Исследование и оценки погрешности некоторых методов регуляризации линейных операторных уравнений и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

БРЕДИХИНА Анна Борисовна

ИССЛЕДОВАНИЕ И ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ НЕКОТОРЫХ МЕТОДОВ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

16 МАЙ 2013

ЕКАТЕРИНБУРГ - 2013

005058911

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО "Южно-Уральский государственный университет" (национальный исследовательский университет) на кафедре вычислительной математики.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Танана Виталий Павлович, заведующий кафедрой вычислительной математики, Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент

Данилин Алексей Руфимович, заведующий отделом уравнений математической физики, Институт математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург;

доктор физико-математических наук, Хромова Галина Владимировна, профессор кафедры математической физики и вычислительной математики, Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, г. Саратов.

Ведущая организация: Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, г. Новосибирск

Защита диссертации состоится 21 мая 2013 г. в 14 ч. 00 м. на заседании диссертационного совета Д 004.006.04 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620990, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан 17 апреля 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук

В.Д. Скарин

Общая характеристика работы

Объект исследования. Диссертация посвящена обоснованию численных методов решения некорректно посталенных задач и получению опенок погрешности этих методов .

Актуальность темы. При математическом моделировании процессов и явлений, происходящих в природе и обществе, приходится сталкиваться с -задачами, не удовлетворяющими условиям корректности Адамара .

Такие задачи получили название некорректно поставленных. Основы теории моделирования и решения таких задач были заложены в трудах академиков А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева и член-корр. РАН В.К. Иванова, в которых были сформулированы основные принципы регуляризации и предложены некоторые методы их решения, исследование которых продолжается и в настоящее время.

Поскольку особенностью некорректно поставленных задач является низкая точность получаемых приближенных решений и в связи с этим их низкая информативность, то проблема повышения точности методов, а также уточнения оценок их погрешности актуальна.

Поэтому, главным критерием при разработке методов решения таких задач становится оценка их точности. Для этих целей в трудах известных математиков А.Л. Агеева, В.В. Арестова, В.Я. Арсенина, А.Б. Бакушннского, Г.М. Вайникко, В.В. Васина, A.B. Гончарского, А.Р. Данилина, A.M. Денисова, В.В. Иванова. В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева, A.C. Леонова, И.В. Мельниковой, В.А. Морозова, В.Н. Страхова, В.П. Тананы, А.Н. Тихонова, A.M. Федотова, Г.В. Хромовой, A.B. Чечкина, А.Г. Яголы и др. разработана теория оценивания методов решения таких задач. Особое место среди методов решения некорректно поставленных задач занимают оптимальные, как самые точные, и близкие к ним оптимальные по порядку методы. Заметим, что при решении практических задач даже оптимальные методы не всегда выявляют особенности исследуемого явления.

Настоящая работа представляет собой продолжение исследований в этом направлении.

Цель работы. Обоснование и анализ методов регуляризации, исследование вопросов повышения их эффективности с помощью получения точных оценок погрешности этих методов н разработка новых методов получения оценок при условии кусочной гладкости решения.

Методы исследования. В работе используются методы функционального анализа, математической физики и теории некорректных задач.

Научная новизна. Проведено аналитическое исследование метода проекционной регуляризации, обоснован нелинейный метод проекционной регуляризации. Доказана оптимальность метода Лаврентьева при решении операторных уравнений с некоторой ошибкой в операторе.

Теоретическая значимость. Получены точные оценки погрешности для линейных методов проекционной регуляризации, метода Лаврентьева, кроме того, получены точные по порядку оценки погрешности для нелинейного метода проекционной регуляризации.

Практическая значимость. Основные результаты диссертационной работы имеют значение для строгого обоснования методов, используемых для решения некоторых обратных задач .

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на первой молодежной международной научной школе-конференции "Теория и численные методы решения обратных п некорректных задач"( Новосибирск, 10 20 августа 2009 года), на восьмой молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтення-2009"(Казань, 1-6 ноября 2009 года), на "Первой конференции аспирантов и докторантов ЮУрГУ"(апрель 2009 года), на "Второй конференции аспирантов и докторантов ЮУрГУ"(апрель 2010 года), на XIV Всероссийской конференции "Математическое программирование и приложения"(февраль 2011 года), на Международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач"(октябрь 2011 года), на Международной конференции "Обратные и некорректные задачи математической физики"(Новосибирск, 5-12 августа 2012 года), также на научных семинарах кафедры вычислительной математики ЮУрГУ , на семинарах по обратным и некорректным задачам член-корр. РАН В.В. Васина в Институте Математики и Механики УрО РАН .

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-11], список которых приведен в конце автореферата. Статья ¡1] опубликована в научном журнале "Системы управления и информационные технологии" статьи [2] и [3] опубликованы в научном журнале "Вестник ЮУрГУ" , статьи [4] н [5] - в научном журнале "Труды Института Математики и Механики УрО РАН" , включенных ВАК в перечень журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата и доктора наук.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, изложена на 117 страницах. Библиографический список содержит 15G наименований.

Содержание работы

Во введении приводится обоснование актуальности выбранной области исследования, сделан краткий экскурс в историю вопроса и дан обзор результатов, полученных другими авторами в области некорректных задач. Излагаются основные результаты диссертации.

