Регуляризованные решения интегральных уравнений первого рода в пространствах Никольского-Бесова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

1 1 " министерство иау1и, высшей школы и технической пожтики российской федерации

г- " Г; П

: 7 '" российский университет дружбы народов

На правах рукописи

куценко ирина львовна

регуляривованные решения интегральных уравнений первого рода в пространствах никольского - бесова

/ 01.01.02 - дифференциальные уравнения /

автореферат Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и функционального анализа Российского Университета дружбы народов.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент И. Ф. Дорофеев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А. С. Ильинский кандидат физико-математических наук с.х.с. А. X. Пергамент

Ведущая организация: ■ Объединённый институт ядерных исследований г. Дубна

Защита диссертации состоится " " -----------1993 г.

в 15 час. 30 мин. на заседании специализированного совета К 053.22.23 в Российском Университете 'дружбы народов по адресу: 117302, Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3.

С диссертацией южно ознакомится в научной библиотеке Российского Университета дружбы народов по адресу: 117198, Москва, ул. Миклухо-Ыаклая, д. 6.

Автореферат разослан " " ------------- 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических

наук, доцент М. В. Драгнев

ОбЩЛЯ ХАРШ^таСТМКА РАБОТЫ

Актуальность томн и цель работы. Во многих областях науки и техшнаГчастб"Т^Лшкшг злдачи, когорта приводят к необходимости

решения интегральных уравнений норного рода

г

/!kL'2] J" K(x,u)z{Q)d:s -- и{х) , -l-ix%l , (I)

-1

где Е(х,в) непрерывно по совокупности переменных в области

К таким задачам, имоицим вазкноо практическое значение, относятся: обработка и интерпретация .геофизических наблюдений, задача о восстановлении формы сигналов, искаженных приборами или OKpysptwwît с[.";дс'Я, задача итатттельяой томографа и т.н.

Уада-ш (1 ) принадлежит классу некорректно поссашияших падач, т.о. неустойчивых отасеятолши м&пшг изменений входящих данных, поэтому для ее устойчивого приближенного решения применяют метод регуляризации. осноьашшй на использовании дополнительной информации об искомом решения.

НнврерШ'лМй или дкффор*ицируеш.б t«vyA<^ii.v.>pf«»inai> решений уравнения (1) можно молучхш, , минимизируя сглажипамшй функционал вида:

iPlz.ul - j.y.'i] - ufp I- аШ'з] , (й)

когда стабилизирующий функционал Qiz] (стабилизатор) »яшготея

нормой пространства Г.? или (п> 1), соответственно, а невязка берется п. норме пространства Ъ . Использование традиционных

регуляризаторов (норм пространств 1ц и BÇ) но дает нужной точно«'.™ при любах значениях а>0 - иярамотра регуляризации в случае, когда точное решение имеет разршм парного или второго рода. При малчх а возникают осцилляции, а при больших - заглаживание в окрестности разрняоц.

Построение разривних регул.призоиашшх решений интегрального уравнения нретерпело сущиетвоипую эволюцию. Вначале регулярииован-

3

вне решения строились в предположении априори задаваемых координат точек разрывов первого рода и величин скачков [1]. В работе [5] возможность разрывов первого рода у функции предполагалась £ точках заданного множества (как правило в точках выбранной сетки] и уже но требовалась информация о величию скачка. Одвим ис способов построения регуляризовшных решений, имеющих разрыв* первого рода - было использование в стабилизаторе норм! эквивалентной вариации Ы. но ото не позволило «троит: регуляризоЕняше решения, имеющие разрывы второго рода и перейти ; многомерному случаю. Дальнейшее снятие ограничений и возможност: рассмотрения многомерных: рег-уляризованшх решений, имеющих рззрнв как первого, так и второго рода было проведенн в [2,4]. В не впервые было показано, что использование норм пространет Никольского-Бесова для невязки и стабилизатора функционала (2 позволяет получить разрывные и неограниченные решения до интегральна уравнений типа свертки

К * г = и , (3)

в котором К и и заданы, а г - искомая.

