Регуляризация, единственность и существование решений управнений Вольтера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

министерство науки, высшей шкош и технической политики российской федерации новосибирский государственный университет

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ, ДЕЙСТВЕННОСТЬ И СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи УДК 517.9

Асанов

Новосибирск-1992

Работа выполнена в Институте математики АН Республика Кыргызстан

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.Л.Бухгейм, доктор физико-математических наук, профессор А.Д.Искендеров, доктор физико-математических наук, профессор В.П.Танана

Ведущая организация: Красноярский ВЦ СО РАН

Защита состоится ° У " ОХе: 199 ."7 года в_ /Г

час. на заседании специализированного совета Д 063.98.02 по, защите диссертаций на соискание ученой'степени доктора Наук в Новосибирском госуниверситете по адресу: 630090, Новосибирск,

ул. Пирогова, 2. С диссертацией мржно ознакомиться.в.библиотеке Новосибирске госуниверситете /'

Автореферат разослан " ' " 199 ^ года. ■

Ученый секретарь специализированного совета д.ф.-м.н. . А.В^ажихов

.'j - : • 4

' ОВнАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ .

Интегральные и операторные уравнения Вольтерра возникают в теоретических и прикладных науках. Это объясняется тем, что к уравнения:.! Вольтерра сводятся различные обратные задачи для дифференциальных уравнений и задачи интегральной геометрии. Многие важные вопросы геофизики, физики, техники, химии, медицины приводятся к таким уравнениям и задачам.

Характерной особенностью интегральных и операторных уравнений первого рода является их некорректность в смысле К.Адамара. Исследование уравнений Вольтерра первого рода, как и всех некорректно поставленных задач, было начато сравнительно недавно. Основы теории некорректно поставленных задач были заложены в работах А.Н.Тихонова, М.У.Лаврентьева, В.К.Иванова.

Разнообразные подходы к исследованию и построению алгоритмов решения некорректных задач отражены в работах таких авторов, как

A.С.Алексеев, Я.И.Альбер, А.Х.Амиров, Д.С.Аниконов, Ю.Е.Аниконов,

B.ЯДрсенин, А.В.Бакушинскай, Н.Я.Безнощенко, Ю.М.Березанский, И.Н.Бернштейн, А.С.Благозеценский, А.Д.Бухгейм, В.М.Вайникко, В.В.Васин, М.Г.Гасымов, М.Л.Герввр, А.В.Гончарский, A.M.Денисов, В.И.Дмитриев, В.Н.Заикин, В.¡{.Иванов, М.И.Иманалиев, А.Д.Искон-деров, С.И.Кабанихин, В.Р.Кирейтов, М.М.Лаврентьев, О.А.ЛискоБец, Н,А.Магницкий, И.В.Мельникова, В.А.Морозов, Р.Г.Мухометов, А.И. Прилепко, К.Г.Резницкая, В.Г.Романов, В.Н.Страхов, В.П.Танана, А.Н.Тихонов, А.М.Федотов, Е.Я.Хруслов, В.А.Цецохо, В.А.Шарафут-динов, В.Г.Чередниченко, А.Г.Ягола, В.Г.Яхно и др.

Перзые результаты для интегральных уравнений Вольтерра были получены в работах В.Вольтерра. В дальнейшем, различные вопроси исследовались в работах таких авторов, как А.С.Апарцин, Ю.П.Бог-лаев, Ю.А.Ведь, В.Д.Винокуров, А.М.Денисов, М.И.Иманалиев, С.Ис-кандаров, Н.А.Магницкий, Л.Б.Мацнев, Г.М.Мюнтц, В.О.Сергеев,

A.Сршкидинов, Тен Мен Ян, Е.К.Тнтчмарш, З.Б.Цалюк и др. Изучение операторных уравнений Вольтерра первого рода было

начато в работах М.М.Лаврентьева, Ю.Е.Аниконова, А.Л.Бухгейма,

B.Г.Романова, в связи с необходимостью развитие теории обратных задач и задачи интегральной геометрии. Настоящая работа продолжает исследования А.Л.Бухгейма, М.И.Иманалиева, М.М.Лаврентьева,

3

Е.Титчморша, и посвящена изложению теории интегральных и операторных уравнений Вольтерра первого рода. Работа выполнена в рамках теш "Условно-корректные задачи математической физики и их приложения" (номер гос.регистрации 01.66.0104691) Институт математики АН Республика Кыргызстан.

