Аппроксимация некоторых классов функций линейными и нелинейными множествами полиномиальных сплайнов одной и двух переменных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Оценки аппроксимации функций интерполяционными многочленами степени 4т + 1 и 4т +

Введение

§1. Предварительные сведения и результаты

§2. Существование биркгофовых интерполяционных многочленов степени 4т + 1 и 4га +

§3. Оценки сверху

§4. Оценки снизу • • "

ГЛАВА II. Приближение функций ха и хауа нелинейными множествами линейных и билинейных сплайнов

Введение

§1. Влияние вида разбиения отрезка на приближение функции ха

§2. Приближение функций ха и хауа

Диссертация состоит из введения и двух глав. В первой главе изучается зависимость приближения функций из W4m+2M и W4m+SM (см. ниже) и их производных на треугольнике А С R2 (R - множество вещественных чисел) интерполяционными полиномами степени 4т + 1 и 4т + 2 (т - натуральное число; т > 2 для случая 4т + 1) от геометрических характеристик треугольника. Эта задача тесно связана с методом конечных элементов. По лемме Cea [26], скорость сходимости метода конечных элементов на области Q С Rn зависит от расстояния между решением краевой задачи и подпространством конечных элементов. Однако нахождение этого расстояния является достаточно сложной задачей, и для оценки ошибки метода обычно используют не проекцию решения на пространство конечных элементов, а интерполяционную кусочно полиномиальную функцию. Последняя задача в свою очередь сводится к проблеме локальной интерполяции - интерполяции на каждом отдельно взятом конечном элементе (в данном случае это треугольник, a Ü - область в R2, которую можно разбить на конечное число треугольников, таких, что любые два замкнутых треугольника либо не имеют общих точек, либо имеют одну общую точку, либо имеют одну общую сторону) из триангуляции исходной области. При этом выбор интерполяционных условий определяет базисные функции, участвующие в построении подпространства конечных элементов, на котором идет поиск приближенного решения краевой задачи, в связи с чем первая глава по сути является исследованием

1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965, 408с.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы. М., Наука, Т.2, 1975, 632с.

3. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, т. 1, 1962, 464с.

4. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. М.: Мир, 1974, 128с.

5. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976, 96с.

6. Гончар A.A. О кусочно полиномиальной аппроксимации// Мат. заметки, 1972, т. 11, вып.2, с.129-134.

7. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.М. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980, 352с.

8. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986, 320с.

9. Килижеков Ю.А. Ошибка аппроксимации линейными интерполяционными полиномами на п—симплексах// Мат. заметки, 1996, т.60, вып.4, с.129-134.

10. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. JL: Изд-во Ленинградского ун-та, 1977, 208с.

11. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987, 424с.

12. Латыпова Н.В. О погрешности аппроксимации многочленами степени 4& + 3 на треугольнике// Молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики". Тезисы докладов конференции №30. Екатеринбург: УрО РАН, 1999 (в печати).

13. Латыпова Н.В. Оценки погрешности аппроксимации многочленами степени 4& + 3 на треугольнике// Труды ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 1999 (в печати).

14. Петрушев П.П. Равномерные рациональные аппроксимации функций класса К// Мат. сборник, 1979, т.108, №3, с.418-432.

15. Петрушев П.П. Рациональные и кусочно полиномиальные аппроксимации функций// Доклады ВАН, 1981, т.34, №1, с.7-10.

16. Попов В.А. Об аппроксимации абсолютно непрерывных функций сплайн функциями// Доклады ВАН, 1975, т.28, №10, с. 12991301.

17. Попов В.А., Сендов Бл. Об аппроксимации сплайн-фунуциями// Доклады ВАН, 1970, т.23, №7, с.755-758.

18. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.:Наука, 1967, 384с.

19. Субботин Ю.Н. Многомерная кусочно-полиномиальная интерполяция// Методы аппроксимации и интерполяции (Под. ред. А.Ю.Кузнецова). Новосибирск: ВЦН, 1981, с.148-153.

