Геометрические оценки в полиномиальной интерполяции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Невский Михаил Викторович

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ В ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 4 ИОН 2015

АВТОРЕФЕРАТ

Москва - 2015

005570172

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа ФГБОУ ВПО "Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова".

Официальные оппоненты:

Долбилин Николай Петрович, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник отдела геометрии и топологии ФГБУН "Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук";

Карасёв Роман Николаевич, доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры высшей математики ФГАОУ ВПО "Московский физико-технический институт (государственный университет)" ;

Новиков Игорь Яковлевич, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры функционального анализа и операторных уравнений ФГБОУ ВПО "Воронежский государственный университет".

Ведущая организация:

ФГБОУ ВО "Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова".

Защита диссертации состоится 6 октября 2015 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.27, созданного на базе ФГАОУ ВО "Российский университет дружбы народов", по адресу: 117419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 495а.

С диссертацией можно ознакомиться в Учебно-научном информационном библиотечном центре (Научной библиотеке Российского университета дружбы народов) по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6 и на сайте "Диссертационные советы РУДН" в сети интернет (http://dissovet.rudn.ru).

Автореферат разослан К СбсРАеЯ- 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, доцент

А. Ю. Савин

Актуальность темы. Диссертация написана на основе результатов автора, полученных, главным образом, в течение последних двенадцати лет. Предметом наших рассмотрений являются вопросы, связанные с полиномиальной интерполяцией функций многих переменных и применением в этой области некоторых геометрических методов.

Интерполяция представляет собой один из старейших методов аппроксимации функций. Наиболее известная интерполяционная формула была открыта Лагранжем1 не позднее 1795 г., а интерполяционная формула Ньютона была опубликована ещё раньше — в 1736 г. Теории интерполирования посвящена обширная литература (см., например, книги В. Л. Гончарова2, И. К. Даугавета3, К. Де Бора4, С. Пашковского5, В. В. Прасолова6, С. Б. Стечкина и Ю. Н. Субботина7 и др.). Имеющая богатую историю, полиномиальная интерполяция и смежные методы (например, сплайн-интерполяция, интерполяция рациональными функциями) эффективно применяется и в наши дни. Широко применяются в этой сфере и компьютерные методы. Поэтому вопросы теоретического исследования в данной области остаются актуальными.

Как и анализ в целом, теория приближения тесно связана с геометрией. Многие фундаментальные результаты теории приближения имеют по сути геометрический характер. Эта связь подробно освещена в литературе (отметим здесь обзор В. М. Тихомирова по теории аппроксимации8). Использование геометрических характеристик выпуклых тел в конечномерных пространствах в исследованиях Ю. А. Брудного, Е. Д. Глускина, Б. С. Кашина, С. Б. Стечкина, В. М. Тихомирова и их учеников и др. математиков существенно способствавало развитию теории аппроксимации. Этим актуальным

'Lagrange J. L. Leçons élémentaires sur les mathématiques // Oeuvres. V. 7. 1795. P. 286.

2Гончаров В. JI. Теория интерполирования и приближения функций. М.: Гостехиздат, 1954. 328 с.

гДаугавет И. К. Введение в теорию приближения функций. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977. 184 с.

*Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. М.: Радио и связь, 1985. 304 с.

5Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. П.: Наука, 1983. 384 с.

6Прасолов В. В. Многочлены. М.: МЦНМО, 2001. 336 с.

7Стечкин С. Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. 248 с.

8Тихомиров В.М. Теория приближений // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 14. (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). М„ 1987. С. 103-260.

вопросам посвящена и настоящая диссертация.

Что касается интерполяции, то здесь геометрические конструкции возникают сразу с заданием набора узлов интерполяции. В частности, при интерполяции функций п переменных с помощью пространства многочленов степени < 1 узлы интерполяции являются вершинами п-мерного симплекса. Оказывается возможным получить оценки для нормы интерполяционного проектора через геометрические характеристики соответствующего ему симплекса. Здесь находят свои приложения некоторые новые свойства, например, соотношения для осевых диаметров симплекса. Этот подход переносится и на интерполяцию с помощью более широких пространств многочленов.

Следует также отметить, что применяемые в диссертации геометрические характеристики (осевые диаметры, минимальные коэффициенты гомотетии и др.) имеют и другие важные, не связанные с интерполяцией, приложения. Таким образом, тематика нашего исследования является весьма актуальной.

Цель работы. С помощью геометрических конструкций и методов получить новые оценки для проекторов, связанных с полиномиальной интерполяцией функций многих переменных. Для этого ввести в рассмотрение подходящие геометрические характеристики множеств в п-мерном пространстве. Исследовать свойства этих характеристик. Доказать неравенства, оценивающие нормы интерполяционных проекторов через геометрические характеристики. Получить результаты о минимальной величине нормы проектора. Указать другие приложения введённых характеристик.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Ниже отмечаются как эти результаты, так и положения, выносимые на защиту.

1. Доказаны новые свойства п-мерных выпуклых тел, в первую очередь симплексов. Указанные свойства применяются в диссертации как для оценок интерполяционных проекторов, так и для доказательства новых теорем о выпуклых телах. Для этой цели введены и исследованы некоторые геометрические характеристики выпуклых тел. При изучении свойств п-мерных симплексов применяется в том числе и теоретико-функциональный подход, при котором свойства симплексов формулируются и доказываются с применением базис-

ных многочленов Лагранжа А^ (барицентрических координат).

Получены новые формулы для осевых диаметров ¿¿(5) симплекса 5 через коэффициенты соответствующих многочленов А^:

1 1 "+1 ад =

где = +.. . + 1П]Яп + 1п+\,у Доказаны также обобщения для вычисления длины и концов максимального отрезка из 5 любого заданного направления.

Обозначим через а{С\\С2) минимальное а > 0, для которого С\ принадлежит трансляту аС2', здесь СьСг — выпуклые тела. Доказано, что для выпуклого тела С и невырожденного симплекса 5 в Е™

71+1

выполняется равенство а(С;3) = ^ тах^с!-+ 1- В случае

7 = 1

С = <3п := [0,1]" оно эквивалентно следующему новому свойству симплекса 5:

П 1 п

Соотношение а((2п;3) = Х)"=1^-МО^) доказано в диссертации двумя способами. При реализации одного из подходов установлено новое неравенство а((2п;С) < 1/с?г(С) для осевых диаметров произвольного выпуклого тела С С Мп.

2. Установлена продуктивность указанных выше соотношений для получения новых результатов и для доказательства новыми способами ранеее известных теорем о выпуклых телах.

Например, доказано, что если п-мерный симплекс содержит <5Ш то для некоторого г этот симплекс содержит отрезок длины п, параллельный оси х;. Если в симплекс Б можно вписать транслят

п

<2„, то 1/^(5') = 1. Здесь и>,(5) есть ширина 5 в направлении г-й

г—1

координатной оси. Эти свойства симплекса являются новыми. С помощью указанного подхода даны новые короткие доказательства ряда известных утверждений. Этот материал дополняет приложения введённых геометрических характеристик к вопросам полиномиальной интерполяции.

3. Доказаны новые неравенства, оценивающие нормы интерполяционных проекторов через геометрические характеристики мно-

жеств. Например, для интерполяционного проектора Р из C(Qn) на пространство Щ (М") алгебраических многочленов от п переменных степени < 1 и симплекса S с вершинами в узлах интерполяции выполняются соотношения

~ (И -1) +1 < ((S) < ~ (||Р|| -1) +1,

Здесь ||Р|| — норма Р как оператора из C(Qn) в C(Qn), £(S) := min{(j > 1 : Qn с сгS1}. Исследованы случаи достижения равенств в этих неравенствах. Введём следующую геометрическую характеристику куба Qn:

£n := min{^(S') : S — n-мерный симплекс, S С Q„, vol(S) Ф 0}.

Обозначим через вп величину минимальной нормы ЦРЦ при условии, что все узлы интерполяции принадлежат Qn. Тогда

^ {вп - 1) + 1 < & < ^ {вп - 1) + 1.

Доказано, что хотя бы при п> 57 правое неравенство является строгим. Аналоги этих соотношений установлены и для интерполяции с помощью пространств многочленов, более широких, чем TTi (R").

4. Для п = 1,2,3,7 найдены точные значения 9п и дано описание интерполяционных проекторов с минимальной нормой. Для п = 2 и случая, когда п + 1 есть число Адамара (т. е. существует матрица Адамара порядка n +1) найдены точные значения £„.

5. Установлены точные порядки асимптотики по п величины вп. С применением новых свойств классических стандартизованных многочленов Лежандра доказано, что вп > стг1//2. Затем установлено, что если Р* — интерполяционный проектор, узлы которого находятся в вершинах симплекса максимального объёма в Qn, то ||Р*|| = 0(п1/2). Таким образом, вп ж п1/2 и одновременно ||Р*|| х в„.

