Алгебраические и спектральные свойства самосопряженных операторов в пространствах с индефинитной метрикой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

¡ггГ5 ОЛ____________________________ ___________

' л ' " ' На правах рукописи

СУХОЧЕВА Людмила Ивановна

ОТЕЕРДИЧЕСКИЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ

Специальность: 01.01.01 - математический анализ.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ - 1995

Работа выполнена на кафедре математического анализа математического факультета Воронежского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация - Московский государственный университе имени М.В.Ломоносова.

Защита диссертации состоится " 18 " апреля 1995 г. в 15ч. 20мин. в ауд. 314 на заседании диссертационного совета К 063.48.09

при Воронежском государственном университете по адресу: 394693, г. Воронеж, Университетская пл. 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского госуниверситета.

Автореферат разослан 1дд5 г.

Ученый секретарь

профессор Азивов Т.Я.

профессор Копачевский Н.Д. доктор физико-математических наук, профессор Сапронов Ю.И.

диссертационного совета

Задорсший В.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из эффективных методов исследования 'ебраических и спектральных свойств операторных пучков является [оставление им в соответствие линейных операторов(линеаризаторов). шно этот подход позволяет использовать соответствующие результа-спектральной теории операторов при изучении структуры спектпА !ка, всттрссоз полнот и бааисности его жсрдаксвых цепочек. Весьма явственным при этом оказывается применение теории пространств с (ефинитной метрикой.

Так результаты спектральной теории операторов в пространс-5х с индефинитной метрикой были использованы С.Г.Крейном I.М.Моисеевым, рассматривавшими вращения волчка, заполненного щостью,близкие к состоянию покоя и в предположении, что жид-;ть имеет свободную поверхность. При этом задача с нахождении эмальных колебаний сводилась к задаче о собственных числах гейного пучка L(w) - шА - В, где А - положительный оператор, самосопряженный оператор В задает в гильбертовом простран-зе Н структуру пространства Понтрягина Пае (1 i ж < 6) с ин-бинитной метрикой Cu, v3 - (Bu, v). Эта задача сводится к экгральному анализу некоторого П-самосопряженного оператора. Впервые теорию операторов в пространствах с индефинитной меткой к изучению квадратичных пучков L(X) - + УВ + С, где -В* - непрерывный оператор,С > О, С - вполне непрерывный опера-р (( Тс) в Н привлекли М.Г.Крейн и Г.К.Лангер, предложившие

и этом оказывается, что двукратная полнота системы жордановых почек пучка Ь эквивалентна полноте системы корневых векторов

чку ставить в соответствие оператор

оператора К в пространстве Н - Н+ © Н- (Н+ - Н- - Н) .

При изучении полиномиальных операторных пучков теория опера1 ров в пространстве Крейна использована Н.Д.Копачевским, С.Г.Кр* ном, Г.Лангером, П.Ланкастером, А.С.Маркусом, В.И.Мацаевым.

Проблема малых колебаний вязкой несжимаемой жидкости в открь том сосуде, рассматриваемая В работах С.Г.Крейна, Н.К.Аскеро! Г.И.Лаптева сводится к исследованию операторного пучка 1

ЦА) - АА + - С - I, где А > О, С > О, А ( Гр, С ( Гч. (1

л

Теорема Келдыша позволяет доказать двукратную полноту в пр ранстве Н системы собственных и присоединенных векторов такогс ка. Теорему о двукратной базисности удалось доказать только, пост в соответствие пучку (1), лианеариватор, являющийся самосопряженн оператором в пространстве Понтрягина.

Обобщением пучка С.Г.Крейна (1) на случай нагреваемой жидкост является квадратичный операторный пучок

1

ЦА) - I - £<а - АА - - С, (2

А

А, С, а ( Гсо . А > 0, С > 0, <2 - о*, £ ( возникающий в задаче о нормальных колебаниях однородной вязко жидкости, частично заполняющей сосуд. Возникает задача: изучить поведение собственных значений пучка (2) при выполне нии условия е||С1!1 > 1 и получить достаточные условия неустойчи вости.

Другим обобщением пучка С.Г.Крейна (1) является пучок

ЦА) - А2А + АВ + С, (3

где операторы А, В, С - являются непрерывными и самосопряженными ; гильбертовом пространстве Н.

В данной работе рассматривается определенный класс пучков типа---------

), строится некоторое пространство Понтрягина Пае, и в этом прост-нстве пучку ставится в соответствие оператор, являющийся самопряженным относительно метрики пространства Пае. Указан пример мпактных операторов А, С, когда этого сделать нельзя.

Цеди настоящей работы. 1. Найти условия, при которых в некотором льбертовом простоанстве мгжил рвестт! стру;"'/ру пространства итрягина, относительно которой линеаризатор квадратичного пучка А) - А2А + ХВ + С будет самосопряженным;

2. изучить спектральные свойства указанного квадратичного са-сопряженного пучка через свойства соответствующего л-самосопря-нного оператора;

3. найти необходимые и достаточные алгебраические условия укратной полноты и базисности жордановых цепочек квадратичного чка;

4. исследовать расположение в комплексной плоскости собственных ачений квадратичного пучка, подобного возникающему при малых нвективных движениях жидкости в частично заполненном сосуде.

