Рационально эллиптические пространства и двойные частные групп Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСИТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА

На правах рукописи

ПАВЛОВ Александр Викторович

Рационально эллиптические пространства и двойные частные групп Ли

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 2004

Работа выполнена в НИИ математики при Якутском государственном университете.

Научный руководитель:

чл.-корр. РАН, д. ф.-м. н., профессор И. А. Тайманов

Официальные оппоненты:

д. ф.-м. н., профессор Е. Д. Родионов, к. ф.-м. н., доцент Д. В. Миллионщиков

Ведущая организация:

Омский государственный университет

" декабря 2004 года "^Г*

Защита состоится " ° " декабря 2004 года в а засе-

дании диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан

2004 года.

Ученый секретарь диссертационного совета к. ф. -м. н., доцент

С. Романов

гз а о

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Важным классом пространств в рациональной гомотопической теории является класс рационально эллиптических пространств. Рационально эллиптические пространства включают некоторые интересные классы многообразий, например, однородные пространства и двойные частные групп Ли. Имеется известная гипотеза Ботта о том, что все многообразия неотрицательной секционной кривизны рационально эллиптичны. Таким образом, представляет интерес задача нахождения легко вычислимых препятствий к рациональной эллиптичности.

Одной из важных задач римановой геометрии является исследование геометрических и топологических свойств римановых пространств неотрицательной и положительной секционной кривизны. Основным источником примеров таких пространств является класс двойных частных групп Ли. Понятие двойного частного является естественным обобщением понятия однородного пространства. Все известные односвязные многообразия положительной секционной кривизны являются двойными частными. Целями работы являются:

1. Получение верхних оценок на числа Бетти рационально эллиптических пространств.

2. Построение классификации односвязных пятимерных двойных частных групп Ли.

Основные результаты.

1. Указаны точные верхние оценки на числа Бетти рационально эллиптических пространств. Как приложение, дан список всех возможных наборов чисел Бетти гладких односвязных рационально эллиптических многообразий в размерностях 4, 5 и 6.

2. Дана классификация односвязных пятимерных двойных частных групп Ли с точностью до диффеоморфизма. Показано, что из четырех возможных случаев только один не может быть представлен в виде однородного пространства.

мс национальна;

МЫЙОТЕКА 4

¡гз&ц

Методы исследований. Доказательства основываются на использовании методов рациональной теории гомотопий (в частности, теории минимальной модели) и методов теории групп и алгебр Ли, а также на использовании классификационных результатов об односвязных пятимерных многообразиях.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Все результаты являются новыми. Они носят теоретический характер и могут быть использованы в дальнейшем для изучения топологии рационально эллиптических пространств и двойных частных групп Ли.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:

- на семинаре «Геометрия, топология и их приложения» Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством чл.-корр. РАН И. А. Тайманова,

- на семинаре отдела анализа и геометрии ИМ СО РАН под руководством академика Ю. Г. Решетняка,

- на IV международной конференции по математическому моделированию, проходившей летом 2004 г в г. Якутске,

- на Международной конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю.Г. Решетняка, проходившей осенью 2004 г. в Новосибирске.

Публикации. Результаты диссертации изложены в работах [18-20].

Структура диссертации. Диссертация изложена на 52 страницах и состоит из введения и двух глав, каждая из которых разбита на пункты. Библиография содержит 36 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описываются основные результаты диссертации и дается краткий обзор по теме диссертации.

В первой главе работы даются верхние оценки на числа Бетти рационально эллиптических многообразий. Пространство X называется рационально эллиптическим, если полные размерно-

сти его рациональных гомотопий и когомологий конечны [8]:

dim7r*(X) ® Q < оо, dimfZ"*(X;Q) < 00. Если имеет место экспо-

п

ненциальный по п рост величин dim7Tfc(X) ® Q, то пространно

ство Xназывается рационально гиперболическим. Гальперин, Фе-лис и Тома доказали [7], что всякий конечный односвязный CW-комплекс является либо рационально эллиптическим, либо рационально гиперболическим.

