, что предложенный ими подход является мощным аппаратом при теоретическом исследовании задач вычислительной математики. Ограниченность норм семейств галёркинских проекторов является базой для обоснования сходимости и устойчивости метода Галёркина, Галёркина-Петрова, Ритца, метода коллокации; схемы получения апостериорных оценок погрешностей приближенных решений и т.д.

Метод галёркинских проекций в России разрабатывался В.В. Стры-гиным [32, 33, 34, 35, 36, 37] и И.А. Блатовым [24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31]. Отметим также, что теория проекционных методов решения операторных уравнений активно развивалась в трудах воронежской математической школы, здесь в первую очередь нужно обратить внимание на работы М.А. Красносельского, Г.М. Вайникко и их учеников [60, 61).

Вместе с тем остается много нерешенных, важных в теоретическом и прикладном смысле, классов задач. Во-первых, это обоснование сходимости и устойчивости метода Галёркина для класса сингулярно возмущенных краевых задач, т.е. получение оценок норм соответствующих галёркинских проекторов. Во-вторых, это вопросы строгого математического обоснования сходимости подвижных адаптивных сеток при решения указанного класса краевых задач.

Состояние вопроса в рассматриваемой области характеризуется следующими основными достижениями.

Дж. Нитше, Ф. Наттерером рассматривались нежесткие задачи и доказательства ограниченности норм операторов проектирования сводились к изучению свойств проекторов для "главной части" дифференциального оператора, которая, фактически, представляет собой старшую производную с соответствующими краевыми условиями, либо эллиптический оператор в случае уравнений в частных производных. В этом случае соответствующий галёркинский проектор, как правило, оказывался просто ортогональным или интерполяционным проектором на пространства сплайнов.

Для сингулярно возмущенных задач эти результаты и методы не применимы по ряду причин. Во-первых, ввиду сильной неравномерности расчетной сетки. И, во-вторых, ввиду невозможности выделить простую главную часть оператора задачи, поскольку старшая производная "давится" малым параметром е.

Рассматриваемые для этого класса задач проекторы не являются ортогональными в Ь2[а,Ь] или интерполяционными, что усложняет их изучение. В связи с этим Блатовым И.А., Стрыгиным В.В. [24] был предложен метод оценки норм галёркинских проекторов, основанный на построении двойственного (биортогонального) базиса в тестовом пространстве. Представление галёркинского проектора через базис В—сплайнов и биортогональный к нему базис тестового пространства позволяет доказать равномерную по малому параметру и шагу сетки ограниченность норм проекторов.

В основе данной диссертационной работы лежат идеи и результаты описанные в монографии [24]. Авторы распространяют метод галёркин-ских проекций Ф. Наттерера, Дж. Нитше на случай краевых задачи с по-гранслоями. В [24] рассматривается метод Галёркина решения жестких краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, а также двумерных эллиптических и параболических задач на сильно неравномерных сетках Н.С. Бахвалова. Доказывается, что при достаточно малых е и 1 /т галёркинские приближения существуют и сходятся к точному решению задачи. Вопросы адаптации сетки к особенности в данной работе не затрагиваются.

Что касается второго из указанных классов нерешенных задач, то нужно отметить, что использование подвижных сеток, адаптирующихся (подстраивающихся) к особенностям решения задачи, является эффективным приемом повышения точности расчетов. Применение методов адаптации позволяет значительно повысить точность численного решения, эффективность вычислительных алгоритмов и значительно сократить компьютерные затраты времени и используемой памяти. Данный подход является универсальным при решении сингулярно возмущенных краевых задач.

Процесс адаптации сетки к особенностям состоит в определении подобласти, на которой для уточнения решения требуется переизмельчение сетки. В зонах значительных изменений градиентов решений проводится сгущение разбиения (за счет уменьшения шага сетки /?,), в других зонах - разрежение. Известны два типа адаптации - априорная и апостериорная. В первом случае параметры сетки выбираются до начала вычислений вне зависимости от получающихся результатов, во втором случае -в процессе решения задачи после анализа вычисленных промежуточных приближенных решений.

Вычислительные алгоритмы на основе адаптивного перестроения сетки имеют большую практическую значимость. Исследования в этом направлении восходят еще к работам С.К. Годунова [63], им посвящено огромное количество работ, в первую очередь это монография В.Д. Ли-сейкина [1], [2], А.Н. Гильманова [89], а также, например, [65, 66], [67{ - [75]. Однако эти результаты относятся в основном к алгоритмическим аспектам построения сеток и не затрагивают вопросы сходимости.

