Исследование решений граничных задач для уравнений смешанного типа с нелокальными граничными условиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ БАКИНСКИЕ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И. Э. РАСУ/1-ЗАДЕ

На правах рукописи . УДК 517. 946

АБДУЛ/1АЕВА АИГЮН ХАНЛАР кызы

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИИ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИИ СМЕШАННОГО ТИПА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

01.01,03 - Натематическая Физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата Физико-математических наук

Б А К У - 19 9 7

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и кафедре математической .Физики Бакинского Государственного Университета им. Н. Э. Расул-заде

Научные руководители:

- кандидат Физико-математических наук, доцент Алиев Н. А..

- кандидат Физико-математических наук, проф. Пашаев Р.т..

Официальные оппоненты:

- доктор Физико-математических наук, проф. Б. А. Искендеров.

- кандидат Физико-математических наук, проф. Г.К.Намазов.

Ведущая организация:

- Азербайджанский Технический Университет.

(УО

Зашита состоится 1997 г. в (_}_ часов

на заседании Специализированного Совета Н. 054. 03. 02 по присуждению ученой степени кандидата Физико-математических наук при БГУ им. Н. Э. Расул-заде по адресу: 370145, Баку. ул. 3. Халилова, 23.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке БГУ им. Н. Э. Расул-заде.

г

Ученый секретарь

специализированного совета, /)

доктор технических наук РАСУ/10в и. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Работа посвяшена исследованию решений граничных задач с нелокальными граничными условиями на ограниченной плоской области' для уравнений смешанного типа. При этом доказана фредгольмовость1 граничных задач для уравнения Трикоми и Лаврентьева-Бицадзе и получено численное решение задачи для уравнения смешанного типа первого порядка.

Актуальность работа Как известно, большинство исследований, связанных с уравнениями в частных производных, относятся к тем уравнениям и системам, которые охватываются известной типовой классификацией, т. е. принадлежат эллиптическому, параболическому или гиперболическому типу. Сравнительно небольшое число работ посвяшено уравнениям смешанного типа.

Уравнения смешанного типа - раздел теории уравнений в частых производных, развивающихся особенно интенсивно, начиная с 50-х годов.Первые фундаментальные результаты в этом направлении были получены Трикоми ф., а впоследствии Геллерстедтон С. ,Бипадзе А. , самарским А. франкль Ф. обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. Академиком Векуа и. была указана значимость проблемы уравнений смешанного типа при решении задач, возникающих в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака.

Бипадзе А. в. в монографии "Некорректные классы уравнений в частных производных." (Н., Наука, 1981) впервые сформулировал принцип экстремума для задачи Трикони, который позднее был дока-

- ч- -

зан и для других краевых задач для уравнений сметанного типа, из принципа экстремума непосредственно следует единственность решения этих задач. Далее в работах Алиева Н., Бабенко К., Волкодаво-ва В., Нахэтпева А.. Салахитдинова Н. и других были поставлены и • исследованы новые задачи для уравнений смешанного типа.

В данной диссертационной работе рассматриваются уравнения смешанного типа, а именно уравнение Трикоми и Лаврентьева-Бицад-зе. для которых исследуются граничные задачи с общими нелокальными граничными условиями на плоской ограниченной области, а для уравнения смешанного типа первого порядка получено численное решение граничной задачи с граничными условиями специального вида.

Таким образом, тема исследования данной диссертационной работы несомненно является актуальной и она представляет собой как теоретический, так и практический интерес.

Цель работы. Доказать фредгольмовость граничных задач как для уравнения Трикоми, так и для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с общими нелокальными линейными граничными условиями, а также получить приближенное решение задачи для уравнения смешанного типа первого порядка с граничными условиями специального вида.

Основные задачи исследования. В соответствии с указанной вы-

ше целью диссертационной работы, определены следующие задачи исследования:

1. Свести поставленные граничные задачи к интегральным уравнениям (или систене интегральных уравнений) фредгольма второго рода со слабой особенностью в ядре.