Показано,

что n < < n -f- 1; если п -Ь 1 — число Адамара, то

= п. Для симплекса максимального объёма в Qn доказана эквивалентность £(£*) х £„. Таким образом, проектор Р* является почти-минимальным в смысле определения вп, а значение £(£*) является почти-минимальным в смысле определения £„.

Получен ряд общих оценок чисел 9п и £„, а также ряд их оценок для конкретных п.

7. Обозначим через Я ортогональный проектор из C(Qn) на пространство многочленов степени < 1. Доказано, что норма Я как оператора из C(Qn) в C(Qn) удовлетворяет соотношению ||Я|| ж вп. С константами, не зависящими от п, выполняются неравенства Ci||-P*|| < 11-НЦ < С2||Р*||, где Р* — интерполяционный проектор на ITi (R™) с узлами в вершинах симплекса максимального объёма в Qn.

Оценка ||Я|| > en1/2 получается двумя способами — с использованием эйлеровых чисел и центральных Я-сплайнов. Для этой цели применяются как известные, так и новые свойства этих объектов. В частности, доказаны новые рекуррентные соотношения для эйлеровых чисел.

8. Получены оценки для проекторов при интерполяции функций из C(iï), il — замкнутое ограниченное подмножество Мп, с помощью многочленов из пространств, более широких, чем ГЦ (Шп). Каждое такое пространство П размерности d>n+1 есть линейная оболочка линейно независимых мономов <р\(х),..., <pd(x). При этом предполагается, что fi(x) = 1, <р2(х) = xi,..., </?„+i(x) = хп. Важные частные случаи П = Щ (Rn) — пространство многочленов общей степени < к (к е N) и П = Па (Rn) — пространство многочленов степени < а, по Xi (a G Nn).

Для изучения этого общего случая в диссертации применяется подход, при котором задача сводится к интерполяции линейными функциями от d — 1 переменного (в пространстве коэффициентов многочленов из П) на множестве Т(И) С Rd_1. Здесь отображение Т : IRn Rd_1 имеет вид у = Т(х) := (<р2(х),... ,щ(х)). При реализации этого подхода удаётся доказать некоторые аналоги оценок, полученных ранее для интерполяции с помощью ГЦ (R").

Пусть ||Р||п обозначает норму Р как оператора из С (il) в С(Г2); для согласования с предыдущим считаем ||Р|| := ||P||q„. Через 0п(П;П) обозначим минимальную величину нормы ||Р||п интерполяционного проектора Р : С (il) -» П при условии, что узлы интерполяции принадлежат Г2. Для невырожденного симплекса S С К" положим £(Г2; S) := min{cr > 1 : il с ег5}. Пусть

С„(П) := min {Ç(il-, S) : ver (S) С il, vol (S) ф 0} , £n £n(Qn)- Здесь ver(S) есть совокупность вершин симплекса S.

Для проектора Р : С(П) —¥ П с узлами х^ установлены соотношения

К1+¿1)(||р||п"1}+1 -- \(||р|ь"1}+

где 5 — {& — 1)-мерный симплекс с вершинами Т (х^). Доказаны аналогичные неравенства, оценивающие б„(П;П) через

Получен ряд верхних и нижних оценок чисел 0„(П;П). Для оценивания ||Р||п и 0„(П;П) применяются в том числе и осевые диаметры симплексов. Указанные оценки в ряде частных случаев проиллюстрированы примерами.

9. Найдены точные значения, а также доказаны оценки констант, стоящих в неравенствах для некоторых эквивалентных норм на пространствах алгебраических многочленов. Эти результаты частично применяются для оценивания интерполяционных проекторов.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации могут иметь теоретические приложения в теории приближения функций, теории интерполирования, геометрии выпуклых тел, а также теоретические и практические приложения в вычислительной математике.

Методология и методы исследования. Применяются методы математического анализа, функционального анализа, теории приближения функций, геометрии выпуклых тел, линейной алгебры, комбинаторики. Кроме того, в диссертации разработаны собственные методы исследования свойств геометрических характеристик и получения связанных с ними оценок для интерполяционных проекторов.

Степень достоверности и апробация результатов. Все основные результаты работы были опубликованы в рецензируемых научных журналах. В диссертации они приводятся с доказательствами.

Результаты диссертации заслушивались и обсуждались на заседаниях следующих научных семинаров: Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова, семинар под руководством профессора Ю. А. Брудного и профессора Н. Я. Кругляка (1989— 1995); Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова, семинар под руководством профессора С. А. Кащенко и профессора С. Д. Глызина (2011, 2012); Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова, Международная научно-исследовательская лаборатория "Дискретная и вычислительная геометрия"

им. Б. Н. Делоне, семинар под руководством профессора Г. Эдельс-бруннера (2012, 2013); Воронежского государственного университета, семинар под руководством профессора И. Я. Новикова (2014); Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, семинар под руководством профессора В. М. Тихомирова и профессора Г. Г. Магарил-Ильяева (2014); Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, семинар под руководством академика РАН Б. С. Кашина, член-корреспондента РАН С. В. Ко-нягина, профессора Б. И. Голубова и профессора М. И. Дьяченко (2015); Российского университета дружбы народов, совместное заседание семинара кафедры математического анализа и теории функций под руководством член-корреспондента РАН В. Д. Степанова, семинара кафедры нелинейного анализа и оптимизации под руководством профессора А. В. Арутюнова и семинара кафедры прикладной математики под руководством профессора А. Л. Скубачевского (2015); Московского физико-технического института, семинар под руководством профессора Е.С. Половинкина (2015).

Результаты диссертации были представлены на следующих международных научных конференциях: 3-ей конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", посвящённой 85-летию Л. Д. Кудрявцева (Москва, 2008 г.); конференции, посвящённой памяти профессора А. Ю. Левина (Ярославль, ЯрГУ им. П. Г. Демидова, 2008 г.); конференции "Наука в вузах: математика, физика, информатика. Проблемы высшего и среднего профессионального образования" (Москва, РУДН, 2009); конференции "Теория приближений" (Санкт-Петербург, 6-8 мая 2010); конференции International Conference "Approximation theory and Applications. In memory of N. P. Korneichuk" (Dnepropetrovsk, Ukraine, 2008); конференции "Моделирование и анализ информационных систем", посвящённой 35-летию математического факультета и 25-летию факультета информатики и вычислительной техники Ярославского государственного университета (Ярославль, 2012); конференции International Topological Conference "Alexandroff Readings" (Moscow, Lomonosov Moscow State University, May 21-25, 2012); конференции Yaroslavl International Conference "Discrete Geometry" dedicated to the centenary of A. D. Alexandrov (Yaroslavl, P. G. Demidov Yaroslavl State University, August 13-18, 2012); конференции Yaroslavl International

Conference "Geometry, Topology, and Applications" dedicated to the 70th birthday of N.P. Dolbilin (Yaroslavl, P.G. Demidov Yaroslavl State University, September 23-27, 2013).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 38 работ, из них 1 монография, 15 статей в научных журналах списка ВАК и 9 тезисов докладов на международных научных конференциях.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, разбитых на 43 параграфа, списка литературы из 87 наименований и списка основных обозначений. Объём диссертации составляет 294 страницы.

Основное содержание работы.

Сначала приведём основные обозначения.

Всюду далее п е N. Элемент х е R" будем записывать в виде х = (xi,...,x„). Через ||а;|| обозначается евклидова норма х. Положим Qn := [0,1]п. Для выпуклого тела С С К™ через аС обозначим результат гомотетии С относительно центра тяжести с коэффициентом а. Если С — выпуклый многогранник, то ver(C) обозначает совокупность вершин С. Под транслятом понимается результат параллельного переноса. Для компактного множества О, с Мп через С(£1) обозначается совокупность непрерывных функций / : С(П) чКс равномерной нормой ||/||с(п) := maxxen |/(х)|. Если к € Z+, то Щ(Е") есть пространство многочленов от п переменных общей степени < к. Таким образом, под Щ (R") понимается линейная оболочка 1,х\, ..., хп. Для aeZ" через Па(Мп) обозначается пространство многочленов от п переменных степени < а, по х{. Запись L(n) ж М(п) означает, что существуют такие константы c\,ci > 0, не зависящие от п, с которыми выполняется ciM(n) < L(n) < c2M(n).

Во введении коротко изложено содержание диссертации по главам, отмечены цели работы, актуальность темы и научная новизна результатов, а также основные публикации автора.

В главе 1 вводятся и исследуются некоторые геометрические характеристики выпуклых тел, в первую очередь симплексов. Часть из полученных в этой главе результатов используется в дальнейшем для оценок интерполяционных проекторов. Однако, как представляется автору, эта глава имеет и самостоятельное значение.

