Инварианты и тождества представлений алгебраических и проконечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

гг*—

с;* На правах рукописи

С- •• е'*5

•с 1 о,

и;;

сп

СЧ1

"Л >1

ЗУБКОВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

ИНВАРИАНТЫ И ТОЖДЕСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ПРОКОНЕЧНЫХ ГРУПП

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Омск 1996

Работа выполнена на кафедре алгебры Омского государственного педагогического университета.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кемер Александр Робертович, доктор физико-математических наук, профессор Мухин Юрий Николаевич доктор физико-математических наук, профессор Шестаков Иван Павлович

Ведущая организация - Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова.

Защита состоится " " 199 г. в часов на заседании

специализированного совета Д.002.23.01 при Институте математики СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, Университетский проспект 4.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан " " 199 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

/С.Т.Федоряев

Проблема вычисления инвариантов представлений алгебраических групп имеет уже достаточно длинную историю, отмеченную именами очень-многих выдающихся математиков, работавших на протяжении последних двухсот лет. Условно можно разбить ее на два этапа.

Началом теории инвариантов принято считать аффинную и метрическую классификацию квадратичных форм, полученную в работах Эйлера, Лагранжа, Гаусса, Коши и Якоби. ПобудительньГм мотивом послужили задачи механики (отыскание осей инерции твердого тела и др.), геометрии (приведение коник и квадрик к каноническому виду) и теории чисел (представление целых чисел квадратичными формами). В результате этих исследований были обнаружены такие классические инварианты, как дискриминант и коэффициенты характеристического многочлена. Конечно, все это не осознавалось как часть какой-то общей теории.

Собственно становление теории инвариантов произошло несколько позже, в середине 19 века. Основной проблемой было описать инварианты однородных форм от нескольких переменных. Задача эта возникла из нужд проективной геометрии, которая и понималась как наука о свойствах геометрических объектов, инвариантных по отношению к группе движений пространства. Наиболее четко такая точка зрения сформулирована в знаменитой " Эрлангенской программе" Клейна в 1872 году. К основным достижениям этого периода можно отнести создание символического метода (Аронгольд, Кэли, Сильвестер, Клебш, Гордон), а также полную классификацию матриц с точностью до подобия, то есть то, что мы называем сейчас приведением к жордановой нормальной форме (Жордан и Вейерштрасс).

Весь этот период принято называть "наивной" теорией инвариантов. Водораздел между " наивной" й " современной" теорией инвариантов был положен работами Гильберта в 1890-1893 гг. Именно с этого момента теория инвариантов от частных задач перешла к построению общих методов. И с течением времени основная проблема предстала в виде описания порождающих алгебры К\У]в, а ■ также соотношений между ними (или более общо - всех сизигий). Здесь V - произвольный рациональный (З-модуль. В таком виде теория инвариантов входит как составная часть в теорию (аффинных) алгебраических групп. Осознание этого факта, на фоне'бурного развития алгебраической геометрии, привело к еще более общей точке зрения.

Именно, вместо V мы можем рассматривать произвольное алгебраическое многообразие (схему) X. Если группа С рационально действует на X, то воз-

никает задача описания орбит этого действия, их взаимного расположения, построение различного рода факторов и т.д. При этом инварианты появляются уже как нечто опосредованное, как один из атрибутов геометрических свойств действия.

Например, если X - аффинное многообразие, а С редуктивна, то в этом случае всегда существует категорный фактор т : X —» Х/(3, причем т'^р^/С?]) = ■ К[Х]в. Более того, если сЬахК = 0, то любой слой 5г содержит ровно одну замкнутую орбиту, а две точки х, у 6 X принадлежат одному слою тогда и только тогда, когда /(г) = /(?/) для всех / 6 К[Х]а. Если все орбиты замкнуты, то я -геометрический фактор. В этом случае все орбиты имеют одинаковую размер-кость и совпадают со слоями тт. Более подробную информацию можно найти в обзоре [21]. Таким образом, можно сказать, что теория инвариантов "возвратилась" к своим геометрическим истокам, обогащенная новыми мощными методами.

Начало систематическому применению геометрических методов в теории инвариантов было положено в замечательной (но весьма трудной, из за используемого категорно-схемного подхода) книге Мамфорда [22]. Хотя следует отметить, что Мамфорд развивал идеи одной работы Гильберта 1893 года. Огромный вклад в развитие "геометрического" направления сделала также московская школа по теории инвариантов, созданная В.Л. Поповым, Э.Б. Винбергом и другими.

Интерес диссертанта к теории инвариантов возник, как это ни странно на первый взгляд, из задач, связанных со второй частью диссертации, то есть, из кухд теории многообразий проконечных групп. Решая проблему представимости свободной неабелевой про-р-группы матрицами над ассоциативно - коммутативным лроконечным кольцом, диссертант (тогда еще аспирант) столкнулся с несколькими интересными фактами.

Во-первых, оказалось, что непредставимосгь эквивалентна существованию проконечного тождества на произвольной линейной про-р-группе. Более того, это тождество (если оно существует) зависит только от размера матриц.

Во-вторых, если рассмотреть так называемую про-р-группу общих п X га-матриц (а представимость эквивалентна свободе этой группы), то при п = 2 и р ф 2 оказалось, что ее коммутант — это "почти" пополненная 2р-алгебра Ли общих матриц.