Цель работы состоит в исследовании вопросов регуляризации, единственности и существования решений интегральных и операторных уравнений Вольтерра, а также задач интегральной геометрии.

Научная новизна работы выражается в новых методах исследования рассматриваемых задач и полученных результатах.

В различных пространствах получены теоремы единственности в целом широкого круга задач для интегральных и операторных уравнений Вольтерра первого рода с недифференцируемыми и необратимыми на диагонали ядрами. В частности, теорема Титчыариа обобщена для систем линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода типа свертки. Построены вольтерровы регуляризирующие операторы и доказаны теоремы существования. Доказаны новые теоремы единственности для рдда задач интегральной геометрии.

Результаты диссертации продолжают р'азвитие теории интегральных и олераторньк уравнений Вольтерра. Они находят применение при разработке численных алгоритмов решения задач геофизики и физику а такке используются при чтении специальных курсов.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всесоюзном семинаре по некорректно поставленным задачам математической физики и анализа (Новосибирск, 1932), на Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики".. (Алма-Ата, 1909), на Всесоюзной конференции "Асимптотические метода! теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач" (Бишкек, 1991), на Международной конференции "Некорректно поставленные задачи в естественных нартах" (Москва, 1931), на семинаре академика М.М.Лаврентьева (1й1 СО АН СССР), на семинаре член-корр. АН СССР Ц.й.Инаяалиева (КМ АН РК), на .семинаре факультета ВШС МГУ,а такае на дрзгах семинарах и конференциях.

По теме диссертации опубликована 27 работ. Диссертация состоит из введения, пяти глав, списка литературы, содержащего 192 наименования.. Каждая глава делится на разделы (параграфы). Объем

текста 245 стр.

КРАТКОЕ СОДЕШНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается.обзор литературы и краткое содержание работы.

В пррвой главе изучаются системы интегральных уравнений Воль-терра первого рода

К и. э акь , ь €&, (I)

Чв

Лй.З^ввЛ а , I е и., т] , <2>

где &=[1,,т] или &=С"1о»00) > Кп.*и-матричная функция, К(1,5,и-)-«.-мерная вектор-функция. Наряду с (I) и (2) рассматриваются следующие сингулярно-возцущенные системы интегральных уравнений второго рода

и

+ № = , -Ь в (г , (3)

Хо

где о <£- малый параметр.

Пусть Х^Ш, г — собственные значения матрицу

, где -сопряженная матрица к

матрица К(-ЬД) и

ХШ^гг^л ^Ш , & .

Обозначим через ЦАЦ и II и.1-нормы соответственно для и-хп.-матрицы А и для п-мерного вектора ы.. Будем обозначать через С^ЙоДЗ и пространства Л - мерных вектор функ-

ций с элементами из С[±о,ТЗ и 1»Р('Ьв,Т) , соответственно. На СЛИ.,Т] , определим нормы

, .т р

И = цат« , »«"»И. = ( У И«)

С х6Н»,и ' с» •

г

Обозначим через C^^t-io.T] , o^Tál J линейное пространство всех п. - мерных непрерывных вектор-функций luí) } определенных на С-Ьо,ТJ и удовлетворяющих условию

II -a(s)a ¿ с Í Ш)-ЧСЯ\Г ,

где - неубывающая непрерывная функция на [Я0,Т] и С-положительная постоянная, зависящая от li(-è)} но не от: -t и S . Если lf'(t)- ограниченная .функция на [-tOJT] и f'c-fc) <L > о при íe C^ojT] то С^Д-Ь.Д] = C^f-íojT] - пространство Гёльдора. Будем обозначать через а (-Ь0, Т ^ , , линейное пространство всех к,- мерных измеримых вектор-функций «.(-fe) } определенных на C-t^T] и удовлетворяющих условие

т i/P

S u.(-t)IL , = ( Ç Ait) H И-ШН Po!í ) <cx> РЛ \

где X(è) - измеримая функция и А(-Ь) > о при почти всех ±е[-10ДЗ, В § I.I системы (I) и (3) рассматриваются на сегменте Dèe>Tj сначала при следующих условиях: , ^

а) при любом фиксированном le(i0JT] l!K(-t,S)|l С L > ЦШ,-Шб1>(-*в,Т) , X(fc)^o при ^С-ЬоД! и ЛC-fc) € l>£fce/r),

где Л(Ь)-определена с помощью формулы .(5);