Пусть S — невырожденный симплекс в R" с вершинами х^ =

Лз)

rU)

1 < j <7i + l. Рассмотрим матрицу

' 4"

J2)

A :=

Jn+l)

T(2)

An

fn+1)

Л

1

Пусть А := с1е<;(А). Обозначим через Д^я) определитель, который получается из Д заменой у-й строки на строку (а^, ... ,х„, 1). Многочлены \j(x) := ДДх)/Д из П^К") обладают свойством Xj (ж®) = где 5к- — символ Кронекера. Коэффициенты Аj составляют j-й столбец А-1. В дальнейшем полагаем А-1 = {1^). Тем самым, \j{x) = 1\^х\ + ... + 1^хп +

Многочлены Xj мы называем базисными многочленами Лагран-жа, соответствующими 5. Числа являются барицентрическими координатами а;еК" относительно 5. В § 1.1 отмечаются начальные свойства многочленов А^ и коэффициентов а в следующих параграфах первой главы устанавливаются их более тонкие свойства. Мы начнём с описания теорем об осевых диаметрах симплекса.

Для выпуклого тела С с 1" обозначим через ¿¿(С) максимальную длину отрезка, содержащегося в С и параллельного оси х Величину ¿¿(С) будем называть г-м осевым диаметром С. Понятие осевого (аксиального) диаметра было введено Скоттом9, 10.

Далее первый номер утверждения есть его порядковый номер в автореферате; в скобках указан номер утверждения в основном тексте диссертации.

Теорема 1 (1.2.1). Пусть 1 < i < п. Для г-го осевого диаметра Б верно равенство

di(S)

, 71+1 j=i

I к

(1)

В S существует ровно один отрезок длины di(S), параллельный

*Scott P.R. Lattices and convex sets in space 11 Quart. J. Math. Oxford (2). 1985. V. 36. P. 359-

10Scott P.R. Properties of axial diameters // Bull. Austral. Math. Soc. 1989. V. 39. P. 329-333.

оси x¿. Центр этого отрезка совпадает с точкой

п+1

^ Е 1Ы

к=1

Каждая (п — 1)-мерная грань S содержит по крайней мере один из концов указанного отрезка. Сумма размерностей двух минимальных по включению граней S, содержащих концы отрезка, не превосходит п — 1.

Доказательство теоремы 1 использует операцию с выпуклыми телами, введённую Радзишевски11. Из свойств /у и (1) вытекает, что величина l/d¿(5) равна сумме положительных элементов г-й строки А-1 и одновременно равна сумме модулей отрицательных элементов этой строки.

Следствие 1 (1.2.2). Для ненулевого n-мерного вектора v симплекс S содержит единственный отрезок максимальной длины, параллельный v. Каждой (п — 1 )-мерной грани S принадлежит хотя бы один из концов этого отрезка. Сумма размерностей двух минимальных по включению граней S, содержащих концы отрезка, не превосходит п — 1. Объём S ровно в п раз меньше произведения длины указанного отрезка и (п — 1 )-меры проекции S на (п — 1)-мерную гиперплоскость, ортогональную v.

Ниже мы дополним результат следствия 1, указав явные формулы для вычисления максимального в симплексе отрезка данного направления.

В § 1.3 вводится величина £(С; S) := min{cr > 1 : С С <т5}. Полагаем f(S) := £(Q„; S). Ясно, что равенство f(С; S) = 1 эквивалентно включению С С S.

Теорема 2 (1.3.2). Пусть S — невырожденный симплекс, С — выпуклое тело в К™. Предположим, что С <f_ S. Тогда

£(С; S) = (п + 1) max тах(—\/¡(x)) + 1. i<fc<n+i хес

Равенство тах(—Ai(rr)) = ... = max(—An+i(x)) эквивалентно

хес хес

тому, что симплекс £,(S)S описан вокруг С.

11 Radziszewski K. Sur une problème extremal relatif aux figures inscrites et circonscrites aux fiures convexes // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. Sect. A. 1952. V. 6. P. 5-18.

Для выпуклых тел С^Сг С К" обозначим через а{С\\С?) минимальное а > О, для которого С\ принадлежит трансляту аС2. Положим а(С) := а(<3п, С).

Теорема 3 (1.4.1). Пусть С — выпуклое тело, Б — невырожденный симплекс в К". Тогда

п+1

а(С;5) = ^тах(-ВД) + 1. (2)

¿=1

В случае С = (2) эквивалентно равенству

Отметим возможность вычисления а(5) через коэффициенты многочленов Ау

Следствие 2 (1.4.2). Справедливо равенство

1 п п+1

<*(£) = ¿ЕЕ м- (4)

г=11=1

Из свойств и (4) вытекает, что величина а(3) равна сумме положительных элементов верхних п строк матрицы А-1 и одновременно равна сумме модулей отрицательных элементов этих строк.

Ключевое соотношение (3) доказано в диссертации двумя способами. Первый подход, применённый при доказательстве теоремы 3, использует выражение осевых диаметров ^(Б) через коэффициенты многочленов А у, этот путь описан в §1.4. В §1.5 равенство (3) доказывается вторым, более геометричным способом. На этом пути сначала даётся прямое доказательство следующей теоремы.

Теорема 4 (1.5.1). Пусть V С М" — невырожденный параллелепипед, рёбра которого задаются линейно независимыми векторами и'1', ..., г/"'. Обозначим через а,- длину у(1\ Пусть Б —

п-мерный симплекс, <5; — максимальная длина отрезка из 5, пап

раллельного Если V с Б, то ^ 1-

¿=1

Теорема 4 доказывается с помощью подхода, принадлежащего

п

Карасёву. Из неё выводится, что а(5) > Х^МС^)- Противополож-

¿=1

п

ное неравенство а(5) < Х^МС^) получается следующим образом.

{=1

Из результата Скотта12 следует, что если в выпуклое тело С можно вписать транслят куба С?„, то

¿¿у-1' (5)

В диссертации неравенство (5) доказывается в более общей ситуации, когда подход Скотта не эффективен.

Теорема 5 (1.5.2). Выпуклое тело С содержит транслят куба

ст<2„, где а := 1 /¿¡(С)) .

Из теоремы 5 выводится такое следствие.

Следствие 3 (1.5.3). Для любого выпуклого тела С С К" справедливо

Таким образом, если С = 5 — симплекс, то в (6) имеет место равенство, т.е. справедливо (3).

Остановимся на геометрических следствиях равенства (3). Следствия этого равенства, касающиеся вопросов полиномиальной интерполяции функций, приводятся далее.

Следствие 4 (1.6.2). Пусть 5 с 1" - невырожденный симплекс.

п

(a) ^ 1 /(1{ (Б) < 1 тогда и только тогда, когда С}п содержится

г=1

в трансляте 5.

п

(b) ^ 1/с?г(5) = 1 тогда и только тогда, когда С}п принадле-

¿=1

жит трансляту 5 и этот транслят описан вокруг <5„.

Следствие 5 (1.6.3). Пусть 5 с С}п. Тогда ^(5) > а(5) > п. Если £(¿7) = п, то а(Б) = п и для любого г верно <¿¿(5) = 1.

С помощью полученных результатов доказывается утверждение, представляющее, по мнению автора, самостоятельный интерес.

Следствие 6 (1.6.4). Пусть <2„ с 5. Тогда для некоторого г верно £¿¿(5) > п. Иначе говоря, для некоторого г симплекс 5 содержит отрезок длины п. параллельный г-й координатной оси.

12Scott P.R. Lattices and convex sets in space // Quart. J. Math. Oxford (2). 1985. V. 36. P. 359-

362

Из (3) выводятся некоторые известные результаты других авторов. В качестве таких примеров приведём следствия 7-10. Утверждения следствий 7, 8, 10 ранее доказаны Лассаком13. Результат следствия 9 приведён Балла14. Пусть V — невырожденный параллелепипед в R", рёбра которого задаются линейно независимыми векторами г/1',..., г/71).

Следствие 7 (1.6.9). Если —(1 /n)S С V С S, то для любого г симплекс —(1/п)5 содержит ровно один отрезок, который параллелен г/1' и длина которого равна длине vW.

Следствие 8 (1.6.10). Пусть симплекс S с V имеет максимальный объём из всех симплексов, принадлежащих V. Тогда для каждого г симплекс S содержит единственный отрезок, который параллелен v^ и длина которого равна длине

Следствие 9 (1.6.11). Пусть S — невырожденный симплекс, Уь Vi — параллелепипеды в R". Предположим, что Vi есть результат гомотетии V\ с коэффициентом а > 1. Если Vi с S с V2, то а >п.

Следствие 10 (1.6.12). Пусть V есть параллелепипед максимального объёма в симплексе S. Тогда для любого г симплекс

— (1 /тг)5 содержит ровно один отрезок, который принадлежит V, параллелен v^ и длина которого равна длине

Ещё одно геометрическое следствие (3) связано со следующей гипотезой Лассака. Обозначим через Wi{C) ширину выпуклого тела С в направлении г-й координатной оси. Очевидно, г^(С) > di{C). В 1993 г. Лассак15 предположил, что если в С можно вписать транс-

п

лят Qn, то l/wi(C) > 1. Эта гипотеза была доказана им для п = 2.

