Продолжение мер, заданных на квантовых логиках проекторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

* ,031'

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР

ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСЮГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

МАТВЕЙЧУК Марьян Степанович

ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕР, ЗАДАННЫХ НА КВАНТОВЫХ ЛОГИКАХ ПРОЕКТОРОВ

01. 01. 01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

КИЕВ - 1991

Работа выполнена в Казанском государственном университете им. В. И. Ульянова-Ленина.

Официальные оппоненты: член-кор. АН УаССР, профессо!

АЮПОВ Щ,А. ,

вед. н. с. , доктор физико-математических наук ГОЛОДЕЦ В. Я. ,

вед. н. с. , доктор физико-ма-темэтических наук САМОЙЛЕНКО Ю. С,

Ведущая организация: Институт математики СО АН

СССР

г- • СГ <

Зашита, диссертации состоится " О * ¿Ич()р 1 199 Х- г. в '¿-¿1 часов на заседании отешализировашюто Совета Д. 016. 50, 01 при Институте математики АН УССР по адресу: 252601 Киев 4,. ГСП, ул. Репина, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан "Ж" 199 г.

Ученый секретарь специализированного Совета /,/ ГУСАК Д.В.

/ CE^ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. В настоящее зреют интенсивно развивается теория- топологических алгебр, значительный прогресс которой достигнут во многом благодаря многочисленным приложениям в математической физике. У истоков теории лежат иск- . лючительно плодотворные работы Дж. Неймана по алгебрам one- . раторов. Обладая богатыми возможностями, алгебры Неймана стали в последнее время основой для развития некоммутативной теории мерн и интеграла, некоммутативной теории вероятностей.

Теория мерн является важной ветвью теории интеграла. В классическом интегрировании существуют две глобальных концепции: подход восходящий к Даниэли, основанный на понятии линейного функционала, и псдхсд Лебега, использушяй керу з качестве основного понятая.

Систематическое построение некоммутативного интеграла началось с работ сигала. Используя унитарно инвариантную меру, сигал построил пространства (p=l,Z) , элементами которых являются измеримые операторы.

Дальнейшее продвижение связано с работами Комба, развиэ-иего теорию нормальных весоз, я сушестзеняо опирается на решенную Хаагеруппом проблему характеризаши таких весов. Актуальной стала задача распространения интеграла Сигала яа нормальные веса в необязательно полуконечннх алгебрах Неймана. приншшиально сложно при этом содержательное оплса -ние интегрируемых объектов.

Оказалось, что дальнейший прогресс гожет быть связан с понятием билинейной соормы; Огедун кондеппаи Даниэля,'Шерстиев показал, что элементам! пространства могут служить интегрируемые билинейные формы. Б конкурирувдем подходе Хааге-руппу удалось реализовать операторами за счет неко-

торого расширения исходной алгебры и. гильбертова пространства. Позднее предлагались и другие конструкции. •

Исчерпывающая реализация схемы Даниэля придает' актуаль-

<

ность проблеме построения теорий меры на проекторах аденват-

ной схеме Лебега. При всех разумных предпосылках такой тео -рия основной задачей является: нахождение условий, при кого рнх мера продолжается до веса или линейного функционала на вел алгебру.

Наибольшую известность получила проблема линейности конечных мер. Она начала фщрировать в алгебраической теории решеток. Но по-настоящему активный интерес к задаче проявил-, ся после того, как на нее обратили внимание физики: в некоторой системе аксиом логика всех вопросов квантово-механи -ческой системы изоморфна решетке всех ортопроекторов алгебры Неймана, а мера / вероятностная / на множестве вопросов описывает состояние системы.

Проблема в следующем:

продолжается ли мера до интеграла на всю алгебру?

Цель работв. Диссертация посвящена построению'теории меры на квантовых логиках проекторов гильбертова простран -ства, в частности, решении отормутированной проблемы, опи -саншз неограниченных мер на решетках ортопроекторов и мвр на логаках косых проекторов. - ■

Методика исследований. Юшчевым элементом метода реше -ния проблемы в полуконечных алгебрах как для меры, заданной на решетке ортопроекторов, так и для меры, заданной на ло -гаке косых проекторов, является: использование экстремальных свойств меры на орбитах проекторов одинаковой относительной размерности. Шоследствии эти свойства существенно использовали и другие математики, занимавшиеся'данным вопросом.