б) при. гдля любых (2,sVeIl = {(-fc.,s) | справедлива оценка

mr,s)-KC2/s)lu£cs);( fus)ds) ., \

о ^

где Ici) >0 при

Теорема I. Пусть выполняются условия а) и б). Тогда I) если . II КОМ)il ¿ ОШ ХСЬ) > О при почти всех -èeDto/T] ]

система ( I ) имеет. решение Uíl) é и U(ic) = то решение *

i?(i,i) системы (3) при di-* о сходится по норме CaL-i0 TJ к U-(-fc), При отом справедлива оценка

-С1/61'*)

Il ¿им-<ш)Ис + м ( M0+ï) Чг c&)

где asco,-1) , M =VTTexp[Vñ?Çj&sWs] ,

■»о

Ô

ед? = „ HU-Cf"^- К.(Ч>"Ь»Й

Ч^СэсО-обратиая функция к 44l) = $*x<s)cis , ;

2) если !IK(i,t)H при -fc <1 С^/Г],система (I) имеет решение W-Ш еС^Ц-ЬоДД , ,иа0)-о,то рсисниз г?"а,ь) системы (3) при £м.о сходится по корда C^C-to.T] к "(4)

И справедливо неравенство

где 0<- С - известная постоянная^ независящая от £ }

3) если система (I) имеет рзяение > M.(-fc»)=0, то решение iсистемы (3) при £. о сходится по корме

CaE.-to,T] и справедливо соотношение

4) если l!K(-fc,i)li и и АШ >о при почти всех -t eLL,"!"^ существует число $ >1 такое, что б цЧ-ид) , система (I) имеет решение u.(-t) g. L>tlC-te,T) , -</Р + /£ = -(

то резонно системы (3) при £ к-»• о сходится по норма

Ц^С'Ьо, Т) и справедлива оценка

и^С-Ь,£")-аш11Р)ХйС{С + Hu(«||P4exp(-P/6,-J')]V+

pja

' . ^ I

Где fi <=(о,-0 о (п = su-p иu.(f"4x+ Wi-uc^c^lL

Следствие. Пусть выполняются условия а) и б). Тогда

1) если 6 ^„ХШ и ХШ>0 при почти всех tев.д] to решение системы (I) единственно в С^С^оД! }

2) если ^ ЦДШ при -tet-t.^T] и существует число

такое, что ХШ>0 при почта всех -teCl.,?)^

г

то решение системы (I) единственно в CvJ/fco,T] , o^T^-i •

3) если существует число 8"е(-Ь«,ТЗ- такое, что XCi)>o при почти всех -LeC-fc»,?"), то решение системы (I) единственно в qj c-4.,TJ.

4) если KHj-Ol ébl.X(-t) и XOt^ > о при почти всех -t e'L-t., т^ существует число >1 такое, что 1 (-t) /€ U4-l«,T) , ' то решение системы (I) единственно в L' С-Ь^т),-1/Р"Ij

5) если l|KC-fc/fc)B étf.X(i) и XU) > о при почти всех ' 46t-t.,T3 , существует число ^ >-/ такое, что £9(-Ь)/Х9 (-0 £

el/C-t.,!") и M-fc>e L?'<-l.,T) , ?.>-î,to решение системы (I) единственно в L}ct.,T) ; , = 1 •

Построен пример, показывающий существенность условия б) для единственности решения системы (I).

Теорема 2. Пусть выполняются условия а) и б), {(4) € С^ J-UT3 , ilUsO ■ где tf(4) = j4(s>cis , teU.', ТЗ. Тогда p

1) существует решение системы (I) в » Pi>1,

2) если HK(t,i)ll é W'.XC-t) и A f-é) > О при почти всех у ,

-Ь е[Ло,т] , г/0>о>существует число ,£>:2! такое, что £ Vè)A U)e s L1«., т), X(4) e 1>С±.,т) , î. >i, ,^9%/i^-il

то существует единственное решение сиатемы (I) в LJ (-Ьо,т).

В дальнейшем, для системы (I) обобщены результаты теоремы I и 2, когда существует конечное число точек. -Lt с т.)

из сегмента Ц-1.о,"П таких, «то •te<-tJ.-c..«. <Т и для матричных функций (-1)^ K(-fc,s) определенных в облаати XL - ■ = {C-t> s) l < S <-Ь «i-Ц, } выполняются условия

a) и б).

Далее предполагается выполнение следующего условия: в) при г >12, для любых Си, s"i ^ Cï. » s)eûсправедлива оценка

ИКС^-КС^У ^(S)cis)

V \ ' J

где при -béE-fccT] , .