г= 1

В §1.7 диссертации дано новое доказательство двумерного варианта гипотезы Лассака. Показано также, что в случае, когда С = S

— симплекс, гипотеза Лассака верна в следующем усиленном виде. Теорема 6 (1.7.2). Пусть в n-мерный симплекс S можно впи-

п

сать транслят Qn. Тогда Wi(S) = di(S) и J2 1/^(5) = 1.

i=l

,3Lassak M. Parallelotopes of maximum volume in a simplex // Discrète Comput. Geom. 1999. V. 21. P. 449-462.

HBalla M. Y. Approximation of convex bodies by parallelotopes. International Centre for Theoretical Physics. Internai report IC/87/310. Trleste, 1987. 5 p.

15Lassak M. Approximation of convex bodies by rectangles // Geom. Dedic. 1993. V. 47. P. 111-117.

Обозначим через Сх1<7 образ выпуклого тела С при гомотетии с центром в точке хбК"и коэффициентом и. В наших предыдущих обозначениях аС = Ст,а, где т — центр тяжести С. Пусть 5 — невырожденный симплекс вГс вершинами В §1.9 решена задача о вычислении такой точки х е М", для которой с минимальным возможным для 5 коэффициентом а > 0 справедливо включение <3П С ¿>х,ст. Приводятся формулы, в которых центр х минимальной положительной гомотетии вычисляется через вершины 5 и числа — коэффициенты многочленов Xj.

п

Теорема 7 (1.9.1). Если сг = ^ 1/^(5) ф 1, то существует

¿=1

единственная точка х = ...,хп) такая, что <5„ с Имеют место равенства

хк = 7Г7-^ 7Т > > УЬМ

А; = 1,... ,п.

Если 0 < <т < X) 1М(5'), то для любой 1£Г верно <3„ £ 5Х(Г.

¿=1

Теорема 8 (1.9.2). Для невырожденного симплекса 5 с М" условие а(5) ф 1 эквивалентно

п п-(-1

ЕЕм^2- (7)

¿=1 7=1

п п+1

Пусть выполнено (7) и сг := \ Е 1М- Тогда единственная точка

¿=1 ¿=1

х, (Зля которой верно включение С}п с вычисляется

по формулам

¿=1 \г=1 /

^ =-¡Г^П-' А = 1,...,п.

ЕЕ 1^1-2

¿=1 ¿=1

Дано решение задачи о вычислении максимального в симплексе отрезка, параллельного данному ненулевому вектору V = (г>ь..., уп). Этот результат обобщает теорему 1 и получен иным способом. Обозначим через <¿"(5) максимальную длину отрезка, принадлежащего

5 и параллельного V. В случае, когда V коллинеарен г-й координатной оси, очевидно, сГ(5) = ¿¿(5). Положим

Е т,- — 7п,- „ то, + т,-

1цук, —-1, & -*

^ Е Ы Е Ы

1-=1 ¿=1 Теорема 9 (1.10.1). Справедливо равенство

,<5,-Л!-.

Е К1

Концы единственного отрезка максимальной длины, принадлежа-

п+1 п+1

ц<его 5 и параллельного V, суть точки а = ^ 0ljX^j\ Ь =

3=1 3=1

где хУ) — вершины 5.

Отрезок из 5 максимальной длины, параллельный V, характеризуется тем, что каждая (п — 1)-мерная грань 5 содержит хотя бы один из его концов. Из следствий теоремы 9 приведём такой результат. Пусть Е(5;и) есть (п — 1)-мерная мера проекции симплекса 5 на гиперплоскость, ортогональную вектору V.

Следствие 11 (1.10.1). Имеют место равенства

п ■ уо!(5) И<А)| ^

В главе 2 исследуется интерполяция функций, непрерывных на кубе с помощью многочленов из ГЦ (Мп). Пусть точки х^ е <5„ являются вершинами невырожденного симплекса 5. Интерполяционный проектор Р : С((2п) —> П^М") по узлам х^ определяется равенствами Р/ (х^) = / (х^') (1 < з < п). Справедлив аналог интерполяционной формулы Лагранжа:

п+1 .7=1

Обозначим через ||Р|| норму Р как оператора из С(С2п) в С{С}п).

п+1

Имеет место равенство ||Р|| = тах |А^(а:)|, где уег(<5п) есть

совокупность вершин Определим 9п как минимальную величину нормы ||Р|| при условии, что узлы интерполяции принадлежат :

Интерполяционный проектор Р*, для которого ||Р*|| = вп, назовём минимальным. В центре наших интересов находятся вопросы об оценках и точных значениях вп, а также об описании минимальных и асимптотически минимальных интерполяционных проекторов.

Введём в рассмотрение также геометрическую характеристику куба <3П, определяемую равенством

£п := тт{^(5) : 5 — п-мерный симплекс, 5 С , уо1(5) ф 0}.

Часть результатов и доказательств настоящей главы остаются справедливыми после замены куба <2„ на его фиксированное подмножество и внесения некоторых естественных изменений. Это даёт возможность применить получившиеся теоремы при рассмотрении интерполяции с помощью более широких, чем ГЦ (Ж"), пространств многочленов. Соответствующий подход реализован в главе 5.

Получены формулы для вычисления ||Р|| и ^(5) через барицентрические координаты. С помощью этих выражений доказано важное для дальнейшего соотношение между ||Р|| и £(£).

Пусть 1 < р < п. Будем говорить, что х е уег(<Зп) является ^-вершиной <3„ относительно симплекса 5 С б?„, если для интерполяционного проектора Р : С(<Эп) Щ (К") с узлами в вершинах 5

выполняется равенство ||Р|| = (гс)| и среди чисел \^{х) имеется

ровно р отрицательных.

Теорема 10 (2.2.1). Для любого проектора Р и соответствующего ему симплекса 5 справедливы соотношения

Правое равенство в (8) имеет место тогда и только тогда, когда существует 1-вершина относительно 5. Если для некоторого ц имеется р-вершина <5„ относительно Б, то

п+1

(8)

п + 1

(И1 -1) +1 < £(5).

2ц

Теорема И (2.2.2). Для любого п выполняются соотношения + + (9)

Приводятся некоторые следствия этих и предыдущих утверждений. Отметим здесь неравенства

а также следующую оценку ||Р|| через осевые диаметры S:

Равенство в (11) имеет место тогда и только тогда, когда существует 1-вершина Qn относительно S и выполняется соотношение max (—Ai(x)) = ... = max (—An+1(:r)), эквивалентное тому,

zever (Q„) iever(Q„)

что симплекс £(S)S описан вокруг Qn.

Показано, что минимальный проектор может быть построен по системе узлов, принадлежащих границе Qn. Получены точные значения вп и £п при п = 2,3. По сравнению с тривиальным случаем п = 1 (очевидно, в\ = ^ = 1) уже двумерный случай весьма непрост и интересен.

Обозначим через г наименьший корень уравнения t2 — 3£ + 1 = 0. Тогда т = (3 — \/5)/2. Это число связано с "золотым сечением" отрезка [0,1], так как т/(1 — г) = 1 — т.

Теорема 12 (2.4.1). Для любого проектора Р : C(Q2) —> П^Е2) по трём узлам, принадлежащим выполняется точное неравенство

Равенство в (12) имеет место лишь для проектора по узлам (0,0), (1,т), (г, 1) и для тех трёх проекторов, узлы которых получаются из указанных поворотами вокруг центра <32 на углы, равные 7г/2, 7г и 37г/2. Для других Р, кроме этих четырёх отмеченных, б (12) выполняется строгое неравенство.

(Ю)

(П)

+ 1 = 1.89442719...

(12)

Из теоремы 12 следует, что 02 = 2%/5/5 + 1. Неравенство теоремы 11 теперь даёт оценку

2 5

Доказано, что здесь имеет место равенство, т. е. точное значение £2 есть 3\/5/5 + 1 = 2.34164078....

Описанные в теореме 12 экстремальные расположения узлов имеют красивые геометрические свойства, главное из которых заключается в равенстве ^(5) = £2 = 2.3416.... Других треугольников, принадлежащих <32, кроме отмеченных четырёх, с таким свойством нет.

Точные значения в3 и £3 получаются при использовании результатов предыдущей главы.

Теорема 13 (2.5.1). Имеют место равенства вз = 2,£з = 3. Иначе говоря, для любого проектора Р : С (С} з) —> П^Е3) и любого тетраэдра 5 с <2з выполняются точные неравенства

И1 > 2, > 3. (13)

Левое равенство в (13) достигается лишь для проекторов по узлам (1 - г, о, о), (г, 1, о)г (1,1 - 1), (о, t, 1) при ь = о и при г = 1/2 и тем узлам, которые сводятся к отмеченным с помощью замены переменных. Правое неравенство становится равенством только для тех Б, которые соответствуют отмеченным Р.

