Линейные операторы в пространствах с индефинитной метрикой и квадратичные гамильтонианы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

1. Предварительные сведения

1.1. *-представления,ассоциированные с линейными

S-эрмитовыми функционалами . II

1.2. Групповые *-алгебры.

2. Квадратичные мажоранты полуторалинейных S-эрмитовых форм

2.1. Неотрицательные квадратичные формы.

2.2. Комплексификацмя

2.3. Инвариантные мажоранты

2.4. Минимальные мажоранты.

2.5. Представимые мажоранты.

2.6. Задача 1$>ейна.

3. Квадратичные состояния на #-алгебрах Вейля

3.1. *-алгебра Вейля над (пре)симлектическим пространством и квазисвободные *-автоморфизмы

3.2. Состояния на *-алгебрах Вейля. Различные результаты.

3.3. Квадратичные состояния. Чистые квадратичные состояния.

При исследовании устойчивости решений дифференциального уравнения ж it) +А frrt) + Bx(t) - О (I) второго порядка с операторными ограниченными самосопряженными коэффициентами А , В часто пользуются следующим приемом (см. напр. И) : уравнение (I) приводится к уравнению (относительно hoeой неизвестной У ) ijj УС*} -}Hy(f), (2) где Н - ограниченный самосопряженный оператор во вспомогательном гильбертовом пространстве со скалярным произведением (,) , а - самосопряженный оператор в том же гильбертовом пространстве, удовлетворяющий соотношению I . При этом оператор "J Н , не являясь вообще говоря самосопряженным по отношению к ( , ) , является самосопряженным по отношению к индефинитному скалярному произведению ,'V-r (' •) в следующем смысле:

Рассмотрим задачу Коши для уравнения (2) ; пусть U(t)'. —— соответствующий пропагатор: ijtwt) = }нит, U(o) =i,U(t+tD)-u(t)u(tj.

Оператор U(t) при любом t € IR оказывается унитарным по отношению к {,} оператором: и некоторые вопросы устойчивости решений уравнения (I) приводятся к задаче вычисления максимального неотрицательного инвариантного, относительно действия группы {U ("t)l-t подпространства L пространства %% , т.е. такого замкнутого подли-неала L пространства fty , что при всех "t^lR U("t)L^L ? y,V>2 о (VyeL) (з) и такого, что L - максимальный по теоретико-множественному включению линеал среди линеалов, удовлетворяющих (3). Б частности, система (I) устойчива

3 И е IR+ VteIR llU(-fc)ll ^ И, тогда и только тогда, когда существует такое максимальное неотрицательное инвариантное подпространство L , что

Ь = L + L"4'1 , W где : lfVX-в L) (X'Z } при этом автоматически оказывается LrvL ^ = { 0} . Если в случае (4) положить vy< eL, уг 6L±U q (у«*у*) :={y< ,y<} - {уг, уг} , то отображение C| будет квадратом гильберивой нормы на , инвариантной относительно действия всех U(+) (UIR), и кроме того будет выполняться неравенство

1{У,Уо}1г ^(qyHqyo) (vy, (5) т.е. q будет по терминологии [2, с. 58, 77] квадратичной мажорантой формы {, }

В том случае, когда система не является устойчивой, { U(t) }+4|£-инвариантной квадратичной мажоранты формы уже не существует (однако может существовать максимальное неотрицательное инвариантное подпространство). В качестве естественного обобщения соотношения (5) в данной работе предлагается такое:

КУ.У.Я* * (qy)(qy0) (Vy,y0 eD4), (6) где q уже есть неотрицательная квадратичная форма, заданная лишь на некотором подлинеале "D^ линеала i/J- » Е этом случае мы будем говорить об обобщенных квадратичных мажорантах формы { ,) .

Если положить

Dq := L + L41 , (7) qty.+y».): *{У<,У<ЫУ*,УЛ (Vy< 6L,y4eL4v), (8) то нетрудно показать, что отображение С| корректно определено (хотя сумма (7), вообще говоря, не дизъюнктна) и что CJ удовлетворяет соотношению (б); если при этом подпространство

L {Utt^gj^-инвариантно, то и С| также вариантно.