г. Свести задачу для одного уравнения смешанного типа перво-

го порядка к интегральному уравнению фредгольма второго рода со слабой особенностью в ядре и получить численное решение этого интеграла.

Методы исследования, в работе применены методы теории потенциала, теории интегральных уравнений и теории функций комплексного переменного.

Научная новизна. В классических постановках краевых задач для уравнений с частными производными второго порядка граничные условия (напр: Неймана или Дирихле) задаются в точках всей границы. В настоящей работе граница плоской области предполагается состоящей из двух связных дуг,на каждой из которых задается граничное условие нелокального вида, такой подход, в частности, охватывает не только классические постановки граничных условий,он также позволяет ввести в рассмотрение другие граничные условия. В этом смысле постановка задачи является новой. Следует отметить, что этот вид граничных условий устраняет разрыв, существующий между постановкой граничных задач для обыкновенного линейного дифференциального уравнения и для уравнений с частными производными, в котором число граничных условий совпадает с порядком рассматриваемого уравнения. Это дает возможность исследовать реще-ние задач для уравнений как четного, так и нечетного порядков, причем независимо от вида граничных условий всегда удается получить скачок, т. е. свести поставленную задачу к интегральному уравнению фредгольма второго рода.

В отличие от известных методов, сингулярность, которая появляется в необходимых условиях,устраняется несколько своеобразно.

После регуляризации- сингулярностей. получаются регулярные соотношения, которые совместно с заданными граничными условиями дают достаточное условие фредгольмовости поставленных задач.

Назначение работы. Полученные в диссертации результаты имеют самостоятельное теоретическое значение и могут быть применены при исследовании задач, возникающих в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и в трансзвуковой газодинамике.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на конференции молодых исследователей и аспирантов, посвяшенной 75-летию БГУ им. И.Э. Расул-заде (1994). на научной конференции аспирантов и молодых исследователей БГУ им. Н. э. Расул-заде (1995), на республиканской конференции молодых ученых и аспирантов (1995), на 37-ой конференции математиков Ирана.М995)

Публикация результатов работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[51.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на страницах машинописного текста, состоит из введения, 4-х глав, заключения и списка литературы. Библиография содержит 112 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Во введении дается обшая характеристика диссертации.

Первая глава содержит обзор работ, связанных с результатами диссертации. Во второй главе исследуется решение граничной задачи для уравнения Трикоми в области эллиптичности. Третья глава посвяшена исследованию решения граничной задачи для уравнения

Лаврентьева-Бицадзе_ и наконец, в четвертой главе рассматривается пример граничной задачи с нелокальными граничными условиями для одного уравнения смешанного типа первого порядка. 1

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ПО ОТДЕЛЬНЫМ ГЛАВАМ

В первой главе дается краткий обзор исследований по проблемам темы диссертации.

Вторая глава работы состоит из пяти параграфов. В первом параграфе для уравнения Трикоми

с граничными условиями

+ е^л:) и Гл.Гс (•*))] = (л) , ¿ = ; леСа^в*]

С21

где ¿ц (ос.) и <£,-^-заданные, а - неизвестные Функ-

ции. приводится фундаментальное решение, которое имеет вид :

а многоточием отмечены суммы регулярных слагаемых.

Во втором параграфе этой главы, рассматривая уравнение (1) в ограниченной односвязной плоской области 2) с границей СГ , с помошью фундаментального решения (3) получаются необходимые условия. которые имеют вид :

- в -

2; [у о» (^ х)+цу)] л

О" У Х ^

•ьа. Г Ее,^Г зу^г.-г,^илЫ,и) ^ дЦ

= , (Н)

2>

где . - внешняя нормаль к границе ТГ области 2) в

точке X е 7 .

