Методы кусочно-полиномиальной аппроксимации в теории пространств Никольского-Бесова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Иродова Ирина Павловна

МЕТОДЫ КУСОЧНО-ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ

АППРОКСИМАЦИИ В ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВ НИКОЛЬСКОГО-БЕСОВА

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный

анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва-2011

О з [.;.;?

4856571

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН, заведующий отделом теории функций математического института им. В.А. СтекловаРАН Бесов Олег Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН Гольдман Михаил Львович,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры функционального анализа и операторных уравнений ВГУ Новиков Игорь Яковлевич.

Ведущая организация: Московский государственный университет

им. М.В. Ломоносова.

Защита диссертации состоится 29 марта 2011 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.27 в Российском университете дружбы народов по адресу: 117419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 495а.

С диссертацией можно ознакомиться в Учебно-научном информационном библиотечном центре (Научной библиотеке Российского университета дружбы народов) по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Автореферат разослан Ч 2011г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

Л.Е. Россовский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория пространств функций обобщенной гладкости является интенсивно развивающейся областью исследований, активно взаимодействующей со многими разделами современного анализа (теория функций многих вещественных переменных, теория дифференциальных уравнений в частных производных, теория приближения, гармонический анализ и др.). При этом изучение каждого из классов пространств, являющихся основными объектами теории, основывается на использовании базовых методов современного анализа. В частности, в теории пространств Никольского-Бесова основными средствами исследований являются приближение целыми функциями экспоненциального типа, интегральные представления, сингулярные интегралы, локальные приближения многочленами, гармонический анализ, теория нелинейного потенциала и др. По этому поводу см., в частности, монографии С.М. Никольского1, О.В. Бесова, В.П. Ильина, С.М. Никольского2, И.М. Стейна3, X. Трибеля4, Д. Адамса, Л. Хедберга5, а также статью Ю.А. Брудного6.

В свою очередь решение актуальных проблем теории стимулирует появление новых концепций, методов и результатов, имеющих общематематическое значение.

Цель работы. В настоящей работе предложен новый подход к изучению пространств Никольского-Бесова, который состоит из двух этапов. На первом этапе мы вводим и детально изучаем свойства диадиче-ских аналогов пространств Никольского-Бесова, которые определяются с помощью кусочно-полиномпалыюй аппроксимации на подмножестве почти диадических кубов. Благодаря более простой структуре при изучении этих пространств наряду с классическими методами мы применяем разработанные автором комбинаторные алгоритмы. Эти алгоритмы могут быть использованы в прикладных задачах (распознавание образов, сжатие информации).

1 Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения// М.: Наука.

2Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций н теоремы вложения// М.: Наука. 1975.

лСтейи И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства, функций// М.: Мир. 1072.

*Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операто-ры/'/'М.: Мир. 1980.

5Adams D., Hedbcrg L. Function Spaces and Potential Theory// Springer-Verlag. Berlin. 199fi.

GBpyd)tuü Ю.А. Пространства, определяемые с помощью локальных приближений// T

1977.

1971. № 24. С. 09-132.

На втором этапе мы изучаем связь между диадическими и классическими пространствами Никольского-Бесова и на этой основе доказываем ряд известных и новых результатов для классических пространств.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Для их изложения нам потребуются некоторые определения. Одним из центральных понятий работы является диадическое пространство Никольского-Бесова, с определения которого мы и начнем.

Обозначим через Оп семейство замкнутых диадических кубов из С}о = [0,1] с длиной ребра 2"". Определим наилучшее приближение функции / € £р(<2о), О < р < сю с помощью кусочно-полиномиальных функций вида ^ гДе 90 является полиномом степени не более

к — 1 по каждой из <1 переменных, а обозначает характеристическую функцию куба ф. Обозначим эту величину через Бп)р. Таким образом,

ек(1,Оп)р = Ы\\/ - ^ 1к> <?€£>„

где нижняя грань взята по всем наборам полиномов рд. Здесь и всюду ниже Ьр = Ьр(СЭо).

Тогда диадическое пространство Никольского-Бесова, построенное по семейству Б, определяется с помощью квазинормы (нормы при р > 1)

/00 \ 1/й 11/1Ьля):= + \\fhr' (!)

\п=0 /

здесь Б = {Бп,п = 0,1,...} - семейство диадических кубов.

Чтобы мотивировать это определение, напомним результат Ю.А. Бруд-ного7, который показал, что если в этой формуле Бп заменить на произвольное семейство замкнутых попарно непересекающихся кубов с длиной ребра 2~п и взять верхнюю грань по всем таким семействам, то получится величина эквивалентная квазинорме классического пространства Врв, определяемого с помощью ^-модуля непрерывности.

По ряду причин нам удобно расширить эту шкалу, заменяя семейство {БП1п = 0,1,...} на семейство = 0,1,...} почти диадических ква-

зикубов. Для их определения будем пользоваться особыми разбиениями куба <20.

7Брудиый Ю.А. Адаптивная аппроксимация функций с особенностями// Тр. ММО 1994. 55. С. 123-185.

Для краткости будем называть разбиением куба Qo множество замкнутых параллелепипедов, внутренности которых попарно не пересекаются, а объединение дает Q0.

Положим Fq — {Qo}; разбиения Fn,n > 1, состоят из замкнутых параллелепипедов, получающихся при делении Qq гиперплоскостями, параллельными координатным гиперплоскостям и удовлетворяющих условиям:

1) длины ребер параллелепипедов из Fn эквивалентны 2~" с фиксированными константами эквивалентности, не зависящими от п. В дальнейшем такие параллелепипеды будем называть квазикубамщ

2) для любого квазикуба Q е F,l+i существует единственный квазикуб Q' G Fn такой, что Q С Q'.

Разбиение Fn будем называть почти диадическхш разбиением порядка п. Семейство F = [Fn, п — 0,1,...} будем называть почти диадическим семейством. Отметим, что диадическое семейство является частным случаем этого понятия.

Заменяя в формуле (1) разбиение Dn на Fn, мы получим определение диадичсского пространства Никольского-Бесова B^e{F), построенного по семейству F. Далее диагональное пространство B*P{F) будем обозначать

B}(F).

Еще одним объектом, изучаемым в диссертации, является пространство функций с ограниченной средней осцилляцией, построенных по семейству F. В дальнейшем это пространство будем обозначать DMO(F). Отмстим, что в случае, когда F совпадает с семейством диадических кубов D, это пространство впервые было введено в работе Дж. Гарнета8 и изучено многими авторами. Укажем в частности, что один из наиболее глубоких результатов в этой области получен в статье Дж. Гарнета, П. Джонса1'.

Далее изложим новые результаты, которые получены в диссертации. Прежде всего отметим серию результатов, в которых изучаются основные свойства кусочно-полиномиальных приближений, построенных по почти диадическим разбиениям. Доказаны теоремы, в которых сравнивается скорость приближения кусочно-полиномиальными функциями в разных нормах, построенными по разным разбиениям, с разными степенями многочленов, составляющих кусочно-полиномиальные функции.

8 Гщтгт Д:нг.. Ограниченные ип,ииг1'ичг< кнг фумкци;)//' Ы.: Мир. 1US1I.

9 Garnett J. В., Jones P. W. BMO from dyadic BMO// Pacific .J. Math. 1982. Vol. 3D. № 2. P. 351-371.

Основываясь на этих результатах и развитой при их доказательстве технике, мы подробно изучаем свойства диадических пространств Никольского-Бесова: теоремы вложения, интерполяционные теоремы, порядок диадической гладкости.

Существенную роль при доказательстве играют комбинаторно-геометрические свойства дерева, порожденного почти диадическим семейством. Основная теорема, использующая эти свойства, дает разбиение дерева с конечным множеством выделенных п вершин в виде объединения 0(п) попарно непересекающихся путей.

С помощью этой теоремы, мы конструируем алгоритмы, которые дают два центральных результата работы: теорему о нелинейной аппроксимации и неравенство типа неравенства Вернштейна.

Первый из этих результатов оценивает скорость приближения функции из в метрике пространства Ьч, 0 < р < д < оо или 0 < р < 1,

п

q = оо с помощью кусочно-полиномиальных функций вида 1

¿=1

где рд. - полиномы, а Qi - квазикубы из Здесь А - это предельный показатель, который определяется равенством Л = с— В случае, когда р > 1, д = оо аналогичный результат верен в метрике пространства ВМО(Р).

Особенностью этой теоремы является тот факт, что скорость приближения остается такой же, как если бы мы приближали эту функцию в более слабой Ьр - метрике (эффект нелинейкой аппроксимации).

Вторая теорема, неравенство типа неравенства Вернштейна, дает оценку Вр(Р) - квазинормы, вообще говоря, разрывной кусочно -

п

полиномиальной функции 5„ = ]Ср<Э(ХО,> Ох € Р через ее квазинорму

¿=1

в пространстве Ьч, здесь, как и выше, А = (¿(^ —

Этот результат основан на алгоритме, в каком-то смысле обратном к аппроксимацпонному алгоритму предыдущей теоремы. Отметим, что его можно рассматривать, как обращение теоремы вложения В*(Р) в Ьч.

Используя эти результаты, мы получаем описание диагонального диадического В-пространства в терминах нелинейного приближения кусочно-полиномиальными функциями.

Диадические В-пространства тесно связаны с классическими В-пространствами. Как доказано в диссертации, каждое диадическое пространство содержит соответствующее классическое, а для малых гладко-

стей эти пространства совпадают. Для остальных гладкостей В^0 является пересечением конечного числа диадических В-пространств с подходящим образом подобранными семействами разбиений Р. Благодаря этому свойству многие трудные результаты для классических пространств удалось получить из аналогичных, существенно более просто доказываемых результатов для диадических пространств либо с помощью алгоритмов, развитых в теории диадических пространств.

Отметим некоторые из основных результатов, установленных подобным образом.

1) Теорема о нелинейной аппроксимации сплайнами функций из пространства В^ в метрике пространства Ьч, где Л =

О < р < д < оо или 0 < р < 1, д = оо.

¡1

Отметим, что вопрос о приближении функций из пространства Вр, р > 1 остается открытым.

Трудность доказательства этой теоремы классическими методами состоит в том, что граф пересечений носителей В-сплайиов, которые участвуют в разложении функции / е В*, носит сложный характер. Поэтому предварительно представляем этот граф в виде объединения попарно непересекающихся с{(1) деревьев, порожденных почти диадическими семействами. Это позволяет разбить / на сумму с(<1) функций, а затем к каждой из этих функций применить слегка модифицированный алгоритм, разработанный для диадических пространств.

2) Неравенство типа неравенства Бернштейна для функций б'п, которые являются линейными комбинациями п гладких 5-сплайнов.

Для доказательства этого неравенства используется аналогичное неравенство для диадических пространств и интерполяционная техника.

3) Конструктивная характеристика пространства В* в терминах нелинейной аппроксимации сплайнами в метрике пространства или В МО.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории функций, в теории приближений, а также в прикладных задачах (распознавание образов, сжатие информации и др.).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседании следующих научных семинаров: Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, механико-

математический факультет, семинар под руководством профессора В.М. Тихомирова; математического института им. В.А. Стеклова, семинар под руководством академика С.М. Никольского и чл.-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева; Российского университета дружбы народов, факультет физико-математических и естественных наук, семинар под руководством чл.- корр. РАН В.Д. Степанова и профессора А.Л. Скубачевского; Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, семинар под руководством профессора Ю.А. Брудного и семинар под руководством профессора Н.Я. Кругляка. По материалам диссертации были сделаны доклады на международных конференциях, список которых приведен в конце автореферата.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 28 работ, из них 11 статей в научных журналах списка ВАК и 11 тезисов докладов на международных конференциях.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит нз введения, четырех глав, разбитых на разделы, и списка литературы из 104 наименований.

Основное содержание работы.

Во введении кратко изложено содержание диссертации по главам, указаны цели диссертации, актуальность темы и научная новизна результатов.

Перейдем к более подробному изложению полученных результатов.

В первой главе приведены основные свойства кусочно-полиномиальных приближений и геометрия связанных с ними почти диадических разбиений.

Напомним, что локальное приближение многочленами функции / € Ьр, 0 < р < оо является функцией множества У н-» £*(/, У)р, У Я (2о определяемой формулой

Ек(/,У)Р := т£ ||/-з||Ьр(Г).

Здесь Р^ - пространство полиномов степени не более к — 1 по каждой из <1 переменных.

Начнем с результата, где оценивается локальное приближение полиномами в одной норме через локальные приближения в другой норме. Очевидно, если 0 < р < < оо, то это легко сделать, используя неравенство Гельдера:

Ек(/,У)р<\У\^-Ека,У)ч,

здесь УеР.

Однако оценить Еь(/,У)Ч через локальные приближения в Ьр значительно сложнее. Для этого потребуется использовать все квазикубы <2 из .Р, вложенные в У. Чтобы сформулировать соответствующий результат, для произвольного квазикуба У из почти диадического семейства Р символом Рп{У) обозначим разбиение У на квазикубы <5 £ Р, длина ребра которых « 2~"|У|з. В частности, Рп(<2о) = ^п- Далее обозначим через /-ЦП) пространство кусочно-полиномиальных функций, подчиненных разбиению П, то есть функций вида 9оХ<Э> гДе 9Я £ Рк- Наконец,

символом еЛ(/,П)р обозначим наилучшее приближение / функциями из множества Рк(П) в пространстве Ьр.

Теорема 1. Пусть / £ А,(У), А = с1(± - 0 < р < д < оо. Тогда

Константа в формулировке теоремы 1, как и всюду ниже, не зависит от /.

В доказательстве теоремы используем подход, предложенный Ю.А. Брудным10.

Как следствие из теоремы 1 можно получить более слабый результат, который, однако, нагляднее демонстрирует связь локальных приближений в разных нормах.

Следствие 1. Пусть / € ЬЧ(У), У е Р, 0 < р < д < оо. Тогда

Отметим, что теорема 1 неверна при = оо. Однако можно получить такой результат.

Здесь 0 < р < оо.

1йБрудний Ю.А. О перестановке гладкой функции// Успехи мат. наук. 27. Вып. 2. 1972. С. 165-166.

<ЗеП

Теорема 2. Пусть / € А»(У), У € Тогда

Результат, приведенный в следующей теореме, можно рассматривать как диадический аналог неравенства типа неравенства Мар-шо. Он дает возможность сравнить скорости приближения кусочно-полиномиальными функциями с разными степенями. Пусть здесь и всюду ниже р* = тт(1,р).

Теорема 3. Для к < т имеет место неравенство

Ы/ - Р&и), < С • 2-"* ^ 2^*ет(/, ^ ' .

Здесь (/) - многочлен наилучшего приближения функции / на кубе (¿о из пространства Рт.

Чтобы сформулировать очередной результат, нужно ввести понятие специальных диадических разбиений.

Пусть х - вершина куба <50- От Фо перейдем к кубу С?х, который получается гомотетией <2о относительно вершины х с коэффициентом 3. Куб

разделим на 2™1 равных кубов, а затем возьмем пересечение этих кубов с кубом Получившееся разбиение <Зо на параллелепипеды обозначим Рп(х) . В дальнейшем разбиения Рп(х) будем называть специальными диадическими разбиениями, а Р{х) = {Рп(х), п — 0,1,...} будем называть специальным диадическим семейством.