Класс рационально эллиптических многообразий удовлетворяет весьма строгим ограничениям на топологию, но все же достаточно богат. Так, всякое односвязное однородное пространство G/H компактной группы Ли G рационально эллиптично. Патер-найн доказал, что односвязное риманово многообразие с вполне интернируемым геодезическим потоком, имеющим периодические интегралы, рационально эллиптично.

Основным результатом Главы 1 предлагаемой диссертации является

Теорема 1. Пусть X — рационально эллиптическое пространство когомологической размерности п и (2bj — 1,.. 2bq — 1) и (2ai,... ,2ar) — последовательности соответственно четных и нечетных размерностей образующих базиса, порождающего его минимальную модель. Тогда справедливы следующие неравенства:

Оценки (1) и (2) точны.

Как применение полученных оценок, в Главе 1 доказывается следующее

Предложение. Все возможные наборы чисел Бетти одно-связных гладких замкнутых ориентируемых рационально эллиптических многообразий М размерностей d — 4, 5, 6 содержатся в таблице 1. В размерностях 4 и 5, а также в четырех случаях в размерности 6 существует единственный рациональный гомотопический тип пространства с такими числами Бетти.

Во второй главе работы полученные результаты о рационально эллиптических многообразиях применяются для классификации с точностью до диффеоморфизма односвязных пятимерных двойных частных групп Ли.

Пусть С — компактная группа Ли, Н замкнутая подгруппа группы С? X С. Определим двустороннее действие группы Н на G:

Я Э (/11 ,Н2): Ьдк^1.

Если это действие свободно, то пространство орбит, которое обозначается является гладким многообразием и называется двойным частным. Двойные частные являются естественным обобщением однородных пространств (которые отвечают случаю Я С 1 х С).

Двусторонне инвариантная метрика на G каноническим образом определяет риманову метрику неотрицательной секционной кривизны на G//H. Все многообразия положительной кривизны в классе однородных пространств перечислены Уоллахом [17] и Берар-Бержери [3]. Все известные к настоящему времени неоднородные примеры многообразий положительной секционной кривизны являются двойными частными

Если М = С//Я — двойное частное группы Ли G, то естественная проекция является локально тривиальным расслоением со слоем Н, поэтому односвязные двойные частные являются рационально эллиптическими пространствами.

В размерности 4 всякое односвязное рационально эллиптичное многообразие гомеоморфно одному из пяти многообразий 54, СР2, 52х52, СР2#СР2, СР2#СР2 ([14]). Первые три из них явля-

Таблица 1. Односвязные рационально эллиптические _многообразия размерностей 4, 5, б_

№ Числа Бетти Минимальная модель О-гомот. тип

1. (1,0,0,0,1) К(х,у), |ж[ = 4, |у| = 7, 6у = х2

2. (1,0,1,0,1) Л(ж,у), |ж| = 2, \у\ = 5, ¿у = ж3 С Р2

3. (1,0,2,0,1) Л(Ж1,12,2/1,У2), Ы = 2,|уг| =3. <1х{ = 0, йу\ = Ж1Х2, ¿1/2 — — СР2#СР2

4. (1,0,2,0,1) Л(жх, ж2,У1, у2), М = 2, = 3. ёХ1 = 0, ¿Уг — X2 в2 х 52

1. (1,0,0,0,0,1) Л(ж), |ж| = 5, йх = 0. 55

2. (1,0,1,1,0,1) Мх,уиу2), |ж| = 2,|у;| = 3, <1х = 0,с2ух = 0,^2 = ж2.