В главе 3 выводятся различные оценки величин вп и £„. Основной результат состоит в соотношениях вп ж п1/2 и х п. При получении оценок этой главы существенно используются матрицы и числа Адамара, величины максимальных (0/1) и (-1/1) определителей порядка п, а также симплексы максимального объёма в кубе (¡)п. Даётся описание известных свойств этих объектов, которые используются в работе. Симплексом максимального объёма (или максимальным симплексом) в кубе <3„ будем называть такой п-мерный симплекс 5 с <3„, что для любого п-мерного симплекса Б' с <3„ верно ип := уо^й1) > уо1(5"). Некоторые из свойств максимальных симплексов вытекают из наших предыдущих результатов. Например, следствие 8 для случая V = даёт такое свойство. Если симплекс 5 с <5п имеет максимальный объём, т. е. уо1(5) = ип, то все осевые диаметры ^(Б) равны 1. Первое доказательство это-

го утверждения было дано Лассаком16. Доказываются неравенства

- / , ч1/п' , , ч1/п 1 +-1'

{п\ь>п) п + 1- [{п'Мп) '

которые, однако, оказываются менее точными, чем оценки (10).

Натуральное ш называется адамаровым или числом Адамара, если существует матрица Адамара порядка т. Известно, что т > 1 является адамаровым тогда и только тогда, когда существует (т — 1)-мерный правильный симплекс, вершины которого принадлежат множеству вершин Доказывается, что £„ ~ п. Это вытекает из (10) и следующей теоремы.

Теорема 14 (3.2.1). Для любого симплекса максимального объёма 5 С <Э„ имеет место неравенство ^(5) < п + 2. Если п + 1 — адамарово и Б — правильный симплекс, вписанный в <5П, то £(5) = п.

Следствие 12 (3.2.1). Для любого п е N справедливо £п < п + 2. Если п + 1 — адамарово, то £п = п.

Неравенство < п + 2 удаётся несколько улучшить. Именно,

п

показано, что если п > 2, то < (п — 3)/(п — 1). При любом верно < п + 1.

В §3.2 получены также предварительные оценки 9п. Доказано, что для п > 2 верно дп < (п + 1)/2; для чётных п > 3 оценка несколько лучше. Однако эти оценки не точны по порядку п.

В §§3.3-3.6 устанавливается соотношение вп ж тг1/2. Это осуществляется в несколько этапов. Сначала остановимся на оценках вп снизу.

Напомним, что стандартизованным многочленом Лежандра степени п называется многочлен

ад:=2^[(«2-1)"](в), » = 0,1,2,...

(формула Родрига). Многочлены Лежандра ортогональны на отрезке [—1,1] с весом = 1. Появление многочленов Лежандра

в круге наших вопросов связано с их следующим свойством, доказанным автором. Зафиксируем п 6 М, 7 > 1. Введём в рассмотрение

М. РагаПеЫореэ о! тах!шиш уо1ите ¡п а вгаркх // 01зсге1е Сотри!. Сеот. 1999.

V. 21. Р. 449-462.

множество

п п

Епп := G R" : |1 - + ^ \Xi\ < 7}.

г=1 ¿=1

Теорема 15 (3.3.1). Имеет место равенство

(т? \ ф"(7)

С помощью теоремы 15 получается следующий результат.

Теорема 16 (3.4.1). Выполняется неравенство

О. > (¿) . (14)

С привлечением известных свойств Фп из (14) получен ряд более обозримых оценок. Установлено, что вп > \Jn — 1/е. Для чётных п верно вп > \fnje. Для всех п > 1 таких, что п = l(mod 4), выполняется вп > п/(е\/п — 1).

При оценивании вп сверху также использовались симплексы максимального объёма в кубе и известные неравенства для i>nn.

Теорема 17 (3.5.1). Пусть S — симплекс максимального объёма в Qn, Р — интерполяционный проектор, узлы которого совпадают с вершинами S. Тогда

||Р|| <min^n+l,^VñT2+. (15)

Доказано, что если п + 1 — число Адамара, то для проектора из условия теоремы 17 выполняется ||Р|| < у/п + 1.

Из приведённых оценок следует один из основных результатов диссертации.

Теорема 18 (3.6.1). Для пф1

X-yJn - 1 < вп < min п + 2 + . (16)

17Hudelson М., Klee V., Larman D. Largest j-simplices in d-cubes: some relatives of the Hadamard maximum determinant problem // Linear Algebra Appl. 1996. V. 241-243. P. 519-598.

Левое неравенство из (16) выполняется при любом п. Имеет место соотношение

Из (17) следует, что вп ж п1/2. Отметим некоторые другие следствия полученных соотношений.

Наши результаты означают, что проектор, соответствующий максимальному симплексу, при всех п является почти-минимальным (в смысле определения 0П), а сам этот симплекс является почти-экстремальным (в смысле определения £„).

Следствие 13 (3.6.1). Пусть Р — интерполяционный проектор, узлы которого находятся в вершинах максимального симплекса 5. Тогда ||Р[| ж 0П1 £(5) ж £„.

Отметим соотношение для объёма симплекса, соответствующего минимальному проектору.

Следствие 14 (3.6.3). Пусть Р — произвольный проектор, удовлетворяющий условию ||Р|| = вп, и 5 — симплекс с вершинами в узлах этого проектора. Существует универсальная константа с > 0 такая, что

о>У" < уоКЯ)1/" < (18)

Таким образом, уо1(5)1/п ж у]!п. Кроме того, уо^)1/71 ж п-1/2.

Левое неравенство в (18) выполняется, если взять с= 1/20.

Исследован вопрос о выполнении равенств справа в двусторонних оценках (8) и (9). При рассмотрении оценки (8) берётся проектор, узлы которого являются вершинами симплекса максимального объёма в С2п. Этот материал иллюстрируется рядом примеров. Остановимся здесь на вопросе о справедливости равенства

£п = ^ (вп - 1) + 1 (Ю)

(это правое равенство в соотношении (9)). Так как £„ ж п, вп ж тг1/2, то совокупность тех п, для которых выполняется (19), является конечной. Доказано, что если п > 2 таково, что

т /Зп — 5\

то имеет место строгое неравенство

Из асимптотических свойств многочленов Лежандра выводится, что (20) выполняется по крайней мере при п > 57.

Приведём наиболее точные из полученных автором оценок для первых чисел 9п и £„ :

6»! = 1, 02 = 1.89..., 03 = 2, 2.2 < 04 < 2.33..., 2.33 ... < 05 < 2.6, 2.42... < 06 < 3, 07 = 2.5;

6 = 1, 6 = 2.34..., £3 = 3, 4 <6 <4.33..., 5 < 6 < 5.5, 6 < 6 < 6.6, 6 = 7.

Даётся улучшение верхних оценок вп для конкретных п. Для оценивания 0„ сверху применялись (0/1)-матрицы порядка п с максимальным определителем /гп. Строки или столбцы такой матрицы, пополненные (0,... ,0), дают систему узлов почти-минимального интерполяционного проектора. Симплекс с вершинами в этих узлах является симплексом максимального объёма в (¡п. Подробности этого подхода описаны в §3.5. Этот параграф написан по материалам статьи автора и И. В. Хлестковой18, в которой автору принадлежит теоретическая часть. Ряд получающихся с применением компьютера оценок лучше теоретических. Приводятся результирующие оценки для 1 < п < 20. Разумеется, этот метод может быть реализован и для других п.

В главе 4 норма минимального интерполяционного проектора сравнивается с нормой оператора ортогонального проектирования. Пусть Н — ортогональный проектор из С((дп) на П^К"), соответствующий скалярному произведению (/, д) = ¡{х)д(х) йх. Обозначим через ||Я"|| норму Н как оператора из С((5п) в С{С}п). Основной результат главы 4 составляет эквивалентность ||//|| ж вп. Таким образом, существуют положительные константы с\ и с2 со следующим свойством. Для любого натурального п найдётся такой набор

18Невский М.В., Хлестакова И. В. К вопросу о минимальной линейной интерполяции // Современные проблемы математики и информатики. Вып. 9. Ярославль, 2008. С. 31-37.

узлов, принадлежащих <3„, что для соответствующего интерполяционного проектора Р и ортогонального проектора Я выполняются неравенства ^ЦРЦ < ||Я|| < с2\\Р\\.

Сначала доказывается следующая теорема. Теорема 19 (4.1.1). Имеет место равенство

Из (21) следует, что ||Я|| < у/Зп + 1. В силу предыдущих результатов для установления эквивалентности ||Я|| ж вп достаточно показать, что ||Я|| > const ■ у/п. Последняя оценка получается двумя способами: с привлечением эйлеровых чисел и центральных Я-сплайнов. По этой причине значительная часть главы 4 связана с изложением известных и установлением новых свойств указанных объектов.