Для: из.ученая б^-конечных мер широко применяется ап -парат билинейных Форм.

Научная новизна. Отметим приоритетный характер работы диссертанта, связанный с описанием вероятностных мер на ортопроекторах. Задача описания таких мер оказалась довольно трудной. Она возникла в. 1937 г. Тогда Дяе. Нейман и Игорей выяснили, что унитарно инвариантная вероятность в IV -факторе типа П^ продолжается до следа. Первый результат

для неунитарноинвариантных мер / в б'-конечных № -Факторах тала I / принадлежит Етасону / 1957 г. /. Метод Глисо- ~ на принпшгаально не применим к алгебрам типа II и III.

Следующий результат был получен диссертантом. Нйвден "

& т „ з/ ^^Р = £

ре

Заметим,что а алгебраической теории, решеток под идеалом понимается более узкий класс элементов, удовлетворяю -щий вместе с условием Г/ решеточному условии ;

гУ ^ е УГс . влечет е

В нашем определении идеала мн руководствуемся: следуй -щии. Для любого веса множество всех ортопроектсров, на ко -торнх вес принимает конечные значения, удовлетворяет усяо -виям I/ и 2/. Если вес еще и полуконечен:, то выполнено л условие 3/. Вес в алгебрах Неймана считается хорошш ана -логом интеграла.

Зарядом на идеале проекторов называется отображение

7Т> С , удовлетворяющее усато еиям (I) , (2) . Заряд V - конечен, если .^Ф {// Щэ) I со.

ре гге , '

В §3 охарактеризовали конечные заряды. Основной .результат параграфа

Т е о р е м а Г §3. Всякий конечный заряд на идеале

проекторов У ^/-алгебры 01 , не имеющей прямого слагаемого

типа , единственным образом продолжается до заряда на всю

решетку ¡7 . ■

Это утверждение, обобщающее теорему I §2, часто используется в дальнейшем. С его поющею изучается зарядн на логиках косых проекторов, описываются максятльнне меры на идеалах проекторов, доказывается еще ряд утверждений о игре.

Проблема описания мер на проекторах привлекала шогих математиков. Однако это еще не означало разработку принципиально различных методов решения проблемы. В связи с этим интерес представляет следующее. ,

В §4 диссертации приводится еще несколько существенно отличных от использованного в §2 методов решения наиболее вазной части теорема I §2:

Всякая вероятностная иера ц : П -г* [ог±] «а проекторах

У -алгебры, не имевдей гоямого'слагаемого типа Г ,

г

продолжается до нормального линейного функционала на всю алгебру.

Вначале мы приводим несколько новых способов доказа -гельства предложения С*) для алгебр типа П1. При этом существенно ■ используется- непрерывность алгебры и теорема I §3» которая позволяет свести проблему к описании мер маяорируе -мнх нормальными линейными функционалами. Предлагаемый здесь подход в некоторой сшсяе противоположен рассуждениям Блисо-на / для фактора типа I /. А именно, по мере Ц мы строим

некоторый оператор А^ , а уже затем устанавливаем, что он

является оператором плотности Неймана. Это влечет линейность ■ меры. Решение удается: провести благодаря тому, что проекторы из спектрального разложения А^ характеризуются определенными минимаксными свойствами.

В этом же параграфе.предлагается еще един вариант доказательства и для алгебр ша Щ. При этом мы используем сильную непрерывность вероятностной меры и возмэяность аппро-ксишши в сильной топологии фактора типа Ш алгебрами типа И ...

Б §5 предлагается обобщение ряда классических теорем. . теории меры. В частности, приводится аналог теоремы Данфорда-Петтиса об относительной слабой кошакткосЕИ семейства конечных. зарядов, аналог теоремы 1&тали - Хана - сакса. ' Т е о р е м а 2 §5 / аналог теареш Встали - Хана -• Сакса /. Пусть (X - локально модулярная: 7 № -алгебра, не нмешая- прямого слагаемого типа , 'С- точный нормальный

полуконечный след на 01 и - последовательность ве-

щественных зарядов на П . Предположим, что для каздого Г] существует конечный предел ^(р) — .

Товда заряды >?й (р) являются равностепенно / по Ь / Т'-

абсолютно непрерывными, т.е., если Т(р) ->о ,то

равномерно по И . При условии Т^бГ) -<+ функция Р-заряд на Г7 .