Методы исследования. В работе используются методы спектральной ории операторов, действующих в пространствах с индефинитной меткой, некоторые способы линеаризации рассматриваемых квадратичных чков, в зависимости от решаемой проблемы, а так же другие общие зультаты функционального анализа.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. ; них можно выделить следующие:

выделен класс самосопряженных квадратичных пучков, которым мож-) поставить в соответствие линеаризатор, являющийся самосопряжен-[М оператором в некотором пространстве Понтрягина; доказаны новые необходимые и достаточные условия двукратной

полноты и базисности жордановых цепочек квадратичного самосопр женного пучка;

3. получен новый критерий принадлежности оператора классу К(Н позволивший доказать полноту и базисность части жордановых цепоч пучка в исходном пространстве;

4. для квадратичного самосопряженного пучка с параметром исследо вопрос о расположении в комплексной плоскости собственных значен: этого пучка в зависимости от значений параметра;

5. получено описание всех положительных операторов из И", матри которых в произвольном ортонормированном базисе будут иметь дом нирующую главную диагональ.

Приложения. Результаты диссертации могут найти применение дальнейшем развитии теории операторов в пространствах с индефини1 ной метрикой, спектральной теории квадратичных пучков и ее прши жениях в гидродинамике.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на X Всесоюзной школе по теории операторов б функциональных простран« твах в г.Новгороде, 1989 г.; на МУ Крымских осенних школах-си позиумах по спектральным и эволюционным задачам (КРОМШ 1-Г 1990-1993 гг.; на семинаре "Несамосопряженные операторы" механик« математического факультета МГУ, руководители - профессоры А.Г.Ко* тюченко, А.А.Шкаликов, 1993 г.; на Всесоюзной Воронежской матем; тической школе "Понтрягинские чтения IV" 1993 г.; на Международн< конференции по проблемам теории операторов в Вене 1993 г.: на семинаре "Краевые задачи", руководитель - профессор Ю.В.Покор]

Публикации. Основные результаты полностью опубликованы работах [13 - [93. В работах [1] - [3], [93, написанных совместно с научным руководителем профессором Т.Я.А8И80вым,

остановка задач принадлежит научному руководителю, а их решение -

автору диссертации,__ ________________________________ - •

Структура диссертации. Диссертация изложена на 118 страницах, остоит из введения, трех глав, разбитых на восемь параграфов, списка литературы из 40 наименований.

Автор искренне благодарен своему научному руководителю профес-ору Т.Я.Азизову за постановку задач, постоянное внимание к работе тшлпрлпА tpcî-saii^biiwuih к результатам.

СОДЕРЖАНИЕ. РАБОТЫ В 1 главы I рассматривается модельный пример модифи-

1

ированного пучка С.Г.Крейна L(A) = ХА + - В - Jae в конечномерном

X

ространстве Сп: матрицы А, В - эрмитовы и

- liai j || i.j-i____п> А>0, аи > L iai j |+eia, £iA>0, i=i,2,...n;

3-1 J

- Il bu II i.j-1, ...П. в>0, bii > L |bnl+£iB, SiB>0, 1-1. E....nî

3-1

(4)

Jae-||Jijl. i.j-i. ... n. Ju - 0 1*3, in - 1,

1-1,2, ... n-ae, Jii = -1, i - n-ae +1, ... n.

Обозначим Ld "диагональ" указанного пучка: 1

Ld - AdiagA + - diagB - Jae. X

Теорема 1.1. Пусть матрицу A, В, Jae, определяющие пучок L, 'довлетворяют условиям (4). Если все собственные значения Ld лежат i угле

Ф П { fi : | tg Чi I < 2(sia • EtB)1/2 >, 1-1

то 2ае собственных значений пучка Ь лежат в открытой левой пол? плоскости, а 2(п - ае) - в открытой правой полуплоскости.

Так же получено описание всех положительных операторов из 1 матрицы, которых в произвольном ортонормированием базисе буда иметь доминирующую главную диагональ.

Теорема 1.3. Пусть А : К" -> I?1 симметрический полежит ель ] оператор, Лтщ и Лщах соответственно наименьшее и наибольшее ез собственные значения. Тогда матрицы этого оператора имеют дом! нирующую главную диагональ в любом ортонормироваяном базисе 1 тогда и только тогда, когда выполнено условие:

/ *тах „ / П

- + /- < 2 V - . (5.

^тах П - 1

Следствие 1.3. В условиях Теоремы 1.3 неравенство (5) эквив< лентно следующему:

*И№С ( ^ + 1 )2

П - 1

В § 2 излагаются утверждения, которые носят вспомогательный характер и используются при доказательстве основных р< зультатов.

