Возмущенная задача двух тел в эллиптических функциях тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

о од

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На иравах рукописи

Брумберг Евгений Викторович

УДК 523.24:521.1/Л

ВОЗМУЩЕННАЯ ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ В ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ

Специальность 01.03.01 - астрометрия и небесная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-матемагических наук

Санкт-Петербург 1994

Работа выполнена п Институте прикладной астрономии Российской Академии паук

Научный руководитель:

доктор физико-математических паук В.С.Губапов Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук В.К.Абалакин кандидат физико-математических паук В.Б.Титов

Ведущая организация: Институт теоретической астрономии Российской Академии наук

Защита состоится 1994 г. в _/<Г"часов £Ц) минут

на заседании Специализированного совета Д.063.57.39 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9, геологический факультет, аудитория 88.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан " " 1994 г.

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат физико-математических наук И.В.Петровская

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Движение небесных тел по орбитам с большим эксцентриситетом всегда было предметом особого внимания в небеспой механике. Актуальность этой задачи в паше время еще более возросла, так как к "классическим" небесным телам— кометам и астероидам с большим орбитальным эксцентриситетом— добавились межпланетные аппараты и искусственные спутники Земли на высокоэьсцептричных орбитах. В последние годы эта категория объектов расширилась за счет ряда двойных пульсаров, эксцентриситет которых может достигать 0.97 (Manchester, 1992). И численное, и аналитическое исследование орбит с большим эксцентриситетом сопряжено с определенными трудностями. При численных вычислениях приходится вести интегрирование в области перицентра с очень малым шагом, чтобы компенсировать быстрое изменение функций в этой области. Это увеличивает общее число шагов численного интегрирования, отрицательно сказывается на точности вычислений. При аналитических исследованиях нельзя пользоваться хорошо разработанными методами небесно-механической теории возмущений, основанными на разложениях по степеням эксцентриситета. Простое увеличение числа членов разложений ведет к громоздким рядам, которыми затруднительно пользоваться на практике (не говоря уже о теоретических проблемах, связанных со сходимостью таких разложений). В наше время большой прогресс в численном интегрировании орбит с большим эксцентриситетом достигнут за счет введения вместо физического времени нового независимого аргумента, обеспечивающего более равномерное изменение шага интегрирования, успехи в аналитическом решении проблемы больших эксцентриситетов оказываются более скромными.

Цель работы заключалась в исследовании возможности применения теории эллиптических функций для решения проблемы больших эксцентриситетов как в случае численного интегрирования уравнений движения, так и при аналитических исследованиях. Следует заметить, что рассматривалась только главная проблема, связанная именно с большими значениями эксцентриситета, и не

обсуждалась проблема орбит, пересекающихся в проекции. Этот вопрос не представляет затруднений, если объединить методику решения задачи больших эксцентриситетов, изложенную d настоящей работе, с новыми методами разложения пертурбационной функции, пригодными для орбит, пересекающихся в проекции (Petrovskaya, 1970; Yuasa and Hon, 1979, 1984).

Научная новизна заключается в следующем. Уравнения возмущенного движения записаны для численного интегрирования с длиной дуги в качестве независимого аргумента; решение задачи двух тел представлено в терминах эллиптических функций Якоби для эллиптического и гиперболического типов движения; выведены аналитические формулы для коэффициентов рядов Фурье по кратным эксцентрической д, истинной v и эллиптической w (введенной в настоящей работе) аномалий; получены рекуррентные формулы и интегральные представления для вычисления коэффициентов рядов Фурье по кратпым эллиптической аномалии w; проведено сравнение классических рядов с новыми разложениями по кратным эллиптической аномалии с коэффициентами, являющимися рациональными функциями параметра Якоби q, доказывающее эффективность и оправданность предлагаемой методики в случае больших эксцентриситетов; пайдено аналитическое решение обобщенного уравнения Кеплера; связывающего эллиптическую аномалию с физическим временем; уравнения-возмущенного движения в оскулирую-щих элементах преобразованы с заменой эксцентриситета е на параметр Якоби д и средней аномалии М на эллиптическую аномалию w, получены разложения спутниковой пертурбационной функции, обусловленной притяжением третьего тела (Луны или Солнца) и несферичностью Земли; модифицирована методика Ганзена аналитического интегрирования в случае двух различных независимых переменных.