Третий параграф посвящен отделению сингулярностей в необходимых условиях. В результате получаются следующие соотношения :

сШ +

* -»-¿^И. Г6, Ъи/а ьгЛ Ысс .

где (> <£ £). а многоточием отмечены суммы регулярных слагаемых. Пусть выполняются следующие условия :

1". - ограниченная, выпуклая по направлению О Ъ , плоская,

односвязная область эллиптичности с границей 7= ^ ^^ Граница Ц" кус очно-гладкая и каждая прямая, параллельная ОЪ пе-

- э -

<т

ресекает ее не более, чен в двух точках: задаются уравнением

У = *}{*)<%./я) , л £ (о,, в<) ,

Доказана: ,

ТЕОРЕНА 1. При условии 1 граничные значения каждого решения уравнения (1), определенные в*51) удовлетворяют необходимым условиям (5).

Четвертый параграф второй главы посвяшен регуляризации сингу-лярностей, входящих в необходимые условия. Причем при выполнении следующих условий:

(к.)

г". Пусть (¿С) принадлежат некоторому классу Гельдера, а о(-¿(ос.) непрерывнодиФФерениируемые Функции и обращаются в нуль на концах рассматриваемого интервала (<3,, б, ).

доказана

ТЕОРЕМА 2. при условиях 1°-3° каждое решение граничной задачи (1) - (2) удовлетворяет следующим регулярным соотношениям :

у диИ.*2)1 ^ Г (0+ & и ) ГМ 42 ]

М)

« + И"« ^г^ - -

Л" -Г

о. 5

где интегралы в правой части понимаются в смысле главного значения. а многоточием отмечены суммы регулярных слагаемых.

Далее, в пятом параграфе получены достаточные условия фред-гольмовости граничной задачи (1)-(2).

Третья глава посвяшена исследованию решения граничной задачи для уравнения Лаврентьева-Бипадзе на ограниченной плоской области с нелокальными граничными условиями.

В первом параграфе дается постановка задачи для уравнения

(ЯД)* , ¿0 =-£)1

(6)

с граничными условиями

+ № 1эл *

, /о) , +

и,«, -

+ ЫЩЬХ^.***,», + «С+

+ ¿/У ¿я) (х^/х)) + и, (х,о) + ¿&(я)ил.СъоЬ

4 (л) «л (аи-зс/х), Ъ. (¡с**/*))) - <¿-1 (я) , (ц.) ¿= ) х. 6 Г»/, в., 3

где ^ге.) и коэффициенты, граничного условия (7) - заданные, а Ил 2)-неизвестные Функции. В случае уравнение (б)

рассматривается в области , а при у<0 - в области . Области «£)я - ограниченные, с границей Рк = в/] (К=1,2)

соответсвенно. где ^ задаются с помощью уравнений дТг (-х.) <К=1, 2).гс еСО/, а проектирование проводится параллель-

но оси ОУ на ось РЛ. .

В этом же параграфе приводится фундаментально^ решение. В области Фундаментальное решение уравнения <б> имеет вид:

а в области :

Второй параграф посвяшен получению необходимых условий для функции в области £)4 , которые имеют вид :

> Ж - л/и (*-?,гг)[ Щ&У +

[ Л*.«) -

С

л *

С&)

где (/, 7.) £ ^ , П = -Л ^ 1 • а ^ - внешняя нормаль к границе области .

Третий параграф посвяшен отделению сингулярностей в необходимых условиях. Итак, получаются следующие соотношения :

о,

— I = -1- Г ' ,

=-л. ГдиЛъу I ■

--JL Г6' . + -

Ъи CF J ^ $

где многоточием обозначены суммы регулярных слагаемых. Пусть выполняются условия :

4? £)4l/3)í~3)cf2*'- ограниченная, плоская область с границей

V - линия Ляпунова. 5? ограниченная, выпуклая по направлению 0íí плоская область с границей UCat¡e,] и каждая пряная параллельная пере-

секает границу Г> области Q не более, чем в двух точках.