Пусть к — натуральное, к < п. Эйлеровым числом A1hk называется количество перестановок порядка п, каждая из которых имеет ровно к — 1 инверсий своих соседних компонент. Эти числа имеют ряд красивых геометрических свойств, связанных со слоями и сечениями n-мерного куба. Пусть

Q,

(21)

i= 1

Лаплас19 установил, что

vol(Tn,fc) = % п\

(22)

Для ueR положим

п

Из (22) выводится, что если j = 1,... ,п — 1, то

19de Laplace M. Oeuvres complètes. V. 7. Réédite par Gauthier-Villars. Paris, 1886.

Центральным .B-сплайном порядка п называется функция

оо

Bn(t)

о

Это чётная кусочно-полиномиальная функция степени п — 1, принадлежащая СП_2(М). Носитель Вп есть (—п/2, п/2); если |i| < n/2,

оо

то Bn(t) > 0. Кроме того, f Bn(t)dt = 1.

—оо

Первым, кто выявил связь Я-сплайнов с сечениями п-мерного куба, был Зоммерфельд. Им показано20, что

= (п > 1); ВД-JÄ.e-«V»

у/П V 7Гп

Запись ап = Ъп означает, что lim ап/Ъп = 1. С помощью последних

П—>00

соотношений доказывается, что существует константа 7 > 2 такая, что для любого п € N и m = [п/2\ справедливо неравенство

п! 7 у/п'

С использованием эйлеровых чисел даются двусторонние оценки нормы Я для п < 10. Затем устанавливается точная асимптотика ||Я|( по п. Для этого достаточно сложным техническим путём выводятся новые рекуррентные соотношения для эйлеровых чисел и на этой основе — новые оценки для них. С применением указанного подхода доказывается следующая теорема.

Теорема 20 (4.4.1). Существует константа с > 0 такая, что ||Я|| > су/Е.

Таким образом, ||Я|| ж п1/2. С учётом предыдущего получается следующий результат.

Теорема 21 (4.4.2). Имеет место соотношение ||Я|| ж 9п. Доказано неравенство ||Я|| < (Ье/у/7) -9п (заметим, что Ье/у/7 = 5.137...). Хотя бы для некоторых п выполняется 9п < ||Я||; таковыми являются, например, п = 1,2 и 3.

20Sommerfeld A. Eine besonders anschauliche Ableitung des Gaussischen Fehlergesetzes // "Festschrift Ludwig Boltzmann gewidmet zum 60. Geburstage, 20. Februar, 1904." Barth, Leipzig, 1904. P. 848-859.

Сформулируем уточнение теоремы 21, которое получается с применением наших предыдущих результатов. Пусть ¿> — симплекс максимального объёма в <5п> Р ~ интерполяционный проектор, узлы которого находятся в вершинах Б.

Теорема 22 (4.4.3). С универсальными константами справедлива эквивалентность ||Я|| х ||Р||.

Возможность применения для оценивания ||Я|| центральных .В-сплайнов связана со справедливостью следующего утверждения.

Теорема 23 (4.5.1). Для всех п

С помощью теоремы 23 и известных результатов об асимптотических свойствах В-сплайнов даётся второе доказательство соотношения ||Я|| > const • п1/2. Тем самым, предлагается второй способ доказательства теоремы 21.

В иллюстративных целях обсуждаются некоторые свойства центрального сечения n-мерного куба. В частности, показано, что отношение (п — 1)-мер сечения Qn гиперплоскостью = п/2 и проекции куба на эту гиперплоскость равно Вп(0). При п —> оо указанное отношение асимптотически эквивалентно л/б/тт • п~1/2.

В главе 5 рассматриваются вопросы, связанные с интерполяцией функций из С(Г2), fi — замкнутое ограниченное подмножество R", с помощью алгебраических многочленов из пространств, более широких, чем 111 (®п). Каждое такое пространство П размерности d > п + 1 есть линейная оболочка линейно независимых мономов <Pi(x), ..., ipd(x). Предполагается, что ipi(x) = 1, <Р2(х) = ^ь •••> Pn+i(x) = хп. Важные частные случаи П = Щ (IRn) — пространство многочленов общей степени < к (к е N) и П = П0 (ИТ1) — пространство многочленов степени < сц по Xi (а е N").

Совокупность точек а^1',... € Q является допустимым набором узлов для интерполяции с помощью П, если А := det(A) ф 0. В этой главе А есть (d х с^-матрица

ос

—оо

1 <Р2{х(1)) ... <fid(x'

1 <p2(x{d)) ... <pd(x 27

Эта матрица отличается от матрицы, соответствующей рассмотренному в предыдущих главах случаю П = П1 (R"), тем, что столбец, состоящий из 1, в ней является первым. Указанное обстоятельство связано с выбранной в главе 5 системой нумерации мономов = 1) и вносит лишь формальные, а не содержательные изменения.

Пусть Р : С(Г2) —>■ П — интерполяционный проектор по данному набору узлов. Тогда

Pf ix) = £/ (>) Xj{x), Xj(x) := i=i

где Дj(x) — определитель, который получается из Д заменой j-й строки на строку (<pi(x),..., ipd(x)) ■ Многочлены Xj е П обладают свойством Аj (х= б1-. Их коэффициенты в базисе <р\, ..., <pd составляют столбцы А-1. Рассматриваются лишь допустимые наборы узлов и те множества f2, каждое из которых содержит такой набор.

Важную роль играет обратимое отображение Т : R™ -» Rd_1, определяемое равенством у = Т(х) := (^(х),. ■ ■, Vd{x)).

Пусть ||Р||П обозначает норму Р как оператора из C(f2) в С(Г2); для согласования с предыдущим считаем ||Р|| := ||-Р||<з„. Получены выражения нормы ||Р||п через барицентрические координаты точек у относительно невырожденного (d — 1)-мерного симплекса с вершинами yü) = Т (xü)j _ Они обобщают равенства главы 2 со случая П = П1 (R™) и tt = Qn на произвольные П и Г2.

Через 0П(П; Г2) обозначим минимальную величину нормы проектора Р : C(il) —> П при условии, что узлы интерполяции принадлежат Q. Проектор, норма которого равна будем называть минимальным. Положим вп(£1) := вп (Iii (Rn); П). Для согласования с предыдущим считаем вп := 9„(Qn)-

Для невырожденного симплекса введём в рассмотрение

величину := min {и > 1 : fi с cS1}, определяемую по анало-

гии со случаем, когда i~2 есть выпуклое тело в R". Включение П с S эквивалентно равенству S) = 1. Введём следующую геометрическую характеристику множества

£„(П) := min S) : S — симплекс в R", ver(S) С П, vol(S) + 0}. Считаем := £n(Q„).

Целью главы 5 является доказательство неравенств, связывающих нормы проекторов с геометрическими характеристиками множеств. Величина ||Р||п оказывается равной норме интерполяционного проектора Р на пространство многочленов степени < 1 от с1 — 1 переменных, рассматриваемых на множестве Т(О) С М''-1. В свою очередь величина ||Р||т(п) связана с определённой геометрической характеристикой множества Г(Г2). Кроме того, мы докажем неравенства для величины 0П(П;О). Получающиеся оценки переносят на случай допустимых пространств П результаты, установленные выше для П = П! (Еп).

Для реализации этой схемы потребовалось получить оценки для интерполяционных проекторов Р : С(Г2) —> Щ (М") для произвольного И. На этом пути сначала даётся следующее обобщение теорем 10 и 11.

Теорема 24 (5.2.1). Для любого интерполяционного проектора Р : С(П) —> П1 (Мп) справедливы неравенства

| (1 + (\\Р\|п - 1) + 1 < £(П; 5) < (||Р||„ - 1) + 1. Для любого п

К1 + «) {вп{П) ~ 1) + 1 ~ ~ ^ {9п(П) ~ 1} +

Затем получается один из основных результатов диссертации.

Теорема 25 (5.3.1). Для проектора Р : С{£1) -»Пс узлами х^ выполняются неравенства

К1 + ¿т)(||Р||п " 1} +1 - тпу'5) - \(||р||п " 1} + (23)

где 5 — (й—\)-мерный симплекс с вершинами Т (х^). Кроме того,

\ + ¿гт) П) -1) +1 < &-1(г(п)) <

<^(0„(П;П)-1) + 1. (24)

Теорема 25 является обобщением теорем 10 и 11 с куба <3„ на произвольное множество (] и с пространства ГЦ (Мп) на произвольное пространство многочленов П указанного типа.

Приведём глобальные оценки величин 6>„(П;Г2) и Пусть Р* : —> П — интерполяционный проектор, узлы

которого максимизируют |Д| при ограничениях х€ П; 5* — (<1 — 1)-мерный симплекс с вершинами Т (х*^) .