Более точно, пусть Х{ - общие 2x2- матрицы, А — ^-алгебра рядов от коэффициентов матриц яг,-, Я - про-р-подгруппа порожденная элементами 1 +аг,-в йЬ^А). Без потери общности можно считать, что (;г(аг;) = 0. Тогда Я' состоит из всех элементов вида А + V, где А = (1 и2)1/2 - скалярная матрица, а V - элемент коммутанта про-р-алгебры Ли Ь, порожденной матрицами Х{. Отсюда, в частности, следует, что Н не свободна, так как в ней можно найти абелевы подгруппы как угодно большого ранга. Таким образом, свободная неабелева про-р-группа (р ф 2) непредставима 2 х 2-матрицами, и, значит, на про-р-группах 2 х 2-матриц, выполняется нетривиальное (проконечное) тожде-

ство.

Но интересно не только это. Работая с алгеброй L, сразу обнаруживаешь, что "длинные" коммутаторы выражаются через коммутаторы длины < 3, с коэффициентами - произведениями следов от матриц г,!

Используя одну теорему Прочези [36], можно доказать, что L имеет "топологический" базис, индексированный стандартными таблицами Юнга [2]. Более того, этот базис останется базисом и в том случае, когда вместо L мы рассматриваем ("дискретную") /("-алгебру Ли ¿д-, порожденную матрицами х;. Здесь А'-проязвольное ассоциативно - коммутативное кольцо, содержащее В частности, канонический эпиморфизм Lz —> 1тр(р ф 2) имеет ядро pLz-

В свое время Прочези сформулировал очекь интересную проблему [37]. Пусть Яц- - ассоциативная АГ-алгебра, порожденная общими п х n-матрицами Не будет ли ядро канонического эпиморфизма Rz —* Rfp совпадать с pRzt Если п = 2 и р ф 2, то так же, как и для алгебры Ли, ответ положительный. Это следует из той же работы Прочези [37]. Однако, при n = р = 2 ответ отрицательный [45].

Какое отношение проблема Прочези имеет к представимости? Оказывается [19], что если проблема Прочези решается положительно для колец Ли, то ассоциированная с Н Zr-алгебра Ли gr(Н) = Ф(7n#/7n+i-ff) изоморфна Lzv-

тг>1

Отсюда сразу будет следовать, что Н не свободна по той простой причине, что ассоциированная алгебра Ли свободной про-р-группы свободна, a Lzp-алгебра с тождеством.

В связи со всем сказанным выше, представляется вполне вероятным, что гипотеза Прочези (и ассоциативная, и лиева) верна для п > р. Чтобы не путать эту гипотезу с другой гипотезой Прочези (об инвариантах), назовем ее гипотезой о ядре.

В данный момент не видно никаких подходов к доказательству гипотезы о ядре. Ведь даже о кольце общих 3 х 3-матриц неизвестно почти ничего. Однако, можно попытаться проверить ее для колец, достаточно близких к кольцу общих матриц. И в первую очередь, это относится к кольцу (алгебре) кон-комитантов. Над полем алгебру конкомитантов можно определить как множество <7.£(га)-эквивариантных полиномиальных отображений пространства М(п) х ... х М(п) = М(п)т в М(п). Здесь GL(n) действует диагонально corn

пряжениями на М(п)т, от = 1,2,____

В [37] Прочези была сформулирована

Гипотеза. Алгебра инвариантов K[M(n)m]GLI-") (К - бесконечное поле произвольной характеристики) порождается элементами ... Xj,), где

Х\...Хт - общие п х n-матрицы, <Т{ - г-й коэффициент характеристического многочлена. '

Прочези и, независимо от него, Размыслов доказали эту гипотезу для полей нулевой характеристики.

Стандартный прием с использованием "дополнительной" общей матрицы У

позволяет вычислить порождающие алгебры конкомитантов, если известны порождающие А'[А/(га)т]С1/!п>. Именно, мы можем отождествить алгебру конкомитантов с подпространством в К[М(п)т+1]а, которое состоит из вс?х элементов степени 1 по У, по правилу / —> ¿г(/У). В частности, если верна гипотеза Прочези, то алгебра конкомитантов порождается элементами ^(Х^ .. .Х^) и -Хъ ■ • • 5 Хт.

В первой главе диссертации доказывается более общее утверждение, чем гипотеза Прочези. Именно, мы корректно определим "свободную" алгебру инвариантов (конкомитантов). После чего найдем порождающие ядра канонического эпиморфизма соответствующей "свободной" алгебры на К[М(п)т]а1'^ (алгебру конкомитантов).

Для поля нулевой характеристики это хорошо известная теорема Размыслова-Прочези о тождествах со следом [37, 14].

Фактически, наше доказательство находит некоторым единообразным способом и порождающие алгебры инвариантов (конкомитантов), и соотношения между ними. Отмечу, что впервые гипотеза Прочези была доказана Донкиным [20], а также частично — автором [5, 6].

Кольцо конкомитантов порождается (над Z) теми же элементами ст^Х^ ... X],), X},.. • ,Хт. Очевидным образом можно сформулировать аналог гипотезы о ядре. Как будет показано в первой главе (следствие 1.3.3), в этом случае ядро всегда порождено р. Это серьезный довод в пользу исходной гипотезы о ядре.