1. (1,0,0,2,0,0,1) МУЫ/а). ы =3, = 0. х53

2. (1,0,1,0,1,0,1) Л(®,у), |®| = 2, |у| = Мх = 0,^у = х4. СР3

3. (1,0,0,0,0,0,1) Л(х,у), |ж| = 6, |у| = 11, йу = х1. 5е

4. (1,0,1,0,1,0,1) Л(х1,12,У1,Ы, N =2, N1 = 4, Ы = 3, |у2| = 7. (¡Хг ' 0, % = Ж?. х 54

5. (1,0,2,0,2,0,1) Л(Ж1,Х2,У1,У2), = 2, |У1) = 3, |у2| = 5. йх{ = 0, с/ух = ^(¡Еа.жг), ¿Уг = С?(ж1,ж2), где .Р — квадратичная, С? — кубическая формы. Пример: 52 х СР2 (при <1ух = ж?, йу2 - х%)

6. (1,0,3,0,3,0,1) Л(ж1,х2,жз,у1,у2,уз), Ы = 2,|к| = 3. с*жг = 0, dyi = Рг(х1,х2,х3), где ^ — квадратичные формы. Примеры: Б2 х в2 х Э2 (при % = йх^ ) и СР3#СР3 (при Лух = ж? - х\, йуз = -йу2 = Х1Ж3)

ются однородными пространствами. Чигер [4] представил многообразие СРП#СР" в виде двойного частного. Тотаро [15] показал, что и является двойным частным. В размерности 6 им

же было построено бесконечное семейство попарно гомотопически не эквивалентных двойных частных

Основным результатом Главы 2 является

Теорема 2. Существует четыре типа диффеоморфизма од-носвязных пятимерных двойных частных групп Ли:

Многообразия Х-х и Х^ получаются при различных склейках двух экземпляров нетривиального трехмерного расслоения над £2 по общей границе СР2#СР2. Многообразие Ву характеризуется условием Н2(Х) = о, Хоо — условиями Н*(М) = Я*(52 х Б3) и и>2(М) ф 0. В этом списке только Х^ не является однородным пространством.

Структура Главы 1 следующая. В п. 1.1 дается краткий обзор результатов теории минимальной модели. В п. 1.2 сформулированы основные результаты о рационально эллиптических пространствах. В п. 1.3 доказывается теорема 1 об оценках чисел Бетти рационально эллиптических пространств. В п. 1.4 доказывается предложение, перечисляющее все возможные наборы чисел Бетти замкнутых односвязных рационально эллиптических многообразий размерностей 4, 5 и 6, причем в размерностях 4 и 5 результат доводится до полной классификации рациональных гомотопических типов.

Опишем структуру Главы 2. В п. 2.1 даются основные опредле-ния. В п. 2.1 приводятся необходимые результаты о двойных частных. В п. 2.2 разбирается случай односвязных пятимерных двойных частных, рационально-гомотопически эквивалентных 55, а в п. 2.3 -Б2 х 53.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Вазайкин Я. В. Об одном семействе 13-мерных замкнутых римановых многообразий положительной кривизны // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, №6. С. 1219-1237.

[2] Barden D. Simply connected five-manifolds // Ann. Math. 1965. Vol. 82. P. 365-385.

[3] Berard Bergery L. Varietes Riemanniennes homogenes simplement connexes de dimension impair a courbure strictement positive // J. Math. Pur. Appl. 1976. Vol. 55. P. 47-68.

[4] Cheeger J. Some examples of manifolds of nonnegative curvature // J. Dif. Geom. 1973. Vol. 8, No. 3. P. 623-628.

[5] Eschenburg J.-H. New examples of manifolds with strictly positive curvature // Invent. Math. 1982. Vol. 66. P. 469-480.

[6] Eschenburg J. -H. Inhomogeneous spaces of positive curvature // Differential Geom. Appl. 1992. Vol. 2, No. 2. P. 123-132.

[7] Felix Y., Halperin S., Thomas J.-G. The homotopy Lie algebra for finite complexes // Publ. de 1'IHES. 1977. Vol. 47. P. 269331.

[8] Felix Y., Halperin S., Thomas J.-G. Rational homotopy theory. New' York: Springer, 2001.

