Оценки погрешности двумерной кусочно-полиномиальной биркгофовой интерполяции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

6fi У У -// Чбч-А

УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. A.M. ГОРЬКОГО

На правах рукописи УДК 517.51 УДК 519.652

ЛАТЫПОВА Наталья Владимировна

ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ДВУМЕРНОЙ КУСОЧНО-ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ БИРКГОФОВОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Специальность 01.01.01 - математический анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель— доктор физ.-мат. наук, профессор СУББОТИН Ю.Н.

ЕКАТЕРИНБУРГ 1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА 1. 13

§1. Теоремы существования и единственности. 13

§2. Вспомогательные результаты. 19

ГЛАВА 2. Некоторые частные случаи (п — 7). 25

§1. Оценки сверху. 26

§2. Оценки снизу. 43

ГЛАВА 3. Общий случай (п = 4/с + 3). 55

§1. Оценки сверху. 57

§2. Оценки снизу. 81

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 97

ПРИЛОЖЕНИЕ: рисунки 98

ЛИТЕРАТУРА

99

Введение

В связи с методом конечных элементов (МКЭ) в последние годы активно изучается зависимость оценок погрешности аппроксимации классов диффференцируемых функций интерполяционными многочленами двух и большего числа переменных от геометрических характеристик триангуляции.

Метод конечных элементов завоевал всеобщее признание как эффективный метод решения самых разнообразных задач математической физики и техники. Такая популярность метода объясняется наглядностью его физической интерпретации и простотой алгоритмической реализации на ЭВМ, облегчающей программирование сложных задач математической физики. Этот метод в своей основе является вариационным, и история его возникновения и развития восходит к основополагающим работам Рит-ца, Крылова Н.М., Галеркина Б.Г. и Бубнова И.Г. В настоящее время МКЭ перестал быть чисто теоретическим и стал эффективным средством решения прикладных задач благодаря идее использования многомерных сплайнов. Успех в развитии теории сплайнов в значительной степени стимулировал разработку математических основ МКЭ. Эти две теории, развивавшиеся в начале параллельно, первая в основном усилиями математиков, вторая — инженеров, в дальнейшем были объединены в создании столь мощного метода.

Идея метода состоит в следующем: сплошная среда, имеющая бесконечное число степеней свободы, заменяется совокупностью простых элементов (конечных элементов ), имеющих конечное число степеней свободы и связанных между собой в узловых точках.

Характерные черты МКЭ: большой диапозон применения, легкость учета реальной геометрии, простота учета температурных и силовых нагрузок, приспособленность к автоматизации на всех этапах расчета. О преимуществах и практическом применении МКЭ можно узнать из [3, 5, 7, 8, 15, 16, 22] .

Этапы МКЭ:

1. Разбиение конструкции на конечные элементы.

2. Описание геометрии КЭ и свойств материала.

3. Выбор базисных функций, определяющих параметры МКЭ.

4. Описание нагрузок, действующих на элементы и в узловых точках.

5. Построение для выделенных КЭ матриц жесткости, определяющих зависимости между реакциями и перемещениями узлов.

6. Формирование разрешающей системы уравнений.

7. Решение полученной системы уравнений, учет полей перемещений и напряжений конструкций.

Подробнее об этом можно найти в [1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 13, 16, 17, 22].

МКЭ впервые был предложен в работе Куранта [46] в 1943 году, но это важное исследование осталось тогда незамеченным. Затем в начале 50-х годов метод вновь независимо был открыт инженерами. Наиболее ранние ссылки, широко встречающиеся в технической литературе, относятся к работам Аргириса [29], Тернера, Клафа, Мартина, Топпа [56]. Название метода было предложено Клафом [45]. Исторический обзор развития метода с инженерной точки зрения дан у Одена [14] и Зенкевича [66].

Только в 60-х годах математиками, в особенности Михлиным С.Г. [10, 11], было показано значение анализа методов Ритца и Галеркина Б.Г. Интересно заметить, что, хотя они не были знакомы с достижениями инженеров, изучавшиеся ими приближенные методы все более походили на МКЭ, как показывают, например, работы Варги [57], Cea [43] (для одномерного случая), Биркгофа, Шульца, Варги [40] (для многомерного случая). Затем происходит массовое появление работ, начиная со статьи Зламала [67], которая обычно рассматривается как первый пример современного строгого математического анализа ошибки "общего" МКЭ.