Действительно, кольцо конкомитантов очень близко кольцу общих матриц. Например, из стандартных свойств центральных полиномов [24] следует, что существует нетривиальный центральный элемент / кольца общих матриц Яг со свойством, что любой целый конкомитант х, умноженный на /, с точностью до числового множителя обратимого по модулю р > п, попадает в Яг. Так как для кольца конкомитантов гипотеза о ядре решается положительно, то для любого г е кег(Яг —> найдется целый конкомитант х такой, что г = рх. Умножая на / мы получим включение к}г б рЯг, где (к,р) = 1. Поскольку ка + рЬ = 1 для подходящих а, Ь £ то /г = А(/г)а + рЬ/г 6 рЯг1. Другими словами, гипотеза о ядре верна "с точностью" до множителя /. Кстати, Шелтер доказал ранее, что ядро эпиморфизма Яг —* Ярр является нильидеалом над рЯг [46].

В связи с этим интересно отметить еще, что и при изучении тождеств матричных алгебр, а это напрямую связано с проблемой Шпехта, естественным образом возникают и работают алгебры матричных инвариантов и конкомитантов [43, 44]. Кроме того, обобщение теоремы Размыслова-Прочези имеет интересные следствия и в теории Р7-алгебр. Как и в [37], мы можем доказать, что любая алгебра с тождеством X" = 0, удовлетворяет всем тождествам алгебры матриц М(п).

Еще одно интересное следствие, не упомянутое в первой главе, получается из известной теоремы Размыслова-Кемера-Брауна о нильпотентности радикала Джекобсона конечно порожденной Р/-алгебры.

Обозначим многообразие vax(M{n)) через Vn. Пусть А - произвольная конечно порожденная PI-алгебра, J - ее радикал, и J" = 0. Тогда J 6 V„. Полупростая алгебра Л/J аппроксимируется алгебрами матриц размера < к = [г/2], где г - минимальная степень тождества на Л, поэтому A/J 6 И. . Таким образом, Л е УЛ.

Представляется весьма вероятным, что имеет место хотя бы одна из следующих гипотез.

Гипотеза 1. Для любых k,rt существует такое 1 = 1{к,п), что Vn £ Ц.

Более слабый вариант был сообщен автору А.Р.Кемером.

Гипотеза 2. Любая конечно порожденная алгебра из многообразия И 14, лежит в Ц, для подходящего I.

Для доказательства гипотезы 2 достаточно было бы проверить, что свободная конечно порожденная алгебра из VkVn не имеет нильпотентных элементов.

Опишем более подробно результаты- первой главы. Как уже было сказано выше, мы можем построить категорный фактор т : М(п)т —» M(n)m/GL(n). По-видимому впёрвые пространство орбит было исследовано в работе М.Аргина [25]. Собственно геометрическая интерпретация этих результатов была сделана Прочези [26].

Именно, точки многообразия М(п)т можно отождествить с представлениями свободной ассоциативной алгебры К < yi,...,ym >■ Действительно, любое такое представление у однозначно определено набором матриц <р{у\), • • • Vm)• Два представления называются эквивалентными, если они совпадают с точностью до замены базы. Другими словами, ip ~ ф тогда и только тогда, когда найдется д G GL(n) такой, что = Оказывается, что замкнутые орби-

ты (= классы эквивалентности) - это в точности орбиты полупростых представлений. Таким образом, точки (аффинного) многообразия M(n)m/GL(n) однозначно параметризуются классами эквивалентности полупростых представлений (более подробно - см. введение). Правда, если быть точным, в работе Прочези [26] доказано только, что существует аффинное многообразие Y и морфизм х : М(п)т -+ Y, постоянный на GX(re)-op6nTax, причем "фактор" v : М(п)т —► Y параметризует классы эквивалентности полупростых представлений. В качестве Y Прочези брал спектр алгебры, порожденной инвариантами из своей гипотезы. Поскольку теперь гипотеза Прочези доказана, то по определению категоряого фактора У = М{п)тJGL(n) (ранее было известно только, что морфизм M(n)m/GL(n) Y конечен [26, 37]).

Еще более общий подход к исследованию многообразий представлений, уже . на языке схем, можно найти в [23], [27].

Далее, "свободную" алгебру инвариантов можно также интерпретировать как координатную алгебру некоторого бесконечномерного "многообразия".

Действительно, для произвольной пары п < N определим морфизм : М(п) —> M(N) так, что n х n-матрица х = (г,у) отображается в N х N-матрпцу с нулями вне левого верхнего га х n-угла, в котором стоит х. Аналогично можно определить sn<jv : GL(n) —* GL(N), Разница только в том, что мы "окаймляем"

д = (g¡j) нулями везде кроме диагонали, на которой ставим единицы. Нетрудно видеть, что pas согласованы. То есть,

PnMszg'1) = ¿nMs)Pn,N(x)sn,N(9)~^

Прямые пределы спектров {M(n); pn,N} и {GL(n); обозначим через М{оо) и GL(oo) соответственно. В силу замечания о согласованности, GL(оо) действует диагонально на М(оо)т. Координатную алгебру М(оо)т можно отождествить с проективным пределом Спектра {K[M{n)m\,p^N}. Эпиморфизм P"n,N •• K[M{N)m\ -> К[М(п)т] индуцирует эпиморфизм K[M(N)m}a^N) -+ K[M(n)m]aL^. В частности, мы получаем коммутативную диаграмму :

М(п)т -с М{п)т ¡GL(n) i i M(N)m -> M(N)m/GL(N)

Обозначим морфизм M(n)m/GL{n) -* M(N)m/GL(N) через ín>Ar. По определению полагаем, что фактор Л/(оо)т¡GL(oo) совпадает с прямым пределом спектра {М{п)т/GL{n)\tn^}. Соответственно, "свободная" алгебра инвариантов (как дуальный объект) - это проективный предел спектра Рп,я}- Как доказал Донкин ¡38], "свободная" алгебра инвариантов свободна в обычном смысле, то есть она порождается некоторым (бесконечным) множеством алгебраически независимых элементов.

