Регуляризация и единственность решений интегральных уравнений Вольтерра первого рода с двумя независимыми переменными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Специализированный совет Д 01.97.70

На правах рукописи

БЕКЕШ О В Турдумамат Орозматович

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА ПЕРВОГО РОДА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Бишкек -1998

Работа выполнена в Институте математики HAH Кыргызской Республик! и на кафедре высшей математики Ошского технологического университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

с.н.с. Асанов А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

с.н.с. Алексеенко С.Н. (ИМ HAH KP), кандидат физико-математических наук, доцент Омуров Т.Д. (КГНУ) Ведущая организация: Институт математики им. В.И.Романовского

АН Республики Узбекистан

Защита диссертации состоится сиарущ 1998 г.

в {iL, часов на заседании Специализированного Совета Д 01. 97. 70 по присуждению ученых степеней доктора и кандидата физико-математических наук при Институте математики HAH Кыргызской Республики.

С диссертацией можно ознакомиться в ЦНБ HAH Кыргызской Республики. Q

Автореферат разослан" " jHPQßß 1998г. Отзыв на автореферат просим прислать по адресу: 720071, г. Бишкек-71, Проспект Чуй 265а. Институт математики HAH Кыргызской Республики, Специализированный Совет Д 01.97.70.

Ученый секретарь Спепиализированого Совета х.ф.-м.н., с.н.с.

Искандаров С.

Актуальность темы: Существует широкий класс прикладных задач, математическая постановка которых не удовлетворяет классическим условиям корректности. А.Н.Тихонов* показал целесообразность 1рименения к некорректным в смысле Адамара задачам понятия корректности, отличного от классического. При этом на передний план выдвигаются вопросы единственности решения , а также построения регуляризующих семейств операторов и оценки их эффективности.

Такая особенность характерна и для интегральных уравнений Вольтерра первого рода , исследование которых в последнее время представляет большой интерес. Это обьясняется их огромной прикладной значимостью.

Интегральное уравнения Вольтерра первого рода с. одной независимой переменной широко исследованы в работах Лаврентьева М.М., Бухгейма A.JL, Иманалиева М.И., Денисова A.M., Асанова A.A., Апарцина A.C., Ведь Ю.А.,Сраждинова А., Исжавдарова С. и многих других. Однако подобные уравнения с двумя переменными мало изучены.

Цель работы: Доказательство регуляризации и единственности решения интегральных уравнений и систем уравнений Вольтерра первого рода с двумя независимыми переменными. '

Научная новизна: В диссертации получены следующие новые результаты:

- Построено регуляризующее семейство и доказана единственность решения уравнений и систем уравнений Вольтерра первого рода с двумя независимыми переменными в различных пространствах. В линейных случаях доказана теоремы о существовании обобщенного решения.

- Доказана единственность решений уравнения и систем уравнений

* - Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. // Докл. АН СССР, -1943, - Т. 39, № 5 , - С 195-198.

Вольтерра первого рода в общем виде.

- Кроме того для вырождающихся дифференциальных уравнений в частны. производных первого порядка доказаны единственность решения \ существования обобщенного решения, а также построен регуляризующиi оператор.

Практическая и теоретическая ценность: Результаты диссертацга являются развитием теории интегральных уравнений и могут быть применены i численных реализациях решений различных прикладных задач.

Общая методика исследования: Для получения сформулированных i диссертации результатов используются методы интегральных уравнений функционального анализа, малого параметра и квадратичных форм.

Аппробащш работ: Основные результаты работы докладывались i обсуждались на республиканской научной конференции "Дифференциальны! уравнения и их приложения" (Ош, 1993), на Международной конференщн "Актуальные проблемы математики и математического моделирована экологических систем" (Алма-Ата, 1996), на IV республиканской научно методической конфероенции"Компьютеры в учебном процессе и современны! проблемы математики" (Бишкек, 1996), на семинарах лаборатории теорш обратных задач ИМ HAH KP (1994-1997), на семинаре под руководством^ академика МНИмаяалйева Института математики HAH PCP (1997), н; семинарах кафедр "Высшей математики" и "Прикладной математики" Ошскогс Технологического университета (1994-1997).

Публикации; Основные результаты опубликованы в работах [ 1 - 8 ].

Структура и обьвм работы : Диссертационная работа состоит и: введения, двух глав и библиографии. Работа содержит 112 страяш. машинописного текста. Библиография включает 64 наименовании Нумерация математических соотношений и формул производится пс

лавам и параграфам в виде (l.m.n), где 1- номер главы, m-номер параграфа i n-номер формулы в данном параграфе. Нумерация теорем, лемм щалогично.