Теория интерполирования кусочно-полиномиальными функциями, которые локально на треугольнике определяются многочленами, не была систематизирована до конца 60-х годов. К 1968 году помимо кусочно-линейных функций были известны кусочно-полиномиальные функции второй [47] и третьей [48] степени. Это были функции, которые не только интерполировали непрерывные функции, но и сами являлись непрерывными. В 1968 году Белл [39], Босшард [41], Виссе [58], Арги-рис, Фрид, Шарпф [30] и Зламал [67] независимо друг от друга построили кусочно-полиномиальную функцию пятой степени, которая была непрерывно дифференцируемой и интерполировала непрерывно дифференцируемые функции. В [30] представлены также кусочно-полиномиальные функции шестой и седьмой степени. Анализируя

метод доказательства [67], Женишек [62, 69] построил иерархию интерполяционных кусочно-полиномиальных функций на треугольнике. Причем Женишек [64] доказал красивую теорему: чтобы кусочно-полиномиальные функции принадлежали классу Ск на произвольной триангуляции многоугольной области, узловые параметры, для интерполяционных процессов, заданных локально на треугольнике, должны включать все производные порядка меньшего либо равного 2к в вершинах треугольника. Как следствие получается, что наименьшая степень таких многочленов равна 4/г + 1. Отсюда нетрудно видеть, что для кусочно-полиномиальных функций степени 4к + х (х = 1)2,3,4) нельзя построить интерполяционный процесс гладкости С^"1"1.

Первые оценки погрешности аппроксимации на треугольнике принадлежат для кусочно-линейных функций Шварцу [27], Синджу [54], для кусочно-полиномиальных функций второй, третьей и пятой степени — Зламалу [67]. Результаты и методы Зламала были обобщены Женишеком [62] для кусочно-полиномиальных функций девятой и тринадцатой степени. Для кусочно-полиномиальных функций произвольной степени Ак + 1 для некоторых интерполяционных процессов оценки погрешности получили Брэмбл и Зламал [42]. Общую же оценку сверху для произвольной триангуляции, произвольных интерполяционных процессов в И" получили Сьярле и Равьяр [44]. Следует подчеркнуть, что до работы Сьярле и Равьяра ( 1972 год ) изучался только двумерный случай, они же получили оценки погрешности для произвольной размерности.

Как правило, оценки погрешности аппроксимации для производных интерполируемой функции характеризуются двумя параметрами: диаметром разбиения и дополнительной характеристикой, которой в двумерном случае в указанных работах служил синус наименьшего угла триангуляции или его аналог. В некоторых случаях наименьший угол, фигурирующий в оценках Сьярле-Равьяра, можно заменить на средний (или наибольший, что с точностью до констант равносильно).

Эта зависимость оценок погрешности интерполяции от геометрии элемента ( посредством параметров диаметра и дополнительной характеристики ) обобщает условие Зламала [67, 68] и условие "равномерности" Стрэнга [52]. Жаме [49] было показано, что по крайней мере для некоторых конечных элементов условие регулярности [22] можно заменить на менее сильное условие. В специальном случае это же условие одновременно и независимо было найдено Бабушкой и Азизом [31]. По существу,

в случае треугольников оно равносильно тому, что наибольший угол треугольника не стремится к 7г, в то время как раньше предполагали, что наименьший угол не стремится к нулю. Это, кстати, было замечено еще Синджем [54].

При этом выясняется, что различные типы интерполяционных процессов (лагран-жев, эрмитов, биркгофов) по-разному реагируют на характер вырождения триангуляции. Подобные оценки автоматически переносятся на оценки погрешности метода конечных элементов.

В случае лагранжевой интерполяции оценка погрешности зависит от диаметра разбиения и синуса наибольшего угла. Для кусочно-линейных функций в двумерном случае Синдж [54] указал верхнюю, а Зламал [69] нижнюю оценки, зависящие от диаметра разбиения и синуса наибольшего угла. Эти оценки одинаковы с точностью до констант, и в этом смысле неулучшаемы. Фактически, первая нижняя оценка для аппроксимации производных производными кусочно-линейных функций была дана Шварцем ( см., например, [27, с.248]). Результат Синджа-Зламала был обобщен Ю.Н.Субботиным [18, 19, 20] на кусочно-полиномиальные функции произвольной степени и размерности.

Знание таких точных результатов позволяет более эффективно выбирать базисные функции. Например, для кусочно-кубических функций, которые часто используются на практике, Ю.Н.Субботин [19] показал, что для некоторого интерполяционного процесса оценки погрешности зависят от диаметра разбиения и синуса наименьшего угла, и эти оценки неулучшаемы, то есть построен пример функции из заданного класса и найдены положительные константы, не зависящие от триангуляции, для которых справедливы обратные оценки (оценки снизу). В отличие от лагранжевой интерполяции, где к настоящему моменту все выяснено, интерполяционные процессы типа Эрмита и Биркгофа еще мало изучены.