Геометрическую интерпретацию имеет и алгебра конкомитантов [28]. Также, как и выше, можно построить модель для "свободной" алгебры конкомитантов [28]. К сожалению, ее определение уже не столь наглядно, поэтому мы опустим его.

Далее, ядро эпиморфизма "свободной" алгебры инвариантов на K\M(n)m)GL - это, фактически, идеал, определяющий подмногообразие М(п)т/GL(n) в M(oo)m/GL(оо). Обозначим его через Тп. Идеал Тп инвариантен относительно определенного сорта подстановок, то есть это Г-идеал.

Аналогично, если обозначить через Dn ядро эпиморфизма "свободной" алгебры конкомитантов на алгебру конкомитантов п х n-матриц, то Dn тоже Т-идеал. Следующая теорема, являющаяся основным результатом первой главы, дает описание порождающих Т-идеалов Тп и Dn.

Теорема 1. (теорема 1.1.1). Т„ и Dn, как Т-идеалы, порождаются элементами <rk(X),k >п + 1, и Xh(X) = Хк- а1{Х)Хк~1 + ... + (-1 )как{Х), к > п, соответственно.

В частности, если char А' = 0, го Тп порождается элементом сгп+1(А') (остальные через него выражаются), a Dn - элементом Хп(Л') (п° т°й же причине). То есть, как уже отмечалось выше, мы получаем классические результаты Прочези и Размыслова, как частный случай.

Несколько слов о доказательстве теоремы 1.1.1. Доказательство Донкина, гипотезы Прочези, опирается на обобщение теории симметрических функций, которая интерпретируется как теория инвариантных функций одной матричной переменной [38]. В случае нескольких матричных переменных Донкин вводит "обобщенные" функции Шура, которые образуют базис свободной алгебры инвариантов [38].

К сожалению, очень красивая теория Донкина совершенно не приспособлена для доказательства теоремы 1.1.1. Во первых, трудно понять, какие линейные комбинации "обобщенных" функций Шура попадают в идеал Тп. Во вторых, функции Шура совершенно не приспособлены к таким естественным операциям, как частичная линеаризация, или "склейка" переменных. То есть к операциям, которые неизбежно появляются при работе с "тождествами".

По этой причине наше доказательство опирается на другие соображения, связанные с построением пекйторых фильтраций в алгебре GL{n)-эндоморфизмов тензорной степени Е(п)®'. Фактически везде при этом используется замечательная работа К.Акина, Д.Буксбаума и Дж. Веймана [18].

Наше множество порождающих идеала Тп, уже по определению адаптировано к операциям типа "склейки" или частичной линеаризации. Кроме того, и это самое важное здесь, основным "параметром" выступает не группа "склейки" Sa, как у Донкина, а "базисная" группа S\ с Ai > n + 1 (все определения -см. §1).

Доказательство теоремы 1.1.1 проводится сложной индукцией по степени исходного тождества, и по количеству слоев группы 5>. Ключевую роль при этом играет понятие предслоя. Именно расщепление по предслоям S\, а не по слоям группы За, позволяет упрощать порождающие идеала Тп.

Фактически наше доказательство идейно продолжает доказательство Прочези [37]. Однако, в случае характеристики ноль все проблемы сводятся к однократной замене переменных в соответствующем полилинейном "тождестве". Модулярный случай конечно значительно сложнее.

Группу GL(n) можно заменить одной из ее классических подгрупп: специальной ортогональной или симплехтической. Если G(n) = G С GL(n) одна из таких подгрупп, то нетрудно сформулировать аналог проблемы Прочези и для G{n). Действительно, группа G так же действует диагонально сопряжениями на М(п)т. Каковы порождающие алгебры инвариантов (конкомитан-тов) такого действия? Можно ли подходящим образом определить "сужение" I<[M{N)m\ai-N) -» K[M(n)m\°W такк чтобы построить "свободную" алгебру . инвариантов (конкомитантов) и найги идеалы "тождеств" n х «-инвариантов (конкомитантов) ?

Пока ответы получены только на первые два вопроса. Именно, во втором параграфе первой глаьы будет показано как корректно определить "сужение" K[M{N)m]GW K{M(n)m]e(n\ Более того, доказывается

Теорема 2. (теорема 1.2.1). "Сужение" K[M{n)m] -» K{M(n- 2)">]

(К\М(п)т\ —» К[М(п — 2)m] в симплектическом случае) индуцирует эпиморфизм колец инвариантов.

Причем, если в случае GL(n) мы использовали так называемый "truncation" функтор (или функтор Шура), то, например, для групп типа D, в принципе невозможно ничего похожего. Поэтому доказательство опирается на другие соображения.