Целью диссертации является построение и иселедоваш разрывных регуляризованнпх решений уравнения (3) с нето'и заданным ядром и правой частью в периодическом и в непериодическ случаях, я также разработка алгоритма нахождения приближенно решения в пространствах Никольского-Бесова для уравнения (1 заданного на конечном интервале. При этом мы характериоу априорную информацию о точном решении уравнений (1) и ( включением его в то или иное пространство Никольского-Бесова с т или иным (в том числе малым) порядком гладкости.

Методика исследования. Рассмотренные задачи обуславлив? необходаюстгГПшгольмвания теории преобразования Фурье, ря.г Фурье, функциональных пространств и ашчарата вариащюнж исчисления.

Научная новизна и практическая ценность. Результ;

диссертации являются новыми. В диссертационной работе:

1. Определены и изучены новые регуляризованные решения уравнений типа свёртки для периодических функций, когда правая часть задана с погрешностью. Установлены классы гладкости регуляризованных решений уравнения типа свёртки с ядрами степенного Tima. Для уравнений с указанным типом ядер установлены оценки уклонения регуляризованного решения от точного в пространствах Никольского - Бесова.

2. Определены и изучены новые регуляризованные решения уравнений типа свертки с неточно заданными ядром и правой частью в периодическом и непериодическом случаях. Здесь такие получены оценки уклонения регуляризованного решения от точного в пространствах Никольского - Бесова.

3. Получено уравнение Эйлера для сглаживающего функционала, записанного в нормах пространств Никольского -

- Бесова, для общего интегрального оператора с непрерывным ядром на конечном интервале.

4. Приведены примеры практических задач с результатами численных расчетов на ЭВМ, использующих дискретный аналог норм пространств Никольского - Бесова в сгладиваживающем функционале.

Результаты диссертации могут быть использованы для построения и обоснования новых численных методов приближённого решения интегральных уравнений первого рода.

Апробация работы. Результаты по мере их получения докладывались на научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа РУДН, ежегодных научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН, а также на конференциях молодых ученых и специалистов РУДН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [8-13].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, состоящих из 15 параграфов, заключения и

б

списка литературы, содержащего 56 наименований. Общий объем диссертации - 116 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается крэтеий обзор литература по исследуемой томе, формулируются основные положения и излагаются главные результаты диссертации.

В § 1 гл.1 приводится определения и излагаются результаты ис теории функциональных пространств, необходимые для исследований.

Пусть - ошелидош N мерное пространство, £ с- З^'*51]

пространство Шварца, а 5' = 3' ^^ - пространство обощошшх функций медленного роста.

Обозначим через ф^к^ совокупность всех систем

Ф г, с Б, таких ЧТО ацрр ф0 С |;Г |

аирр ф^ <•■ |.т 1 з -- 1,2,3,-..;

дия каждого мультииндекса а существует константа С >о при которой

и со

[>■} !И1 (х) | < Са для всех /=0,1,2,... и всех х^ и £

для всех хск^.

Определение 1.1. Пусть -<30<S<00; о<р,в€ро, говорят,что /еВ^ 0 Вьр если /<;£' и х(»г1

а 6 I я у I 8 -1'л

р,Н » а 4 ' » р» О

со

' р и (4)

где ?/ - преобразование Фурье функции /, а - его обращение. 6

Определение Пусть о<Б<«>, р=6=2. Говорят, что

осли /еТ0[ 1Д3 и

л ал Г Г Лв^-м] "" ¥Ьг[-1,г] + ] ] ......--¿>3

г о 1/?

/г о -г

Определение 1.3. Элемент навивается периодическим

распределением на если соотношение

• ЯФ-) =■/(ф- + 21Й) (6)

выполняется для всех и всех феБ, 2%к-,... .