Несмотря па то, что подвижные адаптивные сетки активно и успешно используются при решении прикладных задач, например, при моделировании процессов гидро- и газодинамики, химической кинетики, аэроупругости, в задачах горения [89], методам их построения посвящена обширная литература (см., например, [1] и библиографию там же), как уже было отмечено, вопросы строгого обоснования сходимости адаптационных алгоритмов к некоторому предельном}' разбиению и получения оценок погрешности приближенного решения на этом предельном разбиении существенно менее изучены. Отсутствует математическое обоснование сходимости последовательностей адаптивных сеток в апостерпорпо ориентированных алгоритмах адаптации в рамках метода конечных элементов для сингулярно возмущенных краевых задач.

Ряд результатов по сходимости адаптивных сеток получены Г.И. Шишкиным и его исследовательской группой [3] - [13]. Автором рассматриваются разностные схемы решения краевых задач для уравнений в частных производных, старшие производные которых (либо некоторые из них) содержат малый параметр. Предложены разностные схемы на последовательно как априорно [3, 4, 5], так и апостериорпо [5, б, 7], адаптирующихся сетках. Для определения границы подобластей, на которых требуется уточнение решения, используются вспомогательные функционалы-индикаторы. В качестве индикатора может быть выбран градиент решения (например, [6,.7]) или мажоранта сингулярной составляющей решения [7], или мажоранта сеточной границы пограничного слоя [4]. Г.И. Шишкиным отмечено, что в апостериорных процедурах более выигрышной является адаптация на основе градиента решения [7]. В работах исследуется вопрос сходимости разностных схем и повышения точности разностной аппроксимации.

При априорном задании сетки предполагается, что известна первичная информация об особенности решения, например, о структуре пограничного слоя или оценках производных решения. В случае, когда эта информация недоступна, или ее получение связано с большими трудностями предпочтительны апостериорные процедуры,

В связи с вышесказанным, в настоящее время актуальными являются задача оценки норм галёркинских проекторов на пространства типа конечных элементов в случае сильно неравномерных сеток, а также построение основ математической теории сходимости алгоритмов адаптации для указанных задач. Решению этих вопросов и посвящена данная диссертационная работа.

Цель работы - получение оценок норм галёркинских проекторов, распространение метода биортогональных базисов для сингулярно возмущенных краевых задач в случае использования кусочно-равномерных сеток Г.И. Шишкина; разработка и исследование вычислительных алгоритмов апостериорной адаптации на основе метода конечных элементов Галёркина.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе выполнена следующая программа исследований.

1. Доказательство равномерной ограниченности норм галёркинских проекторов для некоторых классов сингулярно возмущенных краевых задач на сетках Шишкина.

2. Доказательство сходимости метода конечных элементов Галёркина для рассматриваемых классов задач.

3. Разработка и обоснование апостериорно ориентированных вычислительных алгоритмов адаптации для решения сингулярно возмущенных краевых задач в случае неизвестной границы пограничного слоя.

4. Получение оценок погрешности приближенных решений предложенного метода.

Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Во введении дана краткая историческая

Заключение

Методы исследования. При получении основных результатов используются методы теории функционального и математического анализа, теории операторов, теории аппроксимаций, обыкновенных дифференциальных уравнений, вычислительной математики.

Итак, в ходе диссертационного исследования получены следующие новые результаты в области теории операторов и вычислительной математики

I. Впервые получены равномерные по совокупности значений малого параметра и шага сетки оценки норм галёркинских проекторов на пространства сплайнов для семейства кусочно-равномерных сеток Г.И. Шишкина.

II. Метод оценки норм галёркинских проекторов, основанный на изучении двойственных базисов, распространен на класс сингулярно возмущенных задач на кусочно-равномерных сетках Г.И. Шишкина. Доказаны теоремы сходимости метода Галёркина.

III. Сформулирован абстрактный алгоритм адаптации для решения операторных уравнений в банаховых пространствах. Доказана теорема, обосновывающая эффективную работу данного алгоритма.

IV. Для двух классов сингулярно возмущенных краевых задач сформулированы алгоритмы адаптации расчетной сетки к пограничному слою. Доказаны теоремы о сходимости адаптационного процесса и получены оценки погрешности приближенного решения на предельном разбиении.