Теорема 3. Пусть выполняются условия а) и в), Ц при ie[-to,T] , система (I) имеет решение u.C-t) >

о А , и-с-Ь.) = о , «(.= c1 ^ics) ois<r,rfle cxCj-

известноо число , tfC-fe)= J X(S)cis . Тогда решение чЖ^а.) системы

ie 8

(3) при £►-* о сходится по корме к и спра-

ведлива оценка > А

80 -аШ\\с*С£." ,

где о <. С - известная постоянная?независящая от £. .

Следствие. Пусть выполняются условия а) и в), ¡|К(4.ДН¿ь/ДМ) при 4 еЦо,т1 г существуют числа и такие,

что Х(4Л>о при почти всех 4:еС-Ь0,4'} и 6 . Тогда решение системы (I) единственно в С,

Здесь условия б) и в) означают связь между матричными функциями К(-Ь,5) и К (•<:',-Ь) . В частности, если непрерывное матричное ядро по 4: удовлетворяет условию Липшица и К(-ЬД")

единичная матрица при •Ь<еЦ:в>т1 ^то условия а) и б) выполняются.

Результаты § 1.2 носят вспомогательный характер. Здесь исследуются вопросы устойчивости решений систем линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода на полуоси в различных пространствах. °

В § 1.3 системы (I) и (3) рассматриваются на полуоси &• = _ В этом параграфе на основе результатов 5 1.2 перенесены основные результаты 5 1.1 для системы (2) при &=С"Ьо, оо) .

В § 1.4 исследуются вопросы единственности, регуляризации и устойчивости решений систем (I) при недкфференцируе-

мым матричным ядром. В частности, используя теоремы обобщающие теоремы Шмидта и Мерсера^установлена

Теорема 4. Пусть: I) < оо >

2) для любого и.Ш 6 справедливо неравенство

Не <.Ка,ц.>1г^О , где <•>•>(»- скалярное произведение в а., Ъ )} 3) для почти всех фиксированных -ЬеЦос, £) существует х 6 3 такое, что

¿е.1 С ^КСЬД)^) Ф О

Тогда решение системы (I) в единственно.

Следствие. Пусть матричное ядро непрерыв-

но в О. и выполняется условие 2) теоремы 4. Ероме того, пусть ¿¿¿[КС-Ь/Ь)]'* о почти всюду в [а,«] и

Ktj C-fc/fc) = Кд а,±) , bj п., -b 6ta, 61 è

Тогда решение системы (I) единственно в L^(a.,e).

В § 1.5 результаты 5 I.I обобщены на нелинейные системы (2) и (4).

Во второй главе, в основном, исследованы вопросы единственности решения систем линейных интегральных уравнений Больтерра первого рода типа свертки, систем линейных уравнений на коммутативном кольце и их приложений к различным некорректным задачам.

Вопросы единственности решения для скалярных линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода типа свертки полностью решены Е.Титчмаршем.

В § 2.1 рассмотрены системы

ACt)*3cC-t)= ^AC-b-SixCsiotssid) , -te G- , (6)

о

где A(-fc)-т.хП- матричная функция, эсо£) - п.-мерная искомая вектор-функция и -fc-fc) - иг-мерная вектор-функция , &=R.+=Lo,oo) или

Обозначим через CJi.G-') - пространство tu - мерных непрерывных вектор-функций на G-. Для u.ii)eC(&) и t^Cfc) е. С С G-") определим сверточное (св.) умножение:

u-Ct) = fac-fc-s)t?-cs)o[s i a G-

0 ' J ■

где C(&)-пространство непрерывных функций на G-. Через Cmll(&)-обозначим множество всех тки- матриц АШ с элементами из CCG-).

В понятиях произведение матриц, определитель, алгебраические дополнения и минор?заменив умножение св.умножением, определим св.произведение матриц^св. определитель ( св. ~dci ), св. алгебраические дополнения и св. минор. Далее, определим' св. линейная комбинация, св. ранг и св. размерность.

Определение. Множество всех векторов scC-t) из Са(ДДдля которых A(-t) *x(-t)= о при -fc е. R+ ^ есть аннулируемое подпространство матрицы A (-t) е Cm|C R+) и записывается как кЦА) .

