Регуляризация и единственность решений уравнений Вольтерра третьего рода тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ОД ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

- 9 ОПТ 1935

Специализированный совет Д 01.94.27 На правах рукописи

Ободоева Гумушай Сансызбаевна

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА

ТРЕТЬЕГО РОДА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Бишкек - Н?о

Работа выполнена в Институте математики HAH Кыргызской Республики.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, с.н.с. А.Асанов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Темирбулатов С.И. (КазГИУ им. Аль-Фараби); кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Байзаков А.Б. (ИМ HAH KP).

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной математики HAH Республики Казахстан .

Защита диссертации состоится "JU 199 <3 г.

в часов на заседании Специализированного совета Д.01.94.27 по присуждению ученых степеней доктора и кандидата физико-математических наук в Институте математики HAH Кыргызской Республики

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке HAH Кыргызской Республики

Автореферат разослан J 199 ^

г.

Отзывы на автореферат просим присылать по адресу 720071, г.Бишкек-71, проспект Чуй, 265а, Институт математики НАН КР, Специализированный совет Д.01.94.27.

Ученый секретарь Специализированного совета, /л

кандидат физико-математических '

С.ИсканцароБ

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИК РАБОТЫ

Актуальность тешь Интогрплыше уравнения возникают в теоретических и ппиклпднлс науках. К ним сводятся различные обратные задачи для'дифференциальных урапнений, задачи обработки экспериментальных цаннъх связанных с диагностикой сферических или осисимметрических плазменных образований, задачи автоматического регулирования обратные задачи кинематики, сей-смики и др.

Характерной особенностью интегральны* уравнений является их некорректность в смысле Ж.Адамара. Возникновение в работах А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева и В.К.Иванова нового понятия корректности постановки таких задач, отличного от классического, дало средстпо для исследогушия некорректных задач и стимулировало интерес к интегральным уравнениям, имеющим большое прикладное значение.

Различные попроси для интегральных уравнений Вольтерра рассматривались в работах таких авторов, как А.Асанов, А.Бай-заков, А.Л.Бухгейм, Ю.А.Ведь, А.М.Денисов, В.К.Иванов, М.И. Иманалиев, С.Искандаров, С.И.Кабанихин, М.М.Лаврентьев, H.A. Магниикий, Л.И.Попов, А.Саадабаев, А.Сражидинов, А.И.Тихонов, Я.Янно и др.

Т)

В работе H.A.Магнипкого ' рассматривалась уравнение где Л. - вещественный параметр.

Построены (при наличии особых точек) многопараметрические семейства решений в окрестности особых точек в соответствую!^! банаховых пространствах с весами специального вида,

Вопросы регуляризации для интегральных jравнений первого рода равносильных уравнению Вольтерра третьего рода Исследованы в работе Я.Янно^,

^Магницкий H.A. Линейные интегральные уравнения Вольтерра I и IU рода. - //"/Кури, внчисл. маг. и мат, физики, 1979, т 19, № 4, С.970-983.

^Янно Я. Регуляризация одного уравнения Вольтерра I рода равносильного уравнению Ш рода //Учен, залис. Тартуск. гос. ун-та.- 1987.- Вып. 762.- с.16-30.

В работе М.Иманалиева, А.Лсанова исследовались вопросы регуляризации, единственности ¡1 существования рушения для интегральных уравнений Вольтерра первого рода с недифферениируемыми и необратимыми на диагонале ядрами.

Настоящая работа посвящена изложению теории интегральных уравнений Волмерра третьего рода.

Цель работы. Исследования вопросов регуляризации и единственности решений интегральных уравнений Вольтерра третьего рода.

Научная новизна. Рассматриваемые задачи исследованы новыми методами и получены новые результаты.

В различных пространствах построены вольтерровке регуляри-зирующие операторы и дснязаны теоремы единственности в целом широкого круга задач для интегральных уравнений Вольтерра тре-" тьего рода.

Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты диссертации продолжают развитие теории интегральных уравнений Вольтерра. Они находят применение при разработке численных алгоритмов решения различных прикладных задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики и анализа" (Новосибирск, 1992), на республиканской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их прилодения" (Ош, 1993), На семинарах лаборатории теории обратных задач ИМ НАН КР, иа семинаресИнститута математики НАН КР.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7] , список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух

глав и списка литературы. Она содержит 102 страниц машинописного текста, включая библиографический список из 57 наимено-

*^Иманалиев М.М., Асанов А. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода. //Докл. АН СССР.- 1989.- т.309, № 5,- с.1052-1055.