Содержание и основные результаты работы: Во введении дается обзор литературы по теории некорректных задач и штегральных уравнений Вольтерра первого рода. В краткой форме изложено содержание работы.

В первой главе изучается вопросы регуляризации и единственности решения интегрального уравнения Вольтерра первого рода с двумя независимыми переменными.

Будем обозначать C(G) пространство непрерывных в области G функций с нормой |u(/,x)j|c ='maxjju(/,x)j|; CTr(G), 0 <7' < 1, линейное

пространство всех функций u(t,x) , определенных в области G н удовлетворяющих условию

|ы(/,х) - u(s,x)\ C\<p{t,x) - <p(s,x)jr, где q>{t,x) - функция, не убывающая по t, непрерывная по совокупности (t,x) на G; 0 < С - постоянная зависящая от и(их),

г

но не зависящая от (t,x) и (s,x). В С7 норма определяется в следующем виде

= sup|«(/,x)|+ sup "

В §1.1 рассматривается линейное уравнение

\K{i,x,s)u{s,x)ds+\]N{i,x,s,y)ui,s,y)<b^ = f{t,xUt,x)^G (l)

ООО

где K(t,x,s), N(t.x.s,y) - ядра, u(t,x) - неизвестная. f(t,x) - заданная функции, f(0,x)=0 при X €[0,x];G = {(/,х):0^ t<T;О^хйХ} Пусть

а) При любом фиксированном (l,x)eG функция

K(t,x,s) 6 L,(0,¡),a V.(l,x,s,y) е I,((0,/) > (О,*)); функции K(t.x,s) и N(t.x.s.y) - непрерывны по совокупности (t,x) областях Gi и G? соответственно; K(t,x,t) > 0 при (t,x)eG и К(i, х, t) eh2(G); G,= {(t, x, s): 0<s ¿ T, 0 ¿x ¿X}, G2={(t,x,y): 0<t <T,0 <y <x <X), G3={(t. x. s, y): 0 < s ¿t <T, 0 <y <x <X}.

б) При t > T для любых (í,x,s),(r,x,s) e G, справедливо

¡K(t,x,s)-K(r,x,sj¡ < Ct(t-s)-fK(s,x,s)ds;

r

где 0 < Cj -const, 0<а<1.

в) При t > г для любых (t,x,s,y\(T,x,s,y) е G} справедливо |N{t,x,s,y) - N{z,x,s,y)\ < Сг1х (s)l {y)\ K(s,x,s)ds;

г

N{t,x,t,y) = 0 при {t,x,y)zG2, где/,(*)£ 0, при re [О, Л;

/,(х)*0 прих 6[О,X];/,(i) el,(О,Г);

/г (х) е L, (О, Х)\ 0 < С2 - const

При выполнении условий а)-в) доказана теорема единственности

решения уравнения (1) и построено регуляризирующий оператор в пространствах C(G) и С/ (G), 0 < у < 1; кроме того доказано

существование обобщенного решения уравнения (1) в классе Li(G). В §1.2. исследован нелинейный случай. В § 1.3 рассматривается уравнение

J a(t, x,s)iás, х)сЬ+\Ы{,x,y)i^t, y)dy+• J J c(t, x, s, y)i4s,y)ayds=/(/, x), (2)

o - 0 0 0

где a(l,x.s), b(t,x.y), c(t,x,s,y) - ядра, f(t,x) -заданная, u(t,x) -искомая функции; (t,x)eG .

Предпологаем выполнение следующих условий: а) Функция а(t,x,s) - неаозрасгаюшая по t и неубывающая по s вобласти G, = {(t,x,s):Q<s<t< Т,0<х^Х}, причемa(t,x,0) >0 при (t,x) eG , а функция b(t,x,y) - не возрастает по х и не убывает по у в области G2 = {(/,*,}>):0 < у < х < X,Q< t<T)\ b(ux.O) -> 0 при (их) eG ,

:рометого аа (Lx,s) < О при (t,x,s)eG, и bv(t,x,y)< 0 при (t.x.y) eG3: эункция cft.x.s.y) - непрерывна по совокупности аргументов в области Э, = {(t,x,s,y):0 < s < t < Т,0 < у < х < X). >) Для любых (l.x.s.y) справедливо

a(s,y,0)b(s,y, о) - (х - y)(t - s)c2 (s,y,0,0) > 0;

at(s,y,0)b. (^У,-) + yix - y){Cx(s,yAz)Y > 0;