1. Liseikin V.D., Grid generation methods, Springer, Berlin, 1999.

2. Лисейкин В.Д. Обзор методов построения структурных адаптивных сеток // ЖВМ и МФ. 1994. - Т. 36, N 1. - С. 3-41.

3. Шишкин Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. Екатеринбург: УрОРАН, 1992.

4. Шишкин Г.И. Сеточная аппроксимация параболического уравнения конвекции-диффузии на априорно адаптирующихся сетках; е-равномерно сходящиеся схемы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. - Т. 48, N 6. - С. 1014-1033.

5. Шишкин Г.И. Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенных краевых задач на локально переизмельчаемых сетках. Уравнение конвекции-диффузии // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. -Т. 40, N 5. - С. 680-691.

6. Шишкин Г.И. Апостериорно адаптируемые (по градиенту решения) в аппроксимации сингулярно возмущенных уравнений конвекции-диффузии // Ж. Вычислительные технологии. 2001. - Т. 6, N 1, -С. 72-87.

7. Шишкин Г.И. Аппроксимация сингулярно возмущенных уравнений реакции-диффузии на адаптивных сетках // Математическое моделирование. 2001. - Т. 13, N 3. - С. 103-118 и - 1999. - Т.11, N 12. - С.87-104.

8. Shishkin G.I., Shishkina L.P., Hemker P.W. A numerical method with floating meshes for singularly perturbed problems with a concentrated disturbance in the initial data. // CWI Qurterly. 1997. - 10 (3,4). -P. 317-336.

9. Hemker P.W., Shishkin G.I., Shishkina L.P. The use of defect correction for the solution of parabolic singular perturbation problems. // ZAMM -Z. Angew. Math. Mech. 1997. - 77 (1). - P. 59-74.

10. Shishkin G.I. A posteriori piecewise uniform grids for singularly perturbed elliptic equations of a reaction-diffusion type. // Rus. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1998. - 13 (5). - P. 411-423.

11. Vulkov L.G., Miller J.J.H., Shishkin G.I. (Eds.) Analytical and Numerical Methods for Convection-Dominated and Singularly Perturbed Problems. Nova Science Publishers, Inc., N.Y., 2000.

12. Блатов И.А., Добробог H.B. О квазиоптимальности метода конечных элементов Галеркина для сингулярно возмущенных краевых задач на сетках Шишкина. Вестник СамГУ, естественнонаучная серия. 2007. - N 6(56). - С. 119-132.

13. Блатов И.А., Добробог Н.В. Об оценках норм семейства проекторах на пространстве типа конечных элементов и их приложениях // Воронежская зимняя математическая школа им. Крейна 2010: тезисы докладов. - Воронеж. - 2010. - С. 27-29.

14. Добробог Н.В. Ограниченность норм галеркинских проекторов для сингулярно возмущенных задач с несимметричным оператором // Актуальные проблемы информатики и математики, Труды математического факультета ВГУ. 2010. - N 1. - С. 36-51.

15. Блатов И.А., Добробог Н.В. Условная ^-равномерная сходимость алгоритмов адаптации в методе конечных элементов для сингулярно возмущенных задач // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2010. -Т. 50, N 9. - С. 1550-1568.

16. Блатов И.А., Стрыгин В.В. Элементы теории сплайнов и метод конечных элементов для задач с погранслоем. Воронеж: ВГУ, 1997.

17. Блатов И.А. О методе конечных элементов Галеркина для сингулярно возмущенных параболических начально-краевых задач. I // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т.32, N5.-0. 661-669.

18. Блатов И.А. О методе конечных элементов Галеркина для сингулярно возмущенных параболических начально-краевых задач. II // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т.32, N 7.- 0. 912-922.

19. Блатов И. А. О методе конечных элементов Галеркина для эллиптических квазилинейных сингулярно возмущенных краевых задач. I // Дифференциальные уравнения. 1992. - Т.28, N 7.- 0. 1168-1177.

20. Блатов И.А. О методе конечных элементов Галеркина для эллиптических квазилинейных сингулярно возмущенных краевых задач. II // Дифференциальные уравнения. 1992. - Т.28, N 10. - С. 1799-1810.

21. Блатов И.А. О проекционном методе для сингулярно возмущенных краевых задач // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1990. - Т. 30, N 7.- 0. 1031-1044.