[9] Friedlander J.B., Halperin S. An arithmetic characterization of the rational homotopy groups of certain spaces // Invent. Math. 1979. Vol. 53. P. 117-133.

[10] Gromoll D., Meyer W. An exotic sphere with nonnegative sectional curvature // Ann. Math. 1974. Vol. 100. P. 401-406.

[11] Halperin S. Finiteness in the minimal models of Sullivan // Trans. AMS. 1979. Vol. 230. P. 173-199.

[12] Kapovitch V., Ziller W. Biquotients with singly generated rational cohomology // Geora. Dedicata. 2004. Vol. 104. P. 149160.

[13] Paternain G. P. On the topology of manifolds with completely integrable geodesic flows // Ergod. Theory Dynam. Syst. 1992. Vol.12. P. 109-121.

[14] Paternain G. P., Petean J. Minimal entropy and collapsing with curvature bounded from below // Invent. Math. 2003. Vol. 151. P. 415-450.

[15] Totaro B. Cheeger manifolds and the classification of biquotients // J. Differential Geom. 2002. Vol. 61. P. 397-451.

[16] Totaro B. Curvature, diameter, and quotient manifolds // Math. Res. Lett. 2003. Vol. 10, No. 2-3. P. 191-203.

[17] Wallach N. Compact homogeneous Riemannian manifolds with strictly positive curvature // Ann. Math. 1972. Vol. 96. P. 277295.

Работы автора по теме диссертации

[18] Павлов А. В. Оценки чисел Бетти рационально эллиптических пространств. Сиб. мат. журн., 2002, Т. 43. №6. С. 13321338.

[19] Павлов А. В. О классификации пятимерных двойных частных групп Ли // IV Международная конференция по математическому моделированию. Тезисы докладов. Якутск, 2004. С. 128-129.

[20] Павлов А. В. Пятимерные двойные частные групп Ли. Новосибирск, 2004. 8 с. (Препринт / РАН. Сиб. отделение. Ин-т математики; №141).*)

*)В печати: Сиб. матем. журн. 2004. Т. 45, № 6.

Павлов Александр Викторович

Рационально эллиптические пространства и двойные частные групп Ли

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 04.11.2004. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 0,7 Уч.-изд. л. 0,7 Печать офсетная. Тираж 70 экз. Заказ №80.

Отпечатано в ООО «Омега Принт» 630090, Новосибирск, пр. Лаврентьева, 6

»234 12

РНБ Русский фонд

2005-4 23120

Введение

1 Оценки чисел Бетти рационально эллиптических пространств

1.1 Минимальные модели. т 1.2 Рационально эллиптические пространства.

1.3 Оценки чисел Бетти.

1.4 Рационально эллиптические многообразия малых размерностей.

2 Пятимерные двойные частные групп Ли

2.1 Основные определения.

2.2 Необходимые классификационные результаты.

2.3 Случай 55.

2.4 Случай 52 х

В диссертации рассматриваются верхние оценки на числа Бетти рационально эллиптических пространств и при их помощи дается классификация пятимерных двойных частных групп Ли.

Рациональная гомотопическая теория возникла в 1960-х гг., когда Сулливан [7] построил для алгебраической операции локализации модулей в применении к гомотопическим и гомологическим группам топологическую реализацию. Оказалось, что для каждого односвязно-го (более общо, нилыютентного) пространства X существует определенное однозначно с точностью до гомотопической эквивалентности пространство Xq, называемое его локализацией, такое, что 7r#(Xq) = тт{Х) ® Q, H*(Xq) = H*(X;Q). Пространства X и У называются ра-ционально-гомотопически эквивалентными, если их локализации Xq и Yq гомотопически эквивалентны. Аналогичным образом всякому непрерывному отображению / топологических пространств соответствует отображение fq локализаций этих пространств, и два отображения fug называются рационально гомотопными, если гомотопны fq и gq. Рациональная гомотопическая теория есть, таким образом, изучение тех свойств топологических пространств и их отображений, которые зависят только от класса рационально-гомотопической эквивалентности пространства и рационально-гомотопического класса отображения.