Теорема 26 (5.3.2). Имеют место соотношения

0п(П;П) < ||Р*|| <й, (25)

(тт < £(Т(П); 5*) + 2) < (26)

Неравенство ||Р*|| < в, отмечалось Йонссоном21; (26) следует из (25) и (24). Из теоремы 26 имеем для П = Щ (К")

Если же П = Па (Ж"), то

№* + !)

вп (П„ (Ж"); П) < f[{oi + 1), &-i(T(i2)) < I

г=1 Z

i=l

Выводятся также некоторые оценки чисел 0„(П; снизу. Введём в рассмотрение множество Л'(П) := сопу(уег(<3,ц) П^ХС«))-Через ы(П) обозначим максимальную величину определителя Л = с^ А при условии принадлежности всех узлов кубу „. Пусть Ф^ — введённый выше стандартизованный многочлен Лагранжа степени к. Доопределим Ф^1^) на полуинтервал [0,1) значением Ф^х(1) = 1.

Теорема 27 (5.3.3). Справедливо неравенство

2'Jonsson A. Markov's inequality and local polynomial approximation // Funct. Spaces Appl. Lund, 1986. P. 303-316.

Приведённые теоремы иллюстрируются различными примерами. Приведём здесь следующий пример из п. 5.4.2. Известно22, что минимальная величина нормы интерполяционного проектора, действующего из С[—1,1] в П2 (К1), равна 5/4. В наших обозначениях это означает, что

вг (П2 (М2) ; [-1,1]) = | (27)

Рассмотрим часть параболы Г = {(х,х2) 6 К2 : — 1 < х < 1}. Пусть треугольник вершины которого принадлежат Г, и число а > 1 таковы, что Г с сгБ. Минимальное возможное а с таким свойством равно 11/8; оно соответствует, например, треугольнику с вершинами (—1,1), (0,0), (1,0) (а также некоторым другим). Оказывается, что равенство ттст = 11/8 эквивалентно (27).

Даются оценки нормы интерполяционного проектора общего вида через осевые диаметры множеств. Пусть V — невырожденный тг-мерный параллелепипед. Предположим, что рёбра V задаются линейно независимыми векторами г/1',..., у(пК Через а^У) обозначим длину г/'). Для выпуклого (? С К" через бУ(С) обозначим максимальную длину отрезка, содержащегося в и параллельного По аналогии со случаем V = С2п величину дУ(С)/щ(У) мы называем г-м осевым диаметром (5, но относительно V. Это отношение равно максимальной длине отрезка из параллельного г-й оси координатной системы, базисные векторы которой совпадают с у^.

Теорема 28 (5.5.1). Пусть П — допустимое пространство многочленов размерности с?, := сопу(Т(П)). Тогда

+ (28)

г=1 1 4 1

Максимум в левой части (28) берётся по совокупности невырожденных (<1 — 1 )-мерных параллелепипедов Осб.

Если интерполяционный проектор Р* : С(П) —> П и параллелепипед В* сб удовлетворяют равенству

= + (29)

г—1 г \ /

22Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука, 1983. 384 с.

то Р* является минимальным.

Даются некоторые примеры и комментарии. В частности, отмечается, что условие (29), достаточное для минимальности Р*, не является необходимым.

В §5.6 выводятся оценки для интерполяционных проекторов, действующих из С(С2п) в Хп, п > 2. По определению, Хп есть пространство многочленов от п переменных х1,...,хп, каждый из которых является линейной комбинацией \,хг,х,х^. В произведениях переменных г < Например, Х2 = \т(1,х\,х2,х\х2), и т.д. Размерность Хп равна й = п(п + 1)/2 + 1. Обозначим Кп := К(Хп), ип := и{Хп).

Теорема 29 (5.6.1). При любом п> 2 верны неравенства

В заключительной главе 6 выводятся оценки констант эквивалентности для некоторых норм алгебраических многочленов. Вопросы оценивания или нахождения точных значений констант из неравенств для эквивалентных норм многочленов имеют приложения в самых разных задачах, не обязательно связанных с интерполяцией. Однако интерес автора к указанным вопросам был мотивирован получением оценок для минимальной (С —С)-нормы проектора именно при полиномиальной интерполяции функций. При переходе от пространства многочленов степени < 1 к более широком пространствам в ряде работ автора использовалась норма ||-||*. Так возникла потребность в оценивании констант из неравенств для эквивалентных норм многочленов. В главе 6 систематизированы результаты, полученные в этом направлении.

Пусть d > 2, линейно независимые •••) <Аг принадлежат C(Qn). На пространстве П = lin (</?i,..., tpj) рассмотрим нормы

maх(Л, В, С, D) < вп(Хп] Qn) < d,

где

!-Ъ

\\g\\c(Qn) := max \g{x)|, Ы|* := ЦСЦ^^ 32

1Ы11 := = 11с11с([-1,1]<'-1)-

7 = 1

а

Здесь д(х) = ^ & ~ многочлен от у1; ..., уд-\ степени < 1,

7=1

имеющий тот же набор коэффициентов, что и д :

й

С(у) = ах + ^а^-и У= (уи ■ ■■ ,Уё-\)-

7=2

Известно, что любые две нормы, заданные на конечномерном линейном пространстве, являются эквивалентными. Обозначим через 7 {п,к) или 7 {п,а) наименьшую константу с в неравенстве Ы* < 49\\с(оп) Для д е или для д € Па(М") соответ-

ственно. В тех же ситуациях наименьшая константа в неравенстве Ц0Ц1 < с1|5||с(с?„) обозначаются соответственно 5(п,к) или 6(п,а). Всегда

7(п, к) < 5(п, к) < 3"у(п, к), 7(п, а) < 6(п, а) < З7(п, а). Теорема 30 (6.2.1). Для к > 0 справедливо равенство

ЛПАЛ 1 ,У23

= 1 + --1.3.....(2,-1) "

Из теоремы 30 получается, что ¿(1,1) = 3, ¿(1,2) = 17, ¿(1,3) = 99, ¿(1,4) = 577, ¿(1,5) = 3363, ¿(1,6) = 20369 и т.д. Например, 99 есть минимальное значение константы, с которой для любых ао, сц, а2, а3£К имеет место неравенство

I«оI + 1^11 + |а2| + |а3| < с тах |а0 + ахх + а2х2 + а3ж31 .

0<х<1

Теорема 31 (6.2.2). Для к> О

7(1.Л)<1 + Е1|---1-3.....(2,-1) "

¿(1,/с) + 1 ~~ 2 33

Выводятся точные значения ё(п,а) и оценки 7 (п,а), 6(п,к), 7(п,к). Приведём часть этих результатов.

Теорема 32 (6.3.1). Для сц > О справедливо равенство

т, , , , 21'1 -рг а? И -!)•■■ (а2 - (А - I)2)

Теорема 33 (6.3.2). Для с^ > 0 выполняются соотношения 7( ' ок й 1-3-.-(2А-1) -

_ ¿(п, а) + 1

Даются точные значения 7(71,1), 5(п, 1) и оценки 7(71,2), ¿(п, 2). Ясно, что 7(77,1) = 1. Доказывается равенство ö(n, 1) = 3, и выводятся оценки 7(71,2) < 13тг + 9, 6(п, 2) < 39п + 27.

В §6.5 реализуется метод оценивания констант через собственные значения матрицы, составленной из попарных скалярных произведений базисных функций ipj пространства многочленов П. Отметим результаты, которые касаются ситуаций П = na(Rn) или П = Щ(К"). Здесь к,п е N; a е \а\ > 0. Ниже s и t есть порядковые номера наборов а* и ß* соответственно.

п

Следствие 15 (6.5.4). Пусть d = dimnQ(R") = П (a, + 1); Amin

¡=1

— минимальное собственное значение (d х <£)-матрицы С = (cst),

п

состоящей из чисел cst := П(аг* + ßi + 0 < a*> ß* < Тогда

i=1

rl

0 < Amin <

6(n, a)2

-л L v 2— TT ai (ai -1) ■■■ (ai ~ (ßi ~ l)2)4 "2 ~ V 0! ' П 1 ■ 3 •... • (2ßi - 1)

У 0<ß<a ^ ßi>0

Следствие 16 (6.5.5). Пусть d = сйтЩ(Е") = (п+*) = (n+fc); Amin > 0 — минимальное собственное значение (d х d)-матрицы

С = (с5(), состоящей из чисел св1 := П(аг* + А* + 1) > 0 ^ 1а*1! 1<®*1

г=1

< к. Тогда

В заключительном §6.6 вновь рассматривается введённое выше пространство Хп. Обозначим через г]п наименьшую константу с, с которой для д е Хп выполняется Ц^Ц* < с||д||с(<э„)- Найдены точные значения 772 = 6,773 = 7. Доказывается, что т)п = 0(п).

Теорема 32 (6.6.2). При п >2 справедливо т]п < 2п + 1. Общая оценка г]п снизу даётся неравенством

■Пп> 9--Г-Ц (п> 2). (30)

М

Хотя бы для серии значений п = 2к неравенство (30) может быть существенно усилено.