22. Блатов И.А. Сходимость в равномерной норме метода Галеркина для линейной сингулярно возмущенной краевой задачи // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1986. - Т. 26, N 8.- 0. 1175-1188.

23. Блатов И.А., Стрыгин В.В. Сходимость метода Галеркина для нелинейной двухточечной сингулярно возмущенной краевой задачи в пространстве Са,Ь]// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1985. - Т.25, Ni7. С. 1001-1008.

24. Блатов И.А., Стрыгин В.В. О неулучшаемых по порядку оценках в методе конечных элементов Галеркина для сингулярно возмущенных краевых задач // Доклады Ан РАН. 1993. - Т. 328, N 4. - С. 424-426.

25. Блатов И.А., Стрыгин В.В. Метод коллокации четвертого порядка точности для сингулярно возмущенных краевых задач // Сибирский мат. журнал. 1993. - Т. 34, N 1. - С. 16-31.

26. Блатов И.А., Стрыгин В.В. Метод сплайн-коллокации на адаптивных сетках для сингулярно возмущенных краевых задач // Доклады АН СССР. 1989. - Т. 304, N 4. - С. 785-788.

27. Блатов И.А., Стрыгин В.В. Сходимость метода сплайн-коллокации для сингулярно возмущенных краевых задач на локально равномерных сетках // Дифференциальные уравнения. 1990. - Т. 26, N 7. - С. 1191-1197.

28. Блатов И.А., Стрыгин В.В. Сходимость метода сплайн-коллокации на оптимальных сетках для сингулярно возмущенных краевых задач // Дифференциальные уравнения. 1988. - Т, 24, N 11. - С. 1977-1987.

29. Стрыгин В.В., Сирунян В.В. Метод Галеркина для сингулярно возмущенных краевых задачи на адаптивных сетках// Сибирский мат. журнал.- 1990. Т. 31, N 5. - С. 138-148.

30. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука. 1980. - 352 с.

31. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н., Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1975.

32. Зматраков Н.Л., Стечкин C.B., Субботин Ю.Н., Труды Математи-' ческого института АН им. Стеклова. 1989.

33. Мирошниченко В.JI. Интерполирование функций с большими градиентами // Методы аппроксимации и интерполирования / Материалы всесоюзн. конференции. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. - 1981. - С. 98-107.

34. Зматраков H.JI. Сходимость интерполяционных кубических сплайнов при ограничениях на несколько соседних шагов сетки // Приближение функций полиномами и сплайнами. Свердловск: ИММ АН СССР, 1985.- Т. 138. - С. 83-94.

35. Зматраков Н.Л. Сходимость интерполяционного процесса для параболических и кубических сплайнов, Труды Математического института АН им. Стеклова, Т. 138. 1975. - С. 71-93.

36. Зматраков Н.Л., Субботин Ю.Н. Труды МИАН СССР. 1983. - Т. 164. - С. 75-99.

37. Natterer F., Uniform convergence of Galerkin method for splines on highly nonuniform mesh // Math. Comput. 1977. - V. 31. - P. 457-468.

38. Scott R., Optimal L°° estimates for the finite element method on irregular mashes // Math. Comput. 1976. - V. 30, N 136. - P. 681-697.

39. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 464 с.

40. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. -М: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 616 с.

41. Кондаков В.П. Замечания о существовании безусловных базисов в весовых счетно-гильбертовых пространствах и их дополняемых подпространствах// Сиб. мат. журн. 2001. - Т. 42, N 6. - С. 1300-1313.

42. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. - 249 с.

43. Тыртышников Е.Е. Методы численного анализа. М.: "Академия", 2007. - 320 с.

44. Каюмов А.Р. Точная по поряди оценка норм операторов ортогонального проектирования на пространства непрерывных сплайнов. // Журнал Доклады Академии наук. 2007. - Т. 415, N 2.

45. Шадрин А.Ю. О приближении функций интерполяционными сплайнами, заданными на неравномерных сетках // Мат. сб. 1990. - Т. 181, N 9. - С. 1236-1255.

46. Shadrin A.Yu. The Loo-norm of the Z,2-splme projector is bounded independently of the knot sequence A proof of de Boor's conjecture // Acta Mathematica. 2001. - V. 187, N 1. - P. 59-137.

47. Шайдуров В.В. многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989. - 288 с.56. де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. М.: Радио и связь, 1985.