20. Субботин Ю.Н. Ошибка многомерной кусочно полиномиальной аппроксимации// Труды МИАН СССР, 1987, 180, с.208-209.

21. Субботин Ю.Н. Зависимость оценок многомерной кусочно полиномиальной аппроксимации от геометрических характеристик триангуляции// Труды МИАН СССР, 1989, г.189, с.117-137.

22. Субботин Ю.Н. Погрешность аппроксимации интерполяционными многочленами малых степеней на п—симплексах// Мат. заметки, 1990, т.48, вып.4, с.88-100.

23. Субботин Ю.Н. Зависимость оценок аппроксимации интерполяционными полиномами пятой степени от геометрических характеристик треугольника// Труды Института математики и механики УрО РАН, 1992, т.2, с.110-119.

24. Субботин Ю.Н., Черных Н.И. Порядок наилучших сплайн приближений некоторых классов функций// Мат. заметки, 1970, т.7. вып.1, с.31-42.

25. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980, 512с.

26. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977, 288с.

27. Филимоненков Д.О. Погрешность кусочно-полиномиальных интерполяционных процессов в пространствах Соболева// Тезисыдокладов конференции молодых математиков. Свердловск, 1987, с.68.

28. Филимоненков Д.О. Об условии существования интерполяционного полинома второй степени в Rn// Проблемы теоретической и прикладной математики. Тезисы докладов конференции молодых математиков. Свердловск, 1989, с.47.

29. Филимоненков Д.О. О линейной аппроксимации на плоскости, не зависящей от вырождения треугольников// Журнал вычисл. математики и матем. физики, 1995, т.35, №9, с. 1439-1445.

30. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, т.З, 1966, 656с.

31. Хатамов А. О сплайн-аппроксимации функций с выпуклой производной// Мат. заметки, 1982, т.31, вып.6, с.877-887.

32. Ahlin А.С. A bivariate generalization of Hermite's interpolation formula// Math. Сотр., 1964, v. 18, №86, p.264-273.

33. Babuska I., Aziz A.K. On the angle condition in the Finite element method// SIAM J. Numer. Anal., 1976, v.13, №2, p.214-226.

34. Barnhill R.E., Gregory J.A. Interpolation remainder theory from Taylor expansions on triangles// Numer. Math., 1976, v.25, №4, p.401-408.

35. Birkhoff G. Tricubic polynomial interpolation// Proc. Nat. Acad. sci. USA, 1971, v.68, №6,p.1162-1164

36. Birkhoff G., Schultz M.H., Varga R.S. Piecewise Hermite interpolation in one and two variables with applications to partial differential equations// Numer. Math., 1968, v.11, №6, p.232-256.

37. Bramble J.H., Hilbert S.R. Estimation of linear functional on Sobolev spaces with application to Fourier transforms and spline interpolation// SIAM J. Numer Anal, 1970, v.7, №1, p.112-124.

38. Bramble J.H., Hilbert S.R. Bounds for a class of linear functionals with applications to Hermite interpolation// Numer. Math., 1971, v.16, №4, p.362-369.

39. Bramble J.H., Zlamal M. Triangular elements in the finite element method// Math. Comp., 1970, v.24, №112, p.809-820.

40. Carlson R.E., Hall C.A. Error bounds for bicubic spline interpolation// Approximation Theory, 1973, v.4, p.41-47.

41. Ciarlet P.G., Raviart P.A. General Lagrange and Hermite interpolation in Rn with applications to finite element methods// Arch. Rational Mech. Anal., 1972, v.46, No 3, p.177-199.

42. Ciarlet P.G., Wagshal C. Multipoint Taylor formulas and applications to the finite element method// Numer. Math., 1971, v.17, №1, p.84-100.

43. DeVore R., Popov V.A. Free multivariate splines// Constr. Approx., 1987, v.3, p.239-248.

44. Gout J.L. Estimation de l'erreur d'interpolation d'Hermite dans Rn// Num. Math., 1977, v.28, p.407-429.

45. Hall C.A. Bicubic interpolation over triangles// J. Math. Mech., 1969, v.19, m, p.1-11.

46. Leaf G.K., Kaper H.G. L^—error bounds for multivariate Lagrange approximation// SIAM J.Numer. Anal., 1974, v.11, №2, p.363-381.