- & -

ваиий. Нумерация математических соотиоисний и формул производится по главам и параграмм в виде (т., а, К ), где Ш - номер главы, п. - номер параграфа, К - номер формулы в данном параграфе. Нумерация теорем аналогична.

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ. Во введении дается обзор литературы и краткое содержание работы.

В первой главе изучается интегральное уравнение Вольтер-ра третьего рода

d(t)u(t) iSK(t,s)u(s)¿s -- fit), ¿6 [i,,rj , r> t. (J)

где K'(tlj)l f(t) , <t{i) - заданные функции, a.[t,}~0) д/ij-неубывигсщая непрерывная функция на /t»,Tj . • Наряду с (I) рассматривается интегральное уравнение Вольтерра второго рода

te[t,rj (г)

где С< £. - малый параметр.

Будем обозначат , Cf*-f 5 it линейное пространство „

всех функций u.(tj определенных на j и удовлетворяющих условию

где l^(i)-неубывающая непрерывная Функция на и С

положительная постоянная, зависящая от , но не от и

S . Если tpограниченная функиия на [U,T] и tf(i)iA>0 при ti it.(Tj} то С^ [t., Т] = СУ [t., Г] - пространство Гёль-дера. Пространство С.р ft.,Tj является, банаховым пространством с нормой

i^-iRftW'îay^'/i^-fi.jiv

В § I.I уравнения (I) и (2) рассматриваются сначала при следующих условиях: ^

а) при любом фиксированном tt[u,T] функция fli.tjt 1,%Г) и Ц^ъО, £t[ t., Г J .

б) при t>>i для лпбых (t,s), (h,i)tCi-\(Ut):t,<S*t<-Tj справедлива опенка

- 6 -с .

где ШЬО при ¿е[ь,Т] „ Цф1}Чи,Т),1,*1

ТЕОРЕМА I. Пусть выполняются условия а) и б). Тогда

1) если К[1Л)>О при почти всех ¿»(ЦТ] уравнение (I) имеет решение и и(и)-0, то решение уравнения (2) при о сходится по норме к При этой справедлива оценка

где р- произвольное число из

МИ и

У (х) - обратная функция к функции /Ч, С, - известные пос-тоянчые, независящие от ¿.

2) если уравнение II) имеет решение

УМ и то решение (<%£/ уравнения

12) при ¿-»р сходится по норме С.[к . При этом справедлива оценка

НФ.^-иМИ^ М{£Г

где - известная постоянная независящая от £ .

СЛВДСТШЕ. Пусть выполняются условия а) и б). Тогда

1) если К(М)>Р при почти всех ¿е^ЦТ], то решение уравнения (I) единственно в С[и,Т];

2) если существует число такое, что £[1,1)>о при почти всех ¿6 то решение уравнения (I) единственно в Су Г*.,г], о<)Ч.

Далее предпологается выполнение следующего условия:в) при С>4 для лвбых (V), справедлива оценка

где ЦЬ) » 0 при

ТЕОРШ 2. Пусть выполняются условия а), в1 и уравнение (I) имеет решение Су [ькТ] , \л[Ъ)-0> где

(^Н1£(и)еЦ. Тогда решение ¿(¿,£.) уравнения (2) при £-.о

и

сгодится по норме к реяенкп уравнения (I).

При этом справедлива оценка

где О* . известная постоянная, независящая от £.

СЛЕДСТВИЕ. Пусть выполняются условия а), в), существуют числа С'* (¿,,7] и (^>1 такие, что К(Ь,Ь)>0 при почти всех и

Тогда решение уравнения (I) единственно в пространстве

С^./П, 0*1*1.

В § 1.2 исследуются вопросы регуляризации и единственности решения уравнения (I) в пространстве Гельдера и в пространстве непрерывных функций.

В § 1.3 построены вольтерровые регуляризирующие операторы для уравнения (I) с недифферениируеыым ядром. В различных пространствах доказаны теоремы единственности.

В § 1.4 рассматривается нелинейное интегральное уравнение Вольтерра третьего рода

#)и(*М£(м, = /(¿], г € [и, г] (з)

где , ДО) и (ЦЬ) - заданные функции, а.(и). О

- неубывающая непрерывная функция на [Ъ,Т] г и(Ь) - искомая функция. Наряду с (3} будем рассматривать интегральное уравнение второго рода

где оч - малый параметр, - решение уравнение (3). Предполагаем, что представимо в виде

где (М,1фС*Я., г =

При выполнении определенных условий, показано что решения Iуравнения (4) при ¿-*0 сходятся по норме £[ЦТ] к и(Ь). Доказаны теоремы елинственности. в

- С -

В § 1.5 в качество приложения приведена обратная задача для одномерного волнового уравнения.