Предложение 1.1. Элемент /¿Б', т.е. является периодическим

распределением на в том и только в том случае, если он может быть нродсташюн в виде

/ ^ су?*Аа? (сход, в 5') (7)

где , кс'бЫ - последовательность комплексных чисел, которая

имеет не более, чем степенной рост, т.е. для которой существуют две полижите лише константы С и I, такие, что

С(1 + |?г|)м для всех Ы7?.

{V СО

<р} (х) ,

если О<рк$ио, то {/ | /сЬ" представима в виде (7) и

р,0 9 ■ ^

Если р-б-и, -т<е<«>, то (8) эквивалентно

|в-*« 1(1*1 п|г)°/г|/»| |г? <*>

Пространства В^ - периодические пространства

Никольского-Босова.

Пусть функции / и б принадлежат пространству 5'*.

Тогда ош продсташмы в виде (7). Определим свертку функций / и g равенством

f *8 fi si °ilx (10)

R у 2 гл.1 доказывается теорема об оценке свертки г, периодических пространствах Шсольского-Бесова.

'ГоороМЯ 1.2. Пусть -«ч£?1 Оф^^ЙСрр^», 0<:01

г .,-,1)

f*S *, причем шлй'шяа \п\£ j • j/nj ограничена, (здесь и

f 1 1 1 S

далее ~ ■'У'^р- - "р J ); б с . Тогда существует такое

положительное число J) (зависящее от неречислишшх параметров), что

Л>

hl> ^ d 31 v-i-n/i- (11)

% ,0,

В о з гл. 1 рассматривается уравнение типа сшртки (У) о'шосй'гольно Z, где предполагается, ч«с» функции is" и и принадлежат iipoft'.vjj.'.iHC-fr.v S'* и кроме того К го дли все,ц

Леша 1 Пусть utS'*. KelJ'*, ujuwom для KuiiMwwomvb Фурье

ядра К выполняется соотношение для любого

-ш

!чн\ца рушеши; урааюшя (3) существует и едаиш-аонио.

Решается таете вопрос о принадлежности решения уравнения пространству Кикольшсого-Бесовп при определенных. условиях на ядро и правую часть уравнения (3).

Теорема 1.J. Пусть -wo^«», о-.^0<61t^G,,^ и для

коэфрициентов Фурье ядра К имеет место оценка (1;-'), u€Sf>' б ,

тогда существует константа I) (зависящая от перечисленных параметров), что и

л

И/*« - • (1?>

Р,г,о? Р,-в1

Доказывается, что оценка (13) является точной, т.о. параметр :< н'ш/зп ппм0иит1- па больший.

Тогда при в°>Ь, вообще говоря, задача становится искоррок'шой. Поэтому ставятся задача о поиске устойчивых приближений к решению уравнения (з). когда правая часть падина с

погрешностью: т.е. и°-и'р+8, где и7 ■ точно уаданшш правая часть,

а б погрешность и Ы.В д, при некоторых -<»-:а«», скр.вс».

Пусть ~ точное решение уравнения К*-гт-и7. Требуется построить оператор ставящий в соответствие функции ч"' такую функции чтобы при 0<р0,в°\о-1

К-^и^и-4'- ** Нв°* ' 11 р,0 " « р,

* > о

о

В !> '1 гл.1 рассматриваются уравнения (3) с ядрами степенного тина, т.о. таюлми, для которых выполняются или или для

ЛЮбОАЧ) __

|'Кя| * |П|И) ? ' * (1'}

иди оба условия (12) и (М). Где Л/-о и и ■>о; '/г0Х>, (если винодляютсм оба условия, то , причем если *о

К уравнениям с подобными ядрами сводится, например, задача восстановления правой части обыкновенного линейного урчптчшя о шоигояшшми кооффициоптами порядка «. (н>1} по заданному рсмаеаиы краошй задачи.