Теорема 5. Если AC-t)GChlftCR+,)_) то A(t) имеет св.ранг

:о

% в том и только в том случав, когда ь/(А) имеет св. раэ-

• Следствие. Если А (-и €СИа( Й+) > то для того чтобы система (б) имела единственное решение в С№СЯ+) , необходимо и достаточно, чтобы ci.ciei.AC4) был не равен тождественно нулю на _ В § 2.2)вводя понятие обобщенно обратимого элемента, результаты § 2.1 перенесены на системы линейных уравнений на коммутативном кольце. В качестве примера рассмотрены система линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода типа свертки на (г = [о.»Т] и система линейных интегральных уравнений типа свертки на всей оси.

В § 2.3 сведением системы линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода типа свертки установлены необходимые и достаточные условия единственности решения обратных задач для уравнения параболического типа и гиперболического типа.

В третьей главе изучаются вопросы регуляризации, единственности и существования решзний для систем линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода с двумя независимыми переменными

где 6&=В0,Т: х£хвД1, -

матричная функция, К С-Ь ^ ;> ц.) - гг. -мерная вектор-функция.

Обозначим через Са(5-') и пространства и, - мерных

вектор-функций с элементами из С С &•) и Будем обозначать

через &■) , о < «И , 1 = ЧЧ-Ь,«0 = (^(-И, Ч^С*)) ,

линейное'пространство п. - мерных непрерывных вектор-фг/нкций а.«,«) определенных на & и удовлетворяющих условию

мерность к-г. .

"¿в хв

* х

Л „*

(в)

| и. с*,»)-u.es, »011 ¿с 14^(4:)-^(5)1^

где О < С - постоянная, зависящая от «.(¿,ж),но не о*-к,8,х и у., В 5 3.1 исследована система (7). Всюду предполагается, что представима в виде

• КС^х^сс^АСт^КоС-Ь,») ^

где А,В, К „ - п. х п - матричные функции, 11 К0 ,х) I - непрерывная функция на &• и ^¿СКоС'Ь»*^$0 при с-Ь^е* . Поэтому не ограничивая общности предположим, что КоС-Ь,30^^ при & ,

где Е п. хп- единичная матрица.

Наряду с системой (7) рассматривается система интегральных уравнений второго рода

■Ь х

+ и,а,хо) ж,}] +£[

• 0 '

где о < £ — малый параметр, и. -решение системы (7) При дополнительных предположениях, показано что решения системы (9) при £.»—сходятся по норме СцСй^к Доказаны теоремы единственности в СЛС&) и С^'^С (г) » Установ-, . лена теорема существования в (-№С&") , . .

В § 3.2 основные результаты § 3.1 обобщены на нелинейную систему. (8).

В четвертой главе рассмотрены операторные уравнения Вольтер-

ра

VII = (Ю)

¿о

АШ м +МШи.+Уи. , (И)

Î KCt,flfc = , * S. U.,T3 , (I2)

гдо KC-fc/c), A(v) и M ("И - семейство операторов, для фиксированного (•fc/c') ег)l-fc.sÊré-t â Т\ оператор КС-Ц-с,-) действует в гильбертовом пространстве И .

В первом параграфе изучено уравнение (10). Пусть задан 1= ( et, и однопарамэтрическое семейство гильбертовых пространств с нормой и. ]|s таких, что при s'* s

HSÇHS, , Il u.|ls, — \J< ^ llu-l!a ,Vu.eHs,

где • , '>5-скалярное произведение в Hs . Обозначим C([40,T]3HSV банахово пространство непрерывных функций, определенных на С±в>т] принимающих значение в Hs , S6l и с нормой

Ш-Ы11 - пьакс. lUC-Шс . р

суммируемых по норме

Будем обозначать через (.[(^оД^-банахово пространство функций,

г Л г ,, ■>-,/р

'шпон Ц $хсШт«118«Й} , Р?^ ,

где Х(-Ь) - измеримая функция и ■> о при почти всех

Обозначим через з Н^ , схУ-а. Л > линейное простран-

ство всех функций а(-£) , удовлетворяющих условие

11 Щ-и - «г} Ц& ^ С I - ЧЧг))*" ,

где 04С -постоянная зависящая от ас-Ь) , но не от -Ь и т > действительная измеримая неубывающая функция на .

Будем обозначать через , Н5Л-пространство линейных ограни-

ченных операторов, действующих из в Н5. , б' И-\155,-

норма в С , Н^") .

3 § 4.1 исследовано операторное уравнение (10), где К^т") -двухпараметрическое семейство операторов, КС-Ь/г) е ^С (Н5> Н^) ,

Наряду с. уравнением (10) будем рассматривать следующее уравнение

А

бЛ^е) + $ ка,с1*г,е></г =/<*>., /Г]/ (13)

где о < £ - малый параметр.