48. Волков Ю.С. Условия ограниченности операторов сплайн-интерполяции. Новосибирск, 2006. - 18 с. (Препринт № 167 / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики им. С.Л. Соболева).

49. Волков Ю.С. О равномерной сходимости интерполяционных сплайнов и производных. // Сб. тр. МНК "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения". 2007. - С. 422-423.

50. Волков Ю.С. Обратные циклических ленточных матриц и сходимость процессов интерполяции для производных периодических интерполяционных сплайнов. // Сиб. журн. вычисл. матем. 2010. - Т. 13, вып. 3. - С. 243-253

51. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторынх уравнений. М.: Наука, 1969. - 456 с.

52. Вайникко P. M :, Уманский Ю.Б. Правильные операторы. // Журн. Функциональный анализ и приложения. Т. 2, вып. 2, 1868. - С.87-88.

53. Бабенко К.И. Основы численного анализа. Москва-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2002. - 848 с.

54. Годунов O.K., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем.- Москва: Физматгиз, 1963. 340 с.

55. Ильин A.M. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Матем. заметки. -1969. Т. 6, вып. 2. - С. 237-248.

56. Золотарёва Н.Д., Николаев Е.С. Методы построения сеток, адаптирующихся к решению краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго и четвертого порядков // Жури. Дифференциальные уравнения. 2009. - Т. 45, N 8. - С. 1165-1178.

57. Николаев Е.С. Метод решения краевой задачи для ОДУ второго порядка на последовательности адаптивно измельчаемых и укрупняемых сеток // Вестн. МГУ. Сер. 15. вычислительная математика и кибернетика. 2004. N 4. - С. 5-16.

58. Иваненко С.А. Адаптивно-гаромонические сетки. Москва: ВЦ РАН, 1997.

59. Богомолов K.JL, Дегтярев JI.M., Тишкин В.Ф. Вариационный метод построения высокоаспектных регулярных адаптивных сеток // Математическое моделирование. 2001. - Т. 12, вып. 5.

60. Дегтярев Л.М., Дроздов В.В., Иванова Т.П. Методы адаптивных сеток к решению в сингулярно возмущенных одномерных краевых задачах // Дифференциальные уравнения. 1987. - Т. 23, N 7. - С. 11611168. ^

61. Tourigny Y., Hulsemann F. A new moving mesh algorithm for the finite element solution of variational problems // SIAM J. Numer. Anal. 1998.- V. 35, N 4. P. 1416-1438.

62. Verfurth R. A posteriori error estimation and adaptive mesh-refinement techniques // J. Comput. Meth. Appl. Mesh. Engrg. 1996. - V: 50, N 1-3 - P. 67-83.

63. Ainsworth M., Oden J.T. A posteriory error estimation in finite element analysis // Comput. Meth. Appl. Mesh. Engrg. 1997. - V. 142, N 1. - P. 1-88.

64. Мажукин В.И., Самарский А.А., Костольянос О., Шапранов А.В. Метод динамической адаптации для нестационарных задач с большими градиентами // Матем. моделирование. 1993. - Т. 5, N 4. - С. 32-56.

65. Копысов С.П., Новиков А.К. Параллельные алгоритмы адаптивного перестроения и разделения неструктурированных сеток // Матем. моделирование. 2002. - Т. 14, N 9. - С. 91-96.

66. Бреславский П.В., Мажукин В.И. Метод динамической адаптации в задачах газовой динамики // Матем. моделирование. 1995. - Т. 7, N 12. - С. 38-78.

67. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

68. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. -М.: Наука, 1981.

69. Demko S. Inverses of band matrices and local convergence of spline projection // SIAM J. Numer. Anal. 1977. - 14, N 4. - P. 616-619.

70. Самарский А.А., Николаев E.C. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 590 с.

71. Калиткип Н.Н. Числснные методы. М.: Наука, 1977. - 512 с.

72. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.

73. Марчук Г.И., Шайдуров B.B. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979.

74. Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1969.- Т.9, N 4. С. 841-859.

75. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит, 2000. - 295 с.

76. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний: Учеб. Пособ. Для втузов. М.: Наука, 1987. - 384с.

77. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.- 541 с.

78. Деклю Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976. - 94 с.

79. Коул Дж. Метод возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972. - 274 с.

80. Гильманов А.Н. Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики. М.: Наука. ФИЗМАТЛИТ, 2000. - 248 с.

81. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1976. - 542 с.