Наиболее трудным является случай биркгофовой интерполяции. Здесь окончательные результаты для кусочно-линейных и кусочно-параболических функций получены Д.О.Филимоненковым [24, 25, 26]. Для кусочно-полиномиальных функций пятой степени оценки, неулучшаемые с точностью до абсолютных констант, которые зависят от диаметра разбиения и среднего, либо среднего и наименьшего углов треугольника, получены Ю.Н.Субботиным [21], для кусочно-полиномиальных функций седьмой степени — Н.В.Латыповой [72]. Результат Ю.Н.Субботина был обобщен

H.В.Байдаковой [38], на некоторые интерполяционные процессы, связанные с кусочно-полиномиальными функциями степени Ак + 1, к £ N5 но неулучшаемость для части полученных оценок не доказана. В данной работе получены оценки погрешности аппроксимации кусочно-полиномиальными функциями степени Ак + 3 на группе интерполяционных процессов. Эти оценки неулучшаемы с точностью до абсолютных констант.

Следует отметить, что данные результаты могут быть использованы в современных разработках МКЭ, так называемых кр-версиях МКЭ, где диаметры разбиения /г сетки и степени р кусочно-полиномиальных функций выбираются таким образом, чтобы наиболее полно учесть локально-гладкостные свойства решения. Эти разработки активно ведутся Бабушкой и его учениками [32, 33, 34, 35, 36, 37, 51, 55, 65]. В этих версиях МКЭ используются высокие степени многочленов, поэтому исследования зависимости оценок погрешности аппроксимации от геометрических характеристик треугольника при возрастании степени многочленов могут быть важны для эффективного применения 1гр-версий МКЭ.

Перейдем теперь к краткому изложению диссертации по главам. Постановка задачи.

Пусть О— многоугольная область вЕ2с границей Г. Пусть Та = {Ад}— триангуляция множества = й и Г, то есть объединение конечного числа треугольников Ал, обладающее следующими свойствами (см. рис.1 Приложения):

I. открытые треугольники не пересекаются,

2. объединение замкнутых треугольников есть Г2,

3. два замкнутых треугольника могут иметь только либо общую вершину, либо общую сторону.

Пусть Pj— узлы триангуляции ( вершины треугольников ), 18— отрезки триангуляции ( стороны треугольников ). Обозначим {п5}— множество нормалей к сторонам треугольников триангуляции Т^. Оно однозначно определено, например, следующим образом. Если первая координата точки Р, меньше первой координаты точки то выберем направление п3 таким образом, чтобы при движении от прямой 13(Р^Рг) в этом направлении иметь точку Д справа. Если первые координаты точек Р{ и Pj совпадают, то сравниваются вторые координаты, то есть если вторая координата точки

Р^ меньше второй координаты точки Д, то аналогично п8 выбрано таким образом, чтобы при движении от прямой 18 в направлении п3 иметь точку Р.\ справа.

Определение. Будем говорить, что интерполяционный процесс имеет гладкость

\

Ст, если кусочно-полиномиальные функции, порожденные данным интерполяционным процессом на произвольной триангуляции Т^, являются т раз непрерывно дифференцируемыми в заданной области О, то есть во всей области П существуют и непрерывны все частные производные по т-й порядок включительно.

В силу локальности рассматриваемых интерполяционных условий можно ограничиться лишь одним треугольником, который, без ограничения общности, в плоскости ху будем располагать следующим образом: наибольшая сторона лежит на оси Ох (либо параллельна ей), а оставшаяся вершина лежит на оси Оу.

Пусть А—невырожденный треугольник в ВА Через щ (г = 1,2,3) будем обозначать вершины треугольника Л, через щ (г = 1,2,3)— единичную нормаль к стороне треугольника [а^а^х] (г = 1,2,3; а4 = ах); через а, (3,9— углы Д при вершинах а3, а2, «1 соответственно, 0 < а < (3 < в < ж. На каждой стороне [а^а^] выделим точки 3 = 1,..., к, такие , что при каждом фиксированном 3 эти точки делят

сторону, на которой они лежат, на 3 + 1 равные части: Ь^'^ = сц + — щ).

Пусть Ог)/(х,у) = г)^ 4- т/2-1 — производная по направлению г/ = (?7(1), ?7(2)), (7+ (т/2))2 = 1 и пусть при М > О

цгт+1 м = I . в1т> тЦх,у) непрерывны в Д (0 < I < т + 1)

и для любых (х, у) е Д и любых Г)1, ..., 7]т+1 {О^^Лх, у)\ < М }.