Потребуем выполнения следующих- условий:

I. Для всех 5 е1 ^(-к/Ое^Н^ Н,) при -Ьеи.дЗ^

|Л±.д), 1>< и для л?бого аен$)

Це<к<иы,и>в ^АС^ШВ,* .МИбЛ^.Т) и АЩ*0

при

II. Для всех Б^'е! , и при ±>"2. для любых (±,т> , (% »т)6 б- имеет место оценка

В К - К Сг.т.) Ц « £(гк*-г)*"\ 5- £')"' ( Сг) ¿г )

*>* - %

где Лс еС°,-0 , Лъо при

£(±1 Т) , , 1/Р, = 4 , Р^.^-».

Теог.ема 6. Пусть выполняются услсшя 1-П, при •¿.«[¿„т!, Тогда

1) если для всех 5 е1 , Ш-М.)15 5-^„ХС-О и А(4) •><> при почти всех i6lI•í.>T]^ Мо>0 г для некоторых е! , б'<$ выполнено неравенство

С5,5') = (*/,+ ем) и Ш^т-К+'^^Ъ-ч? и.-сОТ'"«-^,

уравнение (10) имеет решение еССС^.Д];^) , и.(±,Л= о , то решение •Л-Ь.О уравнения (13) при £.►-» о сходится по норме Н4.) к им 1

2) если для всех 2 €1 , Ц КС-ЬЛ^ при -¿6 Е^.ДП

для некоторых- 2,5'бХ } з'< 5 выполнено неравенство п\ (5, в') ^ , уравнение (10) имеет решение и,(1) €. Н4) , о-г^гН,

о г то решение уравнения (13) при ¿>-*о

сходится по норме ССС-ЦД^ к ШЬ) и справедлива оценка

где 0<Ct- известная постоянная независящая от

3) если <L0 — ot для некоторых s,s'el , s'< s выполнено неравенство

mf(с,s') --(T-Lcf"'"^ ~V(s-s'^<i J

уравнение (10) имеет решение «-ti) е Су(j Н51 ^ u.(40)= о г то решение тЛ-L, í) уравнения (13) при L*-+ о сходится по норме С С C.-to, ТЗ j, Hsi) к U-C-t). При этом

8-"-С«К„ е1 ^ - m,(s,s')3

где o-c Мл- известная постоянная не зависящая от е. ¿

4) если для всех Sel , И K<-fe,-t)llssé tJ.Xíi) и XC-t) ->о При почти всех 1е11-ЬвгТ1 г tJa>o ,'р>1, i/p+i/q-1 ,

■и> , Ш/Уш* ь'ччт),

для некоторых s, s' €l , s'< £ выполнено неравенство

1/P ¿-¿.-H/CP,«^)

MgCs.s-l-o'. + ^Itllt/A rtH5i(T-t.l [1-

p

уравнение (10) имеет решение u.<4:)€ ) > т0 решение

уравнения (13) при £ь-»о сходится по норме Lr(i,TjH¿)

к U-C-t).

Следствие. Пусть выполняются условия I—II, p)(j5<{ . Тогда

1) если для всех sel , IKtt/b)IijS«s»0<i> и Х(4>*»о

при почти всех -Ь вЦ-Ь.дЗ , К, > ° , то решение операторного уравнения (10) единственно в С (С-Ь.Д]; Hs} , S6l'_¡

2) если для всех s el ,IKC-t/01lt>s. ¿tí.Xíi) при téL-Ь.ДЗ , >° , существует число Se(-Ь„ДД такое, что A(-i)>o щи почтя всех

■te C"t0. то решение уравнения (10) единственно в СгШ,/г]^Н } sel ,( o<Vó1 i v '

3) если ¿0=o и существует число Г<=С±.Д1 такое, что Дс-fci•>О при почти всех -teC-fc«^) t то решение уравнения (10) единственно

в C^CC-fc^TbM^, sel;

4) если для всех sel .VU/HH^éO(-О и Ш)>о ори.

почти всех i еС-fc..T] , р»< , í/p-M/2-1 ,

p

то решение уравнения (10). единственно в Ц0Ь»Д> Н6") и . L\-b..TjH4) , Ро = Р?/(?-<) , sel .