47. Meinguet J., Decloux J. An operator-theoretical approach to error estimation// Numer. Math., 1977, v.27, №3, p.307-326.

48. Nicolaides R.A. On a class of finite elements generated by Lagrange interpolation// SIAM J. Anal., 1972, v.9, №3, p.435-445.

49. Nicolaides R.A. On a class of finite elements generated by Lagrange interpolation //// SIAM J. Anal., 1972, v.9, №1, p.182-189.

50. Nielson G.M. Bivariate spline functions and the approximation of linear functionals// Numer. Math., 1973, v.21, №2, p.138-160.

51. Petrushev P.P. Relations between rational and spline approximation// Acta Math. Hung., 1984, v.44, №1/2, p.61-83.

52. Petrushev P.P. Direct and converse theorems for spline approximation and Besov spaces// C.r. Acad. bulg. Sci., 1986, v.89, №3, p.25-28.

53. Popov V.A. On the connectin between rational and spline approximation// C.r. Acad. bulg. Sci., 1974, v.27, №5, p.623-626.

54. Popov V.A. Direct and converse theorems for spline approximation with free knots// Serdica Bulgar math, public., 1975, v.l, №2, p.218-224.

55. Prenter P.M. Splines and variotional methods. J.Willey and Sons, Inc. New York, 1975, 324p.

56. Scherer K. On optimal global error bounds obtained by scaled local error estimates// Numer. Math., 1981, v.30, №4, p.151-162.

57. Schultz M.H. Lqo—multivariate approximation theory// SIAM .J. Numer. Anal., 1969, v.6, №2, p.161-183.

58. Schultz M.N. Error bounds for a bivariate interpolation scheme// J. Approximation Theory, 1973, v.8, №3, p.189-194.

59. Strang G. Approximation in the finite element method// Numer. Math., 1972, v.19, №1, p.81-98.

60. Strang G. Piecewise polynomials and the finite element method// Bull. Amer. Math. Soc., 1973, v.79, №6, p.1128-1137.

61. Synge J.L. The hypercircle in mathematical physics. Cambridge University Press,1957.

62. Waldron S. The error in linear interpolation at the vertices of a simplex// Technical report, February, 1996.

63. A.Zenisek. Interpolation Polynomials on the Triangle// Numer. Math., 1970, v.15, №4, p. 283-296.

64. A.Zenisek. Polynomial approximation on tetrahedrons in the finite element method// J. Approximation Theory, 1973, v.7, №4, p.334 351.

65. Zenisek A. A general theorem on triangular finite C^— elements// Rev. Française Automat. Informat. Recherche Opérationnelle Ser. Rouge Anal. Numer., 1964, R-2, p.119-127.

66. Zlamal M. On the finite element method// Numer. Math., 1968, v.12, №5, p.394-402.

67. Zlamal M. A finite element procedure of the second order of accuracy// Numer. Math., 1970, v.14, №4, p. 394-402.

68. Zlamal M., Zenisek A. Mathematical aspect of the finite element method// Technical, Physical and Mathematical Principles of theFinite Element Method (V. Kolar et al, eds.). Praha: Acad VED. 1971, p.15-39.

69. Байдакова H.B. Приближение некоторых функций нелинейными множествами линейных и билинейных сплайнов// Труды ИММ, т.4. Екатеринбург: УрО РАН, 1996, с. 133-145.

70. Байдакова Н.В. Об одном интерполяционном процессе на треугольнике/ / Проблемы теоретической и прикладной математики. Тезисы докладов 29-ой Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 1998, с.21-22.

71. Baidakova N.V. On some interpolation process by polynomials of degree at most 4m + 1 on the triangle// Russian Journal of numerical analysis and mathematical modelling, 1999, v.14, №2?р. &Г-107.