Теорема 2.1. Пусть А, В - непрерывные самосопряженные операт< ры в гильбертовом пространстве Н, В - непрерывно обратим и поро; дает В-метрику [х, у] - (Вх, у). Тогда следующие условия эквив; лентны:

a) оператор В_1А подобен самосопряженному;

b) оператор В-1А имеет максимальное равномерно В-положительное 1 и максимальное равномерно В-отрицательное И- инвариантные по; пространства. В-ортогональные друг другу и потому Н - Ы+ [+] И-;

с) существует такой равномерно положительный, непрерывный_ оператор S, что операторы S_1A и S-1B коммутируют. (При этом в качестве оператора S можно взять такой оператор, что S-1B - J, где j - р+ - р. разность В-ортогональных проекторов на N+ и N- соответственно) .

Следствие 2.2. Пусть А - положительный непрерывный оператор,

р _ иОППбГМГОинЛ II ТГЛПГУЛГЧ« ITS5IA л^мппт f •Л м m .-.«.«...^ -А------_ --

^ ---¿-fiA.-_i._1ii Ji ii'-'iij. _ ¿.-¿«¿¿¿¿W • W pi li i ■ im *wWwWtty«MMMtUM< WUViAAAWK ЯЛ

В = Bi + B2, где Bi - равномерно положительный оператор, Вг - компактный оператор. Тогда выполняются условия а) - с) Теоремы 2.1.

Основным объектом исследований § 3, § 4 является квадратичный пучок самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве Н: L(A) - Л2А + ХВ + С. В 3 доказана следующая Теорема 3.1. Пусть L(x) - Х2А + ХВ + С, где 0 * А, В, С - непрерывные самосопряженные операторы в Н, А ( , В - Bi + Вг, Bi -разномерно положительный оператор (Bi >> 0), Вг С г<« и существует точка Xq (• С, являющаяся регулярной для пучка L(Xo ( p(L)).

Тогда спектр пучка L представляет собой объединение следующих непересекающихся множеств:

б (L) »Ли (б (L) \ (Л и i <*> >) и { о= >, где Л и { оо > _ точки сгущения множества 6(L), a 6(L) \ (Л и { » >) - множество нормальных собственных значений пучка L.

(Здесь символом Л обозначаем множество точек сгущения спектра оператора (-Bi_1C) ).

Теорема 3.2. Пусть L(X) - Х2А + ХВ + С, где А, В, С - непрерывные самосопряженные операторы вН, В-В1 + В2, Bi >> 0, Bg Если выполнено одно из следующих условий:

1. R ф- 6P(L) (6P(L) - множество собственных значений пучка L);

2. Х-0 не является собственным значением оператора А, то р(Ю * 0.

В § 4 вводится следующее важное определение, а именно:

«V

будем говорить, что оператор ф : Н -> И отражает спектрально свойства пучка Ь (или Ф является линеаризатором пучка Ь), если:

1) существует аналитическая на спектре пучка Ь (б(Ь)) взаимно однозначная функция í такая, что

Г(6(Ь)) - б(Ф). Г(бр(Ь)) - бр(Ф);

л,

2) в Н существует ограниченный и ограничено обратимый опера тор Т, отображающий системы векторов

( к° ) ( Х1 ) ( *Р ) <6 1 ХоХо ' , у Х0Х1 + Хо ', ... , к ХоХр + Хр-1 ',

где Хо пробегает все множество бр(Ь) \ «>, а (хо, XI..., хр) - мно жество всех соответствующих Хо жордановых цепочек пучка Ь и

(<>)(») ( )

^ Хп / . X1 J..... V Хг, Л

(7

Хо >. к XI ', ... , 4 хр

где (хо, xi,.., хр) - множество всех жордановых цепочек пучка L, отвечающих собственному значению X - на систему жордановь цепочек оператора Ф.

Там же формулируется основная теорема главы I.

Теорема 4.1. Пусть А, В, С - непрерывные самосопряженные one раторы, действующие в гильбертовом пространстве Н, А 6 В - Bi + В2, В2 >> О, В2 ( Г„ и p(L) * 0. Тогда пучку L(A) - xzA + ХВ + С можно поставить в соответствие самосопряженнь оператор Ф в пространстве Понтрягина Пае с эе - зе+(Ь) + ae-(L) отр! дательных квадратов, отражающий спектральные свойства пучка L.

В главе II обсуждаются вопросы полноты и базисности жо{ дановых цепочек самосопряженного пучка L. В § 1 вводятс определения двукратной полноты и дважды базисности жордановых щ почек пучка L в пространстве Н, устанавливается связь этих свойс^ жордановых цепочек пучка L с соответствующими свойствами жорданс вых цепочек линеаризатора Ф.