Таким образом имеет место : ТЕОРЕМА 3. При условии 5е каждое решение уравнения (б), определенное в удовлетворяет необходимым условиям (8). Четвертый параграф третьей главы посвяшен получению необходимых условий для Функции ил (f, 1) в области , которые имеют вид:

*лг* -¿S l Г*.у) -

Cl

/, 1 Г ЛУ*

лад- г^Д^ -

--^ » >

где Сь-'Зл У а Л, - внешняя нормаль к грани-

це области

И здесь хе при условии 6? ограниченная,выпуклая по направлению плоская область с границей каждая прямая, параллельная пере-

секает границу области 2)А не более, чем в двух точках ,

1 «з»; 1, о? в к в^ ,

доказана ТЕОРЕМА 4.

При условии 6° каждое решение уравнения (б), определенное в области удовлетворяет необходимым условиям (9).

В пятом параграфе из необходимых условий, не содержащих син-улярность получается представление для функции -

ее производных по X. и по ^ , а именно: (

Ч (г +*Ю> гк +*«)))=- ча/, 03 + «• •

Ъих.

эх-

вторые затем учитываются в граничном условии (7).

В шестом параграфе регуляризируется сингулярность, • появившая-а в необходимых условиях (8) для и* , в области .£),.

алее, в этом параграфе получены достаточные условия Фредгольмо-ости задачи (б)-(7).

В четвертой главе рассмотрен пример для одного уравнения смежного типа первого порядка со специальными нелокальными гра-нчными условиями.

В первом параграфе четвертой главы дается постановка задачи пя уравнения:

граничными условиями

и«+ ¿А + А****. О) =

, х е. Со* /2 (д.)

- 16 -

где c¿4, и - заданные вещественные числа, 9 (х) Sin jс • sin (i-sc), <j f3?)= ¥хг {/-x.), a неизвестная Функция.

В случае уравнение (10) рассматривается в области ,

а при О - в области . Области - ограниченные с границей = 1//Г0,/3 (к= 1,2) соответственно. ^ задаются уравнениями y=irKL(x.) (к= 1,2) соответственно, где f-^O = X" & /

JC&со,12 = ярх~ЯГл

а проектирование проводится параллельно оси Oíj на ось Ох, далее в этом параграфе приводится Фундаментальное решение, которое в области íDy имеет вид:

ЯГ х-чХив-Ъ

а в области Q- Ц = в (> *¿(¡/-Z+lx-Sl)

Во втором параграфе получены необходимые условия

- »M.Í, tc(i)) > К* их.

В третьем параграфе доказана единственность, а в четвертом-сушествование решения задачи (10)-(11).

Пятый параграф посвяшен отделению сингуляриостей в необходимых условиях

+ М г' «''ЪЪ^ с/х ЯЛ **

где 5 б {о, /) .

В шестом параграфе проводится регуляризация сингулярностей, появившаяся в необходимых условиях (12). Далее, в этом параграфе получены достаточные условия фредгольмовости задачи (10),(11) и задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода

где

' и ж Я/у* _ Ат-л

47

-

¿¿¿я - I (я-1)

+ J_ Г4 ¿т чи±ссг(4-я) ,

* о

+-£-. Г1 Х- , ^ _

о

- Щ- (1 Х-

В седьмом параграфе составлена программа на языке ПАСКАЛЬ для численного решения системы линейных алгебраических уравнений, к которой сведено интегральное уравнение (13) методом трапеций.

Далее, в восьмом параграфе приведено приближенное решение полученной системы.

ВЫВОДЫ

1. Поставленные граничные задачи для уравнений Трикоми и Лаврентьева- Вицадзе сведены к системе интегральных уравнений фред-гольма второго рода со слабой особенностью в ядре.