Следствие 17 (6.6.1). Для тг = 2к, к € К, имеет место неравенство 7)п > (3/8)-у/тг.

Таким образом, г]п оо при п -> оо. Однако точный порядок асимптотики г]п при п —> оо автору не известен.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи в научных журналах из списка ВАК

1. Невский М.В. Минимальные проекторы и максимальные симплексы // Модел. и анализ информ. систем. 2007. Т. 14, № 1. С. 3-10.

2. Невский М. В. Ортогональное проектирование и минимальная линейная интерполяция на тг-мерном кубе // Модел. и анализ информ. систем. 2007. Т. 14, № 3. С. 8-28.

3. Невский М. В. Неравенства для норм интерполяционных проекторов // Модел. и анализ информ. систем. 2008. Т. 15, № 3. С. 28-37.

4. Невский М. В. О константах эквивалентности для некоторых норм на пространствах алгебраических многочленов // Модел. и анализ информ. систем. 2008. Т. 15, № 4. С. 65-80.

5. Невский М. В. Об одном соотношении для минимальной нормы интерполяционного проектора // Модел. и анализ информ. систем. 2009. Т. 16, № 1. С. 24-43.

6. Невский М. В. Об одном свойстве n-мерного симплекса // Матем. заметки. 2010. Т. 87, № 4. С. 580-593. (Английский перевод: Nevskii М. V. // Math. Notes. 2010. V. 87, № 4. P. 543-555.)

7. Невский М. В. Геометрические оценки в полиномиальной интерполяции // Модел. и анализ информ. систем. 2011. Т. 18, № 1. С. 142-148.

8. Невский М. В. О геометрических характеристиках га-мерного симплекса // Модел. и анализ информ. систем. 2011. Т. 18, № 2. С. 52-64.

9. Невский М. В. Об осевых диаметрах выпуклого тела // Матем. заметки. 2011. Т. 90, № 2. С. 313-315. (Английский перевод: Nevskii М. V. И Math. Notes. 2011. V. 90, № 2. P. 295-298.)

10. Невский M.B. О гипотезе Лассака для выпуклого тела // Модел. и анализ информ. систем. 2011. Т. 18, № 3. С. 5-11.

11. Невский М. В. О некоторых результатах по геометрии выпуклых тел и их приложениях // Модел. и анализ информ. систем. 2012. Т. 19, № 3. С. 113-123.

12. Невский М. В. О минимальном положительном гомотетиче-ском образе симплекса, содержащем выпуклое тело // Матем. заметки. 2013. Т. 93, № 3. С. 448-456. (Английский перевод: Nevskii М. V. Н Math. Notes. 2013. V. 93, № 3-4. P. 470-478.)

13. Невский М. В. Об одной задаче для симплекса и куба в К" // Модел. и анализ информ. систем. 2013. Т. 20, № 3. С. 77-85. (Английский перевод: Nevskii М. V. // Automatic Control and Computer Sciences. 2014. V. 48, № 7. P. 521-527.)

14. Невский M. В. Вычисление максимального в симплексе отрезка данного направления // Фундамент, и прикладная математика. 2013. Т. 18, № 2. С. 147-152. (Английский перевод: Nevskii М. V. // Journal of Math. Sciences. 2014. V. 203, № 6. P. 851-854.)

15. Nevskii M. Properties of axial diameters of a simplex // Discrete Comput. Geom. 2011. V. 46, № 2. P. 301-312.

Монография

16. Невский M. В. Геометрические оценки в полиномиальной интерполяции. Ярославль: ЯрГУ, 2012. 218 с.

Тезисы международных конференций

17. Невский М. В. О минимальной норме проектора при линейной интерполяции на n-мерном кубе // Тез. докл. 3-ей междунар. конф. "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", поев. 85-летию Л. Д. Кудрявцева. М.: МФТИ, 2008. С. 162-164.

18. Невский М. В. О минимальной норме интерполяционного проектора // Математика, кибернетика, информатика: тр. междунар. научной конф., поев, памяти профессора А. Ю. Левина. Ярославль: ЯрГУ, 2008. С. 137-144.

19. Невский М. В. О соотношениях для минимальной нормы интерполяционного проектора // Тез. докл. междунар. научно-образовательной конф. "Наука в вузах: математика, физика, информатика. Проблемы высшего и среднего профессионального образования". М.: РУДН, 2009. С. 290-292.

20. Невский М. В. Геометрические неравенства для нормы интерполяционного проектора // Теория приближений: тез. докл. междунар. конф. (Санкт-Петербург, 6-8 мая 2010 г.) / ММИ им. Эйлера. СПб.: ВВМ, 2010. С. 77-79.

21. Невский М.В. Оценки для нормы интерполяционного проектора // International conference "Approximation theory and Applications. In memory of N. P. Korneichuk". Abstracts. June, 10-14, 2010. Dnepropetrovsk, Ukraine. P. 67-68.

22. Невский M. В. О некоторых результатах по геометрии выпуклых тел и их приложениях // Тр. междунар. научной конф., поев. 35-летию математического факультета и 25-летию факультета информатики и вычислительной техники. Яросл. гос. ун-т им. П.Г. Демидова. Ярославль, 2012. С. 170-172.

23. Nevskii М. On some property of axial diameters of a simplex // International Topological Conference "Alexandroff Readings". Moscow, May 21-25, 2012. Abstracts. Lomonosov Moscow State University, 2012. P. 52.

24. Nevskii M. On homothetic copy of a simplex which contains a convex body // Yaroslavl International Conference "Discrete Geometry" dedicated to the centenary of A. D. Alexandrov. August 13-18, 2012. Abstracts. P.G. Demidov Yaroslavl State University, 2012. P. 63-65.

25. Nevskii M. On a longest segment of given direction in a simplex

// Yaroslavl International Conference "Geometry, Topology, and Applications" dedicated to the 70th birthday of N. P. Dolbilin. September 23-27, 2013. Abstracts. P. G. Demidov Yaroslavl State University, 2013. P. 92-95.

Прочие публикации

26. Иродова И. П., Невский М. В. Диадические пространства Бесова и другие вопросы теории приближения // Математика в Ярославском университете. К 25-летию математического факультета. Ярославль, 2001. С. 115-131.

27. Невский М. В., Иродова И. П. Некоторые вопросы теории приближения функций: учебное пособие. Ярославль: ЯрГУ, 1999. 94 с.

28. Невский М. В. Об одной задаче, связанной с линейной интерполяцией на n-мерном кубе // Ярославль, 2003. 12 с. Рукопись представлена Яросл. гос. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 29.01.03, № 172-В2003.

29. Невский М. В. Оценки для минимальной нормы проектора при линейной интерполяции по вершинам n-мерного куба // Модел. и анализ информ. систем. 2003. Т. 10, № 1. С. 9-19.

30. Невский М. В. О минимальной норме проектора в одной задаче интерполяции функций п переменных // Математика. Материалы Всероссийской научной конф., поев. 200-летию Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова. Ярославль, 2003. С. 265-269.

31. Невский М.В. О константах в неравенствах для эквивалентных норм некоторых многочленов от п переменных. Ярославль, 2005. 16 с. Рукопись представлена Яросл. гос. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 28.02.05, № 274-В2005.

32. Невский М. В. Об интерполяции функций п переменных с помощью линейных комбинаций 1 ,Xi,XiXj (i < j). Ярославль, 2005. 12 с. Рукопись представлена Яросл. гос. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 28.02.05, № 275-В2005.

33. Невский М. В. О минимальных проекторах при линейной интерполяции на квадрате и на кубе. Ярославль, 2006. 23 с. Рукопись представлена Яросл. гос. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 13.06.06, № 786-В2006.

34. Невский М. В. Геометрические конструкции в задаче об оптимальной линейной интерполяции на n-мерном кубе. Ярославль,

2006. 21 с. Рукопись представлена Яросл. гос. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 13.06.06, № 785-В2006.

35. Невский М. В. Неравенства для норм проекторов при интерполяции по вершинам п-мерного куба // Математика в Ярославском университете. К 30-летию математического факультета. Ярославль, 2006. С. 308-330.

36. Невский М. В. Геометрические методы в задаче о минимальном проекторе // Модел. и анализ информ. систем. 2006. Т. 13, № 2. С. 16-29.

37. Невский М. В., Хлесткова И. В. К вопросу о минимальной линейной интерполяции // Современные проблемы математики и информатики. Вып. 9. Ярославль, 2008. С. 31-37.

38. Невский М. В. Геометрические неравенства для интерполяционных проекторов // Математика в Ярославском университете. К 35-летию математического факультета. Ярославль, 2011. С. 143-154.

Подписано в печать 12.05.2015. Формат 60 х 841/ш-Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 150 экз. Заказ 127.

Отпечатано в ООО "ИПК Индиго". 150000, г. Ярославль, ул. Свободы, 12-6. Тел. 93-06-10.