Рациональная теория гомотопий жертвует информацией о кручении в пользу вычислимости. Так, например, гомотопические группы сфер Кк{Зп) полностью не известны, но известно, что они нетривиальны для бесконечно многих к, в то время как рациональные гомотопические группы 7Гк(Зп)<8>01 известны и тривиальны во всех размерностях, кроме размерности п и, в случае четного п, размерности 2п — 1.

Квиллен [28] показал, что теория рационального гомотопического типа может быть полностью алгебраизована. Он предложил вариант такой алгебраизации, построив функтор из категории рационально-гомотопических типов пространств в категорию дифференциальных градуированных алгебр Ли, и доказав, что этот функтор устанавливает эквивалентность категорий.

Другим, более известным, вариантом алгебраизации является теория минимальной модели Сулливана ([17], [30], [3], [24], [22]). Пространство X называется нильпотентным, если фундаментальная группа 7Г1(Х) нильпотентна, и ее естественное действие на старших гомотопических группах ттп(Х) нильпотентно. Каждому нильпотентному С\¥-комплексу X с гомологиями конечного типа в теории Сулливана соответствует свободно порожденная дифференциальная градуированная алгебра Л4х над 0> специального вида, которая называется минимальной моделью X. Минимальная модель определяется по пространству однозначно с точностью до изоморфизма. Когомологии алгебры М.х совпадают с сингулярными когомологиями пространства X с рациональными коэффициентами, а образующие в односвязном случае двойственны образующим в пространстве 7г*(Х) ® <0>. Условие минимальности эквивалентно существованию последовательности так называемых элементарных расширений алгебр

О = М{о) С М{ 1) С ., = Мх. г>0

Эта последовательность в точности двойственна рациональной башне Постникова пространства. Таким образом, минимальная модель М-х содержит в себе всю рационально-гомотопическую информацию о пространстве X, в частности, два пространства имеют изоморфные минимальные модели тогда и только тогда, когда они рационалыю-гомото-пически эквивалентны. Имеется обратный функтор реализации, который ставит в соответствие каждой минимальной алгебре с гомо-логиями конечного типа СШ-комплекс, имеющий ее своей минимальной моделью. Поэтому функтор минимальной модели Сулливана определяет эквивалентность категории рациональных гомотопических типов нильпотентных С\¥-комплексов конечного типа и категории минимальных алгебр над <0> с когомологиями конечного типа. При этом гомотопическим классам непрерывных отображений соответствуют д.г.-гомотопические классы гомоморфизмов минимальных алгебр.

Важным специальным классом пространств в рациональной гомотопической теории является класс рационально эллиптических пространств. Понятие рационально эллиптического пространства появилось в конце 1970-х гг. в работах Сулливана [30] и Гальперина [21]. Пространство X называется рационально эллиптическим, если полные размерности его рациональных гомотопий и когомологий конечны: (Нт7г*(Х) ® 0> < оо, д.1тН*(Х]0>) < оо. Это условие влечет полиномиальный по п рост величин

71 п = к=О

Если имеет место экспоненциальный рост величин тг к=О то пространство X называется рационально гиперболическим. Гальперин, Фелис и Тома доказали [16], что всякий конечный односвязный С\У-комплекс является либо рационально эллиптическим, либо рационально гиперболическим.

Условие рациональной эллиптичности накладывает сильные ограничения на топологию пространства. Случай рациональной гиперболичности «более общий»: к примеру, связная сумма достаточно большого числа экземпляров любого замкнутого односвязного многообразия, не являющегося рационально-гомологической сферой, рационально гиперболична. Тем не менее класс рационально эллиптических пространств достаточно богат. Так, всякое односвязное однородное пространство С/Я компактной группы Ли С? рационально эллиптично. Патернайн доказал ([26]), что односвязное риманово многообразие со вполне интернируемым геодезическим потоком, имеющим периодические интегралы, рационально эллиптично. Широко известна приписываемая Ботту гипотеза о том, что все компактные односвязные многообразия неотрицательной секционной кривизны рационально эллиптичны.