Специальные диадические разбиения в некотором смысле универсальны. С их помощью, например, можно описать /с-й модуль непрерывности и, как следствие, сравнить диадические и классические пространства. Поэтому важно изучить, как связаны скорости приближений кусочно-полиномиальными функциями, подчиненными разным специальным диадическим разбиениям.

Теорема 4. Пусть / € Ьр, 0 < р < оо и х, у - вершины куба С^о, тогда

е*(/, < С • 2-г ( £ (21>ек (/, Ш),,)"

V 1=0

здесь р* = тт(1,р).

Покажем теперь, как можно оценить скорость приближения кусочно-полиномиальными функциями, подчиненными специальным диадическим разбиениям через равномерные кусочно-полиномиальные приближения ип. Хотя по постановке задача похожа на предыдущую (переход

от одного разбиения к семейству разбиений другого рода), способы доказательства этих результатов совершенно различны. Это объясняется тем, что равномерные разбиения IIп (в отличие от £>п = (/2") не являются диадическими, что значительно усложняет доказательство. Теорема, которая сформулирована ниже, позволяет получить новое свойство модуля непрерывности (см. теорему 21, свойство 3).

Теорема 5. Пусть Рп(х) специальное диадическое разбиение. Тогда

здесь 0 < р < оо, а через иг обозначено разбиение куба С}о, сосгпояи^ее из равных кубов с длиной ребра

Вторая глава начинается с определения диадического пространства Никольского-Бесова

Определение 1. Диадическим пространством Никольского-Бесова В™(П построенным по почти диадическому сел1ейству F, называется множество функций / из Ьр, для которых конечна величина

здесь к > X > 0 и 0 < р,в < оо. Квазинорма в Врв(Р) определяется равенством

Для изучения свойств функций из ВрВ(Р) используем подход, предложенный при р > 1 О.В. Бесовым11. Отличие состоит в том, что если раньше свойства функций описывались в терминах приближений целыми функциями экспоненциального типа, то сейчас приближать будем кусочно-полиномиальными функциями.

Отметим, что в силу теоремы 3 квазинормы в Bpв(F) при различных к > X эквивалентны. Этим объясняется отсутствие параметра к в определении пространства.

1] Бесов О. В. Исследования одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения// Труды МИАН СССР. 1961. Т. 60. С. 42-81.

1 /Р\

= I Пв^р) + или,.

Дадим описание функций из В^в{Р). Перед тем, как сформулировать результат, обозначим через <2' единственный квазикуб из 1, который содержит или совпадает с (Э € Пусть СУ0 будет пустым множеством. Кроме того, через Рд(/) обозначим многочлен наилучшего приближения функции / из пространства Р* в норме пространства Ьр{0).

Теорема 6. Функция / принадлежит пространству В к > А>0, 0 < р, в < оо тогда и только тогда, когда

a) имеет место равенство

} = (Л?(/) ~ Р<г(П) ХО (сходимость в Ьр)\

С}еР

b) конечна величина

( „ /

Е2ПЛЧ Е \\PqU) - РуШЪю

п=1

I

Кроме того, МСЛ-Р) «

Далее приводятся еще две эквивалентные перенормировки диадиче-ских В-пространств, которые полезны в приложении.

Теорема 7. Пусть к > А > 0, 0 < 9,р < оо. Следующие квазинормы эквивалентны квазинорме Н/Нв^Р)-'

\п=0

где дп -- (/„(/) является элементом Рк(Рп) ближайшим к / в пространстве Ьр. Положим = 0;

2) ЛГ3(/, Л := М (2пА||у?„ - -Рп-гЦьУ

\п=О

здесь нижняя грань взята по всем представлениям / в виде ряда

ос 11=0

где (рп е Рк(Рп), <р-х = 0.

Все приведенные выше квазинормы были описаны в терминах приближения в пространстве Ьр. Оказывается, можно написать эквивалентную квазинорму, в которой функции будут приближаться в более широком пространстве ЬТ, 0 < г < р < оо.

Теорема 8. Квазинорма функции } в пространстве Вр"(Р) эквива-

лентна величине

1/9

( ( / \ 1/А Л

£

п=0

\

2пЛ £ \я\^Еки,яуТ

\ОеР„ )

Здесь к > \ > 0, 0 < г < р < оо, 0 < в < оо.

Впервые аналогичный результат для классического пространства Бесова в случае р > 1 другим методом получен Ю.А. Брудным12.

Позднее (теорема 18) будет приведена еще одна эквивалентная квазинорма, где приближение будет осуществляться в более узком пространстве Ьч.

Перейдем теперь к формулировке теорем вложения разных метрик.

Сформулируем наиболее сложно доказываемую теорему вложения на "предельном" показателе А = — Остальные теоремы вложения получаются аналогично тому, как это сделано, например, в цитируемой выше монографии С.М. Никольского. Обозначим через Ьч/Рк фактор-пространство Ьч по Рк. Квазинорму в Ьч/Рк зададим формулой

Так же можно ввести фактор-пространство Врв{Р)/Рк с квазинормой

Ц/Цв^/Р* I

Теорема 9. Если А = ¡1 ^ - 0 < р < ц < оо, к > А, то вхр"(р)/рк с ьч/рк.

Для случая А = </ = оо можно получить следующий результат.

Теорема 10. Если А = к > А, то

ВХ/{Р)/Рк С ¿оо/Ль-

Из теоремы 10 следует, что если р < 1, то В$(Р)/Рк С Ьп/Рь.

2Брудний Ю.А. Пространства, определяемые с помощью локальных приближений (цит. выше).

Однако этот результат неверен для р > 1. В этом случае Ь^/Рк нужно заменить на более широкое почти диадическое пространство BMO^(F).

По аналогии с тем, как это было сделано в цитируемой выше монографии Дж. Гарнета, определим почти диадическое пространство BMO^(F), построенное по семейству F, как множество функций / из Lдля которых величина

,,, Ek(f,Q)s

Швл/онп SUP ——

QCQo.QtF IQI«

конечна.

Теорема 11. Если 0 < р < s < оо, к > тпо

С BMOks(F).

Следующий раздел работы связан с /("-функционалами и интерполяционными теоремами. Приведем здесь результат об интерполяции диагональных диадических В-пространств с различными показателями интегрируемости.

Теорема 12. При интерполяции вещественным методом имеет место равенство

здесь Хв = (1 - 0)ХО + 0\ъ i = + А о < в < 1, До, Ai > О, О < Po,Pi < со.

Для формулировки очередного результата введем понятие диадиче-ской производной. Пусть / € Lp, 0 < р < оо. Через <рп обозначим кусочно-полиномиальную функцию из Pk(Fn). Тогда

<Рп = Y1 PQxQ-

qefti

Будем считать, что

D'Vn := £ DlJPQXQ-

QeFn

Пусть / S Lp, 0 < р < оо. Через gn = gn(f) обозначим кусочно-полиномиальную функцию из Pk{Fn) такую, что

\\f-9n\\Lv = distLv{f,Pk{Fn)).

Отметим, что дп может быть не единственной функцией при

О < р < 1.

Определение 2. Будем говорить, что функция. / обладает Р- диа-дической производной порядка (3, если существует такое к > \(3\, что последовательность О0дп{$) сходится относительно нормы пространства Ьр и этот предел не зависит от выбора дп(/)- Предел последовательности /?'3(?п(/) обозначим

Заметим, что ^-диадичеекая производная функции / из ВрЬ{Р) не зависит, от к, если к > Л.

Теорема 13. Если / е В^(^), то для любого к > А существуют Р-диадичесте производные D|iFkf порядка 0, Щ < А и

В последнем результате главы 2 устанавливается связь между диади-ческими пространствами, построенными по разным специальным диади-ческим семействам.

Теорема 14. Если 0 < А < то

В^х)) = В^у)).

Третья глава посвящена изучению аппроксимационных свойств дца-дических ^-пространств. Для формулировки первого результата главы дадим определение класса приближающих функций.

Определение 3. Будем говорить, что функция Ф е РР£(Р), если существует разбиение П куба (¿о, состоящее из не более чем п квазикубов из Р, такое, что Ф на каждом <2 из П является многочленом из

Рк-

Таким образом, кусочно-полиномиальная функция Ф из РР£(Р) имеет вид

т

ф =

1—1

0 и т

где квазикубы С^ £ Р, <2. П Я] = 0, {г ф з) и и <3; = Яо, т < п.

¿=1

Теорема 15. Пусть / е В™(Р), А = +г, г > 0 и

О < р < д < оо. Тогда для любого натурального п существует кусочно-полиномиальная функция фп = фп{1) из РР"(Р), к > А такая, что

здесь |7| < г и к > А.

Впервые результат о нелинейной аппроксимации был получен в известной статье М.Ш. Бирмана и М.З. Соломяка13. В ней функции из пространства Соболева-Слободецкого И^ (£?о), р > 1 приближались функциями из множества РР£(0). Теорема 15 является аналогом результата М.Ш. Бирмана и М.З. Соломяка. Отметим, что в отличие от результата этой статьи сейчас одновременно можно приближать функцию и ее производные.

Для построения функции фп используем адаптивный алгоритм приближения, который называют "жадным" алгоритмом. Для этого с каждым квазикубом С} из Р связываем некоторое число /г^. Затем выбираем к п квазикубов, которым соответствуют самые большие коэффициенты дд. Однако выбранные квазикубы не всегда образуют разбиение <5о- Требуется дополнительная реконструкция, с помощью которой удается построить нужное разбиение .

Отметим, что "жадный" алгоритм не работает на "предельном" показателе. Существуют примеры показывающие, что построенные выше функции фп{}) не сходятся к / при Л = (1 ^ — ^. Чтобы получить аппрокси-мационную теорему на "предельном" показателе, нужно расширить аппарат приближения.

Определение 4. Будем говорить, что функция э принадлежит Р£(Р), если существует такой набор квазикубов {<5ь <5ш} из Р, т < п, что

т ¿=1

здесь рс1 € Рк-

В отличие от множества РР^(Р) на расположение квазикубов {<2ъ--,<3т} нет ограничений. Например, они могут быть вложены друг в друга. Очевидно, что РР[1(Р) С Р[!{Р).

Теорема 16. Если / 6 В^{Р), тогда существует кусочно-полиномиальная функция зп £ Р£ {Р), к > А такая, что

здесь Л = с!^ — ^,0<р<д,<оом0<р<1, если д = оо. Если же д = оо и р > 1, то пространство Ьч слева нужно заменить на ВМО\{Р).

13Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Кусочно-полиномиальные приближения функций классов // Мат. сборник. 1У67. Т. 73. № 3. С. 331-355.

Ключевой момент доказательства этой теоремы заключается в переходе от задачи об аппроксимации к задаче о функции заданной на дереве, порожденном почти диадическим семейством F.

Сформулируем теперь результат в некотором смысле обратный результату теоремы 16. Речь идет о неравенстве типа неравенства Бернштейна.

Теорема 17. Пусть Л = d ^ - ^ . Если sn € P£{F), то

Mb¿(F) < с-^Ыи,;

здесь 0 < р < q < оо, к> X.

В случае Л = q = оо теорему можно усилить, заменив L^ на более широкое пространство BMO^{F).

При доказательстве теоремы 17 вновь используются комбинаторно-геометрические свойства дерева, порожденного семейством F.

Объединяя предыдущие результаты, можно представить Bp(F) как ап-проксимационное пространство, используя нелинейное приближение в Lq или BMO(F).

Напомним, (см., например, Я. Петре, Г. Спарр14), что аппроксимаци-онное пространство E\¿(A, Lq), А = {Ап С Lq, п = 1,2,...} определяется как множество функций / € L,¡, для которых конечна, величина

/ ОС 9 . \ Ь

\\f\\EMA,Lq)= [^(nhM) -J +II/IU,,

где en(f)q = distL<¡{J, An).

Теорема 18. Пусть А = d ^ - ^, где 0 < р < q < оо или 0 < р < 1, q — оо. Тогда

Bxp{F) = E>p(A(F),Lg).

Кроме того, если 0 < р < оо, q = оо, то

Bxp{F) = EXp(A(F),BMO\(F));

здесь A(F) = {Р£(Р),п = 1,2...}.

Такое описание играет существенную роль при доказательстве теорем вещественной интерполяции. Приведем результат, где интерполируются пространства с различными показателями интегрируемости.

uPcetre J., SpaiT G./¡ Interpolation of normed Abelian groups// Ann. Mat. Pura Appl. 1972. 92. № 4. P. 217-262.

Теорема 19. Пусть d — Çj, 0 < р < q < оо. Тогда Если 0 < р < со, q = оо, то

здесь ве (0,1), = +

Если 0 < р < 1, q — 00, то

(Lx, Bxp(F))fh = B4(F)-,

здесь в в (р, 1),М=А0, 1 = 2.

Отметим, что подобная теорема есть и в классическом анализе. Например, в статье Я. Петре, И. Свенсона55 решен вопрос об интерполяции пространства В МО и пространства Никольского-Бесова Вр при р > 1. Кроме того, из результатов статьи Ю.В. Нетрусова16 как следствие получается теорема об интерполяции пространства непрерывных функций и Bp при 0 < р < 1.

В финальной части третьей главы отмечается, что можно ввести диа-дические пространства и других гладких функций. В качестве примера приводятся диадические пространства Лизоркина-Трибеля Lpe(F).

Перейдем к результатам четвертой главы, где показано, как техника кусочно-полиномиальных приближений работает в классическом анализе.

Начнем со свойств модуля непрерывности. Напомним, что модуль непрерывности к-ото порядка функции / в пространстве Lp определяется формулой

w*(/,t)„:= sup IIAft/IU,^,.), |ft|<t

где Qkh = {xeQo:x + jh£ Q0,j = 1,..., k}.

Если здесь верхнюю грань брать лишь по векторам коллинеарным оси Oei, то получим определение частного модуля непрерывности t)p.

Обозначим

d

W,t)p :=ХХ°(/,*)р-

г=1

{,'Peetiv J., Svensson E. On the Generalized Hardy's inequality of Mcgehee, Pigno and Smith and the problem of interpolation between BMO aud Besov Space// Math. Scaud. 54. 1984. P. 221-241.

Hempycoe Ю.В. Нелинейная аппроксимация функций из пространства Бесова-Л ope ица в равномерной метрике// Записки науч. семинара ЛОМИ. 1993. Т. 204. С. 61-81.

Следующая теорема дает описание модуля непрерывности в терминах кусочно-полиномиальных приближений, построенных по специальным диадичсским разбиениям.

Теорема 20. Пусть / € Lp, 0 < р < оо, тогда

X

здесь суммирование идет по всем вершинам х куба <5о-

Для доказательства этого результата используется теорема об "атомном" разложении модуля непрерывности, доказанная Ю.А. Врудным17.

Применяя теорему 20, можно перенести свойства кусочно-полиномиальных приближений, доказанные в первой главе, на свойства модуля непрерывности.

Теорема 21. Если / £ Lp, то:

1) ад, 2-»), < с • (f ()') \

здесь 0 < р < q < оо;

2) Mf - £ с • 2~пк ■ (ê (2*М/. .

здесь к < т, р* = min(l,p) up > 0;

/ 2n+1 \ **

3) Mf, 2~n)p « et(/, U2n)p + I 2-" • r E+i (/, J ,

здесь, как и выше, Ur - равномерное разбиение Qq на кубы с длиной ребра равной г'1 и 0 < р < оо.