2. В случае граничной задачи для уравнения смешанного типа первого порядка, помимо фредгольмовости, показано существование и единственность решения и получено численное решение интегрального уравнения фредгольма второго рода, к которому сведена задача .

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Абдуллаева А. X. Исследование граничной задачи для уравнения Трикоми. - Тезисы научной конференции аспирантов и молодых ученых БГУ, посвяшенных 75-летию БГУ им. Н. Э. Расулзаде- Баку, изд. БГУ им. И. Э. Расул-заде , 1994, с. 103 .

2. Абдуллаева А. X. Регуляризация сингулярности в необходимых условиях для уравнения Трикоми на ограниченной области. - Материалы научной конференции аспирантов и молодых ученых БГУ им. И. Э.

Расул-заде. - Баку, цзд. "Азербадхан", 1995, с. 15.

3. Абдуллаева А. X. Необходимые условия, связанные с уравнением Трикоми на плоской ограниченной области. - Тезисы республиканской конференции аспирантов и молодых ученых. - Баку, изд. АзГПУ, им. Н. Туси, 1995, с. 14.

4. Абдуллаева А. X. , Алиев Н. А., Пашаев Р. Т. О фредголь-мовости граничной задачи для уравнения Лаврентьева - Бицадзе. -Деп. в АзНИИНТИ, Баку. 16.10.1996, Н 2412 - Аз. , с. 12.

5. Алиев Н. А.. Абдуллаева А. X. Исследование граничной задачи для уравнения Трикоми на плоской ограниченной области с нелокальными граничными условиями. - Труды ИНМ АН Азербайджана, Т. 5 (13), Изд. "Элм", с. 164-168, (1996).

Личный вклад соискателя в работах, выполненных в соавторстве:

- в работе (4) получены необходимые условия разрешимости граничной задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе ;

- в работе (5) получены достаточные условия, обеспечивающие фредгольмовость граничной задачи для уравнения Трикоми.

X у л а с а

тори локал сэрьед ШЭРТИ дахилинд8 гарышыг тип тэшш учун сэрьэд мэсвлэлэринин ьаллинин аращцырылмасы

А. X. АЕДУЛПАЛЕВА

Диссертасиза ищи мэИдуд мустави областда Трикоми вэ Лаврент-Зев-Битсадзе танликлэри учун гезри локап сарЬэд шэрти дахилин-дэ сарИэд ысэллринин Ьллини тэдгигинэ Ъаср олунмушдур.

СэрЬэд масаласинин Ьалли сарЬад шэртинин шаклиндэн асьшы ол-ма|арагЗекаяа бир шэкилдэ, икинчи Грин дустурунун кестэрдиЗи ша-килда ахтарылыр. Ишда асасан сэрИэд мэсаларинин ЗредЪолылугу ис-бат едилмишдир.

Ишда хусуси Иал киыи Фред)толмлугдан алава, масаланин адэди Ьалл олунмасы учун варлыг вэ Зеканалик да кестэрилмиш, ва 1тзмин ыасала эдади усулла Ьалл едилмишдир.

-21 -

. Summary

INVESTIGATION OF BOUNDARY PROBLEMS SOLUTIONS FOR A MIXED : TYPE EQUATIONS WITH NON-LOCAL BOUNDARY CONDITIONS.

A. Kh. ABDULLAYEVA

This dissertation worK devoted to the investigation of solutions boundary problems with non-local boundary conditions for a mixed type equation in the bounded plan domain.

In this worK accepted methods, which are continuations of method theory potential, that is the solution of considering problem independent from the view boundary conditions is soughting in the form , dictated second formula by Green. Was found necessary conditions of solvability problem , which contains singularity . Avter the regularlzatlon of singularity, was received regular relation, which together with qiven boundary conditions gives enough condition of phredgolmovostial formulated boundary problem.

Also was recieved approximate solution of problems for the mixed type equation of first order,and was shoven the existence and uniqueness of a solution.