Кроме того, сюръективность "сужения" позволяет явно вычислить порождающие алгебры инвариантов . Именно, имеет место

Теорема 3. (теорема 1.3.6) Алгебра К[А1(п)т]в порождается (с точностью до склейки) элементами вида j^tr(B„,ToX(n)), и элементами из предложения 1.1.1.

Определение операторов Вв<Т слишком громоздко, чтобы приводить его здесь (см. третий параграф первой главы). Отметим еще, что фактор M(n)m/G(n) можно также интерпретировать как многообразие полупростых (ортогональных, или симплектических) представлений алгебры К < yi,...,ym > [37]. Имеют смысл и остальные объекты: М(оо) как С(оо)-многообразие, и фактор M{oo)m/G[oo).

Во второй главе изучаются многообразия проконечных групп, так или иначе связанные с линейными проконечными группами. Исходные определения теории многообразий проконечных групп мало чем отличаются от таких же в теории многообразий групп. Нужно только заменить слова "гомоморфизм" на "непрерывный гомоморфизм", слово "подгруппа" — на "замкнутая подгруппа", а "декартово произведение" на "тихоновское". Именно так в дальнейшем (если не оговорено противное) будут пониматься эти термины.

Например, многообразие проконечных групп V - это по определению класс проконечных групп замкнутый относительно подгрупп, гомоморфных образов и декартовых произведений. Свободная группа многообразия V, с множеством свободных порождающих X, определяется как проективный предел спектра всех конечных гомоморфных образов свободной дискретной группы F(X), которые лежат в V, таких, что почти все элементы X отображаются в единицу относительно каждого такого гомоморфизма. Обозначим ее через Fv(X).

В частности, если F(X) абсолютно свободная проконечная группа, то Fv(X) = F(X)/N , где N вполне характеристическая подгруппа в F(X). Элементы N являются тождествами многообразия V.

Действительно, для любой группы G 6 V, произвольное допустимое отображение X —* G (это означает, что для любой открытой подгруппы U < G, почти все элементы X попадают в U) продолжается до гомоморфизма F(X) —> G так, что N < ker(F{X) G). Другими словами, при любых "подстановках" X —> G элементы из N отображаются в единицу.

Таким образом, многообразие V можно определить набором проконечных тождеств. Правда, в большинстве случаев этот способ малоэффективен. Элементы группы -F(^) не имеют нормальной формы (даже в виде каких-нибудь

сходящихся произведений). Поэтому проконечные многообразия (не обязательно групп, но и полугрупп, моноидов и др.) задают при помощи так называемых псевдотождесгв [29]. Это означает, что вместо проконечного многообразия V мы рассматриваем класс всех конечных объектов из V, который обазует уже псевдомногообразие Псевдомногообразпе определяется как класс конечных групп (полугрупп, моноидов и др.), замкнутый относительно взятия подгрупп, гомоморфных образов и конечных прямых произведений. По всякому псевдомногообразию W можно построить проконечное многообразие, которое состоит из всевозможных проективных пределов объектов из W.

Таким образом, соответствие V «-» Vgn является изоморфизмом решеток проконечных и псевдо многообразий. Псевдомногообразпе можно в свою очередь задать набором псевдотождеств. Например, псевдотождество на групповом псевдомногообразии W — это набор элементов свободной группы F(X) такой, что для любой группы G € W, почти все элементы этого набора — тождества на G.

В последнее время заметно оживился интерес к теории псевдомногообразий. Можно отметить например недавнюю работу Ж. Альмейды и П. Вейля [32] (и обширную библиографию к ней), где используется проконечный аналог теории Ж. П. Серра о группах действующих на деревьях, построенный в работах О. В. Мельникова, П. А. Залесского, Д. Гильденхайса и Л. Рибеса [30] ,[31]. Ж. Альмейда и П. Вейль определяют интересное понятие редуцированного произведения в свободной проконечной группе. Это имеет массу приложений к теории языков, теории полугрупп и теория автоматов.

Например, техника редуцированных разложений с успехом применяется к описанию объединений лсевдомногообразий групп и моноидов, а также языков, распознаваемых псевдомногообразиями.

В этой связи нужно отметить, что разложимость псевдомногообразий (= проконечных многообразий) в объединение неразложимых подмногообразий - достаточно редкое явление. Поэтому поиск многообразий, у которых решетка подмногообразий обладает свойством типа однозначной разложимости, очень интересная задача. Именно этому посвящен первый параграф второй главы.

Надо сказать, что теория многообразий проконечных групп во многом разительно отличается от теории многообразий обычных групп. Например, хотя все проконечные многообразия конечнобазируемы [33], тем не менее, решетка проконечных многообразий континуальна. Более того, континуальна даже решетка подмногообразий многообразия нильпртентных про-р-групп ступени 6 [34].

Хорошо известно, что ("дискретное") многообразие метабелевых групп "почти" обладает свойством однозначной разложимости. Именно, любое собственное ("дискретное") метабелево многообразие бесконечной экспоненты разлагается в объединение'многообразия AtA, конечного числа многообразий вида NcAm Л А2, а также многообразия конечной экспоненты W. И хотя многообразие W определено неоднозначно, остальные компоненты - единственным образом [39].