Во второй главе исследованы вопросы единственности и регуляризации решений систем линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода.

Рассматривается система

где - • матричная функция, и //£) соответ-

ственно искомая и заданная п- - мерные вектор функции а(Ь») = 0 , О-^) - неубывающая заданная функция. Наряду с (Ь) рассматривается следующая система

^♦а^и^е)^^^^!,^^*//!)^^),!«^] (ь)

где 0< I . малый параметр.

Пусть I -" собственные эначония матрицы

-^(МО+КЧМ-)] , где - сопряженная матрица к

матрице и

Введем обозначения:

1) ||А|| и ||и-|| нормы соответственно для /I»п.- матрицы 4 и для п. • мерного ректора и,

2) Сц[и,Т] , пространства п. - моршлс вектор функций с элементами из С[ЦТСу , í.

3) и -1| ь - норма в пространство С-л 1и,Т} где для

В § 2.1 системы (5) и (С) рассматриваются при следующих условиях:

I) для £(М)8 (М))"" при любом фиксированном 1 е

ЦМеМ.д), %>,1 и^-МбЛЧ'.М'.«,«;

II) при и&.,Г] И г*е ^-определена с помощ-о формулы (7);

Ш) при мя любих (с,1)1(к,1)(

справедлива оценка

- У ~

с

lllCl*,*)-£(»,>)HU(s)ix(s)cls ,

где l(l)>. о при ti[t,,r J./iiJe^'M;, toil.

Здось при исследопинии системы (5) и (б) допускается, mvo dt-i [)C(tytJ] может отрицаться и нуль конечное или счетно» число pun и fi»/F] •

'ГКОРВЛА а. Пусть шполнлитсн условия I-Ш, a/tjfc СС*",?], a(£,J=p( &(t) - нпубишшщшг функция на ft,JT])

ifЦ) cLs , 16 [t.^J . Тогда

1) если' x(t) > О при почти нсох t fe [t^Tjt ЦК(КУЦбМ Mty, 11 ft,,T] и система (b) имгиуг рсшоние tt(i}t Cn fa,?],

то роденио l/(t, t) системы (6) при £--»0 сходится по норма С-п [t»,Т] >< lt(t). При этом справедлива оценки

где р- произвольное число из К *

Z,illO,tf(T>l

обратная функции к if(i)i

2) если HK(t,t)Ui/у, x/t) при iift»,T] сиотема Co) имеет решонио U-(t)fc [ЦТ] ( if то решение системы (6) при £.»о сходится по норма Сц [tr,Tj К n(i)< При этом справедлива оценка

Т - известная постоянная нелависящая ОТ £(

CJIl'vUCfLMli. Пусть выполняются условия 1-Ш, Тогда

1) если l|K(t,t)||«=/V»*^j f л-(Ц>0при почти всех it ¿"ЦТ], то решение системы (Ь) в пространстве dn ft»,Т*J единственно}

2) если Л/,x(t) при tb[t,t?) и существует число

ft (ЦТ) . такое, ЧТО л{Ь)>С> при ПОЧТИ ПС6Х ttf^i"/, то решымо системы (&) единственно В пространстве

t-4

В § 2.2 исследуются вопросы единственности и регуляризации решений систем (5) с недиф$ерениируемым матричным ядром.

В § 2.3 рассматривается система (5), когда модуль непрерывности матричного ядро имеет особенности.

ТЕОРЕМА 4. Пусть выполняются следующие условия: ' I. для £(t,j) = (Rij (MJ)* при любом фиксированном

tt(VJ, Kij(t,!)tl,l,M , b>'i и tc^t.tjt^T),

к;

II) x(t)*0 при U [i.,r] „ jL(i)ti*(Utr) где - определена с помощью формулы (7);

III) при для любых справедлива оценка

V

ll^r.O-ltKJJll&^iixiO^^itj-aW]

где (><■*<. i } 0< С - постоянная. Кроме того пусть

a(t)t t[U,T) ,с^(Uj-o t cu(t) - неубывающая функция на

СЦТ1, <f(fc) = jA.{$JcU$+<Mi), ti [UtV] . Тогда I) если Зф)>с**при почти всех t i // //,х(1)

