Плюс-операторы и мера в пространстве с унитарнопорожденной полуторалинейной формой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

В нашей работе в линейном пространстве с полуторалинейной формой вида более общего, чем индефинитная метрика, вводятся и изучаются аналоги известных (для пространств Крейна) классов плюс-операторов и некоторые классы мер на проекторах самосопряженных относительно унитарнопрожденной полуторалинейной формы.

К задаче изучения нолуторалинейных форм, ассоциированных с операторами, приводит развитие, теории меры на логиках проекторов. Проблема описания вероятностной меры на проекторах, в физической терминологии - состояния, возникает в некоторой системе аксиом квантовой механики, предложенной Макки [.Mat:], Варадараяном [Var]. Множество 'Ра всех ограниченных идемиотентов самосопряженных относительно произвольной полуторалинейной формы »(-, •) образует квантовую логику. Актуальность изучения мер на логиках 'Ра подчеркивается, еще и следующей проблемой Биркгофа, см. монографию ([Bi.r], Проблема 110, стр.371, см. также проблему 88 стр. 547), которая звучит так: Разработать алгебру вероятностей для квантовой механики.

Хорошо известна теорема Глисона [Gle] (см,также [СКМ]), характеризующая состояния, заданные на множестве всех ортогональных проекторов (т.е. ограниченных идемиотентов, самосопряженных относительно скалярного произведения (•, •)) в гильбертовом пространстве и являющаяся наиболее фундаментальным результатом в этом направлении. Доказанная для сспарабельных гильбертовых пространств в 1957 году она с тех пор привлекает к себе большое внимание физиков и математиков. Знаменитая теорема Глисона послужила основой некоммутативной (и неассоциативной) теории меры и интеграла. Как отмечает сам Глисон [CJlej, метод решения, иснользовалный им, принципиально не применим к алгебрам операторов, отличным от В [И) (см. [Ole]).

Проблема описания мер на проекторах из факторов (Неймана) общего вида была поставлена Макки в монографии [Мае]. Вначале теорема-Глисона обобщалась на ортопроекторы из произвольной алгебры Неймана (см. например, [М80], [М81] и [Y83]), а затем и на косые проекторы [М91с]. При изучении меры на косых проектрах использовалсхт.» расслоение логики косых проекторов на слом проекторов, изоморфные логике ортогональных проекторов. Затем к слою проекторов применялся вещественный (не обязательно вероятностный) аналог теоремы Глисона.

Расслоение же проводилось с помощью полугоралинейной формы, задаваемой с помощью оператора, неотрицательного (следовательно, нормального) имеющего ограниченный обратный. Геометрия одномерных проекторов при этом в каждом слое оказалась тесно связанной с единичной сферой.

На линейных пространствах, наделенных индефинитной метрикой { = нолуторалинейной формой, ассоциированной с канонической симметрией) мера на проекторах впервые была изучена в работах [М91Ь], [М97Ь]. Л вероятность на. проекторах (в факторном случае) в индефинитных пространствах впервые была описана в [М97а]. В индефинитном случае геометрия одномерных проекторов оказалась принципиально иной. Отметим, что в случае алгебры В(Н) она. оказалась связанной с двуполостными и однополостными гиперболоидами вращения.

Как мы видели выше в обоих случаях существенное продвижение в изучении мер на проекторах достигало«, за счет введения полуторали-нейных форм, ассоциированных с ограниченным нормальным (первый раз с положительным, второй раз с симметрией) оператором. Так развитие теории меры на проек торах подвело к вопросу:

Не является ли всякая полуторалипейиая форма, а(-, •) ассоциированная с ограниченным оператором, имеющим ограниченный обратный, в некотором смысле комбинацией форм "сферического" и "гиперболического" типов? Можно сказать и по-другому: не является ли логика Т„ в некотором смысле комбинацией (суммой) логик сферического и гиперболического типов. Иными словами, не сводится ли изучение иер на логиках Ра к некоторой комбинации методов, испо львов пиния дли сферических и гиперболических логикi

Часть наших усилий была направлена, па решение этого вопроса. При этом в результате наших исследований возникла задача о некотором "обобщенном*' полярном представлении ограниченно обратимого оператора. Л именно, охарактерязовать все ограниченно обратимые операторы L), которые можно представить в виде произведения положительного оператора X и оператора Y унитарного относительно нолуторалинейной формы, ассоциированной с X. Как оказалось, онера/горы, обладающие обобщенным полярным разложением, тесно связаны с задачей о "хорошем аналоге". А именно, одним из результатов данной работы является следующий:

Полуторалинейная форма, ассоциированная с любым ограниченным

оператором, обладающим обобщенным полярным представлением, является ''хорошим" ано-логом. с точку, зрения 'иоставлспиой задачи.