Отця-долим рогулярииованиоо решение урахшечшя (3) ¡сак эдамтгг

2а й » минимизирувдий сгляяимймций фуякциинал (2),

записанный в нормах (9). Тогда минимизирующий эломоат существует,

является единствонннм и

К

¿-¡г Я^а[н |?гН 1

..V____-________

а / о с 1

04пг *2Т (16)

В § !> гл.1 при выполнении условия (14) доказывается Теорема 1.4, устанавливающая порядок гладкости регуляриуованного решения,

т.е. ггхВв,Ай, в предположении, что точное решение уравнения (3)

и Р , О е

принадлежит пространству В 1*Й .

р 1

Л' //

При отом возможна ситуация, когда а <---- и с'<-7-- т.е., когда

1 V-1 г

как точное так и регуляризованное решение принадлежат пространствам, содержащим неограниченные и разрывши функции.

В предположении выполнения условий (12) и (14) в Теореме 1.5

доказывается принадлежность ^ пространству В 3*д , когда правая

Ро » '•'о

а1 *

часть уравнения (3) из пространства В й .

р1

В ё ь гл.1 получены оценки нормы уклонении рогу линкованного уравнения (3) от точного г* в пространствах В Доказываются теоремы об оценке уклонения регуляризованного решения от га и

т ,

'¿а от % в норме пространств В 0.

Теорема 1.6. Пусть о<р„-^ео, и<В <2^0, и

„_______. 1 1 ' С 1 С.

коэффициенты Фурье ядра К удовлетворяют условию (12) и

з « а1+( . (17)

Тогда существует такое положительное число 0° (аивиснщее от пррочиолешшх параметров 1> , т1 и И), что для любого и.Ч):

*а*%°* в < Цв"1* • ^

р2.и2 р1,о1

Теорема 1.7. Пусть -<ю<а,е1<со, о<р1<2<р?^оо, о<01 .

ю

о , если -2 (í 1 лт)

и

1. Если коэффициенты Фурье ядра К удовлетворяют условию (14) и

а з3 - | (1г 1^) н , (20)

то существует такое положительное число О1 (зависящее от перечисленных параметров дг, тг и Я), что для любого а>():

¡Р-г "а а|в

я.

о.

где о

тн

г' г а

1-

"1* р1,81

, если 1?-1л>-тг , если 7., 1.<-т

Г 1

С'1)

122 )

'¿. Если коэффициенты Фурье ядра К удовлетворяют условию (12) и

т1 + С^-г^м,),. , (23)

3 < 8, -Я

то существует такое положительное число 0й (зависящее от поречислешшх параметров , т и Л'), что дли любого сь-о:

' ь г,,«.,

и

<----

1-°1

(24)

где

, если , осли 1-1

(25)

С помощью Теорем 1.6 и 1.7 устанавливается, что при надлежащем выборе параметра регуляризации а в зависимости от погрешности 6 в правой части уравнения, регуляризованное решение

с ядром степенного типа будет сходится к точному решению зт в норме пространств Никольского-Босова.

В главе 2 рассматриваются уравнения типа свертки в периодическом и в непериодическом случаях с нриСлижсшю заданными ядром (степенного тина) и правой частью.

öeJCe:

f^'^lw"0' 15рй H^g " 0 ■ \6\n*0

Пусть выполняются следующие соотношения

Kh~KTmy где h - погрешность в ядре; trWr-iЬ, где ß погрешность

в правой части уравнения (з). тогда соответственно К^ - К* i hn к

(FKh) (и>) = (i'itT)'u>) ! (Кг) (Ш) .

ß § 1 гл.2 для уравнения (3) в непериодическом случае согласно (3) имеем две оценки на образ Фурье ядра аналогичные (14)-(15).