В главе 1 приведено понятие класса корректности, модуля непрерывности обратного оператора и метода решения условно-корректной задачи, определена количественная характеристика его точности на соответствующем классе.

В последующих главах рассмотрены методы регуляризации операторного уравнения

Ли = /, и, / 6 Н, (1)

где Н - гильбертово пространство, А - инъективный линейный ограниченный оператор, отображающий пространство Н в Н и имеющий неограниченный обратный.

Определение 1. Множество Мг будем называть классом корректности для задачи (1), если сужение Дд/ оператора Л-1 па множество Лгг = АМТ равномерно непрерывно.

Условно-корректную задачу приближенного решения уравнения (1) поставим следующим образом.

Предположим, что при / = /0 существует точное решение и0 уравнения (1), которое принадлежит множеству Мг = В5Г, В - линейный ограниченный оператор, отображающий Н в Н, но точное значение правой части /0 нам не известно, а вместо него даны некоторое приближение ¡6 е Н н уровень погрешности 5 > 0 такие, что \\/} - /0|| < 5.

Требуется, используя исходные данные Мг, ¡¡, 5 задачи, определить приближенное решение и^ уравнения (1) н оценить его уклонение от точного решения щ.

Определение 2. Семейство операторов { Тг : 0 < <5 < 50 } будем называть методом приближенного решения уравнения (1) на множестве Л/,., если для любого <5 6 (0,50] оператор Т6 непрерывно отображает пространство Н в Н и —► к0 при 5 —► 0 равномерно на множестве Мг при условии, что \\fs — Лг/0|| < 6.

Количественная характеристика точности метода на множестве Л/Г

Длрл] = яир{||и - ъи\\ ■■ и 6 Мг, IIАи - /,|| < ¿}.

и, и

Обозначим через С[Н] множество всех операторов, непрерывно отображающих пространство Н в Н, а через Д^' величину

= Ш{Л5(Р) : РеС[И|}, где Д,[Р] = 8чр{||и - РМ : и 6 Л/г, ||/4 - Аи\] < ¿}.

и,/л

Определение 3. Метод { ТЦР* : 0 < <5 < 50 } будем называть оптимальным на классе Мг, если Д¡[Т^] = Д°р( для любого 5 € (0, 50].

Определение 4. Метод { Т6 : 0 < д < да } будем называть оптимальным по

порядку на классе Мг, если существует число К > 1 такое, что для любого 5 Е (0, 50] < К А0/'.

Определение 5. Константу К в определении метода, оптимального по порядку, будем называть точной, если Д^Т^] = К Д4р!.

Глава 2 посвящена методу М.М. Лаврентьева '. Результаты этой главы позволяют получить точные оценки погрешности в линейных методах проекционной регуляризации, изученных в следующей главе.

Регулярпзующее семейство операторов {i?Q : 0 < а < ао} метода Лаврентьева определим формулой Ra = В(С + аЕ)-1, а € (0,ао], где С = AR, а в качестве приближенного решения уравнения (1) и^ возьмем элемент, определяемый равенством и? = RJs-

В дальнейшем, без ограничения общности, будем считать, что А* = А, А > 0 и спектр Sp(A) = [О, ||Л||].

В параграфе 2.1 рассмотрен метод Лаврентьева с выбором параметра регуляризации по схеме Страхова 2, а именно из условия

inf{||Ла||5 + sup ||flnCi'o —

Q l|tDll<r

В качестве оператора В рассмотрим функцию G(A), где С'(а) 6 С[0, ||j4HJOC1 (О, ||Л||), G(0) = 0 и G'(ct) > 0 для любого сг € (О, ||Л||).

Теперь рассмотрим уравнение

г G(a)a = 5. (2)

Из свойств функции G(a) следует, что при условии 5 < г G(||/1||)||A|| уравнение (2) имеет единственное решенне ст(<5).

В данном параграфе доказана теорема

Теорема 2.1.1. Пусть функция G(a) G С'[0, ||Л||] П С'(0, ||Л||) и для любого а 6 (0. ||.4||) G'(a) > 0, G2(a)/G'(a) возрастав,п, G(0) = 0, 5 < г G(||A||)||A||, а(5) -решение у]швнения (2), а

G2(a(S)) а{5) = GTO)' Тогда ДЛДад) = G(a(S)) = и){5,г).

В параграфе 2.2 рассмотрен оптимальный метод М.М. Лаврентьева с приближенно заданными оператором и правой частью. Приведем постановку данной задачи.

Рассмотрим операторное уравнение (1), где и, / € И, 3[Н] - множество линейных ограниченных самосопряженных неотрицательно определенных операторов, отображающих пространство Н в Н, Bi[H] - подмножество множества 3[Н], состоящее из инъектнвных операторов, Л С В[Н].

'Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск : Сибирское отделение АН СССР, 1902. 92 с.

2Сграхов В.Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6. № 8. С. 1490-1495.

Предполагается, что при / = /0 и при Л € Л уравнение (1) имеет точное решение и0, принадлежащее множестну Д/ГЛ = BitSr, где Bh G Е[Н], a Sr = {г : г е Н, ||г|| < ?■}. Но точные значения /0 правой части уравнения (1) (из-за ошибки измерения) н оператора А (из-за ошибки моделирования) нам неизвестны. Вместо них даны некоторые приближения fs е Н, и Ак е А П Bi[H], а также уровни их погрешности <5 > 0, h > О такие, что \\fs - /0|| < 6, ||Лк - /1|| < h и ABh = BhA, AhBh = BhAh.