Лемма 1.1. Пусть Ь - квадратичный самосопряженный пучок в_ эостранстве И, а Ф - оператор в пространстве Н - Н<±, Н, отражаю-1й спектральные свойства пучка I. Тогда система жордановых цепо-5к пучка Ь двукратно полна (соответственно дважды базисна) в Н эгда и только тогда, когда полна (соответственно базисна) система эрдановых цепочек оператора Ф в пространстве Н.

При формулировке и доказательстве неойхолимиу « ■уювий двукрятясЯ полноты и базисности лорданоиых цепочек пучка Ь ^пользуются следующие обозначения и определения:

Замкнутую линейную оболочку векторов вида (б) и (7), построение по пучку ЦХ) - Х2А + ХВ + С обозначим символом Е(Ь), а подпро-

?ранство Е(Ь), натянутое на все векторы вида {( ^ )}' {( ° )}

^ ( 6р(Ь)) - символом Ео(1~); замкнутую линейную оболочку корневых ¿кторов оператора Ф обозначим Е(Ф), а замкнутую линейную оболочку 'о собственных векторов - Ео(Ф).

Я(Х) - { х ( Н: х е КегЬ(л) п ((2ХД + В)КегЬ(Х))1' >,

иЦ) - { X Н: X 6 КегЬШ п (Л.ОЛ АХц-1 + (2ХА+В)хк >0т)Х >,

(е (хо, XI,..., хт) - всевозможные жордановы цепочки пучка Ь, со-'ветствующие собственному значению X * °° и х-1 - 8.

Я(») - < х 6 Н: X 6 КегА П (В КегА)1 У,

<!>(») - { X ( Н: X е КегА П (Л.О.-С Схк-1 + Вхк >от)1 >.

[е (хо, XI,..., хт) - жорданова цепочка пучка I., соответствующая >бственному значению X - « и х-з. - 8. Точку л бр(Ю будем назы-1ть критической, если соответствующее ей множество П(Х) * -С 8 >. ;вокупность таких X обозначим Б (и.

Теорема 1.2. Пусть А, В, С - непрерывные самосопряженные оп раторы, действующие в гильбертовом пространстве Н, Air« В - Bi + Bz, Bi » О, В2 6 г« и p(L) * 0. Кроме того пуст спектр оператора (-Bi_1C) имеет не более счетного множества точе сгущения Л.

Тогда

Н/ Н/

a) dim / E(L) < dim /E0(L) <

b) Eq(L) - H тогда и только тогда, когда S(L) - 0;

•v

c) E(L) - Н тогда и только тогда, когда w(L) - -С 8 > при всех X 6 (A U { ~ >) П SCL);

"V Л»

d) если Eo(L) - Н (соответственно E(L) - Н), то в Н существуе почти К-ортонормированный базис Рисса, составленный из векторе

• -V -V

Eo(L) (соответственно E(L)). Если Eo(L) - Н, то в Н существуе К-оргонормированный базис из векторов системы Eo(L) тогда и тольу тогда, когда 6P(L) R.

Весьма ватлым является вопрос о существовании в исходнс пространстве Н базиса, составленного из жордановых цепочек пучка или хотя бы полнота таких векторов. Этим проблемам посвящг § 2 главы II данной работы.

Зафиксируем произвольную пару вещественных чисел с, d, такук что с i4 d и L(c) >> 0, L(d) >> О. Будем говорить, что собственж вектор хо пучка L, отвечающий Хо 6 6P(L) - (с, d)-положителен (с ответственно (с, d)-нeйтpaлeн, (с, d)-отрицателен), если

(Хо - d|2 (L(c)xo, хо) > Uo - с|2 (L(d)xo, х0), (соответственно

IХо - d|2 (L(c)X0, Хо) - |Хо - с|2 (L(d)xo, хо),

|Хо - df2 (L(c)xo, Хо) < |Хо - с i2 (L(d)xo, х0)).

_________Теорема 2.1. Если в условиях Теоремы 1.2 оператор А > 0, то______________

а) из и (А) - { 8 > при Л ( (Л и { оо >) п БСЬ) следует существование в Н двух базисов Рисса, составленных из жордановых цепочек пучка Ь. Все собственные векторы пучка, входящие в один из этих базисов - (с, с!)-положительны, за исключением, быть может, конечного числа (с, с1)-нейтральных собственных векторов, а в другой -

ibt U > —GxüHueriGjibHfai, ort HüKiiitjMRnMRM , ühi'rh мОлп:г, Kv j n rr м n i J ¡4 J

числа (с, с!)-нейтральных собственных векторов;

Ь) из Я(А) - < 0 } следует существование в Н двух базисов Рисса, составленных из собственных векторов пучка Ь, причем все векторы одного из этих базисов будут (с, с1)-положительными, за исключением, быть может, конечного числа (с, с1)-нейтральных, а все векторы другого базиса - (с, с!)-отрицательны за исключением, быть может, конечного числа (с, с1)-нейтральных.