Оказалось в частности (см. $1), что любой нормальный оператор, имеющий ограниченный обратный, обладает обобщенным полярным представлением. Л потому полуторалинейпая форма, ассоциированная с таким оператором, удовлетворяет предыдущему утверждению.

В результате исследований стало понятно (см. $$2 — 3 нашей работы), что существуют классы операторов в #(//), не охваченные ранее исследованиями и обладающие свойствами сходными со свойствами линейных операторов, изученных в ./-пространствах методами [Ак1 ].

Перейдем к более детальному изложению содержания нашей работы. Работа состоит из введения и шести параграфов, объединенных в две главы.

В нулевом параграфе излагаются необходимые для дальнейшего по нимания известные сведения из теории пространств с индефинитной метрикой, теории алгебр Неймана, а. также сведения из теории прямого интеграла гильбертовых пространств. В остальных параграфах излагаются непосредственно результаты нашей работы.

Первая глава состоит из трех параграфов.

В $1 рассматривается унитарно порожденная пол угорал и ней пая форма (=н.ф.) «(•, •) := (?/•, •), где -унитарный оператор. Вводится множество частичных изометрий IV :— {ш : \J-wV* — —ш}. С помощью множества. ¡V оператор V разбивается на "сферическую" и "гиперболическую" компоненты. Показано, что наиболее интересен случай, когда гиперболическая часть унитарного оператора совпадает с самим оператором. Изучаются условия V —самосолоряжениости, V — положительности операторов. Установлена связь этих понятий с —самосопряженностью и положительностью для специальной канонической симметрии Зц. Приводится один критерий о обобщенном полярном представлении. Ставится ряд проблем, строятся примеры. В последующих параграфах рассматриваются только формы, имеющие обобщенное полярное представление.

В $2 вводятся и —положительные и V — равномерно положительные подпространства. у+ и 7++, изучается спектр и его геометрия для ¿/—не отрицательных и V —дисситгативных операторов. Для V —неотрицательных операторов дается аналог спектральной теоремы. Все результаты этот параграфа имеют полные аналоги в ./—пространствах.

Иесжимающие и плюс операторы отражают специфику пространств с индефинитной метрикой. Обозначим через R(U'2) алгебру Неймана,, порожденную многочленами от унитарного оператора U2, а через H,++(U¿) обозначается множество всех неотрицательных, имеющих ограниченный обратный, операторов им Il(V¿), Далее рассматриваются множества в'' :--

{UH' : 1Г 6 7+}, ,9++ {UH'\ )V 6 Т++}.

$3 является наиболее значительным (по обьему) параграфом всей нашей работы. В нем водятся и изучаются аналоги несжимающих и плюс-операторов в пространстве с упитарпопорожденной п.ф. а(-, •). Унитар-монорожденная п.ф. объединяет в рамках одного подхода скалярное произведение и индефинитную метрику.

Определение 1. Оператор V Е R'{U2) назовем:

а—плюс-оператором, если VК € 7~г, V/C € 7+;

Ниже запись х € понимается следующим образом. Существует линеал 7 6 /3++ такой, что х 6 7.

Определение 2. а—плюс-оператор V назовем:

1) строгим, если существует число А > 0 такое, что \Vx, Vx]u > )\[х,х\и, для всех х //. 'Здесь [•,•](/ := (.Дг, •);

2) полу строгим, если существует А > 0 такое, что [Vt¡ Vx]rj > А [ж, а?];;, для всех а? €

3) почти строгим, если для любого <: > 0 существует ненулевой центральный проектор Д (6 Il(U2)) такой, что [Vx, Vx]a < с[аг,ж]а, для цекотоых х 6 Да? = ж и для любою ненулевого центрального про ектора Д существуют ненулевой центральный проектор l¿ С Д и число S > 0 такие, что [Vx, Vx]n > S[x,x\rr, Va? € I¿x — ж;

4) не строгим, если для любого с > 0 существует такой а? С р>++. что

= я и [Кг;, Vx]u < ф?, х]а.

Для случая сепарабельного пространства. II любой оператор Z из R(U2) можно отождествить с функцией z{k)lt на спектре a[ü2). Кроме того, аналогами чисел (К) и max{0, fi-(V)}, известных для J — пространств в нашем случае являются функции 0V(t.) и

В пункте 1 $3 изучаются полустрогие операторы. Следующие .две теоремы дают тинчные у тверждения этою параграфа.

Теорема 23. Пусть V а— плюс-оператор 11 Z — (z(t)/t) € R++{V~), Тогда следующие условии эквивалентны:

a) V#V- Z~2 >>Ju > 0;

tí) ZV-p а в н о м cp 11 о p а с тя г и о а ю щ и й о п ер а т ор;

в) ру{ь) > 7"!' г~'*(Ь) > г~'г(1) - 7 > я.в. ¿ля некоторого 7 > 0.