Научная и практическая ценность работы состоит в возможности построения аналитического решения возмущенной задачи двух тел в виде быстро сходящихся тригонометрических рядов, коэффициенты которых являются рациональными функциями от пара. метра Якоби q. Такое решение может быть получено для орбит

с произвольным эксцентриситетом и использовало для представления движения искусственных спутников Земли, комет, астероидов и двойных пульсаров. Кроме того, изложенный метод может быть применен во многих задачах нелинейной мехапики и физики, решение которых (в первом приближении) записывается в конечном виде с помощью эллиптических функций. Использование длипы дуги как независимого аргумента и введение эллиптической аномалии в качестве быстро меняющейся переменной повышает эффективность численного интегрирования уравнений движения.

Апробация работы. Основные результаты, полученные d диссертации, докладывались на

- Симпозиуме CYAA (Chinese Young Astronomers Association) No. 3, Пекин, 1990 г.;

- Симпозиуме по небесной механике No. 25, Токио, 1992 г.;

- Конференции "Динамика и астрометрия естественных и искусственных небесных тел", Познань, 1993 г. (доклад по приглашению Оргкомитета);

а также на научных семинарах

- Бюро-Долгот, Париж, 1991 г.;

- IERS (International Earth Rotation Service), Париж, 1991 г.;

- Национальной астрономической обсерватории, Токио, 1993 г.;

- Кафедры небесной механики Санкт-Петербургского государственного университета, 1993 г.;

- Института Теоретической Астрономии РАН, 1993 г.;

- Института Прикладной Астрономии РАН, 1993 г.

Диссертацул была представлена на Ученом совете Института прикладной астрономии РАН в октябре 1993 года.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и двух приложений. Она изложена на 131 странице, включает пять графиков. Список литературы содержит 44 наименования, объем приложений 10 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обсуждается постановка задачи, дастся обзор современного состояния проблемы и кратко излагается содержание диссертации по главам.

Глава 1. Длина дуги как независимая переменная при численном интегрировании.

В этой главе рассматривается решение проблемы больших эксцентриситетов при численном интегрировании уравнений движения. Основной сложностью, вызванной большим эксцентриситетом, является быстрое изменение функций в области перицентра, требующее вести интегрирование с очень малым шагом. В последние годы для преодоления этой трудности были разработаны методы так называемого аналитического регулирования шага, увеличивав ющие точность решения. Основная идея таких методов заключается в замене физического времени t на новую незаьисимую переменную т (фиктивное время) с помощью дифференциального соотношения dt = Q (It , где Q является некоторой фупкцией координат и скорости движущейся частицы. Эта функция выбирается таким образом, чтобы равномерному изменению нового аргумента т соответствовало более равномерное распределение точек на орбите. Наиболее общую функцию Q = г3^2(ац -fair)-1'2, где «о 11 ai являются константами или функциями элементов орбиты, предложил использовать Феррандиз (Ferrancliz et al., 1987), введя тем самым целый класс новых аномалий, названных обобщенными эллиптическими аномалиями. Классические аномалии—средняя, истинная и эксцентрическая—входят в этот класс как частные случаи при соответствующем выборе ао и aj. Определенным неудобством в использовании обобщенной эллиптической аномалии является то, что а0 и «1 должны подбираться для каждой орбиты и нельзя указать общего способа их нахождения.