Менее обозримой оказывается проблема описания неограниченных мер на проекторах. В классическом случае мера, прини-, малдая какие угодно больше значения, может быть задана дзу-

Тогда ■Я — 0 Па и отображение р ара1 - авгомор -

аеб- ' I

Еизм решеток П и П .

Л

В §10 изучаются метрические свойства логики г - . Выгоняется, если проекторы р^ьр- , то,вообще говоря, не су-'

чествует решетка Г?а такой, что £ Па .Но всегда най-

сутся такой проектор [ е ф ж элемзнтн р , & £ , что

е Пр: ; /7^ • При этом, если р и х,

5лизка по норме, то I можно стбрать близким как к гшоекто->у р , так и к X .

Проекторы из ^ ввда р =• р^сС\/' , ще р^б П ,

ос 6 С и / - частичная: изометрм", назовем простая просторами.

Далее изучается возможность агшроксакаппл по норке лэ-5ого проектора р, ортогональным секейстюм простая проег-•оров, имеющих с р некоторую общуп фяксярованнуп решетку, ля любого подмножества Т1г С СС обозначим через СС С71")

[аиыеныауго У^ ^-алгебру, содержащую . Типичное угвврзде-ие параграфа»

ПредложениеЗ §10. Пусть проекторы р^ ё-т^ аковн, что р-р*—^. - . Тоща для любого и существу-1Т конечнне семейства простнх проекторов |ри(г ,|и|(|с ^ акие, что:

I/ алгебра$ (ри Р/-;акторг тша и

2/ р = 2-/Ч* при лпбом И и для ^

х? носителей и У^,,) проекторов р^ я <

ыполненн условия

з/1; 1

В §П вводится определение заряда на логике а рассматриваются элементарные свойства заряда.

Конечно аддитивное отображение У: Р ~> С назовем

зарядом, если сужение $ на любую подлогаку ГТр , С)б6-_

заряд, т.е. для сужения выполнены условия (I) , (2).

Если 9: С. _ зардп;, то отображение р также заряд. Следовательно,любой заряд У на Р представим

в виде — ^С*) +■ ) , где %(■)- эрмитовый заряд, т.е.

= для какого р(г р- и - косоэршто-

вый заряд, т.е. <Гр) = р) для каащого . Таким

образом задача описания зарящв на Р сводится к описанию эрмитовых и косоэрмитоЕнх вещественных зарядов.

Пусть (X ' - псяунонечная ^ -алгебра к ТГ - точный

нормальный полуконечный след на (X . Пусть Т&^ОСр?) -

' самосопряженный / кососопряженннй / оператор. Тогда равенст-

во

определяет на "Рг эрмитовый / косоэрмитовый / вещественный зардд. Мы убедимся, что этими пришрами по существу исчер -пывавтся все такие зарядгг.

Теорема! §11. Пусть 01 - полуконечная алгебра Неймана в сепарабельном гильбертовом пространстве, не имеющая прямого слагаемого типа . Тогда для любого вещественного заряда Р Я справедливо представление

& ¿р(Т р) для

где Т - ядерный оператор. Если зардд у> эрмитовый / косоэрмитовый /, то оператор Т можно выбрать самосопряженным / соответственно - кососопряженным /. "

Следующие параграфы посвящены доказательству этой теоремы. Так же, как а в случае решетки П , доказательство

теоремы существенно зависит от типа алгебры.

В §12 проводится: доказательство теоремы Е §11 для алгебры ВСН) . В силу предположений теоремы об алгебре Мм Это означает, что сужение зарада V на любуй педлогику П0 >

а £ б- _ линейный заряд. Отдельно рассматривается случай эрмитовою и косоэрштового зарядов. Когда заряд эрмитову можно показать, что ядерный оператор Т , фигурирующий в теореме I §П, совпадает с штрипей плотности А^ • построенной по сужению на орторешетку П . это достигается сведением утверядения к двумерному пространству и составлением некоторой системы уравнений. ■

Задача описания косоэрмитова зарада также сводится к случав конечномерного пространства.

В §13 ш переходим к изучению заряда на логике Р в полуконечной алгебре ОС общего вида.