Необходимо, используя априорную информацию Ah, h, <5, A/rh определить приближенное решение щh уравнения (1) и оценить его уклонение от точного решения г/0 на множестве Л//1.

Класс операторов А определим следующим образом

А = {А:Ае В[Н],ЛЛ - л = <p(Ah),<pe Ф}, (з)

где Ф - множество кусочно-непрерывных функции па отрезке [О, ||Л/,||]. Оператор Bh 6 Б[Н] определим формулой

Bh = Gh(Ah),

где функция Gh(a) е С[0, ЦЛлЩпС^О, ||/Ц||), Gh(a)/a монотонно убывает и G'h(a) > О для любого <т € (О, ||ЛЛ||), a Gh(0) = 0.

Метод приближенного решения Ph уравнения (1) на множестве М^ х А определим

как линейный ограниченный оператор Ph 6 В[Н], который исходным да........ Ah, f¡

задачи ставит в соответствие приближенное решение u¡h = Ph[fs] £ Н.

Введем количественную характеристику точности метода при фиксированных Ah G ЛПВ^Я], S е (0,50] и h б (0,/i0],

¿ShiPh] = sup {\\u - Ph[fs]|| : u € M¡?, A 6 A, \\Ah - A\\ < h, \\fs - Au\\ < <5}.

u.AJs

Требуется, используя априорную информацию Aht S, h, M¡.'. А. вычислить величину ДбТ = inf{A4)k[PA] : Ph G B[H]}.

Для оценки снизу величины рассматривается уравнение, связывающее параметры <т, h и 5

rGh(o) = rGh{a)- + -. (4)

a a v '

Из свойств функции Gh(a) следует, что при выполнении условия

1И/.11 > h+ п ,ц , (5)

rGfcíMfcH) ;

уравнение (1) имеет единственное решение а = a(5,h). Кроме того, доказана теорема.

Теорема 2.2.1. Если выполнено условие (5), то справедлива следующая оценка ^Sh — rGh(&(S,h))- gc>e a(5,h) - решение уравнения (4).

Для оценки сверху величины Д^' рассмотрено регулярнзующее семейство операторов для уравнения (1)

1^ = В[А11 + аЕ\-1,ае{0,Ш\\- (6)

За приближенное решение уравнения (1) принят элемент, определяемый формулой

=

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.2.2. Пусть значение параметра ст(<5, Л) является решением уравнения (4), а

5(5, Л) = Эйгйт - Л»> > (7)

Тогда Д(Г*ад)<гС|к(а(<5,Л)).

Теорема 2.2.3. Пусть класс операторов Л определен формулой (3), а Т^ = определен формулами (0) и (7) при 0<5<$оиО<к< Но.

Тогда метод {Г,^ : 0 < 6 < 6о,0 < И < /г0} оптимален на классе Мр х А и для него сп/пвеОлива оцеума Д{л[Г{/,] = гС?/,(ст(5, /г)), где а(5, Л) определено уравнением (4).

Пусть .4 - точное значение оператора в уравнении (1) и 8р(А) = [0, ||Л||], а

В = С(Л), (8)

где С (а) 6 С[0,||Л||] П СЯОПИН), Для любого <7 6 (0,||Л||) С (а) > 0, а С?(0) = 0 и С(о)/о монотонно убывает.

Тогда, если для любого Л > 0 Ан € Вг[И], 5р(у4Л) = [0, ||ЛЛ||]

11^ - А\\ < Л, (9)

Л = ФЛ(ЛА), (Ю)

где ФЛ(<7) 6 С[0,||Лл||] ПСЧО.ЦЛлЦ), для любого а 6 (0,||ЛЛ||] Ф^(сг) > 0, а ФЛ(<т)Дг монотонно убывает, то для любых /1 € (0,/?о] и сг 6 [0, ||.4/,||)

СЛ(<г) = С[ФЛ(<т)]. (11)

Кроме того, для любого /1 6 (0,Ло]

В = вк{Ак). (12)

Теорема 2.2.4. Пусть оператор В не зависшп от к и определен формулами (12), С/Дст) формулой (11), а ФЛ(<т) - формулой (10).

Тогда для любого щ 6 -А/* = В5Г имеет место сходимость

иа(6,К) = _ щ при 5 и ¡1

В главе 3 рассмотрен метод проекционной регуляризации приближенного решения линейных операторных уравнений 3. В данной главе рассмотрена задача (1), где и, f € Н, Н - гнльбертортово пространство. В качестве регуляризующего семейства операторов рассмотрим семейство

/■MI 1

Paf= -dE„f, аб(0,||Л||], (13)

Ja ®

где {Ер : 0 < а < ||Л||} - спектральное разложение единицы Е, порожденное оператором А.

Приближенное решение уравнения (1) определяется формулой

< = Pafs■ (14)

В параграфе 3.1 рассмотрен метод проекционной регуляризации с выбором параметра регуляризации а = а(<5) по схеме Лаврентьева, а именно из уравнения г G(a)a = S, которое при 5 < гС(||Л||)||Л|| имеет единственное решение а(<5). Тогда метод проекционной регуляризации оптимален по порядку с константой \/2 н для него справедлива точная оценка погрешности

Д*[Язд] = V5 г G(Q(5)).