При доказательстве этой Теоремы использован новый критерий принадлежности оператора классу К(Н): пусть - самосопряженный оператор в пространстве Крейна Н и в Н существует базис Рисса -(Г^, составленный из корневых векторов оператора $1, кроме того

стоит не более чем из конечного числа собственных значений с учетом кратности, тогда Ф± будет оператором класса К(Н).

В III главе рассматривается следующий пучок с параметром s:

где А, Q, С 6 т„. А > О, Q - Q", С > 0, s 6 R+. (9)

Обозначим ае(е, Q) - количество с учетом кратности положительных собственных значений оператора sQ - I, ®(Q) - lim a(s, Q).

< 00 и невещественный спектр оператора <5i со-

Le(A) - А2А - A(sQ - I) + С,

(8)

g -> 00

Основным результатом этой главы является следующая

Теорема 2.1. Пусть операторы, определяющие пучок (8) удовл< воряют условиям (9) и ae(Q) > 0. Тогда

1

a) существует такое ео > -, что для всех е > so пучок (I

BQI

имеет хотя бы одно положительное собственное значение;

b) для каждого натурального k < ae(Q) существует ео > 0, » при е > ео положительных собственных значений пучка (8) не менее

c) при каждом е > ео количество собственных значений \ пуч} (8) в открытой правой полуплоскости конечно.

В заключительном § 2 сформулированы в терминах коэффициенте пучка (8) ряд достаточных условий существования хотя бы одно1 собственного значения в правой полуплоскости.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Азизов Т.Я., Сухочева Л.И. О полноте системы корневых векторе пучка С.Крейна в пространстве Понтрягина //III Крымская осе* няя математическая школа-симпозиум: Тез. докл. - Симферопол! 1993. - С. 69.

2. Азизов Т.Я., Сухочева Л.И. О спектральных свойствах квадратик ного операторного • пучка // Теории функций. Дифференциалы^ уравнения в математическом моделировании: Тез. докл. - Ворс неж, 1993. - С. 6.

3. Азизов Т.Я., Сухочева Л.И. Модифицированный самосопряженнь пучок С.Крейна. - Воронеж, 1993. - 19 с. - Деп. в ВИНИ! 09.06.93, N 1604-В93.

4. Сухочева Л.И. 0 собственных значениях модифицированного мат-

ричного пучка С.Г.Крейна // Теория операторов в функциональнь пространствах и математическое моделирование: Сб. тр. - Ворс неж, 1988. - С. 61-66. - Деп. в ВИНИТИ 13.07.88, N 5642 - В8Е

5. Сухочева JI.И. Условия разделения спектра модифицированного матричного пучка С.Г.Крейна //XIV школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тез. докл. - Новгород, 1989. -

4. 3. - С. 56-57.

6. Сухочева Л.И. О спектре одного матричного пучка // Нестандартные краевые задачи: Сб. тр. молодых ученых ВГУ. - Воронеж, 1991. - С. 52-56. Лen. n Rm-rcmf я пк.Р! N 2503 - 591.

7. Сухсчойа Л.'Л. Об одновременной двукратной полноте и базисности жордановых цепочек двух пучков // Понтрягинские чтения - IV: Тез. докл. - Воронеж, 1993. С. 182.

8. Сухочева Л.И. О спектре квадратичного пучка // XXVI Воронежская зимняя математическая школа: Тез. докл. - Воронеж, 1994. - С. 88.

9. Azi2ov Т. Ya., Sukhocheva L. I. On Some Development of the

5.Krein Pencil Theory: Abstracts. - Vienna, 1993. - P. 8.

Заказ 78 от 6.3.95 г. Тир. 100 экз. Формат 60 X SO 1Дб. Объем I п.л. Офсетная лаборатория ВГУ.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КВАДРАТИЧНОГО САМОСОПРЯЖЕННОГО

ПУЧКА.

1. Спектральные свойства однопараметрических матриц-функций со значениями во множестве jt-самосопряженных операторов.

§ 2. Об одновременной приводимости двух самосопряженных операторов к "диагональному виду"

§ 3. Структура спектра самосопряженного пучка . 37 £4. Существование метрики Понтрягина, симметризующей оператор-функцию с самосопряженными коэффициентами

ГЛАВА II. ВОПРОСЫ ПОЛНОТЫ И БАЗИСНОСТИ ЖОРДАНОВЫХ ЦЕПОЧЕК САМО

СОПРЯЖЕННОГО ПУЧКА L $ 1. Двукратная полнота и базисность жордановых цепочек пучка L

§2. Полнота и базисность жордановых цепочек пучка L в исходном пространстве

ГЛАВА III. КВАДРАТИЧНЫЙ ОПЕРАТОРНЫЙ ПУЧОК С ПАРАМЕТРОМ

§1. Постановка задачи.

§2. Расположение на комплексной плоскости спектра пучка Ls.

В математической литературе пионерской работой по созданию и применению теории пространств с индефинитной метрикой является знаменитая статья Л.С.Понтрягина [24], написанная в связи с постановкой С.Л.Соболевым (см. [25]) задачи об условиях устойчивости вращения волчка,заполненного жидкостью, вокруг своей оси симметрии. Эта проблема редуцировалась к изучению спектра самосопряженного оператора в пространстве, ныне называемом пространством Понтрягина Пае (при ав - 1), а такие операторы называют %-самосопряженными.