(s,y, ~)by (s,y,0) + s(t - s)(ct (s,y, т,0)У > 0; aa(s,y,T)b^(s,y,z)- sy(cB(s,y,T,z)y > 0. 0 Для любых (t.x,s,y) eG3 справедливо

Is,y,0,0) - (t - s)cjs,yfifi) ~(x~ }>)cy(s,ym + (x-yXt - s)cv(s,y,0,0) * K> 0; (s, y, r,0) - (t - s)c„ (s, у, т,0) -(x- y)cv (s, y, r,0) + (x~ y%t - s)c^(s,y, r,0) > 0;

- s)ca(s,уДx) -(x-у)с_,(s,y,0,z) + (x-y)(t -(s,y,0,z)>0; (s, У, Г, z)-(t- (s, у, T, z) - (x - y)c^ (s, y, T, z) + (x-yXt - y, r, z) > (]}

~де K-const; at(t,x,s),...,c (s,y,r,z) - означают частные производные то соответствующим аргументам.

Георема 1.3.1. Если выполняется условия а) - в), то решение u(t,x) .■равнения (2) единственно в классе L2 (G) 3 §1.4. рассматривается задача

a(t,x)ux+b(t,x)u, +c(t,x)u = f(t,x) ; (/,х) eG } (3)

u(0,JC) = 0 хе[0,Х]) (4)

u(t,0) = 0 t е[0,7] ^ .

где a(t,x), b(t,x), c(t,x) и f(t,x) - заданные, u(t,x) - неизвестная функ-ции .

G={(i,x):0<i<r;0<x<X}. ^ ■

Обозначим Z2(G) - пространство функций u(t,x) таких ,что u(t,x), u,(t,x), ux(t,x), ujt.x) eL2(G) .

Задача (3)-(4) сводится к интегральному уравнению первого рода a(t,x)'j â(s,x)ds + ¿>(/,*)] 9{t,y)dy + c(î,x)\] 3{s,y)dyds = f{t,x), (i,x)eG. (5)

* о 0 0

Пусть :

а) a(l,x) , b(t,x)- неотрицательные, непрерывные функции и имеют непрерывные частные производные первого порядка в области G, при этом a(t,x) - незозрастающая not, a b(t,x) - невозрастающая по х; c(t,x) -непрерывна по совокупности (t,x) в области G.

б) Для любых (t,x,s,y) e G3 = {0 < J < t < Т, 0 < у < х < X) справедливо a(s,y)b(s,y) - (х-y){t ~ s)c: (s,у) > 0 '.

в) Для любых (t,x,s,y)eG3 .справедливо

ф,у) -(t- s)cv - (х-у)с (s,у) + (х- y){t - s)cK {s,у) Z к > 0 • К - const.

Теорема 1.4.1. Если выполняются условия а)-в) то решение 3{î,x)

уравнения (5) единственно в классе L2(G), следовательно решение u(t,\)

задачи (3)-(4) единственно в пространстве Z:(G) .

Теорема 1.4.2. Если выполняются условия а)-в) и f(i.x) eZ:(G) ,

.то существует обобщенное решение задачи (3)-(4).

Далее наряду с задачей (3)-(4) рассматривается задача

шеи +a(t,x)uci +b(t,x)u£i +c(t,x)ue = f{t,x), {t,x) e G " (6)

^(0,--c) = 0 xeM, (7)

us(t,0) = 0 /бЕО.Г]^

где 0 < e - малый параметр.

Теорема 1.43. Пусть выполняются условна а)-в) и u(t,x) -является решением задачи (3)-(4) из класса Zi(G) , такое что uu(t,x) eZ2(G). Тогда решение и,( t,x) задачи (6) - (7) пред ставимо в виде

иг (/,х) - и(1,х) + <;с {¡,х) и при е —> 0 сходится по норме Ьг(С) к решению и(1,х) задачи (3)-(4). При этом справедлива оценка

2 С

¡и (/,х)-ы(*,х)||^ <— (/,х) ев

где С -известная постоянная, не зависящая от е . В §1.5. рассмотрим нелинейное уравнение

\К(1,Х,5М^.х))ё8 + \]м(1,Х,5,у,и{5,У))(Ь'^^/{г,х),и,х) ев, (8)