Как и можно было ожидать, это неверно для многообразия всех проконечяых метабелевых групп. Именно, несложно показать, что любое проконечное мета-белево многообразие в большинстве случаев является бесконечным объединением собственных подмногообразий. Например, в том случае, когда коммутант свободной группы этого многообразия является про-тг-группой, где ir - произвольное бесконечное множество простых чисел.

Однако, если рассмотреть "однородный" случай, то есть многообразие всех метабелевых про-р-групп, то как показано во второй главе, ситуация совершенно такая же, как и в дискретном случае.

Теорема 4. (теорема 2.1.9) Любое собственное метабелево про-р-многооб-разие бесконечной экспоненты является объединением многообразия конечной экспоненты, многообразия АраА, и конечного числа многообразий вида NcApef\ А2. Более того, параметр а и все с, ¡3 определены однозначно.

В частности, решетка метабелевых про-р-многообразий счетна. Интересно также то, что при полном совпадении формулировок доказательство про-р-аналога существенно отличается от дискретного случая. После достаточно длиной цепи редукций все сводится к аналитическим про-р-группам, и используется идея минимального (по размерности) контрпримера. Затем применяются стандартные свойства нетеровых модулей.

Как уже говорилось выше, проблема представимости свободной неабелевой про-р-группы матрицами тесно связана и с теорией инвариантов, и с теорией многообразий проконечных групп.

То, что на про-р-группе общих 2 X 2-матриц Н (р ф 2) выполняется нетривиальное про-р-тождество, резко контрастирует с ситуацией в случае обычных линейных групп. Действительно, согласно альтернативе Титса, любая конечно порожденная линейная группа либо содержит свободную (дискретную) подгруппу ранга 2, либо почти разрешима.

Как уже отмечалось ранее, Н' "совпадает" с коммутантом алгебры Ли L. Отсюда можно ожидать, что решетка подгрупп в Н' достаточно "близка" решетке идеалов в L?. И это действительно так.

Если мы обозначим элемент Д + v через [v], то для любого (замкнутого) идеала 5 < L, который является модулем над Zp-алгеброй следов, SQL2, множество [5"] = 6 S} - нормальная подгруппа (ясно, что [S] < [¿2] = И'). Обратно, любая нормальная подгруппа W < Н' содержит [5], для подходящего идеала S.

Обозначим еще через Нт, про-р-группу порожденную матрицами 1 4-х,', но не в GLiiA), а в GL2(^m), где Ат = А/ртА, т = 1,2,..!. Про-р-многообразие, порожденное Нт, обозначим через Vm.

Теорема 5. (теорема 8.2.2) Любая собственная вербальная подгруппа W в Н содержит подгруппу вида [pm(X2)c], т > 0 .

В частности, отсюда несложно вывести, что любое подмногообразие многообразия маг(Н) содержится либо в ЫСА, либо в УтМсА, т > 1. Многообразие уаг(II) совпадает с уаг(Г(р)), где Г(р) - главная конгруэнц-подгруппа по модулю р в 012(г„) (или в ЗЬ2(гг)).

Таким образом, мы имеем аналог известной теоремы Размыслова о подмногообразиях лиева многообразия уаг^^-К)), где К - произвольное поле характеристики ноль. Кроме этого, можно сформулировать "правильную" альтернативу Титса для конечно порожденных про-р-групп 2 х 2-матриц (р ф 2). Именно, любая такая про-р-группа либо разрешима, либо многообразие, порожденное этой группой, содержит Ц.

Думается, что изучение группы Н может принести еще много интересного. Кроме того, Н полезна как "полигон" для проверки различных гипотез. Ее строение одновременно и достаточно нетривиально, и вполне удобно для вычислений. Было бы интересно, например; использовать строение Я' для проверки проблем алгоритмического типа в теории про-р-групп. В качестве гипотетического метода исследования можно предложить следующее.

Ограничимся случаем 2-порожденной про-р-группы Н (для удобства, не меняя обозначений). Тогда Н' представимо в виде упорядоченного произведения трех "однопараметрических" подгрупп [19]. Причем в качестве "параметра" выступает про-р- алгебра следов от порождающих общих матриц.

В частности, если показать, что "однопараметрические" подгруппы элементарно определимы (формульны) в Н\ (переход к Н\ необходим для того, чтобы избежать возведения в р-адические степени) , тогда можно попытаться интерпретировать элементарную теорию кольца формальных степенных рядов (над полем в Ц\.

Обратно, групповые операции формульны относительно "координат" записи элементов Н\ через "однопараметрические" подгруппы. То есть саму группу Н\ можно интерпретировать над кольцом рядов. Вместо Н\ можно работать с более простой группой, порожденной элементами:

в ЗЬ2(Рр\\Щ)-

В частности, если бы мы имели доказательство старой гипотезы о разрешимости элементарной теории кольца ^[[¿]], тогда, как следствие, мы бы имели контрпример к гипотезе Каргаполова о том, что про-р-группа с разрешимой элементарной теорией является р-адической аналитической группой.

Последним результатом второй главы является контрпример к известной гипотезе О. И. Тавгеня. Эта гипотеза возникла из попыток дать общий критерий представимости матрицами свободного произведения с объединенной подгруппой, средствами теории аналитических про-р-групп.

О. И. Тавгень показал, что если пополненная групповая алгебра произвольной аналитической про-р-группы (? является почти Артина-Риса алгеброй, то

представимость следует из критерия типа теоремы Люботского [40].