Между тем, той же цели можно добиться значительно проще, выбрав в качестве независимой переменной т длину дуги орбиты рассматриваемой движущейся частицы. Этот выбор кажется наиболее естественным—действительно, так как главной целью является получение равномерного распределения точек на орбите, то,

выбирая длину дуги в качестве аргумента, мы, очевидно, получаем требуемое, исходя из самой постановки задачи. Введенная независимая переменная принадлежит классу обобщенных эллиптических аномалий Феррандиза, но при таком подходе отпадает необходимость в подборе параметров ао и а\ для каждой конкретной орбиты, так как можно указать точные формулы для их нахождения. В работе получены соответствующие уравнения для кемеровского и возмущенного движения и приведены результаты численного моделирования, которое проводилось для спутника НГОЭ I (е « 0.94). Результаты моделирования показали, что использование длины дуги вместо физического времени при одинаковых параметрах интегратора повышает точность определения координат и скоростей на два порядка, а для получения одинаковой точности вариапт с физическим времепем требует существенно большего количества вычислений. Это доказывает эффективность использования длины дуги в качестве независимой переменной при численном интегрировании орбит с большим эксцентриситетом.

Глава 2. Решение задачи двух тел в эллиптических функциях.

В этой и в последующих главах обсуждаются вопросы, связанные с аналитическим решением задачи двух тел.

Первый параграф посвящен решению эллиптической задачи двух тел. В первой главе было показано, что в эллиптическом движении длипа дуги орбиты очень просто может быть выражена через неполный и полный эллиптические интегралы второго рода с амплитудой, равной эксцентрической аномалии д, увеличенной на тг/2, и модулем, равным эксцентриситету орбиты е. Вместе с тем, одним из- преимуществ применения эллиптических функций Якоби является то, что для них детально разработана теория преобразований, позволяющая выбрать модуль и аргумент эллиптических функций наиболее соответствующими рассматриваемой задаче. Это приводит к мысли о том, что эллиптические функции могут быть применены к эллиптической задаче двух тел так же естественно, открывая тем самым повые возможности ее решения.

Именно, полагая модуль к равным эксцентриситету орбиты, а амплитуду (^—эксцентрической аномалии, увеличенной на тг/2, "связыпая" тем самым эллиптические функции Якоби с задачей

двух тел, и вводя в качестве новой аномалии и аргумепт эллиптических функций Якоби и = к) (или, иначе, (р = ат(г£, к)), где через Р(>р, к) обозначен неполной эллиптический интеграл первого рода, можно найти решение эллиптической задачи двух тел в замкнутой форме в терминах эллиптических функций Якоби:

X = а(впи — к) , У ——ак' спи , г = а(1 — /овпи), где к' = (1 — к2)1/2 есть дополнительный модуль, а X, У и г обозначают прямоугольные орбитальные координаты и радиус-вектор, соответственно. Зависимость аномалии и от времени дается уравнением Кеплера, принимающим вид аши + ксп и'= М + 7г/2.

Очевидно, что полученное решение эллиптической задачи двух тел в замкнутой форме, выраженпое в терминах эллиптических функций и представляющее определенный интерес с математической точки зрения, само по себе не имеет большого практического значения, так как замкнутая форма решения обеспечивается использованием как истинной, так и эксцентрической аномалий. Но такое представление позволяет применить теорию разложений эллппти- ' ческих функций в тригонометрические ряды, что имеет важное значение именпо для практического применения. Действительно, эллиптические функции могут быть разложены в'тригонометрические ряды, в которых в качестве малого параметра имеем модуля к используется так называемый параметр Якоби q, являющийся функцией от к: д = я(к) = ехр(-тсК'/К), К' = К(к'), К {к)—полный эллиптический интеграл первого рода. Очень важное свойство этого параметра заключается в том, что он остается достаточно малым даже для значений модупя,близких к 1, например, значению к2 = 0.99 соответствует д,и 0.2622 (Абрамовиц и Стиган, 1979). В нашем случае модуль к равен эксцентриситету орбиты е и, таким образом, основная "идея настоящей работы заключается в том, что выражая все функции эллиптического движения в терминах эллиптических функций Якоби и раскладывая их затем п тригонометрические ряды, можно заменить классические разложения по кратным средней, истинной и эксцентрической аномалий, использующие эксцентриситет в качестве малого параметра, рядами по кратным повой апомалии, связанной с аргументом эллиптических функций, с коэффициентами, являющимися рациопальными функциями от па-

раметра Якоби q. В связи с малостью q эти новые ряды можно будет применять для построения аналитической теории движения для орбит с большими эксцентриситетами, когда классические разложения становятся практически непригодными.