Теорема о соотношении модуля непрерывности в различных метриках доказана., например, в статьях

П.Л. Ульянова18, Я. Петре19, К.К. Головкина20, К. Герса21. Второй пункт теоремы 21 является обобщением одномерного неравенства Маршо (см., например, монографию А.Ф. Тимана22).

*7Брудный Ю.А. Адаптивная аппроксимация функций с особенностями (цит. выше).

Ульянов ÏÏ.JÎ. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках/'/ Мат. сборник. 1970. Т. 81, .V« 1. С. 104-131 .

19Peetre J. Espaces d'interpolation et théorème de Soboîeff// Ann. Inst. Fourier, 1966. Vol. IG. P. 279-317.

20Головкин K.K. Об одном обобщении интерполяционной теоремы Марцинкевича// Тр. МИАН СССР. 1967. Т. 102. С. 5-28.

Herz C.S. Lipschitz spaecs and Bernstein theorem of absolutelj' convergent Fourier transforms// Л. Mal.li, and Min-h. 11)08. Vol. 18. № 4. P. 283-323.

^Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного// М. Физматгиз. 1960.

Следующий результат интересен тем, что он позволяет перейти от приближения кусочно-полиномиальными функциями к приближению сплайнами, не меняя порядок аппроксимации.

Напомним определение множества сплайнов степени не выше к — 1 по каждой переменной, дефекта 1, подчиненных разбиению П куба Qo-Обозначим его 5х(П), тогда

Sk(n):=Pk(n)nCk'2(Qo);

здесь Ck~2(Qo) - пространство функций, имеющих на Qo производные до порядка к — 2 включительно по каждой переменной.

Теорема 22. Для функции f из Lv, 0 < р < оо и любого натурального п найдется сплайн из пространства ¿¿(^"(i-i)), к >2 такой, что

\\f-sn\\p<c-^k{f,Fn{x))p-

X

здесь суммирование идет по всем вершинам х куба последствие 2. Для функции f из Lp, р > 0 и любого натурального п найдется сплайн из пространства Sk(lhn{k-%))> k>2 такой, что

'\\f-sn\\p<c-ûjk(f,2'n)p■

Этот результат впервые в одномерном случае получен Ю.А. Брудным23 и обобщен автором на многомерную ситуацию [23]. Нужно еще отметить результат Р. Девора , В. Попова24, где на другом пути подучен аналогичный результат.

Перейдем теперь к определению пространств Никольского-Бесова. Напомним, что пространства Нпкольского-Бесова B™{Rd), р > 1, О < А < оо, 1 < в < оо были введены и изучены О.В. Бесовым как обобщение пространств Никольского H${Rd), р > 1 {H${Rd) = B*°°(Rd)). Эти пространства оказались очень полезными в приложениях. Основной областью их применения являются теория линейных и нелинейных уравнений в частных производных. Кроме того, пространства Никольского-Бесова играют важную роль в теории функциональных пространств. Так,

%*Брудниii Ю.А. Кусочно-полиномиальная аппроксимация и локальные приближения// Докл. АН СССР. Т. 201. 1971. № 1. С. 16-18

24 Devore R.A., Popov V.A. Interpolation of Besov Spaces// Trans. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 305. P. 397-414.

например, O.B. Весов25 дал полное решение задачи о точном описании пространства следов функций из пространства Соболева в терминах диагональных ß-пространств.

Классические пространства Bp"(Rd), р > 1 определяются с помощью производных и разделенных разностей или, что равносильно, с помощью модуля непрерывности. Так как мы работаем с пространствами Никольского-Бесова, не только при р > 1, но и при 0 < р < 1, то есть две возможности определения этих пространств, которые при р > 1 совпадают.

Первое определение, как и классическое, использует понятие модуля непрерывности. Второе определение, введенное Я. Петре26, основано на преобразовании Фурье обобщенных функций. Первое пространство обозначим Bf(Rd), второе - Bpe(Rd). Пространство B™(Rd), 0 < р < 1 состоит только из интегрируемых функций, что позволяет использовать методы, основанные на интегральных представлениях. В случае шкалы пространств Bpe(Rd) это уже невозможно, по крайней мере при Л < — lj, так как Bp"(Rd) может содержать и неинтегрнруемые функции. Как доказал Я. Петре, Bpe{Rd) вложено в Bpe(Rd), а если Л > d ^ — то пространства совпадают.

В работах автора [1], [24] (см. также монографию X Трибеля27) изучены свойства шкалы пространств Bpe(Rd) при 0 < р < 1. Оказалось, что можно обобщить результаты О.В. Бесова об описании функций из Bpe{Rd), р > 1 с помощью целых функций и на случай 0 < р < 1. В дальнейшем мы будем использовать определение пространства Никольского-Бесова, основанное на понятии модуля непрерывности.

Определение 5. Функция f из Ьр, 0 < р < оо принадлежит, пространству Bp0 = Bpe(Qo), если конечна величина

/со \ V«

здесь 0 < X < к, 0 < в < оо.

25Бесов О. В. О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения/,/ ДАН СССР. 1959. Т. 126. С. 1163-1165.

2dPeetre J. Remarques sur les espaces de Besov. Le cas 0 < p < 1//C.R. Acad. Sei. Paris. 1973. 277. P. 9-17-949.

27Трибелъ X. Теория функциональных пространств// M. Мир. 1986.

Квазинорму, как обычно, определим формулой

11/Ив- = |/|а» +11/11V

В определении квазинормы сумму частных модулей непрерывности можно заменить на модуль непрерывности £)р. При р > 1 это доказано, например, в цитированной выше монографии С,М. Никольского, а при 0 < р < 1 - в статье автора [26].

Приведем два результата о связи классических и диадических В-пространств.

Теорема 23. Пусть Л > 0, 0 < р,0 < оо. Тогда

здесь F - это или специальное диадическое семейство F(х) или F = D.

Теорема 24 показывает, что если 0 < Л < то функцию из пространства В^Й можно описать в терминах приближения кусочно-полиномиальными функциями, причем это описание не зависит от выбора почти днадического семейства. Это же свойство верно и для пространств Врй, А > только приближать нужно будет не кусочно-полиномиальными функциями, а сплайнами.

Чтобы сформулировать соответствующий результат, обозначим для функции / через = s£(f) сплайн наилучшего приближения из пространства Sk(Fn), то есть

Теорема 25. Функция / принадлежит 0 < р,9 < сю, к > X + 2 тогда и только тогда, когда а) имеет место равенство

BpAe=f|Bpw(F(s));

X

\\f-4hP = distip(f,Sk(Fn)).

оо

(сходимость в Lp)\

здесь = 0;

б) конечна величина

/ оо \ г

Кроме того,

Отметим, что похожая характеристика в одномерном случае при р > 1 впервые была дана 3. Чисельским28.

Теорема 25 в случае F = D доказана автором в [1], [24]. Независимо, но существенно позже, это утверждение было получено в цитированной выше статье Р. Девора. В. Попова.

Важным следствием теоремы 25 является "атомное" разложение функций из Врв. Чтобы сформулировать соответствующий результат, выберем базис пространства Sk(Fn), состоящий из В-сплайнов.

Для этого продолжим разбиение Fn с куба Qo на Rd. По получившемуся разбиению Fn(Rd) построим последовательность B-сплайнов, (см., например, монографию К. де Бора2а ). С каждым квазикубом Q из Fn(Rd) можно связать B-сплайн, который будем обозначать Ьд. Выберем только те Ьд, носители которых пересекают Qo- Таким образом,

K = {Qz Fn(Rd) : supp bkQnQ^0).

Тогда является базисом пространства Sk(Fn).

Теорема 26. Функция f 6 В^f, 0 < р, 0 < оо тогда и только тогда, когда существует такой набор чисел {pg : Q € F'n, п = О,1...}, k > А+2, что

а) имеет место равенство

оо

/ = Е Е y^Q (сходимость в Lp)\ (2)

n=o QeF;t

б) конечна величина

/ -

\Q6Fi /

"ObafebM Z. CuuslracUvc Imu'iimi th«>ry uwl spline systems/'/ Shulia Malli. 52. l'J73. Г. 277-302.

29De Boor C. Practical Guide to Splmes//Si>rmger Verlag. New York. 1978.

При этом

где 7ШЖНЯЯ грань берется по всем представлениям (2).

Теорема 26 была доказана автором в [25] в случае В*00 и Р = О. Для пространства В™ и Р = И результат был получен в упоминавшейся ранее статье Р. Девора, В. Попова.

Теорема, об "атомном" разложении функций играет ключевую роль для доказательства теорем нелинейной аппроксимации с помощью сплайнов. Так же, как в диадических пространствах, рассмотрим два варианта ап-проксимационных теорем:

а) функции из Вр" приближаются в пространстве Ьч, где Л= ¿(1-1)+ г, г >0;

б) функции из Вр" приближаются в пространстве Ьч, где

Из вложения пространства В£в в ВрЙ(Р) следует, что при 7 = 0 результат теоремы 15 верен и для функций из ВОднако несколько изменив доказательство, можно получить более сильный результат, в котором приближение будет осуществляться нелинейными сплайнами из множества Оо).

Теорема 27. Пусть / € В*9, Л = й -+ г, г > 0 и

0 < р < <7 < оо. Тогда для любого п существует сплайн фп из такой, чт.о

здесь |7| < г и к > А + 2.

Отметим, что теорема 27 не является следствием соответствующей теоремы для диадического пространства Никольского-Бесова, однако доказательства этих теорем идут по одной схеме.

Коротко обсудим некоторые предшествующие теореме 27 результаты. Как отмечалось ранее, основополагающей здесь явилась работа М.Ш. Бирмана и М.З. Соломяка. В ней предложен нелинейный алгоритм, сопоставляющий каждой функции из пространства Соболева-Слободецкого кусочно-полиномиальную функцию <рп 6 РР£ (£>),

такую, что

\\f-Vnh , =

здесь Л > d - i), р > 1.

Получение аналогичных результатов для случая нелинейной сплайн-аппроксимации потребовало нового подхода. Такой подход был развит в частном случае в работе В.Е. Майорова30, а затем в работе К.И. Оскол-кова31. В полной общности этот подход развит в работе автора [25], где получена теорема 27. Отметим еще работу П. Освальда32, где функции из Вр° приближаются в пространстве В*0", А = d Q — ^ j + г, 0 < А' < г, О < в' < оо. Метод, примененный при доказательстве теоремы 27, позволяет получить и результат П. Освальда.

Ситуация еще более усложняется в случае А = d Q — ^. Если бы теорема 27 была верна на "предельном" показателе, то, как отмечается в работе М.Ш. Бирмана и М.З. Соломяка, отсюда следовало бы, что есть компактное вложение Вр С Lq. Известно, однако, что это вложение не является компактным. Смена аппарата приближения и совершенно иной подход позволили получить результат в данной ситуации.

Для формулировки следующей теоремы по аналогии с множеством кусочно-полиномиальных функций P£(F) введем множество сплайнов со свободными узлами ££(F):

Snk(F) :=P£(F)f)Ck-2(Q0).

Теорема 28. Пусть \ = - Çj, Q < р < в < q < <х> и

О < р < в < 1 при g = оо. Если / G В£в, тогда, для любого п G N существует функция sn 6 S%(D) такая, что

II/ ~ Snllt, < с • здесь k > А + 2, к-иечегпное число.

Сделаем несколько замечаний по поводу доказательства теоремы 28. Если доказательства прямых теорем при А > d Q; — ^ в диадическом и классическом случае почти не различались, то перенести доказательство теоремы 1С на классический случай сложнее. Это объясняется тем, что носители В-сплайнов (см. теорему 2G) не образуют почти диадическо-го семейства. Поэтому сначала исходную функцию нужно представить в

мМаулров В.Е. О наилучшем приближении классов W{(IS) в пространстве Loc(l'1)//Ыат. заметки. 1976. Т. 19. № 5. С. 099-706.

11 Осколков К.И. Полигональная аппроксимация функций двух переменных// Мат. сборник. 1978. Т. 107. № 4. С. 73-80.

320swuld P. On the degree foe nonlinear spline approximation in Besov-Sobolev spaces// J. Approxim. Theory. 1990. 61. P. 131-157.

виде суммы к1* функций /,• так, что в определении fi участвуют только 5-сплайны, носители которых образуют почти диадическое семейство. Это можно сделать, если к - нечетное число. Затем к каждой функции /, применить несколько видоизмененный алгоритм из теоремы 16.

Отметим результаты о приближении функции из диагонального пространства Вр. Впервые теорема 28 о приближении сплайнами со свободными узлами на "предельном" показателе в одномерном случае была получена Ю.А. Брудным33. Позднее аналогичный результат доказал П. Петрушев34. Многомерный случай анонсирован в работе Ю.А. Брудно-го, И.П. Иродовой [27] (более подробное доказательство см. в [2]). Независимо этот же результат другим методом в случае приближения линейными комбинациями характеристических функций был получен Р. Девором, В. Поповым35, вейвлет-аппроксимация при 0 < р < д < оо рассмотрена в статье Р. Девора., Б. Яверса, В. Попова36, случай д = оо изучен в статье Р. Девора, П. Петрушева, X. Ю37.

Заметим, что теорема 28 доказана и для недпагонального случая, который не был рассмотрен в указанных выше работах.

Теперь приведем неравенство типа неравенства Бернштейна для сплайнов со свободными узлами в многомерном случае. Впервые такое неравенство в одномерной ситуации доказано Ю.А. Брудным.

Теорема 29. Пусть А = d - ^j, d > 1. Если s„ £ SJ!(D), k > A+2,

здесь 1 < р < ? < оо.

Если д = оо, р > 1, то результат можно усилить, заменив Ьч на более широкое пространство ВМО. Напомним, что ВМО отличается от ВМО\(Р) тем, что верхняя грань берется по всем кубам <2 из <Зо (а не

ЛЗБрудный Ю.А. Рациональная аппроксимация и теорема вложения//ДАН СССР. 1979. № 247. Выи. 2. С. 2R9-272.

34 Petruschev P.P. Direct and converse theorems for spline and rational approximation and Besov span's// Function Spac<# and Applications Limd. l!)8fj. Lccturc Noles in Math. Vol. 1302. Springer -Verlag. Berlin. 1988. P. 363-377.

3>Dt:mm: It.A., Popov V.A. Free multivariate splines// Constr. Approx. Vol. 3. 1Э87. P. 239-248.

Dn;ore R. A., Jawerih В., Popov V.A. Compression of wavelet decompositions// Amer. ,7. Math. 1992. Vol. 114. P. 737-785.

37Dr.vorv. Я.Л., Рг.1ти..чсНгм P.P.. Yu X.M. Nonlinear wavelet approximation in tin; spw:c C(Rd)// Progress in Approximation Theory (Tampa. FL. 1990), Springer Ser. Comput. Math. Vol. 19. Springer. New York. 1992. P. 2G1-283.

mo

no Qe F).

Для доказательства теоремы 29 используется неравенство типа неравенства Бернщтейна для диадических пространств (теорема 17), свойство функций из Bp и интерполяционная техника.

Если sn - линейная комбинация характеристических функций и О < Л < i, то теорема 29 доказана Р. Девором, В. Поповым38. В статье Ронг-Кинга Джи39, а также в цитированных выше статьях Р. Девора, Б. Яверса,, В. Попова и Р. Девора, П. Петрушева, X. Ю. приведено доказательство аналогичного неравенства, но для другого аппарата приближения, когда sn является линейной комбинацией п вейвлет с компактными носителями.