I: 0 0

где К(1,х^,и), М(1,хл,у,и)-ядра, /(},х) - известная, и(1,х)„ -нензвесгпше функции; Д0,х) =0 при х е [0,х]; С? - {(Г,х):0 < ( < Т, 0 < х 2 X). Пусть ядро К(1,х^.и) представимо

АГ(?,Х,5,П(5,Х)) = ЛГ0 (/,X,х) +2/(5,X». Построен алгоритм выбора параметра регуляризации в случае когда з место точной правой части ¡(их) задано ее приближенное значение /¡(их) из С(в) такое, что |Д/,х)-/,(/,х)|с < 3, 6> 0. Регуляризирующим уравнением для ургвиггпи (8) является

( г

о , о

+ifN(t,x,s,y,uы(s,y))cfye/s = ft(t,x) + £ut(0,x), (Г,х)ев(9)

, 0 0 '

где 0 < е - малый параметр, и(Ч,х) - решение уравнения (8) и начальные условия решений (8)-(9) сзазаны мехду собой следующим образом |н(0,х) - ы,(0,х)|| < С,т/3; 0<С, -согЛ .

Вторая глава посвящена вопросам единственности .регуляризации и существования решений систем интегральных уравнений Вольтерра первого рода с двумя независимыми переменными.

Введем нормы, для ГЫ1 мзтр:щы А=(аИ) п п-мерного вектора и=(ир и^ ..., и^) в следующем виде соответственно

И-(й«Ох: « И=(|х)я

Обозначим Си(С) - пространство непрерывных п мерных вектор-функций, определенных в области в;

- пространство п - мерных вектор функций с элементами из

с;(с?),о<у£1.

В §2.1 рассматривается система

\к{1,х,з)и(8,х)с1з + \\МЦ,х,з,у)и{1,у)сЬ>с1з = /(*,х),(*,х) е й, (10)

0 0 0

где К(1,х,$), Ы(1,х,з,у) - (п х п) - матрицы -функции; и(1,х) - искомая, Лих) - заданная п- мерные вектор функции, Г(0,х)=0 при

х €[0,х]; в = {(/,х):0< / < Г,О < х < X)

Допустим, что ск1[ЯеК(1,х,!)] может обращаться в нуль счетных числах раз в области в .

Пусть А,(/,х) (/ = 1,2,...,л) -собственные значения матрицы

/) + АГ" {1,х,/)]; где КГ(^1) -сопряженная

матрица матрице К{1,хЛ) . Обозначим

А(/,х) = тт{Я,(/,х)}, &х) е = IД,(11)

Система (10) исследована в предположении выполнения следующих условий:

а) При любом фиксированном (Г,х) ев ¡£(*,х,е ¿^(0,/); д > 1

| еЦ(0,Ох(0,х)); Д(/,х),||Д/,х,/)|е1,(0) и

Я(/,х)>0при (/,х) еС,0< Лг0 —со/Ш; Х(1.х) -определена формулой (11). б) При 1>х для любых

(i,x,j),(T,*,j)-6 G, = {0 < s < t < Г;0 < * < X}

I

справедливо ЦД^х,*)- K(r,x,.s)(|< C(i-

t

где 0 < С - const , 0 S a <1. в) При t>r для любых (t,x,s,y),

((r^^j) eG, = {0<J</< Г;0<.у<х<Х} справедливо

||ЛГ(/,- < CX{s)l2{y)\X{s,x)ds-

t

N(t,x,t,y) = 0 при (U^eG^fOi/^^Oi^^x^J} где 0 < С, - corcsr; 7,(t)>0 при t <z[0,T], l2(x) > Q при x e [0, X], /, (0 e L, (0, Г), /, (x) e1, (0, X).

Для системы (10) построено регуляризирующее семейство уравнений и доказаны единственности решения в пространствах Cn(G) и Ср „ (G)(0 < / < 1), а также существование обобщенного решения в классе L2(G) .

В § 2.2 рассматривается система в общем виде

О 0 0 0 ^

где A(t,x,s), B(t,x,y), C(t,x,s,y) самосопряженные матричные функции размеров ПхП ; Д1,х)-заданная, u(t,x) - неизвестная п - мерные вектор функции, (t,x) eG= {0</< Г;0<х£Х}. Символ < , > - будет означать скалярные произведение.