Далее получены тригонометрические разложения простейших функций эллиптического движения, таких как sin v, cos v, sin g, cos g, r/a, a/r, уравнение центра v — M. Для удобства разложения проводятся по кратным новой аномалии то, являющейся функцией и: w = тги/(2А') — 7г/2, названной эллиптической аномалией, хотя она не принадлежит классу обобщенных эллиптических аномалий, упоминавшихся в первой главе.

Во втором параграфе находится аналитическое решение обобщенного уравнения Кеплера, дающего связь эллиптической аномалии w со временем. Это уравнение может быть решено либо аналитическими итерациями, либо с помощью алгоритма Депри (1979), разработанного для решения неявного уравпения Лаграпжа.

Для полноты исследования задачи двух тел в терминах эллиптических функций рассмотрено также гиперболическое я параболическое движение. В гиперболическом случае модуль эллиптических функций полагается равным /сi = 1/е < 1 и вводится соответствующая аномалия v.i. Отличие от случая эллиптического движения заключается в том, что эта аномалия не является вещественной и поэтому не может использоваться в тригонометрических разложениях. Поэтому первым шагом является нахождение мнимой части аномалии u¡, затем новая аномалия определяется как ф = щ — i Im щ. Решение гиперболической задачи двух тел в замкпутой форме представляется через эллиптические функции Якоби от вещественного аргумента ф и модуля fcj и находятся соответствующие тригонометрические разложения орбитальных координат и радиус-вектора, коэффициенты которых убывают тем быстрее, чем больше эксцентриситет гиперболы. Связь ф со временем дается уравпением Кеплера.

Для почти-параболических орбит соответствующие формулы в принципе могут быть получены предельным переходом из формул эллиптического или гиперболического движения, но при этом получаются известные из классической теории результаты. При модуле

равном 1 эллиптические функции Якоби переходят п гиперболические функции в силу свойства аш(и, 1) = gd и. Однако, оперировать с этими функциями сложнее, чем с Щ(у/2), фигурирующем в классической теории. Поэтому возможность применения эллиптических функций Якоби к параболическому случаю задачи двух тел представляет лишь теоретический интерес.

Глава 3. Разложения функций эллиптического движения в тригонометрические ряды по кратным новой эллиптической аномалии.

Формулы предыдущей главы полностью описывают общее решение задачи двух тел в терминах эллиптических функций—в конечной форме или в виде рядов по кратным эллиптической аномалии. Это решение включает в себя и связь нового независимого аргумента с физическим временем (обобщенное уравнение Кеплера). В этой и следующей главах рассматривается применение теории эллиптических функций к случаю возмущенного движения задачи двух тел. Исследуется только эллиптический случай, так как именно этот тип движения описывается эллиптическими функциями наиболее естественно.

Известно, что, для построения аналитической теории возмущенного движения оказывается недостаточным иметь выражения только для орбитальных координат и радиуса-вектора, а требуется иметь разложения для более общих функций вида Ф(п,т) = (г/а)пехр '¡ту, где пит произвольные целые числа. (Субботин, 1968). Функции такого типа встречаются при разложении • пертурбационной функции или правых частей уравнений возмущенного движения в элементах при. учете самых разнообразных физических факторов (несферичность центрального тела, притяжение третьего тела, сопротивление окружающей среды и т.д.) В классической небесной механике употребляются три типа разложений функции Ф(п,т)—по кратным средней, истинной и эксцентрической аномалий—каждое из которых является рядом Фурье функции Ф(п, т) ввиду ее 2тг-периодичности по любой из трех аномалий Л/, V или д. Наиболее распространенным является разложение по кратным средней аномалии, поскольку оно дает явную зависимость функции Ф(п,т) от времени (. Методы вычисления коэффициентов Л'"''п(е) этого ряда, называемых коэффициентами Гашена, как

в численной, так и с аналитической форме хорошо разработаны. Из теории коэффициентов Ганзена известно, что они записываются в конечном виде только в частном случае « = 0 с помощью гипергеометрического полинома от е2 или /З2, ¡5 — е / [1 + (1 — е2)1/2]. В диссертации получены аналитические формулы для коэффициентов разложений по истинной и эксцентрической аномалиям в виде ги-пёргеометрических рядов от /З2 и доказывается, что они всегда могут быть сведены к гипергеометрическим полиномам.