Объединение прямых и обратных теорем (теоремы 28, 29) с применением интерполяционной техники позволяет получить описание Вр в терминах приближения сплайнами со свободными узлами в пространстве Lq.

Теорема 30. Пусть A=c¡^¿ — Тогда существует такое

k > А + 2, что

вх = ÍExp(AtLq), I<P<9<C00; " \EXv{A,BMO), р> 1, q = оо;

здесь А = {S%(D),n € N}.

Впервые теорема 30 в одномерном случае была получена Ю.А. Бруд-ным. Многомерный случай приближения характеристическими функциями рассмотрен Р. Девором, В. Поповым. В статьях Р. Девора, Б. Яверса В. Попова и Р. Девора, П. Петрушева, X. Ю дано аналогичное описание пространства В£ в терминах приближений в Lq с помощью вейвлет.

Другими возможными приложениями теории дпадических пространств могут служить теоремы вложения разных метрик и теоремы о /("-функционалах.

Прежде всего отметим, что если выполняется теорема вложения для диадических пространств, то соответствующая теорема верна и для классических пространств. Это объясняется тем, что классическое пространство является пересечением 2d диадических пространств. Таким образом, результаты теорем 9-11 переносятся и на случай классических про-

38Devore R.A., Popov V.A. Free multivariate splines (цит. выше).

Rnv'i-Qin'j Jia A Bernstein-Type Inequality Associated with Wavelet Decomposition// Constr. Approx. 1893. Vol. 9. P. 299-318.

странств, давая тем самым другой способ доказательства теорем вложения.

Приведем теперь результат о связи между /С-функционалами, построенными по парам диадических и классических пространств.

Теорема 31. Равномерно по / имеет место эквивалентность К(/, 4, Во, В\) « £ К(/, I, В0(х), Вг(х)У,

X

А 0-

здесь суммирование идет по всем вершинам х куба (¿о, и В= Вр'1,

В^) = в/'(Р(х)), ¿«0,1.

Вычисление /("-функционала пары (Во(х), В\(х)) не является сложной задачей. Сохраняя обозначения теоремы 31, получим

Следствие 3. Пусть Ах > До > 0, тогда Во, Вх) « ^ +

здесь и, := йк{1,2~1)р , к > \\ +2.

В случае До = 0 пространство Во нужно заменить па Ьр и справа исключить первое слагаемое.

Ранее для вычисления АГ-функционада пары В-пространств использовалась теорема реитерации (см., например, Й. Берг, Й. Лефстрем40).

Продолжим вычисление А'-ф.ункционалов. Сейчас мы рассмотрим пару (Ьр, \¥р). Дадим определение пространства ИПусть к* = к- 1+

Определение 6. Пространство \¥р состоит из тех / 6 Ьр, 0 < р < оо, для которых величина

р п

конечна.

При 1 < р < оо это пространство совпадает с однородным пространством Соболева.

40Веря Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства// М. Мир. 1980.

Теорема 32. Пусть 0 < р < оо, тогда

Точный порядок Я'-функционала пары (ЬР, И^) при р > 1 получен Я. Петре41. В случае 0 < р < 1 предложенный им метод не пригоден, так как функции из Ьр при 0 < р < 1 не интегрируемы. Случай 0 < р < 1 рассмотрен автором в [23]. При доказательстве теоремы 32 для оценки ./^-функционала в случае р > 0 предложен новый подход, использующий технику диадических пространств.

В заключение дадим еще одно описание пространства Вр9 в терминах локальных приближений, полученное с помощью перехода к диадическим В-прострапствам. В отличие от предыдущих описаний кубы, с помощью которых строятся приближения, группируются не по размерам, а по наличию общего центра. Такое описание позволяет сравнить пространства Никольского-Бесова и пространства бесселевых потенциалов.

Для формулировки соответствующего результата обозначим через куб с центром в точке х, размер ребра которого равен а через - его пересечение с <5о-

Теорема 33. Пусть А > 0, к > А, 0 < г < р < оо. Тогда / € Ьр принадлежит Вр тогда и только тогда, когда функция

принадлежит Ьр. Кроме того,

Отметим, что похожий результат для пространств бесселевых потенциалов получен в статье Ж. Доронсоро42.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность профессору Ю.А. Брудному за полезные обсуждения изложенных выше результатов.

41 Pudn- J. Thought s о» [Vsuv spaces/ /' Lccturc nuU-s. Lund. 19G(i.

42Dormnsoro J.R. A characterization of Potential Spaces// Amer.Math.Soc.1985. Vol. 95. № 1. P. 21-31.

Публикации по теме диссертации

Статьи в научных журналах из списка ВАК

1. Иродова И. П. О свойствах шкалы пространств Врв при 0 < р < 1/1 Докл. АН СССР. 1980. Т. 250, № 2. С. 273-275.

2. Брудний Ю.А., Иродова И.П. Нелинейная сплайн-аппрокснмацня и В-пространства// Алгебра и анализ. 1992. Т. 4, № 6. С. 45-79.

3. Иродова И.П. О неравенствах Джексона и Бернштейна для диадн-ческих пространств Бесова// Известия Тульского Государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. Тула. 1998. Т. 4. Вып. 1. С. 83-86.

4. Иродова И.П. Диаднческие пространства Бесова// Алгебра и анализ. 2000. Т. 12. Вып. 3. С. 40-80.

5. Иродова И. Л. Об описании модуля непрерывности в терминах кусочно-полиномиальной аппроксимации// Известия Тульского Государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. Тула. 2005. Т. И. Вып. 1. С. 148-155.

6. Иродова И.П. О вычислении /С-функционала пары В-пространств// Известия Тульского Государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. Тула. 2006. Т. 12. Вып. 1. С. 109-123.

7. Иродова И. П. О диадических пространствах Никольского-Бесова и их связи с классическими пространствами// Мат. заметки. Т. 83. Вып. 5.

2008. С. 083-696.

8. Иродова И.П. О неравенстве типа неравенства Бернштейна// Моделирование и анализ информационных систем. 2008. Т. 15, № 4. С. 31-41.

9. Иродова И. П. Диадические производные и их свойства// Известия Тульского Государственного университета. Серия естественных наук. Тула. 2008. Вып. 1. С. 29-36.

10. Иродова И.П. О вычислении К-функционалов// Алгебра и анализ.

2009. Т. 21, № 4. С. 95-125.

11. Иродова И. П. О неравенстве типа неравенства Джексона в диади-ческом пространстве ВМО// Моделирование н анализ информационных систем. 2009. Т. 16, № 3. С. 29-46.

Тезисы международных конференций

12. Иродова И.П. Диадические пространства Бесова// Тезисы Международной конференции по теории приближений, посвященной памяти профессора П.П. Коровкина. Калуга. 199G. Т. 1. С. 2G.

13. Иродова И.П. О некоторых свойствах диадичееких пространств Бесова/ / Тезисы Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования", иосвящеиной 75-летию Л.Д. Кудрявцева. Москва. 1998. С. 30.

14. Иродова И.П. Неравенства Джексона н Бершятейна для диадичееких пространств Бесова// Тезисы Международной конференции'Теория приближений и гармонический анализ". Тула. 1998. С. 121-122.

15. Иродова И.П. Неравенство Джексона для диадичееких недпа-гональных пространств Бесова// Abstract of international conference "Optimization of finite element approximation, splines and wavelets". St. Petersburg. 2001. C. 138-139.

16. Irodova I.P. On the connection between the dyadic Besov spaces// Abstract of international conference 'Wavelets and splines". St. Petersburg. 2003. P. 49-50.

17. Иродова И.П. О диадичееких пространствах Никольского-Бесова// Тезисы Международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященной столетию С.М. Никольского. Москва. 2005. С. 115.

18. Иродова И.П. О некоторых свойствах кусочно-полиномиальной аппроксимации// Тезисы Международной конференции "Математика. Экономика. Образование ". Ростов-па-Дону. 2005. С. 73-74.

19. Иродова И.П. О неравенстве Бернштейна/ Тезисы Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", посвященной 85-летию Л.Д. Кудрявцева. Москва. 2008. С. 138-140.

20. Irodova I.P. On the connection between the continuity module with piecewise - polynomial approximations.// Abstract of international conference "Wavelets and applications" St. Petersburg. 2009. P. 24-25.

21. Иродова И.П. О приближении кусочно-полиномиальными функциями / Тезисы XI Международной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики". Тула. 2009. С. 55-57.

22. Иродова И.П. О приближении в диадическом пространстве В МО//

Тезисы Международной конференции "Теория приближений". Санкт-Петербург. 2010. С. 41-43.

Прочие публикации

23. Иродова И.П. Свойства функций, заданных скоростью убывания кусочно-полиномиальной аппроксимации// Исследования по теории функций многих вещественных переменных. ЯрГУ, Ярославль. 1980. С. 92-117.

24. Иродова И.П. О свойствах шкалы пространств В*9 при 0 < р < 1/,/ Исследования по теории функций многих вещественных переменных. ЯрГУ, Ярославль. 1982. С. 57-79.

25. Иродова И.П. Совместное приближение функции и ее производных в //¡,([0,1]™) с помощью нелинейных сплайнов/./ Ярославль. 1982. С. 23. Рукопись представлена ЯрГУ. Деп. в ВИНИТИ 15 марта 1982, № 1135-82. С. 1-23.

2С. Иродова И.П. Обобщение неравенства Маршо// Исследования по теории функций многих вещественных переменных. ЯрГУ, Ярославль. 1984. С. 64-70.

27. Брудный Ю.А., Иродова И.П. Нелинейная сплайн-аппроксимация и В-пространства// Труды Международной конференции по теории приближений. Киев. 1983. М: Наука. 1987. С. 71-75.

28. Иродова И.П. Некоторые свойства диадических пространств Бесова// Труды Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы мат. образования". Москва. РУДН, Т. 1. 1998. С. 78-81.

Иродова И.П.

Методы кусочно-полиномиальной аппроксимации в теории пространств Никольского-Бесова

Аннотация

В настоящей работе предложен новый подход к изучению пространств Никольского-Бесова, который состоит из двух этапов. На первом этапе мы вводим и детально изучаем свойства диадическпх аналогов пространств Никольского-Бесова, которые определяются с помощью кусочно-полиномиальной аппроксимации па подмножестве почти диади-ческих кубов. Доказаны теоремы вложения, интерполяционные теоремы, теоремы о нелинейной аппроксимации кусочно-полиномиальными функциями и неравенство типа неравенства Бернштейна. Благодаря более простой структуре диадпческих пространств наряду с классическими методами применяются и комбинаторные алгоритмы.

На втором этапе изучается связь между дпадическими и классическими пространствами и на этой основе доказывается ряд известных и новых результатов для классических пространств. Исследуются различные перенормировки пространств, доказываются теоремы вложения разных метрик, теоремы о нелинейной аппроксимации сплайнами, дается характеристика пространства Никольского-Бесова в терминах нелинейной аппроксимации сплайнами.

Irodova I.P.

Piecewise approximation methods in the theory of Nikolskij-Besov spaces

Absract

In this work we propose a new approach to study Nikolskij-Besov spaces, which consists of two stages. In the first stage, we introduce and study in detail the properties of dyadic analogues of Nikolskij-Besov spaces, which are defined with the help of piecevvise-polynomial approximations on a subset of almost dyadic cubes. We also prove embedding theorems, interpolation theorems, the Bernstein type inequality and theorems of nonlinear approximation by piecewise-polynomial functions. Because of the simpler structure of dyadic spaces, we use combinatorial algorithms along with classic methods.

In the second stage, we study the connection between dyadic and classic spaces, and on this basis, we prove a series of known and new results for classic

spaces. We research different renormalizations of spaces, prove embedding theorems of different metrics and theorems of nonlinear approximation by splines, give a characteristic of the Nikolskij-Besov space in terms of nonlinear approximation by splines.

Подписано в печать 01.02.11. Формат 60x84/16. Бумага оф. Отпечатано на ризографе.

Тираж 100 экз. Заказ 1/11. Отдел оперативной полиграфии ЯрГУ 150000, Ярославль, ул. Советская, 14

Введение

1 Основные свойства кусочно-полиномиальных приближений

1.1 Почти диадические разбиения и почти диадическое дерево

1.2 Специальные диадические разбиения

1.3 Локальные полиномиальные приближения и их свойства

1.4 Сравнение локальных приближений в разных нормах.

1.5 Сравнение кусочно-полиномиальных приближений с разными степенями.

1.6 Сравнение кусочно-полиномиальных приближений, подчиненных разным специальным диадическим разбиениям.

1.7 Связь между кусочно-полиномиальными приближениями

2 Диадические пространства Никольского-Бесова и их свойства

2.1 Определение диадических пространств

2.2 Описание функций из В™{Р).

2.3 Диадические производные.

2.4 Эквивалентные квазинормы.

2.5 Теоремы вложения.

2.6 К - функционалы и интерполяция диадических пространств

2.7 Интерполяция пространств Вр°(Г) и

2.8 Связь диадических пространств, построенных по разным разбиениям

3 Аппроксимационные характеристики диадических пространств

3.1 Приближение кусочно-полиномиальными функциями с нефиксированными узлами ^случай Л > d ^ — ^^.

3.2 Приближение кусочно-полиномиальными функциями с нефиксированными узлами ^случай А = ^ (р — f)).^^

3.3 Приближение в почти диадическом пространстве BMO(F)

3.4 Неравенство типа неравенства Бернштейна.

3.5 Описание пространств в терминах приближения в Lq или BMO(F).

3.6 Диадические пространства Лизоркина-Трибсля

Актуальность темы. Теория пространств функций обобщенной гла,д;Е^0сти является интенсивно развивающейся областью исследований, активно взаимодействующей со многими разделами современного анализа (теория <ф>унк ций многих вещественных переменных, теория дифференциальных Ура,Вне ний в частных производных, теория приближения, гармонический а,на^Из и др.) При этом изучение каждого из классов пространств, являющихся ос новными объектами теории, основывается на использовании базовых мето дов современного анализа. В частности, в теории пространств Никольского Бесова основными средствами исследований являются приближение Целыми функциями экспоненциального типа, интегральные представления, сингу лярные интегралы, локальные приближения многочленами, гармонический анализ, теория нелинейного потенциала и др. По этому поводу см., в Частности, монографии С. М. Никольского [1], О. В. Бесова, В. П. Ильина, Q м Никольского [2], И. М. Стейна [3], X. Трибеля [4], D. Adams, L. Hedberg [5] а также статью Ю. А. Брудного [6].

В свою очередь решение актуальных проблем теории стимулирует появление новых концепций, методов и результатов, имеющих общематематическое значение.

Цель работы. В настоящей работе предложен новый подход к изучению пространств Никольского-Бесова, который состоит из двух этапов На первом этапе мы вводим и детально изучаем свойства диадических аналогов пространств Никольского - Бесова, которые определяются с помощью кусочно-полиномиальной аппроксимации на подмножестве почти диадических кубов. Благодаря более простой структуре при изучении этих пространств наряду с классическими методами мы применяем разработанные автором комбинаторные алгоритмы. Эти алгоритмы могут быть использованы в прикладных задачах (распознавание образов, сжатие информации)

На втором этапе мы изучаем связь между диадическими и классическими пространствами Никольского - Бесова и на этой основе доказываем ряд известных и новых результатов для классических пространств.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Для их изложения нам потребуются некоторые определения. Одним из центральных понятий работы является диадическое пространство Никольского-Бесова, с определения которого мы и начнем.