Теорема 24, Пусть V а—плюс-оператор. Тогда следующие условия зквивалентны: 1) V с точностью до множителя из И'Г+{1''1) равно.черно растягивающий; 2) V фокусирующий полу строгий а— плюс-оператор.

Из теорем 23 и 24 вытекает

Следствие 27. Всякий фокусирующий полу строгий оператор есть прямая конечная сумма строгих фокусирующих операторов.

В пункте 2 $3 изучаются почти фокусирующие операторы.

Следующая теорема 28 объединяет теоремы 23 и 24. Интересно при этом учесть следствие 29.

Теорема 28. Пусть V а—плюс-оператор. Следующие условия лыи-валептиы:

г) V с точностью до множителя из И++(1Н) почти равномерно растягивающий оператор;

и) V-полустрогий почти фокусирующий опера,тор;

иг) ¡3^ > 0, /Зу(£) — > 0 п.в. и существенная нижняя грань этой разности равна пулю;

¿у) существует оператор 2 € К++Ш2) такой, что У&У -2 >=',</ 0.

Из теорем 23 и 28 вытекает

Следствие 29. Пусть У—а-плюс-оператор. Тогда не. существует операторов Z\> € Я++([72) таких, что V равномерно растягивающий и в то же время '¿ФУ почти равномерно растягивающий.

Для почти равномерно растягиватощих операторов нет аналога теоремы 281).

Предложение 30. Пусть V— а-плюс-оператор с точностью до множителя 2 6 И++(иг) почти равномерно растягивающий. Для любого о > 0 найдется а- -плюс-оператор У$ с точностью до множителя из 1{++{1'2) равномерно растягивающий и такой, что ЦК — <

8 конце $3 приводятся примеры а— плюс-операторов, не имеющие аналогов в .7 — пространствах, В частности: пример почти равномерно растягивающего оператора, пример полустрогого почти фокусирующая оператора, пример почти строгого почти фокусирующего оператора.

$4 носит в основном технический характер. В нем рассматриваются различные типы проекторов и некоторые взаимосвязи между логиками проекторов, вводятся новые типы операторных: ал№бр и некоторая классификация мер на проекторных логиках, В частности вводится понятие

ЦТ*и — алгебры. Пусть М алгебра Неймана в Н и V 6 М1'. Алгебра М называется ]¥*!! — алгеброщ если М С К'(1/2). \¥*и~алгебра называется IV* Р— алгеброй, если хотя бы один из проекторов Рц := + ■>) или 1'ц := — здесь Зц каноническая симметрия из $1, конечен относительно алгебры Неймана М. В противном случае М называется \У* К — алгеброй.

В $5 в теореме 1 в терминах полуследов описываются меры постоянные на максимальных положительных (отрицательных) проекторах из Ти, а. в теореме 2 описываются вероятностные меры. Таким образом, главными результатами параграфа являются следующие две теоремы:

Теорема 1. Пусть д : Ти —> Л мера на \¥*1) — алгебре М. Следующие условия эквивалентны: г) ¡л. есть сумма полуследов; и) ¡л. постоянна. на множестве всех максимальных положительных (максимальных отрицательных) проекторов; ш) /х(е+) = д(р),Ур € 'Рц и ¡л(е~) —

Теорема 2. Пусть ¡л : Ти —> К+ вероятностная мера на V/*!)-алгебре М (тип М отличен от /2). Тогда существует в М ненулевое слагаемое, которое являлется Ш* Р-алгеброй, сужение р. на него есть снова вероятность и ¡л есть сумма полуследов.

Основная цель $6 - изучить вещественные меры на логиках проекторов из индуктивных пределов алгебр Неймана,. Состояния для такой ситуации ранее рассматривались в работе [М93]. Обобщение развитой работе [М93] техники на. вещественные меры оказалось невозможным в силу следующего обстоятельства. В отличии от положительных мер для вещественных мер принципиально невозможно оценить вариацию вещественной меры на. проекторе е + /, зная ее вариацию на ортогональных слагаемых е и /. Тем не менее, как показывает предложение 5 этого параграфа, для линейной составляющей индефинитной меры полезная оценка такою типа возможна. Этот счастливый факт и позволяет установить главный результат $6 - теорему 12.

Пусть {.Ма} неубывающая сеть алгебр Неймана и пусть М : — (Ц* Ма)". Алгебра М называется индуктивным пределом се ти {Ма}. По аналогии, логика МГ всех ортогональных проекторов из М называется индуктивным пределом логик {М%} всех ортогональных проекторов из {Ма\.

Назовем функцию и : Ц* -4 Н вещественной мерой, если:

1) "(р) = ЕФ/з) котя, р - Ерр Р-, рр € и

Р Р

2) ¡Hjíp) := \u(pt)\ : для любого разбиения p -= ]Cp¿} < +oo,

Vp^li^'.