Функция Ф(п,т) представлена в виде разложения по кратным эллиптической аномалии ш с коэффициентами -В"'т(<7), которые названы эллиптическими коэффициентами Гаизена. В работе исследованы некоторые свойства этих коэффициентов, получены интегральные представления, дающие возможность их численного вычисления.

Во втором параграфе проведено сравнение нового разложения функции Ф(гс, 7п) по кратным эллиптической аномалии с классическими рядами по кратным М, V и д в трех аспектах: возможность применения для больших эксцентриситетов; длины рядов, которыми могут быть представлены коэффициенты разложений и возможность выражения этих коэффициентов в конечном виде; длина самого тригонометрического разложения. Оказывается, что в случае болыцих эксцентриситетов (д,т) ряды имеют явные преимущества и могут применяться в том случае, когда другие разложения, использующие в качестве малого параметра е, становятся неэффективными (а для достаточно больших эксцентриситетов просто непригодными).

Аналитические формулы для вычисления коэффициентов разложений по кратным эллиптической аномалии выведены в третьем параграфе. Коэффициенты В"'"'((?) представлены в виде гипергеометрических рядов, которые сводятся к многочленам в случаях, важных для практических приложений (например, для разложения пертурбационной функции).

Четвертый параграф посвящен выводу рекуррентных формул, позволяющих эффективно вычислять большой набор коэффициентов В",т(д) численно и аналитически. Эти формулы основаны на дифференциальных соотношениях второго порядка, так как первые производные эллиптических функций Якоби не могут быть пред-

ставлены как рациональные функции от г. Поэтому рекуррентные соотношения оказываются немного сложнее, чем рекуррентные формулы для вычисления классических.коэффициентов Ганзена, для которых оказывается достаточно дифференциальных соотношений первого порядка. Все коэффициенты рекуррентных соотношений имеют конечный вид, как и начальные значения, необходимые для использования рекуррентных формул. Это доказывает, что эллиптические коэффициенты Ганзена В"'т(д) могут быть представлены в замкнутой форме для любых значений п, т и s, что отличает их от классических коэффициентов Ганзена которые предста-

вимы в конечном виде только для случая s = 0. Аналитические вычисления могут производиться с помощью систем компьютерной алгебры, таких, например, как Mathematica или Maple. Что касается численных расчетов, то они были проведены с помощью пакета подпрограмм вычисления эллиптических функций и интегралов, разработанного Фукушима (Fukushiina, 1991). Эти вычисления показали, что рекуррентные формулы пе содержат особенностей и могут применяться для орбит со сколь угодно большими эксцентриситетами. Одновременно производилось сравнение результатов, получепных с помощью рекуррентных соотношений, со значениями коэффициентов, вычисленных численно путем взятия соответствующих квадратур. Использование рекуррентных соотношений оправдано для вычисления достаточно большого набора коэффициентов В"'т(?)-Вычислять определенный коэффициент с фиксированными п, т и s удобней с помощью численного интегрирования или по аналитическим формулам.

Глава 4. Эллиптические функции в теории возмущений.

В этой главе показывается, как полученные выше (q, w) разложения, основанные па теории эллиптических функций, могут быть применены при аналитическом исследовании движения по высоко-эксцеятричным орбитам. Говоря более определенно, рассмотрены три типичные задачи—запись уравнений возмущенного движения в оскулирующих элементах, разложение спутниковой пертурбационной функции и аналитическое интегрирование уравнений возмущенного движения—в случае замены эксцентриситета е на параметр Якоби q и введении эллиптической аномалии w вместо традиционно

употребляемых средней, истинной или эксцентрической аномалий.