Обозначим через Пп семейство замкнутых диадических кубов из = [0,1]^ с длиной ребра 2~п. Определим наилучшее приближение функции / € Ьр((5о)> 0 < р < оо с помощью кусочно-полиномиальных функций вида <7дХ<2) гДе 9я является полиномом степени не более к — 1 по каждой из (1 переменных, а х<з обозначает характеристическую функцию куба СОбозначим эту величину через Оп)р. Таким образом, где нижняя грань взята по всем наборам полиномов дд. Здесь и всюду ниже

Тогда диадическое пространство Никольского - Бесова, построенное по семейству I), определяется с помощью нормы (квазинормы при 0 < р < 1) здесь И = {Вп,п = 0,1,.} - семейство диадических кубов.

Чтобы мотивировать это определение, напомним результат Ю. А. Бруд-ного [7], который показал, что если в этой формуле Ип заменить на произвольное семейство замкнутых попарно непересекающихся кубов с длиной ребра 2~п и взять верхнюю грань по всем таким семействам, то получится величина эквивалентная (квази)норме классического пространства Вр9, определяемого с помощью /с-модуля непрерывности.

По ряду причин нам удобно расширить эту шкалу, заменяя семейство {Аг, п = 0,1,.} на семейство {.Рп, п = 0,1,.} почти диадических квазикубов. Для их определения будем пользоваться особыми разбиениями куба дед Ьр((3 о).

1)

Эо

В этой работе для краткости будем называть разбиением куба Qq множество замкнутых параллелепипедов, внутренности которых попарно пе пересекаются, а объединение дает Qq.

Положим Fq = {Qo}'> разбиения Fn,n > 1, состоят из замкнутых параллелепипедов, получающихся при делении Qq гиперплоскостями, параллельными координатным гиперплоскостям и удовлетворяющих условиям:

1) длины ребер параллелепипедов из Fn эквивалентны 2~п с фиксированными константами эквивалентности, не зависящими от п. В дальнейшем такие параллелепипеды будем называть квазикубами;

2) для любого квазикуба Q G Fn+1 существует единственный квазикуб Q' G Fn такой, что Q С Q'.

Разбиение Fn будем называть почти диадичееким разбиением порядка п. Семейство F = {Fn,n = 0,1,.} будем называть почти диадичееким семейством. Отметим, что диадическое семейство является частным случаем этого понятия.

Заменяя в (1) Dn на Fn, мы получим определение диадического пространства Никольского-Бесова Bp°(F), построенного по семейству F. Далее диагональное пространство B^P(F) будем обозначать B^{F).

Еще одним объектом, изучаемым в диссертации, является пространство функций с ограниченной средней осцилляцией, построенных по семейству F. В дальнейшем это пространство будем обозначать BMO(F). Отметим, что когда F совпадает с семейством диадических кубов D, это пространство впервые было введено в работе Дж. Гарнета [8] и изучено многими авторами. Укажем в частности, что один из наиболее глубоких результатов в этой области получен в статье J.Garnet, P.Jones [9].

Далее изложим новые результаты, которые получены в работе. Прежде всего отметим серию результатов, в которых изучаются основные свойства кусочно-полиномиальных приближений, построенных по почти диадичееким разбиениям. Доказаны теоремы, в которых сравнивается скорость приближения кусочно-полиномиальными функциями в разных нормах, построенными по разным разбиениям, с разными степенями многочленов, составляющих кусочно-полиномиальные функции.

Основываясь на этих результатах и развитой при их доказательстве технике, мы подробно изучаем свойства диадических пространств Никольского-Бесова (теоремы вложения, интерполяционные теоремы, порядок диадической гладкости).

Существенную роль при доказательстве играют комбинаторно-геометрические свойства дерева, порожденного почти диадическими разбиениями. Основная теорема, использующая эти свойства, дает разбиение дерева с конечным множеством выделенных п вершин в виде объединения 0(п) попарно непересекающихся путей.

С помощью этой теоремы, мы конструируем алгоритмы, которые дают два центральных результата работы: теорему о нелинейной аппроксимации и неравенство типа неравенства Бернштейна.

Первый из этих результатов оценивает скорость приближения функции из Вр(Р) в метрике пространства Ья, 0 < р < д < сю или 0 < р < 1, п д = оо с помощью кусочно-полиномиальных функций вида гДе г=1 рд. - полиномы, а (3; - квазикубы из .Р. Здесь и всюду ниже Л - это предельный показатель, который определяется равенством Л = ¿¿(^ — В случае, когда р > 1, д = оо аналогичный результат верен в метрике пространства ВМО^).

Особенностью этой теоремы является тот факт, что скорость приближения остается такой же, как если бы мы приближали эту функцию в более слабой Ьр - метрике (эффект нелинейной аппроксимации).

Вторая теорема, неравенство типа неравенства Бернштейна, дает оценку Вр(Г) - (квази)нормы, вообще говоря, разрывной кусочно -полиномиальной функции эп = ^РЯгХЯп Яг ^ Р через ее (квази)норму в пространстве Ь(1. г=1

Этот результат основан на алгоритме в каком-то смысле обратном к ап-проксимационному алгоритму предыдущей теоремы. Отметим, что его можно рассматривать, как обращение теоремы вложения в Ьд.

Используя эти результаты, мы получаем описание диагонального пространства в терминах нелинейного приближения кусочно-полиномиальными функциями.

Диадические ^-пространства тесно связаны с классическими В-пространствами. Как доказано в диссертации, каждое диадическое пространство содержит соответствующее классическое, а для малых гладкостей эти пространства совпадают. Для остальных гладкостей В*0 является пересечением конечного числа диадических ^-пространств с подходящим образом подобранными семействами разбиений Р. Благодаря этому многие трудные результаты для классических пространств удалось получить из аналогичных существенно более просто доказываемых результатов для диадических пространств либо с помощью алгоритмов, развитых в теории диадичеекпх пространств.

Отметим некоторые из основных результатов, установленных подобным образом.

1) Теорема о нелинейной аппроксимации сплайнами функцнй из пространства в метрике пространства Ья, где Л = й- ^ — ^, 0 < р < д < оо или 0 < р < 1. <? = оо. А

Отметим, что вопрос о приближении функций из пространства В£, р > 1 остается открытым.

Трудность доказательства этой теоремы классическими методами состоит в том, что граф пересечений носителей 5-сплайнов, которые участвуют в разложении функции / £ Вр, носит сложный характер. Поэтому предварительно представляем этот граф в виде объединения попарно непересекающихся с{(1) деревьев, порожденных почти диадическими семействами. Это позволяет разбить / на сумму с(с£) функций, а затем к каждой из этих функций применить слегка модифицированный алгоритм, разработанный для диадических пространств.

2) Неравенство типа неравенства Бернштейна для функций которые являются линейными комбинациями п гладких Л-сплайнов.

Для доказательства этого неравенства используется аналогичное неравенство для диадических пространств и интерполяционная техника.

3) Конструктивная характеристика пространства Вр в терминах нелинейной аппроксимации сплайнами в метрике пространства Ьч или ВМО.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседании следующих научных семинаров:

- Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, семинар под руководством профессора В. М. Тихомирова (сентябрь 2008);

- математического института им. В.А. Стеклова, семинар под руководством академика С.М. Никольского (октябрь 1998, ноябрь 2008).

- Российского университета дружбы народов, факультет физико-математических и естественных наук, семинар под руководством чл.-корр.

РАН В.Д. Степанова и профессора A.JL Скубачевского.

По 1материалам диссертации были сделаны доклады на следующих конференциях:

- международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования", посвященной 75-летию члена корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева, Москва, март 1998;

- международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ", Тула, май 1998;

- international conference "Optimization of fmite element approximation, splines and wavelets", St.Petersburg, June 2001;

- international conference "Wavelets and splines", St.Petersburg, July 2003;

- международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященной столетию С.М. Никольского, Москва, май 2005;

- международной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики ", посвященной 85-летию профессора С.Б. Стечкина, Тула, ноябрь 2005;

- международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", посвященной 85-летию члена-корреспондента РАН, профессора Л.Д. Кудрявцева, Москва, март 2008;

-international conference "Wavelets and splines", St.Petersburg, June 2009.

- международной конференции "Теория приближений", Санкт-Петербург, май 2010.

Основные публикации по теме диссертации

1. Иродова И. П. О свойствах шкалы пространств В*е при 0 < р < 1// Докл. АН СССР. 1980. т. 250. № 2. с. 273-275.

2.Иродова И.П. Свойства функций, заданных скоростью убывания кусочно-полиномиальной аппроксимации// Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль. 1980. с. 92-117.

3. Иродова И.П. О свойствах шкалы пространств В^в при 0 < р < 1// Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль. 1982. с. 57-79.

4. Иродова И.П. Совместное приближение функции и ее производных в

Ьр([0,1]п) с помощью нелинейных сплайнов// Ярославль. 1982. с. 23. Рукопись представлена Яросл. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 15 марта 1982, № 1135-82.

5. Иродова И.П. Обобщение неравенства Маршо// Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль. 1984. с. 64-70.

6. Брудный Ю.А., Иродова И.П. Нелинейная сплайн-аппроксимация и В-пространства// Тр. Междунар. конф. по теории приближений. Киев. 1983. М: Наука. 1987. с. 71-75.

7. Брудный Ю.А., Иродова И.П. Нелинейная сплайн-аппроксимация и ^-пространства// Алгебра и анализ. 1992. т. 6. с. 45-79.

8. Иродова И. П. О неравенствах Джексона и Бернштейна для диадиче-ских пространств Бесова// Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула. 1998. т. 4. вып. 1. с. 83-86.

9. Иродова И. П. Некоторые свойства диадических пространств Бесова// Функц. пр-ва. Дифф. операторы. Проблемы мат. образования. Труды меж-дун. конф. Унив. дружбы народов, т. 1. Москва. 1998. с. 78-81.

10. Иродова И.П. Диадические пространства Бесова// Алгебра и анализ. 2000. т. 12. вып. 3. с. 40-80.

11. Иродова И. П. Об описании модуля непрерывности в терминах кусочно-полиномиальной аппроксимации// Известия Тульского Государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. Тула. 2005. т. 11. вып. 1. с. 148-155.

12. Иродова И. П. О вычислении /^-функционала пары Л-пространств// Известия Тульского Государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. Тула. 2006. т. 12. вып. 1. с. 109-123.

13. Иродова И.П. О диадических пространствах Никольского-Бесова и их связи с классическими пространствами// Мат. заметки, т. 83. вып. 5. 2008. с. 683-696.

14. Иродова И. П. О неравенстве типа неравенства Бернштейна// Моделирование и анализ информационных систем. 2008. т. 15. № 4. с. 31-41.

15. Иродова И.П. Диадические производные и их свойства// Известия Тульского Государственного университета. Серия естественных наук. Тула.

2008. вып. 1. с. 29-36.

16. Иродова И.П. О вычислении К-функционалов// Алгебра и анализ.

2009. т. 21. № 4. с. 95-125.

17. Иродова И. П. О неравенстве типа неравенства Джексона в диадическом пространстве ВМО//Моделирование и анализ информационных систем. 2009. т. 16. № 3. с. 29-46.

Основное содержание работы.

Перейдем к более подробному изложению результатов. Напомним, что локальное приближение многочленами функции / £ Lp, 0 < р < оо является функцией множества Y t—> Ek(f,Y)p, Y С Q0 определяемой формулой

Ek(f,Y)p := míj\f ~ g\\Lp{yy

Здесь Рк - пространство полиномов степени не более к — 1 по каждой из d переменных.

Начнем с результата, где оценивается локальное приближение полиномами в одной норме через локальные приближения в другой норме. Очевидно, если 0 < р < q < оо, то это легко сделать, используя неравенство Гельдера:

Ek(f,Y)p < \Y\i-t . Ek(f,Y)q, здесь Y е F.

Однако оценить Ek(f, Y)q через локальные приближения в Lp значительно сложнее. Для этого потребуется использовать все квазикубы Q из F, вложенные в Y. Чтобы сформулировать соответствующий результат, для произвольного квазикуба Y из почти диадического семейства F символом Fn(Y) обозначим разбиение Y на квазикубы Q Е F, длина ребра которых « 2~~n\Y\^. В частности, Fn(Q0) = Fn. Далее обозначим через Р&(П) пространство кусочно-полиномиальных функций, подчиненных разбиению П, то есть функций вида ]Г) gQXQ, где gQ Е Рк. Наконец, символом П)р

Qeп обозначим наилучшее приближение / функциями из множества Р/г(П) в пространстве Lp.

Теорема 1. Пусть f € Lq(Y), А = — 0 < р < q < оо. Тогда Ek{f,Y)q < с -2n)Xek{f,Fn{Y)\ n=0 ^

В доказательстве теоремы 1 используем подход, предложенный

Ю. А. Брудным в [10]. Он заключается в замене функции / ее перестановкой /*.

Как следствие из теоремы 1 можно получить более слабый результат, который, однако, нагляднее демонстрирует связь локальных приближеиий в разных нормах.

Следствие 1. Пусть / € ЬЧ{У), У £Г,0<р<д<оо. Тогда

Отметим, что теорема 1 неверна при д = оо. Однако можно получить такой результат.

Здесь 0 < р < оо

Результат, приведенный в следующей теореме, можно рассматривать как диадический аналог неравенства типа неравенства Маршо. Он дает возможность сравнить скорости приближения кусочно-полиномиальными функциями с разными степенями. Пусть здесь и всюду ниже р* = гшп(1,р).

Теорема 3. Для к < т имеет место неравенство

Здесь -Рф>(/) - многочлен наилучшего приближения функции / на кубе <2о из пространства Рт.

Чтобы сформулировать очередной результат, нужно ввести понятие специальных диадических разбиений.

Пусть х - вершина куба От перейдем к кубу который получается гомотетией (5о относительно вершины х с коэффициентом 3. Куб фх разделим на 2пй равных кубов, а затем возьмем пересечение этих кубов с кубом <3о- Получившееся разбиение (Зо на параллелепипеды обозначим

Теорема 2. Пусть / 6 Ь^У), У е Р. Тогда

Рп(х) . В дальнейшем разбиения Еп(х) будем называть специальными диа-дическими разбиениями, а Е(х) будем называть специальным диадическим семейством.

Специальные диадические разбиения в некотором смысле универсальны. С их помощью, например, можно описать к-й модуль непрерывности и, как следствие, сравнить диадические и классические пространства. Поэтому важно изучить, как связаны скорости приближений кусочно-полиномиальными функциями, подчиненными разным специальным диадическим разбиениям.

Теорема 4. Пусть / е Ьр, 0<р<ооих,у - вершины куба тогда п Л 1 /Р" г=0

Покажем теперь, как можно оценить скорость приближения кусочно-полиномиальными функциями, подчиненными специальным диадическим разбиениям через равномерные кусочно-полиномиальные приближения ип. Хотя по постановке задача похожа на предыдущую (переход от одного разбиения к семейству разбиений другого рода), способы доказательства этих результатов совершенно различны. Это объясняется тем, что равномерные разбиения 11п (в отличие от Вп = [/2») не являются диадическими, что значительно усложняет доказательство. Теорема, которая сформулирована ниже, позволяет получить новое интересное свойство модуля непрерывности (см. теорему 21, свойство 3).