Предпологаем выполнение следующих условий: а) Матрицы A(t,x,0), B(t,x,0), A,(t,x,s), By(t,x,y) неотрицательны при всех значениях (t,x) eG, (t,x,s) eG!u.(t,x,y) eG2 соответственно; матрицы A,( t,x,0), Bx(t,x,0) , A„(t,x,s), Bfyft.x.y) - неположительны при всех значениях (t,x) eG, (t,x.s) eG, и (t,x,y) eG2 соответственно; элементы

матрицы С(1,х,Б,у) ' - суть непрервыных функций по совокупности аргументов при (г,х,Б,у) е(7,. Здесь

■ а а; ася

Я, (Г,х,0) = ^[В{1,хтВ,«,х,у) = В„(1,х,у) = -£-[В({,х,у)1,

¿у сгсеу

б) Для любого (1,х,5,у)еО}И для любых векторов & е К" справедливо

{(* - у)А{з,у,0)и,и) - 2{(х - >>)(/ - у,0,0), и, 0) + ((/ - .?)£(*, >,0),9,5) > 0 ; (-(х -у)А.,у,0)и,и)~2{у{х~ у)с,у,0,:)и,Э) + (уВ,(*,у,=)&,9)>0 ;

г)и, и) - - (*,у, г,0)и, 5) - (</ - у, 0)&, Э)*0 '

{-л4.(у, т)и,и) - 2{*усш (^у, г,:)и, - {уВ„ {*,у,¿)Э, Э) > 0 ;

в) Для любых (¡.х,з,у) и любого вектора и еЯ" справедливо

{[ф,у,г,0)-(< - л)с (5 г,0) - (х-У)£ л, у, г,0)+(х - у у; г,ОЖи) > О ;

(с(^,0,2)-(г•-^(^Дгйци)>0 )

где 0 < К - некоторое число.

Теорема 2ЛЛ. Пусть выполняются условия а)-в). Тогда решение и( 1.x) системы (12) единственно в кдассе ЬгДС). В §2.3 изучается нелинейная система

¡К, (*,д*))<& + \Кг «,х,у)Г({,у, и(1,у))ф> +

С »0

1 * / V 1

(13)

0 0 ' где К1, Кз, Кз - заданные матричные функции размеров тьп,/(их), ¥(их,и) - п - мерные векторы, и(их) - неизвестный вектор из Яп. Пусть матрицы Кл, Ка и Кз прсзсшшмы:

Ki(t,x,s) = ± A;j(t,x)AJ(t,x,s)AiJ(s,x)C(s,x) ; K,(t,x,s,y) = I A;j(i,x)C! (t,x,s,y)Au(s,y)C(s,y) ;

J-\

где m&V. A¡j. A,-, Bf Cj- матрицы размеров гьп , A'. - сопряженная матрица матрице Аи; C(t.x)-произвольная матричная функция размеров run .

Доказывается единственность решения системы (13) в классе L2,n(G). 3 § 2.4 рассматривается задача

A(t,x)ux + B(t,x)u,+C(t,x)u = /(/,*), (t,x) eG; (14) м( 0,jc) = 0. хе[0,,Г]; (15)'

H(f,0) = 0, t e[0,7]; Л fi, .Vyl , B(t,x), C(t.x) - самосопряженные, заданные матричные функции размеров run , f(t,x)- заданный, - неизвестный векторы.

G ={(t.x): 0 < t<T,0<x<X}.

Обозначим Zi.n(G) - пространство всех векторов, таких что компоненты каждого из векторов и(!,х), ut(t,x), ux(t,x), u,x(t,x) из L2(G). Задачу (14)-(15) приводим к эквивалентной ей системе интегральных уравнений первого рода

■A{t,x)\ 3(s,x)ds + B{t,x)\ 3{t,y)dy + C{t,x)\]3{sj)dyds = f{t,x) (16)

0 0 0 0 )

Потребуем выполнение следующих условий:

a) A(t,x), B(t,x) - непрерывные матричные функции и имеют непрерывные частные производные At(t,x) и B*(t,x) кроме того для каждой из них справедливо

(A(t,x)u,u)>Qr, (B{t,x)u,u)> 0; (A,(t,x)u,u) 10; (S (/,*)«, к) < 0 при любых (t,x) eG и и eRn

б) Для любого (Ххду) еСзи для любых векторов и, 8 еЯ" справедливо

{(х-у)А(*,у)и,и)-2((х-у№-5)С(*,У)и,Э) + ((1-*)В(*,У)Э,#) > 0 .

в) Для любого (1,х,з,у) ей, и вектора и еКп справедливо

где К - некоторое положительное число.