Далее результаты спектральной теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой были использованы С.Г.Крейном и Н.Н.Моисеевым [21], рассматривавшими движения аналогичного объекта, близкие к состоянию покоя и в предположении, что жидкость имеет свободную поверхность. При этом задача о нахождении нормальных колебаний сводилась к задаче о собственных числах линейного пучка L(w) - «А - В, где А - положительный оператор, а самосопряженный оператор В задает в гильбертовом пространстве Н структуру пространства Понтрягина Пае (1 < ае < 6) с индефинитной метрикой [u, v] - (Ви, v). Эта задача сводится к спектральному анализу соответствующего тс-самосопряженного оператора.

Впервые теорию операторов в пространствах с индефинитной метрикой к изучению квадратичных пучков L(A) - \г1 + АВ + С, где В - В* - непрерывный оператор,С > О, С - вполне непрерывный оператор (( г.») привлекли М.Г.Крейн и Г.К.Лангер, [17], [18], предложившие пучку ставить в соответствие квадратное операторное уравнение z2 + Bz + С - 0 и ассоциированный с ним оператор полнота системы жордановых цепочек пучка L эквивалентна полноте

- В

При этом оказывается, что двукратная системы корневых векторов оператора К в пространстве Н - Н+ © Н-(Н+ - Н- - Н) [12].

При изучении полиномиальных операторных пучков теория операторов в пространстве Крейна использована Н.Д.Копачевским [141, Н.Д.Копачевским, С.Г.Крейном, Нго Зуй Каном [15], Г. Ланге-ром [35], [36], П.Ланкастером, А.Шкаликовым и Е.Кванг [37],

A.С.Маркусом [23], А.С.Маркусом и В.И.Мацаевым [38], [39].

В работах С.Г.Крейна [20], Н.К.Аскерова, С.Г.Крейна, Г.И.Лаптева [73, рассматривался квадратичный пучок 1

Ь(А) - ХА + - С - I, где А > 0, С > О, А ( Тр, С £ гч , (1) X возникающий при изучении задачи о движениях тяжелой вязкой несжимаемой жидкости в открытом сосуде. Было показано, что спектр этого пучка состоит из не более чем счетного множества собственных значений конечной алгебраической кратности расположенных в правой полуплоскости, а точками сгущения спектра являются только точки Л - 0, А =

Предложенное Г.И.Лаптевым преобразование пучка к системе двух линейных пучков позволило с помощью известной теоремы М.В.Келдыша [6] доказать дважды полноту в пространстве Н системы собственных и присоединенных векторов пучка (1).

Дальнейший шаг был сделан Е.А.Ларионовым [22] и независимо

B.Гринли [34]. Ими был использован критерий полноты и базисности системы корневых векторов тс-самосопряженных операторов (см. [2]) и доказано существование двух базисов Рисса для пучка (1).

Изучению квадратичного пучка Ь ограниченных самосопряженных операторов:

Ь(А) = С + АВ + А2А, А - А*, В - В*, С - С*, являющегося компактным возмущением сильно демпфированного пучка с отделенными спектральными зонами, т.е.

Ь(Л) = Ьо(Х) + 1-1 (Л), где Ьо(Х) - Со + ХВо + Л2Ао - сильно демпфированный пучок, 14 (Л) - С1 + ЛВ1 + Л2А1, А1, В1, С1 ( у^ посвящена работа А.А.Шкаликова, В.Т.Плиева [32]. В ней обсуждаются вопросы базисности производных цепочек Келдыша длины 2, построенных

Л/ по собственным и присоединенным элементам пучка Ь в Н = Н © Н, приведены достаточные условия безусловной базисности в пространстве Н системы Е+(Е~) собственных и присоединенных векторов пучка Ь.

Обобщением пучка С.Г.Крейна (1) на случай нагреваемой жидкости является квадратичный операторный пучок

Ш) - I - £<3 - АА - - С, Л

2)

А, С, Д ( А>0, С > О, Ц - <Г, £ ( 1Г, возникающий в задаче о нормальных колебаниях однородной вязкой жидкости,частично заполняющей сосуд [153. Там же поставлена задача: изучить поведение собственных значений пучка (2) при выполнении условия £ || С} || > 1 и получить достаточные условия неустойчивости. Детальному рассмотрению этого вопроса посвящено исследование Н.Д.Копачевского и В.Н.Пивоварчика [16].

Другим обобщением пучка С.Г.Крейна (1) является пучок

Ь(Л) - Л2А + ЛВ + С, (3) где операторы А, В, С - являются непрерывными и самосопряженными в гильбертовом пространстве Н.

А.Г.Костюченко была поставлена задача - выделить класс пучков типа (3), которым можно поставить в соответствие л-самосопряженный оператор.