Теорема 7. Пусть выполняются условия I-II, для некоторого

Sel, ,ÍCÍ.)=o , р.о+л-.О^ ,

где yí-fc) е при i et-t.,T] .Тогда

1) если для всех s, el , ЛK(VMSijSj * U.X(í) при-tet-Ь.Д]^ > О , для некоторого s'el ,s'<s выполнено неравенство

, гДв w^C&jS') определена в теореме б, р>-( , 1/P-H/fsl , = +</СР4*?) я od <(1-cCoPt)/<¿„ ,

то существует решение уравнения (10) в JLPo(it,iTj Ht.) ч-Р j

2) если выполняются условия случая I), AC-t) ■>• о при почти всех

■fceL±.,T3 , Írtí/A^t) е 1*4*., т) ¿ (р.,+S/

то существует единственное решение уравнения (10) в И^

Ро^РЧ/ff-Oj

3) если ¿.»о , р>< , l/e + 4/г +

для некоторого s' el , s' < S выполнено неравенство m1<sJs')<i где m4cs,s') -определена в теореме б, то существует решение уравнения (10) в LP'Hajr j Hs.) , Р.Ъ-Р,

В § 4.2 модификацией метода Ниренберга-Нисидк доказаны теоремы существования и единственности для операторных уравнений (10) в шкале банаховых пространств. Построены вольтерровы' регу-ляризэдрующие операторы для уравнения (10) в шкале банаховых пространств. "

В § 4.3 на основе полной спектральной теоремы фон Неймана и результатов § I.I доказаны теоремы единственности решения для операторных уравнений (10) с коммутирующими операторными ядрами не сводящимся к семейству скалярных уравнений Вольтерра второго рода.

В § 4.4 выделены классы операторных .уравнений (10) и (II), для которых доказаны теоремы единственности.

В 5 4.5. результата } 1.5 обобщены для нелинейных операторных уравнений (12) в гильбертовом пространстве.

В пятой главе исследованы вопросы существования и единственности для задач интегральной геометрии сводящихся к операторным уравнениям Вольтерра первого рода в шкале банаховых пространств.

В § 5.1 исследована следующая задача интегральной геометрии с неинвариантными ядрами

где ЪбСоЛЗ } ,

семейство однополостных конусов, с вершинами и концами,лежащими на плоскости у У^^_есть область,

ограниченная ' поверхностью и плоскостью =

Основываясь на результатах? 4.2, для уравнения (14) доказаны теоремы существования и единственности решения, причем теорема единственности доказана в пространстве С (Ео, к] }

В § 5.2 и § 5.3 аналогичные результаты получены для одной задачи интегральной геометрии на плоскости и для задач интегральной геометрии с пространственными кривыми.

В § 5.4 рассмотрено следующее уравнение с неинвариантными ядрами

Ш=0 в " ^

р \ у г

° V (15)

где вса.С«!,.»,^ (^^«^{(улИо^б^Ц л

-^у» ^ >

^ , - известные непрерывные функции г и' -

ограниченные • соответственно - мерные и мерные глад-

кие поверхности , т.г < п. , п.^ <• п., ■

Из § 5.1-5,3 видно, что уравнение (15) связано с задачами интегральной геометрии. Для уравнения (15) доказана теорема единственности решения в пространстве С (Со, 1г] ; К."")) , являющаяся разновидностью »еореыы Холшгрена, где ( а^) — пространство Соболева..

, Литература

1. Асанов А. Достаточные условия единственности решения урашю- . ний Вольтерра и Вольтерра-Урысона //Изв. АН Кирг. ССР.-1973.-

- № 6.-с.3-7.

2. Асанов А. О единственности решения систем интегральных уравнений Вольтерра первого рода типа свертки //Обратные задачи . для дифференциальных уравнений математической физики.-Новосибирск, 1973.-с.26-34.

3. Асанов А. Регуляризация и достаточные условия единственности решения линейного интегрального уравнения типа Вольтерра первого рода с двумя независимыми переменными в пространстве непрерывных функций //Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям.-

- Фрунзе: Илим,.1979,- вып.12.-с.154-164.

4. Асанов А. Регуляризация и достаточные условия единственности решения для интегральных уравнений Вольтерра и Вольтерра-Урысона, //Исслед. по интегро-даффяренц. уравнениям.-Фрунзе: Илии,. 1979.- вып.12.- с. 165-176."

5. Асанов А. О единственности решения некоторых линейных интегра-. льных уравнений Вольтерра первого рода //Всесоюзная конференция по некорректно поставленным задачам (тез. докл.)- Фрунзе: Илим, 1979.