Гальперин и Фридландер установили [19], что рациональная эллиптичность пространства эквивалентна некоторому чисто арифметическому условию на степени образующих его минимальной модели. При этом ими была получена следующая оценка на суммарную размерность когомологий рационально эллиптического пространства X когомологической размерности п: п ¿=0

Одним из основных результатов предлагаемой диссертации является получение новых оценок на каждое из чисел Бетти рационально эллиптических пространств. А именно, в первой главе работы доказана следующая

Теорема 1. Пусть X — рационально эллиптическое пространство когомологической размерности п и (2— 1,.,2Ъя — 1) и (2о1,., 2аг) — последовательности соответственно четных и нечетних степеней образующих базиса, порождающего его минимальную модель. Тогда справедливы следующие неравенства:

11тГ(1; (1) к+21=тп ^ / \ / гдер = ^ Ьу - Е «г - (д - г).

Следствие. .^суш в условиях теоремы 1 пространство X односвязно, то при 771 0, 71.

Оценки (1) и (2) точны.

Гипотеза о том, что для многообразий с интегрируемым геодезическим потоком верна оценка (1) вне связи с рациональной эллиптичностью, была выдвинута Таймановым в [8] (см. также [2]).

Как применение полученных оценок, в предложении 2 дается список всех возможных наборов чисел Бетти односвязных рационально эллиптических многообразий в размерностях 4, 5 и 6. В размерностях 4 и 5 дается полная классификация рационально-гомотопических типов.

Структура Главы 1 следующая. В п. 1.1 дается краткий обзор результатов теории минимальной модели. В п. 1.2 сформулированы основные результаты о рационально эллиптических пространствах. В п. 1.3 доказывается теорема 1 об оценках чисел Бетти рационально эллиптических пространств. В п. 1.4 доказывается предложение 2, где перечисляются все возможные наборы чисел Бетти замкнутых одно-связных рационально эллиптических многообразий размерностей 4, 5 и-б, причем в размерностях 4 и 5 результат доводится до полной классификации рациональных гомотопических типов.

В Главе 2 полученные оценки применяются для классификации с точностью до диффеоморфизма односвязных пятимерных двойных частных групп Ли.

Пусть С — компактная группа Ли, Н — замкнутая подгруппа группы С х С. Определим двустороннее действие группы Н на С?:

Н Э (Ль Л2) : д И

Это действие имеет неподвижные точки тогда и только тогда, когда найдется элемент (/¿ьЛг) ф (1,1) £ Н, такой, что = дЪъд'1 для некоторого д £ С.

Если двустороннее действие свободно, то пространство орбит, которое обозначается является гладким многообразием и называется двойным частным. Двойные частные являются естественным обобщением однородных пространств (которые отвечают случаю Н С 1 х С).

Двусторонне инвариантная метрика на О каноническим образом определяет риманову метрику на £?//#. Относительно этой метрики отображение проекции 7г : О —> М = 0//Н является римановой суб-мерсией, то есть в каждой точке х £ С? дифференциал влтх является сюръекцией, а его ограничение на горизонтальное касательное подпространство Нх = (кег (¿тгя)-1- — изометрией на касательное пространство Тъ(х)М в образе точки х. Известно [25], что при римановой субмерсии верно соотношение

К (а) > К (а*), где а* С Нх — горизонтальная двумерная площадка, а = ¿ттх{а*). Поэтому на всяком двойном частном существует метрика неотрицательной кривизны.

Все однородные многообразия положительной кривизны перечислены Уоллахом ([33], четномерный случай) и Берар-Бержери([11], нечетномерный случай). Все известные к настоящему времени односвязные неоднородные примеры многообразий положительной секционной кривизны являются двойными частными ([1], [14], [15]).