В данной работе рассматривается определенный класс пучков типа (3), строится некоторое пространство Понтрягина Пав, и в этом пространстве пучку ставится в соответствие оператор, являющийся самосопряженным относительно метрики пространства Пае. Указан пример компактных операторов А, С, когда этого сделать нельзя.

Цели настоящей работы. 1. Найти условия, при которых в некотором гильбертовом пространстве можно ввести структуру пространства Понтрягина, относительно которой линеаризатор квадратичного пучка Ь(А) - А2 А + АВ + С будет самосопряженным;

2. изучить спектральные свойства указанного квадратичного самосопряженного пучка через свойства соответствующего тс-самосопряженного оператора;

3. найти необходимые и достаточные алгебраические условия двукратной полноты и базисности жордановых цепочек квадратичного пучка;

4. исследовать расположение в комплексной плоскости собственных значений квадратичного пучка, подобного возникающему при малых конвективных движениях жидкости в частично заполненном сосуде.

Методы исследования. В работе используются методы спектральной теории операторов, действующих в пространствах с индефинитной метрикой, некоторые способы линеаризации рассматриваемых квадратичных пучков, в зависимости от решаемой проблемы, а так же другие общие результаты функционального анализа.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Из них можно выделить следующие:

1. выделен класс самосопряженных квадратичных пучков, которым можно поставить в соответствие линеаризатор, являющийся самосопряженным оператором в некотором пространстве Понтрягина;

2. доказаны новые необходимые и достаточные условия двукратной полноты и базисности жордановых цепочек квадратичного самосопряженного пучка;

3. получен новый критерий принадлежности оператора классу К(Н), позволивший доказать полноту и базисность части жордановых цепочек пучка в исходном пространстве;

4. исследованы вопросы расположения в комплексной плоскости собственных значений квадратичного самосопряженного пучка с параметром;

5. получено описание всех положительных операторов из Я", матрицы которых в произвольном ортонормированном базисе будут иметь доминирующую главную диагональ.

Приложения. Результаты диссертации могут найти применение в дальнейшем развитии теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой, спектральной теории квадратичных пучков и ее приложениях в гидродинамике.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на XIV Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах в г.Новгороде, 1989 г.; на ЫУ Крымских осенних школах-симпозиумах по спектральным и эволюционным задачам (КРОМШ I- IV) 1990-1993 гг.; на семинаре "Несамосопряженные операторы" механико-математического факультета МГУ, руководители - профессоры А.Г.Кос-тюченко, А.А.Шкаликов, 1993 г.; на Всесоюзной Воронежской математической школе "Понтрягинские чтения IV" 1993 г.; на Международной конференции по проблемам теории операторов в Вене 1993 г.; на семинаре "Краевые задачи", руководитель - профессор Ю.В.Покорный.

Публикации. Основные результаты полностью опубликованы в работах [33 - С5], С26] - [30], [33]. В работах [3] - [5], [33], написанных совместно с научным руководителем профессором Т.Я.Азизовым постановка задач принадлежит научному руководителю, а их решение

- автору диссертации.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 118 страницах, состоит из введения, трех глав, разбитых на восемь параграфов, и списка литературы из 40 наименований. Нумерация формул и утверждений в параграфах независимая - первая цифра показывает номер параграфа, а число после точки - номер формулы или утверждения в данном параграфе.

1. Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. - М.: Наука, 1986. -352 с.

2. Азизов Т.Я., Иохвидов И.О. Критерий полноты и базисности корневых векторов вполне непрерывного J-самосопряженного оператора в пространстве Понтрягина Пае // Мат. исследования. 1971.

3. Азизов Т.Я., Сухочева Л.И. О полноте системы корневых векторов пучка С.Крейна в пространстве Понтрягина // III Крымская осенняя математическая школа-симпозиум: Тез. докл. Симферополь, 1993. - С. 69.

4. Азизов Т.Я., Сухочева Л.И. О спектральных свойствах квадратичного операторного пучка // Теории функций. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании: Тез. докл. Воронеж, 1993. - С. 6.

5. Азизов Т.Я., Сухочева Л.И. Модифицированный самосопряженный пучок С.Крейна. Воронеж, 1993. - 19 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.06.93, N 1604-В93.

6. Азизов Т.Я., Хацкевич В.Л. О некоторых приложениях теории операторов в пространствах Крейна к разрешимости нелинейных га-миль тоновых систем // Мат. заметки. 1991. - Т.50, N 4. - С. 3-9.

7. Аскеров Н.К., Крейн С.Г., Лаптев Г.И. Задача о колебаниях вязкой жидкости и связанные с ней операторные уравнения // Фун.анализ и его приложения. 1968. - Т.2, N 2. - С. 21-31.

8. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966.

9. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.:X 1

10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 552 с.

11. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965. - 448 с.

12. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // ДАН СССР. -1951. Т.77, N 1. - С. 11-14.

13. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. - 543 с.

14. Копачевский Н.Д. Теория малых колебаний жидкости с учетом сил поверхностного натяжения и вращения: Диссертация. Харьков, 1980. - 312 с.

15. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г. Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике. М.: Наука, 1989. - 416 с.

16. Копачевский Н.Д., Пивоварчик В.Н. О достаточном условии неустойчивости конвективных движений жидкости в открытом сосуде // журнал вычислит, матем. и матем. физики. 1993. - Т.33, N 1. - С. 101-117.

17. Крейн М.Г., Лангер Г.К. К теории квадратичных пучков самосопряженных операторов // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 154, N 6. -С. 1258-1261.

18. Крейн М.Г., Лангер Г.К. О некоторых математических принципах линейной теории демпфированных колебаний континуумов // Труды международного симпозиума по прилож. теорий функций в механ. сплош. среды. 1966. - Т. 2. С. 283-322.

19. Крейн М.Г., Нудельман A.A. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973. - 552 с.

20. Крейн С.Г. О колебаниях жидкости в сосуде // ДАН СССР. -1964. - Т.159, N 2. - С. 262-265.

21. Крейн С.Г., Моисеев H.H. О колебаниях твердого тела, содержа- 117 щего жидкость со свободной поверхностью // Прикл. матем. и ме-хан. 1957. - Т. 21, N 2. - С. 169-174.

22. Ларионов Е.А. О базисах составленных из корневых векторов опе-раторного пучка // ДАН СССР. 1972. - Т. 206, N 2.С.283-286.

23. Маркус A.C. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. Кишинев: Штиинца, 1986. - 260 с.

24. Понтрягин Л.С. Эрмитовы операторы в пространстве, с индефинитной метрикой // Из. АН СССР. Серия матем. 1944. - Т.8, N 6. - С. 243-280.

25. Соболев С.Л. О движении симметричного волчка с полостью наполненной жидкостью // Ж. прикл. механ. и техн. физики. 1960. -N 3. - С.20-55.

26. Сухочева Л.И. О собственных значениях модифицированного мат• ричного пучка С.Г.Крейна // Теория операторов в функциональных пространствах и математическое моделирование: Сб. тр. Воронеж, 1988. - С. 61-66. - Деп. в ВИНИТИ 13.07.88, N 5642 - В88.

27. Сухочева Л.И. Условия разделения спектра модифицированного матричного пучка С.Г.Крейна // XIV школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тез. докл. Новгород, 1989. -Ч. 3. - С. 56-57.

28. Сухочева Л.И. О спектре одного матричного пучка // Нестандартные краевые задачи: Сб. тр. молодых ученых ВГУ. Воронеж, 1991. - С. 52-56. Деп. в ВИНИТИ 3.06.91 N 2503 - В91.

29. Сухочева Л.И. Об одновременной двукратной полноте и базисности жордановых цепочек двух пучков // Понтрягинские чтения IV: Тез. докл. - Воронеж, 1993. С. 182.

30. Сухочева Л.И. О спектре квадратичного пучка // XXVI Воронеже- 118 кая зимняя математическая школа: Тез. докл. Воронеж, 1994.- С. 88.

31. Шилов Г.Е. Математический анализ. М.: Наука, 1969. - 432 с.

32. Шкаликов A.A., Плиев В.Т. Компактные возмущения сильно демпфированных пучков операторов // Мат. заметки. 1989. - Т. 45, N 2. С. 118-129.

33. Azizov Т. Ya., Sukhocheva L. I. On Some Development of the S.Krein Pencil Theory: Abstracts. Vienna, 1993. - P. 8.

34. Greenlee W.Y. Double Unconditional Bases Assciated with a Quadratic Characteristic Parameter Problem // J. Funct. Anal.- 1974. Vol. 15. - P. 306 - 339.

35. Langer H. Spektraltheorie Linearer Operatoren in J-Raumen und einige Anwendungen auf die Schar L(A) = A2I + AB + C.Habilitationschrift. Dresden. 1965. • *

36. Langer H. Uber eine Klasse polynomialer Scharen selbstadjungierter Operatoren im Hilbertraum // J. Funct. Anal.- 1973. 12, N 1. - P. 13-29.

37. Lancaster P., Shkalikov A., Qiang Ye. Strongly Definitizable Linear Pencils in Hilbert Space // J. Integr Equat Oper. Th. -1993. Vol. 17. - P.

38. Markus A., Matsaev V. Principal Part of Resolvent and Factorization of an Increasing Nonanalitic Operator Function // J. Integral Equations and Operator Theory. - 1991. - Vol. 14. - P. 716-746.

39. Markus A., Matsaev V. Factorization of a Selfadjoint Nonanalitic Operator Function II. Single Spectral zone.

40. Phillips R. The Extension of Dual Subspaces Invariant Under an Algebra // Proc. Intern Symp.: Linear Space. Ierusalem, 1960, Ierusalem Press, 1961, p. 366-398.