6. Асанов А. Регуляризация и единственность решения линейных ин- . тегральных уравнений Вольтерра первого рода с двумя независимыми переменными //Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям.-

-4>рунзо: Илим, 1930.-вот. 13.- с.207-214.

7. Регуляризация операторного уравнения Вольтерра первого рода //Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям.- Орунзе: Илим, 1981,- вып.14,- с.235-245.

3. Лсанов А. Об одном классе уравнений Вольтерра /УИсслед. пор-ректности обратных задач и некоторых операторных уравнений.-Новосибирск, 1961.- с.13-19.

9. Лсанов А. О единственности решения для одного класса операторных уравнений Вольтерра //Вопросы корректности обратных задач математической физики.- Новосибирск, 1932,- с.12-19.

10.Лсанов А, Регуляризация операторного уравнения Вольтерра в шкале банаховых пространств //Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям.- Фрунзе: Клим, 1984.- вып.17,- с.205-210.

ПУБМКАЩИ ПО 0СН0ВНШ1 РЕЗУЛЬТАТАМ ДИССЕРТАЦИИ

1. Асанов А. Об одном классе интегральных уравнений Вольтерра первого рода //Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям.--Фрунзе: Илим, 1981,- вып.14,- с.227-234.

2. Асанов А. Один класс операторных уравнений Вольтерра //Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям.- Фрунзе: Илим, 1933.- вып. 16.- с.269-276.

3. Асанов А. Об одном классе систем интегральных уравнений Вольтерра первого рода //Функцион. анализ и его приложения.-1933,-- т.17, вып.4.- с.73-74.

4. Асанов А. О единственности и существовэлии решения систем линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода типа свертки //Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям.- Фрунзе: Илим, 1935.- вып.13.- с.9-16.

5. Асанов А. Об одном классе систем линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода на полуоси //Исслед. по интегро-дифференц. -уравнениям,- Фрунзе: Илим, 1935,- вып.13.- с.17-20.

6. Асанов А. Сверточные свойства непрерывных матричных функций //Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям.- Фрунзе: Илим, 1986.-вып.19.- с.175-185.

7. Асанов А. Система линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода типа свертки на полуоси //Исслед. по интегро-

-дифференц. уравнениям.- Фрунзе: Илим, 1936,- вып.19,- с. Iüo-190» '

Ö. Асанов А.' Коммутативная алгебра с обобщенно обратными элементами и система уравнений на ней //Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям..- Фрунзе; Илим, 1987,- вып..20,.-'с.39-

-52. '•

9. Асанов А. Коммутативное кольцо и система уравнений на ном //Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям.- Фрунзе: Илим, 1968.- вып.21,- с.39-56.

10. Асанов А, 0 единственности решения операторных уравнений Вольтерра //Изв. АН Кирг. ССР,- 1988.- »I.- с.13-18.

11. Асанов А. Устойчивость решений систем линейных интегральных уравнений Вольтерра второго , рода на полуинтервала //Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям.- Фрунзе: Илим, 1909.- вып. 22.- с.123-129.

12. Асанов А. О системе линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода на полуинтервале //Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям.- Фрунзе: Илим, 1939,- вып.22,- с.130-139.

13. Асанов А. Операторные уравнения Вольтерра первого рода в шкалах гильбертовых пространств //Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям.- Бишкек: Илим, 1991.- вып.23.- с.67-30.

14. Иманалиев Н.И., Асанов А. Регуляризация, единственность и существование.решения для интегральных уравнений Вольтерра первого рода //Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям.-

- Фрунзе: Илим, 1988.- вып.21,- с.3-33. •

15. Иманалиев М.И., Асанов А. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Волыгерра первого рода //Докл. АН CCGP.-

- 1909,- т.3'09, К 5.- с. 1052-1055. ' .

16. Иманалиев И.И., Асанов А. О решениях систем нелинейных инте--тральных уравнений Вольтерра первого рода //Всесоюзная кон-. ференция по условно-корректным задачам (тез. докл.)- Алма-Ата, 1909. . ■-" .. - ,

17. Иманалиев М.И., Асанов А; 0 решениях систем нелинейных двумерных интегральных уравнений Вольтерра первого рода //Докл. АН СССР,- 1991,- т.317, »I.- с.32-35.

Пользуясь случаем, вцраяаа искреннюю благодарность академику о.!.¡Д.Лаврентьеву и член-корр. АН СССР М.И.Иманалиеву познакомивших автора с интересной тематикой интегральных и операторных уравнений Вольтерра, за их многочисленные полезные обсуждения задач рассмотренных в данной работе.