В параграфе 3.2 параметр регуляризации а = а(<5) выбран по схеме В.Н. Страхова, то есть из условия

пип[Д2(а) + Д2(а,5)], (15)

где

Ai(a) = siipdK - UqII : u0 6 Мг] = г G(a),

110

A2(a,ö) = sup{||u? - <|| : u0 e Mr, ||Л«0 - fs\\ <£} = -; 0 < а < ||Л||. но,Л Q

Тогда условие (15) будет иметь вид

min

а6(0,|И||]

r2G2(a) + 4

ex

*2.'

В этом параграфе была доказана следующая теорема.

(1С)

Теорема 3.2.1. Если G(o) = ар (р > 0), то метод проекционной регуляризации c. параметром

Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения// М.: Наука, 1978. 208 с.

выбранным из условия (16), является оптимальным по порядку. Прьчем, точная константа имеет вид

К = Kip) =

р+ pr+l

Оценка метода является точной н определяется формулой

Д(а(*М) = г(->) Г^К(р).

Пусть р = 1, тогда Л"(1) = \/2, то есть оценка погрешности метода проекционной регуляризации с выбором параметра по схеме В.Н. Страхова будет иметь вид Д(<5) = \/2^;(г,5). Таким образом, при р = 1 оценка погрешности метода проекционной регуляризации с параметром, выбранным по схеме В.Н. Страхова, совпадает с погрешностью этого метода для параметра регуляризации, выбранного по схеме М.М. Лаврентьева.

Исследование асимптотического поведения константы К(р) как функции от р, показало, что К(р) 6 (1, л/2] и для любого р > 0 К(р) > 1,

К(р) 1 при р -> 0+, К(р) —» 1 при р —» +ос.

Кроме того, на интервале (0,1) функция К(р) строго возрастает, а на полупрямой (1, оо) она строго убывает, а точка р = 1 является точкой максимума, в которой К(р) = л/2.

В параграфе 3.3 приведено обоснование метода проекционной регуляризации 4 с параметром регуляризации, выбранным из принципа невязки, названным в дальнейшем нелинейным методом проекционной регуляризации.

Особенностью этого метода является то, что для получения приближенного решения он использует в качестве исходной информации лишь /j и уровень погрешности 5 > 0, кроме того параметр регуляризации в нем a = a(f$,5) зависит не только от 5, но и от fg.

Для построения метода рассмотрим регуляризуюшее семейство операторов (13). Для выбора параметра регуляризации а = <i(fs,S) в формуле (14) используем уравнение ||Аи° — /¿||2 = 9<52, которое имеет решение при условии, что ||/j|| > 35.

В дальнейшем приближенное решение Us уравнения (1) определим формулой

+ , I "Р" Ш1 > 35,

Щ — Tsfs = < (1/)

[ 0 ; при \\fs\\ < 35,

где Ра определен формулой (13).

4Морозов В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1П06. Т. в. № 1. С. 170-175.

В этом параграфе доказаны следующие утверждения

Лемма 3.3.3. Оператор Т{, определяемый формулой (17), непрерывен на пространстве Н.

Теорема 3.3.2. Метод {Т{ : 0 < 5 < <$0}, определяемый формулой (17) оптимален по порядку па классе Мг и Д^Т^] < С

Глава 4 посвящена получению оценок условной устойчивости для некоторых задач математической физики.

В параграфе 4.1 рассмотрена обратная задача Кошн для уравнения теплопроводности. Выбор параметра регуляризации осуществлялся по схемам М.М. Лаврентьева н В. Н. Страхова. Проведено сравнение этих результатов.

В параграфе 4.3 нелинейным методом проекционной регуляризации решена задачи Кошн для уравнения Лапласа в полосе —оо < х < оо, у € [0,г/о], у0 > 0.

д2и(х,у) д2и(х,у)

дх2 + дуг ~ (18)

при условиях

и(х, 0) = /(х), (19)

и!/(х,0) = 0. (20)

Требуется найти функцию

н(х,у0) = и0(х), (21)

если и0(х) - кусочно-гладкая, а ее производная и'0(х) - четная и имеет конечное число точек разрыва первого рода.

При выполнении известных условий задача (18), (20), (21) имеет единственное классическое решение, определяемое с помощью преобразования Фурье.

Для решения задачи (18)-(20) воспользуемся пространствами (—сю, оо), р > 0, преобразованием Фурье по переменной х

1

-Г[к(1, у)] = -т= / и(х, у)е~гХх<1х = й(\, у), У2ТГ J-00

н методом проекционной регуляризации с параметром регуляризации, выбранным из принципа невязки.

В результате, окончательная оценка будет иметь вид

!К(х) - щ(х)\\ < 12 е3а $гфп1ч±

В параграфе 4.4 рассмотрена задача восстановления фононных спектров по термодинамическим функциям кристалла. Для решения данной задачи был использован

нелинейный метод проекционной регуляризации, поскольку спектральное представление решения позволяет минимально искажать физическую структуру последнего.

Задача восстановления фононных спектров сводится к решению уравнения типа свертки

/ос

А-(г-4)и(?)Л = /(г), (22)

•ОС

где /(г) = е_тС(ет), С(6) - теплоемкость системы, иЦ) = п(ег),п(е) € ¿г[0,оо) -спектральная плотность, а

Зх

к{х) = „

Полагая, что /(г), и{1) из со, оо) П¿1 (—оо. ос), а ||/а(г) — /о(т)||^2 < 5. Кроме того предположим, что щ^) - четная, а и[,(<) имеет лишь конечное число точек разрыва первого рода, отличных от нуля.