Далее приводится естественное обобщение этот понятия на. меры, определенные на индуктивном пределе гиперболических логик 'Р;у(.

Теорема 12. Пусть W*U— фактор М счетного типа (тип М отличен от }2) есть 'индуктивны,й предел W*U— факторе» М,х, отличных от ¡2- Тогда, если: 1) М W* F—фактор или 2) М и все Л4,х W* К—факторы, то всякая индефинитная мера v : lju, —¥ II

продолжается до индефинитной меры на 'Рц(М).

Основные положения выносимые на защи ту:

1) Найдено разложение ограниченно обрат имого оператора,, обладающего обобщенным полярным представлением, на сферическую и гиперболическую части, что позволяет продвинуть теорию пространств с индефинитной метрикой.

2) Отроится теория плюс-операторов в пространстве с унитарно но рожденной п.ф.

3) Описаны вероятностные меры: в пространстве с унитарнонорож-денной п,ф.

4) Изучено продолжение индефинитной меры на индуктивных пределах гиперболических логик, идеалах конечных проекторов и слабые пределы.

Результаты работы докладывались: на научном семинаре в УлГ'НУ. на итоговой нучиой конференции за, 1999г. в Казанском государственном университете, на К)"межвузовской конференции в г.Самаре (май 2000г.), на международной научной конференции в г.Казани (октябрь 2000г.),

Основные результаты опубликованы в работах [Vil - VI5].

$0. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

В настоящем параграфе приводятся основные сведения о »/-пространствах и алгебрах Неймана, на, основе которых развивается наша теория.

I. Приведем в начале некоторые определения и свойства пространств с индефинитной метрикой. Будем в основном придерживаться обозначений и определений монографии [Azi]. Мы будем работать с пространствами Крейна. В теории линейных операторов в пространствах Крейна, Н часто рассматривают Н как гильбертово пространство, в котором индефинитная метрика, определяется следующим образом. Фиксируется каноническая симметрия J. Так называется оператор J из множества В(II) всех ограниченных операторов, действующих на //, для которого J~] ~ J* = J. Симметрия J определяет канонические ортопроекторы lJ± по формулам

P+,= L[ + J)y Р~ := - J)

А- ¿>

и каноническое разложение

II = Я+ Ф Я", /;± р±//;

а также индефинитную метрику (—.¡-метрику) [ж, у] := (Jar, ?/), (аг, ;// 6. Я), где (•, ■) исходное скалярное произведение в Я. Вектор ж G II называется положительным (отрицательным, нейтральным) в зависимости от того будет ли [ж, ж] > 0, [я, ж] < 0 или [а:,аг] = 0 соответственно. Множество всех положительных, отрицательных и нейтральных векторов пространства И обозначается соо тветственно через 0 и (Р. Кроме того вводятся множества

:= /?++ U /Г := (Г- U 0°.

Первая часть нашей работы посвящена распространению теории операторов в пространствах Крейна на. пространства., оснащенные иолу-торалинейной формой. Полуторалинейной формой на Я мы называем отображение а : // х /:/ С линейное но первому аргументу:

а(А] хi + А3я?3, ?/) = A i r?.(íí7j, у) 4. A2rt(a?2, w), ( l)

(г., x-i £ Ii, Л x} X-i £ С) и эрмитово симметричное:

а(у, ж) — а(ж, у), (ж, ;?/£//}. (2)

Равенства (1), (2) влекут аптилииейностъ формы а(-,-) по второму аргументу:

а(ж> А,:;/'. + А2у2) - А,а(ж, у.) + Х2а(х, у2),

(г/1, У2, г; £ /У).

Линейный ог раниченный оператор V в И называется:

- J-диссипативним, если У|Уж,ж] > 0, при всех ж 6 //;

- J-самосопряженным, если [Vx, у] — [ж, Vyj, при всех ж, у € II;

- J-несжнмающим, если [Уж, Vx\ > [ж, asj, при всех х £ И; -плюс-оператор ом, если С ß++.

Для плюс-оператора. V определены числа fi+(V) = inf{[Vx, Vr\ : [ж, х] - 1} (> 0) и (V) = .Ч7ф{ —[Vx, Vx] : [ж, ж] = -J}.

Плюс-оператор V называется: строгим, если fi+(V) > 0; в противном случае V называется нестрогим; фокусирующим, если существует такая постоянная j > 0, что [Vx, Vx] > 7||ж|р, Уж £ ß+; равномерно растягивающим, если существует такая постоянная ß > 0, что

2. Во второй главе работы интенсивно исподьчуется понятие алгебры Неймана (= а.И). В связи с этим дадим необходимые определения и приведем нужные свойства, связанные с а.Н. Подробно с .алгебрами Неймана можно познакомиться, например, но монографии [Uix], Основные