Напомню, что ¿У[£?]] почти Артина-Риса алгебра, если для любого конечно порожденного [[(?]]-модуля М без ^-кручения, ц его подмодуля ¿7 такого, что 0 < ¿\тгри < оо, найдется подмодуль N со свойством ЛТ)^ = О и <йт2р М/Ы < оо.

О. И. Тавгень показал, что свойство быть почти Артина-Риса алгеброй верно для пополненных групповых 2р-алгебр нильпотентных про-^ьгрупп. Открытым остается вопрос для разрешимых групп. В общем случае ответ отрицательный. Именно, имеет место следующая

Теорема 6. Если фактор (3 по радикалу - полупростая группа с расщепи-мой (над С}р) алгеброй Ли, то существует Zp[[G]]-мoдt/ль, в котором любой подмодуль либо бесконечной коразмерности, либо конечного индекса.

Принято начинать автореферат подтверждением актуальности исследуемых в диссертации проблем, а заканчивать описанием содержания. Но все это фактически сделано выше, поэтому мы сразу перейдем к следующим квалификационным признакам.

Цель работы. Нахождение порождающих инвариантов (и соотношений между ними) присоединенного действия классических групп. Исследование линейных проконечных групп на языке теории многообразий проконечных групп.

Методика исследований. Основным инструментом первой главы является теория модулей с хорошей фильтрацией [41]. Конкретно, теорема Кемпфа о том, что для любой редуктивной группы тривиальны все группы когомологий (кроме нулевой - Я0), с коэффициентами в индуцированном модуле, а так же теорема Донкина-Матье о том, что тензорное произведение сохраняет свойство быть модулем с хорошей фильтрацией [41, 42]. Эти две фундаментальные теоремы, и замечательная работа К.Акина, Д.А.Буксбаума и Дж.Веймана о резольвентах модулей Шура [18] — вот все, что необходимо для понимания основных результатов первой главы.

Во второй гла-ве используются стандартные сведения из теории проконечных групп [17], теории представлений алгебр Ли [35], и классическая работа Лазара [16], в которой построен аналог теории Ли для р-адических аналитических групп, на базе более тонких идей, чем в обычных курсах по теории групп Ли.

В частности, теория Лазара позволяет работать с бесконечномерными (фильтрованными) 2р[[(7]]-модулями, и устанавливает соответствие между представлениями про-р-группы Ли С?, и представлениями £р-формы ее алгебры Ли , без необходимости переходить от £р-модулей к (3,,-модулям. Некоторые фрагменты теории Лазара можно обнаружить в [35] и [15]. Но большого распо-странения она так и не получила.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Результаты и методы могут быть использованы в модулярной теории инвариантов, теории многообразий проконечных групп, и теории представлений групп.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 11 Всесоюзном симпозиуме по теории групп посвященном 60-летию М,И. Каргаполова (Свердловск,1989 г.), на 2-й Международной конференции по алгебре посвященной памяти А.И.Ширшова (Барнаул, 1991 г.), 3-й Международной конференции по алгебре посвященной памяти М.И. Каргаполова (Красноярск, 1993 г.), на конференции "Algebraic groups and representations" в г. Кортона (Италия, 1995 г.). Они неоднократно обсуждались на алгебраическом семинаре ОМГУ, семинаре "Алгебра и логика" , "Теория групп", "Теория колец" (ИМ СОРАН и НГУ).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 12].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Первая глава посвящена инвариантам присоединенных представлений классических групп, а вторая - тождествам представлений про-р-групп.

Главы делятся на параграфы (секции), параграфы на пункты (подсекции). Нумерация сквозная. Например, теорема 1.2.4 находится в первой главе , во втором параграфе. Прячем это четвертая теорема в этом параграфе. Диссертация занимает 150 страниц текста, набранного в стандартной версии редактора ЖГцХ, библиография - 80 наименований.

Список литературы

[1] А.Н.Зубков. Многообразия про-р-групп матриц второго порядка// 11 Всес. симп. по теории групп поев. 60-лет. М.И. Каргаполова, 1989, Свердловск, с.48.

[2] А.Н.Зубков. Многообразия про-р-групп матриц второго порядка// Алгебра и логика, т.29, N4, с.430-451.

[3] А.Н.Зубков Многообразия метабелевых про-р-групп// 2-я Межд.конф. по алгебре поев, памяти А.И.Ширшова, Барнаул, 1991, с.101.

[4] А.Н.Зубков. Многообразия метабелееых про-р-групп// Сиб.мат.журн. 1992, т.ЗЗ, N5, с.80-90.

[5] А.Н.Зубков. Матричные инварианты над бесконечным полем конечной характеристики/ / Сиб.мат.журн.1993, т.34, N6, с.68-74.

[6] A.N.Zubkov. Endomorphisms of tensor products of exterior powers and Procesi hypothesis// IITPM, Omsk.1993, Preprint N12,p.l-16.

[7] A.N.Zubkov. Endomorphisms of tensor products of exterior powers and Procesi hypothesis// Commun. in Algebra, 22(15), p,6385-6399(1994).

[8] A.N.Zubkov. On the procedure of calculation of the invariants of an adjoint action of classical groups// Commun,in Algebra, 22(11), p.4457-4474(1994).

[9] A.N.Zubkov. On the procedure of calculation of the invariants of an adjoint action of classical yroups// IITPM, Omsk.1993, Preprint N14,p.1-20.