Требуется определить приближенное решение и оценить его уклонение от точного в метрике Ь2-

Применяя к уравнению (22) преобразование Фурье Р

F[f(r)} = -¿= Г fHe'^dr = f(p).

V 27Г J~x

получим операторное уравнение

Ай(р) = К(р)й(р) = /(р), (23)

где К(р), й(р), f(p) - Фурье-образы функций k(x). u(t), /(т).

Из теоремы Планшереля следует изометричность преобразования Фурье F в пространстве L2(—оо,оо) ц ||u<s(i) — Wo(i)lli2 < \U~'s(p) — ¿о(р)I]¿2- Приближенное решение уравнения (22) Us(t) = i?e[F_1[uj(p)]]. где F"1 - обратное преобразование Фурье. В качестве регуляризующего семейства операторов рассмотрим

. f Ii~l(p)f(p) ; \р\ < а.

Ра}(р) = \

{ 0 ; |р| > а.

Тогда приближенное решение й°(р) уравнения (23) определим формулой

Й?(Р) = РаШ,

где параметр регуляризации а = a(fg,5) определим из уравнения

\\АйЗ(р)-Мр)\\= 35,

которое разрешимо при условии ||/j[| > 35 . В работе доказано существование числа d > 0, для которого справедлива следующая оценка

\\щ(р) - йо(р)\\ < С Ji Ge(a(*,<г)), (24)

где функция GE{a) определена параметрически

Gs(a) = [1 + М3 (1~£)Г1/2, а = е

,-р

\р\ >Рь

а а(5,е) определено уравнением

7 G£(q)q = 6.

Так как оценка (24) выполняется при любом е е (0,1/2], то выберем значение е(<5), минимизирующее эту оценку

Таким образом, окончательная оценка при достаточно малых значениях 5 будет иметь вид

Вычисления данной задачи производились в системе Maple 10. На следующем рисунке приведены расчеты для одного из тестовых примеров с начальной погрешностью <5 = 5%.

Сплошной линией изображено точное решение, а пунктирной линией изображено полученное приближенное решение.

где

02

08

06

04

Основные результаты диссертационной работы

На завит' выносятся следующие новые научные результаты

1. Исследован на устойчивость метод проекционной регуляризации с параметром, выбранным из принципа невязки, и для него получены точные по порядку оценки погрешности в предположении о принадлежности точного решения некоторому классу корректности.

2. Получены точные оценки погрешности метода проекционной регуляризации, и оценка погрешности приближенного решения обратной задачи физики твердого тела нелинейным методом проекционной регуляризации при условии кусочной гладкости искомого решения.

3. Исследован на оптимальность метод М.М. Лаврентьева для уравнений с приближенно заданным оператором, и получена точная оценка погрешности данного метода.

Публикации по теме диссертации

Статьи, опубликованные в научных журналах из списка ВАК

1. Бредихина Л.Б. Исследование оптимальности метода проекционной регуляризации //' Системы управления и информационные технологии. 2010. № 3(41). С. 70-72.

2. Бредихина А.Б. Нелинейный метод проекционной регуляризации // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. 2011. Вып. 10. A'ä 37(254). С. 4-11.

3. Бредихина А.Б. Об оптимальности метода М.М. Лаврентьева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика. Физика. Механика. 2011. Вып. 5. № 32(249). С. 18-22.

4. Танапа В.П., Бредихина А.Б., Камалтдинова Т.С. Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи в классе кусочно-гладких функций // Труды Института Математики и Механики УрО РАН. 2012. Т. 18. № 1. С. 281-288.

5. Танана В.П., Бредихина А.Б. Об оптимальности одного обобщения метода М.М. Лаврентьева при решении уравнений с ошибкой в операторе// Труды Института Математики и Механики УрО РАН. 2013. Т. 19. №1. С. 258-263.

Другие публикации

6. Бредихина А.Б. О наилучшем выборе параметра в методе проекционной регуляризации // Известия ЧНЦУрО РАН. 2009. Вып. 2(44). URL: http://csc.ac.ru/ej/issue/ru.

7. Бредихина А.Б. О наилучшем выборе параметра в методе проекционной регуляризации/,' Тез.Межд.школы-конф."Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач". Новосибирск. 2009. С. 27.

8. Бредихина А.Б. О наилучшем выборе параметра в методе проекционной регуляризации // Тез. восьмой молодежной научной школы-конф. "Лобачевские чтения-2009". Казань. 2009. Т.39. С. 142.

9. Бредихина А.Б. О точной оценке погрешности метода проекционной регуляризации при наилучшем выборе параметра // Информационный бюллютень № 12 XIV Всероссийской конференции "Математическое программирование и приложения". Екатеринбург. 2011. С. 233.

10. Бредихина А.В., Танана В.П. Метод М.М. Лаврентьева решения уравнений с ошибкой в операторе//Тез.докл.Международ.конф. "Алгоритмический анализ неустойчивых задач посвящ.памяти В.К.Иванова. Екатеринбург. 2011. С.175.