В атом случае ставится задача о поиске устойчивых приближений к решению, т.е. требуется построить онеиратор, ставящий в

соответствие функции иР такую функцию чтобы в периодическом

случае, при s>a, -<*><8,в'.п и О<р,0л>, о<р,Ь<«>, когда htB::*,,,

p.ö

.6,Ь „.тЦ

О " Г'!«™"" " " *

р.е

или в непериодическом случае, при да*о0<.», beb fi;

r,ö р,и

'iwи»: и»:е■u•

В fiü гл.2 пользуясь результатами полученным» в гл.1 и при выполнении условий (12) и (14), в Теореме 2.1 устанавливаются

оценки рогуля рисювшшого решения в нормах в 'зависимости от по^ревд-тоети в яд"£> h и лрявой а yjwtmin*«

И i; Г.'- vi -'ги,;1,' |. Iii;.'0>j i »¡.eii'IJ-S 'Jii.-' ■■ ':м■ •• J« 'K Jv:.1.' >

C'i'f т

JpUlUUiUil -a O'i' 'IV1ÜVJ U U UOpfuUA. UpWipUUÜ'iii

Никольского- Бесова.

Теорома 2,з. Пусть ~п<8,8 0<р0,р £«>,

o<e0.ot«Ke8<?. И Оф.е^о, 3>-|- ; -

1. Если коэффициенты Фурьо ядра К удовлетворяют .ус-ловлю (14),

Причем )4 )., И H(t ) ,

то существую'/- такие ноложителишо числа О и С, зависящие от 12

перечисленных параметров (D?, тг и ¡Г), что для любого аю:

< 4 М> Л ЫГ И;-. <,*»

S' Cl ' Cl! Н а " 0,| .>.в ili. a ^.J «и... .va д

s? a г,0 "л>B 4 - n*

o.rin... „г fin

^o»" Cl 4 P,Q r r

.-г =-"i

a ,

,........■ I

J

, если ï.j-1 >—гя._, , если ?/и

Cl Ci

1

1 +

1-

, если 1,,--1Л>~т..,

ci 1 i»

, если

?.. Если коэффициента Фурье ядра Я удовлетворяют условию (12),

причем а^з^я, - 2т, t ( i2-ï 1 +m? ), и ii<<se~'aQ-m^ ^ {f.,,--?.jiaJ,., то

существуй* та(сие толожятелызш числя О, с, зависящие от перечисленных параметров (!»,, тЛ и ¡V), что доя любого а,-о:

w •! -'■-.- ¡/JN/'* а?«>

i« .г, - aJ I S«,;.о iif!.....J К.

a ' p,{S

"о" a

1 ' !

•'« . . r*»

, если "{ • Zr-4- n1

, если - Î. <-r

o„-o

i- --------------- , если l,, ¡.--m

1 Wmi ^ .-11

, если 'L^-l^b-n

fis 4-i} гл.З устанавливаются аналогичные теоремы для пеперкодичоекиго случая, используя результаты работ [3,Ь].

В главе з рассматривается уравнение (1), на конечном промежутке интегрирования, в котором ядро Ji(x,s) непрерывно по совокупности переменных t

ь

а

Б § 1 гл.з ставится задача о нахождении устойчивого

приближенного решения интегрального уравнения (1).

Как и в гл. 1.-2. используется метод регуляризации, т.е.

задача сводится к построению и минимизации сглаживающего

функционала(2), записанного, в данном случае, в нормах

пространства Никольского-Бесова (6):

? 2 Ля,и01 = I A.ÄZ] - и0Г®1 + а У °г , (30)

где а>о - параметр регуляризации; 0<з1,s2<оо.

Далее ь Лемме 3.1 утверждается существование и единственность

функции из Вгг[-1,1], на которой функционал /д[2,и0] достигает своей точной нижней грани.

b § и гл.з приводится алгоритм нахождения приближенных решений (1), легко реализуемой на ЭБМ. Задача минимизации функционала (30) может решаться прямыми методами, например, методами наискорейшего спуска. Однако на ЭВМ удобное находить функцию решая уравнение Эйлера соответствующее функционалу

¡Plz.xPi.

Далее вводится определение дробной производной Определение 3.1. Дробной производной функции / називаотся величина "

г f(Xlh)-f(X) Ф.

1>с (/)(*•) --- ------------------- (0<в<1)

J |?г| h

д

х'де А^ - {/Че(-1,1): a;i/ie<-'M)]

1 гз. 2о„

Теорема 3.1. Пусть о<з, ,&,< >,-- и существуют, D К и D

.... 1 с_ С.