система (5) имеет решение то решение системы (6) при £-»<? сходится по норме

Сл. CU,T} к n(tj. При этом справедлива оценка

где p - произвольное число из ld,i )t В,-известная постоянная,

f-'W - обратная

*.»»£», Wrt]

фучкция

К f/t) , Г (^)-гамма функция. 2) если ¡¡1С fat)!/ if/, x{i) при it[Ь,г)1 система (5) имеет решение u.(t)£ (^Tj v<i*i то решение •'ftitj системы (6} при I*о сходится по корме Cn. itf/T] к n(i) . При этом справедлива оиенка

где 8,6,- известные постоянные, М} ^'-у Мр

СЛЕДСТВИЕ. Пусть выполняются условия 1-Ш. Тогда

1) если |1СМ)||$ , Щ>о при почти всех tt[t,tT]l то решение системы (5) в пространстве (* [■ЦТ] единственно.

2) если ¡¡£{Ь,Щ 4при Ье1и)'Г] и существует число

такое, что л{Ц?0 при почти всех tt£t*lS)¡ то решение системы (5) единственно в пространстве

В 5 2.4 исследована обратная задача для двумерного волнового уравнения

[Щ-]+ №). М «

«^-о-М».,**)» ЪГЬ^Ы*'**),*-^)'*' (9)

где

¿ч * 4

^ (я, известные непрерывные функции в Я** [0,7], известные непрерывные функции в , I, л., —

Сначала обратная задача (О)-(Ю) сводится системы линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода. Далее иссле-цовьны вопросы регуляризации и единственности решения обратной задачи (8)-(10).

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Асадов А., Ободоева Г.С. Регуляризация и единственность решений линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода //Тоз. докл. Всесоюзн. конф. "Условно-корректные задачи мат. физики и анализа".- Новосибирск, 1992,- С.5.

2. АсановА., Ободоева Г.С. О решениях линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода с недифференцируемыми ядрами //Научн. конф. математиков, поев. бО-летии образования Кыргосуниверситета. Тез. докл.- Бишкек, 1993,- С.10.

3. Асанов Л., Ободоопп Г.С. Регуляризация и единственность решений систем линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода //Диф$орони. уравнения и их приложении. Oui, семг. 1993 г. :Тез.докл. республ. чаучн. кон^ч- Our : ОшГУ, 1993.- С.23.

4, Асанов А., Ободоова Г.С. Система линейных интегральных уравнений Вольтсрра третьего рода с особенными матричными ядрами /Ин-т матем. ПАН Кмргыз. Республики,- Бишкек, 1993.- II с,- Доп. в Р1ПБ К»рг. 1Ш1ГГИ 2J.I2.93, » (>ЬЗ.

Б, Асанов А., Ободоева P.C. Регуляризация и единственность решений линейных интегральных уравнений Вольторра третьего родя //Исслсд. по иптогро-диф^орепц. уравнениям.-Бишкек: Илим, 1994.- Вып.25.- C.öb-74.

6. Ободоова Г.С. Об одном классе линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода //Так же как в [з] .-- C.Ü2.

7. Ободоева Г.С. Регуляризация и единственность решений систем линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода /Ин-т матем. HAH Кыргыэ. Республики,- Бишкек, 1993,- 10 о.- Доп. □ РНГВ Кырг 1ШИТИ 20.12.93, № 6Ь2.

Автор шрнжаот глубокую благодарность своему научному руководителю А.Асанову за постановку задач и постоянное

внимание.

OHOflOEBA ryiOTAti CAIICLI3EAEHIA

Yvywiy THnTeni Bo.ibTepp.uHH TeHueneJiepuHHH ueyHMnepmiHH «ajirn3wru 'Kana peryjiHpiisauviHJinHyycy

AHHOTAUHH

yviynny THnTervi BojibTeppniw HHTerpajmim TenueMeJiepn Kapa.iaT. Ap Typuyy MefiKiiimiiKTepue MMHnaft TeHAewe.Tepn'.in yeMHMnepunHH wajirbianwru woHyHuory TeopeMSJiap najittniieHeT wana BOJibTeppaviK peryj!HpH3aqniU!ooiy onepaTopjiop Typrysy.naT.

i EGDOEYA GULIUSHIE 3A. XSIZBAEVITA Regularizatien and uniqueness of solutions of Volterra. equations of the J-st kind.

SUMMARY

Considered the integral equatisno of Volterra o£ tho 3-nt kind. The theorems on uniqueness are proved tnd tho regularizing operators in th» different epaaeo are constructed.