11. Бредихина А.Б., Танана В.П. О решении одной обратной задачи физики твердого тела//Тез.докл.Международ.конф." Обратные и некорректные задачи математической физики", посвящ. 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева. Новосибирск. 2012. С. 127.

Издательский центр Южно-Уральского государственного университета

Подписано в печать 02.04.2013. Формат 60x84 1/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 0,70. Тираж 100 экз. Заказ 72/274.

Отпечатано в типографии Издательского центра ЮУрГУ. 454080, г. Челябинск, пр. им. В.И. Ленина, 76

ФГБОУ ВПО ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (национальный исследовательский университет)

04201365533 На правах рукописи

Бредихина Анна Борисовна

ИССЛЕДОВАНИЕ И ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ НЕКОТОРЫХ МЕТОДОВ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.07 — вычислительная математика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В.П. Танана

ЧЕЛЯБИНСК 2013

Содержание

Введение 3

1 Модуль непрерывности обратного оператора и понятие метода 12

1.1 Модуль непрерывности и его свойства......... 12

1.2 Понятие метода решения условно-

корректной задачи.................... 20

2 Методы Лаврентьева приближенного решения линейных операторных уравнений первого рода 23

2.1 Метод М.М. Лаврентьева с выбором параметра регуляризации по схеме

В.Н. Страхова ...................... 23

2.2 Оптимальный метод Лаврентьева решения уравнений

с приближенно заданными правой частью и оператором 31

3 Методы проекционной регуляризации приближенного решения линейных операторных уравнений 43

3.1 Метод проекционной регуляризации с выбором параметра регуляризации по схеме М.М. Лаврентьева . . 43

3.2 Метод проекционной регуляризации с выбором параметра регуляризации по схеме В. Н. Страхова .... 49

3.3 Метод проекционной регуляризации с выбором параметра регуляризации из принципа невязки...... 54

! ОЛ

4 Приложение численных методов Лаврентьева и проекционной регуляризации к решению некоторых об-

ратных задач математической физики 68

4.1 Решение обратной задачи Коши для уравнения теплопроводности методом проекционной регуляризации с выбором параметра по схемам М. М. Лаврентьева

и В. Н. Страхова..................... 68

4.2 Определение пространства Соболева И7^ с показателем Р > 0......................... 73

4.3 Задача Коши для уравнения Лапласа......... 79

4.4 Решение нелинейным методом проекционной регуляризации одной обратной задачи физики твердого тела 85

Список литературы 100

Введение

Постановка задачи.

Диссертация посвящена изучению методов решения обратных задач, которые как правило являются некорректными. В различных областях науки и техники, целью большейства экспериментов является изучение свойств объектов или процессов либо принципиально недоступных для непосредственного наблюдения, либо связанных с очень большими затратами. В качестве примеров можно привести астрофизические эксперименты по изучению звезд, медицинские эксперименты, направленные на изучение внутренних органов человека, эксперименты по изучению внутреннего строения земли с целью поиска полезных ископаемых и многие другие. Характерной чертой возникающих при этом задач интерпретации результатов эксперимента является то, что исследователь должен сделать заключение о свойствах объекта или процесса по измеренным в результате эксперимента их косвенным проявлениям. Таким образом, речь идет о задачах, в которых требуется определить причины, если известны полученные в результате наблюдений следствия. Задачи такого типа естественно называть обратными. Решение подобных задач, состоящих в обращении причинно-следственных связей, как правило, связано с преодолением существенных трудностей, и успешный результат зависит как от количества и качества экспериментальной информации, так и совершенства методов ее обработки. Первый из указанных факторов представляет собой техническую

проблему, решаемую экспериментатором, в то время как второй -обработка результатов эксперимента - одна из обширных сфер приложения математических методов.

Решение обратных задач проводится в рамках некоторой математической модели исследуемого объекта или процесса и состоит в определении параметров математической модели по имеющейся экспериментальной информации.

Особо следует выделить класс обратных задач для уравнений в частных производных, поскольку эти уравнения наиболее часто употребляются для построения математических моделей самых разнообразных процессов.

Практически все обратные задачи могут быть сведены в общую абстактную формулировку. Обозначим через и неизвестную характеристику математической модели исследуемого объекта или процесса, а через А - оператор, ставящий в соответствие и величину /, которая наблюдается в результате эксперимента. Таким образом, обратная задача состоит в решении операторного уравнения

Аи = /. (0.1)

Важной особенностью обратных задач является то, что исходная информация в этих задачах известна приближенно. Это объясняется тем, что приборы, с помощью которых производятся наблюдения имеют определенный уровень погрешности.

История вопроса.

Впервые строгое определение некорректной задачи было сформулировано в начале двадцатого века французским математиком Жаком Адамаром [140, 139] в связи с анализом различных задач математической физики. Ж. Адамар сформулировал три условия, которым должна удовлетворять каждая задача, имеющая разумную физическую интерпретацию. Они известны как условия кор-

ректности по Адамару и выражают естественные требования к математической задаче, отображающей реальную действительность, которые состоят в том, что решение должно существовать, быть единственным и непрерывно зависеть от исходных данных. Для абстрактного уравнения (0.1) условия Адамара обычно формулируют в следующем виде:

1. Для любого элемента / 6 Е существует элемент и € и такой, что Аи = /, то есть область значений оператора Я(А) = Е, где и, F - метрические пространства (существование);

2. элементом / решение и определяется однозначно, то есть существует обратный оператор А (единственность решения);

3. имеет место непрерывная зависимость и от /, то есть обратный оператор А~1 непрерывен (устойчивость).