Сравнительно элементарно теорема I §П доказывается: в случае эрмигового заряда. Для этого мы используем доказан-. ауа часть теоремы для 8(Н) из §12 я одно предложение §10, позволяющее аппроксимировать проекторы из 'р простыми проекторами. При доказательстве этой .части теоремы кн не ис-юльзуем типа алгебры и полной аддитивности заряда на ре-петках Па . это позволяет считать доказанным, что всякий

эрмитовый вещественный заряд V в ^*-алгебре типа ГП , сействушей в сепарабельном гильбертовом пространстве, име-

зт вид "¿(р) — Яг. , хде -ультраслабонеггрерывный

тштовый линейный ФункпиЬнал на алгебре. Таким образом, зся последующая подготовка 1 необходима для описания только сосоэрштового заряда.

Косоэрмитовнй заряд V: ^ Я. назовеи конечным,

!СТИ \ир * СО .

Пусть V - точный нормальный полуконечный след на 01 . Зсажем, что заряд "9 Т -ограничен, если

М5 < + « .

к

Основная цель параграфа - леммы 9 и 10. С их помощью мы сводим задачу- описания косозрмитового заряда к описании Т -ограниченного конечного заряда, а. также сможем перейти от косозрмитового заряда к некоторому заряду на идеале ортопро-екторов, что позволяет решить задачу в алгебрах бесконечного типа.

I е м м-а 9 §13. Если ^ - конечный заред, р о и

ГОне запись е - и означает, что е^ае II и е - ч -спектральное разложение оператора 1(р~ р*) , хде р^'^.

I е м и а 10 §13. Пусть Р - конечный косоэрмитовый заряд и проекторы р^б"^ таковы, что р% е^- ех е11е3 . Гоща для проектора те-Р^ } е^- е3 , справедливо равенство ) = ^/а) .

В §14 мы завершаем доказательство теоремы I §11. Рассматривается косоэрмитовнй заряд V . Аналогично тому, как это имело место для мер на ортопроекторах, можно предложить несколько способов решения проблемы описания заряда на дога-ке "Р .

Доказательства технически и вдейно наиболее просты, когда алгебра типа Пет . Оказывается существует последовательность проекторов П тачая, что епА1 7'ь(ен) оо и сужение 9 на проекторы р е- , р ^ для V и есть заряд ограниченный. Из ограниченности V мы выводим его конечность.

Определим вдеал = [е е /7/1 Ж^: 3 и еи } .

.Теши 9 позволяет корректно определить для: любой пары проекторов е,с|б ^. связанных отношением: существует проектор рб^ , для которого рчг е - о/ , функцию ^(в^) == .

далее доказываем, что существует конечный предел

р1) £ » когда с/ -?> о в сильной тополо-

гии. затем, используя лещу 10, убеждаемся, что -

заряд на идеале проекторов, согласно теореме I §3 значения-Н можно вычислить по формуле

/0) = Ч$') , где Наконец показываем, что для халд ого р€гР~.

Это означает справедливость теоремы, когда алгебра типа П

Г7

Если алгебра ОС конечного типа, то для доказательства теоремы, применяем идеи, схожую с идеей доказательства теоремы Г §2. А именно, аппроксимируем исходный заряд с любой степенью точности линейными зарядами.

Из теоремы I §ГГ несложно вывести

Следствие. Если заряд У на f - вероятность, то У совпадает с продолжением на ft некоторого / ае обязательно точного / нормального следа на ОС .

Сформулируем основные положения, которые выносягсзг на защиту:

1. Решена проблема описания конечных мер, заданных на решетке всех ортопроекторов алгебры Неймана. Доказан аналог теоремы Гписона. этот результат перенесен на конечно аддитивные зарядн в алгебрах Йордана самосопряженных операторов и в 41^*-алгебрах.

2. На основе решенной проблемы строится теорйя: мери

на квантовых логиках проекторов. В качестве аналога кольца ' множеств предлагается идеал проекторов. Описаны конечные меры на идеалах проекторов. Найдены аналоги ряда классических теорем теории меры.

3. Охарактеризован широкий класс неограниченных мер на идеалах проекторов. Найден рад достаточных усато шй для продолжения: неограниченных мер до интеграла на всю алгебру. Решена проблема списания неограниченных. d -конечных мер в полуконечных алгебрах аналогичная проблеме Dracoaa.