Vj О.-у ,4

[-1,1] - регуляризовашюе решение уравнения (1). Тогда удовлетворяй? следующему уравнению Эйлера:

(лХ - Л. ij = (4 - ¿*го }и. (31)

1) tí V л

В § з гл.з показывается эквивалентность уравнения (31) уравнению Эйлера для сглаживающего функционала для интегрального уравнения тина свертки (3).

В § 1 гл.4 ставится задача аппроксимации функции рядоь

Фурье. Задача сводится к нахождению коэффициентов Фурье с помощью минимизации сглаживающего функционала (2), записанного в нормах пространств Никольского - Бесова.

Решая задачу минимизации этого функционала получаем наборы коэффициентов Фурье, по которым восстанавливается приближение функции из пространств Никольского - Бесова.

§ 2 гл.4 выводится система линейных алгеброических уравнений, полученная в результате минимизации сглаживающего функционала, которая решается на ЭВМ с помощью подпрограммы ОСНОЬБ из пакета прикладных программ ЗБР/ЗбО, являющегося программным продуктом фирмы 1ВМ.

Рассмотрена конкретная задача аппроксимации для двух типов функций:

1. функция, имеющая разрывы первого рода;

2. функция, имеюпря разрывы второго рода.

Эта задача решается с помощью алгоритма, разработанного в настоящей главе.

Результаты гл. 4 указывают на практическую целесообразность регуляризации в пространствах Никольского-Бесова для разрывных точных решений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арсенин ЕЯ Об одном способе приближенных решений интегральных уравнений первого рода типа сверток // Тр. ШАН СССР. -1973.-Т. 133.-С. 33-51

2. Буренков В. И. Оценки сверток в пространствах Никольского-Бесова // XII Н&ола по теории операторов в функциональных пространствах: Тез. докл. 4.1. - Тамбов, 1987. - С. 23.

3. Панкратов А. С. Регуляризация решений уравнения первого рода типа свертки в пространствах Никольского-Бесова:

Дис. ... канд. физико-математических наук. - М., 1983.

4. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. - М., 1986.

5. Ученов К Е Об одном методе вычисления производной //

Численные методы решения задач математической физики и теории систем. - М.: Изд-во УДН, 1978. - С. 43-47.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

8. Буренков В. И., Дорофеев И. Ф., Панкратов А. С., Куценко И. Л. Регуляризованная аппроксимация в пространствах Никольского- Бесова на отрезке // Качественные методы в теории функций и дифференциальных уравнений.- 11: Изд-во УДН, 1990. - С. 23-26.

9. Буренков В. И., Дорофеев И. Ф., Куценко И. Л. Регуляризо-ванные решения уравнения типа свертки из пространств Никольского-Бесова на отрезке. // Северо-кавказская региональная конференция "Линейные операторы в функциональных пространствах": - Тез. докл. - Грозный, 1989. - С. 24-25.

10. Буренков Е И., Дорофеев И. Ф., Куценко И. Л. Моделирование геологического разреза в пространствах Никольского-Бесова // Вторая всесоюзная конференция "Вычислительная физика и математическое моделирование": - Тез. докл. - Волгоград, 11-14 сент. 1989. - С. 16-17.

11. Куценко И. Л. Погрешность регуляризованного уравнения типа свертки с неточно заданным ядром в пространствах Никольского-Бесова /У Дифференциальные уравнения и функциональный анализ. - М.: Изд-во РУДН, 1991. - С. 58-67.

12. Куценко И.Л. Вывод уравнения Эйлера для сглаживающего функционала в общем случае линейного интегрального оператора

.// Дифференциальные уравнения и функциональный анализ. - Е : Изд-во РУДН, 1991. - С. 68-74.

13. Куценко И. Л. О существовании и единственности решения уравнения типа свёртки // ХХУIII научная конференция РУДН: Тез. докл. - М., 1992. - ' С.' 34.