Обобщенная квадратичная мажоранта формы {,} - это объект, вообще говоря, более общей природы, чем максимальное неотрицательное подпространство, поэтому возникает вопрос: какое отношение имеют квадратичные мажоранты к максимальным неотрицательным подпространствам? ОтЕет на этот вопрос дается в пункте 2.5. Представимые мажоранты, где устанавливается взаимно-однозначное соотношение между максимальными неотрицательными подпространствами и минимальными по отношению к некоторому частичному порядку мажорантами формы {,} . При этом оказывается верным следующее утверждение (теорема 2.5.1.): для того чтобы ограниченный {,1-унитарный оператор U обладал максимальным неотрицательным инвариантным подпространством, необходимо и достаточно, чтобы U обладал инвариантной минимальной мажорантой формы {., ]

В теории устойчивости решений уравнений типа (I) ванную роль играет существование специального максимального неотрицательного инвариантного относительно действия некоторого двояко-~У -несшшавдего оператора т К Ту,Ту} г <v,y} , {T*V»Т*у}- ) подпространства пространства . Именно, требуется найти такое максимальное неотрицательное инвариантное подпространство L ? что

Iff(TrL) I > 1 т.е. спектр сужения Т на L лежит вне открытого единичного круга). Для {}} -унитарного оператора Т удовлетворяющего дополнительному условию

1+"})Т(1~7>) -компактен, (9) эта задача была положительно решена М.Г. Крейном (1984 г.) [з] . В настоящей р'аботе будет показано, что при выполнении условия (9), эта задача имеет положительное решение вообще для любого двояко- -несжимающего оператора Т (теорема 2.6.1).

Вернемся к соотношению (5). Если вместо Ь^ взять линейное (пре)симплектическое пространство "Z , а вместо (пре)симплектическую (билинейную) форму 6" : Z *"Z (R , то тогда условие (5), иыееющее в данном случае вид б"(У,Уо)2 * (qy1(qy0) (у, у, е Z ) Go) является необходимым и достаточным [4,5] для того, чтобы квадратичная форма 2q была корреляционной функцией некоторого квазисвободного состояния на * -алгебре канонических коммутационных соотношений в форме Вейля. В разделе 3. Квадратичные состояния на * -алгебрах Ве^ля мы продолжим отображение "квадратичная мажоранта состояние" на множество обобщенных квадратичных мажорант так, что образом квадратичной мажоранты снова будет состояние. Множество этих состо-- ш'й (квадратичных©стояний) будет обобщением множества квазисвободных состояний с нулевым средним. При этом окажется верным следующее утверждение (теорема 3.3.1): для того чтобы квадратичное состояние было чистым, необходимо и достаточно, чтобы ассоциированная с ним мажоранта формы б* была минимальной. Последний результат вместе с вышеупомянутой теоремой 2.5.1 позволяет свести в так называемых регулярных пространствах задачу существования чистых квадратичных состояний, инвариантных относительно действия заданной группы квазисвободных ^-автоморфизмов *-алгебры Вейля, к задаче существования специального максимального неотрицательного инвариантного относительно некоторой группы унитарных в индефинитной метрике операторов подпространства. (Это пространство с индефинитной метрикой {,} строится так : fyfr := стандартная комплексификация Z, {*,'} := продолжение формы Д° полуторалинейной формы на Ъу ). При этом построение чистого инвариантного квадратичного состояния является естественным обобщением процедуры диагонализации квазисвободных * -автоморфизмов и квадратичных гамильтонианов, порождающих эти ^-автоморфизмы, посредством линейного преобразования Боголюбова (см. напр. 16,7,8]).

Поскольку линейное преобразование Боголюбова, диагона-лизующее произвольно заданный квазисвободный *-автоморфизм, существует не всегда (например, автоморфизм масштабных преобразований недиагонализуем), естественно возникает задача существования чистых квадратичных инвариантных состояний. Пример 2.3.1 (вместе с теоремой 3.3.1) показывает, что в общем случае эта задача имеет отрицательное решение. Б случае т.н. регулярных пространств задача существования чистых квадратичных состояний, инвариантных относительно заданной коммутативной группы квазисвободных ^-автоморфизмов имеет (см. замечание 2.5.4) не менее общий характер, чем проблема Филлипса (см. напр. 19]).

Работа выполнена в НИИМ ВГУ и докладывалась на семинаре по математическим методам квантовой теории ИМ АН УССР (доктор физ.-мат.наук. Фущич В.И.), 1981 г.; в УШ-й Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах, г. Рига, 1983 г.? в Воронежских зимних математических школах 1980 - 1983 г.г.; на семинаре по индефинитной метрике ВГУ проф. Иохвидов И.С.), 1979 - 1984г.г., а также на научных сессиях Воронежского госуниверситета, 1979 - 1984 г.г., и конференциях молодых ученых НИИМ ВГУ, 1980 - 1983 г.г.

Диссертация состоит из введения, тр'еЬс разделов и списка литературы. Первый раздел - предварительные сведения. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [27 - 32] .

1. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. - 536 с. .

2. Bogna'r J. Indefinite inner product S/яасes. Berlin-Hziotelierq- New York: Sfiringer-Verlaq, 19 22 4 ft,

3. Крейн М.Г. Об одном новом принципе применения метода неподвижной точки в теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой. ДАН СССР, 1954, т. 154, № 5,с. 1023 1026.

4. Млписеаи. J-.yerteuneA . Quasi-free states of the C.C.R. Algeira and Во у tit iubov "transformations.- Commun. math. Pkys,, 196*, и. 9} tir. 3, ft. 293-302.

5. Холево А.С. Исследования по общей теории статистических решений. Труды Математического института им. В.А.Стеклова АН СССР. Т. 124. М.: Наука, 1976. - ИГос.

6. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. М.: Наука, 1965.- 236 с.

7. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1973. 480 с.

8. Дадашев Л.А., Кулиев В.Ю. Диагонализация билинейных бозе-гамильтонианоЕ и асимптотическое поведение порождаемых ими гейзенберговых полей. Теор. и мат. физ., 1979,т.39, К 3, с. 330 346.

9. Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Линейные операторы в пространствах с индефинитной метрикой и их приложения. В кн.: Математический анализ. Итоги науки и техники, М., ВШИТ И, 1979, т.17, с. 115 - 207.

10. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. М.: Мир, 1982. 512 с.- 105

11. ЭМХ Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. И.: Мир, 1979. 423 с.

12. Диксмье С* -алгебры и их представления. М.: Наука, 1974. 400 с.

13. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1972. 336 с.

14. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.

15. Коллатц JI. Функциональный анализ и вычислительная математика. M.s Мир, 1969, 447 с.

16. Шефер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971, 359 с.

17. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. I. М.: Мир, 1977. - 357 с.

18. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. 544 с.

19. Быков Я.В., Боташев А.И., Мерзлякова Г.Д. О символическом методе решения краевых и начальных задач линейных операторных уравнений. Дифф. уравн., 1974, т. 10, № 12,с. 2192 2207.

20. Ис Ennis B.W. Fundameniat reduclblkly of seff-ad joint operators on К rein space, "Journal of operator theory , 1982, v\S, Nr. 2,ji. 2f9 225.

21. Рид M., Саймон Б. Методы современной математической физики Т. 2. М.: Мир, 1978, - 395 с.

22. Гинзбург Ю.П., Иохвидое И.С. Исследования по геометрии бесконечномерных пространств с билинейной метрикой. -Успехи мат. наук, 1962, т. 17, К 4, с. 3 56.

23. Хацкевич В.А. Об одном применении принципа сжатых отображений в теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой. Функц.анализ,1978, т. 12, К I, с. 88 - 89.

24. Крейн М.Г., Шмульян Ю.Л. 0 плюс операторах в пространстве с индефинитной метрикой. Матем. исследования, 1966, т. I, № I, с. 131 - 161.

25. Сигал И. Математические проблемы релятивистской физики. М.: Мир, 1968. 191 с.

26. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. М.: Мир, 1982.- 428 с.

27. Азизов Т.Я., Хорошавин С.А. Об инвариантных подпространствах операторов, действующих в пространстве с индефинитной метрикой. Функц. анализ, 1980, т.14, с. I -7.

28. ХорошаЕин С.А. О связи понятий теории пространств Крейнаи *-алгебр / Воронеж, гос. унт. Воронеж, 1981. - 19с. - Рукопись деп. в ВИНИТИ 27.04,81. If? 1916 - 81.

29. ХорошаЕин С.А. О апространствах Крейна и ^-автоморфизмах. В кн.: ХУ Воронежская зимняя математическая школа: Тез. докл. / Воронеж, гос. унт. Воронеж, 1981, с. 120. -Рукопись деп. в ВИНИТИ 16.12.81, lb 5691 - 81.

30. Хорошавин С.А. О квадратичных состояниях на *-алгебре Вейля / Воронеж, гос.унт. Воронеж, 1983. - 32 с. -Рукопись деп. в ВИНИТИ 30.08.83, К 4823 - 83.

31. Хорошавин С.А. Об *-алгебре Вейля и квадратичных состояниях. В кн.: УШ школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тез. докл. Всесоюзн. конф. Рига, 1983, т.2, с. 108 - 109.

32. Хорошавин С.А. Квадратичные мажоранты полуторалинейных форм и *-представления / Воронеж, гос. унт.- Воронеж, 1984. 44 с. - Рукопись деп. в ВИНИТИ 9.04.84,№ 2135 - 84.