При выполнении условий а)-в) доказаны единственность и существование обобщенного решения задачи (14)-(15).

Наряду с задачей (14) - (15) рассмотрим задачу еи„ + А(!,х)ив +В(1,х)и. + С(/,х)и, =1(1,х); (/,*) ев, (17) и.(0,х) = 0, хе[0,Х), (18)

и.(/,0) = 0, Ге[0,Г],

где 0 < с - малый параметр.

Пусть выполняются условия а) -в) и вектор и(их) является решением задачи (14)-(15) из класса (С) , такой что и1х(¡,х) так же элемент из 22,п (&)• Тогда решение ис(!х) задачи (17)-(18) представимо в виде и^,х) = + и при £-—>0 сходится по норме Ь2л (й) к

решению задачи* (14)-(15). При этом справедливо оценка

7Г

где 0 < е - некоторое число не зависящей от г .

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н. Асанозу А- за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также академику Имяналиеву М.И. за полезные советы при обсуждении работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Асанов А., Бекешов Т.О. Регуляризация и единственность решения интегр&чьного уравнения первого рода с двумя независимыми переменными // Тез. докл. респ. научн. конф. " Дифференц. уравнения и их приложения", Ош. сент., 1993. -Ош, 1993. -С 22.

2. Асанов А. , Бекешов Т.О. Единственность решения интегрального уравнения Вольтерра первого рода с двумя независимыми переменными // Мат-лы Междунар. конф. "Актуальные проблемы матем. и матем. моделирования экологических систем", Алматы, окт., 1996. -Алматы, 1996. -С.47. '

3. Асанов А., Бекешов Т.О. Вырождающееся дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка // Мат-лы IV респ. научно-метод. конф."Компьютеры в учебном процессе и современные проблемы матем.". Бишкек, нояб., 1996г. -Бишкек, КПТУ им. Арабаева, 1996. -Ч 2, -С. 15-19.

4. Асанов А., Бекешов Т.О. Об одном классе систем интегральных нелинейных уравнений Вольтерра первого рода с двумя независимыми переменными // Исслед. по интергро-дифференц. уравнениям. - Бишкек: Илим 1997. -Вып. 26. -СЛОМОВ.

5. Бекешов Т.О. О решении системы двумерного интегрального уравнения Вольтерра первого рода // Там же. -С. 108-117.

5 Бекешов Т.О. Об одном условии регуляризации решения системы линейных уравнений Вольтерра первого рода /ЛГуранское матем. собрание, -Ош, 1995г., -Вып 1, -С. 96-102.

Бекешов Т.О. Выбор параметра регулярнзашш решения нелинейного интегрального уравнения Вольтерра первого рода. //Мат-лы IV респ. научно - метод, конф. "Компьютеры в учебном процессе и современные проблемы матем.", Бишкек, нояб., 1996. -Бишкек, КПТУ им. Арабаева, 1996. 4.2, -С.28-34.

Бекешов Т.О. Система вырождающихся дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. Бишкек: Илим, 1997. -Вып. 26. -С. 179-185.

■м/Ъ

Бекешов Турдумамат Орозматович

Эки езгерулмелуу Вольтерранын I турдегу тендемелеринин чыгарылыштарынын жалгыздыгы жана регуляризациялануусу.

АННОТАЦИЯ

Диссертацияда Вольтерранын I турдегу тендемелеринин жана тецдемелер системасынын чыгарылыштарынын жалгыздыгы женундегу теоремалар жана

регуляризациялануусу C(G), Q (G) жана L^fG) мейкиндиктеринде далилденген. Ошондой эле сызыктуу учур учун жалпыланган чыгарылыштардын жашашы керсетулгвн.

Bekeshov Turdumamat Orozmatovich

A regulaxization and uniqueness of solutions of Volterra integral equations of first kind with two independent variations.

RESUME

In the dissertation has built a regularing family of operators and proved uniqueness of the solutions of the equations and systems of Volterra of first kind in the C(G),C£ (G) and L^G) spaces, there are also proved an existence of generalized solutions in the linear cases.

Бекешов Турдумамат Орозматович

Регуляризация и единственность решений интегральных уравнений Вольтерра первого рода с двумя независимыми переменными. а

АННОТАЦИЯ

В диссертации доказаны регуляризация и теоремы единственности решений уравнения и системы уравнений Вольтерра первого рода с двумя независимыми переменными в пространствах

C(G),Cr (G) и La(G). А так же доказано сущствование

tp

обобщенного решения для линейного случая.