Если же при постановке задачи не выполняется хотя бы одно из этих условий, то такие задачи не являются корректно поставленными по Адамару. Такие задачи получили название некорректно поставленных и долгое время математики ими не интересовались, считая их непригодными для практики.

Впервые практическую ценность таких задач заметил А. Н. Тихонов в 1943 году в работе [114]. В этой работе, связанной с обоснованием метода подбора при интерпретации данных геофизических измерений, им была дана постановка условно-корректной (некорректной) задачи. Априори он полагал, что решение уравнения (0.1) существует, оно единствненно и принадлежит некоторому заданному множеству М пространства и (множеству корректности).

Интенсивное развитие теории некорректных задач началось с середины 50-х годов двадцатого столетия и было связано с работами Тихонова А.Н.[115, 116], Лаврентьева М.М.[63]-[67], Иванова В.К.

[48]—[50], [55], в которых были сформулированы основные принципы регуляризации и предложены некоторые методы их решения, исследование которых продолжается и в настоящее время.

Дальнейшее существенное развитие теории некорректных задач получила в работах А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова, а также их учеников и последователей В. Я. Арсенина, А. Л. Агеева, А. Б. Бакушинского, А. Л. Бухгейма, Г. М. Вайникко, Ф. П. Васильева, В. В. Васина, В. А. Винокурова, В. Б. Гласко, А. В. Гончарского, А. Р. Данилина, А. М. Денисова, Е. В. Захарова, В. Е. Дмитриева, С. И. Кабанихина, А. С. Леонова, O.A. Лисковца, И. В. Мельниковой, Л. Д. Менихеса, В. А. Морозова, А. И. Прилепко, В. Г. Романова, В. Н. Страхова, В. П. Тананы, А. М. Федотова, Г. В.Хромовой, А. В. Чечкина, А. Г. Яголы и многих других математиков [1]—[27], [28]—[40], [80], [85]—[89], [91], [93]-[97], [98]-[119], [124], [126]—[131] и [135] .

В работах по некорректным задачам можно выделить ряд направлений:

1. Теория регуляризуемости. Эта теория связана с проблемой существования метода решения той или иной задачи. Решение этой проблемы позволяет отсеять тот класс задач "абсолютно" некорректных, за решение которых бесполезно браться, кроме того, данные исследования позволяют для некоторых "трудных" задач предложить новые, нетрадиционные методы их решения и тем самым еще глубже проникнуть в тайны этого явления, называемого некорректностью. В известной работе В. А. Винокурова [28] было замечено, что далеко не все даже линейные задачи регуляризуемы, то есть решаемы.

2. Конечномерная аппроксимация регуляризуемых алгоритмов. Практическая реализация основных методов решения некор-

ректпых задач, таких как метод регуляризации Тихонова А. Н. [116], метод Лаврентьева М. М. [63], метод квазирешения Иванова В. К. [48] и метод невязки [50] невозможны без использования ЭВМ. Для этого требуется замена исходной (бесконечномерной) задачи некоторой конечномерной. При этом указанная замена не должна испортить сходимость регуляри-зованных решений к точному. Исследованию этого вопроса посвящено большое число работ. Среди этих работ отметим [1]. [20], [21], [22], [51], [87], [89], [104], [108], [109] и многие другие.

3. Построение эффективных методов решения некорректных задач. Основополагающие работы в этом направлении принадлежат Тихонову А. Н. [116], Лаврентьеву М. М. [63] и Иванову В. К. [48, 50]. В них были сформулированы основные принципы регуляризации и предложены некоторые методы, исследование которых продолжаются rio настоящее время. Затем Бакушин-ским А. Б. [8] был предложен один общий прием построения регуляризующих алгоритмов. Начиная с этой работы, в теории некорректных задач появилась некоторая неопределенность, которая заключалась в том, что для решения одной и той же задачи в арсенале имелось много методов для ее решения. Поэтому дальнейшие исследования в теории некорректных задач были связаны с созданием объективных количественных характеристик точности для методов регуляризации и на их основе сравнение методов. Здесь одним из основных являлся вопрос о выборе параметра регуляризации, решение которого Домбровскую И. Н. [43], Иванова В. К. [50] и Морозова В. А. [87] привело к созданию принципа невязки, сыгравшего большую роль в развитии теории некорректных задач. Затем в работах Иванова В. К. и других [51] появились исследования равномерной регуляризации на некоторых классах решений,

которые дали возможность оценить погрешность различных методов регуляризации. Это позволило определить оптимальный метод, как самый точный среди всех . Исследования, связанные с построением оптимального метода и оценки его погрешности в общем случае принадлежит Страхову В. Н. [98] и Ме1ктап А., МюАеШ С. [142]. На этом закончилась неопределенность в теории некорректных задач, и начались исследования, связанные с построением оптимальных и оптимальных по порядку методов, в которых приняли участие очень многие математики.