[10] А.Н.Зубков. Инварианты присоединенного действия классических групп// 3 Межд.конф. по алгебре поев, памяти М.И. Каргаполова, Красноярск, 1993, с.128.

[11] А.Н.Зубков. Об одном обобщении теоремы Прочези-Размыслова// Алгебра и логика, т.35, N4, 1996, с.433-457.

[12] А.Н.Зубков. Подъем инвариантов классических групп// Вестник Омского университета, вып.2(1996).

[13] А.Н.Зубков, А.С.Штерн. Об одной гипотезе О.И.Тавгеня// Сиб.мат. журн., в печати.

[14] Ю.П.Размыслов. Тождества со следом полных матричных алгебр над полем характеристики О // Изв.АН СССР. Сер.мат.1974, t.38,N4,c.723- 756.

[15] Dixon J., du Sautou M.P.F., Mann A., Segal D. Analytic pro-p-groups/ London Math. Soc. Lecture Notes, Series 157, Cambridge Univ. Press. 1991.

[16] Lazard M. Groups analytiques p-adiquesj Publ. Math. IHES 1965. Vol. 26, p. 386 - 603.

[17 [18

[19

[20

[21

[22 [23

[24

[25

[26

[27

[28

[29

[30

Кох X. Теория Галуа р-расширений. М.: Мир, 1973.

К. Akin, D.A.Buchsbaum and J.Weyman. Schur functors and Schur complexes //Adv.inMath.1982,Vol.44,p.207-278.

Зубков A.H. Нижний центральный ряд про-р-группы общих матриц второго порядка/1 Препринт ВЦ СО АН СССР, N 731, 1987, 12 с.

S.Donkin./nran'<m/s of several matrices//Invent.Math., Vol.ll0(1992), p.389-401.

Винберг Э.Б., Попов В.Л. Теория. инвариантов. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, -т. 55. -М.: ВИНИТИ, 1989. -с.137-314.

Mumford D. Geometric invariant theory/ Berlin : Springer-Verlag, 1965.

C.Procesi. Rings with polynomial identities/ Marcel Dekker, Inc. New York, 1973.

V.L.Popov Analogue of M.Artin's conjecture on invariants for non-associative algebras// reprint.

M.Artin On Azumay algebras and finite dimensional representations of rings// J.Algebra, 11(1969), p.532-563.

Procesi C. Finite dimensional representations of algebras// Israel Math., 19(1974), p.169-182.

Lubotzky A., Magid A.R. Varieties of representations of finitely generated groups/ Memories of the American Math. Soc., 1985, Vol.58, N 336.

L. le Bruyn. The Artin-Schofield theorem and some application// Commun. in Algebra, 14(8), p.1439 - 1455(1986).

S.Eilenberg. Automata, languages and machines/ Vol. B, Academic Press, New York, 1976.

P. Zalesskii, 0. Mel'nikov. Subgroups of profinite groups acting on trees// Math. USSR Sbronik, 63(1989), p.405 - 424.

D. Gildenhuys, L. ftibes. Profinite groups and Boolean graphs// J. Pure Appl. Alg., 12(1978), p.21 - 47.

[33

[34

[35 [36

[37

[38

[39

[40

[41

[42

[43

[44

[45

[46

J. Almeida, P. Weil. Reduced factorizations in free pro finite groups and join decompositions of psevdovarieties// International J. of Algebra and Сотр., Vol. 4, N 3, (1994), p.375 - 403.

Протасов И. В. О многообразиях проконечных групп// VII Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тезисы докл. — Красноярск, 1980. - с. 94.

Зубков А. Н. Мощность решетки подмногообразий в многообразии всех про-р-групп// Сиб. мат. журн. 1988, т. 29, N 23, с. 195 - 197.

Н. Бурбаки Группы и алгебры Ли. М.: Мир, 1976, гл. 1-3.

С. Procesi Computing with 2x2 matrices!/ J.Algebra, Vol.87, N 2, (1984), p.342-359.

C.Procesi. The invariant theory of n x п-matrices// Adv.in Math., 1976,Vol.19.,p.306-381.

S.Donkin. Invariant functions on matrices// Math.Proc.Camb.Phil.Soc., 1992, Vol.113, N23,p.23-43.

Bryce R.A. Metabelian groups and varieties // Phil. Trans. Roy. Soc. London., 1970, Vol.266, N 1176. p.281-355

Lubotzky A. A group theoretic characterization of linear groups// J. Algebra. 1988. Vol. 113, p. 207-214.

S.Donkin. Rational representations of algebraic groups:tensor products and filtrations/ Lect.Notes. in Math. 1140, Springer 1985.

O.Mathieu. Filtrations of G-modules //Ann.Scient.Ec.Norm.Sup(2).1990, Vol.23,p.625-644.

A.Kemer. Multilinear identities of the algebras over afield of characteristic p/ / International J. of Algebra and Сотр., Vol.5, N2(1995), p.189-197.

А.В.Гришин. О конечной базируемое™ абстрактных Т-пространств// Фундаментальная и прикладная математика, т.1, вып.3(1995), с.669-700.

W.F.Schelter On question concerning generic matrices over the integers// J.Algebra, 96(1985), p.48-53.

W.F.Schelter Affine PI rings are catenary// J.Algebra 51(1978), p.12-18.