4. Изучены заряды на логике косых проекторов ^ алгебры Неймана. Найден аналог теоремы Бгясона на -р- для полуконечных алгебр. Показано, что вероятность на логике всех проекторов Фактора существует тогда и только тогда, когда фактор конечного типа.

Основные- результата диссертации опубликованы в следупщих.

работах::

1 Матаейчук. М.С. Конечные меры в аппроксимативна канечжм факторе; // Изв.вузов. Матекатшса.-1975.-К5.~С. 75-85.

2 Матвейчук М.С. Продолжение мер в аппроксимативно конечной факторе // Изв.вузов, Математика.-1977.-й2.-С.84~90.

3 Матвейчук М.С. О слабой компактности множества интегрируемых билинейных форм У/ Конструктивная теория функций и функцио». анализ .-1979.-вш.2.-С.52~60.

4 Мата ей чу к М.С. Конечные заряды в алгебрах Неймана // Изв. вузов. Математика.-1980.-)ё9.~С.81~82.

5 Матвейчук М.С. Одна теорема о состояниях' на квантовых ла-гиках /'/' Теарнтич. и мат. физта.-1980.~45.$2.~С.244-250.

6 Матвейчук М.С. Одна теорема о состояниях-' на квантовых логиках- II // Теоретич. и мат. физикз.-1981.~48.№2.-С.271--275.

7 Матвейчук М.С. Описание конечных мер в гтолукокечных: алгебрах: // Функцион. анализ? и его прил .-1981.-15. Вт.3.-С.41-53.

8 Матвейчук М.С. Конечные заряды в алгебрах; Неймзна // Конструктивная теория функций и функцлон. анализ!.-1981.-Йлг.3.-С.55-63.

9 Матвейчук. М.С. Продолжение мера с идеала проекторов // Изв. вузов. Математика.-1982.-№8.-С.73-75.

10 Матвейчук М.С. Одна теорема о состояниях на квантовых логиках: /состояния в алгебрах- .Йарцзна: / // Теорет. и мат. физика.-В®.-57. Ш.-С.465-468.

11 Матвейчук М.С. Линейность состояний в неассациатавных' ква-"нтовых. логиках-. // Изв. вузов. §изгшса.-1383.-Н1.-С.119~120.

12 Матвейчук М.С. Теорема Глисона в прямом интеграле факторов типа I // Изв. вузов. Матема тика.—1983.-12.-С.39—42.

13 Матвейчук М.С. Три способа решения задачи о мере на проект-торах. // Зункцион. анализ.-15€3.-Вьш.20.~С.93-105.

14 Матвейчук М.С. Подробное доказательство регулярности вероятностной меры в непрерывных: полуконечных алгебрах: // Конструктивная теория функций и функцион. анализи-1983 &Ш.4.-СЛ0-82.

15 Матвейчук М.С. Максимальные меры на вдеалйх проекторов и регулярность // Конструктивная теория функций и функцион. анализ.-1983.-Вып.4 .-С.82~аг.

16 Матлейчук' М.С. Заряды в непрерывных и дискретных алгебрах // Зеро ятноет, методы и кийернетккз.-1383.-Вш»19.-С.55-62.

17 Матвейчук М.С», Нассаиов Н.И. Описание: конечных, мер в

W -факторах; типа III // Изв-^рхш. Математика.-1384 12.-C.68-7I. ^ ^

18 Малвейчук М.С. Линейность меры з чиста бесконечных AW-алгебрзх- // Доклады АН Гз;ССР.-138б.-ФП.-С.12-14.

19 Мушхаря Д»Х.„ Матвей чу к; М.С. Заряды за лостпСе косых про» екторега // Доклады АН CCCP.-IS85.-283-H .-ОЛЗ-46.

20 Матвейчук М.С. Продолжение неограниченной меры да веса // Изв .вузов. Матештика.-1287.-)й.-С.47-50.

21 Matveichuic И. S., Theorems of the measures extea -

sion on -the Quantum logics // Первый всемирный контр, общества' мат. статистики: к теории вероятностей юг. Бер — яулли,, Ташкент, сеят. 1335 г.: Тез. дшаг.-Т.2-М.:,-IS®6-С.693.

?2 Matveichuk М. S., Finite measures on quantum logics // Proc. First Winter school on Measure theory. Czechoslovakia. - 1988.- B.77- 81.