Через Р4^+з(ж,у) = будем обозначать многочлен, степень которого

по совокупности переменных не превосходит 4к + 3, удовлетворяющий следующим интерполяционным условиям:

д^*д1гт*)-Р*+гЫ} = 0 (1)

(О < 5 < 2к + 1,0 < т < з, 1 < г < 3),

0{А1(ЬР]))-Р4к+5(ЬРЛ)} = 0 (2)

(1 < 2 < к, 1 < г < з, 1 < г < 3).

Два данных типа условий обеспечивают гладкость Ск интерполяционного процесса. Третий тип условий, обеспечивающий его единственность, будет варьироваться.

В силу локальности интерполяционных процессов можно ограничиться лишь одним треугольником.

В первом параграфе главы 1 рассматриваются различные типы таких условий и доказываются теоремы существования и единственности для соответствующих интерполяционных процессов. А также то, что эти процессы имеют гладкость Cfc. Второй параграф посвящен вспомогательным утверждениям, которые позже применяются в главе 3. Обозначим:

Н— длину наибольшей стороны, у(ср) = max{l,ctg<^};

е(х,у) = f(x,y) - Р4к+3(х, у)] eid(x,y) = ■

Глава 2 посвящена оценкам погрешности аппроксимации производных интерполируемой функции класса WSM интерполяционными многочленами седьмой степени для двух интерполяционных процессов, описываемых условиями (1),(2),(3) и (1),(2),(4):

^[/(#Д))-^(^1Д))] = 0(1<г<3), (3)

г

d^flfiai) ~ Рг(аг)} = 0 (1<г<3). (4)

Доказывается следующая теорема.

Теорема 2.1 Существуют абсолютные положительные константы Cij такие, что при k = 1 для интерполяционных процессов,

а) описываемых условиями (1), (2), (3),

б) описываемых условиями (1), (2), (4),

для любого невырожденного треугольника Л, любой функции f 6Е W8M и для любого {х-> у) € Д имеют место следующие оценки:

m,m(%i У) |

Са-т>тМН8-*чт{(3) (0 < т < 1, т < з < 7),

С3^тМН^1{!5)1т-1{а) (2 < т < 4, т < з < 7), ^ С,_т,тМЯ8-57т"3(/?)73(а) (5 < т < 7, т < 5 < 7).

На всем классе оценки с точностью до абсолютных констант неулучшаемы.

Замечание 1. Неулучшаемость понимается в том смысле, что существует функция /* € ]¥4ММ и существуют абсолютные положительные константы к), не зависящие от триангуляции, такие, что для любого невырожденного треугольника

справедливы обратные оценки (оценки снизу). Другими словами, построен пример функции, на которой достигаются полученные оценки.

Замечание 2. Отличие полученных оценок от оценок Сьярле-Равьяра хорошо видно на примере прямоугольного треугольника. Если наименьший угол а стремится к нулю, то средний угол (3 будет стремится к |, а значит, полученные оценки для первой производной являются абсолютными, а для производных со второго по четвертый порядок чуть лучше, чем у Сьярле-Равьяра, а для производных старшего порядка — значительно лучше.

В главе 3 рассматриваются четыре интерполяционных процесса, третий тип условий для которых имеет вид:

;[/(аО-Р4*+з(Ог)] = 0 (5г)

(к + 1 < т < 2к + 1, к + 1 < 5 < ЗА; + 2 - т),

^^[/(аг)-Р«+з(аг)] = 0 (6г)

(к + I < т < 2к, к + I < в < Зк + I — т),

1+1)) - = о (1 < г < к + 1). (7г)

г+1

где Тг и <7{— единичные векторы, направленные от щ соответственно к и

сц_1 (04 = ах,ао = аз).

В первом параграфе рассматриваются оценки сверху.

Теорема 3.1 Существуют абсолютные положительные константы Су(&), зависящие только от к, такие, что для интерполяционного процесса (1), (2), (61), (71), любой функции / 6 ТУ4Й+4М и любого невырожденного треугольника А, любого (х,у) € А, имеют место следующие оценки:

(О < т < 2к + 1,т < в < Ак + 3),

v _ _ _ _ л

С,_т,тМЯ«+4-у ^ (а)7™-2*-1 ((3) (2к + 2 < т < Ак + 3,тп < 5 < 4/с + 3).

На всем классе \У4к+4"М оценки с точностью до абсолютных констант неулучшае-мы.

Замечание 3. Существуют абсолютные положительные константы Су такие, что для интерполяционного процесса (1), (2), (61), (7х) при к = 0, для любой / е И^М и

\ев-т,т(х,у)\ < <

любого невырожденного Л имеют место следующие оценки:

' С8_т>тМЯ4-5чт((3) (0 < т < 1, т < з < 3), \е8^т,п{х,у)\< С8_2,2МЯ4-87(/?)7(а) (т = 2, т < з < 3),