Теорема 5. Пусть Рп(х) специальное диадическое разбиение. Тогда / 2П+1 4 е*(/,ВД)р < с

7- 2" + 1 V здесь 0 < р < со, а через 11г обозначено разбиение куба (¿о, состоящее из равных кубов с длиной ребра

Вторая глава начинается с определения диадического пространства

Определение 1. Диадическим пространством Никольского-Бесова Врв(Р), построенным по почти диадическому семейству Р, называется множество функций из Ьр, для которых конечна величина здесь /;>А>0и0<р,^<оо. Квазинорма в Врв(Р) определяется равенством женный при р > 1 О. В. Бесовым (см., например, [11]). Отличие состоит в том, что в [11] свойства функций описываются в терминах приближений целыми функциями экспоненциального типа, а сейчас приближать будем кусочно-полиномиальными функциями.

Отметим, что в силу теоремы 3 квазинормы в Врв{Р) при различных к > А эквивалентны. Этим объясняется отсутствие параметра к в определении пространства.

Дадим описание функций из Вр°(Р). Перед тем, как сформулировать результат, обозначим через О,' единственный квазикуб из Рп-\, который содержит или совпадает с <5 6 Рп. Пусть С~)'0 будет пустым множеством. Кроме того, через обозначим многочлен наилучшего приближения функции из пространства Р% в норме пространства ЬР{С}).

Теорема 6. Функция / из Ьр принадлежит пространству Вр°{Р), к > А > О, О < р,9 < оо тогда и только тогда, когда а) сходимость в Ьр)\

Я&Р

Ь) конечна величина оо /

КЫг{!: := ||Рд(/) - Р^)|| п=1 \QeFn р

ЫЯ) в 11/1ир.

Кроме того,

КN1 (/, Р) « Швуру

Далее приводятся еще две эквивалентные перенормировки В-пространств, которые полезны в приложении.

Теорема 7. Пусть к > А > 0, 0 < 9,р < оо. Тогда следующие квазинормы эквивалентны квазинорме Р) := сю

1) ЮУ2(/, Р) := Е - «/п-^Г , п=0 / где дп = $«(/) - кусочно-полиномиальная функция из пространства Рк{Рп), которая является наилучшим приближением / в пространстве Ьр; = 0; оо д\ в

2) кмз(/, Р) := М (2пЛ||^ - Ч>п-Льр)) , здесь нижняя грань взята по всем представлениям / в виде ряда оо = ~ Уп-1), г=0 где у>„ € Р^п), (р-1 = 0.

Все приведенные выше квазинормы были описаны в терминах приближения в пространстве Ьр. Оказывается, можно написать эквивалентную квазинорму, в которой функции будут приближаться в более широком пространстве Ьг, 0 < г < р < оо.

Теорема 8. Функция / из Ьр принадлежит тогда и только тогда, когда конечна величина ад, р) со

1/Л

0 V причем КР) эквивалентна квазинорме КЛГ(/, .Р). Здесь к > А > 0; 0< г < р < оо, 0 < 0 < со.

Впервые аналогичный результат для классического пространства Бесова в случае р > 1 другим методом получен Ю. А. Брудным в [6].

Позднее (теорема 18) будет приведена еще одна эквивалентная квазинорма, где приближение будет осуществляться в более узком пространстве Ьг

Перейдем теперь к формулировке теорем вложения разных метрик.

Сформулируем наиболее сложно доказываемую теорему вложения на "предельном" показателе Л = — Остальные теоремы вложения получаются аналогично тому, как это сделано, например, в монографии С. М. Никольского [1]. Обозначим через Ьд/Рк фактор-пространство Ь(] по Рк. Квазинорму в Ьа/Рк зададим формулой

ILJPk ■= Qo)q

Также можно ввести фактор-пространство BX0(F)/Pk с квазинормой ll/lb^(F)/Pfc := If\B™(F)-Теорема 9. Если А = d Qj — ^j, 0 < р < q < оо, к > X, то

Bxp\F)!Pk с Lq/Pk. Для случая А = q = оо можно получить следующий результат. Теорема 10. Если А = к > А, то

Bx/(F)/Pk С Loo/Pfc. Из теоремы 10 следует, что если р < 1, то

BX(F)/Pk с ¿«./Д.

Однако этот результат неверен для р > 1. В этом случае Z/qq/P^ нужно заменить на более широкое почти диадическое пространство BMOg(F).

По аналогии с тем, как это было сделано в монографии J.Garnet [8], определим почти диадическое пространство BMO^(F), построенное по семейству F, как множество функций / из Ls, для которых величина

If\BMOks{F) '= SUp x"^ 1

QQQQ,Q€F \Q\-. конечна.

Теорема 11. Если 0 < p < s < оо, к > mo

Bl{F)/Pk с BMOks{F).

Следующий раздел работы связан с /^-функционалами и интерполяционными теоремами. Приведем здесь результат, относящийся к случаю различных показателей интегрируемости.

Теорема 12. При интерполяции ееи^ественным методом имеет место изоморфизм здесь Хо = (1 - в)Х0 + вХъ ± = ^ + 0 < 9 < 1, > О, о < Ра,Р\ < оо.

Для формулировки очередного результата введем понятие диадической производной. Пусть / 6 Ьр, 0 < р < оо. Через (рп обозначим кусочно-полиномиальную функцию из Тогда

Будем считать, что

Пусть / £ 0 < р < оо. Через дп = дп(1) обозначим кусочно-полиномиальную функцию из Рк{Рп) такую, что

-9п\\ьр = М8ЬЬри,Ъ(Рп)).

Отметим, что дп может быть не единственной функцией при 0 < р < 1.

Определение 2. Будем говорить, что / обладает Р-диадической производной порядка ¡3, если существует такое к > \(3\, что последовательность сходится относительно нормы пространства Ьр и этот предел не зависит от выбора дп{/). Предел последовательности обозначим

Заметим, что Р-диадическая производная функции / из Врв(Р) не зависит от к, если к > X.

Теорема 13. Если / € Врв(Р), то для любого к > X существуют Р-диадические производные Орк/ порядка ¡3, \(3\ < X и

В последнем результате главы 2 устанавливается связь между диадиче-скими пространствами, построенными по разным специальным диадическим семействам.

Теорема 14. Если 0 < Л < то для любых специальных диадических семейств Р{х) и Р{у) Вхр°(Р(у)).

Третья глава посвящена изучению аппроксимациопных свойств диадических ^-пространств. Для формулировки первого результата главы дадим определение класса приближающих функций.

Определение 3. Будем говорить, что Ф € РР£(Р), если существует разбиение П7г куба состоящее из не более п квазикубов из Р, такое, что Ф на каждом из Пп является многочленом из

Таким образом, кусочно-полиномиальная функция Ф из РР^(Р) имеет вид т

Ф = ^РЯгХЯг, 1 т где квазикубы (¿г £ Р, П Qj = 0, (г ф и и — <Зо, т < п. г=1

Теорема 15. Пусть / € В™(Р), А = ¿2 - + г, г > 0 и

О < р < < со. Тогда для любого натурального п существует кусочно-полиномиальная функция фп = фп(1) из РР£(Р), к > А такая, что здесь |7| < г и к > А.

Впервые результат о нелинейной аппроксимации был получен в ставшей уже классической статье М. Ш. Бирмана и М. 3. Соломяка [12]. В ней функции из пространства Соболева-Слободецкого \¥р (С^о), р > 1 приближались функциями из множества РР^{1У). Теорема 15 является аналогом результата М. Ш. Бирмана и М. 3. Соломяка. Отметим, в отличие от результата статьи [12] сейчас одновременно можно приближать функцию и ее производные.

Для построения функции фп используем адаптивный алгоритм приближения, который называют "жадным" алгоритмом. Для этого с каждым квазикубом Q из F связываем некоторое число ¡iq. Затем выбираем « п квазикубов, которым соответствуют самые большие коэффициенты ¡iq. Однако выбранные квазикубы не всегда образуют разбиение Q0. Требуется дополнительная реконструкция, с помощью которой удается построить нужное разбиение .

Отметим, что "жадный" алгоритм не работает на "предельном" показателе. Существуют примеры показывающие, что построенные выше функции фп(/) не сходятся к / при Л = d ^ — ^. Чтобы получить аппроксима-ционную теорему на "предельном" показателе, нужно расширить аппарат приближения.

Определение 4. Будем говорить, что функция s принадлежит PJ}(F), если существует такой набор квазикубов {Qi,., Qm} из F, т < п, что т s = PQiXQi; i—1 здесь pQi £ Pk.

В отличие от множества PP™(F) на расположение квазикубов {QiT--,Qn} нет ограничений. Например, они могут быть вложены друг в друга. Очевидно, что PP£(F) С Pg(F).

Теорема 16. Если f £ Bp(F), тогда существует кусочно-полиномиальная функция sn £ P£(F), k > А такая, что

II/ - sn\\Lq <c-n^\j\Bx{F)] здесь X = d^ — ^j,0<p<q<oou0<p< 1, если q = оо. Если otee q — оо и р > 1, то пространство Lq слева нужно заменить на BMO\{F).

Отметим, что доказательство теоремы 16 носит конструктивный характер. На первом этапе, используя информацию о функции /, находим 0{п) особых квазикубов из разбиения F. Затем с их помощью разбиваем дерево, порожденное семейством F, на попарно непересекающиеся пути. Каждый путь определяет некоторый многочлен. Искомая функция строится из таких многочленов.

Сформулируем теперь результат в некотором смысле обратный результату теоремы 16. Речь идет о неравенстве типа неравенства Бернштейна.

Теорема 17. Пусть А = (I ^ — ^ . Если вп е Рк{Е), то здесь 0 < р < < оо; к > А.

В случае А = д = оо теорему 17 можно усилить, заменив .£/оо(<Зо) на более широкое пространство ВМОр(Р).

Объединяя предыдущие результаты, можно представить Вр(Р) как ап-проксимационное пространство, используя нелинейное приближение в Ья или ВМО(Р).

Напомним, (см., например, РеЬтее, Ярагг [13]) что аппроксимационпое пространство Ь9), А = {Ап С Ья,п = 1,2,.} определяется как множество функций / € Ьд, для которых конечна величина оо д \ д (Е (^с/%) - ) + \\/\\ья, где е„(/)д = гШдД/, Ап).

Теорема 18. Пусть Л = с? ^ — 0 < р < д < оо, 0 < р < 1, если д — оо. Тогда Е\р{А{Р)) Ьч).

Если 0 < р < оо, д = оо; то ЕХр(А(Е), ВМО\(Р)У, здесь А(Е) = {Р£(Р),п = 1,2.}.

Такое описание играет существенную роль при доказательстве теорем вещественной интерполяции. Приведем результат, где интерполируются пространства с различными показателями интегрируемости.

Теорема 19. Пусть А = ^ ^ — 0, 0 < р < д < оо. Тогда

Если О < р < оо, д — оо, то здесь ве (0,1), » = = 1 + Если 0 < р < 1, д = оо, то здесь 0 е (р, 1), [I = Л0, ± =

Отметим, что подобная теорема есть и в классическом анализе. Например, в статье Л. РееЬ-е, Е. ЗуешБоп [14] решен вопрос об интерполяции пространства В МО и пространства Никольского-Бесова В* при р > 1. Кроме того, из результатов статьи Ю. В. Нетрусова [15] как следствие получается теорема об интерполяции пространства непрерывных функций и В^ при О < р < 1. Способ доказательства соответствующей интерполяционной теоремы очень сложный.

В финальной части третьей главы отмечается, что можно ввести диади-ческие пространства и других гладких функций. В качестве примера приводятся диадические пространства Лизоркина-Трибеля Ь^°(Е).

Перейдем к результатам главы 4, где показано, как техника кусочно-полиномиальных приближений работает в классическом анализе.

Начнем со свойств модуля непрерывности. Напомним, что модуль непрерывности /с-ого порядка функции / в пространстве Ьр определяется формулой вир ||Д£/||£

Щ<Ь где Яки — {я € Яо ■ х + зИ е ЯоЛ = 1,., к}.

Если здесь верхнюю грань брать лишь по векторам коллинеарным оси Овг, то получим определение частного модуля непрерывности Ь)р. Обозначим а

ЪкиЛр^^кШЪ- (2) • 1

Следующая теорема дает описание модуля непрерывности в терминах кусочно-полиномиальных приближений, построенных по специальным диа-дическим разбиениям.

Теорема 20. Пусть f £ Lp, 0 < р < оо, тогда wk(f, 2~n)p^J2eb (f>F*(*))P; х здесь суммирование идет по всем вершинам х куба Qq.

Для доказательства этого результата используется теорема об "атомном" разложении модуля непрерывности, доказанная Ю. А. Брудным в [7].

Применяя теорему 20, можно перенести свойства кусочно-полиномиальных приближений, доказанные в первой главе, на свойства модуля непрерывности.

Теорема 21. Пусть / G Lp, тогда

1) 57fc(/, 2"*% < с • (ф (^(¿-'bfctA 2"%)*) \ здесь 0 < р < q < оо;

2) üjk(f ~ Pq0U), 2< с • 2-** ■ (24;m(f, 2, здесь k < т, р* = min(l,p) и р > 0; 2n+1 \ р

3)üjk(f,2-n)p^ek(f,U2n)p+[2-n- £ ek(f,UrY ,

У r=2n+l у здесь, как и выше, Ur - равномерное разбиение Qo на кубы с длиной ребра равной г-1 и 0 < р < оо.

Теорема о соотношении модуля непрерывности в различных метриках доказана, например, в статьях П.Л. Ульянова [16], J. Peetre [17], К. К. Головкина [18] и С. Herz [19]. Второй пункт теоремы 21 является обобщением одномерного неравенства Маргао (см. А.Ф. Тиман [20]).

Следующий результат интересен тем, что он позволяет перейти от приближения кусочно-полиномиальными функциями к приближению сплайнами.

Напомним определение множества сплайнов степени не выше к — 1 по каждой переменной, дефекта 1, подчиненных разбиению П куба Q0. Обозначим его Sfc(n), тогда й(П) := Pk(U)nCk-2(Q0)здесь Ck~2(Qo) - пространство функций, имеющих на Qo производные до порядка к — 2 включительно по каждой переменной.

Теорема 22. Для функции / из Ьр, 0 < р < оо и любого п найдется сплайн из пространства ¿^(L^fc-i)); к >2 такой, что

II/ - sn\\p <c-J2 eÁf, Fn(x))p; X здесь суммирование идет по всем вершинам х куба (последствие 2. Для функции / из Ьр, р > 0 и любого п найдется сплайн из пространства ¿^(L^fc-i)); к >2 такой, что f-sn\\p<c-ük(f, 2 ~п)р.

Этот результат впервые в одномерном случае получен Ю. А. Брудным в [21] и обобщен автором на многомерную ситуацию в [22] (см. также [23]). Нужно еще отметить результат R. Devore , V. Popov [24], где на другом пути получен аналогичный результат.

Перейдем теперь к определению пространства Никольского-Бесова В^9,

0 < р < оо. Пространства Никольского-Бесова Bp9{Rd), р > 1, 0 < Л < оо,

1 < в < оо были введены и изучены О. В. Бесовым (см., например, [11], [25], [26]) как обобщение пространств Никольского Нр, р > 1 {Нр = Вр°°). Пространства Bp9(Rd) оказались очень полезными в приложениях. Основной областью их применения являются теория линейных и нелинейных уравнений в частных производных. Кроме того, пространства Никольского-Бесова играют важную роль в теории функциональных пространств. Так, например, О. В. Бесов в [25] дал полное решение задачи о точном описании пространства следов функций из пространства Соболева в терминах пространств Bp.