В первом параграфе рассмотрены уравнения в оскулирующих элементах в форме Эйлера-Гаусса и в форме Лаграпжа. Для возмущенного движения необходимо изменить определение аномалий w и и следующим образом:

w — v/2 / du/Ii—ir/2, 9— Anudu — n/2. J о : Jo

Это делается для того, чтобы избежать появления вековых членов в

правых частях уравнений в оскулирующих элементах. После этого . находятся уравнения для производных dq/dt и dw/dt, заменяющие собой выражения для de/dt и dM/dt. Такой вид уравнений возмущённого движения позволяет использовать (q,w) разложения при построении аналитической теории для орбит с любыми эксцентриситетами. Кроме того, следуя общему методу, разработанному в (Bond and Janin, 1981) для любой угловой переменной, можпо ввести эллиптическую аномалию w в качестве независимого аргумента вместо физического времени t в канонические уравнения движения в расширенном фазовом пространстве.

Второй параграф посвящен обсуждению вопросов, связанных с разложением пертурбационной функции. Проблема разложения пертурбационной функции при построении планетной теории, изучении движения комет или в спутниковых задачах, является слишком обширпой и не могла быть рассмотрена в деталях. Известно множество совершенных методов для решения этой проблемы оптимальным спосэбом в каждом конкретном случае. В соответствии с излагаемым методом общий подход к решению этой задачи заключается в следующем. Сначала строится разложение пертурбационной функции каким-либо классическим методом в терминах г, v, г' и v' (штрихом обозначены величины, относящиеся к орбите возмущающего тела), далее применяются (</, w) разложения вместо классического разложения Гапзсна. Затем, как и в классической теории, полученпЫе ряды могут быть подвергнуты дальнейшим преобразованиям (изменение порядка суммирования, введение переменных Лапласа и т.д.), но в любом случае, результаты, полученные в третьей главе доказывают, что такая замена (е, М) разложений на (q,w) разложения приведет к более компактным рядам,

пригодным для представления движения по высокоэксцентричным орбитам. Для примера рассматривается разложение возмущающей функции, действующей на ИСЗ, обусловленной притяжением третьего тела (Луны или Солнца) и влиянием несферйчности Земли.

Независимо от применяемого метода, при построении аналитической теории движения, то есть при аналитическом интегрировании уравнений движения в оскулирующих элементах или в тех или иных координатах, необходимо уметь брать квадратуры вида I = Jf(w,s')dw, где /—некоторая тригонометрическая фз'нкция своих аргументов. В общем случае пторой тригонометрический аргумент s' может являться эллиптической аномалией s' = w' возмущающего тела или линейной функцией времени / = М' = n't + Ма. Решение этой проблемы дается в третьем параграфе с помощью модификации приема Ганзена, разработанного им для случая эксцентрической аномалии.

Из содержания этой главы видно, что введение (g,w) разложений, основанных на теории эллиптических функций, не влечет за собой принципиальных трудностей. По сравнению с (е, М) разложениями они на первых порах потребуют дополнительного программного обеспечения, но при наличии современных средств компьютерной алгебры это не составляет никакой проблемы и окупается за счет компактности результирующих рядов. Сочетание известных аналитических методов небесной механики с (q,w) разложениями открывает возможность построения аналитических теорий движения для объектов с большим орбитальным эксцентриситетом.

В Заключении сформулированы выводы, которые позволяют сделать основные результаты диссертационной работы.

В Приложении 1 для удобства ссылок приведены, основные формулы теории эллиптическиих функций Якоби, использоваппые в диссертации.

Приложение 2 содержит графики, демонстрирующие сравнение ско'рости сходимости разложений по кратным средней, истинной, эксцентрической и эллиптической аномалий для значений эксцентриситета 0.1,0.5 и 0.9. Анализ результатов дается в параграфе 3.2.