Настоящая диссертация относится к третьему направлению. Она посвящена разработке, обоснованию и получению оценок точности методов решения линейных некорректно поставленных задач. В ней уточнены оценки погрешности ранее известных методов, а в некоторых случаях получены точные оценки погрешности. Доказана оптимальность метода Лаврентьева при решении уравнений с ошибкой в операторе. Кроме того, обоснован нелинейный метод проекционной регуляризации и для него получены точные по порядку оценки погрешности. Этот метод позволяет более точно учитывать априорную информацию о решении и за счет этого получить более точные оценки погрешности. Например, при условии кусочной гладкости решения этот класс функций вкладывается в специально определенное локально выпуклое пространство и затем используя это пространство, приводятся оценки погрешности.

Все разработанные и исследованные в работе методы использованы при решении ряда обратных задач математической физики.

Поскольку особенностью некорректно поставленных задач является низкая точность полученных приближенных решений и в связи с этим их низкая информативность, то проблема повышения точности методов, а также уточнения оценок их погрешности ак-

туальна.

Краткое содержание и основные результаты

Работа состоит из введения, четырех глав и библиографии, насчитывающей 156 наименований.

Во введении дан краткий экскурс в историю вопроса, определяются задачи и цель исследования. Здесь же обосновывается актуальность темы диссертации.

В главе 1 приводятся основные понятия и определения, связанные с решением условно-корректных задач. В этом разделе дано понятие класса корректности, модуля непрерывности обратного оператора и метода решения условно-корректной задачи, определена количественная характеристика его точности на соответствующем классе. Кроме того, проведено полное исследование модуля непрерывности обратного оператора и предложены методы его оценки.

Универсального метода решения некорректных задач не существует. Выбор метода обусловлен априорной информацией об исходных данных и решении. В диссертации рассмотрены два класса методов решения некорректных задач: методы проекционной регуляризации [104] и методы М.М. Лаврентьева [63].

Фундаментальным для теории некорректных задач является понятие регуляризующего семейства операторов {Да}- Семейство операторов {Яа : а € (0,ао)} С _В[и,Е], где Б[и,Е] - пространство линейных ограниченных операторов, отображающих О в I, будем называть регуляризующим на множестве М С и, если для любого и 6 М КаАи —> и при а —> +0 [49].

Для определения метода в регуляризующем семействе операторов {Яа} параметр регуляризации а = а(6) или а = 5) выбирается по той или иной схеме. Наиболее известными являются: схема М.М. Лаврентьева, схема В.Н. Страхова и принцип невязки.

В настоящей работе па основе этих схем рассмотрен соответствующий класс методов, для которых получены точные и точные по порядку оценки погрешности.

Глава 2 целиком посвящена методу М.М. Лаврентьева. Результаты этой главы позволяют получить точные оценки погрешности в линейных методах проекционной регуляризации, изученных в следующей главе. В первом параграфе данной главы рассмотрен метод М.М. Лаврентьева с выбором параметра регуляризации по схеме В.Н. Страхова.

В работе [98] была доказана оптимальность метода М.М. Лаврентьева [66] при точно заданном операторе и специально выбранном параметре регуляризации, и получены точные оценки погрешности этого метода. Во втором параграфе данной главы этот результат обобщен на уравнения с приближенно заданным оператором [51] и существенно расширены границы применимости метода М.М. Лаврентьева. Обоснованный в работе метод, использован для решения обратной граничной задачи теплопереноса (см. главу 4).

В главе 3 рассмотрен метод проекционной регуляризации с различным выбором параметра регуляризации и получены точные по порядку оценки метода (первый и второй параграфы). Интересным представляется сравнение оценок, полученных в методе М.М. Лаврентьева и в методе проекционной регуляризации.

В третьем параграфе приведено обоснование метода проекционной регуляризации [55] с параметром регуляризации, выбранным из принципа невязки, названным в дальнейшем нелинейным методом проекционной регуляризации. Особенностью этого метода является то, что для получения приближенного решения он использует в качестве исходной информации лишь уровень погрешности 5 > О и кроме того параметр регуляризации в нем а = а(/§,5) зависит не только от 6, но и от

Далее в предположении, что точное решение операторного уравнения принадлежит классу корректности, получена точная по порядку оценка погрешности этого метода и доказана его оптимальность по порядку на этом классе.

Глава 4 посвящена решению задач математической физики. В первом параграфе методом проекционной регуляризации решена задача Коши для уравнения теплопроводности. Выбор параметра регуляризации осуществлялся по схемам М.М. Лаврентьева и В. Н. Страхова, а также сделано сравнение этих схем.

Во втором параграфе рассмотрены пространства Соболева И^ с показателем ¡3 > 0.

В третьем параграфе рассмотрено решение задачи Коши для уравнения Лапласа на плоскости нелинейным методом проекционной регуляризации.

В четвертом параграфе приведено решение задачи восстановления фононных спектров по термодинамическим функциям кристалла [76]. Для решения данной задачи также был использован метод проекционной регуляризации с параметром, выбранным из принципа невязки. Была получена оценка погрешности сверху при условии кусочной гладкости искомого решения.

В настоящее время обратные и некорректные задачи превратились в бурно развивающуюся отрасль науки. Теория обратных и некорректных задач активно применяется во многих областях науки и техники, например: аэрокосмических исследованиях, физике твердого тела, геофизике, медицине, экологии, экономике и др.

Глава 1

Модуль непрерывности обратного оператора и понятие метода

1.1 Модуль непрерывности и его свойства

Пусть 11,1 и V - банаховы пространства, А - инъективный линейный ограниченный оператор, отображающий пространство и вР и имеющий неограниченный обратный, В - линейный ограниченный оп