Классическое пространство Bp9, р > 1 определяется с помощью производных и разделенных разностей или, что равносильно, с помощью модуля непрерывности. Так как мы работаем с пространством Никольского-Бесова не только при р > 1, но и при 0 < р < 1, то есть две возможности определения этих пространств, которые при р > 1 совпадают.

Первое определение, как и классическое, использует понятие модуля непрерывности. Второе определение, введенное J. Peetre в [27], основано на преобразовании Фурье обобщенных функций. Первое пространство обозначим Bp9, второе - Bp9. Пространство Вр°. О < р < 1 состоит только из интегрируемых функции, что позволяет использовать методы, основанные на интегральных представлениях. В случае шкалы пространств Вр° это уже невозможно, по крайней мере при Л < d ^ — 1J, так как Врв может содержать и неинтегрируемые функции. Как доказано J. Peetre, В™ вложено в Вр°, а если Л > d — 1V то пространства совпадают.

В работе автора [28] (см. также [29] и монографию Х.Трибеля [30]) изучены свойства шкалы пространств Вре при 0 < р < 1. Оказалось, что можно обобщить результаты О. В. Бесова об описании функций из р > 1с помощью целых функций и на случай 0 < р < 1. В дальнейшем мы будем использовать определение пространства Вр&, 0 < р < оо, основанное на понятии модуля непрерывности.

Определение 5. Функция / из Ьр, 0 < р < оо принадлежит, пространству Вр9 = Bpe(Qo), если конечна величина оо \ i/* здесь 0<А<&, О<0< оо.

Квазипорму, как обычно, определим формулой

U/Ib- = I Пву + Ыьр.

В определении квазинормы сумму частных модулей непрерывности wk(f,t)p можно заменить на модуль непрерывности t)p. При р > 1 это доказано, например, в книге С. М. Никольского [1], а при 0 < р < 1 - в статье автора [31].

Приведем два результата о связи классических и диадических В-пространств.

Теорема 23. Пусть А > 0, 0 < р, 0 < оо. Тогда

BXp0 = f]BXpe(F(x)); X где х пробегает мнооюеетво всех вершин куба Qq. Теорема 24. Если 0 < А < то

В™ = Bp9(F)] здесь F - это или специальное диадическое семейство F(x) или F — D.

Теорема 24 показывает, что функцию из пространства В™ при 0 < А < ^ можно описать в терминах приближения кусочно-полиномиальными функциями, причем это описание не зависит от выбора почти диадического семейства. Это же свойство верно и для пространств В^9, А > только приближать нужно будет не кусочно-полиномиальными функциями, а сплайнами.

Чтобы сформулировать соответствующий результат, обозначим для функции / через sn = sn(f) сплайн наилучшего приближения из пространства Sk(Fn), то есть f-sn\\Lp = distLp(f}Sk(Fn)).

Теорема 25. Функция f из Ьр принадлежит В^9, А > 0, k > А + 2, О <р: 0 < оо, тогда и только тогда, когда а) оо f — — sni) (сходимость в Lp)\

71=0 здесь si = 0. б) Величина

1 оо \ в (2"Л||/- ,„|Uje < оо.

71=0 /

Кроме того, оо \ в

I/Iba.« Е(2ПА|1/-в«НО J • п=0 /

Отметим, что похожая характеристика в одномерном случае при р > 1 впервые была дана Z. Ciesielski в [32].

Теорема 25 в случае Fn = [/2n(/c-i) доказана автором в [22]. Независимо, но существенно позже, это утверждение для Fn = Dn было получено в статье R. Devore, V. Popov [24].

Важным следствием теоремы 25 является "атомное" разложение функций из Вр°. Чтобы сформулировать соответствующий результат, выберем базис пространства Sk(Fn), состоящий из ^-сплайнов.

Для этого продолжим разбиение Fn с куба Qq на Rd. По получившемуся разбиению Fn(Rd) построим последовательность ^-сплайнов, (см., например, книгу К. de Boor [33]). С каждым квазикубом Q из FTl(Rd) можно связать -В-сплайн, который будем обозначать 6д. Известно, что носитель 6д состоит из 0(кс1) квазикубов разбиения /^(Я^). Выберем только те 6д, носители которых пересекают Таким образом,

К = {Я£ Щя?) ■ зирр ъя п д0 ф 0} •

Тогда {Ьо}д£Р, является базисом пространства

Теорема 26. Функция / £ -В^61, 0 < р, 0 < оо, тогда и только тогда, когда существует такой набор чисел {¿/д : С} £ Р'п,п — 0,1.}, что а) оо = ^^ ^^ (сходимость в Ьр); (3)

71=0 де^

Величина

PN(f) := > I > IQI^M < оо.

При этом

1/Ьл.« inf PiV(/), где нижняя грань берется по всем представлениям (3).

Теорема 26 была доказана автором в [34] в случае В^00 и F = D. Для пространства jE?^0 и F = D результат был получен в статье R. Devore, V. Popov [24].

Теорема об "атомном" разложении функций играет ключевую роль для доказательства теорем нелинейной аппроксимации с помощью сплайнов. Также, как в диадических пространствах, рассмотрим два варианта аппрок-симационных теорем: а) функции из Врв приближаются в пространстве Lq, где

Л= г,г>0; б) функции из Врв приближаются в пространстве Lg, где А = d — ^. Из вложения пространства в Bp°(F) следует, что при 7 = 0 результат теоремы 15 верен и для функций из B^f. Однако, несколько изменив доказательство, можно получить более сильный результат, в котором приближение будет осуществляться нелинейными сплайнами из множества

Теорема 27. Пусть / € В™, А = с2^-0+г;г>О«О<р<д<оо. Тогда для любого п существует сплайн фп из 5'5|? такой, что здесь |-у| < г и к > А + 2.

Отметим, что теорема 27 не является следствием соответствующей теоремы для диадического пространства Никольского-Бесова, однако доказательства этих теорем идут по одной схеме.

Коротко обсудим некоторые предшествующие теореме 27 результаты. Как отмечалось ранее, основополагающей здесь явилась работа М. Ш. Бирмана и М. 3. Соломяка [12]. В ней предложен нелинейный алгоритм, сопоставляющий каждой функции из пространства Соболева-Слободецкого "диадическую" кусочно-полиномиальную функцию (рп € РР^(О), такую, что здесь А > ё, V > 1

Получение аналогичных результатов для случая нелинейной сплайн-аппроксимации потребовало нового подхода. Такой подход был развит в частных случаях в работе В. Е. Майорова [35] (приближение ломаными в С[0,1] функций из 1], ^ < А < 1) и затем в работе К. И. Осколкова

36] (приближение непрерывными полигональными функциями в С([0,1]2), | < А < 2). В полной общности этот подход развит в работе автора [34], где получена теорема 27. Отметим еще работу П. Освальда [37], где функции из Вр9 приближаются в пространстве А = (I ^ — ^ + г, 0 < А' < г,

О < в' < со. Метод, примененный при доказательстве теоремы 27, позволяет получить и результат П.Освальда.

Ситуация еще более усложняется в случае А = д, ^ — ^. Если бы теорема 27 была верна на "предельном" показателе, то, как отмечается в работе М. Ш. Бирмана и М. 3. Соломяка [12], отсюда следовало бы, что есть компактное вложение В* С Ья. Известно, однако, что это вложение не является компактным. Смена аппарата приближения и совершенно иной подход позволили получить результат в данной ситуации.

Для формулировки следующей теоремы по аналогии с множеством кусочно-полиномиальных функций Pg(F) введем множество сплайнов со свободными узлами S%(F):

- Теорема 28. Пусть X = d(^-^j,0<p<6<q<oou0<p<e<l, при q — оо. Если f 6 Вхв, тогда для любого п е N существует функция sn £ Sk(D) такая, что f-sn\\Lq < с-та-И|/|вл*; здесь А; > Л + 2, k-нечетное число.

Сделаем несколько замечаний по поводу доказательства теоремы 28. Если доказательства прямых теорем при X > d — 0 в диадическом и классическом случае почти не различались, то перенести доказательство теоремы 16 на классический случай сложнее. Это объясняется тем, что носители 5-сплайнов (см. теорему 26) не образуют почти диадического семейства. Поэтому сначала исходную функцию нужно представить в виде суммы kd функций fi так, что в определении участвуют только Р-сплайны, носители которых образуют почти диадическое семейство. Это можно сделать, если к - нечетное число. Затем к каждой функции fi применить несколько видоизмененный алгоритм из теоремы 16.

Отметим результаты о приближении функции из диагонального пространства Bp. Впервые теорема 28 о приближении сплайнами со свободными узлами на "предельном" показателе в одномерном случае была получена Ю. А. Брудным в [38]. Позднее аналогичный результат доказан P. Petruschev в статье [39]. Многомерный случай анонсирован в работе Ю. А. Брудного, И. П. Иродовой [40] (более подробное доказательство см. в [23]). Независимо этот же результат в случае приближения линейными комбинациями характеристических функций был получен R. Devore, V. Popov в статье [41], вейвлет-аппроксимация при 0 < р < q < оо рассмотрена в статье R. Devore, В. Jawerth, V. Popov [42], при q = оо - в статье R. Devore, Р. Petruschev, Х.М. Yu [43].

Заметим, что теорема 28 доказана и для недиагонального случая, который не был рассмотрен в указанных выше работах.

Теперь приведем неравенство типа неравенства Бернштейна для сплайнов со свободными узлами в многомерном случае. Впервые такое неравенство в одномерной ситуации доказано Ю.А. Брудным в [40] (см. также [7]).

Теорема 29. Пусть А = й ^ - с/ > 1. Если £ к > А + 2, то здесь 1 < р < q < со.

Если q = оо, р > 1, то результат молено усилить, заменив Lq на более широкое пространство В МО. Напомним, что В МО отличается от BMO\{F) тем, что верхняя грань берется по всем кубам Q из Qo (а не по Q б F).

Для доказательства теоремы 29 используется неравенство типа неравенства Бернштейна для диадических пространств (теорема 17), свойство функций из Bp и интерполяционная техника.

Если sn - линейная комбинация характеристических функций и 0 < А < то теорема 29 доказана R. Devore, V. Popov в статье [41]. В статьях R. Devore, В. Jawerth, V. Popov [42], Rong-Qing Jia [44] и R. Devore, P. Petruschev, X.M. Yu [43] приведено доказательство аналогичного неравенства, но для другого аппарата приближения, когда sn является линейной комбинацией п вейвлет с компактными носителями.

Объединение прямых и обратных теорем (теоремы 28, 29) с применением интерполяционной техники позволяет получить описание Bp в терминах приближения сплайнами со свободными узлами в пространстве Lq.

Теорема 30. Пусть X = d(j) — ^,d> 1. Тогда существует такое k > А + 2, что вХ = \EXp(A,Lq), 1 < р < q < оо; Р [ЕХр(А,ВМО), р> 1, q = оо; здесь Л = {££(£>), neN}.

Впервые теорема 30 в одномерном случае была получена Ю. А. Брудным в [40] (см. также [7]). Многомерный случай приближения характеристическими функциями рассмотрен R. Devore, V. Popov в [41]. В статьях R. Devore, В. Jawerth, V. Popov [42] и R. Devore, P. Petruschev, X.M. Yu [43] дано аналогичное описание пространства Вр в терминах приближений в Ь<} с помощью вейвлет.

Другими возможными приложениями теории диадических пространств могут служить теоремы вложения разных метрик и теоремы о К-функционалах.

Прежде всего отметим, что если выполняется теорема вложения для диадических пространств, то соответствующая теорема верна и для классических пространств. Это объясняется тем, что классическое пространство является пересечением 2й диадических пространств. Таким образом, результаты теорем 9-11 переносятся и на случай классических пространств, давая тем самым другой способ доказательства теорем вложения.

Приведем теперь результат о связи между /^-функционалами, построенными по парам диадических и классических пространств.

Теорема 31. Равномерно по / имеет место эквивалентность

Во, Вг) » #(/, г, В0(х)1 В^х))-, X здесь суммирование идет, по всем вершинам х куба о, и В^ = Вр3^, В^х)= В$>9'{Р{х)),з = 0,1.

Вычисление ^-функционала пары (Во(х): Вх(х)) не является сложной задачей. Сохраняя обозначения теоремы 31, получим

Следствие 3. Пусть Ах > Ао > 0, тогда 2-n<Al"4 Я<ь Si) « + р I ) здесь coi LOk(f, , к > Ах + 2.

В случае Aq = 0 пространство Bq нужно заменить на Lp и исключить первое слагаемое.

Ранее для вычисления iv-функционала пары В-пространств использовалась теорема реитерации (см., например, Ю.А. Брудный [7] и Й.Берг, Й.Лефстрем [45]).

Продолжим вычисление Х-функционалов. Сейчас мы рассмотрим пару (Ьр,\¥р). Дадим определение пространства Й^. Пусть р* = тт(1,р) и А = А (к,р) = к- 1 + ф.

Определение 6. Пространство \¥р состоит аз тех / £ Ьр,

О < р < оо, для которых величина р 71 конечна.

При 1 < р < оо это пространство совпадает с однородным пространством Соболева.

Теорема 32. Пусть 0 < р < оо; тогда

ДХД2-¿\Ьр,1уЬ)ъйок(/,2-з)р.

Точный порядок /^-функционала пары (Ьр, У/р) при р > 1 получен Л. Рее^е в [46]. В случае 0 < р < 1 предложенный им метод не пригоден, так как функции из Ьр при 0 < р < 1 не интегрируемы. Случай 0 < р < 1 рассмотрен автором в [22]. При доказательстве теоремы 32 для оценки К-функционала предложен новый подход, использующий технику диадических пространств.

В заключение дадим еще одно описание пространства Вв терминах локальных приближений, полученное с помощью перехода к диадическим ^-пространствам. Однако, в отличие от предыдущих описаний, кубы, с помощью которых строится приближение, группируются не по размерам, а по наличию общего центра. Такое описание позволяет сравнить пространства Никольского-Бесова и пространства Лизоркина-Трибеля.

Для формулировки соответствующего результата обозначим через куб с центром в точке х, размер ребра которого равен t, а через (¿х1 - его пересечение с о

Теорема 33. Пусть А > 0; к > X, 0 < г < р < оо. Тогда / € Ьр принадлежит В£ тогда и только тогда, когда функция принадлежит Ьр. Кроме того, и\в>;~\Шир + Ек(/,(30)г.

Эта теорема при 1 < г < р < оо другим методом была доказана Ю.А.Брудным в [6].

Основная часть перечисленных результатов содержится в работах автора [47]-[61].

Несколько слов об организации материала диссертации. Она состоит из введения и четырех глав, разбитых на разделы. Нумерация формул, теорем, следствий - двойная. Первое число указывает на номер главы, а второе -порядковый номер внутри главы. В конце диссертации приведены списки цитируемой литературы и основных обозначений.

1. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения// М.: Наука. 1977.

2. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения// М.: Наука. 1975.

3. Стейн И. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций// М.: Мир. 1972.

4. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы//М.: Мир. 1980.

5. Adams D., Hedberg L. Function Spaces and Potential Theory//Springer-Verlag.Berlin.1996.

6. Брудный Ю. А. Пространства, определяемые с помощью локальных приближений// Тр. ММО. 1971. № 24. с. 69-132.

7. Брудный Ю. А. Адаптивная аппроксимация функций с особенностями// Тр. ММО 1994. № 55. с. 123-185.