На защиту выносятся следующие основные результаты диссертации:

- Аналитическое регулирование шага при численном интегрировании орбит с большим эксцентриситетом за счет выбора длины дуги в качестве независимого аргумента;

- Новый метод решения задачи двух тел, оспованный на теории эллиптических функций и введении повой (эллиптической) аномалии, пригодный для орбит с произвольным эксцентриситетом;

- Новые тригонометрические разложения функций от координат эллиптического движения, коэффициенты которых выражаются в замкнутой форме;

- Преобразование уравнений возмущенного движения в оскулиру-ющих элементах и новые разложения пертурбационной функции, основанные на использовании параметра Якоби вместо эксцентриситета и замене средней апомалии на новую эллиптическую аномалию.

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Брумберг, Е.В.: 1990, 'Об упрощении вычисления высокоэксцен-трхгчных орбит искусственных спутников Земли', Ртос. 3rd С YA Л Symp., Beijing, China

2. Brumberg, E.V.: 1992a, 'Length of Arc as Independent Argument for Highly Eccentric Orbits', Celes. Mech. and Dynam. Astron. 53, 323

3. Брумберг, E.B.: 1992b, 'Задача двух тел в терминах эллиптических фуькций', Препринт Института прикладной астрономии РАН 47, Санкт-Петербург

4. Брумберг, Е.В.: 1992с, 'Возмущенная задача двух тел в эллиптических функциях', Н. Kinoshita and Н. Nakai (eds.), Proc. 25th Symp. on Celes. Mech., NAO, Tokyo, 139

5. Brumberg, E. and Fukuslnma, Т.: 1993, 'Expansions of Elliptic Motion Based on Elliptic Function Theory', Celes. Mech. and Dynmn. Astron. 57

G. Брумберг, E.: 1993, 'Методы построения аналитической теории движения для пысокоэксценгричных орбит, основанные на теории эллиптических функций', Proc. Confennce on Dynamics п. id A st rom-etry of Natural and Artificial Celestial Bodies, Pnznaii

В работе (Brumberg and Fukushlma, 1993) Е.В.Брумбергу принадлежит постановка задачи, вывод аналитических формул для коэффициентов рядов Фурье по кратным истинной и эксцентрической аномалий; интегральные представления и численные вычисления коэффициентов разложений по кратным средней, эксцентрической, истинной и эллиптической аномалий; вывод рекуррентных формул для эллиптических коэффициентов Ганзена, анализ результатов и изложение для публикации.

ЛИТЕГАТУРА

Абрамович, М. и Стиган, И.: 1979, Справочник по специальным

функциям, Наука, Москва Субботин, М.Ф.: 1968, Введение в теоретическую астрономию, Наука, Москва

Bond, V.R. and Janin, G.: 1981, 'Canonical Orbitcil Elements in Terms of

an Arbitrary Independent Variable', Celes. Meek. 23, 159 Ferraudiz, J.M., Ferrer, S. and Sein-Echaluce, M.L.: 1987, 'Generalized

Elliptic Anomalies', Celes. Mech. 40, 315 Fukushima, Т.: 1991, 'Numerical Computation of Elliptic Integrals and Functions', in: H. Kinosliita and H. Yoshida (eds.), Proc. 24th Symp. on Celes. Mech., NAO, Tokyo, 158 Manchester, R.N.: 1992, 'Pulsars and General Relativity', in: H. Sato and T. Nakamura (eds.), Proc. 6th Marcel Grossman Meeting, World Scientific, 1033

Petrovskaya, M.S.: 1970, 'Expansions of the Negative Powers of Mutual

Distance Between Bodies', Celes. Mech. 3, 121 Yuasa, M. and Hori, G.: 1979, 'New Approach to the Planetary Theory', in: R.L. Duncombe (ed.), Dynamics of the Solar System, Dordrecht, Reidel, 69

Yuasa, M. and Hori, G.: 1984, 'Some Devices Concerning the Development of the Disturbing Function', J. Fac. Sci. Technol. 20, Kinki Univ., 29