Впервые двойные частные появились в работе Громола и Мейе-ра [20], где построена метрика неотрицательной секционной кривизны на одной экзотической 7-мерной сфере Милнора. Недавно было показано ([31], [23]), что это единственная экзотическая сфера, получающаяся в виде двойного частного.

Если М = — двойное частное группы Ли (7, то естественная проекция (т —> М является локально тривиальным расслоением со слоем Н, поэтому односвязные двойные частные являются рационально эллиптическими пространствами.

В размерности 4 всякое односвязное рационально эллиптичное многообразие гомеоморфно одному из пяти многообразий 54, СР2, 52 х СР2#СР2, СР2#СР2 ([27]). Первые три из них являются однородными пространствами. Чигер [13] доказал, что связные суммы двух симметрических пространств ранга 1 несут метрики неотрицательной кривизны. В частности, он фактически представил СРП#СРП в виде двойного частного. Тотаро показал в работе [31], что и СРп#СРп может быть представлено как двойное чатсное. В размерности 6 им же было построено бесконечное семейство попарно гомотопически не эквивалентных двойных частных ([32]).

Основным результатом Главы 2 является

Теорема 2. Существует четыре типа диффеоморфизма односвяз-ных пятимерных двойных частных групп Ли:

1) сфера в5;

2) произведение сфер 52 х 53;

3) многообразие Ву Х-Х = 3и(3)/80(3);

4) многообразие Хоо.

Многообразия Х-\ и Х^ получаются при различных склейках двух экземпляров нетривиального трехмерного расслоения над 52 по общей границе СР2#СР2. Многообразие Ву характеризуется условием #2(Х-1) = Ъг, а Хоо — условиями #*(.Xоо) — #*(52 х 53) и и>2(Хоо) ф 0. В этом списке только Xне является однородным пространством.

Опишем структуру Главы 2. В п. 2.1 даются основные опредле-ния. В п. 2.1 приводятся необходимые результаты о двойных частных. В п. 2.2 разбирается случай односвязных пятимерных двойных частных, рационалыю-гомотопически эквивалентных 55, а в п. 2.3 -52 х 53.

Автор благодарит научного руководителя И. А. Тайманова за постановку задачи и полезные советы и Я. В. Базайкина за полезные обсуждения.

1. Базайкин Я. В. Об одном семействе 13-мерных замкнутых ри-мановых многообразий полоэюителъной кривизны // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37. № 6. С. 1219-1237.

2. Болсинов A.B., Тайманов И.А. Интегрируемые геодезические потоки на надстройках автоморфизмов торов // Труды Математического института РАН. 2000. Т. 231. С. 46-63.

3. Гриффите Ф.А., Морган Дж. В. Рациональная теория гомото-пий и дифференциальные формы. М.: Наука, 1990.

4. Мандельбаум Р. Четырехмерная топология. М.: Мир, 1981.

5. Милнор Дж., Хыозмоллер Д. Симметрические билинейные формы. М.: Наука, 1986.

6. Онищик A.JI. Отношения включения между транзитивными компактными группами преобразований. ] Труды Моск. Ма-тем. Общ-ва. 1962. Т. 11, С. 199-242.

7. Сулливан Д. Геометрическая топология. М.: Мир, 1975

8. Тайманов И. А. Топология римановых многообразий с интегрируемыми геодезическими потоками // Труды Математического института РАН. 1994. Т. 205. С. 150-163.

9. Alekseevsky D., Dotti Miatello I., Ferraris С. Homogeneous Ricci positive 5-manifolds // Pacific. J. Math. 1996. Vol. 175. No. 1. P. 1-12.

10. Barden D. Simply connected five-manifolds // Ann. Math. 1965 Vol. 82. P. 365-385.

11. Berard Bergery L. Les variétés Riemanniennes homogènes simplement connexes de dimension impair à courbure strictement positive // J. Pure Math. Appl. 1976. Vol. 55. P. 47-68.12