8. Гарнет Дж. Ограниченные аналитические функции// М.: Мир. 1980.

9. Garnett J. В., Jones P. W. BMO from dyadic BMO// Pacific J. Math. 1982. t. 99. № 2. p. 351-371.

10. Брудный Ю. А. О перестановке гладкой функции// Успехи мат. наук. 27. вып. 2. 1972. с. 165-166.

11. Бесов О. В. Исследования одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения// Труды МИ АН СССР. 1961. т. 60. с. 42-81.

12. Бирман М. Ш.; Соломяк М. 3. Кусочно-полиномиальные приближения функций классов W* / / Мат. сборник. 1967. т. 73. № 3. с. 331-355.

13. Peetre J., Sparr G.// Interpolation of normed Abelian groups// Ann. Mat. Рига Appl. 1972. 92. № 4. p. 217-262.

14. Peetre J., Svensson E. On the Generalized Hardy's inequality of Mcgehee, Pigno and Smith and the problem of interpolation between BMO and Besov Space// Math. Scand. 54. 1984. p. 221-241.

15. Нетрусов Ю. В. Нелинейная аппроксимация функций из пространства Бесова-Лоренца в равномерной метрике// Записки науч. семинара ЛОМИ. 1993. т.204. с. 61-81.

16. Ульянов П. Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках// Мат.сборник.1970.т.81, М.с.104-131 .

17. Peetre J. Espaces d'interpolation et theoreme de Soboleff// Ann. Inst. Fourier, 1966, vol. 16, p. 279-317.

18. Головкин К. К. Об одном обобщении интерполяционной теоремы Мар-цинкевича// Тр. МИАН СССР, 1967, т. 102, с. 5-28.

19. Herz С. S. Lipschitz spaces and Bernstein theorem of absolutely convergent Fourier transforms// J. Math, and Mech., 1968, vol. 18, N 4, p. 283-323.

20. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного// М. Физматгиз. 1960.

21. Брудный Ю. А. Кусочно-полиномиальная аппроксимация и локальные приближения// Докл. АН СССР. т. 201. 1971. № 1. с. 16-18.

22. Иродова И. П. Свойства функций, заданных скоростью убывания кусочно-полиномиальной аппроксимации// Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль. 1980. с. 92-117.

23. Брудный 'Ю. А., Иродова И. П. Нелинейная сплайн-аппроксимация и ^-пространства// Алгебра и анализ. 1992. т. 4. № 6. с. 45-79.

24. Devore R. A., Popov V. A. Interpolation of Besov Spaces// Trans. Amer. Math. Soc. 1988. v. 305. p. 397-414.

25. Бесов О. В. О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения// ДАН СССР. 1959. т. 126. с. 1163-1165.

26. Весов О. В. О некоторых условиях принадлежности к Lp производных периодических функций// Научные докл. высш. шк. 1959. № 1. с. 12-17.

27. Peetre J. Remarques sur les espaces de Besov. Le cas 0 < p < 1//C.R. Acad. Sei. Paris. 1973. 277. p. 947-949.

28. Иродова И. 77. О свойствах шкалы пространств В^ при 0 < р < 1// Докл. АН СССР. 1980. т. 250. № 2. с. 273-275.

29. Иродова И. П. О свойствах шкалы пространств Вр° при 0 < р < 1// Исследования но теории функций многих вещественных переменных. Ярославль. 1982. с. 57-79.

30. Трибель X. Теория функциональных пространств// М. Мир. 1986.

31. Иродова И. 77. Обобщение неравенства Марию// Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль. 1984. с. 64-70.

32. Ciesielski Z. Constructive function theory and spline systems// Studia Math. 52. 1973. p. 277-302.

33. K. de Boor Practical Cuide to Splines//Springer Verlag. New York. 1978.

34. Иродова И. 77. Совместное приближение функции и ее производных в Lp (0,1]п) с помощью нелинейных сплайнов// Ярославль. 1982. с. 23. Рукопись представлена Яросл. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 15 марта 1982, № 1135-82.

35. Майоров В.Е. О наилучшем приближении классов W(IS) в пространстве ЬооЦ3)// Мат. заметки. 1976. т. 19, № 5, с. 699-706.

36. Осколков К. И. Полигональная аппроксимация функций двух переменных// Мат. сборник. 1978. т. 107, № 4, с. 73-86.

37. Oswald P. On the degree for nonlinear spline approximation un Besov-Sobolev spaces// J. Approxim. Theory. 1990. 61. p. 131-157.

38. Брудный Ю. А. Рациональная аппроксимация и теорема вложе-ния//ДАН СССР. 1979. № 247. вып. 2. с. 269-272.

39. Petruschev P. P. Direct and converse theorems for spline and rational approximation and Besov spaces// Function Spaces and Applications Lund. 1986. Lecture Notes in Math. vol. 1302. Springer Verlag. Berlin. 1988. p. 363-377.

40. Брудный Ю. А., Иродова И. П. Нелинейная сплайн-аппроксимация и ^-пространства// Тр. Междунар. конф. по теории приближений. Киев. 1983. М: Наука. 1987. с. 71-75.

41. Devore R. A., Popov V. A. Free multivariate splines// Constr. Approx. v. 3. 1987. p. 239-248.

42. Devore R. A., Jawerth В., Popov V. A. Compression of wavelet decompositions// Amer. J. Math. 1992. v. 114. p. 737-785.

43. Devore R. A., Petruschev P. P., YuX.M. Nonlinear wavelet approximation in the space C(Rd)// Progress in Approximation Theory (Tampa, FL. 1990), Springer Ser. Comput. Math. vol. 19. Springer. New York. 1992. p. 261-283.

44. Rong-Qing Jia A Bernstein-Type Inequality Associated with Wavelet Decomposition// Constr. Approx. 1993. v. 9. p. 299-318.

45. Берг Й., Лёфстрем Й. Интерполяционные пространства// М. Мир. 1980.

46. Peetre J. Thoughts on Besov spaces// Lecture notes. Lund. 1966.

47. Иродова И. П. Некоторые свойства диадических пространств Бесова// Функц. пр-ва. Дифф. операторы. Проблемы мат. образования. Труды междун. конф. Унив. дружбы народов, т. 1. Москва. 1998. с. 78-81.

48. Иродова И.П. О неравенствах Джексона и Бернштейна для диадических пространств Бесова// Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: 1998. т. 4. вып. 1. с. 83-86.

49. Иродова И. П. Диадические пространства Бесова// Алгебра и анализ. 2000. т. 12. вып. 3. с. 40-80.

50. Иродова И. П. Неравенство Джексона для диадических недиагональных пространств Бесова// Optimzation of finite element approximation and splines and wavelets. International, conf. C)FEA52001 . St.-Petersburg. 2001. c. 138-139.

51. Иродова И. П., Невский М. В. Диадические пространства Бесова и другие вопросы теории приближения// Математика в Ярославском университете. Сб. обзорных статей. Ярославль. 2001. с. 115-131.

52. Иродова И. П. Алгоритм построения гладкого сплайна// Математика в современном мире. Материалы 2-й Российской научно-практической конференции. Калуга. 2004. с. 100-105.

53. Иродова И. П. Об описании модуля непрерывности в терминах кусочно-полиномиальной аппроксимации// Известия Тульского Государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. Тула. 2005. т. 11, вып. 1. с. 148-155.

54. Иродова И. П. Кусочно-полиномиальныс приближения и модуль непрерывности/ / Математика в Ярославском университете. Сб. обзорных статей к 30-летию мат. фак. Ярославль. 2006. с. 227-244.

55. Иродова И. П. О диадических пространствах Никольского-Бесова// Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ. Тезисы докладов международной конференции, посвященной 100-летию академика С.М.Никольского. Москва. 2005. с. 115.

56. Иродова И. П. О вычислении i^-функционала пары ^-пространств// Известия Тульского Государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. Тула. 2006. т. 12. вып. 1. с. 109-123.

57. Иродова И. 77. Диадические производные и их свойства// Известия Тульского Государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. Тула. вып. 1. 2008. с. 29-36.

58. Иродова И. П. О диадических пространствах Никольского-Бесова и их связи с классическими пространствами// Мат. заметки, т 83. вып. 5.2008. с. 683-696.

59. Иродова И. П. О неравенстве типа неравенства Бернштей-на//Моделирование и анализ информационных систем. 2008. т. 15. № 4. с. 31-41.

60. Иродова И. П. О вычислении K-функционалов// Алгебра и анализ.2009. т. 21. № 4. с. 95-125.

61. Иродова И. П. О неравенстве типа неравенства Джексона в диадическом пространстве ВМО//Моделирование и анализ информационных систем. 2009. т. 16. № 3. с. 29-46.

62. Врудный Ю. А., Ганзбург М. И. Об одной экстремальной задаче для многочленов п переменных// Изв. АН СССР. Сер. мат. 37. выи. 2. 1973. с. 344-355.

63. Butler G.J., Richards F.B. An LP saturation theorem for splines// Can.-J. Math. 1972. XXIV. JV» 5. p. 957-966.

64. Schipp F. On equivalence of rearrangement of the Haar system in dyadic Hardy and BMO spaces// Anal. Math. 1990. t. 16. № 16. p. 135-141.

65. Popa N. Isomorphism theorems for dyadic Hardy spases generated by a rearrangement invariant space X on unit interval// Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 1990. t. 35 № 3. p. 261-281.

66. Daly J. E.; Fridli S. Walsh multipliers for dyadic Hardy spaces// Appl. Anal. 2003. t. 82 № 7. p. 689-700.

67. Blasco O., Pott S. Dyadic BMO on the bidisk// Rev. Math. Iberoamericana. 2005. t. 21. № 2. p. 483-510.

68. S.Geiss, MüllerR., Pillwein V. A remark on extrapolation of rearrangemrnt operators on dyadic Щ, 0 < 5 < 1// Studia Math. 2005. t. 171 № 2. p. 197205.

69. Голубое Б. И. О модифицированном сильном двоичном интеграле и производной // Матем. сб. 2002. т. 193. № 4. с. 37-60

70. Голубое Б. И. Элементы двоичного анализа// М.: МГУП.

71. С. de Boor and Fix G. J. Spline approximation by quasiinterpolants// J. Approx. Theory. 8. 1973. № 1. p. 19-45.

72. Cohen A., DeVore R. A., Petrushev P. P., Xu H. Nonlinear Approximation and the Space BV (R2)// American Journal of Mathematics. 121. 1999. p. 587-628.

73. Кругляк H. ЯНевский Д. M. Почти оптимальность алгоритмов диади-ческой аппроксимации 1^(0,1]п) и вещественная интерполяция// Алгебра и анализ. 14. 2002. № 4. с. 63-90.

74. Бычкова Т. Г. Оптимальное разложение по атомам в диадических пространствах Харди Нр и интерполяция пространств Нр// Материалы Всероссийской научной конференции. Ярославль. 2003. с. 50-69.

75. Брудный Ю. А. Аппроксимационные пространства// Геометрия линейных пространств и теория операторов. Ярославль. 1977. с. 3-30.

76. Брудный Ю. А., Кругляк Н. Я. Об одном семействе аппроксимационных пространств// Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль. 1978. с. 15-43.

77. Peetre J. New thoughts on Besov spaces// Duke Univ. Math. Ser. I. Durham. N.C. 1976.

78. Sagher Y., Shvartsman P.On the John-Str6mberg-Torehinsky Characterization of BMO// Fourier Analysis and Applications. 1998. v. 4. Issues 4 and 5. p. 521-548.

79. Кудрявцев Л. Д., Никольский С. М. Пространства дифференцируемых функций многих переменных и теоремы вложения// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ. 1988. т. 26. с. 5-157.

80. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полипомами// М. Наука. 1977.

81. Стороженко Э. А., Освальд П. Теоремы Джексона в пространствах Lp, 0 < р < 1// Сиб. мат. журн. 1978. т. 19. вып. 4. с. 630-639.

82. Невский М. В. О скорости кусочно-полиномиальной аппроксимации в классах Орлича// Ярославский ун-т. Ярославль. 1986. Деп. в ВИНИТИ 05.05.86, № 3225-В 86.

83. Пелешенко Б. И. Структурные теоремы для одного класса функциональных пространств// Исследования по линейным операторам и теории функций. Заметки научных семинаров ЛОМИ. Л. Наука. 1974. т. 39. с. 191.

84. Marchoud A. Sur les derivees et sur les differences des fonctions devariables reebles// J. Math'em. pures at appl. 1927. № 6. p. 337-425.

85. Брудный Ю. A. Нелинейная сплайн-аппроксимация и функции ограниченной вариации// Докл. АН СССР. 1974. т. 215. № 3. с. 511-513.

86. Брудный Ю. А., Гопенгауз И. Е. Приближение кусочно-полиномиальными функциями// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1963. т. 27. № 4. с. 723-743.

87. Субботин 10. Н., Черных Н. И. Порядок наилучших сплайн-приближений некоторых классов функций// Мат. зам. 1970. т. 7. № 1. с. 31-42.

88. Субботин Ю. II. Приближение сплайнами и гладкие базисы в £(0, 2тг)// Мат. зам. 1972. т. 12. № 1. с. 43-52.

89. Черных Н. И. Приближение сплайнами с заданной плотностью распределения узлов// Тр. метам, ин-та АН СССР. 1975. т. 138. с. 174-197.

90. Popov V.A., Freud G. Jower error bounds in the theory of spline functions// Studia Sei Math. Hungar. 1971. 6. p. 387-391.

91. Popov V. A. On the connection between rational and spline approximation// Compt. Rendus. Acad. Bulgar. Sei. 1974. № 27. p. 623-626.

92. Devore R. A., Richards F. B. Saturation and inverse theorems for spline approximation// In Meir and Sharma. 1973. p. 73-82.

93. Yager D. Saturation bei spline// Approximation and Quadratur. Numer. Math. 1970. 16. p. 129-140.

94. Buchard H. G. Splinea (with optimal knot) are better// J. Applicable Analisis. 1974. № 3. p. 309-319.

95. Me? Tao BMO is the intersection of two translates of dyadic BMO// C.R. Math. Acad. Sci. Paris. 2003. t. 336. № 12. p. 1003-1006.

96. Pirher J., Ward L. BMO from dyadic BMO on the bidisk// J. Lond. Math. Soc.(2). 2008. t. 77. № 2. p. 524.-544.

97. C. de Boor The quasi-interpolant as a tool in elementary polynomial spline theory//Appoxim.theory. Academic Press. 1973. p. 266-276.

98. Curry H. B., Schoenberg I. J. On spline distributions and their limits the Polya distribution functions// Bull. Amer. Math. Soc. 53. 1947. № 11. p. 1114.

99. Scherer K. Characterization of generalized Sipschits classes by best approximation with splines// SIAM. 1974. v. 11. № 2. p. 283-304.

100. Devore R. A., Scherer K. A constuctive theory for approximation by splines with an arbitrary sequence of knot sets// In Schaback and Scherer. 1976. p. 167-183.

101. John F., Nurenberg L. In functions of bounded mean oscillation// Comm. Pure Appl. Math. 14. 1961. p. 415-426.

102. Stein E. M. The characterization of functions arising as potentiries// Bull. Amer. Math. Soc. 1961. v. 67. № 1. p. 102-104.

103. Strichartz R. S. Multipliers on fractional Sobolev spaces// J. Math. Mech. 16. 1967. p. 1031-1042.